MHT CET 2009 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) बिंदु $(3,2)$ से वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-2 = m(x-3)$ है,अर्थात $mx-y+(2-3m)=0$ है।
वृत्त के केंद्र $(0,0)$ से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=2$ के बराबर होती है।
अतः,$\frac{|2-3m|}{\sqrt{m^{2}+1}} = 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2-3m)^{2} = 4(m^{2}+1)$ है।
$4-12m+9m^{2} = 4m^{2}+4$ है।
$5m^{2}-12m = 0$ है।
$m(5m-12) = 0$ है।
इस प्रकार,ढाल $m_{1} = 0$ और $m_{2} = \frac{12}{5}$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$|m_{1}-m_{2}| = \frac{12}{5}$ है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ है,जहाँ $a^{2}=32$ और $b^{2}=18$ है।
$m = -\frac{3}{4}$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}+b^{2}}$ है।
मान रखने पर: $y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times (-\frac{3}{4})^{2} + 18}$.
$y = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{32 \times \frac{9}{16} + 18} = -\frac{3}{4}x \pm \sqrt{18 + 18} = -\frac{3}{4}x \pm 6$.
धनात्मक अंतःखंड लेने पर,समीकरण $y = -\frac{3}{4}x + 6$ प्राप्त होता है,जो $3x + 4y = 24$ है।
$y=0$ और $x=0$ रखने पर अंतःखंड प्राप्त होते हैं:
$y=0$ के लिए,$3x=24 \Rightarrow x=8$,अतः $A = (8, 0)$.
$x=0$ के लिए,$4y=24 \Rightarrow y=6$,अतः $B = (0, 6)$.
$\Delta AOB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$ वर्ग इकाई।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $5x^{2} + 9y^{2} = 45$ है। $45$ से भाग देने पर,हमें $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^{2} = 9$ और $b^{2} = 5$ है।
रेखा $4x - 3y + k = 0$ को $y = \frac{4}{3}x + \frac{k}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,$m = \frac{4}{3}$ और $c = \frac{k}{3}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} + b^{2}$ है।
मान रखने पर,$(\frac{k}{3})^{2} = 9(\frac{4}{3})^{2} + 5$।
$\frac{k^{2}}{9} = 9(\frac{16}{9}) + 5 = 16 + 5 = 21$।
$k^{2} = 9 \times 21 = 189$।
$k = \pm \sqrt{189} = \pm 3\sqrt{21}$।

(D) माना बहुपद $f(x) = ax^{2}+bx+c$ है।
दिया गया है $f(0)=8$,अतः $a(0)^{2}+b(0)+c=8$,जिसका अर्थ है $c=8$ है।
अतः,बहुपद $f(x) = ax^{2}+bx+8$ है।
दिया गया है $f(1)=12$,अतः $a(1)^{2}+b(1)+8=12$,जो सरल होकर $a+b=4$ (समीकरण $i$) देता है।
दिया गया है $f(2)=18$,अतः $a(2)^{2}+b(2)+8=18$,जो सरल होकर $4a+2b=10$ या $2a+b=5$ (समीकरण $ii$) देता है।
समीकरण $(ii)$ से समीकरण $(i)$ को घटाने पर,हमें $(2a+b)-(a+b) = 5-4$ प्राप्त होता है,जिससे $a=1$ मिलता है।
$a=1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,हमें $1+b=4$ प्राप्त होता है,जिससे $b=3$ मिलता है।
अतः,अभीष्ट बहुपद $f(x) = x^{2}+3x+8$ है।

(D) $\Delta^{5} u_{x}$ ज्ञात करने के लिए,हम फॉरवर्ड डिफरेंस टेबल बनाते हैं:
गणना के अनुसार,$\Delta^{5} u_{0} = 755$ प्राप्त होता है।

(B) हमें शर्त $x_{1} = 1, x_{2} = 0, x_{3} = 0$ दी गई है।
हम दिए गए विकल्पों का मूल्यांकन करते हैं:
विकल्प $B$ के लिए: $x_{1} \cdot x_{2}' = 1 \cdot (0)' = 1 \cdot 1 = 1$.
अतः,फलन $f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1} \cdot x_{2}'$ शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया है $D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$.
हमें $f(2, 5, 15) = (2+5) \cdot (5^{\prime} + 15)$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,$2+5 = \operatorname{LCM}(2, 5) = 10$.
इसके बाद,$5^{\prime} = \frac{30}{5} = 6$.
फिर,$5^{\prime} + 15 = 6 + 15 = \operatorname{LCM}(6, 15) = 30$.
अंत में,$f(2, 5, 15) = 10 \cdot 30 = \operatorname{GCD}(10, 30) = 10$.

(A) दिया गया है कि नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं,इसलिए $ae = 3$ और $a^{2}e^{2} = 9$ है।
अतिपरवलय के लिए,$b^{2} = a^{2}e^{2} - a^{2}$,अतः $a^{2} + b^{2} = 9$ (समीकरण $i$)।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = -2x + 4$ है,जहाँ $m = -2$ और $c = 4$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ के लिए स्पर्शरेखा होने की शर्त $c^{2} = a^{2}m^{2} - b^{2}$ है।
मान रखने पर: $4^{2} = a^{2}(-2)^{2} - b^{2} \Rightarrow 4a^{2} - b^{2} = 16$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $5a^{2} = 25 \Rightarrow a^{2} = 5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ में $a^{2} = 5$ रखने पर: $5 + b^{2} = 9 \Rightarrow b^{2} = 4$ प्राप्त होता है।
अतः अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ है,जो $4x^{2} - 5y^{2} = 20$ के बराबर है।

(C) दिया गया सीमा मान: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{k x}-1\right) \sin k x}{x^{2}}=4$
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{e^{k x}-1}{x} \cdot \frac{\sin k x}{x} \right) = 4$
मानक सीमाओं $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{k x}-1}{x} = k$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin k x}{x} = k$ का उपयोग करने पर:
$k \cdot k = 4$
$k^{2} = 4$
$k = \pm 2$

(A) दिया गया है,$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{ax + b}{x + 1} = 1$
$\Rightarrow \lim_{x}$ ${\rightarrow \infty} \frac{a + \frac{b}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 1$
$\Rightarrow a = 1$
दिया गया है,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 2$
$\Rightarrow \frac{a(0) + b}{0 + 1} = 2$
$\Rightarrow b = 2$
अतः,$f(x) = \frac{x + 2}{x + 1}$
इसलिए,$f(-2) = \frac{-2 + 2}{-2 + 1} = \frac{0}{-1} = 0$

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 1} (1 + \log _{e} x)^{1 / \log _{e} x}$.
जब $x \rightarrow 1$,तब $\log _{e} x \rightarrow 0$,अतः यह $1^{\infty}$ के रूप में है।
हम मानक सीमा सूत्र का उपयोग करते हैं: $\lim _{u \rightarrow 0} (1 + u)^{1/u} = e$.
माना $u = \log _{e} x$. जैसे $x \rightarrow 1$,वैसे $u \rightarrow 0$.
इस मान को सीमा में रखने पर,हमें $\lim _{u \rightarrow 0} (1 + u)^{1/u} = e$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(p \vee q) \wedge (p \vee \sim q) = p \vee (q \wedge \sim q)$
पूरक नियम के अनुसार,$q \wedge \sim q = F$ (जहाँ $F$ एक असत्य कथन को दर्शाता है)।
अतः,व्यंजक $p \vee F$ हो जाता है।
चूंकि $F$,$\vee$ संकारक के लिए तत्समक अवयव है,इसलिए $p \vee F = p$।
अतः,सरल रूप $p$ है।

(A) दिया गया सर्किट श्रेणी में जुड़े दो समानांतर ब्लॉकों से बना है।
सर्किट को देखने पर:
$1$. पहले ब्लॉक में $p$ और $q$ स्विच समानांतर में हैं,जिसे $(p \vee q)$ द्वारा दर्शाया गया है।
$2$. दूसरे ब्लॉक में $p$ और $r$ स्विच समानांतर में हैं,जिसे $(p \vee r)$ द्वारा दर्शाया गया है।
$3$. ये दोनों ब्लॉक श्रेणी में जुड़े हुए हैं,इसलिए व्यंजक $(p \vee q) \wedge (p \vee r)$ होगा।
बूलियन बीजगणित के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(p \vee q) \wedge (p \vee r) = p \vee (q \wedge r)$.

(C) हम जानते हैं कि निहितार्थ $A \rightarrow B$,$\sim A \vee B$ के समतुल्य है।
अतः,$\sim p \rightarrow q \equiv \sim(\sim p) \vee q \equiv p \vee q$.
अब,निषेध लागू करने पर: $\sim(\sim p \rightarrow q) \equiv \sim(p \vee q)$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$\sim(p \vee q) \equiv \sim p \wedge \sim q$.

(A) $a x^{2}+2 h x y+b y^{2}=0$ द्वारा निरूपित रेखाओं के बीच का कोण $\varphi$ के लिए $\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2}-a b}}{a+b} \right|$ होता है।
समीकरण $x^{2}+2 x y \sec \theta+y^{2}=0$ के लिए,$a=1$,$b=1$,और $h=\sec \theta$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\sec^{2} \theta - 1}}{1+1} \right|$
$\tan \varphi = \left| \frac{2 \sqrt{\tan^{2} \theta}}{2} \right|$
$\tan \varphi = \tan \theta$.
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।

(B) द्विघात समीकरण का व्यापक रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $hxy + 10x + 6y + 4 = 0$ की तुलना करने पर,$a = 0, b = 0, h' = h/2, g = 5, f = 3, c = 4$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के युग्म के लिए सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & h/2 & 5 \\ h/2 & 0 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
गणना करने पर: $0(0 - 9) - \frac{h}{2}(2h/2 - 15) + 5(3h/2 - 0) = 0$
$-\frac{h}{2}(h - 15) + \frac{15h}{2} = 0$
$-\frac{h^2}{2} + 15h = 0$
$-h^2 + 30h = 0 \Rightarrow h(30 - h) = 0$
अतः,$h = 0$ या $h = 30$।

(A) दिया गया समीकरण $x^{2} - 4xy + 3y^{2} = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(x - y)(x - 3y) = 0$।
रेखाएँ $x - y = 0$ और $x - 3y = 0$ हैं।
$(3, -2)$ से गुजरने वाली समानांतर रेखाएँ $(x - y + k_{1}) = 0$ और $(x - 3y + k_{2}) = 0$ के रूप में हैं।
$(3, -2)$ बिंदु रखने पर $k_{1} = -5$ और $k_{2} = -9$ प्राप्त होता है।
संयुक्त समीकरण $(x - y - 5)(x - 3y - 9) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^{2} + 3y^{2} - 4xy - 14x + 24y + 45 = 0$।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^{2}=12x$ है।
इसकी तुलना $y^{2}=4ax$ से करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=3$।
बिंदु $P(x, y)$ के लिए,कोटि $y=6$ दी गई है।
चूंकि बिंदु $P$ परवलय पर स्थित है,इसलिए हम समीकरण में $y=6$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(6)^{2}=12x$ $\Rightarrow 36=12x$ $\Rightarrow x=3$।
परवलय $y^{2}=4ax$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरी का सूत्र $x+a$ होता है।
$x=3$ और $a=3$ का मान रखने पर:
नाभीय दूरी $= 3+3=6$।

(B) बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर परवलय $y^{2} = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ होता है।
यहाँ,परवलय $y^{2} = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$ है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (3, 6)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y(6) = 2(4)(x + 3)$
$6y = 8(x + 3)$
$6y = 8x + 24$
$2$ से विभाजित करने पर:
$3y = 4x + 12$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3y - 4x - 12 = 0$.

(A) घटनाओं $A$ या $B$ में से ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \Delta B) = P(A \cup B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $P(A \cup B) = 0.6$ और $P(A \cap B) = 0.2$ है।
अतः,ठीक एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $0.6 - 0.2 = 0.4$ है।

(B) किसी वृत्त की परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका सहायक वृत्त (director circle) कहलाता है।
$x^{2}+y^{2}=r^{2}$ समीकरण वाले वृत्त के लिए,सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=2r^{2}$ होता है।
यहाँ,दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}=16$ है,इसलिए $r^{2}=16$ है।
इस मान को सहायक वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $x^{2}+y^{2}=2(16) = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}=32$ है।

(B) दिया गया वक्र $y=4 x e^{x}$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 4e^{x} + 4x e^{x} = 4e^{x}(1+x)$.
अब,बिंदु $\left(-1, -\frac{4}{e}\right)$ पर ढाल ज्ञात करें:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(-1, -4/e)} = 4e^{-1}(1 + (-1)) = 4e^{-1}(0) = 0$.
चूंकि ढाल $0$ है,इसलिए स्पर्श रेखा एक क्षैतिज रेखा है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है:
$y - (-\frac{4}{e}) = 0(x - (-1))$.
$y + \frac{4}{e} = 0$.
अतः,$y = -\frac{4}{e}$.

(B) माना $f(x) = x^{1/3}$ है। हमें $f(28)$ का मान ज्ञात करना है।
माना $x = 27$ और $\Delta x = 1$,ताकि $x + \Delta x = 28$ हो जाए।
हम जानते हैं कि $f(x) = x^{1/3}$,इसलिए $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3x^{2/3}}$ है।
अनुमान का सूत्र $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$ है।
यहाँ,$f(27) = (27)^{1/3} = 3$ है।
$f'(27) = \frac{1}{3(27)^{2/3}} = \frac{1}{3(9)} = \frac{1}{27}$ है।
अतः,$f(28) \approx 3 + \frac{1}{27} \times 1$ है।
$f(28) \approx 3 + 0.037037... \approx 3.037$ है।

(A) दिए गए वक्र $x^{2}=y$ और $y=4x$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x^{2}$ को $y=4x$ में प्रतिस्थापित करें:
$x^{2}=4x \implies x^{2}-4x=0 \implies x(x-4)=0$.
अतः,$x=0$ और $x=4$.
जब $x=0, y=0$ और जब $x=4, y=16$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(4,16)$ हैं।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ समाकलन द्वारा इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{4} (4x - x^{2}) dx$.
पदों का समाकलन करने पर:
$A = \left[ \frac{4x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ 2x^{2} - \frac{x^{3}}{3} \right]_{0}^{4}$.
सीमाओं का मान रखने पर:
$A = \left( 2(4)^{2} - \frac{(4)^{3}}{3} \right) - (0) = \left( 32 - \frac{64}{3} \right) = \frac{96-64}{3} = \frac{32}{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} d x$ $(i)$
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करते हुए,$x$ को $(\frac{\pi}{2} - x)$ से प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin(\frac{\pi}{2} - x) - \cos(\frac{\pi}{2} - x)}{1 - \sin(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\frac{\pi}{2} - x)} dx$
चूंकि $\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ और $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \cos x \sin x} dx$
$I = - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x - \cos x}{1 - \sin x \cos x} dx$
$I = -I$ (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$I + I = 0$
$2I = 0$
$I = 0$

(C) हम प्रत्येक समाकलन का मान ज्ञात करते हैं:
$(a)$ $\int_{0}^{1} e^{x} dx = [e^{x}]_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1$. यह असत्य है।
$(b)$ $\int_{0}^{1} 2^{x} dx = [\frac{2^{x}}{\log_{e} 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{\log 2} \cdot (2^{1} - 2^{0}) = \frac{1}{\log 2}$. यह असत्य है।
$(c)$ $\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} dx = [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_{0}^{1} = \frac{2}{3} [1^{3/2} - 0^{3/2}] = \frac{2}{3}$. यह सत्य है।
$(d)$ $\int_{0}^{1} x dx = [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. यह असत्य है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \sqrt[3]{1-\left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों का घन करके करणी चिह्न को हटाते हैं:
$\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3} = 1 - \left(\frac{d y}{d x}\right)^{4}$.
अवकल समीकरण की कोटि उच्चतम अवकलज की कोटि होती है। यहाँ,उच्चतम अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
अवकल समीकरण की घात उच्चतम अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है। यहाँ,$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ की घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(B) दी गई रेखाओं का कुल: $y = mx + \frac{4}{m}$ $(i)$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = m$
समीकरण $(i)$ में $m = \frac{dy}{dx}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y = x\left(\frac{dy}{dx}\right) + \frac{4}{\frac{dy}{dx}}$
हर को हटाने के लिए पूरे समीकरण को $\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर:
$y\left(\frac{dy}{dx}\right) = x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} + 4$
पदों को व्यवस्थित करने पर हमें अभीष्ट अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $x\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - y\frac{dy}{dx} + 4 = 0$ है।

(B) हम जानते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या $z$ के लिए,$\tan^{-1}(z) + \cot^{-1}(z) = \frac{\pi}{2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $xy = \tan^{-1}(xy) + \cot^{-1}(xy)$ में $z = xy$ रखने पर,हमें $xy = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(\frac{\pi}{2})$
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$
$x \frac{dy}{dx} = -y$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{x+y+1}{x+y-1}$ है।
माना $x+y = t$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dt}{dx} - 1 = \frac{t+1}{t-1}$
$\frac{dt}{dx} = \frac{t+1}{t-1} + 1 = \frac{t+1+t-1}{t-1} = \frac{2t}{t-1}$.
चरों को अलग करने पर,$\left(\frac{t-1}{2t}\right) dt = dx$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = dx$ मिलता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2t}\right) dt = \int dx$
$\frac{1}{2}t - \frac{1}{2} \log |t| = x + C_1$.
$2$ से गुणा करने पर:
$t - \log |t| = 2x + 2C_1$.
$t = x+y$ वापस रखने पर:
$(x+y) - \log |x+y| = 2x + C$ (जहाँ $C = 2C_1$ है)।
$y - x = \log |x+y| + C$,जिसे $y = x + \log |x+y| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दिया गया गति का समीकरण: $s = 2t^{3} - 9t^{2} + 12t$।
वेग $v$ ज्ञात करने के लिए,हम $s$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^{3} - 9t^{2} + 12t) = 6t^{2} - 18t + 12$।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम वेग $v$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^{2} - 18t + 12) = 12t - 18$।
त्वरण के शून्य होने के लिए,हम $a = 0$ रखते हैं:
$12t - 18 = 0$
$12t = 18$
$t = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} \ s = 1.5 \ s$।
अतः,$1.5 \ s$ के बाद कण का त्वरण शून्य हो जाएगा।

(B) हम जानते हैं कि $\Delta = E - 1$,इसलिए $\Delta^{2} = (E - 1)^{2} = E^{2} - 2E + 1$.
दी गई अभिव्यक्ति $\left(\frac{\Delta^{2}}{E}\right) x^{3} = \left(\frac{E^{2} - 2E + 1}{E}\right) x^{3}$ है।
यह सरल होकर $(E - 2 + E^{-1}) x^{3}$ हो जाता है।
ऑपरेटरों को लागू करने पर: $E(x^{3}) = (x+1)^{3}$,$-2(x^{3}) = -2x^{3}$,और $E^{-1}(x^{3}) = (x-1)^{3}$।
इनका योग करने पर: $(x+1)^{3} - 2x^{3} + (x-1)^{3}$।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1) - 2x^{3} + (x^{3} - 3x^{2} + 3x - 1)$।
समान पदों को जोड़ने पर: $(x^{3} - 2x^{3} + x^{3}) + (3x^{2} - 3x^{2}) + (3x + 3x) + (1 - 1) = 6x$।

(A) दिया है,$x = 2 \cos \theta - \cos 2 \theta$ और $y = 2 \sin \theta - \sin 2 \theta$.
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = -2 \sin \theta + 2 \sin 2 \theta = 2(\sin 2 \theta - \sin \theta)$.
$\frac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta - 2 \cos 2 \theta = 2(\cos \theta - \cos 2 \theta)$.
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{2(\cos \theta - \cos 2 \theta)}{2(\sin 2 \theta - \sin \theta)} = \frac{\cos \theta - \cos 2 \theta}{\sin 2 \theta - \sin \theta}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ और $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{-2 \sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{-\theta}{2}}{2 \cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}} = \frac{2 \sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}}{2 \cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}} = \tan \frac{3 \theta}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $e^{x} + e^{y} = e^{x+y}$.
दोनों पक्षों को $e^{x+y}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{e^{x}}{e^{x+y}} + \frac{e^{y}}{e^{x+y}} = 1$
$e^{-y} + e^{-x} = 1$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(e^{-y}) + \frac{d}{dx}(e^{-x}) = \frac{d}{dx}(1)$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} - e^{-x} = 0$
$-e^{-y} \frac{dy}{dx} = e^{-x}$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{-x}}{e^{-y}}$
$\frac{dy}{dx} = -e^{y-x}$

(A) माना $u = \cos^{3} x$ और $v = \sin^{3} x$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:
$\frac{du}{dx} = 3 \cos^{2} x (-\sin x) = -3 \cos^{2} x \sin x$
$\frac{dv}{dx} = 3 \sin^{2} x (\cos x) = 3 \sin^{2} x \cos x$
अब,$u$ का $v$ के सापेक्ष अवकलज इस प्रकार है:
$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{-3 \cos^{2} x \sin x}{3 \sin^{2} x \cos x}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\frac{du}{dv} = -\frac{\cos x}{\sin x} = -\cot x$

(A) समाकलन $\int x \log x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$।
माना $u = \log x$ और $dv = x \, dx$।
तब,$du = \frac{1}{x} \, dx$ और $v = \frac{x^2}{2}$।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\int x \log x \, dx = (\log x) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + c$
$= \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + c$
$= \frac{x^2}{4} (2 \log x - 1) + c$।

(C) हम जानते हैं कि $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + c$ होता है।
दिया गया समाकलन $\int e^{x} \left(\frac{x-1}{x^{2}}\right) dx$ है।
इसे $\int e^{x} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{x}$,तो $f'(x) = -\frac{1}{x^{2}}$ होगा।
सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $\int e^{x} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}\right) dx = e^{x} \left(\frac{1}{x}\right) + c = \frac{e^{x}}{x} + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{5}^{10} \frac{1}{(x-1)(x-2)} dx$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
स्थिरांकों को हल करने पर,हमें $A = -1$ और $B = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$I = \int_{5}^{10} \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} \right) dx$.
समाकलन करने पर,$I = [-\log|x-1| + \log|x-2|]_{5}^{10}$.
$I = [\log|\frac{x-2}{x-1}|]_{5}^{10}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर,$I = \log|\frac{10-2}{10-1}| - \log|\frac{5-2}{5-1}|$.
$I = \log(\frac{8}{9}) - \log(\frac{3}{4})$.
$I = \log(\frac{8/9}{3/4}) = \log(\frac{8}{9} \times \frac{4}{3}) = \log(\frac{32}{27})$.

(C) माना $I = \int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \, dx$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx} [x \sin (\log x)] = \sin (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \cos (\log x) \cdot \frac{d}{dx}(\log x)$ है।
$= \sin (\log x) \cdot 1 + x \cdot \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x}$।
$= \sin (\log x) + \cos (\log x)$।
अतः,$\int [\sin (\log x) + \cos (\log x)] \, dx = \int \frac{d}{dx} [x \sin (\log x)] \, dx$।
$= x \sin (\log x) + c$।

(C) सुसंगत क्षेत्र प्रतिबंधों $2x + 3y \leq 18$,$2x + y \leq 10$,$x \geq 0$,और $y \geq 0$ द्वारा निर्धारित होता है। सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(5, 0)$,$B(3, 4)$,और $C(0, 6)$ हैं।
हम प्रत्येक शीर्ष पर उद्देश्य फलन $z = 9x + 13y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $O(0, 0)$ पर: $z = 9(0) + 13(0) = 0$
$2$. $A(5, 0)$ पर: $z = 9(5) + 13(0) = 45$
$3$. $B(3, 4)$ पर: $z = 9(3) + 13(4) = 27 + 52 = 79$
$4$. $C(0, 6)$ पर: $z = 9(0) + 13(6) = 78$
इन मानों की तुलना करने पर,$z$ का अधिकतम मान $79$ है।

(B) दिया गया है,$A=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$.
चूंकि $AB=BA=I$,इसलिए $B$,$A$ का व्युत्क्रम (inverse) है,अर्थात $B=A^{-1}$.
$A$ का सारणिक $|A| = \cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta) = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ है।
$2 \times 2$ आव्यूह $\left[\begin{array}{rr}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ का व्युत्क्रम $\frac{1}{ad-bc} \left[\begin{array}{rr}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ होता है।
$A$ के लिए इस सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $B = A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।
अतः,$B = \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]$ है।

(A) व्यंजक $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार को दर्शाता है।
अतः,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = |A|$.
$|A| = 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$.
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$.
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$.
$|A| = 30 - 6 - 16 = 8$.

(B) $8$ लड़कों और $3$ लड़कियों में से $5$ सदस्यों की समिति बनाने के कुल तरीके $C(11, 5) = 462$ हैं।
यदि $2$ विशेष लड़कियों को शामिल किया जाना है,तो हमें शेष $9$ लोगों ($8$ लड़के और $1$ लड़की) में से $3$ सदस्यों का चयन करना होगा।
शेष $3$ सदस्यों के चयन के तरीके $C(9, 3) = 84$ हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{84}{462} = \frac{2}{11}$ है।

(C) हमें $P(A)=0.5, P(B)=0.4$ और $P(A \cap B)=0.3$ दिया गया है।
हमें $P(A^{\prime} \mid B^{\prime})$ ज्ञात करना है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}$।
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$,इसलिए $P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = P((A \cup B)^{\prime}) = 1 - P(A \cup B)$।
सबसे पहले,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.5 + 0.4 - 0.3 = 0.6$ की गणना करें।
अतः,$P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) = 1 - 0.6 = 0.4$।
साथ ही,$P(B^{\prime}) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$।
इसलिए,$P(A^{\prime} \mid B^{\prime}) = \frac{0.4}{0.6} = \frac{2}{3}$।

(A) माना बिंदु $P(x, y, z)$,बिंदुओं $A(5, -3, -2)$ और $B(1, 2, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $m:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $P$,$XOZ$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$P$ का $y$-निर्देशांक $\frac{m(2) + 1(-3)}{m + 1} = 0$ है।
$\Rightarrow 2m - 3 = 0 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$.
अब,$m = \frac{3}{2}$ का उपयोग करके $x$ और $z$ निर्देशांक ज्ञात करते हैं:
$x = \frac{m(1) + 1(5)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(1) + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{3+10}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{m(-2) + 1(-2)}{m + 1} = \frac{\frac{3}{2}(-2) - 2}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{-3 - 2}{\frac{5}{2}} = \frac{-5}{\frac{5}{2}} = -2$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{13}{5}, 0, -2\right)$ है।

(B) माना रेखा $\overrightarrow{OR}$ की दिक्-कोज्याएँ $l, m, n$ हैं।
चूंकि रेखा $XOY, YOZ, ZOX$ समतलों के साथ क्रमशः $\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}$ कोण बनाती है,इसलिए इन समतलों के अभिलंबों (जो $Z, X, Y$ अक्ष हैं) के साथ कोण $\frac{\pi}{2}-\theta_{1}, \frac{\pi}{2}-\theta_{2}, \frac{\pi}{2}-\theta_{3}$ होंगे।
अतः,$|l| = \sin \theta_{2}$,$|m| = \sin \theta_{3}$,और $|n| = \sin \theta_{1}$।
हम जानते हैं कि दिक्-कोज्याओं के लिए $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ होता है।
मान रखने पर,$\sin^{2} \theta_{2} + \sin^{2} \theta_{3} + \sin^{2} \theta_{1} = 1$।
सर्वसमिका $\sin^{2} \theta = 1 - \cos^{2} \theta$ का उपयोग करने पर,$(1-\cos^{2} \theta_{2}) + (1-\cos^{2} \theta_{3}) + (1-\cos^{2} \theta_{1}) = 1$।
$3 - (\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3}) = 1$।
इसलिए,$\cos^{2} \theta_{1} + \cos^{2} \theta_{2} + \cos^{2} \theta_{3} = 3 - 1 = 2$।

(A) माना समतल का समीकरण $A(x + 2) + B(y - 2) + C(z - 2) = 0$ है।
चूंकि यह $(2, -2, -2)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास $A(2 + 2) + B(-2 - 2) + C(-2 - 2) = 0$ है,जो $4A - 4B - 4C = 0$ या $A - B - C = 0$ में सरल हो जाता है ... $(i)$।
समतल $9x - 13y - 3z = 0$ के लंबवत है,इसलिए अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $(A, B, C)$ दिए गए समतल के अभिलंब सदिश $(9, -13, -3)$ के लंबवत है।
अतः,$9A - 13B - 3C = 0$ ... $(ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ को क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके हल करने पर:
$\frac{A}{(-1)(-3) - (-1)(-13)} = \frac{B}{(-1)(9) - (1)(-3)} = \frac{C}{(1)(-13) - (-1)(9)}$
$\frac{A}{3 - 13} = \frac{B}{-9 + 3} = \frac{C}{-13 + 9}$
$\frac{A}{-10} = \frac{B}{-6} = \frac{C}{-4}$
अनुपातों को सरल करने पर,हमें $A:B:C = 5:3:2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतल समीकरण में रखने पर: $5(x + 2) + 3(y - 2) + 2(z - 2) = 0$।
$5x + 10 + 3y - 6 + 2z - 4 = 0$।
$5x + 3y + 2z = 0$।

(A) दिया गया समीकरण: $2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} - 5 \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $5 \overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}$
$5$ से भाग देने पर,हमें मिलता है: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{5}$
चूंकि $2 + 3 = 5$,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$
यह आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र है,जो बताता है कि यदि कोई बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करता है,तो उसका स्थिति सदिश $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ द्वारा दिया जाता है।
सूत्र $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ के साथ $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$ की तुलना करने पर,हम $n = 2$ और $m = 3$ प्राप्त करते हैं।
अतः,बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ को $m:n = 3:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

(B) दिया गया है $\overrightarrow{p} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c}$.
सदिशों का मान रखने पर:
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j}) + y(\hat{j} + \hat{k}) + z(\hat{i} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = (x + z) \hat{i} + (x + y) \hat{j} + (y + z) \hat{k}$
दोनों पक्षों में $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$x + z = 3$ $(i)$
$x + y = 2$ $(ii)$
$y + z = 4$ $(iii)$
$(i), (ii),$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$2(x + y + z) = 3 + 2 + 4 = 9 \Rightarrow x + y + z = 4.5$
योग में से $(iii)$ घटाने पर: $x = 4.5 - 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$
योग में से $(i)$ घटाने पर: $y = 4.5 - 3 = 1.5 = \frac{3}{2}$
योग में से $(ii)$ घटाने पर: $z = 4.5 - 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$
अतः,$x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{2}, z = \frac{5}{2}$.

(B) एक समांतर षट्फलक का आयतन, जिसके सह-आगामी किनारे $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ और $\overrightarrow{OC}$ सदिशों द्वारा निरूपित हैं, अदिश त्रिक गुणनफल $|[\overrightarrow{OA} \overrightarrow{OB} \overrightarrow{OC}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $O(0,0,0)$, $A(2,-2,1)$, $B(5,-4,4)$ और $C(1,-2,4)$ के लिए, सदिश हैं:
$\overrightarrow{OA} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\overrightarrow{OB} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$
$\overrightarrow{OC} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$
आयतन सारणिक का निरपेक्ष मान है:
$V = \left| \begin{vmatrix} 2 & -2 & 1 \\ 5 & -4 & 4 \\ 1 & -2 & 4 \end{vmatrix} \right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V = |2((-4)(4) - (4)(-2)) - (-2)((5)(4) - (4)(1)) + 1((5)(-2) - (-4)(1))|$
$V = |2(-16 + 8) + 2(20 - 4) + 1(-10 + 4)|$
$V = |2(-8) + 2(16) + 1(-6)|$
$V = |-16 + 32 - 6|$
$V = |10| = 10 \text{ घन इकाई}$.