MHT CET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સ્થિર તરંગમાં,કુલ ઊર્જા ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચે દોલન કરે છે.
જ્યારે દોરીની ગતિ ઊર્જા મહત્તમ હોય,ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.
સ્થિતિ ઊર્જા દોરીના વિરૂપણ (સ્થાનાંતર) સાથે સંકળાયેલી છે.
સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોવાથી,તે ક્ષણે દોરી પરના દરેક કણનું સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
તેથી,બધા કણો એકસાથે તેમના સરેરાશ સ્થાનમાંથી પસાર થઈ રહ્યા છે.
પરિણામે,દોરી સંતુલન અક્ષ પર એક સીધી રેખા તરીકે દેખાય છે.

(C) ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે અને $M$ એ તેનું દળ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ ને તેની ઘનતા $\rho$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$M$ ની આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3 \cdot 3}{4 \pi G R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$

(D) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ ઉર્જા $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,આપણને $KE \propto v^2 \propto \frac{1}{r}$ મળે છે.
કેપ્લરના ગ્રહોની ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળાનો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યાના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto T^{2/3}$.
આને ગતિ ઉર્જાના પ્રમાણસરતામાં મૂકતા: $KE \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}} = T^{-2/3}$.

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ વર્ગમૂળ વેગ $(v_{rms})$ સૂત્ર $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વાયુ માટે $R$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto v_{rms}^2$.
અહીં અંતિમ વેગ $v_2$ એ પ્રારંભિક વેગ $v_1$ કરતા અડધો છે,એટલે કે $v_2 = \frac{v_1}{2}$.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$.
આમ,$T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{600 \ K}{4} = 150 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 150 - 273 = -123^{\circ} C$.

(A) વાયુના અણુઓની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
ધારો કે $NTP$ $(T_1 = 273 \ K)$ પર $rms$ ઝડપ $v_1$ છે અને $T_2$ તાપમાને $rms$ ઝડપ $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_2 = 2v_1$,તેથી:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T_2(^{\circ}C) = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.

(B) જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાનું એક ટીપું $n$ નાના ટીપાંમાં (દરેકની ત્રિજ્યા $r$) વિભાજિત થાય છે,ત્યારે પ્રવાહીની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે. તેથી,પૃષ્ઠતાણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. પ્રવાહીનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) \implies R^{3} = n r^{3} \implies r = R n^{-1/3}$.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર (કરેલું કાર્ય) $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
$W = T [n(4 \pi r^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$r = R n^{-1/3}$ મૂકતા:
$W = T [n(4 \pi (R n^{-1/3})^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = T [4 \pi R^{2} n (n^{-2/3}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = 4 \pi R^{2} T [n^{1/3} - 1]$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$,રિજિડિટી મોડ્યુલસ $(\eta)$ અને પોઈસન ગુણોત્તર $(\sigma)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
આપેલ છે કે $Y = 2.4\eta$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
બંને બાજુ $2\eta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$1.2 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ માટે ઉકેલતા:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
તેથી,પોઈસન ગુણોત્તર $0.2$ છે.

(B) લંબાઈમાં વધારા $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{F L}{A Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$ છે.
અહીં $l, F,$ અને $L$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી, $r^2 Y = \text{અચળ}$, જેનો અર્થ છે કે $r^2 \propto \frac{1}{Y}$.
તેથી, $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}$.
આપેલ છે કે $Y_1 = 7 \times 10^{10} \,N/m^2$, $Y_2 = 12 \times 10^{10} \,N/m^2$, અને વ્યાસ $d_1 = 3 \,mm$ (તેથી $r_1 = 1.5 \,mm$).
$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7 \times 10^{10}}{12 \times 10^{10}}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7}{12}} \approx 1.5 \times 0.7637 \approx 1.145 \,mm$.
વ્યાસ $d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 1.145 = 2.29 \,mm$.

(B) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં, કાર પાસે પ્રવેગના બે ઘટકો હોય છે:
$1$. સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$: જે $2 \,m/s^2$ આપેલ છે.
$2$. કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $(a_c)$: જેની ગણતરી $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(30)^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,m/s^2$ મુજબ થાય છે.
આ બંને ઘટકો એકબીજાને લંબ હોવાથી, કુલ પ્રવેગ $(a_{net})$ નીચે મુજબ મળે:
$a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$
$a_{net} = \sqrt{(2)^2 + (1.8)^2}$
$a_{net} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \,m/s^2 \approx 2.7 \,m/s^2$.

(C) કોણીય ઝડપ $\omega$ ને $\omega = \frac{2\pi}{T}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
મિનિટ કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_{\min} = 60 \text{ મિનિટ}$. તેથી,$\omega_{\min} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/min}$.
કલાક કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_{hr} = 12 \text{ કલાક} = 12 \times 60 \text{ મિનિટ}$. તેથી,$\omega_{hr} = \frac{2\pi}{12 \times 60} \text{ rad/min}$.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_{\min}}{\omega_{hr}} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / (12 \times 60)} = \frac{12 \times 60}{60} = 12$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $12: 1$ છે.

(A) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ કોણીય વેગ છે અને $v$ રેખીય વેગ છે.
આના પરથી,આપણે $v = \frac{a}{\omega}$ લખી શકીએ.
કોણીય પ્રવેગની વ્યાખ્યા $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ છે.
સંબંધ $v = r\omega$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળાકાર ગતિ માટે સ્પર્શક પ્રવેગ $a_t = r\alpha$ છે.
આપેલ ચલો વચ્ચેના સંબંધને ધ્યાનમાં લેતા:
$\omega = \frac{a}{v}$ હોવાથી,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\alpha = \frac{\omega a}{v}$ એ પરિમાણની દ્રષ્ટિએ સાચો સંબંધ છે જેનો ઉપયોગ સરળ ગતિશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં થાય છે.

(B) $SHM$ કરતા કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાને,સ્થાનાંતર $y = 0$ છે.
તેથી,મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા $K_{mean} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ થાય.
સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$ છે.
$y = A / 2$ સ્થાને,સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A / 2)^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} / 4) = \frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}$ થાય.
મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા અને $y = A / 2$ સ્થાને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{K_{mean}}{U} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}}{\frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{8}{2} = 4$.
આમ,ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો મહત્તમ વેગ $(v_{\max})$ શોધવાનું સૂત્ર $v_{\max} = A \omega$ છે, જ્યાં $A$ એ કંપનવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે。
આપેલ છે: કંપનવિસ્તાર $A = 50 \,mm = 50 \times 10^{-3} \,m = 0.05 \,m$.
આવર્તકાળ $T = 2 \,s$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi \,rad/s$.
કિંમતો મૂકતા: $v_{\max} = 0.05 \times \pi \approx 0.05 \times 3.14159 = 0.157 \,ms^{-1}$.
આમ, આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $0.15 \,ms^{-1}$ છે।

(C) $SHM$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$SHM$ માં કણનો પ્રવેગ $a = \omega^2 x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે પ્રવેગનું મૂલ્ય વેગના મૂલ્ય જેટલું છે:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
$\omega x = \sqrt{A^2 - x^2}$ (સમીકરણ $i$)
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \,s$ આપેલ હોવાથી,કોણીય આવૃત્તિ:
$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{3} \,rad/s$.
$\omega$ ની કિંમત સમીકરણ $i$ માં મૂકતા:
$\sqrt{3} x = \sqrt{A^2 - x^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$3x^2 = A^2 - x^2$
$4x^2 = A^2 \Rightarrow A = 2x$.
પથ લંબાઈ $4 \,cm$ છે,તેથી કંપવિસ્તાર $A = \frac{\text{પથ લંબાઈ}}{2} = 2 \,cm$.
$A = 2 \,cm$ ને $A = 2x$ માં મૂકતા:
$2 = 2x \Rightarrow x = 1 \,cm$.

(D) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
આપેલ છે કે $T = 4 \,s$,તેથી $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,rad/s$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવાનો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{A}{2}$ હોય.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણાઓને સરખાવતા:
$\frac{\pi}{2} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \,s$.
આમ,લાગતો સમય $\frac{1}{3} \,s$ છે.

(D) $m$ દળનો કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ વેગથી ગતિ કરતો હોય ત્યારે તેના પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = \frac{m v^{2}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે.
આના પરથી,વેગને $v = \frac{L}{mr}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$v$ ની આ કિંમતને કેન્દ્રગામી બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^{2} = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} = \frac{L^{2}}{m r^{3}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પદાર્થની ચાકગતિ ઉર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{L^{2}}{2I}$ છે,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
બંને પદાર્થોના કોણીય વેગમાન સમાન હોવાથી $(L_{A} = L_{B} = L)$,ગતિઊર્જા એ જડત્વની ચાકમાત્રાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $K \propto \frac{1}{I}$.
આપેલ છે કે $I_{A} > I_{B}$,તેથી $\frac{1}{I_{A}} < \frac{1}{I_{B}}$ થાય.
આથી,$K_{A} < K_{B}$ મળે.

(A) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીની પૃષ્ઠ દળ ઘનતા છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી મૂળ તકતીનું દળ $M_1 = \sigma \pi R^2$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કાપેલા ભાગનું દળ $M_2 = \sigma \pi r^2$ છે. વલયાકાર તકતીનું દળ $M = M_1 - M_2 = \sigma \pi (R^2 - r^2)$ છે,તેથી $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$.
મૂળ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^2) R^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R^4$ છે.
કાપેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2} M_2 r^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi r^2) r^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi r^4$ છે.
વલયાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (R^4 - r^4)$ છે.
$\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ મૂકતા,આપણને મળે $I = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \right) \pi (R^4 - r^4) = \frac{1}{2} M \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{(R^2 - r^2)} = \frac{1}{2} M(R^2 + r^2)$.

(D) કેન્દ્ર અને છેડાની વચ્ચેના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{CM} + M d^2$.
અહીં,$I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને નવી અક્ષ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{L}{4}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{16}$
$12$ અને $16$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $48$ લેતા:
$I = \frac{4 M L^2 + 3 M L^2}{48} = \frac{7 M L^2}{48}$.

(A) ઘન ગોળા (મોટા ટીપા) ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ છે.
જ્યારે મોટા ટીપાને $n = 8$ નાના ટીપામાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ કદ અચળ રહે છે.
$n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
$8 r^{3} = R^{3} \Rightarrow 2r = R \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
દરેક નાના ટીપાનું દળ $m = \frac{M}{n} = \frac{M}{8}$ છે.
દરેક નાના ટીપાની જડત્વની ચાકમાત્રા $i$ નીચે મુજબ છે:
$i = \frac{2}{5} m r^{2}$
$i = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^{2}$
$i = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{2}{5} M R^{2} \right)$
$i = \frac{I}{32}$.

(B) જ્યારે ઉષ્મીય વિકિરણ $(Q)$ કોઈ પદાર્થ પર પડે છે,ત્યારે તે આંશિક રીતે પરાવર્તિત $(Q_{r})$,આંશિક રીતે શોષાય $(Q_{a})$ અને આંશિક રીતે પારગમિત $(Q_{t})$ થાય છે.
કુલ આપાત ઉર્જા $Q = Q_{a} + Q_{r} + Q_{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q$ વડે ભાગતા,આપણને સંબંધ મળે છે: $a + r + t = 1$,જ્યાં $a$ એ શોષણનો ગુણાંક છે,$r$ એ પરાવર્તનનો ગુણાંક છે,અને $t$ એ પારગમનનો ગુણાંક છે.
આપેલ છે: $Q = 150 \,J$,$Q_{r} = 15 \,J$,અને $a = 0.6$.
પરાવર્તનનો ગુણાંક $r = \frac{Q_{r}}{Q} = \frac{15}{150} = 0.1$.
સંબંધ $a + r + t = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0.6 + 0.1 + t = 1$
$0.7 + t = 1$
$t = 0.3$.
પારગમિત ઉર્જા $Q_{t} = t \times Q = 0.3 \times 150 \,J = 45 \,J$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,વિકિરણની મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઈ $\lambda_{m}$ અને પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\lambda_{m} T = b$.
અહીં,$\lambda_{m}$ મીટર $(m)$ માં માપવામાં આવે છે અને $T$ કેલ્વિન $(K)$ માં માપવામાં આવે છે.
તેથી,વીનના અચળાંક $b$ નો એકમ તરંગલંબાઈ અને તાપમાનના એકમોનો ગુણાકાર છે,જે $m K$ છે.

(C) પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓના તફાવત $|n_{1} - n_{2}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ તરંગ સમીકરણો $y_{1} = a \sin(2000 \pi t)$ અને $y_{2} = a \sin(2008 \pi t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y = a \sin(2 \pi n t)$ સાથે સરખાવતા.
પ્રથમ તરંગ માટે: $2 \pi n_{1} = 2000 \pi \implies n_{1} = 1000 \text{ Hz}$.
બીજા તરંગ માટે: $2 \pi n_{2} = 2008 \pi \implies n_{2} = 1004 \text{ Hz}$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા $|n_{2} - n_{1}| = |1004 - 1000| = 4 \text{ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ}$ છે.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપ માટે,શક્ય આવૃત્તિઓ $f_n = n \cdot f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
આપેલ મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = 100 \ Hz$ છે,તેથી પછીની આવૃત્તિઓ $f_2 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ અને $f_3 = 5 \times 100 \ Hz = 500 \ Hz$ થાય છે.
આમ,આવૃત્તિઓ $1:3:5$ ના ગુણોત્તરમાં હોવાથી,પાઇપ એક છેડે બંધ અને બીજા છેડે ખુલ્લી હોવી જોઈએ.

(A) ધારો કે એન્ડ કરેક્શન $x$ છે. એક છેડે બંધ પાઇપ માટે રેઝોનન્સની શરત $l_n + x = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ છે.
પ્રથમ રેઝોનન્સ $(n=1)$ માટે: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$.
દ્વિતીય રેઝોનન્સ $(n=2)$ માટે: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3$.
$l_2 + x = 3l_1 + 3x$.
$2x = l_2 - 3l_1$.
$x = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $x = \frac{70.2 - 3(22.7)}{2} = \frac{70.2 - 68.1}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \,cm$.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,$n^{th}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = n f_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ મોડ નંબર છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિક એ $(n-1)^{th}$ ઓવરટોનને અનુરૂપ છે.
અહીં આપણને $7^{th}$ ઓવરટોન આપેલ છે,તેથી $n-1 = 7$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.
આમ,$7^{th}$ ઓવરટોન એ $8^{th}$ હાર્મોનિક છે.
$n^{th}$ હાર્મોનિકમાં,લૂપ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
તેથી,$8^{th}$ હાર્મોનિક માટે,$8$ લૂપ્સ હોય છે.
$n$ લૂપ્સ ધરાવતી દોરી માટે,નોડ્સની સંખ્યા $n+1$ અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $n$ હોય છે.
$n = 8$ માટે,નોડ્સની સંખ્યા $8 + 1 = 9$ અને એન્ટિનોડ્સની સંખ્યા $8$ છે.

(B) હૂકના નિયમ મુજબ,સ્થિતિસ્થાપક દોરીનું વિસ્તરણ લાગુ પડેલા તણાવના પ્રમાણમાં હોય છે. ધારો કે દોરીની મૂળ લંબાઈ $l$ છે અને બળ અચળાંક $k$ છે.
તણાવ $T$ હેઠળ દોરીની લંબાઈ $L = l + \frac{T}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T_1 = 4 \ N$ માટે,$L_1 = a = l + \frac{4}{k} \implies \frac{4}{k} = a - l$ (સમીકરણ $1$).
$T_2 = 5 \ N$ માટે,$L_2 = b = l + \frac{5}{k} \implies \frac{5}{k} = b - l$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = (b - l) - (a - l) \implies \frac{1}{k} = b - a$.
સમીકરણ $1$ માં $\frac{1}{k}$ ની કિંમત મૂકતા: $a = l + 4(b - a) \implies a = l + 4b - 4a \implies l = 5a - 4b$.
હવે,$T_3 = 9 \ N$ માટે,લંબાઈ $x = l + \frac{9}{k}$ છે.
$l = 5a - 4b$ અને $\frac{1}{k} = b - a$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = (5a - 4b) + 9(b - a) = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$.

(D) ઇન્ડક્ટિવ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_{L} = \frac{V}{X_{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_{L} = \omega L = 2\pi f L$ છે. તેથી,$I_{L} = \frac{V}{2\pi f L}$. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $I_{L}$ ઘટે છે.
કેપેસિટિવ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I_{C} = \frac{V}{X_{C}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ છે. તેથી,$I_{C} = V(2\pi f C)$. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $I_{C}$ વધે છે.
તેથી,પ્રથમ સર્કિટમાં પ્રવાહ ઘટે છે અને બીજી સર્કિટમાં પ્રવાહ વધે છે.

(B) આપેલ એ.સી. વોલ્ટેજ $E = E_0 \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $E_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ અને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ છે।
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ થાય।
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ મળે।
એ.સી. એમીટર એ આર.એમ.એસ. $(RMS)$ પ્રવાહ માપે છે, $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
તેથી, $I_{\text{rms}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(C) આપેલ સમીકરણો $e = E_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ મૂલ્યો સાથે સરખાવતા,$E_0 = 200 \text{ V}$,$I_0 = 1 \text{ A}$,અને કળા તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
રૂટ મીન સ્ક્વેર (rms) મૂલ્યો $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \text{ V}$ અને $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ છે.
વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \left(\frac{200}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P = \left(\frac{200}{2}\right) \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \text{ W}$.

(A) બોહરની ક્વોન્ટાઈઝેશન શરત મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $2\pi r = n \left( \frac{h}{mv} \right)$ મળે છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા $2\pi r = n\lambda$ મળે છે.
પ્રથમ કક્ષા માટે,$n = 1$ લેતા.
તેથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = 2\pi r$ થશે.

(C) પરિભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = qf$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ છે અને $f$ એ આવૃત્તિ $(6.6 \times 10^{15} \text{ rev } s^{-1})$ છે.
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 1.056 \times 10^{-3} \text{ A} \approx 1.06 \times 10^{-3} \text{ A}$.
કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે,જ્યાં $R = 0.528 \text{ Å} = 0.528 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$A = 3.142 \times (0.528 \times 10^{-10} \text{ m})^2 = 3.142 \times 0.2788 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \approx 0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M = (1.06 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2) \approx 0.928 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$.
આશરે કિંમત લેતા,$M \approx 1 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$ મળે છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = a_0 n^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a_0$ એ બોહર ત્રિજ્યા $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ છે અને $n$ એ મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક છે.
$r \propto n^2$ હોવાથી,આપણી પાસે ગુણોત્તર છે:
$\frac{r_f}{r_i} = \left(\frac{n_f}{n_i}\right)^2$
અહીં $r_i = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ ($n_i = 1$ માટે) અને $r_f = 21.2 \times 10^{-11} \ m$ આપેલ છે:
$\frac{21.2 \times 10^{-11}}{5.3 \times 10^{-11}} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = 2$
તેથી,અંતિમ અવસ્થાનો મુખ્ય ક્વોન્ટમ આંક $n=2$ છે.

(D) જ્યારે બેટરી દૂર કર્યા પછી ચાર્જ થયેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વીજભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વીજભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
અન્ય ભૌતિક રાશિઓમાં થતા ફેરફારો નીચે મુજબ છે:
$1$. કેપેસિટન્સ: $C' = KC$ (વધે છે).
$2$. વીજભાર: $Q' = Q$ (અચળ રહે છે).
$3$. સ્થિતિમાનનો તફાવત: $V' = V/K$ (ઘટે છે).
$4$. વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા: $E' = E/K$ (ઘટે છે).
$5$. સંગ્રહિત ઉર્જા: $U' = U/K$ (ઘટે છે).
તેથી,વીજભાર $Q$ એ એવી રાશિ છે જે અચળ રહે છે.

(B) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ કેપેસિટરનું અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_p = C + C + C = 3C$ થાય છે.
આ સંયોજનને $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં બે કેપેસિટર માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = \frac{C_p \times C}{C_p + C}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$3.75 = \frac{3C \times C}{3C + C}$
$3.75 = \frac{3C^2}{4C}$
$3.75 = \frac{3}{4}C$
$C = \frac{3.75 \times 4}{3}$
$C = 1.25 \times 4 = 5 \mu F$
તેથી, દરેક કેપેસિટરની ક્ષમતા $5 \mu F$ છે.

(B) આયનોસ્ફિયર $3 \ MHz$ થી $30 \ MHz$ ની આવૃત્તિ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે પરાવર્તક માધ્યમ તરીકે કાર્ય કરે છે. આ તરંગોને સ્કાય વેવ (sky wave) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જ્યારે આ તરંગોને આકાશ તરફ પ્રસારિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ આયનોસ્ફિયરના સ્તરો દ્વારા પૃથ્વી પર પાછા પરાવર્તિત થાય છે,જે લાંબા અંતરના સંચારને શક્ય બનાવે છે.

(C) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{resistor} + R_{potentiometer} = 990 \, \Omega + 10 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ છે।
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.002 \, A$ છે।
પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{wire} = I \times R_{potentiometer} = 0.002 \, A \times 10 \, \Omega = 0.02 \, V$ છે।
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $x$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ પોટેન્શિયલ ડ્રોપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{2 \, m} = 0.01 \, V m^{-1}$।

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,$K_{\max} = h\nu - \Phi$,જ્યાં $h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
$K_{\max}$ માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને ધાતુની સપાટીના પ્રકાર પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે,જે ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે,પરંતુ તેમની વ્યક્તિગત મહત્તમ ગતિઊર્જાને અસર કરતી નથી.
તેથી,જો પ્રકાશની તીવ્રતા બમણી કરવામાં આવે,તો ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(B) અનંત લંબાઈના વિદ્યુતભારિત નળાકારની અક્ષથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
આ સૂત્રને આ રીતે પણ લખી શકાય:
$E = \frac{2k\lambda}{r}$,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N m^{2} C^{-2}$.
આપેલ છે:
$\lambda = 4 \mu C m^{-1} = 4 \times 10^{-6} \ C m^{-1}$
$r = 3.6 \ cm = 3.6 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^{9}) \times (4 \times 10^{-6})}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{72 \times 10^{3}}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = 20 \times 10^{5} \ NC^{-1} = 2 \times 10^{6} \ NC^{-1}$

(D) ન્યુક્લિયસ અને ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $=$ કેન્દ્રગામી બળ
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$
વેગ $v$ માટે સૂત્ર:
$v = \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{m r}}$
આપેલ કિંમતો: $Z = 1$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, $r = 0.1 \times 10^{-9} \,m$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \,N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^{9} \times 1 \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.1 \times 10^{-9}}}$
$v = \sqrt{\frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-41}}} \approx 1.59 \times 10^{6} \,ms^{-1}$.

(C) લાંબા સોલેનોઈડના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \mu_{0} n_{total} I$ છે,જ્યાં $n_{total}$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
અહીં $n$ સ્તરો છે અને દરેક સ્તરમાં $L$ લંબાઈ પર $N$ આંટા છે,તેથી એકમ લંબાઈ દીઠ કુલ આંટાની સંખ્યા $n_{total} = \frac{n \times N}{L}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $B = \mu_{0} \left( \frac{n N}{L} \right) I$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ના આ સમીકરણમાં વ્યાસ $D$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી કેન્દ્ર પરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર વ્યાસ $D$ થી સ્વતંત્ર છે.

(B) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. $r$ ત્રિજ્યાવાળા એક આંટાના લૂપ માટે,પરિઘ $2 \pi r = L$ થાય,તેથી $r = \frac{L}{2 \pi}$.
એક આંટાવાળા લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_{0} I \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $r'$ એ $n (2 \pi r') = L$ નું પાલન કરે છે,તેથી $r' = \frac{L}{2 \pi n} = \frac{r}{n}$ થાય.
$n$ આંટાવાળા લૂપના કેન્દ્રમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{n} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 r'} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 (r / n)} = n^{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ છે.
કારણ કે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,તેથી $B_{n} = n^{2} B$ મળે છે.

(A) ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થમાં,પરમાણુઓ નાના પ્રદેશોમાં જૂથબદ્ધ હોય છે જેને ડોમેન્સ કહેવામાં આવે છે,જે દરેક એક નાના ચુંબક તરીકે કાર્ય કરે છે.
જ્યારે બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ ડોમેન્સ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશામાં ગોઠવાય છે.
આ ગોઠવણીને પરિણામે લાગુ કરેલા ક્ષેત્રની દિશામાં મજબૂત ચોખ્ખું ચુંબકીયકરણ (net magnetization) પ્રાપ્ત થાય છે.

(A) સ્નેલના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ વક્રીભવનકોણ $r$ કરતા બમણો છે,તેથી $i = 2r$.
આ કિંમત સ્નેલના નિયમમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\sin(2r)}{\sin r}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(2r) = 2 \sin r \cos r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\mu = \frac{2 \sin r \cos r}{\sin r}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\mu = 2 \cos r$,જેનો અર્થ છે કે $\cos r = \frac{\mu}{2}$.
તેથી,$r = \cos^{-1} \left( \frac{\mu}{2} \right)$.
કારણ કે $i = 2r$,તેથી $i = 2 \cos^{-1} \left( \frac{\mu}{2} \right)$.

(A) વાહકોમાં, વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે, અથવા તેમની વચ્ચેનો એનર્જી ગેપ વ્યવહારિક રીતે શૂન્ય હોય છે.
આ ઓવરલેપને કારણે ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં મુક્તપણે ગતિ કરી શકે છે, જેના કારણે વાહકો ઉચ્ચ વિદ્યુત વાહકતા દર્શાવે છે.

(B) $LED$ (લાઇટ એમિટિંગ ડાયોડ) એ એક ભારે ડોપ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે જે ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય ત્યારે સ્વયંભૂ વિકિરણ ઉત્સર્જિત કરે છે. $LED$ માટે વપરાતી સેમિકન્ડક્ટર સામગ્રીમાં બેન્ડ ગેપ ઉર્જા દ્રશ્ય વર્ણપટને અનુરૂપ હોવી જોઈએ. ગેલિયમ આર્સેનાઇડ ફોસ્ફાઇડ $(GaAsP)$ અથવા ગેલિયમ ફોસ્ફાઇડ $(GaP)$ સામાન્ય રીતે વપરાતી સામગ્રી છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ગેલિયમ આર્સેનાઇડ $(GaAs)$ એ $LED$ ટેકનોલોજીમાં પ્રકાશ ઉત્પન્ન કરવા માટે વપરાતું પ્રમાણભૂત સેમિકન્ડક્ટર છે.

(A) થર્મોકપલમાં,થર્મો-emf $(E)$ એ ગરમ જંકશન $(T_h)$ અને ઠંડા જંકશન $(T_c)$ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત સાથે બદલાય છે.
$1$. જ્યારે $T_h = T_c$ હોય ત્યારે થર્મો-emf શૂન્ય હોય છે (જ્યારે બંને જંકશન સમાન તાપમાને હોય).
$2$. થર્મો-emf ત્યારે પણ શૂન્ય હોય છે જ્યારે $T_h = T_i$ હોય,જ્યાં $T_i$ એ ઇન્વર્ઝન તાપમાન છે.
$3$. પ્રશ્નમાં તે તાપમાન વિશે પૂછવામાં આવ્યું છે જ્યાં થર્મો-emf શૂન્ય હોય છે,અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન એ ચોક્કસ તાપમાન છે (ઠંડા જંકશનના તાપમાન સિવાય) જ્યાં emf શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી સાચો જવાબ ઇન્વર્ઝન તાપમાન છે.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન ભાતમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમ સૌથી વધુ તીવ્ર અને પહોળું હોય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $\beta_0 = \frac{2\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
ગૌણ અધિકતમની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મધ્યસ્થ શલાકાની પહોળાઈ અન્ય શલાકાઓ કરતા બમણી હોય છે.
આથી,વિકલ્પ $A$,$B$ કે $C$ માંથી કોઈ પણ આ ગુણધર્મનું સાચું વર્ણન કરતા નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ધ્રુવીભવન કોણ $(i_p)$ પર આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત અને વક્રીભૂત કિરણો એકબીજાને લંબ હોય છે. તેથી,$i_p + r = 90^{\circ}$,જ્યાં $r$ એ વક્રીભવન કોણ છે.
વક્રીભવનની ભૂમિતિ પરથી,વિચલન કોણ $(\delta)$ $\delta = |i_p - r|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\delta = 24^{\circ}$,તેથી $i_p - r = 24^{\circ}$ (કારણ કે કાચ-હવાના માધ્યમ માટે $i_p > r$ હોય છે).
આપણી પાસે બે સમીકરણો છે:
$1$) $i_p + r = 90^{\circ}$
$2$) $i_p - r = 24^{\circ}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2i_p = 114^{\circ}$
$i_p = 57^{\circ}$
તેથી,આપાતકોણ $57^{\circ}$ છે.

(A) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 0.4 \,mm$ આપેલ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n_1$-મી પ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $x_{n_1} = n_1 \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાંચમી પ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે $(n_1 = 5)$:
$x_5 = 5 \beta = 5 \times 0.4 \,mm = 2.0 \,mm$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી $n_2$-મી અપ્રકાશિત ફ્રિન્જનું સ્થાન $x_{n_2} = (n_2 - 0.5) \beta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રીજી અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ માટે $(n_2 = 3)$:
$x_3 = (3 - 0.5) \beta = 2.5 \beta = 2.5 \times 0.4 \,mm = 1.0 \,mm$.
એક જ બાજુએ પાંચમી પ્રકાશિત અને ત્રીજી અપ્રકાશિત ફ્રિન્જ વચ્ચેનું અંતર:
$\Delta x = x_5 - x_3 = 2.0 \,mm - 1.0 \,mm = 1.0 \,mm$.

(D) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{th}$ પ્રકાશિત શલાકા માટેની શરત $y = n \frac{\lambda D}{d}$ છે।
અહીં સ્થાન $y$ બંને કિસ્સામાં સમાન હોવાથી, $n_{1} \lambda_{1} = n_{2} \lambda_{2}$ થાય।
આપેલ છે: $n_{1} = 3$, $\lambda_{1} = 700 \, nm$, અને $n_{2} = 5$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 700 = 5 \times \lambda_{2}$.
$\lambda_{2} = \frac{3 \times 700}{5} = 3 \times 140 = 420 \, nm$.