MHT CET 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) एक स्थिर तरंग में,कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के बीच दोलन करती है।
जब डोरी की गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है,तो स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है।
स्थितिज ऊर्जा डोरी के विरूपण (विस्थापन) से जुड़ी होती है।
चूंकि स्थितिज ऊर्जा शून्य है,इसलिए उस क्षण डोरी पर प्रत्येक कण का विस्थापन शून्य होना चाहिए।
अतः,सभी कण एक साथ अपनी माध्य स्थितियों से गुजर रहे होते हैं।
इसके परिणामस्वरूप,डोरी संतुलन अक्ष पर एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।

(C) ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$R$ ग्रह की त्रिज्या है और $M$ इसका द्रव्यमान है।
ग्रह के द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ के पदों में $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
$M$ के इस मान को आवर्तकाल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3 \cdot 3}{4 \pi G R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$

(D) उपग्रह का कक्षीय वेग $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $KE \propto v^2 \propto \frac{1}{r}$ होता है।
केप्लर के ग्रहों की गति के तीसरे नियम के अनुसार,परिक्रमण काल का वर्ग कक्षीय त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है: $T^2 \propto r^3$,जिसका अर्थ है कि $r \propto T^{2/3}$।
इसे गतिज ऊर्जा के समानुपाती संबंध में रखने पर: $KE \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{T^{2/3}} = T^{-2/3}$।

(A) गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दी गई गैस के लिए $R$ और $M$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto v_{rms}^2$ है।
यहाँ अंतिम वेग $v_2$,प्रारंभिक वेग $v_1$ का आधा है,अर्थात $v_2 = \frac{v_1}{2}$।
इसलिए,$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600 \ K$ है।
अतः,$T_2 = \frac{T_1}{4} = \frac{600 \ K}{4} = 150 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 150 - 273 = -123^{\circ} C$।

(A) गैस के अणुओं की $rms$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
मान लीजिए $NTP$ $(T_1 = 273 \ K)$ पर $rms$ गति $v_1$ है और तापमान $T_2$ पर $rms$ गति $v_2$ है।
दिया गया है कि $v_2 = 2v_1$,इसलिए:
$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4 = \frac{T_2}{273}$
$T_2 = 4 \times 273 = 1092 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2(^{\circ}C) = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$।

(B) जब $R$ त्रिज्या की एक बूंद $n$ छोटी बूंदों (प्रत्येक की त्रिज्या $r$) में विभाजित होती है,तो द्रव का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है। इसलिए,पृष्ठ तनाव के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। चूंकि द्रव का आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) \implies R^{3} = n r^{3} \implies r = R n^{-1/3}$.
ऊर्जा में परिवर्तन (किया गया कार्य) $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
$W = T [n(4 \pi r^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$r = R n^{-1/3}$ रखने पर:
$W = T [n(4 \pi (R n^{-1/3})^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = T [4 \pi R^{2} n (n^{-2/3}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = 4 \pi R^{2} T [n^{1/3} - 1]$.

(D) यंग मापांक $(Y)$,दृढ़ता मापांक $(\eta)$ और प्वासों अनुपात $(\sigma)$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $Y = 2\eta(1 + \sigma)$.
यह दिया गया है कि $Y = 2.4\eta$,इसलिए इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2.4\eta = 2\eta(1 + \sigma)$.
दोनों पक्षों को $2\eta$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1.2 = 1 + \sigma$.
$\sigma$ के लिए हल करने पर:
$\sigma = 1.2 - 1 = 0.2$.
अतः,प्वासों अनुपात $0.2$ है।

(B) विस्तार $l$ का सूत्र $l = \frac{F L}{A Y} = \frac{F L}{\pi r^2 Y}$ है।
चूंकि $l, F,$ और $L$ दोनों तारों के लिए स्थिर हैं, इसलिए $r^2 Y = \text{स्थिरांक}$, जिसका अर्थ है $r^2 \propto \frac{1}{Y}$।
अतः, $\frac{r_2}{r_1} = \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}$।
दिया गया है $Y_1 = 7 \times 10^{10} \,N/m^2$, $Y_2 = 12 \times 10^{10} \,N/m^2$, और व्यास $d_1 = 3 \,mm$ (इसलिए $r_1 = 1.5 \,mm$)।
$r_2 = r_1 \sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7 \times 10^{10}}{12 \times 10^{10}}} = 1.5 \times \sqrt{\frac{7}{12}} \approx 1.5 \times 0.7637 \approx 1.145 \,mm$.
व्यास $d_2 = 2 \times r_2 = 2 \times 1.145 = 2.29 \,mm$.

(B) अनियमित वृत्तीय गति में, कार के पास त्वरण के दो घटक होते हैं:
$1$. स्पर्शरेखीय त्वरण $(a_t)$: जो $2 \,m/s^2$ दिया गया है।
$2$. अभिकेंद्र (त्रिज्यीय) त्वरण $(a_c)$: जिसकी गणना $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{(30)^2}{500} = \frac{900}{500} = 1.8 \,m/s^2$ के रूप में की जाती है।
चूंकि ये दोनों घटक एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए कुल त्वरण $(a_{net})$ इस प्रकार होगा:
$a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_c^2}$
$a_{net} = \sqrt{(2)^2 + (1.8)^2}$
$a_{net} = \sqrt{4 + 3.24} = \sqrt{7.24} \approx 2.69 \,m/s^2 \approx 2.7 \,m/s^2$.

(C) कोणीय चाल $\omega$ को $\omega = \frac{2\pi}{T}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
मिनट की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_{\min} = 60 \text{ मिनट}$ है। अतः,$\omega_{\min} = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/min}$.
घंटे की सुई के लिए,आवर्तकाल $T_{hr} = 12 \text{ घंटे} = 12 \times 60 \text{ मिनट}$ है। अतः,$\omega_{hr} = \frac{2\pi}{12 \times 60} \text{ rad/min}$.
कोणीय चाल का अनुपात $\frac{\omega_{\min}}{\omega_{hr}} = \frac{2\pi / 60}{2\pi / (12 \times 60)} = \frac{12 \times 60}{60} = 12$ है।
अतः,अनुपात $12: 1$ है।

(A) अभिकेंद्र त्वरण $a = \omega v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega$ कोणीय वेग है और $v$ रैखिक वेग है।
इससे,हम $v = \frac{a}{\omega}$ लिख सकते हैं।
कोणीय त्वरण को $\alpha = \frac{d\omega}{dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
संबंध $v = r\omega$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि वृत्तीय गति के लिए स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = r\alpha$ होता है।
दिए गए चरों के बीच संबंध को देखते हुए:
चूंकि $\omega = \frac{a}{v}$ है,समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\alpha = \frac{\omega a}{v}$ वह विमीय रूप से सही संबंध है जिसका उपयोग सरल गतिकी समस्याओं में किया जाता है।

(B) $SHM$ कर रहे कण की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} - y^{2})$ द्वारा दी जाती है।
माध्य स्थिति पर,विस्थापन $y = 0$ होता है।
अतः,माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा $K_{mean} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} y^{2}$ है।
$y = A / 2$ पर,स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A / 2)^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} (A^{2} / 4) = \frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}$ है।
माध्य स्थिति पर गतिज ऊर्जा और $y = A / 2$ पर स्थितिज ऊर्जा का अनुपात लेने पर:
$\frac{K_{mean}}{U} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}}{\frac{1}{8} m \omega^{2} A^{2}} = \frac{1/2}{1/8} = \frac{8}{2} = 4$.
इस प्रकार,अनुपात $4: 1$ है।

(B) सरल आवर्त गति करने वाले कण का अधिकतम वेग $(v_{\max})$ सूत्र $v_{\max} = A \omega$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दिया गया है: आयाम $A = 50 \,mm = 50 \times 10^{-3} \,m = 0.05 \,m$.
आवर्तकाल $T = 2 \,s$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{2} = \pi \,rad/s$.
मान रखने पर: $v_{\max} = 0.05 \times \pi \approx 0.05 \times 3.14159 = 0.157 \,ms^{-1}$.
अतः, दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $0.15 \,ms^{-1}$ है।

(C) $SHM$ में कण का वेग $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$SHM$ में कण का त्वरण $a = \omega^2 x$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि त्वरण का परिमाण वेग के परिमाण के बराबर है:
$\omega^2 x = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$
$\omega x = \sqrt{A^2 - x^2}$ (समीकरण $i$)
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\sqrt{3}} \,s$ दिया गया है,इसलिए कोणीय आवृत्ति:
$\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{3} \,rad/s$.
$\omega$ का मान समीकरण $i$ में रखने पर:
$\sqrt{3} x = \sqrt{A^2 - x^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3x^2 = A^2 - x^2$
$4x^2 = A^2 \Rightarrow A = 2x$.
पथ की लंबाई $4 \,cm$ है,इसलिए आयाम $A = \frac{\text{पथ की लंबाई}}{2} = 2 \,cm$.
$A = 2 \,cm$ को $A = 2x$ में रखने पर:
$2 = 2x \Rightarrow x = 1 \,cm$.

(D) माध्य स्थिति से शुरू होने वाली सरल आवर्त गति के लिए विस्थापन का समीकरण $y = A \sin(\omega t)$ है,जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
दिया गया है $T = 4 \,s$,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \,rad/s$.
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब विस्थापन $y = \frac{A}{2}$ हो।
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} t\right)$
चूँकि $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,कोणों की तुलना करने पर:
$\frac{\pi}{2} t = \frac{\pi}{6}$
$t = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \,s$.
अतः,लिया गया समय $\frac{1}{3} \,s$ है।

(D) $r$ त्रिज्या के वृत्ताकार पथ में $v$ वेग से गति कर रहे $m$ द्रव्यमान के कण पर कार्य करने वाला अभिकेंद्र बल $F = \frac{m v^{2}}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि कण का कोणीय संवेग $L = mvr$ होता है।
इससे,हम वेग को $v = \frac{L}{mr}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$v$ के इस मान को अभिकेंद्र बल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{m}{r} \left( \frac{L}{mr} \right)^{2} = \frac{m}{r} \cdot \frac{L^{2}}{m^{2} r^{2}} = \frac{L^{2}}{m r^{3}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) किसी वस्तु की घूर्णन गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = \frac{L^{2}}{2I}$ होता है,जहाँ $L$ कोणीय संवेग है और $I$ जड़त्व आघूर्ण है।
चूंकि दोनों वस्तुओं के कोणीय संवेग समान हैं $(L_{A} = L_{B} = L)$,इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $K \propto \frac{1}{I}$।
यह दिया गया है कि $I_{A} > I_{B}$,इसलिए $\frac{1}{I_{A}} < \frac{1}{I_{B}}$ होगा।
अतः,$K_{A} < K_{B}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $\sigma$ डिस्क का पृष्ठीय द्रव्यमान घनत्व है। $R$ त्रिज्या वाली मूल डिस्क का द्रव्यमान $M_1 = \sigma \pi R^2$ है। $r$ त्रिज्या वाले कटे हुए भाग का द्रव्यमान $M_2 = \sigma \pi r^2$ है। वलयाकार डिस्क का द्रव्यमान $M = M_1 - M_2 = \sigma \pi (R^2 - r^2)$ है,इसलिए $\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ है।
मूल डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_1 = \frac{1}{2} M_1 R^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi R^2) R^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi R^4$ है।
कटे हुए भाग का जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{1}{2} M_2 r^2 = \frac{1}{2} (\sigma \pi r^2) r^2 = \frac{1}{2} \sigma \pi r^4$ है।
वलयाकार डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 - I_2 = \frac{1}{2} \sigma \pi (R^4 - r^4)$ है।
$\sigma = \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2} \left( \frac{M}{\pi(R^2 - r^2)} \right) \pi (R^4 - r^4) = \frac{1}{2} M \frac{(R^2 - r^2)(R^2 + r^2)}{(R^2 - r^2)} = \frac{1}{2} M(R^2 + r^2)$।

(D) केंद्र और सिरे के बीच के मध्य बिंदु से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करने के लिए,हम समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हैं: $I = I_{CM} + M d^2$।
यहाँ,$I_{CM} = \frac{M L^2}{12}$ द्रव्यमान केंद्र के परितः जड़त्व आघूर्ण है।
द्रव्यमान केंद्र और नई अक्ष के बीच की दूरी $d = \frac{L}{4}$ है।
इन मानों को प्रमेय में रखने पर:
$I = \frac{M L^2}{12} + M \left( \frac{L}{4} \right)^2$
$I = \frac{M L^2}{12} + \frac{M L^2}{16}$
$12$ और $16$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $48$ लेने पर:
$I = \frac{4 M L^2 + 3 M L^2}{48} = \frac{7 M L^2}{48}$।

(A) ठोस गोले (बड़ी बूंद) का जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ होता है।
जब बड़ी बूंद को $n = 8$ छोटी बूंदों में विभाजित किया जाता है,तो कुल आयतन स्थिर रहता है।
$n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) = \frac{4}{3} \pi R^{3}$
$8 r^{3} = R^{3} \Rightarrow 2r = R \Rightarrow r = \frac{R}{2}$.
प्रत्येक छोटी बूंद का द्रव्यमान $m = \frac{M}{n} = \frac{M}{8}$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद का जड़त्व आघूर्ण $i$ इस प्रकार है:
$i = \frac{2}{5} m r^{2}$
$i = \frac{2}{5} \left( \frac{M}{8} \right) \left( \frac{R}{2} \right)^{2}$
$i = \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} \times \left( \frac{2}{5} M R^{2} \right)$
$i = \frac{I}{32}$.

(B) जब ऊष्मीय विकिरण $(Q)$ किसी वस्तु पर गिरता है,तो वह आंशिक रूप से परावर्तित $(Q_{r})$,आंशिक रूप से अवशोषित $(Q_{a})$ और आंशिक रूप से संचरित $(Q_{t})$ होता है।
कुल आपतित ऊर्जा $Q = Q_{a} + Q_{r} + Q_{t}$ द्वारा दी जाती है।
$Q$ से विभाजित करने पर,हमें संबंध मिलता है: $a + r + t = 1$,जहाँ $a$ अवशोषण गुणांक है,$r$ परावर्तन गुणांक है,और $t$ संचरण गुणांक है।
दिया गया है: $Q = 150 \,J$,$Q_{r} = 15 \,J$,और $a = 0.6$.
परावर्तन गुणांक $r = \frac{Q_{r}}{Q} = \frac{15}{150} = 0.1$.
संबंध $a + r + t = 1$ का उपयोग करते हुए:
$0.6 + 0.1 + t = 1$
$0.7 + t = 1$
$t = 0.3$.
संचरित ऊर्जा $Q_{t} = t \times Q = 0.3 \times 150 \,J = 45 \,J$.

(D) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,विकिरण की अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $\lambda_{m}$ और वस्तु के परम ताप $T$ का गुणनफल एक नियतांक होता है।
गणितीय रूप से,$\lambda_{m} T = b$ है।
यहाँ,$\lambda_{m}$ को मीटर $(m)$ में मापा जाता है और $T$ को केल्विन $(K)$ में मापा जाता है।
इसलिए,वीन के नियतांक $b$ का मात्रक तरंगदैर्ध्य और तापमान के मात्रकों का गुणनफल है,जो कि $m K$ है।

(C) प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या आवृत्तियों के अंतर $|n_{1} - n_{2}|$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए तरंग समीकरणों $y_{1} = a \sin(2000 \pi t)$ और $y_{2} = a \sin(2008 \pi t)$ की तुलना मानक रूप $y = a \sin(2 \pi n t)$ से करने पर:
पहली तरंग के लिए: $2 \pi n_{1} = 2000 \pi \implies n_{1} = 1000 \text{ Hz}$.
दूसरी तरंग के लिए: $2 \pi n_{2} = 2008 \pi \implies n_{2} = 1004 \text{ Hz}$.
प्रति सेकंड सुनाई देने वाले विस्पंदों की संख्या $|n_{2} - n_{1}| = |1004 - 1000| = 4 \text{ विस्पंद प्रति सेकंड}$ है।

(C) एक सिरे पर बंद पाइप के लिए,अनुमत आवृत्तियाँ $f_n = n \cdot f_1$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है $(n = 1, 3, 5, \dots)$।
दी गई मूल आवृत्ति $f_1 = 100 \ Hz$ है,इसलिए अगली आवृत्तियाँ $f_2 = 3 \times 100 \ Hz = 300 \ Hz$ और $f_3 = 5 \times 100 \ Hz = 500 \ Hz$ हैं।
चूँकि आवृत्तियाँ $1:3:5$ के अनुपात में हैं,इसलिए पाइप एक सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुली होनी चाहिए।

(A) माना कि अंत सुधार $x$ है। एक सिरे पर बंद नली के लिए अनुनाद की स्थिति $l_n + x = (2n-1) \frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम अनुनाद $(n=1)$ के लिए: $l_1 + x = \frac{\lambda}{4}$.
द्वितीय अनुनाद $(n=2)$ के लिए: $l_2 + x = \frac{3\lambda}{4}$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{l_2 + x}{l_1 + x} = 3$.
$l_2 + x = 3l_1 + 3x$.
$2x = l_2 - 3l_1$.
$x = \frac{l_2 - 3l_1}{2}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $x = \frac{70.2 - 3(22.7)}{2} = \frac{70.2 - 68.1}{2} = \frac{2.1}{2} = 1.05 \,cm$.

(A) दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए,$n^{th}$ हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = n f_1$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ मोड संख्या है।
$n^{th}$ हार्मोनिक $(n-1)^{th}$ ओवरटोन के अनुरूप होता है।
यहाँ हमें $7^{th}$ ओवरटोन दिया गया है,इसलिए $n-1 = 7$,जिसका अर्थ है कि $n = 8$ है।
अतः,$7^{th}$ ओवरटोन $8^{th}$ हार्मोनिक है।
$n^{th}$ हार्मोनिक में,लूप्स की संख्या $n$ होती है।
इसलिए,$8^{th}$ हार्मोनिक के लिए,$8$ लूप्स होते हैं।
$n$ लूप्स वाली डोरी के लिए,नोड्स की संख्या $n+1$ और एंटीनोड्स की संख्या $n$ होती है।
$n = 8$ के लिए,नोड्स की संख्या $8 + 1 = 9$ और एंटीनोड्स की संख्या $8$ है।

(B) हुक के नियम के अनुसार,एक प्रत्यास्थ डोरी का विस्तार लगाए गए तनाव के समानुपाती होता है। मान लीजिए डोरी की प्राकृतिक लंबाई $l$ है और बल नियतांक $k$ है।
तनाव $T$ के तहत डोरी की लंबाई $L = l + \frac{T}{k}$ द्वारा दी जाती है।
$T_1 = 4 \ N$ के लिए,$L_1 = a = l + \frac{4}{k} \implies \frac{4}{k} = a - l$ (समीकरण $1$)।
$T_2 = 5 \ N$ के लिए,$L_2 = b = l + \frac{5}{k} \implies \frac{5}{k} = b - l$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ को घटाने पर: $\frac{5}{k} - \frac{4}{k} = (b - l) - (a - l) \implies \frac{1}{k} = b - a$।
समीकरण $1$ में $\frac{1}{k}$ का मान रखने पर: $a = l + 4(b - a) \implies a = l + 4b - 4a \implies l = 5a - 4b$।
अब,$T_3 = 9 \ N$ के लिए,लंबाई $x = l + \frac{9}{k}$ है।
$l = 5a - 4b$ और $\frac{1}{k} = b - a$ का मान रखने पर:
$x = (5a - 4b) + 9(b - a) = 5a - 4b + 9b - 9a = 5b - 4a$।

(D) प्रेरक परिपथ में धारा $I_{L} = \frac{V}{X_{L}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_{L} = \omega L = 2\pi f L$ है। अतः,$I_{L} = \frac{V}{2\pi f L}$। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$I_{L}$ घटता है।
संधारित्र परिपथ में धारा $I_{C} = \frac{V}{X_{C}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$ है। अतः,$I_{C} = V(2\pi f C)$। जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$I_{C}$ बढ़ता है।
इसलिए,पहले परिपथ में धारा घटती है और दूसरे परिपथ में धारा बढ़ती है।

(B) दिया गया प्रत्यावर्ती वोल्टेज $E = E_0 \sin(\omega t)$ है, जहाँ $E_0 = 200 \sqrt{2} \text{ V}$ और $\omega = 100 \text{ rad/s}$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6}} = 10^4 \Omega$ है।
शिखर धारा $I_0 = \frac{E_0}{X_C} = \frac{200 \sqrt{2}}{10^4} = 2 \sqrt{2} \times 10^{-2} \text{ A}$ है।
ए.सी. एमीटर आर.एम.एस. $(RMS)$ धारा को मापता है, $I_{\text{rms}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
अतः, $I_{\text{rms}} = \frac{2 \sqrt{2} \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} = 2 \times 10^{-2} \text{ A} = 20 \text{ mA}$।

(C) दिए गए समीकरण $e = E_0 \sin(\omega t)$ और $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ हैं।
दिए गए मानों से तुलना करने पर,$E_0 = 200 \text{ V}$,$I_0 = 1 \text{ A}$,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{3}$ है।
रूट मीन स्क्वायर (rms) मान $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200}{\sqrt{2}} \text{ V}$ और $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ हैं।
खपत औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $P = \left(\frac{200}{\sqrt{2}}\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$P = \left(\frac{200}{2}\right) \times \frac{1}{2} = 100 \times 0.5 = 50 \text{ W}$.

(A) बोहर की क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = n \left( \frac{h}{mv} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य को $\lambda = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके $2\pi r = n\lambda$ प्राप्त कर सकते हैं।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$ है।
अतः,तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2\pi r$ होगी।

(C) परिक्रमा करते हुए इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न धारा $I = qf$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश $(1.6 \times 10^{-19} \text{ C})$ है और $f$ आवृत्ति $(6.6 \times 10^{15} \text{ rev } s^{-1})$ है।
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 1.056 \times 10^{-3} \text{ A} \approx 1.06 \times 10^{-3} \text{ A}$.
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$ है,जहाँ $R = 0.528 \text{ Å} = 0.528 \times 10^{-10} \text{ m}$.
$A = 3.142 \times (0.528 \times 10^{-10} \text{ m})^2 = 3.142 \times 0.2788 \times 10^{-20} \text{ m}^2 \approx 0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2$.
चुंबकीय आघूर्ण $M = I \times A$ द्वारा दिया जाता है।
$M = (1.06 \times 10^{-3} \text{ A}) \times (0.876 \times 10^{-20} \text{ m}^2) \approx 0.928 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$.
निकटतम मान लेने पर,$M \approx 1 \times 10^{-23} \text{ A-m}^2$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(5.3 \times 10^{-11} \ m)$ है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
चूँकि $r \propto n^2$,हमारे पास अनुपात है:
$\frac{r_f}{r_i} = \left(\frac{n_f}{n_i}\right)^2$
यहाँ $r_i = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ ($n_i = 1$ के लिए) और $r_f = 21.2 \times 10^{-11} \ m$ दिया गया है:
$\frac{21.2 \times 10^{-11}}{5.3 \times 10^{-11}} = \left(\frac{n}{1}\right)^2$
$4 = n^2$
$n = 2$
अतः,अंतिम अवस्था की मुख्य क्वांटम संख्या $n=2$ है।

(D) जब बैटरी को हटाने के बाद एक आवेशित समांतर प्लेट संधारित्र में $K$ नियतांक वाला परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
अन्य भौतिक राशियों में परिवर्तन इस प्रकार हैं:
$1$. धारिता: $C' = KC$ (बढ़ती है)।
$2$. आवेश: $Q' = Q$ (स्थिर रहता है)।
$3$. विभवांतर: $V' = V/K$ (घटता है)।
$4$. विद्युत क्षेत्र की तीव्रता: $E' = E/K$ (घटती है)।
$5$. संचित ऊर्जा: $U' = U/K$ (घटती है)।
अतः,आवेश $Q$ वह राशि है जो स्थिर रहती है।

(B) समानांतर क्रम में जुड़े तीन संधारित्रों की प्रभावी धारिता $C_p = C + C + C = 3C$ होती है।
इस संयोजन को $C$ धारिता वाले संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में जोड़ा गया है।
श्रेणी क्रम में दो संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C_{eq} = \frac{C_p \times C}{C_p + C}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$3.75 = \frac{3C \times C}{3C + C}$
$3.75 = \frac{3C^2}{4C}$
$3.75 = \frac{3}{4}C$
$C = \frac{3.75 \times 4}{3}$
$C = 1.25 \times 4 = 5 \mu F$
अतः, प्रत्येक संधारित्र की धारिता $5 \mu F$ है।

(B) आयनोस्फीयर $3 \ MHz$ से $30 \ MHz$ की आवृत्ति सीमा वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगों के लिए एक परावर्तक माध्यम के रूप में कार्य करता है। इन तरंगों को स्काई वेव (sky wave) के रूप में जाना जाता है। जब इन तरंगों को आकाश की ओर प्रेषित किया जाता है,तो वे आयनोस्फेरिक परतों द्वारा पृथ्वी पर वापस परावर्तित हो जाती हैं,जिससे लंबी दूरी का संचार संभव हो पाता है।

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{total} = R_{resistor} + R_{potentiometer} = 990 \, \Omega + 10 \, \Omega = 1000 \, \Omega$ है।
परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{2 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.002 \, A$ है।
पोटेंशियोमीटर तार के सिरों पर विभवांतर $V_{wire} = I \times R_{potentiometer} = 0.002 \, A \times 10 \, \Omega = 0.02 \, V$ है।
विभव प्रवणता $x$ को प्रति इकाई लंबाई विभवांतर के रूप में परिभाषित किया जाता है: $x = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{0.02 \, V}{2 \, m} = 0.01 \, V m^{-1}$।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,$K_{\max} = h\nu - \Phi$,जहाँ $h\nu$ आपतित फोटॉन की ऊर्जा है और $\Phi$ धातु का कार्य फलन है।
$K_{\max}$ केवल आपतित प्रकाश की आवृत्ति और धातु की सतह की प्रकृति पर निर्भर करता है।
प्रकाश की तीव्रता प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित फोटॉनों की संख्या से संबंधित है,जो उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की संख्या (प्रकाश-विद्युत धारा) को प्रभावित करती है,लेकिन उनकी व्यक्तिगत अधिकतम गतिज ऊर्जा को नहीं।
इसलिए,यदि प्रकाश की तीव्रता को दोगुना कर दिया जाता है,तो फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(B) अनंत लंबाई के आवेशित बेलन की अक्ष से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r}$
इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:
$E = \frac{2k\lambda}{r}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N m^{2} C^{-2}$.
दिया गया है:
$\lambda = 4 \mu C m^{-1} = 4 \times 10^{-6} \ C m^{-1}$
$r = 3.6 \ cm = 3.6 \times 10^{-2} \ m$
मान रखने पर:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^{9}) \times (4 \times 10^{-6})}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{72 \times 10^{3}}{3.6 \times 10^{-2}}$
$E = 20 \times 10^{5} \ NC^{-1} = 2 \times 10^{6} \ NC^{-1}$

(D) नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच का स्थिर-विद्युत बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
स्थिर-विद्युत बल $=$ अभिकेंद्र बल
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}$
वेग $v$ के लिए हल करने पर:
$v = \sqrt{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Z e^{2}}{m r}}$
दिए गए मान: $Z = 1$, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$, $r = 0.1 \times 10^{-9} \,m$, $m = 9.1 \times 10^{-31} \,kg$, और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \,N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^{9} \times 1 \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9.1 \times 10^{-31} \times 0.1 \times 10^{-9}}}$
$v = \sqrt{\frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-41}}} \approx 1.59 \times 10^{6} \,ms^{-1}$.

(C) एक लंबी परिनालिका के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \mu_{0} n_{total} I$ है,जहाँ $n_{total}$ प्रति इकाई लंबाई में फेरों की संख्या है।
चूँकि इसमें $n$ परतें हैं और प्रत्येक परत में $L$ लंबाई पर $N$ फेरे हैं,इसलिए प्रति इकाई लंबाई में कुल फेरों की संख्या $n_{total} = \frac{n \times N}{L}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,हमें $B = \mu_{0} \left( \frac{n N}{L} \right) I$ प्राप्त होता है।
चूँकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ के इस व्यंजक में व्यास $D$ शामिल नहीं है,इसलिए केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र व्यास $D$ से स्वतंत्र है।

(B) मान लीजिए तार की लंबाई $L$ है। $r$ त्रिज्या वाले एक फेरे के लूप के लिए,परिधि $2 \pi r = L$ है,इसलिए $r = \frac{L}{2 \pi}$।
एक फेरे वाले लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r} = \frac{\mu_{0} I}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_{0} I \pi}{L}$ है।
जब उसी तार को $n$ फेरों में मोड़ा जाता है,तो नई त्रिज्या $r'$ का मान $n (2 \pi r') = L$ होता है,इसलिए $r' = \frac{L}{2 \pi n} = \frac{r}{n}$।
$n$ फेरों वाले लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B_{n} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 r'} = n \times \frac{\mu_{0} I}{2 (r / n)} = n^{2} \times \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ है।
चूंकि $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$,इसलिए $B_{n} = n^{2} B$ प्राप्त होता है।

(A) एक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ में,परमाणु छोटे क्षेत्रों में समूहित होते हैं जिन्हें डोमेन कहा जाता है,जिनमें से प्रत्येक एक छोटे चुंबक के रूप में कार्य करता है।
जब एक बाहरी चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है,तो ये डोमेन बाहरी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाते हैं।
इस संरेखण के परिणामस्वरूप लगाए गए क्षेत्र की दिशा में एक मजबूत नेट चुंबकत्व (net magnetization) उत्पन्न होता है।

(A) स्नेल के नियम के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$ होता है।
दिया गया है कि आपतन कोण $i$,अपवर्तन कोण $r$ का दोगुना है,इसलिए $i = 2r$ है।
इसे स्नेल के नियम में रखने पर: $\mu = \frac{\sin(2r)}{\sin r}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2r) = 2 \sin r \cos r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\mu = \frac{2 \sin r \cos r}{\sin r}$।
सरल करने पर,$\mu = 2 \cos r$,जिसका अर्थ है $\cos r = \frac{\mu}{2}$।
अतः,$r = \cos^{-1} \left( \frac{\mu}{2} \right)$।
चूंकि $i = 2r$,इसलिए $i = 2 \cos^{-1} \left( \frac{\mu}{2} \right)$।

(A) चालकों में, संयोजी बैंड और चालन बैंड एक-दूसरे पर अतिव्याप्त (overlap) होते हैं, या उनके बीच का ऊर्जा अंतराल प्रभावी रूप से शून्य होता है।
यह अतिव्यापन इलेक्ट्रॉनों को संयोजी बैंड से चालन बैंड में स्वतंत्र रूप से जाने की अनुमति देता है, यही कारण है कि चालक उच्च विद्युत चालकता प्रदर्शित करते हैं।

(B) $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) एक भारी डोप्ड $p-n$ जंक्शन डायोड है जो फॉरवर्ड बायस में होने पर स्वतः विकिरण उत्सर्जित करता है। $LED$ के लिए उपयोग की जाने वाली अर्धचालक सामग्री में बैंड गैप ऊर्जा दृश्य स्पेक्ट्रम के अनुरूप होनी चाहिए। गैलियम आर्सेनाइड फॉस्फाइड $(GaAsP)$ या गैलियम फॉस्फाइड $(GaP)$ आमतौर पर उपयोग की जाने वाली सामग्री हैं। दिए गए विकल्पों में से,गैलियम आर्सेनाइड $(GaAs)$ $LED$ तकनीक में प्रकाश उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक मानक अर्धचालक है।

(A) एक थर्मोकपल में,थर्मो-emf $(E)$ गर्म जंक्शन $(T_h)$ और ठंडे जंक्शन $(T_c)$ के बीच के तापमान के अंतर के साथ बदलता है।
$1$. थर्मो-emf शून्य होता है जब $T_h = T_c$ (दोनों जंक्शन समान तापमान पर हों)।
$2$. थर्मो-emf तब भी शून्य होता है जब $T_h = T_i$ हो,जहाँ $T_i$ व्युत्क्रमण तापमान (temperature of inversion) है।
$3$. चूंकि प्रश्न उस तापमान के बारे में पूछता है जिस पर थर्मो-emf शून्य होता है,और व्युत्क्रमण तापमान वह विशिष्ट तापमान है (ठंडे जंक्शन के तापमान के अलावा) जहाँ emf शून्य हो जाता है,इसलिए सही उत्तर व्युत्क्रमण तापमान है।

(D) एकल स्लिट विवर्तन पैटर्न में,केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) सबसे अधिक तीव्र और चौड़ा होता है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $\beta_0 = \frac{2\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ पर्दे की दूरी है,और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
द्वितीयक उच्चिष्ठों की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,केंद्रीय फ्रिंज की चौड़ाई अन्य फ्रिंजों की तुलना में दोगुनी होती है।
चूंकि विकल्प $A$,$B$ या $C$ में से कोई भी इस गुण का सही वर्णन नहीं करता है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(B) जब प्रकाश की किरण ध्रुवण कोण $(i_p)$ पर आपतित होती है,तो परावर्तित और अपवर्तित किरणें एक-दूसरे के लंबवत होती हैं। अतः,$i_p + r = 90^{\circ}$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
अपवर्तन की ज्यामिति से,विचलन कोण $(\delta)$ $\delta = |i_p - r|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\delta = 24^{\circ}$,इसलिए $i_p - r = 24^{\circ}$ (क्योंकि कांच-वायु इंटरफेस के लिए $i_p > r$ होता है)।
हमारे पास दो समीकरण हैं:
$1$) $i_p + r = 90^{\circ}$
$2$) $i_p - r = 24^{\circ}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$2i_p = 114^{\circ}$
$i_p = 57^{\circ}$
अतः,आपतन कोण $57^{\circ}$ है।

(A) फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d} = 0.4 \,mm$ दी गई है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n_1$-वीं दीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n_1} = n_1 \beta$ द्वारा दी जाती है।
पांचवीं दीप्त फ्रिंज के लिए $(n_1 = 5)$:
$x_5 = 5 \beta = 5 \times 0.4 \,mm = 2.0 \,mm$.
केंद्रीय उच्चिष्ठ से $n_2$-वीं अदीप्त फ्रिंज की स्थिति $x_{n_2} = (n_2 - 0.5) \beta$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज के लिए $(n_2 = 3)$:
$x_3 = (3 - 0.5) \beta = 2.5 \beta = 2.5 \times 0.4 \,mm = 1.0 \,mm$.
एक ही तरफ पांचवीं दीप्त और तीसरी अदीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी:
$\Delta x = x_5 - x_3 = 2.0 \,mm - 1.0 \,mm = 1.0 \,mm$.

(D) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में $n^{th}$ दीप्त फ्रिंज के लिए शर्त $y = n \frac{\lambda D}{d}$ है।
चूंकि स्थिति $y$ दोनों स्थितियों में समान है, इसलिए $n_{1} \lambda_{1} = n_{2} \lambda_{2}$ होगा।
दिया गया है: $n_{1} = 3$, $\lambda_{1} = 700 \, nm$, और $n_{2} = 5$.
मान रखने पर: $3 \times 700 = 5 \times \lambda_{2}$.
$\lambda_{2} = \frac{3 \times 700}{5} = 3 \times 140 = 420 \, nm$.