MHT CET 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) અહીં,વિધેય $f(x) = x^{2} - 78.8$ છે.
તેનું વિકલન $f^{\prime}(x) = 2x$ થાય.
પ્રારંભિક અંદાજ $x_{0} = 14$ છે.
Newton-Raphson સૂત્ર મુજબ,પ્રથમ અંદાજ $x_{1}$ નીચે મુજબ મળે:
$x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}$
$x_{1} = 14 - \frac{(14)^{2} - 78.8}{2 \times 14}$
$x_{1} = 14 - \frac{196 - 78.8}{28}$
$x_{1} = 14 - \frac{117.2}{28}$
$x_{1} = 14 - 4.1857...$
$x_{1} \approx 9.814$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ છે.
તે $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $4 + 4g + k = 0 \Rightarrow k = -4 - 4g$.
તે $(0,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1 + 2f + k = 0 \Rightarrow k = -1 - 2f$.
તે $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $41 + 8g + 10f + k = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $g = -\frac{13}{6}$,$f = -\frac{17}{6}$,અને $k = \frac{14}{3}$ મળે છે.
વર્તુળનું સમીકરણ $3(x^{2} + y^{2}) - 13x - 17y + 14 = 0$ છે.
બિંદુ $(0, c)$ આ વર્તુળ પર હોવાથી,$x=0$ અને $y=c$ મૂકતા:
$3c^{2} - 17c + 14 = 0$.
$(3c - 14)(c - 1) = 0$.
તેથી,$c = 1$ અથવા $c = \frac{14}{3}$.
$(0,1)$ પહેલેથી જ આપેલ બિંદુ હોવાથી,$c = \frac{14}{3}$ મળે છે.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(1, 2)$ અને વર્તુળ પરના બિંદુ $(4, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}$
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A = \pi (5)^2 = 25 \pi$ ચોરસ એકમ.

(B) બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-\alpha}{\cos \theta} = \frac{y-\beta}{\sin \theta} = k$ છે,જ્યાં $k$ એ $P$ થી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુનું અંતર દર્શાવે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ છે.
આ બિંદુ વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ પર હોવાથી:
$(\alpha + k \cos \theta)^{2} + (\beta + k \sin \theta)^{2} = r^{2}$
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$k^{2} + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}) = 0$
આ $k$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $k_{1}$ અને $k_{2}$ છે,જે $PA$ અને $PB$ ની લંબાઈ દર્શાવે છે.
બીજનો ગુણાકાર $PA \cdot PB = k_{1}k_{2}$ એ દ્વિઘાત સમીકરણના અચળ પદ જેટલો થાય છે:
$PA \cdot PB = \alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}$.

(A) બે નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 7 - (-1) = 8$ છે.
$e = 1/2$ હોવાથી,$2a(1/2) = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 8$.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર નાભિઓનું મધ્યબિંદુ છે: $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$.
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$b^2 = 64(1 - 1/4) = 64(3/4) = 48$.
તેથી,$b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{(x-3)^2}{8^2} + \frac{y^2}{(4\sqrt{3})^2} = 1$ છે.
પ્રચલિત યામ $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(h, k)$ કેન્દ્ર છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $(3 + 8 \cos \theta, 4\sqrt{3} \sin \theta)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $y=mx+c$ એ અતિવલય $9x^{2}-16y^{2}=144$ અને વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=9$ નો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
અતિવલયને $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ તરીકે લખતા,$a^{2}=16$ અને $b^{2}=9$ મળે.
$y=mx+c$ એ અતિવલયનો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ છે,તેથી $c^{2}=16m^{2}-9$ $(i)$.
$y=mx+c$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=3^{2}$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ છે,તેથી $c^{2}=9(1+m^{2})$ (ii).
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $16m^{2}-9=9+9m^{2}$.
$7m^{2}=18$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{18}{7}$ $\Rightarrow m=\pm 3\sqrt{\frac{2}{7}}$.
$m^{2}=\frac{18}{7}$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $c^{2}=9(1+\frac{18}{7})=9(\frac{25}{7})=\frac{225}{7}$.
તેથી,$c=\pm \frac{15}{\sqrt{7}}$.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શક $y=3\sqrt{\frac{2}{7}}x+\frac{15}{\sqrt{7}}$ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$.
$\cos \theta$ માટે ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - O(\theta^6)$.
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ હોવાથી,
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$ અને $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24})}{x^4} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^4/24}{x^4} = \frac{1}{6}$.

(A) આપેલ લક્ષ $1^{\infty}$ સ્વરૂપમાં છે.
આપણે સૂત્ર $\lim _{x \rightarrow a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)[f(x)-1]}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-4 x+2}\right)^{x} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x \left(\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-4 x+2} - 1\right)}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x \left(\frac{x^{2}-2 x+1 - (x^{2}-4 x+2)}{x^{2}-4 x+2}\right)}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x \left(\frac{2 x-1}{x^{2}-4 x+2}\right)}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-x}{x^{2}-4 x+2}}$
અંશ અને છેદને $x^{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 - 1/x}{1 - 4/x + 2/x^{2}}} = e^{2/1} = e^{2}$.

(B) તાર્કિક વિધાનનું દ્વૈત શોધવા માટે,આપણે $\vee$ ને $\wedge$ સાથે,$\wedge$ ને $\vee$ સાથે,$T$ ને $F$ સાથે અને $F$ ને $T$ સાથે બદલીએ છીએ.
આપેલ વિધાન: $[p \vee (\sim q)] \wedge (\sim p)$.
$\vee$ ને $\wedge$ સાથે અને $\wedge$ ને $\vee$ સાથે બદલતા,આપણને મળે છે:
$[p \wedge (\sim q)] \vee (\sim p)$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ કાલ્પનિક હોઈ શકે છે જો વિવેચક $D = b^2 - 4ac < 0$ હોય.
તેથી,વિધાન '$A$ quadratic equation always has a real root' ખોટું છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું સત્યતા મૂલ્ય '$F$' છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે તે ક્રમચયનું સૂત્ર દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે એકમના ઘનમૂળ $1, \omega, \omega^2$ છે,જે સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega$ સાથે $GP$ બનાવે છે.

(C) રેખાઓ $x^{2}-2 p x y-y^{2}=0$ વચ્ચેના ખૂણાઓના દુભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
તેથી,$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$.
$\Rightarrow \frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{-xy}{p}$.
$\Rightarrow px^{2} + 2xy - py^{2} = 0$.
આ સમીકરણ $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ જેવી જ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું હોવાથી,આપણે સહગુણકોની સરખામણી કરીએ છીએ:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$.
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ પરથી,આપણને $p = -\frac{1}{q}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $pq = -1$ અથવા $pq+1=0$.

(B) $3$ પત્રોને $3$ પરબિડીયામાં મૂકવાની કુલ રીતો $3! = 6$ છે.
બધા પત્રોને તેમના સાચા પરબિડીયામાં મૂકવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં મૂકાય તેની સંભાવના $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,બધા પત્રો સાચા પરબિડીયામાં ન મૂકાય તેની સંભાવના $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે પ્રથમ પાસાનું પરિણામ $x$ અને બીજા પાસાનું પરિણામ $y$ છે. આપણે $x < y$ હોય તેવી સંભાવના શોધવી છે.
$x < y$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$x=1$ માટે,$y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ પરિણામો).
$x=2$ માટે,$y \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ પરિણામો).
$x=3$ માટે,$y \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ પરિણામો).
$x=4$ માટે,$y \in \{5, 6\}$ ($2$ પરિણામો).
$x=5$ માટે,$y \in \{6\}$ ($1$ પરિણામ).
$x=6$ માટે,$y$ ની કોઈ શક્ય કિંમત નથી.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ થાય.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે.
ઘટના $A$ ની વિરુદ્ધમાં મત $5:2$ છે,તેથી $A$ બને તેની સંભાવના $P(A) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ છે.
$A$ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ છે.
ઘટના $B$ ની તરફેણમાં મત $6:5$ છે,તેથી $B$ બને તેની સંભાવના $P(B) = \frac{6}{6+5} = \frac{6}{11}$ છે.
$B$ ન બને તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{B})$ છે.
$P(A \cup B) = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{5}{11}) = 1 - \frac{25}{77} = \frac{77-25}{77} = \frac{52}{77}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $xy+2x+2y+4=0$ ને $(x+2)(y+2)=0$ તરીકે લખી શકાય,જે રેખાઓ $x=-2$ અને $y=-2$ દર્શાવે છે.
ત્રીજી રેખા $x+y+2=0$ આપેલ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને જોડીમાં ઉકેલતા:
$1$. $x=-2$ અને $y=-2$ નું છેદબિંદુ $C(-2,-2)$ મળે છે.
$2$. $x=-2$ અને $x+y+2=0$ નું છેદબિંદુ $A(-2,0)$ મળે છે.
$3$. $y=-2$ અને $x+y+2=0$ નું છેદબિંદુ $B(0,-2)$ મળે છે.
શિરોબિંદુઓ $A(-2,0)$,$B(0,-2)$ અને $C(-2,-2)$ છે.
રેખાઓ $x=-2$ અને $y=-2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\Delta ABC$ એ $C(-2,-2)$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ = $(\frac{-2+0}{2}, \frac{0-2}{2}) = (-1,-1)$.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2=4x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
પરવલય $x^2=-32y$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx-am^2$ છે,જ્યાં $x^2=4ay$ પરથી $a=-8$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શક $y=mx-(-8)m^2$ એટલે કે $y=mx+8m^2$ છે.
બંને સ્પર્શકના સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{m}=8m^2$ મળે છે.
આથી $m^3=\frac{1}{8}$,એટલે કે $m=\frac{1}{2}$.
$m=\frac{1}{2}$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $y=\frac{1}{2}x+2$.
આથી $2y=x+4$,એટલે કે $x-2y+4=0$.

(B) ઉપવલય $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ માટે,નાભિઓ $(\pm ae, 0)$ છે. અહીં $a^2=16$ અને $b^2$ એ અર્ધ-ગૌણ અક્ષનો વર્ગ છે. ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}$. નાભિ $(\pm 4 \times \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}, 0) = (\pm \sqrt{16-b^2}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ માટે,તેને $\frac{x^2}{(12/5)^2}-\frac{y^2}{(9/5)^2}=1$ તરીકે લખી શકાય. અહીં $a^2 = \frac{144}{25}$ અને $b^2 = \frac{81}{25}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e_2 = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{81/25}{144/25}} = \sqrt{1+\frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
નાભિઓ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$\sqrt{16-b^2} = 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16-b^2 = 9$,તેથી $b^2 = 7$ મળે છે.

(C) સ્પર્શકના ઢાળ માટે આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left(\frac{y}{x}\right)$
આ એક સમપરિમાણીય વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$
$x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$
ચલને અલગ કરતા:
$\sec^2(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\tan(v) = -\log|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ પાછું મૂકતા:
$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = -\log|x| + C$
વક્ર $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$\tan\left(\frac{\pi/4}{1}\right) = -\log(1) + C$
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 + C \Rightarrow C = 1$
આમ,$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = 1 - \log(x) = \log(e) - \log(x) = \log\left(\frac{e}{x}\right)$
તેથી,$y = x \tan^{-1}\left[\log\left(\frac{e}{x}\right)\right]$.

(D) ધારો કે લંબચોરસ $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં અંતર્ગત છે. લંબચોરસની બાજુઓ $2x$ અને $2y$ છે. લંબચોરસ વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $(2x)^2 + (2y)^2 = (2r)^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 = r^2$ અથવા $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ થાય છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = (2x)(2y) = 4x\sqrt{r^2 - x^2}$ છે.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો:
$\frac{dA}{dx} = 4 \left( \sqrt{r^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot (-2x) \right) = 4 \left( \frac{r^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right) = \frac{4(r^2 - 2x^2)}{\sqrt{r^2 - x^2}}$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ લેતા,$r^2 - 2x^2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = \frac{r}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2$.
આમ,મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $2r^2$ છે.

(A) વિધેય $f(x)$ એકવિધ વધતું વિધેય ત્યારે કહેવાય જ્યારે તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોય.
આપેલ છે કે $f(x) = kx - \sin x$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$f'(x) = k - \cos x$ મળે.
$f(x)$ વધતું વિધેય હોવા માટે,તમામ $x \in R$ માટે $f'(x) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$k - \cos x \geq 0 \implies k \geq \cos x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી તમામ $x$ માટે $k \geq \cos x$ શરતનું પાલન થાય તે માટે $k$ ની કિંમત $\cos x$ ની મહત્તમ કિંમત કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$k \geq 1$.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન $f'(x)$ શોધીએ:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે,આપણે $f'(x) > 0$ ની જરૂર છે.
કારણ કે $x^2 \geq 0$ અને $(2+x)^2 > 0$ છે ($x > -1$ માટે),તેથી $f'(x)$ ની નિશાની $(1+x)$ પર આધાર રાખે છે.
આમ,$f'(x) > 0$ જ્યારે $1+x > 0$ હોય,એટલે કે $x > -1$.
જોકે,આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$x > 0$ માટે $f'(x) > 0$ ની શરત સ્પષ્ટપણે સંતોષાય છે.
તેથી,વિધેય $(0, \infty)$ પર વધતું વિધેય છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} - 75x^{25}(1-x)^{74}$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [ (1-x) - 3x ]$.
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0, 1, 1/4$ મળે છે.
$x \in (0, 1/4)$ માટે,$f'(x) > 0$ (વિધેય વધતું વિધેય છે).
$x \in (1/4, 1)$ માટે,$f'(x) < 0$ (વિધેય ઘટતું વિધેય છે).
જેથી,$x = 1/4$ આગળ વિકલિતની નિશાની ધનમાંથી ઋણ થાય છે,તેથી વિધેય $x = 1/4$ આગળ તેની મહત્તમ કિંમત ધારણ કરે છે.

(C) આપેલ છે,$f(x)=2 x^{3}-9 a x^{2}+12 a^{2} x+1$. વિકલન કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ મેળવીએ: $f^{\prime}(x) = 6x^{2} - 18ax + 12a^{2} = 6(x-a)(x-2a) = 0$.
તેથી,ક્રાંતિક બિંદુઓ $x=a$ અને $x=2a$ છે.
દ્વિતીય વિકલન $f^{\prime \prime}(x) = 12x - 18a$ છે.
$p$ આગળ મહત્તમ મૂલ્ય માટે,$f^{\prime \prime}(p) < 0 \Rightarrow 12p - 18a < 0 \Rightarrow p < \frac{3}{2}a$.
$q$ આગળ ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$f^{\prime \prime}(q) > 0 \Rightarrow 12q - 18a > 0 \Rightarrow q > \frac{3}{2}a$.
આ શરતો મુજબ,$p=a$ અને $q=2a$ મળે.
આપેલ છે કે $p^{2}=q$,તેથી $a^{2} = 2a$.
$a^{2} - 2a = 0 \Rightarrow a(a-2) = 0$.
આમ,$a=0$ અથવા $a=2$.
જો $a=0$ હોય,તો $f(x)=2x^{3}+1$ એ વધતું વિધેય છે અને તેને કોઈ મહત્તમ કે ન્યૂનતમ બિંદુ નથી.
તેથી,$a=2$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x \geq 0 \\ e^{x}, & x < 0 \end{cases}$
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{x} = 1$
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{-x} = 1$
વળી,$f(0) = e^{0} = 1$
કારણ કે $LHL = RHL = f(0)$,તેથી વિધેય $x$ ની દરેક કિંમત માટે સતત છે.
હવે,આપણે $x = 0$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસીએ:
$LHD = \left(\frac{d}{dx} e^{x}\right)_{x = 0} = \left[e^{x}\right]_{x = 0} = 1$
$RHD = \left(\frac{d}{dx} e^{-x}\right)_{x = 0} = \left[-e^{-x}\right]_{x = 0} = -1$
કારણ કે $LHD \neq RHD$,તેથી $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,$f(x) = e^{-|x|}$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) વિધેય $f(x) = |x-1| e^{x}$ એ બે વિધેયોનો ગુણાકાર છે: $g(x) = |x-1|$ અને $h(x) = e^{x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{x}$ એ તમામ $x \in R$ માટે વિકલનીય છે.
વિધેય $g(x) = |x-1|$ એ દરેક જગ્યાએ સતત છે પરંતુ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી કારણ કે $x = 1$ આગળ ડાબી બાજુનું વિકલિત અને જમણી બાજુનું વિકલિત સમાન નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$x = 1$ આગળ,ડાબી બાજુનું વિકલિત $-e^{1} = -e$ છે અને જમણી બાજુનું વિકલિત $e^{1} = e$ છે.
જેથી,અ-વિકલનીય વિધેય અને શૂન્યતર વિકલનીય વિધેયનો ગુણાકાર તે બિંદુએ અ-વિકલનીય હોવાથી,$f(x)$ એ $x = 1$ આગળ વિકલનીય નથી.
તેથી,જે બિંદુઓના ગણ પર $f(x)$ વિકલનીય છે તે $R - \{1\}$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)^{2}}} \times \frac{d}{d x}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1+x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}} \times \frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+x^{2}} \times \frac{1-x^{2}}{|1-x^{2}|}$
આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ છે:
$f^{\prime}(x) = \begin{cases} \frac{2}{1+x^{2}}, & \text{જો } |x| < 1 \\ -\frac{2}{1+x^{2}}, & \text{જો } |x| > 1 \end{cases}$
$x = 1$ અને $x = -1$ આગળ વિકલિત અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી કારણ કે ડાબી બાજુનું વિકલિત અને જમણી બાજુનું વિકલિત સમાન નથી.
તેથી,$f(x)$ એ $R - \{-1, 1\}$ પર વિકલનીય છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos 3x + 1}{2 \cos x - 1} dx$.
નિત્યસમ $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\cos 3x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1$.
કારણ કે $\cos(\pi/3) = 1/2$,આપણે $2 \cos x - 1 = 2(\cos x - \cos(\pi/3))$ લખી શકીએ.
વળી,$4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3) + 1 = 4(1/8) - 3(1/2) + 1 = 1/2 - 3/2 + 1 = 0$.
આમ,અંશ $4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x - (4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3))$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સંકલ્યને સરળ બનાવીએ:
$\frac{4(\cos^3 x - \cos^3(\pi/3)) - 3(\cos x - \cos(\pi/3))}{2(\cos x - \cos(\pi/3))} = \frac{4(\cos^2 x + \cos x \cos(\pi/3) + \cos^2(\pi/3)) - 3}{2} = \frac{4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1 - 3}{2} = 2 \cos^2 x + \cos x - 1$.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2(\frac{1 + \cos 2x}{2}) + \cos x - 1 = 1 + \cos 2x + \cos x - 1 = \cos 2x + \cos x$.
હવે,$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos 2x + \cos x) dx = [\frac{1}{2} \sin 2x + \sin x]_{0}^{\pi / 2} = (\frac{1}{2} \sin \pi + \sin(\pi/2)) - (0 + 0) = 0 + 1 = 1$.

(C) આપેલ સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$ ને $n=2$ પેટા-અંતરાલોમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે.
અહીં,અંતરાલ $[0, 1]$ છે,તેથી $h = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2}$.
બિંદુઓ $x_0 = 0$,$x_1 = 0.5$,અને $x_2 = 1$ છે.
$y = f(x) = \frac{1}{1+x}$ માટે અનુરૂપ મૂલ્યો:
$y_0 = f(0) = \frac{1}{1+0} = 1$
$y_1 = f(0.5) = \frac{1}{1+0.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$
$y_2 = f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
સિમ્પસનના વન-થર્ડ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + y_2]$.
કિંમતો મૂકતા: $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx \approx \frac{0.5}{3} [1 + 4(\frac{2}{3}) + 0.5] = \frac{1}{6} [1 + \frac{8}{3} + 0.5] = \frac{1}{6} [1.5 + \frac{8}{3}] = \frac{1}{6} [\frac{3}{2} + \frac{8}{3}] = \frac{1}{6} [\frac{9+16}{6}] = \frac{25}{36}$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$.
અમે $\tan^{-1}$ વિધેયના પદને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$.
$\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x-1)) d x$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $f(x) = \tan^{-1}(x-1)$.
તેથી $\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x$.
આ કિંમતને સંકલનમાં પાછી મૂકતા:
$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x = 0$.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમને $AX = B$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 9 \end{bmatrix}$ છે.
ઉકેલનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે નિશ્ચાયક $\Delta = |A|$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$\Delta = 1(9-15) - 2(18-15) + 3(10-5)$
$\Delta = 1(-6) - 2(3) + 3(5)$
$\Delta = -6 - 6 + 15 = 3$.
અહીં $\Delta \neq 0$ હોવાથી,સમીકરણોની સિસ્ટમનો અનન્ય ઉકેલ (માત્ર એક ઉકેલ) મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$,અને $\overrightarrow{c}$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્યતર છે:
$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| \neq 0$.
ધારો કે $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$.
આપણને નિશ્ચાયક સમીકરણ આપેલ છે:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3\end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3\end{array}\right| = 0$.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,અનુક્રમે હાર $1, 2, 3$ માંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| = 0$.
નોંધો કે $\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| = \Delta$ (સ્તંભોને બે વાર અદલાબદલી કરીને).
તેથી,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
ચૂક્યું કે $\Delta \neq 0$,તેથી $1 + abc = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $abc = -1$.

(A) આપેલ ઉકેલ $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ છે.
જેમ કે ઉકેલમાં $3$ સ્વૈર અચળાંકો $(a, b, c)$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $3$ છે.

(D) $y$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું સામાન્ય સમીકરણ $(x-h)^{2} = 4a(y-k)$ છે,જ્યાં $h, k,$ અને $a$ સ્વૈર અચળાંકો છે.
અહીં $3$ સ્વૈર અચળાંકો હોવાથી,આપણે સમીકરણનું $3$ વખત વિકલન કરવું પડશે.
ધારો કે $(x-h)^{2} = A(y-k)$,જ્યાં $A = 4a$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2(x-h) = A y_{1}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 = A y_{2}$.
ત્રીજી વખત $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $0 = A y_{3}$.
કારણ કે $A = 4a \neq 0$,તેથી $y_{3} = 0$ મળે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $y_{3} = 0$ સાથે મેળ ખાતું નથી.

(B) આપેલ છે કે $x=\phi(t)$ અને $y=\psi(t)$.
સૌ પ્રથમ,આપણે ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi^{\prime}(t)}{\phi^{\prime}(t)}$.
હવે,આપણે $\frac{dy}{dx}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\psi^{\prime}}{\phi^{\prime}}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{\psi^{\prime}}{\phi^{\prime}}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\phi^{\prime}\psi^{\prime\prime} - \psi^{\prime}\phi^{\prime\prime}}{(\phi^{\prime})^{2}} \cdot \frac{1}{\phi^{\prime}}$.
$= \frac{\phi^{\prime}\psi^{\prime\prime} - \psi^{\prime}\phi^{\prime\prime}}{(\phi^{\prime})^{3}}$.

(A) આપેલ છે,$y = \log_{\cos x} \sin x = \frac{\log \sin x}{\log \cos x}$.
ભાગાકારના નિયમ $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = \log \sin x$ અને $v = \log \cos x$ છે.
તેથી $u' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ અને $v' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$ મળે.
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log \cos x)(\cot x) - (\log \sin x)(-\tan x)}{(\log \cos x)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cot x \log \cos x + \tan x \log \sin x}{(\log \cos x)^2}$.

(C) આપણી પાસે છે,$y = \log |x| = \begin{cases} \log x, & x > 0 \\ \log (-x), & x < 0 \end{cases}$
$x > 0$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
$x < 0$ માટે,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log (-x)) = \frac{1}{-x} \times \frac{d}{dx}(-x) = \frac{1}{-x} \times (-1) = \frac{1}{x}$.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,આપણને મળે છે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ જ્યાં $x \neq 0$.

(A) આપેલ છે,$y^{2}=a x^{2}+b x+c$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2 y \frac{d y}{d x}=2 a x+b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2(\frac{d y}{d x})^{2} + 2 y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 a$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $(\frac{d y}{d x})^{2} + y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a$ મળે છે.
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$ મૂકતા,આપણને $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a - (\frac{2 a x + b}{2 y})^{2}$ મળે છે.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a y^{2} - (2 a x + b)^{2}}{4 y^{2}}$.
$y^{2} = a x^{2} + b x + c$ મૂકતા,આપણને $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a (a x^{2} + b x + c) - (4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2})}{4 y^{2}}$ મળે છે.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - 4 a^{2} x^{2} - 4 a b x - b^{2}}{4 y^{2}}$.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 y^{2}}$.
બંને બાજુ $y^{2}$ વડે ગુણતા,આપણને $y^{3} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4}$ મળે છે,જે એક અચળાંક છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$.
આપણને આપેલ છે કે $f \circ f(x) = x$.
આનો અર્થ એ છે કે $f(f(x)) = x$.
$f(x)$ ની કિંમત વિધેયમાં મૂકતા:
$f\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) = x$
$\frac{a\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + b}{c\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + d} = x$
અંશ અને છેદને $(cx + d)$ વડે ગુણતા:
$\frac{a(ax + b) + b(cx + d)}{c(ax + b) + d(cx + d)} = x$
$\frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + cdx + d^2} = x$
$\frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + cd)x + (bc + d^2)} = x$
$(a^2 + bc)x + (ab + bd) = x((ac + cd)x + (bc + d^2))$
$(a^2 + bc)x + b(a + d) = (ac + cd)x^2 + (bc + d^2)x$
આ સમીકરણ દરેક $x$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ. અચળ પદની સરખામણી કરતા,આપણને $b(a + d) = 0$ મળે છે. જો $b \neq 0$ હોય,તો $a + d = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d = -a$. જો $d = -a$ હોય,તો પદાવલિ $\frac{ax + b}{cx - a}$ બને છે,અને $f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax+b}{cx-a}) + b}{c(\frac{ax+b}{cx-a}) - a} = \frac{a^2x + ab + bcx - ab}{acx + bc - acx + a^2} = \frac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x$. આમ,$d = -a$ એ જરૂરી શરત છે.

(B) ધારો કે $y = f(x) = x^{3} + 5$.
વ્યસ્ત વિધેય શોધવા માટે,આપણે $x$ ને $y$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ:
$y - 5 = x^{3}$
$x = (y - 5)^{1/3}$
કારણ કે $f^{-1}(y) = x$,તેથી $f^{-1}(y) = (y - 5)^{1/3}$.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,આપણને $f^{-1}(x) = (x - 5)^{1/3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \cos ^{3} x \cdot e^{\log (\sin x)} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $e^{\log (\sin x)} = \sin x$,તેથી સંકલન $I = \int \cos ^{3} x \sin x d x$ થશે.
ધારો કે $u = \cos x$. તો $du = -\sin x d x$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x d x = -du$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int u^{3} (-du) = -\int u^{3} du$.
$u$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$I = -\frac{u^{4}}{4} + c$.
છેલ્લે $u = \cos x$ મૂકતા,આપણને $I = -\frac{\cos ^{4} x}{4} + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$
હવે,પ્રથમ પદ $\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{x}{2}$ અને $dv = \sec^2 \frac{x}{2} dx$ લેતા:
$\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{x}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - \int (1) \cdot \tan \frac{x}{2} dx = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx + c$
$I = x \tan \frac{x}{2} + c$.

(B) આપેલ અસમતાઓ $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,અને $x_{1}, x_{2} \geq 0$ છે.
શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના પ્રકારને નક્કી કરવા માટે,આપણે રેખાઓ $-x_{1} + x_{2} = 1$ અને $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ દોરીએ છીએ.
$-x_{1} + x_{2} = 1$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 1)$ અને $(-1, 0)$ છે.
$-x_{1} + 3x_{2} = 9$ માટે,અંતઃખંડો $(0, 3)$ અને $(-9, 0)$ છે.
કારણ કે આ પ્રદેશ $x_{1}, x_{2} \geq 0$ (પ્રથમ ચરણ) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે અને અસમતાઓ પ્રદેશને $x_{1}$ અને $x_{2}$ વધવાની દિશામાં અનંત સુધી વિસ્તરવાની મંજૂરી આપે છે,તેથી શક્ય ઉકેલ પ્રદેશ અસીમિત છે.

(C) સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નમાં,આપણે સુરેખ અસમતાઓ દ્વારા બનતા બહિર્મુખ શક્ય ઉકેલના પ્રદેશ સાથે કામ કરીએ છીએ. 'ઇષ્ટતમ ઉકેલ','શક્ય ઉકેલ' અને 'હેતુલક્ષી વિધેય' એ સુરેખ આયોજનના પ્રમાણભૂત ઘટકો છે. 'અંતર્મુખ પ્રદેશ' (Concave region) શબ્દનો ઉપયોગ આ સંદર્ભમાં થતો નથી.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ફોરવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર $\Delta$ ને $\Delta f(x) = f(x+h) - f(x)$ તરીકે અને બેકવર્ડ ડિફરન્સ ઓપરેટર $\nabla$ ને $\nabla f(x) = f(x) - f(x-h)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
હવે,$\Delta \nabla f(x)$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$\Delta \nabla f(x) = \Delta [f(x) - f(x-h)]$
$= \Delta f(x) - \Delta f(x-h)$
$= [f(x+h) - f(x)] - [f(x) - f(x-h)]$
$= [f(x+h) - f(x)] - \nabla f(x)$
$= \Delta f(x) - \nabla f(x)$
તેથી,$\Delta \nabla = \Delta - \nabla$.

(C) આપેલ શ્રેણિકો $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ છે.
ગુણાકાર $AB$ ની ગણતરી કરતા:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$
$= \cos(\alpha - \beta) \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix}$.
જો $AB$ શૂન્ય શ્રેણિક હોય,તો $\cos(\alpha - \beta) = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha - \beta = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,જે $\pi / 2$ નો એકી ગુણક છે.

(A) કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $B$ માટે,આપણી પાસે $B(\operatorname{adj} B) = |B| I_{n}$ છે.
$B = \operatorname{adj} A$ લેતા,આપણને $(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |\operatorname{adj} A| I_{n}$ મળે છે.
કારણ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,તેથી $(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} I_{n}$ થાય.
બંને બાજુ ડાબી બાજુએ $A$ વડે ગુણતા,આપણને $A(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} A$ મળે છે.
કારણ કે $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_{n}$,તેથી $(|A| I_{n})[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} A$ થાય.
બંને બાજુ $|A|$ વડે ભાગતા (ધારો કે $|A| \neq 0$),આપણને $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ મળે છે.

(A) $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ના સમતલમાં કોઈપણ સદિશ $\overrightarrow{r} = m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ તરીકે લખી શકાય.
$\overrightarrow{r} = m(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (m+1)\hat{i} + (2m+1)\hat{j} + (-m-2)\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}$ પર $\overrightarrow{r}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
$\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,તેથી $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 2(m+1) - (2m+1) + (-m-2) = -m - 1$.
તેથી,$\frac{|-m-1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
$|-m-1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $-m-1 = 2$ અથવા $-m-1 = -2$.
જો $-m-1 = 2$,તો $m = -3$. તેથી $\overrightarrow{r} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$.
જો $-m-1 = -2$,તો $m = 1$. તેથી $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.

(D) આપેલા ત્રણ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક (scalar triple product) શૂન્ય થાય.
તેથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & \lambda & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(15 - 12) - \lambda(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$1(3) - \lambda(-6) + 3(3) = 0$
$3 + 6\lambda + 9 = 0$
$6\lambda + 12 = 0$
$6\lambda = -12$
$\lambda = -2$

(C) પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ એ વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = (2 \hat{i}-5 \hat{j}+6 \hat{k}) + (-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d}$ એ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{d} = (6 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) - (4 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}) = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k})$
$W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(-1) = 2 - 12 - 5 = -15 \text{ unit}$

(D) આપેલ છે,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
$\therefore \overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\overrightarrow{c}|^2 = (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$
કારણ કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$49 = 34 + 30 \cos \theta$
$15 = 30 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.