MHT CET 2007 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) यहाँ,फलन $f(x) = x^{2} - 78.8$ है।
इसका अवकलज $f^{\prime}(x) = 2x$ है।
प्रारंभिक सन्निकटन $x_{0} = 14$ है।
Newton-Raphson सूत्र के अनुसार,प्रथम सन्निकटन $x_{1}$ इस प्रकार है:
$x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}$
$x_{1} = 14 - \frac{(14)^{2} - 78.8}{2 \times 14}$
$x_{1} = 14 - \frac{196 - 78.8}{28}$
$x_{1} = 14 - \frac{117.2}{28}$
$x_{1} = 14 - 4.1857...$
$x_{1} \approx 9.814$.

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + k = 0$ है।
चूंकि यह $(2,0)$ से गुजरता है,$4 + 4g + k = 0 \Rightarrow k = -4 - 4g$.
चूंकि यह $(0,1)$ से गुजरता है,$1 + 2f + k = 0 \Rightarrow k = -1 - 2f$.
चूंकि यह $(4,5)$ से गुजरता है,$41 + 8g + 10f + k = 0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = -\frac{13}{6}$,$f = -\frac{17}{6}$,और $k = \frac{14}{3}$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $3(x^{2} + y^{2}) - 13x - 17y + 14 = 0$ है।
चूंकि $(0, c)$ इस वृत्त पर स्थित है,$x=0$ और $y=c$ रखने पर:
$3c^{2} - 17c + 14 = 0$.
$(3c - 14)(c - 1) = 0$.
अतः,$c = 1$ या $c = \frac{14}{3}$.
चूंकि $(0,1)$ पहले से ही एक बिंदु है,इसलिए $c = \frac{14}{3}$ होगा।

(C) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(1, 2)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(4, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $r = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2}$
$r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi (5)^2 = 25 \pi$ वर्ग इकाई।

(B) बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $\frac{x-\alpha}{\cos \theta} = \frac{y-\beta}{\sin \theta} = k$ है,जहाँ $k$ बिंदु $P$ से रेखा पर किसी बिंदु की दूरी को दर्शाता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ है।
चूंकि यह बिंदु वृत्त $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ पर स्थित है,इसलिए:
$(\alpha + k \cos \theta)^{2} + (\beta + k \sin \theta)^{2} = r^{2}$
इसका विस्तार करने पर:
$k^{2} + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}) = 0$
यह $k$ में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए कि इसके मूल $k_{1}$ और $k_{2}$ हैं,जो $PA$ और $PB$ की लंबाई को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $PA \cdot PB = k_{1}k_{2}$ द्विघात समीकरण के अचर पद के बराबर होता है:
$PA \cdot PB = \alpha^{2} + \beta^{2} - r^{2}$.

(A) दो नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 7 - (-1) = 8$ है।
चूंकि $e = 1/2$,हमारे पास $2a(1/2) = 8$ है,जिसका अर्थ है $a = 8$।
दीर्घवृत्त का केंद्र नाभियों का मध्य बिंदु है: $(\frac{-1+7}{2}, \frac{0+0}{2}) = (3, 0)$।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2 = 64(1 - 1/4) = 64(3/4) = 48$ प्राप्त होता है।
अतः,$b = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{(x-3)^2}{8^2} + \frac{y^2}{(4\sqrt{3})^2} = 1$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $(x, y) = (h + a \cos \theta, k + b \sin \theta)$ द्वारा दिए जाते हैं,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
मान रखने पर,हमें $(3 + 8 \cos \theta, 4\sqrt{3} \sin \theta)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $y=mx+c$ अतिपरवलय $9x^{2}-16y^{2}=144$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
अतिपरवलय को $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के रूप में लिखने पर,$a^{2}=16$ और $b^{2}=9$ प्राप्त होता है।
$y=mx+c$ के अतिपरवलय की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=a^{2}m^{2}-b^{2}$ है,अतः $c^{2}=16m^{2}-9$ $(i)$।
$y=mx+c$ के वृत्त $x^{2}+y^{2}=3^{2}$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^{2}=r^{2}(1+m^{2})$ है,अतः $c^{2}=9(1+m^{2})$ (ii)।
$(i)$ और (ii) की तुलना करने पर: $16m^{2}-9=9+9m^{2}$।
$7m^{2}=18$ $\Rightarrow m^{2}=\frac{18}{7}$ $\Rightarrow m=\pm 3\sqrt{\frac{2}{7}}$।
$m^{2}=\frac{18}{7}$ का मान (ii) में रखने पर: $c^{2}=9(1+\frac{18}{7})=9(\frac{25}{7})=\frac{225}{7}$।
अतः,$c=\pm \frac{15}{\sqrt{7}}$।
इस प्रकार,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $y=3\sqrt{\frac{2}{7}}x+\frac{15}{\sqrt{7}}$ है।

(B) माना $L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{x^{4}}$.
$\cos \theta$ के लिए टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर,$\cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - O(\theta^6)$.
चूंकि $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$,
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$ और $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.
इन मानों को रखने पर:
$L = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}) - (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24})}{x^4} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^4/24}{x^4} = \frac{1}{6}$.

(A) दिया गया सीमा $1^{\infty}$ के रूप में है।
हम सूत्र $\lim _{x \rightarrow a} [f(x)]^{g(x)} = e^{\lim _{x \rightarrow a} g(x)[f(x)-1]}$ का उपयोग करते हैं।
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-4 x+2}\right)^{x} = e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x \left(\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-4 x+2} - 1\right)}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x \left(\frac{x^{2}-2 x+1 - (x^{2}-4 x+2)}{x^{2}-4 x+2}\right)}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x \left(\frac{2 x-1}{x^{2}-4 x+2}\right)}$
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^{2}-x}{x^{2}-4 x+2}}$
अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 - 1/x}{1 - 4/x + 2/x^{2}}} = e^{2/1} = e^{2}$.

(B) तार्किक कथन का द्वैत ज्ञात करने के लिए,हम $\vee$ को $\wedge$ से,$\wedge$ को $\vee$ से,$T$ को $F$ से और $F$ को $T$ से बदलते हैं।
दिया गया कथन: $[p \vee (\sim q)] \wedge (\sim p)$।
$\vee$ को $\wedge$ से और $\wedge$ को $\vee$ से बदलने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[p \wedge (\sim q)] \vee (\sim p)$।

(A) यदि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac < 0$ हो,तो द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल काल्पनिक हो सकते हैं।
अतः,कथन '$A$ quadratic equation always has a real root' असत्य है,जिसका अर्थ है कि इसका सत्यता मान '$F$' है।
विकल्प $B$ सत्य है क्योंकि यह क्रमचय का सूत्र दर्शाता है।
विकल्प $C$ सत्य है क्योंकि इकाई के घनमूल $1, \omega, \omega^2$ हैं,जो सामान्य अनुपात $\omega$ के साथ $GP$ बनाते हैं।

(C) रेखाओं $x^{2}-2 p x y-y^{2}=0$ के बीच के कोणों के समद्विभाजक का समीकरण $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a=1, b=-1, h=-p$ है।
अतः,$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$.
$\Rightarrow \frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{-xy}{p}$.
$\Rightarrow px^{2} + 2xy - py^{2} = 0$.
चूंकि यह समीकरण $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ के समान रेखाओं के युग्म को दर्शाता है,हम गुणांकों की तुलना करते हैं:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$.
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ से,हमें $p = -\frac{1}{q}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $pq = -1$ या $pq+1=0$।

(B) $3$ पत्रों को $3$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $3! = 6$ हैं।
सभी पत्रों को उनके सही लिफाफों में रखने का केवल $1$ तरीका है।
सभी पत्रों के सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।

(D) जब दो पासों को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए पहले पासे का परिणाम $x$ और दूसरे पासे का परिणाम $y$ है। हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है जहाँ $x < y$ हो।
$x < y$ के लिए संभावित जोड़े $(x, y)$ इस प्रकार हैं:
$x=1$ के लिए,$y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ परिणाम)।
$x=2$ के लिए,$y \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ परिणाम)।
$x=3$ के लिए,$y \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ परिणाम)।
$x=4$ के लिए,$y \in \{5, 6\}$ ($2$ परिणाम)।
$x=5$ के लिए,$y \in \{6\}$ ($1$ परिणाम)।
$x=6$ के लिए,$y$ का कोई संभावित मान नहीं है।
कुल अनुकूल परिणाम $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$।
प्रायिकता $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ है।

(B) मान लीजिए कि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
घटना $A$ के प्रतिकूल ऑड्स $5:2$ हैं,इसलिए $A$ के घटित होने की प्रायिकता $P(A) = \frac{2}{5+2} = \frac{2}{7}$ है।
$A$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ है।
घटना $B$ के अनुकूल ऑड्स $6:5$ हैं,इसलिए $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(B) = \frac{6}{6+5} = \frac{6}{11}$ है।
$B$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(\bar{B}) = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$ है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A})P(\bar{B})$ है।
$P(A \cup B) = 1 - (\frac{5}{7} \times \frac{5}{11}) = 1 - \frac{25}{77} = \frac{77-25}{77} = \frac{52}{77}$.

(C) दिया गया समीकरण $xy+2x+2y+4=0$ को $(x+2)(y+2)=0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो रेखाओं $x=-2$ और $y=-2$ को दर्शाता है।
तीसरी रेखा $x+y+2=0$ दी गई है।
त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $x=-2$ और $y=-2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-2,-2)$ है।
$2$. $x=-2$ और $x+y+2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-2,0)$ है।
$3$. $y=-2$ और $x+y+2=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(0,-2)$ है।
शीर्ष $A(-2,0)$,$B(0,-2)$ और $C(-2,-2)$ हैं।
चूंकि रेखाएं $x=-2$ और $y=-2$ लंबवत हैं,इसलिए $\Delta ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $C(-2,-2)$ पर है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।
$AB$ का मध्य बिंदु = $(\frac{-2+0}{2}, \frac{0-2}{2}) = (-1,-1)$.

(D) माना परवलय $y^2=4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
परवलय $x^2=-32y$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx-am^2$ है,जहाँ $x^2=4ay$ से $a=-8$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा $y=mx-(-8)m^2$ अर्थात $y=mx+8m^2$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं के समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{m}=8m^2$ प्राप्त होता है।
इससे $m^3=\frac{1}{8}$,अर्थात $m=\frac{1}{2}$ मिलता है।
$m=\frac{1}{2}$ को पहले समीकरण में रखने पर: $y=\frac{1}{2}x+2$ प्राप्त होता है।
अतः $2y=x+4$,या $x-2y+4=0$।

(B) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,नाभियाँ $(\pm ae, 0)$ हैं। यहाँ $a^2=16$ है। उत्केंद्रता $e_1 = \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}$ है। नाभि $(\pm 4 \times \sqrt{1-\frac{b^2}{16}}, 0) = (\pm \sqrt{16-b^2}, 0)$ है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ के लिए,इसे $\frac{x^2}{(12/5)^2}-\frac{y^2}{(9/5)^2}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2 = \frac{144}{25}$ और $b^2 = \frac{81}{25}$ है।
उत्केंद्रता $e_2 = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{81/25}{144/25}} = \sqrt{1+\frac{81}{144}} = \sqrt{\frac{225}{144}} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae_2, 0) = (\pm \frac{12}{5} \times \frac{5}{4}, 0) = (\pm 3, 0)$ हैं।
चूंकि नाभियाँ संपाती हैं,$\sqrt{16-b^2} = 3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16-b^2 = 9$,जिससे $b^2 = 7$ प्राप्त होता है।

(C) स्पर्शरेखा की ढाल के लिए दिया गया अवकल समीकरण:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \cos^2\left(\frac{y}{x}\right)$
यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$v + x\frac{dv}{dx} = v - \cos^2(v)$
$x\frac{dv}{dx} = -\cos^2(v)$
चरों को अलग करने पर:
$\sec^2(v) dv = -\frac{1}{x} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर:
$\int \sec^2(v) dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\tan(v) = -\log|x| + C$
$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर:
$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = -\log|x| + C$
वक्र $\left(1, \frac{\pi}{4}\right)$ से गुजरता है,इसलिए:
$\tan\left(\frac{\pi/4}{1}\right) = -\log(1) + C$
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0 + C \Rightarrow C = 1$
अतः,$\tan\left(\frac{y}{x}\right) = 1 - \log(x) = \log(e) - \log(x) = \log\left(\frac{e}{x}\right)$
इसलिए,$y = x \tan^{-1}\left[\log\left(\frac{e}{x}\right)\right]$.

(D) माना आयत $r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित है। आयत की भुजाएँ $2x$ और $2y$ हैं। चूँकि आयत वृत्त में अंतर्निहित है,आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास है,इसलिए $(2x)^2 + (2y)^2 = (2r)^2$,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = r^2$ या $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ हो जाता है।
आयत का क्षेत्रफल $A = (2x)(2y) = 4x\sqrt{r^2 - x^2}$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{dA}{dx} = 4 \left( \sqrt{r^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{r^2 - x^2}} \cdot (-2x) \right) = 4 \left( \frac{r^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{r^2 - x^2}} \right) = \frac{4(r^2 - 2x^2)}{\sqrt{r^2 - x^2}}$.
$\frac{dA}{dx} = 0$ रखने पर $r^2 - 2x^2 = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{r}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{r}{\sqrt{2}}$ को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$A = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \sqrt{r^2 - \frac{r^2}{2}} = 4 \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{r}{\sqrt{2}} \right) = 4 \cdot \frac{r^2}{2} = 2r^2$.
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $2r^2$ है।

(A) एक फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान होता है यदि सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = kx - \sin x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$f'(x) = k - \cos x$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के वर्धमान होने के लिए,सभी $x \in R$ के लिए $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$k - \cos x \geq 0 \implies k \geq \cos x$.
चूंकि $\cos x$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए $k \geq \cos x$ सत्य होने के लिए,$k$ का मान $\cos x$ के अधिकतम मान से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,$k \geq 1$.

(A) दिया गया है,$f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
सबसे पहले,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4 + 2x - 2x}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{4 + 4x + x^2 - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} = \frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूंकि $x^2 \geq 0$ और $(2+x)^2 > 0$ है ($x > -1$ के लिए),इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $(1+x)$ पर निर्भर करता है।
अतः,$f'(x) > 0$ तब होता है जब $1+x > 0$,जिसका अर्थ है $x > -1$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर,$x > 0$ के लिए $f'(x) > 0$ की शर्त स्पष्ट रूप से संतुष्ट होती है।
इसलिए,फलन $(0, \infty)$ पर वर्धमान है।

(B) दिया गया है,$f(x) = x^{25}(1-x)^{75}$.
अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{75} - 75x^{25}(1-x)^{74}$.
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} [ (1-x) - 3x ]$.
$f'(x) = 25x^{24}(1-x)^{74} (1-4x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर हमें क्रांतिक बिंदु $x = 0, 1, 1/4$ प्राप्त होते हैं।
$x \in (0, 1/4)$ के लिए,$f'(x) > 0$ (फलन वर्धमान है)।
$x \in (1/4, 1)$ के लिए,$f'(x) < 0$ (फलन ह्रासमान है)।
चूंकि $x = 1/4$ पर अवकलज का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है,इसलिए फलन $x = 1/4$ पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

(C) दिया गया है,$f(x)=2 x^{3}-9 a x^{2}+12 a^{2} x+1$. अवकलन करने पर क्रांतिक बिंदु प्राप्त होते हैं: $f^{\prime}(x) = 6x^{2} - 18ax + 12a^{2} = 6(x-a)(x-2a) = 0$.
अतः,क्रांतिक बिंदु $x=a$ और $x=2a$ हैं।
द्वितीय अवकलज $f^{\prime \prime}(x) = 12x - 18a$ है।
$p$ पर अधिकतम मान के लिए,$f^{\prime \prime}(p) < 0 \Rightarrow 12p - 18a < 0 \Rightarrow p < \frac{3}{2}a$.
$q$ पर न्यूनतम मान के लिए,$f^{\prime \prime}(q) > 0 \Rightarrow 12q - 18a > 0 \Rightarrow q > \frac{3}{2}a$.
इन शर्तों के अनुसार,$p=a$ और $q=2a$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $p^{2}=q$,इसलिए $a^{2} = 2a$.
$a^{2} - 2a = 0 \Rightarrow a(a-2) = 0$.
अतः,$a=0$ या $a=2$.
यदि $a=0$ है,तो $f(x)=2x^{3}+1$ एक वर्धमान फलन है और इसका कोई स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
इसलिए,$a=2$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x \geq 0 \\ e^{x}, & x < 0 \end{cases}$
$LHL = \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{x} = 1$
$RHL = \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{-x} = 1$
साथ ही,$f(0) = e^{0} = 1$
चूंकि $LHL = RHL = f(0)$,इसलिए फलन $x$ के प्रत्येक मान के लिए सतत है।
अब,हम $x = 0$ पर अवकलनीयता की जांच करते हैं:
$LHD = \left(\frac{d}{dx} e^{x}\right)_{x = 0} = \left[e^{x}\right]_{x = 0} = 1$
$RHD = \left(\frac{d}{dx} e^{-x}\right)_{x = 0} = \left[-e^{-x}\right]_{x = 0} = -1$
चूंकि $LHD \neq RHD$,इसलिए $f(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,$f(x) = e^{-|x|}$ हर जगह सतत है लेकिन $x = 0$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) फलन $f(x) = |x-1| e^{x}$ दो फलनों का गुणनफल है: $g(x) = |x-1|$ और $h(x) = e^{x}$।
हम जानते हैं कि $e^{x}$ सभी $x \in R$ के लिए अवकलनीय है।
फलन $g(x) = |x-1|$ हर जगह सतत है लेकिन $x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है क्योंकि $x = 1$ पर बायां अवकलज और दायां अवकलज समान नहीं हैं।
विशेष रूप से,$x = 1$ पर,बायां अवकलज $-e^{1} = -e$ है और दायां अवकलज $e^{1} = e$ है।
चूंकि एक गैर-अवकलनीय फलन और एक गैर-शून्य अवकलनीय फलन का गुणनफल उस बिंदु पर गैर-अवकलनीय होता है,इसलिए $f(x)$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,बिंदुओं का वह समुच्चय जहाँ $f(x)$ अवकलनीय है,$R - \{1\}$ है।

(B) दिया गया है,$f(x)=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)^{2}}} \times \frac{d}{d x}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)$
$f^{\prime}(x) = \frac{1+x^{2}}{\sqrt{(1-x^{2})^{2}}} \times \frac{2(1-x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}$
$f^{\prime}(x) = \frac{2}{1+x^{2}} \times \frac{1-x^{2}}{|1-x^{2}|}$
यह इस प्रकार सरल होता है:
$f^{\prime}(x) = \begin{cases} \frac{2}{1+x^{2}}, & \text{यदि } |x| < 1 \\ -\frac{2}{1+x^{2}}, & \text{यदि } |x| > 1 \end{cases}$
$x = 1$ और $x = -1$ पर अवकलज का अस्तित्व नहीं है क्योंकि बायां अवकलज और दायां अवकलज समान नहीं हैं।
अतः,$f(x)$ अंतराल $R - \{-1, 1\}$ पर अवकलनीय है.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos 3x + 1}{2 \cos x - 1} dx$.
सर्वसमिका $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos 3x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1$ है।
चूंकि $\cos(\pi/3) = 1/2$,हम $2 \cos x - 1 = 2(\cos x - \cos(\pi/3))$ लिख सकते हैं।
साथ ही,$4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3) + 1 = 4(1/8) - 3(1/2) + 1 = 1/2 - 3/2 + 1 = 0$ है।
अतः,अंश $4 \cos^3 x - 3 \cos x + 1 = 4 \cos^3 x - 3 \cos x - (4 \cos^3(\pi/3) - 3 \cos(\pi/3))$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को सरल करते हैं:
$\frac{4(\cos^3 x - \cos^3(\pi/3)) - 3(\cos x - \cos(\pi/3))}{2(\cos x - \cos(\pi/3))} = \frac{4(\cos^2 x + \cos x \cos(\pi/3) + \cos^2(\pi/3)) - 3}{2} = \frac{4 \cos^2 x + 2 \cos x + 1 - 3}{2} = 2 \cos^2 x + \cos x - 1$.
$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमें $2(\frac{1 + \cos 2x}{2}) + \cos x - 1 = 1 + \cos 2x + \cos x - 1 = \cos 2x + \cos x$ प्राप्त होता है।
अब,$I = \int_{0}^{\pi / 2} (\cos 2x + \cos x) dx = [\frac{1}{2} \sin 2x + \sin x]_{0}^{\pi / 2} = (\frac{1}{2} \sin \pi + \sin(\pi/2)) - (0 + 0) = 0 + 1 = 1$.

(C) दिया गया समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx$ है जिसे $n=2$ उप-अंतरालों में विभाजित किया गया है।
यहाँ,अंतराल $[0, 1]$ है,इसलिए $h = \frac{1-0}{2} = \frac{1}{2}$ है।
बिंदु $x_0 = 0$,$x_1 = 0.5$,और $x_2 = 1$ हैं।
$y = f(x) = \frac{1}{1+x}$ के लिए संगत मान हैं:
$y_0 = f(0) = \frac{1}{1+0} = 1$
$y_1 = f(0.5) = \frac{1}{1+0.5} = \frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$
$y_2 = f(1) = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
सिम्पसन के एक-तिहाई नियम का उपयोग करते हुए: $\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} [y_0 + 4y_1 + y_2]$।
मान रखने पर: $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} dx \approx \frac{0.5}{3} [1 + 4(\frac{2}{3}) + 0.5] = \frac{1}{6} [1 + \frac{8}{3} + 0.5] = \frac{1}{6} [1.5 + \frac{8}{3}] = \frac{1}{6} [\frac{3}{2} + \frac{8}{3}] = \frac{1}{6} [\frac{9+16}{6}] = \frac{25}{36}$।

(B) माना $I = \int_{0}^{1} \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-1}{1+x-x^{2}}\right) d x$.
हम $\tan^{-1}$ फलन के तर्क को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{2x-1}{1+x-x^2} = \frac{x + (x-1)}{1 - x(x-1)}$.
सर्वसमिका $\tan^{-1}(A) + \tan^{-1}(B) = \tan^{-1}\left(\frac{A+B}{1-AB}\right)$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{0}^{1} (\tan^{-1}(x) + \tan^{-1}(x-1)) d x$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) d x = \int_{0}^{a} f(a-x) d x$ का उपयोग करते हुए,माना $f(x) = \tan^{-1}(x-1)$.
अतः $\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}((1-x)-1) d x = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(-x) d x = -\int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x$.
इस मान को समाकलन में वापस रखने पर:
$I = \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x - \int_{0}^{1} \tan^{-1}(x) d x = 0$.

(A) समीकरणों के निकाय को $AX = B$ के रूप में दर्शाया जा सकता है,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 5 & 5 & 9 \end{bmatrix}$ है।
हल की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम सारणिक $\Delta = |A|$ की गणना करते हैं।
$\Delta = 1(9-15) - 2(18-15) + 3(10-5)$
$\Delta = 1(-6) - 2(3) + 3(5)$
$\Delta = -6 - 6 + 15 = 3$.
चूँकि $\Delta \neq 0$ है,इसलिए समीकरणों के निकाय का एक अद्वितीय हल (केवल एक हल) है।

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$,और $\overrightarrow{c}$ असमतलीय सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है:
$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| \neq 0$.
माना $\Delta = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right|$.
हमें सारणिक समीकरण दिया गया है:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3\end{array}\right| = 0$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम इसे दो सारणिकों में विभाजित कर सकते हैं:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll}a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3\end{array}\right| = 0$.
दूसरे सारणिक में,क्रमशः पंक्ति $1, 2, 3$ से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| = 0$.
ध्यान दें कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\right| = \Delta$ (स्तंभों को दो बार आपस में बदलने पर)।
अतः,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,इसलिए $1 + abc = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $abc = -1$।

(A) दिया गया हल $y=a \cos x+b \sin x+c e^{-x}$ है।
चूंकि हल में $3$ स्वेच्छ अचर $(a, b, c)$ हैं,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
अतः,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(D) $y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $(x-h)^{2} = 4a(y-k)$ है,जहाँ $h, k,$ और $a$ स्वेच्छ अचर हैं।
चूँकि इसमें $3$ स्वेच्छ अचर हैं,हमें समीकरण का $3$ बार अवकलन करना होगा।
माना $(x-h)^{2} = A(y-k)$,जहाँ $A = 4a$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(x-h) = A y_{1}$।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2 = A y_{2}$।
तीसरी बार $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $0 = A y_{3}$।
चूँकि $A = 4a \neq 0$,इसलिए $y_{3} = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी $y_{3} = 0$ से मेल नहीं खाता है।

(B) दिया गया है $x=\phi(t)$ और $y=\psi(t)$।
सबसे पहले,हम चेन रूल का उपयोग करके प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\psi^{\prime}(t)}{\phi^{\prime}(t)}$.
अब,हम $\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\psi^{\prime}}{\phi^{\prime}}\right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{\psi^{\prime}}{\phi^{\prime}}\right) \cdot \frac{dt}{dx}$.
भागफल नियम (quotient rule) का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\phi^{\prime}\psi^{\prime\prime} - \psi^{\prime}\phi^{\prime\prime}}{(\phi^{\prime})^{2}} \cdot \frac{1}{\phi^{\prime}}$.
$= \frac{\phi^{\prime}\psi^{\prime\prime} - \psi^{\prime}\phi^{\prime\prime}}{(\phi^{\prime})^{3}}$.

(A) दिया गया है,$y = \log_{\cos x} \sin x = \frac{\log \sin x}{\log \cos x}$.
भागफल नियम $\frac{d}{dx} \left( \frac{u}{v} \right) = \frac{v u' - u v'}{v^2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = \log \sin x$ और $v = \log \cos x$ है।
तब $u' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ और $v' = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\tan x$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = \frac{(\log \cos x)(\cot x) - (\log \sin x)(-\tan x)}{(\log \cos x)^2}$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{\cot x \log \cos x + \tan x \log \sin x}{(\log \cos x)^2}$.

(C) हमारे पास है,$y = \log |x| = \begin{cases} \log x, & x > 0 \\ \log (-x), & x < 0 \end{cases}$
$x > 0$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log x) = \frac{1}{x}$.
$x < 0$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\log (-x)) = \frac{1}{-x} \times \frac{d}{dx}(-x) = \frac{1}{-x} \times (-1) = \frac{1}{x}$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$ जहाँ $x \neq 0$.

(A) दिया गया है,$y^{2}=a x^{2}+b x+c$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2 y \frac{d y}{d x}=2 a x+b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2(\frac{d y}{d x})^{2} + 2 y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 2 a$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $(\frac{d y}{d x})^{2} + y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a$ प्राप्त होता है।
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 a x + b}{2 y}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = a - (\frac{2 a x + b}{2 y})^{2}$ प्राप्त होता है।
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a y^{2} - (2 a x + b)^{2}}{4 y^{2}}$.
$y^{2} = a x^{2} + b x + c$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a (a x^{2} + b x + c) - (4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + b^{2})}{4 y^{2}}$ प्राप्त होता है।
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c - 4 a^{2} x^{2} - 4 a b x - b^{2}}{4 y^{2}}$.
$y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 y^{2}}$.
दोनों पक्षों को $y^{2}$ से गुणा करने पर,हमें $y^{3} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{4 a c - b^{2}}{4}$ प्राप्त होता है,जो कि एक स्थिरांक है।

(A) दिया गया है $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$।
हमें दिया गया है कि $f \circ f(x) = x$ है।
इसका अर्थ है $f(f(x)) = x$।
$f(x)$ का मान फलन में रखने पर:
$f\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) = x$
$\frac{a\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + b}{c\left(\frac{ax + b}{cx + d}\right) + d} = x$
अंश और हर को $(cx + d)$ से गुणा करने पर:
$\frac{a(ax + b) + b(cx + d)}{c(ax + b) + d(cx + d)} = x$
$\frac{a^2x + ab + bcx + bd}{acx + bc + cdx + d^2} = x$
$\frac{(a^2 + bc)x + (ab + bd)}{(ac + cd)x + (bc + d^2)} = x$
$(a^2 + bc)x + (ab + bd) = x((ac + cd)x + (bc + d^2))$
$(a^2 + bc)x + b(a + d) = (ac + cd)x^2 + (bc + d^2)x$
यह समीकरण सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,गुणांक समान होने चाहिए। अचर पद की तुलना करने पर,हमें $b(a + d) = 0$ प्राप्त होता है। यदि $b \neq 0$ है,तो $a + d = 0$,जिसका अर्थ है $d = -a$। यदि $d = -a$ है,तो व्यंजक $\frac{ax + b}{cx - a}$ बन जाता है,और $f(f(x)) = \frac{a(\frac{ax+b}{cx-a}) + b}{c(\frac{ax+b}{cx-a}) - a} = \frac{a^2x + ab + bcx - ab}{acx + bc - acx + a^2} = \frac{x(a^2 + bc)}{a^2 + bc} = x$। अतः,$d = -a$ आवश्यक शर्त है।

(B) माना $y = f(x) = x^{3} + 5$ है।
प्रतिलोम फलन ज्ञात करने के लिए,हम $x$ को $y$ के पदों में व्यक्त करते हैं:
$y - 5 = x^{3}$
$x = (y - 5)^{1/3}$
चूंकि $f^{-1}(y) = x$,इसलिए $f^{-1}(y) = (y - 5)^{1/3}$ है।
$y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f^{-1}(x) = (x - 5)^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \cos ^{3} x \cdot e^{\log (\sin x)} d x$.
चूंकि $e^{\log (\sin x)} = \sin x$,इसलिए समाकलन $I = \int \cos ^{3} x \sin x d x$ हो जाता है।
माना $u = \cos x$. तब $du = -\sin x d x$,जिसका अर्थ है कि $\sin x d x = -du$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int u^{3} (-du) = -\int u^{3} du$.
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = -\frac{u^{4}}{4} + c$.
अंत में $u = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\frac{\cos ^{4} x}{4} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$.
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{x + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int \left( \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2} \right) dx$
अब,पहले पद $\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{x}{2}$ और $dv = \sec^2 \frac{x}{2} dx$ लेने पर:
$\int \frac{x}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = \frac{x}{2} \cdot 2 \tan \frac{x}{2} - \int (1) \cdot \tan \frac{x}{2} dx = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = x \tan \frac{x}{2} - \int \tan \frac{x}{2} dx + \int \tan \frac{x}{2} dx + c$
$I = x \tan \frac{x}{2} + c$.

(B) दी गई असमिकाएँ $-x_{1} + x_{2} \leq 1$,$-x_{1} + 3x_{2} \leq 9$,और $x_{1}, x_{2} \geq 0$ हैं।
सुसंगत क्षेत्र की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम रेखाओं $-x_{1} + x_{2} = 1$ और $-x_{1} + 3x_{2} = 9$ को आलेखित करते हैं।
$-x_{1} + x_{2} = 1$ के लिए,अंतःखंड $(0, 1)$ और $(-1, 0)$ हैं।
$-x_{1} + 3x_{2} = 9$ के लिए,अंतःखंड $(0, 3)$ और $(-9, 0)$ हैं।
चूंकि क्षेत्र $x_{1}, x_{2} \geq 0$ (प्रथम चतुर्थांश) द्वारा परिभाषित है और असमिकाएँ क्षेत्र को $x_{1}$ और $x_{2}$ के बढ़ने की दिशा में अनंत तक विस्तारित होने की अनुमति देती हैं,इसलिए सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।

(C) एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में,हम रैखिक असमानताओं के प्रतिच्छेदन द्वारा निर्मित एक उत्तल सुसंगत क्षेत्र (convex feasible region) के साथ काम करते हैं। 'इष्टतम समाधान','सुसंगत समाधान' और 'उद्देश्य फलन' रैखिक प्रोग्रामिंग के मानक घटक हैं। 'अवतल क्षेत्र' (Concave region) शब्द का उपयोग इस संदर्भ में नहीं किया जाता है।

(A) हम जानते हैं कि फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\Delta$ को $\Delta f(x) = f(x+h) - f(x)$ के रूप में और बैकवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर $\nabla$ को $\nabla f(x) = f(x) - f(x-h)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अब,व्यंजक $\Delta \nabla f(x)$ पर विचार करें:
$\Delta \nabla f(x) = \Delta [f(x) - f(x-h)]$
$= \Delta f(x) - \Delta f(x-h)$
$= [f(x+h) - f(x)] - [f(x) - f(x-h)]$
$= [f(x+h) - f(x)] - \nabla f(x)$
$= \Delta f(x) - \nabla f(x)$
अतः,$\Delta \nabla = \Delta - \nabla$.

(C) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$ हैं।
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \cos \alpha \sin \alpha \\ \cos \alpha \sin \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \cos \beta \sin \beta \\ \cos \beta \sin \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$
$= \cos(\alpha - \beta) \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix}$.
यदि $AB$ एक शून्य आव्यूह है,तो $\cos(\alpha - \beta) = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\alpha - \beta = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$,जो $\pi / 2$ का एक विषम गुणज है।

(A) किसी भी वर्ग आव्यूह $B$ के लिए,हमारे पास $B(\operatorname{adj} B) = |B| I_{n}$ होता है।
$B = \operatorname{adj} A$ लेने पर,हमें $(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |\operatorname{adj} A| I_{n}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$,इसलिए $(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} I_{n}$ होता है।
दोनों पक्षों को बाईं ओर से $A$ से गुणा करने पर,हमें $A(\operatorname{adj} A)[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} A$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A(\operatorname{adj} A) = |A| I_{n}$,इसलिए $(|A| I_{n})[\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A)] = |A|^{n-1} A$ होता है।
दोनों पक्षों को $|A|$ से विभाजित करने पर (मान लें कि $|A| \neq 0$),हमें $\operatorname{adj}(\operatorname{adj} A) = |A|^{n-2} A$ प्राप्त होता है।

(A) $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के समतल में कोई भी सदिश $\overrightarrow{r} = m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\overrightarrow{r} = m(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (m+1)\hat{i} + (2m+1)\hat{j} + (-m-2)\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{r}$ का प्रक्षेप $\frac{|\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
$\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 2(m+1) - (2m+1) + (-m-2) = -m - 1$.
अतः,$\frac{|-m-1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
$|-m-1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-m-1 = 2$ या $-m-1 = -2$.
यदि $-m-1 = 2$,तो $m = -3$. अतः $\overrightarrow{r} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$.
यदि $-m-1 = -2$,तो $m = 1$. अतः $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ है।

(D) चूंकि दिए गए तीन सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product) शून्य होना चाहिए।
अतः,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 1 & \lambda & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(15 - 12) - \lambda(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$1(3) - \lambda(-6) + 3(3) = 0$
$3 + 6\lambda + 9 = 0$
$6\lambda + 12 = 0$
$6\lambda = -12$
$\lambda = -2$

(C) परिणामी बल $\overrightarrow{F}$ व्यक्तिगत बलों का योग है:
$\overrightarrow{F} = (2 \hat{i}-5 \hat{j}+6 \hat{k}) + (-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d}$, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ द्वारा दिया जाता है:
$\overrightarrow{d} = (6 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) - (4 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}) = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$
किया गया कार्य $W$, बल और विस्थापन सदिशों का अदिश गुणनफल है:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k})$
$W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(-1) = 2 - 12 - 5 = -15 \text{ unit}$

(D) दिया गया है,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
$\therefore \overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|\overrightarrow{c}|^2 = (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$
चूँकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है:
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$49 = 34 + 30 \cos \theta$
$15 = 30 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$.