IIT JEE 2005 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) किरणों $PQ$ और $PR$ का शीर्ष $P(-1, 0)$ पर है,जो सम्मिश्र संख्या $z_0 = -1$ के अनुरूप है।
किरण $PQ$,$(-1 + \sqrt{2}, \sqrt{2}i)$ से होकर गुजरती है,इसलिए वास्तविक अक्ष के साथ इसका कोण $\arg(z + 1) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$ है।
किरण $PR$,$(-1 + \sqrt{2}, -\sqrt{2}i)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका कोण $\arg(z + 1) = -\frac{\pi}{4}$ है।
छायांकित क्षेत्र इन किरणों के बीच स्थित है,इसलिए $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$ है।
चाप $QAR$,$P(-1, 0)$ पर केंद्रित एक वृत्त का हिस्सा है। $P(-1, 0)$ से $A(1, 0)$ तक की दूरी $|1 - (-1)| = 2$ है। अतः,वृत्त की त्रिज्या $2$ है।
छायांकित क्षेत्र इस वृत्त के बाहर है,इसलिए $|z - (-1)| > 2$,यानी $|z + 1| > 2$ है।
अतः,शर्तें $|z + 1| > 2$ और $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$ हैं।

(C) माना $y = |a + b\omega + c\omega^2|$.
$y$ को न्यूनतम होने के लिए $y^2$ को न्यूनतम होना चाहिए।
$y^2 = |a + b\omega + c\omega^2|^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$.
इसे $y^2 = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c$ पूर्णांक हैं और सभी समान नहीं हैं,इसलिए न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब दो चर समान हों और तीसरा $1$ से भिन्न हो (उदाहरण के लिए,$a=0, b=0, c=1$)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y^2 = \frac{1}{2}[0 + 1 + 1] = 1$.
अतः,$y$ का न्यूनतम मान $1$ है।

(D) एक आयत दो क्षैतिज रेखाओं और दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं को चुनकर बनाया जाता है।
मान लीजिए क्षैतिज रेखाएँ $y_0, y_1, \dots, y_{2n-1}$ हैं और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ $x_0, x_1, \dots, x_{2m-1}$ हैं।
एक आयत की भुजा की लंबाई विषम होती है यदि चुनी गई रेखाओं के सूचकांकों (indices) के बीच का अंतर विषम हो।
क्षैतिज भुजा के लिए,हमें दो रेखाएँ $y_i, y_j$ इस प्रकार चुननी होंगी कि $|i - j|$ विषम हो। इसका अर्थ है कि एक सूचकांक सम और दूसरा विषम होना चाहिए।
${0, 1, \dots, 2n-1}$ समुच्चय में,$n$ सम संख्याएँ ${0, 2, \dots, 2n-2}$ और $n$ विषम संख्याएँ ${1, 3, \dots, 2n-1}$ हैं।
एक सम और एक विषम सूचकांक चुनने के तरीकों की संख्या $n \times n = n^2$ है।
इसी प्रकार,ऊर्ध्वाधर भुजा के लिए,दो रेखाएँ चुनने के तरीकों की संख्या ताकि अंतर विषम हो,$m \times m = m^2$ है।
अतः,विषम भुजा लंबाई वाले आयतों की कुल संख्या $m^2 \times n^2 = m^2n^2$ है।

(B) दी गई व्यंजक दो द्विपद विस्तारों के गुणनफल में $x^{20}$ का गुणांक है।
$(1-x)^{30} = \sum_{r=0}^{30} (-1)^r \binom{30}{r} x^r$ और $(x+1)^{30} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} x^{30-k}$ पर विचार करें।
यह व्यंजक $(1-x)^{30}(x+1)^{30} = (1-x^2)^{30}$ के विस्तार में $x^{20}$ का गुणांक है।
$(1-x^2)^{30} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} (-1)^k x^{2k}$ में $x^{20}$ का गुणांक प्राप्त करने के लिए $2k = 20$ रखने पर $k = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणांक $\binom{30}{10} (-1)^{10} = \binom{30}{10}$ है।

(D) दिया गया है $\cos(\alpha - \beta) = 1$ और $-\pi < \alpha, \beta < \pi$ है।
अतः $-2\pi < \alpha - \beta < 2\pi$ होगा।
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ का अर्थ है $\alpha - \beta = 0$,यानी $\alpha = \beta$ है।
अब $\alpha = \beta$ को दूसरे समीकरण में रखने पर,$\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-\pi < \alpha < \pi$,इसलिए $-2\pi < 2\alpha < 2\pi$ होगा।
अंतराल $(-2\pi, 2\pi)$ में $\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ के $4$ हल प्राप्त होते हैं।
अतः $(\alpha, \beta)$ के कुल $4$ क्रमित युग्म संभव हैं।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$a = k\sin A$,$b = k\sin B$,और $c = k\sin C$.
व्यंजक $\frac{b - c}{a} = \frac{\sin B - \sin C}{\sin A}$ पर विचार करें।
सूत्र $\sin B - \sin C = 2\sin \frac{B - C}{2} \cos \frac{B + C}{2}$ का उपयोग करते हुए।
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\frac{B + C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$,अतः $\cos \frac{B + C}{2} = \sin \frac{A}{2}$.
साथ ही,$\sin A = 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b - c}{a} = \frac{2\sin \frac{B - C}{2} \sin \frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\sin \frac{B - C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$.
अतः,$(b - c)\cos \frac{A}{2} = a\sin \frac{B - C}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या $r = 1$ है। तीनों सिक्कों के केंद्र $2r = 2$ भुजा की लंबाई वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
बड़े समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B, C$ हैं और सिक्कों के केंद्र $C_1, C_2, C_3$ हैं।
किसी शीर्ष (जैसे $B$) से भुजा $BC$ पर निकटतम सिक्के के केंद्र के प्रक्षेप $(M)$ की दूरी $BM = r \cot(30^\circ) = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ है।
आधार के दो सिक्कों के केंद्रों के बीच की दूरी $MN = 2r = 2$ है।
समरूपता द्वारा,बड़े समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $s = BM + MN + NC = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + 2\sqrt{3} = 2(1 + \sqrt{3})$ है।
$s$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} [2(1 + \sqrt{3})]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4(1 + \sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(1 + 3 + 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 6 \; \text{sq. units}$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
चूंकि वृत्त ${x^2} + {(y - 1)^2} = 1$ (केंद्र $(0, 1)$,त्रिज्या $1$) को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है:
$\sqrt {{{(h - 0)}^2} + {{(k - 1)}^2}} = 1 + |k|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
${h^2} + {(k - 1)^2} = {(1 + |k|)^2}$
${h^2} + {k^2} - 2k + 1 = 1 + 2|k| + {k^2}$
${h^2} = 2k + 2|k|$
स्थिति $1$: यदि $k > 0$ है,तो $|k| = k$,इसलिए ${h^2} = 2k + 2k = 4k$। अतः,$y > 0$ के लिए बिंदु पथ ${x^2} = 4y$ है।
स्थिति $2$: यदि $k < 0$ है,तो $|k| = -k$,इसलिए ${h^2} = 2k - 2k = 0$। अतः,$y < 0$ के लिए बिंदु पथ $x = 0$ है।
इस प्रकार,बिंदु पथ $\{ (x, y) : {x^2} = 4y, y > 0\} \cup \{ (0, y) : y < 0\}$ है।

(C) परवलय $y = x^2 + 6$ के बिंदु $(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{1}{2}(y + 7) = x(1) + 6$ है।
इसे सरल करने पर,$y + 7 = 2x + 12$,अर्थात $y = 2x + 5$ $(i)$ प्राप्त होता है।
यह स्पर्श रेखा वृत्त $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ $(ii)$ को स्पर्श करती है।
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (2x + 5)^2 + 16x + 12(2x + 5) + c = 0$
$5x^2 + 60x + (85 + c) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा है,इसलिए विविक्तकर शून्य होगा:
$D = (60)^2 - 4(5)(85 + c) = 0 \implies c = 95$।
द्विघात समीकरण $5x^2 + 60x + 180 = 0$ अर्थात $x^2 + 12x + 36 = 0$ बन जाता है।
$(x + 6)^2 = 0 \implies x = -6$।
$x = -6$ को $(i)$ में रखने पर,$y = 2(-6) + 5 = -7$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(-6, -7)$ है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के बिंदु $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ है।
इस स्पर्शरेखा का $x$-अंतःखंड $y = 0$ रखने पर $P = (\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ प्राप्त होता है।
इस स्पर्शरेखा का $y$-अंतःखंड $x = 0$ रखने पर $Q = (0, \frac{b}{\sin \theta})$ प्राप्त होता है।
स्पर्शरेखा और निर्देशांक अक्षों द्वारा बने त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times |x_P| \times |y_Q| = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{\cos \theta} \right| \left| \frac{b}{\sin \theta} \right| = \frac{ab}{|2 \sin \theta \cos \theta|} = \frac{ab}{|\sin 2\theta|}$ है।
चूंकि $|\sin 2\theta|$ का न्यूनतम मान $1$ है,इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल $ab$ है।

(D) माना $P(x) = bx^2 + ax + c$ है।
$P(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $c = 0$ है।
$P(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $a + b = 1$,जिसका अर्थ है $b = 1 - a$ है।
अतः,$P(x) = (1 - a)x^2 + ax$ है।
अवकलन करने पर,$P'(x) = 2(1 - a)x + a$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $P'(x) > 0$ है।
$x = 0$ पर,$P'(0) = a > 0$ है।
$x = 1$ पर,$P'(1) = 2(1 - a) + a = 2 - a > 0$ है,जिसका अर्थ है $a < 2$ है।
चूंकि $P'(x)$ एक रैखिक फलन है,यदि यह अंतराल $(0, 1)$ के अंत बिंदुओं पर धनात्मक है,तो यह सभी $x \in (0, 1)$ के लिए धनात्मक होगा।
अतः,$0 < a < 2$ है।
इसलिए,$S = \{ax + (1 - a)x^2 : a \in (0, 2)\}$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण ज्ञात करते हैं। अभिलक्षणिक बहुपद $|A - \lambda I| = 0$ है।
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) [(1-\lambda)(4-\lambda) + 2] = (1-\lambda) [\lambda^2 - 5\lambda + 6] = 0$.
अतः,$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$.
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = 0$.
$A^{-1}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $A^2 - 6A + 11I - 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = A^2 - 6A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 - 6A + 11I]$.
इसकी तुलना $A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 + cA + dI]$ से करने पर,हमें $c = -6$ और $d = 11$ प्राप्त होता है।
अतः,युग्म $(c, d) = (-6, 11)$ है।

(A) दिया गया है $Q = PAP^T$। ध्यान दें कि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $PP^T = I$ और $P^T = P^{-1}$।
हमें $X = P^T Q^{2005} P$ की गणना करनी है।
चूँकि $Q = PAP^T$,हमारे पास $Q^n = (PAP^T)(PAP^T)...(PAP^T) = PA^n P^T$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$X = P^T (PA^{2005}P^T) P$
$X = (P^T P) A^{2005} (P^T P)$
चूँकि $P^T P = I$,हमें $X = I A^{2005} I = A^{2005}$ प्राप्त होता है।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,इस मैट्रिक्स का गुणधर्म है: $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{2005} = \begin{bmatrix} 1 & 2005 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिए गए सदिश ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइजेशन प्रक्रिया का उपयोग करके बनाए गए हैं।
समुच्चय $\{a, b_1, c_2\}$ के लिए:
$1$. $a \cdot b_1 = a \cdot (b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} a) = a \cdot b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) = a \cdot b - b \cdot a = 0$. अतः,$a \perp b_1$.
$2$. $a \cdot c_2 = a \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = a \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (a \cdot b_1) = a \cdot c - c \cdot a - 0 = 0$. अतः,$a \perp c_2$.
$3$. $b_1 \cdot c_2 = b_1 \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = b_1 \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (b_1 \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (b_1 \cdot b_1) = b_1 \cdot c - 0 - c \cdot b_1 = 0$. अतः,$b_1 \perp c_2$.
चूंकि सभी जोड़े लंबवत हैं,इसलिए समुच्चय $\{a, b_1, c_2\}$ परस्पर लंबवत सदिशों का एक समूह है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही उत्तर है।

(C) किसी भी उपसमुच्चय $A \subseteq X$ के लिए,हमारे पास $A \subseteq f^{-1}(f(A))$ होता है। समानता $f^{-1}(f(A)) = A$ केवल तभी सत्य है यदि $f$ एकैकी (injective) फलन हो।
किसी भी उपसमुच्चय $B \subseteq Y$ के लिए,हमारे पास $f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)$ होता है।
अतः,$f(f^{-1}(B)) = B$ केवल तभी सत्य है यदि $B \subseteq f(X)$ हो।
इसलिए,विकल्प $(c)$ सही है।

(A) माना $h(x) = (f - g)(x)$.
जब $x \in \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.
जब $x \notin \mathbb{Q}$ है,तब $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x = -x$.
अतः,$h(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ -x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ एकैकी है: माना $h(x_1) = h(x_2)$। यदि $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ है,तो $x_1 = x_2$। यदि $x_1, x_2 \notin \mathbb{Q}$ है,तो $-x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2$। अतः,$h(x)$ एक एकैकी फलन है।
यह जाँचने के लिए कि क्या $h(x)$ आच्छादक है: किसी भी $y \in \mathbb{R}$ के लिए,यदि $y \in \mathbb{Q}$ है,तो $h(y) = y$। यदि $y \notin \mathbb{Q}$ है,तो $h(-y) = -(-y) = y$। अतः,प्रत्येक $y \in \mathbb{R}$ के लिए,एक ऐसा $x$ मौजूद है कि $h(x) = y$। इसलिए,यह एक आच्छादक फलन है।

(B) फलन $f(x) = ||x| - 1|$ के रूप में परिभाषित है।
हम इसे अंदर के व्यंजक के चिह्न के आधार पर इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = \begin{cases} |x| - 1, & |x| - 1 \ge 0 \\ -(|x| - 1), & |x| - 1 < 0 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} |x| - 1, & |x| \ge 1 \\ 1 - |x|, & |x| < 1 \end{cases}$
इसे $x$ के विभिन्न अंतरालों के लिए इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:
$f(x) = \begin{cases} -x - 1, & x \le -1 \\ x + 1, & -1 < x < 0 \\ 1 - x, & 0 \le x < 1 \\ x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$
एक फलन उन बिंदुओं पर अवकलनीय नहीं होता है जहाँ उसके ग्राफ में तीक्ष्ण कोने (cusps) होते हैं।
ग्राफ का अवलोकन करने पर,फलन के $x = -1$,$x = 0$ और $x = 1$ पर तीक्ष्ण कोने हैं।
अतः,$f(x)$,$x \in \{-1, 0, 1\}$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) माना $g(x) = f(x) - x^2$ है।
चूंकि $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$,हमारे पास $g(1) = 1 - 1^2 = 0$,$g(2) = 4 - 2^2 = 0$,और $g(3) = 9 - 3^2 = 0$ है।
अतः,$g(x)$ के $x = 1, 2, 3$ पर कम से कम $3$ वास्तविक मूल हैं।
रोल प्रमेय के अनुसार,$g'(x)$ का $(1, 2)$ में कम से कम एक और $(2, 3)$ में कम से कम एक मूल है,जिसका अर्थ है कि $g'(x)$ के $(1, 3)$ में कम से कम $2$ मूल हैं।
$g'(x)$ पर पुनः रोल प्रमेय लागू करने पर,$g''(x)$ का $(1, 3)$ में कम से कम $1$ मूल होना चाहिए।
चूंकि $g(x) = f(x) - x^2$,हमारे पास $g'(x) = f'(x) - 2x$ और $g''(x) = f''(x) - 2$ है।
किसी $c \in (1, 3)$ के लिए $g''(c) = 0$ होने के कारण,$f''(c) - 2 = 0$ होगा,अर्थात कम से कम एक $c \in (1, 3)$ के लिए $f''(c) = 2$ होगा।

(B) दिया गया है कि $f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ सभी $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ के लिए।
चूंकि $f(x)$ सतत है (क्योंकि यह अवकलनीय है),इसलिए $f(0) = \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ है।
अब,अनुक्रम $x_n = \frac{1}{n}$ पर विचार करें। हमारे पास $f(x_n) = 0$ और $f(0) = 0$ है।
$x = 0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार:
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(1/n) - f(0)}{1/n - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 0}{1/n} = 0$ है।
अतः,$f(0) = 0$ और $f'(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int_{-2}^{0} [x^3 + 3x^2 + 3x + 3 + (x + 1)\cos(x + 1)] \, dx$.
$t = x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$.
जब $x = -2$,तब $t = -1$. जब $x = 0$,तब $t = 1$.
साथ ही,$x^3 + 3x^2 + 3x + 3 = (x+1)^3 + 2 = t^3 + 2$.
अतः,$I = \int_{-1}^{1} [t^3 + 2 + t\cos(t)] \, dt$.
इसे विभाजित करने पर $I = \int_{-1}^{1} t^3 \, dt + \int_{-1}^{1} 2 \, dt + \int_{-1}^{1} t\cos(t) \, dt$.
चूंकि $t^3$ और $t\cos(t)$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ अंतराल पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + \int_{-1}^{1} 2 \, dt + 0 = [2t]_{-1}^{1} = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

(A) दिया गया समीकरण: $\int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt = 1 - \sin x$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर (Leibniz integral rule का उपयोग करते हुए):
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} (1 - \sin x)$।
कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int_{g(x)}^a h(t) dt$ का अवकलज $-h(g(x)) \cdot g'(x)$ होता है।
अतः,$-(\sin x)^2 f(\sin x) \cdot \cos x = -\cos x$।
चूँकि $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $\cos x \neq 0$,अतः दोनों पक्षों को $-\cos x$ से विभाजित करने पर:
$(\sin x)^2 f(\sin x) = 1$।
इस प्रकार,$f(\sin x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(t) = \frac{1}{t^2}$।
परिणामस्वरूप,$f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1/3} = 3$।

(D) वक्र $y = (x + 1)^2$ और $y = (x - 1)^2$ हैं। रेखा $y = \frac{1}{4}$ है।
सममिति द्वारा,क्षेत्रफल $y = (x - 1)^2$,$y$-अक्ष $(x=0)$ और रेखा $y = \frac{1}{4}$ द्वारा $x \ge 0$ क्षेत्र में परिबद्ध क्षेत्रफल का दोगुना है।
$y = (x - 1)^2$ के लिए,$x - 1 = \pm \sqrt{y}$,इसलिए $x = 1 \pm \sqrt{y}$। दाईं ओर की शाखा के लिए,$x = 1 - \sqrt{y}$ जहाँ $x \in [0, 1]$ है।
$y = (x - 1)^2$ और $y = \frac{1}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x - 1)^2 = \frac{1}{4}$ देता है,इसलिए $x - 1 = -1/2$ (चूंकि $x < 1$),जिसका अर्थ है $x = 1/2$।
क्षेत्रफल $A = 2 \int_{1/4}^{1} (1 - \sqrt{y}) dy = 2 [y - \frac{2}{3} y^{3/2}]_{1/4}^{1} = 2 [(1 - 2/3) - (1/4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8})] = 2 [1/3 - (1/4 - 1/12)] = 2 [1/3 - 2/12] = 2 [1/3 - 1/6] = 2 [1/6] = 1/3$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $xdy = y(dx + ydy)$ है।
दोनों पक्षों को $y^2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{xdy - ydx}{y^2} = dy$ प्राप्त होता है।
इसे $-d(\frac{x}{y}) = dy$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $-\frac{x}{y} = y + C$ प्राप्त होता है,जो $\frac{x}{y} + y = C$ में सरल हो जाता है।
चूँकि $y(1) = 1$ दिया गया है,$x=1$ और $y=1$ प्रतिस्थापित करने पर $\frac{1}{1} + 1 = C$ प्राप्त होता है,अतः $C = 2$ है।
समीकरण $\frac{x}{y} + y = 2$ बन जाता है,या $x + y^2 = 2y$,जो $y^2 - 2y + x = 0$ है।
$x = -3$ के लिए,समीकरण $y^2 - 2y - 3 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(y - 3)(y + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$y = 3$ या $y = -1$ है।
चूँकि शर्त $y > 0$ दी गई है,इसलिए $y = 3$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ प्राप्त होता है।
$y = vx$ प्रतिस्थापन का उपयोग करने पर,$dy = v dx + x dv$ प्राप्त होता है।
$(x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = x(vx) dx$.
$x^2(1 + v^2)(v dx + x dv) = vx^2 dx$.
$(1 + v^2)(v dx + x dv) = v dx$.
$v dx + x dv + v^3 dx + v^2 x dv = v dx$.
$x dv(1 + v^2) = -v^3 dx$.
$\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
चूंकि $y(1) = 1$ दिया गया है,इसलिए $-\frac{1}{2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.
अतः,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ के लिए,$-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \sqrt{3}e$.

(B) दिया गया समीकरण: $y \cos x + x \cos y = \pi$ है।
$x = 0$ पर,$y \cos(0) + 0 \cos y = \pi$,जिसका अर्थ है $y = \pi$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-y \sin x + y' \cos x + \cos y - x \sin y \cdot y' = 0$।
$x = 0$ और $y = \pi$ रखने पर:
$-(\pi) \sin(0) + y'(0) \cos(0) + \cos(\pi) - 0 \sin(\pi) \cdot y'(0) = 0$।
$0 + y'(0) \cdot 1 - 1 - 0 = 0 \implies y'(0) = 1$।
अब,प्रथम अवकलज का पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-y' \sin x - y \cos x + y'' \cos x - y' \sin x - \sin y \cdot y' - x(\cos y \cdot (y')^2 + \sin y \cdot y'') - \sin y \cdot y' = 0$।
$x = 0, y = \pi, y' = 1$ रखने पर:
$-1 \cdot 0 - \pi \cdot 1 + y''(0) \cdot 1 - 1 \cdot 0 - 0 - 0 - 0 = 0$।
$-\pi + y''(0) = 0 \implies y''(0) = \pi$।

(B) माना $p$ एक बार पासा फेंकने पर $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $p = \frac{1}{6}$.
माना $q$ $1$ न प्राप्त करने की प्रायिकता है,अतः $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
हमें सम प्रयास (अर्थात $2, 4, 6, \dots$ प्रयास) में पहली बार $1$ प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ और सार्व अनुपात $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{36 - 25}{36}} = \frac{5}{36} \times \frac{36}{11} = \frac{5}{11}$.

(B) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से इकाई दूरी पर है,लंबवत दूरी $d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 1$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$ प्राप्त होता है ... $(i)$।
बिंदुओं $P, Q,$ और $R$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$\Delta PQR$ का केंद्रक $(x, y, z)$ इस प्रकार है: $x = \frac{a+0+0}{3} = \frac{a}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3} = \frac{b}{3}$,और $z = \frac{0+0+c}{3} = \frac{c}{3}$।
अतः,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = 1$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 9$।
दिए गए बिंदु पथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = k$ के साथ तुलना करने पर,$k = 9$ प्राप्त होता है।