समाकलित मान int_{-2}^{0} [x^3 + 3x^2 + 3x + 3 | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{-2}^{0} [x^3 + 3x^2 + 3x + 3 + (x + 1)\cos(x + 1)] \, dx$. $t = x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$. जब $x = -2$,तब $t = -1$. जब

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$4$

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(B) माना $I = \int_{-2}^{0} [x^3 + 3x^2 + 3x + 3 + (x + 1)\cos(x + 1)] \, dx$. $t = x + 1$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = dx$. जब $x = -2$,तब $t = -1$. जब $x = 0$,तब $t = 1$. साथ ही,$x^3 + 3x^2 + 3x + 3 = (x+1)^3 + 2 = t^3 + 2$. अतः,$I = \int_{-1}^{1} [t^3 + 2 + t\cos(t)] \, dt$. इसे विभाजित करने पर $I = \int_{-1}^{1} t^3 \, dt + \int_{-1}^{1} 2 \, dt + \int_{-1}^{1} t\cos(t) \, dt$. चूंकि $t^3$ और $t\cos(t)$ विषम फलन हैं,इसलिए $[-1, 1]$ अंतराल पर इनका समाकलन $0$ होता है। अतः,$I = 0 + \int_{-1}^{1} 2 \, dt + 0 = [2t]_{-1}^{1} = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

समाकलित मान $\int_{-2}^{0} [x^3 + 3x^2 + 3x + 3 + (x + 1)\cos(x + 1)] \, dx$ है

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