$(2m - 1) \times (2n - 1)$ आयाम की एक आयताकार शीट है,(जहाँ $m > 0, n > 0$)। इसे भुजाओं के लंबवत रेखाएँ खींचकर इकाई क्षेत्रफल के वर्गों में विभाजित किया गया है। विषम इकाई लंबाई की भुजाओं वाले आयतों की संख्या ज्ञात कीजिए।

एक त्रिभुज $ABC$ की भुजा $AB$ पर,$A$ और $B$ को छोड़कर,$5$ बिंदु $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5$ हैं। इसी प्रकार,भुजा $BC$ पर $6$ बिंदु $P_6, P_7, \ldots, P_{11}$ और भुजा $CA$ पर $7$ बिंदु $P_{12}, P_{13}, \ldots, P_{18}$ हैं। बिंदुओं $P_1, P_2, \ldots, P_{18}$ का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है:

$m$ पुरुषों और $n$ महिलाओं को एक पंक्ति में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें। यदि $m > n$ है,तो उन्हें बैठाने के तरीकों की संख्या क्या है?

एक नियमित बहुभुज में $20$ भुजाएँ हैं। शीर्षों का उपयोग करके लेकिन भुजाओं का उपयोग न करके खींचे जा सकने वाले त्रिभुजों की संख्या है

मान लीजिए $l_1$ और $l_2$ दो रेखाएँ हैं जो $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $A_1, B_1, C_1$ रेखा $l_1$ पर स्थित बिंदु हैं,और $A_2, B_2, C_2, D_2, E_2$ रेखा $l_2$ पर स्थित बिंदु हैं,और यदि इनमें से कोई भी बिंदु $P$ के साथ संपाती नहीं है,तो इन आठ बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुजों की संख्या क्या है?

एक लंबी मेज के दोनों ओर $8$ कुर्सियों पर $16$ लोगों के लिए एक चाय पार्टी आयोजित की जाती है। $4$ विशिष्ट व्यक्ति एक तरफ और $2$ विशिष्ट व्यक्ति दूसरी तरफ बैठना चाहते हैं। वे कितने तरीकों से बैठ सकते हैं?