IIT JEE 2005 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કિરણો $PQ$ અને $PR$ નું શિરોબિંદુ $P(-1, 0)$ પર છે,જે સંકર સંખ્યા $z_0 = -1$ ને અનુરૂપ છે.
કિરણ $PQ$ એ $(-1 + \sqrt{2}, \sqrt{2}i)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી વાસ્તવિક અક્ષ સાથે તેનો ખૂણો $\arg(z + 1) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$ છે.
કિરણ $PR$ એ $(-1 + \sqrt{2}, -\sqrt{2}i)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ખૂણો $\arg(z + 1) = -\frac{\pi}{4}$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશ આ કિરણોની વચ્ચે આવેલો છે,તેથી $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$.
ચાપ $QAR$ એ $P(-1, 0)$ પર કેન્દ્રિત વર્તુળનો ભાગ છે. $P(-1, 0)$ થી $A(1, 0)$ સુધીનું અંતર $|1 - (-1)| = 2$ છે. આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશ આ વર્તુળની બહાર છે,તેથી $|z - (-1)| > 2$,એટલે કે $|z + 1| > 2$.
તેથી,શરતો $|z + 1| > 2$ અને $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$ છે.

(C) ધારો કે $y = |a + b\omega + c\omega^2|$.
$y$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $y^2$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
$y^2 = |a + b\omega + c\omega^2|^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$.
આને $y^2 = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$ તરીકે લખી શકાય.
$a, b, c$ પૂર્ણાંકો છે અને બધા સમાન નથી,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે બે ચલ સમાન હોય અને ત્રીજો $1$ જેટલો અલગ હોય (દા.ત.,$a=0, b=0, c=1$).
આ કિંમતો મૂકતા,$y^2 = \frac{1}{2}[0 + 1 + 1] = 1$.
આમ,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(D) લંબચોરસ બે આડી રેખાઓ અને બે ઊભી રેખાઓ પસંદ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
ધારો કે આડી રેખાઓ $y_0, y_1, \dots, y_{2n-1}$ છે અને ઊભી રેખાઓ $x_0, x_1, \dots, x_{2m-1}$ છે.
જો પસંદ કરેલી રેખાઓના અનુક્રમણિકા (indices) વચ્ચેનો તફાવત એકી હોય,તો લંબચોરસની બાજુની લંબાઈ એકી હોય છે.
આડી બાજુ માટે,આપણે બે રેખાઓ $y_i, y_j$ એવી રીતે પસંદ કરવાની જરૂર છે કે જેથી $|i - j|$ એકી હોય. આનો અર્થ એ છે કે એક અનુક્રમણિકા બેકી અને બીજી એકી હોવી જોઈએ.
${0, 1, \dots, 2n-1}$ ગણમાં,$n$ બેકી સંખ્યાઓ ${0, 2, \dots, 2n-2}$ અને $n$ એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, \dots, 2n-1}$ છે.
એક બેકી અને એક એકી અનુક્રમણિકા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
તે જ રીતે,ઊભી બાજુ માટે,બે રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા જેથી તફાવત એકી હોય તે $m \times m = m^2$ છે.
તેથી,એકી બાજુની લંબાઈ ધરાવતા લંબચોરસની કુલ સંખ્યા $m^2 \times n^2 = m^2n^2$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ એ બે દ્વિપદી વિસ્તરણના ગુણાકારમાં $x^{20}$ નો સહગુણક છે.
$(1-x)^{30} = \sum_{r=0}^{30} (-1)^r \binom{30}{r} x^r$ અને $(x+1)^{30} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} x^{30-k}$ લો.
આપેલ પદાવલિ એ $(1-x)^{30}(x+1)^{30} = (1-x^2)^{30}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{20}$ નો સહગુણક છે.
$(1-x^2)^{30} = \sum_{k=0}^{30} \binom{30}{k} (-1)^k x^{2k}$ માં $x^{20}$ નો સહગુણક મેળવવા માટે $2k = 20$ લેતા $k = 10$ મળે.
તેથી,સહગુણક $\binom{30}{10} (-1)^{10} = \binom{30}{10}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\cos(\alpha - \beta) = 1$ અને $-\pi < \alpha, \beta < \pi$.
તેથી $-2\pi < \alpha - \beta < 2\pi$ થાય.
$\cos(\alpha - \beta) = 1$ હોવાથી $\alpha - \beta = 0$,એટલે કે $\alpha = \beta$.
હવે $\alpha = \beta$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા,$\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ મળે.
અહીં $-\pi < \alpha < \pi$ હોવાથી $-2\pi < 2\alpha < 2\pi$ થાય.
અંતરાલ $(-2\pi, 2\pi)$ માં $\cos(2\alpha) = \frac{1}{e}$ ના $4$ ઉકેલો મળે છે.
તેથી $(\alpha, \beta)$ ની કુલ $4$ ક્રમયુક્ત જોડીઓ શક્ય છે.

(C) સાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
તેથી,$a = k\sin A$,$b = k\sin B$,અને $c = k\sin C$.
પદ $\frac{b - c}{a} = \frac{\sin B - \sin C}{\sin A}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\sin B - \sin C = 2\sin \frac{B - C}{2} \cos \frac{B + C}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$A + B + C = \pi$ હોવાથી,$\frac{B + C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$,તેથી $\cos \frac{B + C}{2} = \sin \frac{A}{2}$.
વળી,$\sin A = 2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b - c}{a} = \frac{2\sin \frac{B - C}{2} \sin \frac{A}{2}}{2\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\sin \frac{B - C}{2}}{\cos \frac{A}{2}}$.
તેથી,$(b - c)\cos \frac{A}{2} = a\sin \frac{B - C}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે દરેક સિક્કાની ત્રિજ્યા $r = 1$ છે. ત્રણ સિક્કાઓના કેન્દ્રો $2r = 2$ બાજુ લંબાઈ ધરાવતો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
મોટા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે અને સિક્કાઓના કેન્દ્રો $C_1, C_2, C_3$ છે.
કોઈપણ શિરોબિંદુ (દા.ત. $B$) થી નજીકના સિક્કાના કેન્દ્રના $BC$ બાજુ પરના પ્રક્ષેપણ $(M)$ સુધીનું અંતર $BM = r \cot(30^\circ) = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$ છે.
બે પાયાના સિક્કાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $MN = 2r = 2$ છે.
સમપ્રમાણતા દ્વારા,મોટા સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $s = BM + MN + NC = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{3} = 2 + 2\sqrt{3} = 2(1 + \sqrt{3})$ છે.
$s$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} [2(1 + \sqrt{3})]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4(1 + \sqrt{3})^2 = \sqrt{3}(1 + 3 + 2\sqrt{3}) = \sqrt{3}(4 + 2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} + 6 \; \text{sq. units}$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $x$-અક્ષને સ્પર્શતું હોવાથી,ત્રિજ્યા $r = |k|$ થાય.
વર્તુળ ${x^2} + {(y - 1)^2} = 1$ (કેન્દ્ર $(0, 1)$,ત્રિજ્યા $1$) ને બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય:
$\sqrt {{{(h - 0)}^2} + {{(k - 1)}^2}} = 1 + |k|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
${h^2} + {(k - 1)^2} = {(1 + |k|)^2}$
${h^2} + {k^2} - 2k + 1 = 1 + 2|k| + {k^2}$
${h^2} = 2k + 2|k|$
કિસ્સો $1$: જો $k > 0$ હોય,તો $|k| = k$,તેથી ${h^2} = 2k + 2k = 4k$. આમ,બિંદુપથ $y > 0$ માટે ${x^2} = 4y$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $k < 0$ હોય,તો $|k| = -k$,તેથી ${h^2} = 2k - 2k = 0$. આમ,બિંદુપથ $y < 0$ માટે $x = 0$ છે.
આમ,બિંદુપથ $\{ (x, y) : {x^2} = 4y, y > 0\} \cup \{ (0, y) : y < 0\}$ છે.

(C) પરવલય $y = x^2 + 6$ ના બિંદુ $(1, 7)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{1}{2}(y + 7) = x(1) + 6$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$y + 7 = 2x + 12$,એટલે કે $y = 2x + 5$ $(i)$ મળે છે.
આ સ્પર્શક વર્તુળ $x^2 + y^2 + 16x + 12y + c = 0$ $(ii)$ ને સ્પર્શે છે.
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$x^2 + (2x + 5)^2 + 16x + 12(2x + 5) + c = 0$
$5x^2 + 60x + (85 + c) = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી,વિવેચક શૂન્ય થાય:
$D = (60)^2 - 4(5)(85 + c) = 0 \implies c = 95$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $5x^2 + 60x + 180 = 0$ એટલે કે $x^2 + 12x + 36 = 0$ બને છે.
$(x + 6)^2 = 0 \implies x = -6$.
$x = -6$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$y = 2(-6) + 5 = -7$.
આમ,સ્પર્શબિંદુ $(-6, -7)$ છે.

(C) ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના બિંદુ $(a \cos \theta, b \sin \theta)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x}{a} \cos \theta + \frac{y}{b} \sin \theta = 1$ છે.
આ સ્પર્શકનો $x$-અંતઃખંડ $y = 0$ લેતા $P = (\frac{a}{\cos \theta}, 0)$ મળે છે.
આ સ્પર્શકનો $y$-અંતઃખંડ $x = 0$ લેતા $Q = (0, \frac{b}{\sin \theta})$ મળે છે.
સ્પર્શક અને યામ અક્ષો દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $OPQ$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times |x_P| \times |y_Q| = \frac{1}{2} \left| \frac{a}{\cos \theta} \right| \left| \frac{b}{\sin \theta} \right| = \frac{ab}{|2 \sin \theta \cos \theta|} = \frac{ab}{|\sin 2\theta|}$ થાય.
$|\sin 2\theta|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $ab$ મળે છે.

(D) ધારો કે $P(x) = bx^2 + ax + c$.
$P(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$c = 0$.
$P(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$a + b = 1$,જેનો અર્થ છે કે $b = 1 - a$.
આમ,$P(x) = (1 - a)x^2 + ax$.
વિકલન કરતા,$P'(x) = 2(1 - a)x + a$.
આપણને આપેલ છે કે દરેક $x \in (0, 1)$ માટે $P'(x) > 0$.
$x = 0$ માટે,$P'(0) = a > 0$.
$x = 1$ માટે,$P'(1) = 2(1 - a) + a = 2 - a > 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < 2$.
$P'(x)$ એ સુરેખ વિધેય હોવાથી,જો તે અંતરાલ $(0, 1)$ ના અંત્યબિંદુઓ પર ધન હોય,તો તે દરેક $x \in (0, 1)$ માટે ધન રહેશે.
આમ,$0 < a < 2$.
તેથી,$S = \{ax + (1 - a)x^2 : a \in (0, 2)\}$.

(C) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & 4 \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ શોધીએ. લાક્ષણિક બહુપદી $|A - \lambda I| = 0$ છે.
$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 1 \\ 0 & -2 & 4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) [(1-\lambda)(4-\lambda) + 2] = (1-\lambda) [\lambda^2 - 5\lambda + 6] = 0$.
તેથી,$\lambda^3 - 6\lambda^2 + 11\lambda - 6 = 0$.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^3 - 6A^2 + 11A - 6I = 0$.
$A^{-1}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $A^2 - 6A + 11I - 6A^{-1} = 0$.
$6A^{-1} = A^2 - 6A + 11I$.
$A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 - 6A + 11I]$.
આને $A^{-1} = \frac{1}{6}[A^2 + cA + dI]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = -6$ અને $d = 11$ મળે છે.
આમ,જોડી $(c, d) = (-6, 11)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $Q = PAP^T$. નોંધો કે $P$ એ ઓર્થોગોનલ મેટ્રિક્સ છે,તેથી $PP^T = I$ અને $P^T = P^{-1}$.
આપણે $X = P^T Q^{2005} P$ ની ગણતરી કરવી છે.
$Q = PAP^T$ હોવાથી,$Q^n = (PAP^T)(PAP^T)...(PAP^T) = PA^n P^T$ થાય.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$X = P^T (PA^{2005}P^T) P$
$X = (P^T P) A^{2005} (P^T P)$
$P^T P = I$ હોવાથી,આપણને $X = I A^{2005} I = A^{2005}$ મળે છે.
આપેલ $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ માટે,આ મેટ્રિક્સનો ગુણધર્મ છે: $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
તેથી,$A^{2005} = \begin{bmatrix} 1 & 2005 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ સદિશો ગ્રામ-શ્મિટ ઓર્થોગોનાલાઇઝેશન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે.
ગણ $\{a, b_1, c_2\}$ માટે:
$1$. $a \cdot b_1 = a \cdot (b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} a) = a \cdot b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) = a \cdot b - b \cdot a = 0$. તેથી,$a \perp b_1$.
$2$. $a \cdot c_2 = a \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = a \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (a \cdot b_1) = a \cdot c - c \cdot a - 0 = 0$. તેથી,$a \perp c_2$.
$3$. $b_1 \cdot c_2 = b_1 \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = b_1 \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (b_1 \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (b_1 \cdot b_1) = b_1 \cdot c - 0 - c \cdot b_1 = 0$. તેથી,$b_1 \perp c_2$.
બધી જોડીઓ લંબ હોવાથી,ગણ $\{a, b_1, c_2\}$ એ પરસ્પર લંબ સદિશોનો સમૂહ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(C) કોઈપણ ઉપગણ $A \subseteq X$ માટે,આપણી પાસે $A \subseteq f^{-1}(f(A))$ છે. સમાનતા $f^{-1}(f(A)) = A$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $f$ એક-એક વિધેય હોય.
કોઈપણ ઉપગણ $B \subseteq Y$ માટે,આપણી પાસે $f(f^{-1}(B)) = B \cap f(X)$ છે.
તેથી,$f(f^{-1}(B)) = B$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $B \subseteq f(X)$ હોય.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $h(x) = (f - g)(x)$.
જ્યારે $x \in \mathbb{Q}$ હોય,ત્યારે $h(x) = f(x) - g(x) = x - 0 = x$.
જ્યારે $x \notin \mathbb{Q}$ હોય,ત્યારે $h(x) = f(x) - g(x) = 0 - x = -x$.
આમ,$h(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb{Q} \\ -x, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}$.
$h(x)$ એક-એક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: ધારો કે $h(x_1) = h(x_2)$. જો $x_1, x_2 \in \mathbb{Q}$ હોય,તો $x_1 = x_2$. જો $x_1, x_2 \notin \mathbb{Q}$ હોય,તો $-x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2$. આમ,$h(x)$ એ એક-એક વિધેય છે.
$h(x)$ વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે તપાસવા માટે: કોઈપણ $y \in \mathbb{R}$ માટે,જો $y \in \mathbb{Q}$ હોય,તો $h(y) = y$. જો $y \notin \mathbb{Q}$ હોય,તો $h(-y) = -(-y) = y$. આમ,દરેક $y \in \mathbb{R}$ માટે,એવો $x$ મળે કે જેથી $h(x) = y$. તેથી,તે વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(B) વિધેય $f(x) = ||x| - 1|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે અંદરના પદની નિશાનીના આધારે તેને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$f(x) = \begin{cases} |x| - 1, & |x| - 1 \ge 0 \\ -(|x| - 1), & |x| - 1 < 0 \end{cases}$
$f(x) = \begin{cases} |x| - 1, & |x| \ge 1 \\ 1 - |x|, & |x| < 1 \end{cases}$
આને $x$ ના વિવિધ અંતરાલો માટે નીચે મુજબ વિસ્તૃત કરી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} -x - 1, & x \le -1 \\ x + 1, & -1 < x < 0 \\ 1 - x, & 0 \le x < 1 \\ x - 1, & x \ge 1 \end{cases}$
કોઈ વિધેય તેના આલેખમાં જ્યાં તીક્ષ્ણ ખૂણા (cusps) હોય ત્યાં વિકલનીય હોતું નથી.
આલેખનું અવલોકન કરતા,વિધેય $x = -1$,$x = 0$ અને $x = 1$ આગળ તીક્ષ્ણ ખૂણા ધરાવે છે.
તેથી,$f(x)$ એ $x \in \{-1, 0, 1\}$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) ધારો કે $g(x) = f(x) - x^2$ છે.
$f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$ હોવાથી,આપણને $g(1) = 1 - 1^2 = 0$,$g(2) = 4 - 2^2 = 0$,અને $g(3) = 9 - 3^2 = 0$ મળે છે.
આમ,$g(x)$ ને $x = 1, 2, 3$ પર ઓછામાં ઓછા $3$ વાસ્તવિક શૂન્યો છે.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$g'(x)$ ને $(1, 2)$ માં ઓછામાં ઓછું એક અને $(2, 3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક શૂન્ય મળે,એટલે કે $g'(x)$ ને $(1, 3)$ માં ઓછામાં ઓછા $2$ શૂન્યો હોય.
$g'(x)$ પર ફરીથી રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડતા,$g''(x)$ ને $(1, 3)$ માં ઓછામાં ઓછું $1$ શૂન્ય મળે.
$g(x) = f(x) - x^2$ હોવાથી,$g'(x) = f'(x) - 2x$ અને $g''(x) = f''(x) - 2$ થાય.
કોઈક $c \in (1, 3)$ માટે $g''(c) = 0$ હોવાથી,$f''(c) - 2 = 0$ એટલે કે ઓછામાં ઓછા એક $c \in (1, 3)$ માટે $f''(c) = 2$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$ તમામ $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$ માટે.
કારણ કે $f(x)$ સતત છે (કારણ કે તે વિકલનીય છે),તેથી $f(0) = \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{1}{n} \right) = 0$.
હવે,શ્રેણી $x_n = \frac{1}{n}$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $f(x_n) = 0$ અને $f(0) = 0$ છે.
$x = 0$ આગળ વિકલિતની વ્યાખ્યા મુજબ:
$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{f(1/n) - f(0)}{1/n - 0} = \lim_{n \to \infty} \frac{0 - 0}{1/n} = 0$.
આમ,$f(0) = 0$ અને $f'(0) = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-2}^{0} [x^3 + 3x^2 + 3x + 3 + (x + 1)\cos(x + 1)] \, dx$.
$t = x + 1$ આદેશ લેતા,$dt = dx$.
જ્યારે $x = -2$,ત્યારે $t = -1$. જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$.
વળી,$x^3 + 3x^2 + 3x + 3 = (x+1)^3 + 2 = t^3 + 2$.
તેથી,$I = \int_{-1}^{1} [t^3 + 2 + t\cos(t)] \, dt$.
આને અલગ પાડતા $I = \int_{-1}^{1} t^3 \, dt + \int_{-1}^{1} 2 \, dt + \int_{-1}^{1} t\cos(t) \, dt$.
$t^3$ અને $t\cos(t)$ એ અયુગ્મ વિધેયો હોવાથી,$[-1, 1]$ અંતરાલ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = 0 + \int_{-1}^{1} 2 \, dt + 0 = [2t]_{-1}^{1} = 2(1 - (-1)) = 2(2) = 4$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt = 1 - \sin x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા (Leibniz integral rule નો ઉપયોગ કરીને):
$\frac{d}{dx} \left( \int_{\sin x}^1 {t^2}f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} (1 - \sin x)$.
કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$\int_{g(x)}^a h(t) dt$ નું વિકલન $-h(g(x)) \cdot g'(x)$ થાય છે.
તેથી,$-(\sin x)^2 f(\sin x) \cdot \cos x = -\cos x$.
અહીં $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\cos x \neq 0$ છે,તેથી બંને બાજુ $-\cos x$ વડે ભાગતા:
$(\sin x)^2 f(\sin x) = 1$.
આમ,$f(\sin x) = \frac{1}{\sin^2 x}$.
તેથી,$f(t) = \frac{1}{t^2}$ મળે.
પરિણામે,$f\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{1}{(1/\sqrt{3})^2} = \frac{1}{1/3} = 3$.

(D) વક્રો $y = (x + 1)^2$ અને $y = (x - 1)^2$ છે. રેખા $y = \frac{1}{4}$ છે.
સંમિતિ દ્વારા,ક્ષેત્રફળ એ $y = (x - 1)^2$,$y$-અક્ષ $(x=0)$ અને રેખા $y = \frac{1}{4}$ દ્વારા $x \ge 0$ વિસ્તારમાં ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું છે.
$y = (x - 1)^2$ માટે,$x - 1 = \pm \sqrt{y}$,તેથી $x = 1 \pm \sqrt{y}$. જમણી બાજુની શાખા માટે,$x = 1 - \sqrt{y}$ જ્યાં $x \in [0, 1]$.
$y = (x - 1)^2$ અને $y = \frac{1}{4}$ નું છેદબિંદુ $(x - 1)^2 = \frac{1}{4}$ આપે છે,તેથી $x - 1 = -1/2$ (કારણ કે $x < 1$),જેનો અર્થ છે $x = 1/2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \int_{1/4}^{1} (1 - \sqrt{y}) dy = 2 [y - \frac{2}{3} y^{3/2}]_{1/4}^{1} = 2 [(1 - 2/3) - (1/4 - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{8})] = 2 [1/3 - (1/4 - 1/12)] = 2 [1/3 - 2/12] = 2 [1/3 - 1/6] = 2 [1/6] = 1/3$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $xdy = y(dx + ydy)$ છે.
બંને બાજુ $y^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{xdy - ydx}{y^2} = dy$ મળે છે.
આને $-d(\frac{x}{y}) = dy$ તરીકે લખી શકાય છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,આપણને $-\frac{x}{y} = y + C$ મળે છે,જે $\frac{x}{y} + y = C$ માં પરિણમે છે.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$x=1$ અને $y=1$ મૂકતા $\frac{1}{1} + 1 = C$ મળે છે,તેથી $C = 2$.
સમીકરણ $\frac{x}{y} + y = 2$ બને છે,અથવા $x + y^2 = 2y$,એટલે કે $y^2 - 2y + x = 0$.
$x = -3$ માટે,સમીકરણ $y^2 - 2y - 3 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(y - 3)(y + 1) = 0$ મળે છે.
આમ,$y = 3$ અથવા $y = -1$.
શરત $y > 0$ આપેલ હોવાથી,$y = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + y^2)dy = xy dx$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 dy + y^2 dy = xy dx$ મળે.
$y = vx$ આદેશ લેતા,$dy = v dx + x dv$.
$(x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = x(vx) dx$.
$x^2(1 + v^2)(v dx + x dv) = vx^2 dx$.
$(1 + v^2)(v dx + x dv) = v dx$.
$v dx + x dv + v^3 dx + v^2 x dv = v dx$.
$x dv(1 + v^2) = -v^3 dx$.
$\frac{1 + v^2}{v^3} dv = -\frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int (v^{-3} + v^{-1}) dv = -\int \frac{dx}{x}$.
$-\frac{1}{2v^2} + \ln|v| = -\ln|x| + C$.
$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = C$.
$y(1) = 1$ આપેલ હોવાથી,$-\frac{1}{2} + \ln(1) = C \implies C = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$-\frac{x^2}{2y^2} + \ln|y| = -\frac{1}{2}$.
$y(x_0) = e$ માટે,$-\frac{x_0^2}{2e^2} + \ln(e) = -\frac{1}{2}$.
$-\frac{x_0^2}{2e^2} + 1 = -\frac{1}{2}$.
$x_0^2 = 3e^2 \implies x_0 = \sqrt{3}e$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y \cos x + x \cos y = \pi$.
$x = 0$ માટે,$y \cos(0) + 0 \cos y = \pi$,જેનો અર્થ છે કે $y = \pi$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$-y \sin x + y' \cos x + \cos y - x \sin y \cdot y' = 0$.
$x = 0$ અને $y = \pi$ મૂકતા:
$-(\pi) \sin(0) + y'(0) \cos(0) + \cos(\pi) - 0 \sin(\pi) \cdot y'(0) = 0$.
$0 + y'(0) \cdot 1 - 1 - 0 = 0 \implies y'(0) = 1$.
હવે,પ્રથમ વિકલિતનું ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$-y' \sin x - y \cos x + y'' \cos x - y' \sin x - \sin y \cdot y' - x(\cos y \cdot (y')^2 + \sin y \cdot y'') - \sin y \cdot y' = 0$.
$x = 0, y = \pi, y' = 1$ મૂકતા:
$-1 \cdot 0 - \pi \cdot 1 + y''(0) \cdot 1 - 1 \cdot 0 - 0 - 0 - 0 = 0$.
$-\pi + y''(0) = 0 \implies y''(0) = \pi$.

(B) ધારો કે $p$ એ એક ફેંકમાં $1$ મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $q$ એ $1$ ન મેળવવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપણે બેકી ફેંકમાં (એટલે કે $2, 4, 6, \dots$ ફેંકમાં) પ્રથમ વખત $1$ મેળવવાની સંભાવના શોધવી છે.
સંભાવના અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$P = qp + q^3p + q^5p + \dots$
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = qp = \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = q^2 = (\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$P = \frac{\frac{5}{36}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{\frac{5}{36}}{\frac{36 - 25}{36}} = \frac{5}{36} \times \frac{36}{11} = \frac{5}{11}$.

(B) ધારો કે સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
સમતલ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી એકમ અંતરે હોવાથી,લંબ અંતર $d = \frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}}} = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = 1$ મળે ... $(i)$.
બિંદુઓ $P, Q,$ અને $R$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0),$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y, z)$ એ $x = \frac{a+0+0}{3} = \frac{a}{3}$,$y = \frac{0+b+0}{3} = \frac{b}{3}$,અને $z = \frac{0+0+c}{3} = \frac{c}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$a = 3x, b = 3y, c = 3z$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{1}{(3x)^2} + \frac{1}{(3y)^2} + \frac{1}{(3z)^2} = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{9x^2} + \frac{1}{9y^2} + \frac{1}{9z^2} = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = 9$.
આપેલ બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = k$ સાથે સરખાવતા,$k = 9$ મળે છે.