IIT JEE 2005 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) કયા જૂથના પરિમાણો અલગ છે તે નક્કી કરવા માટે,આપણે દરેક ભૌતિક રાશિના પારિમાણિક સૂત્રનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$A$: સ્થિતિમાનનો તફાવત,$EMF$,અને વોલ્ટેજ એ એકમ દીઠ વિદ્યુતભાર દીઠ ઊર્જા દર્શાવે છે. તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-3} A^{-1}]$ છે. તેઓ સમાન છે.
$B$: દબાણ,પ્રતિબળ અને યંગ મોડ્યુલસ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ દર્શાવે છે. તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^{-1} T^{-2}]$ છે. તેઓ સમાન છે.
$C$: ઉષ્મા,ઊર્જા અને કાર્ય એ ઊર્જાના સ્વરૂપો છે. તેમનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L^2 T^{-2}]$ છે. તેઓ સમાન છે.
$D$: ડાયપોલ મોમેન્ટ $(p = q \times d)$ ના પરિમાણો $[L T A]$ છે. ઇલેક્ટ્રિક ફ્લક્સ $(\Phi = E \cdot A)$ ના પરિમાણો $[M L^3 T^{-3} A^{-1}]$ છે. ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $(E = F/q)$ ના પરિમાણો $[M L T^{-3} A^{-1}]$ છે. આ બધા અલગ છે.
તેથી,અલગ પરિમાણો ધરાવતું જૂથ $D$ છે.

(B) આપેલ આલેખ એ ધન આંતરછેદ $v_0$ અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે. રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$v = -mx + v_0$ ... $(i)$
જ્યાં $m = \tan \theta = \frac{v_0}{x_0}$ એ ઢાળનું મૂલ્ય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{dx}$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -m$
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (-mx + v_0)(-m)$
$a = m^2x - mv_0$
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે જેનો ઢાળ ધન $(m^2)$ છે અને $a$-અક્ષ પરનો આંતરછેદ ઋણ $(-mv_0)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $B$ એ $a$-અક્ષ પર ઋણ આંતરછેદ અને ધન ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,આલેખ $B$ સાચો છે.

(D) કોણીય વેગમાન $\vec L$ ને $\vec L = \vec r \times \vec p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec r$ અને રેખીય વેગમાન $\vec p$ વર્તુળના સમતલમાં હોય છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,$\vec L$ ની દિશા પરિભ્રમણના સમતલને લંબ હોય છે.
કણ સમાન વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખતું હોવાથી,પરિભ્રમણનું સમતલ બદલાતું નથી.
તેથી,કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે,ભલે કણની ઘટતી ઝડપને કારણે તેનું મૂલ્ય બદલાતું હોય.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) કેલરી એ ઉર્જાનો એકમ છે જે $1 \, g$ પાણીનું તાપમાન $1^{\circ} C$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉર્જાના જથ્થા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચોક્કસ રીતે,$15^{\circ} C$ કેલરીને $760 \, mm$ $Hg$ ના પ્રમાણભૂત વાતાવરણીય દબાણે $1 \, g$ પાણીનું તાપમાન $14.5^{\circ} C$ થી $15.5^{\circ} C$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(D) પાત્ર રિજિડ (દ્રઢ) હોવાથી,આદર્શ વાયુનું કદ અચળ રહે છે,તેથી થયેલ કાર્ય $W = P\Delta V = 0$ થાય.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $W = 0$,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર એ પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા જેટલો જ હોય છે: $\Delta U = \Delta Q$.
ફિલામેન્ટ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા જુલના તાપીય નિયમ દ્વારા મળે છે: $\Delta Q = I^2Rt$.
આપેલ છે: $I = 1 \,A$,$R = 100 \,\Omega$,અને $t = 5 \,min = 5 \times 60 \,s = 300 \,s$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = (1)^2 \times 100 \times 300 = 30,000 \,J$.
$kJ$ માં રૂપાંતર કરતા: $\Delta U = 30 \,kJ$.

(C) સાચો જવાબ $C$ છે.
ઉષ્માનયન એ ઉષ્મા પ્રસરણની એવી રીત છે જેમાં ઉષ્માના વહન માટે પ્રવાહી માધ્યમ (પ્રવાહી અથવા વાયુ) ની જરૂર પડે છે,જેમાં કણોના વાસ્તવિક સ્થાનાંતર દ્વારા ઉષ્માનું વહન થાય છે.
$A$. દરિયાઈ અને જમીનની લહેર વાતાવરણમાં ઉષ્માનયનના પ્રવાહોને કારણે ઉદ્ભવે છે.
$B$. પાણીનું ઉકળવું એ ઉષ્માનયનનું ઉત્તમ ઉદાહરણ છે,જેમાં ગરમ પાણી ઉપર આવે છે અને ઠંડું પાણી નીચે જાય છે.
$C$. ફિલામેન્ટને કારણે બલ્બના કાચનું ગરમ થવું મુખ્યત્વે વિકિરણ (radiation) દ્વારા થાય છે. બલ્બની અંદર શૂન્યાવકાશ હોવાથી,ત્યાં ઉષ્માનયન માટે કોઈ માધ્યમ હોતું નથી.
$D$. ભઠ્ઠીની આસપાસની હવા ગરમ થવી એ હવાના પ્રવાહોના હલનચલન સાથે સંકળાયેલ છે,જે ઉષ્માનયન પ્રક્રિયા છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ વિકિરણ ઉર્જા ઉત્સર્જનને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $\lambda_m$ એ પદાર્થના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $\lambda_m T = \text{અચળ}$.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ તાપમાન $T$ વધે છે, તેમ મહત્તમ તરંગલંબાઇ $\lambda_m$ ટૂંકી તરંગલંબાઇ તરફ ખસે છે.
તાપમાનની સરખામણી કરતા: સૂર્યનું તાપમાન આશરે $6000 \ K$ છે, વેલ્ડિંગ આર્કનું તાપમાન આશરે $4000 \ K$ છે અને ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટનું તાપમાન આશરે $3000 \ K$ છે.
તેથી, $T_{\text{સૂર્ય}} > T_{\text{વેલ્ડિંગ આર્ક}} > T_{\text{ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટ}}$.
આલેખ પરથી, જેમ આપણે $T_1$ થી $T_3$ તરફ જઈએ છીએ તેમ મહત્તમ તરંગલંબાઇ ડાબી બાજુ (ટૂંકી $\lambda$) તરફ ખસે છે. આમ, $T_3 > T_2 > T_1$.
આને મેળવતા, આપણને મળે છે: સૂર્ય $T_3$ ને અનુરૂપ છે, ટંગસ્ટન ફિલામેન્ટ $T_2$ ને અનુરૂપ છે અને વેલ્ડિંગ આર્ક $T_1$ ને અનુરૂપ છે.

(C) આધારબિંદુનું સ્થાનાંતર $y = kt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આધારબિંદુનો પ્રવેગ $a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = 2k$ છે.
અહીં $k = 1\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $a_y = 2 \times 1 = 2\,m/s^2$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
જ્યારે આધારબિંદુ $a_y$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a_y$ થાય છે.
$g = 10\,m/s^2$ લેતા,$g_{eff} = 10 + 2 = 12\,m/s^2$.
તેથી,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g + a_y}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12}}$.
ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{g + a_y}{g} = \frac{10 + 2}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ થાય છે.

(D) રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં ધ્વનિનો વેગ $v$ એ સૂત્ર $v = 2n(l_2 - l_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ટ્યુનિંગ ફોર્કની આવૃત્તિ છે,$l_1$ એ પ્રથમ રેઝોનન્સ લંબાઈ છે અને $l_2$ એ બીજી રેઝોનન્સ લંબાઈ છે.
આપેલ છે: $n = 512 \ Hz$,$l_1 = 30.7 \ cm$,$l_2 = 63.2 \ cm$.
કિંમતો મૂકતા:
$v = 2 \times 512 \times (63.2 - 30.7) \ cm/s$
$v = 1024 \times 32.5 \ cm/s = 33280 \ cm/s$.
ધ્વનિની વાસ્તવિક ઝડપ $v_0 = 332 \ m/s = 33200 \ cm/s$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
ધ્વનિના વેગમાં ત્રુટિ $\Delta v = |v - v_0| = |33280 - 33200| \ cm/s = 80 \ cm/s$ છે.

(C) ખુલ્લી પાઇપ માટે,$2^{nd}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_1 = \frac{2v}{2L} = \frac{v}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એક છેડો બંધ કરવામાં આવે,ત્યારે પાઇપ બંધ ઓર્ગન પાઇપ બની જાય છે. બંધ પાઇપ માટે અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકી પૂર્ણાંક છે $(n = 1, 3, 5, \dots)$.
આપણને આપેલ છે કે $f_2 > f_1$. બંધ પાઇપના સૂત્રમાં $v = f_1 L$ મૂકતા,આપણને $f_2 = \frac{n(f_1 L)}{4L} = \frac{n}{4}f_1$ મળે છે.
કારણ કે $f_2 > f_1$,તેથી $\frac{n}{4} > 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n > 4$.
$4$ થી મોટી સૌથી નાની એકી સંખ્યા $n = 5$ છે.
તેથી,$f_2 = \frac{5}{4}f_1$ અને $n = 5$.

(A) પાણીનું દળ $m = \text{ઘનતા} \times \text{કદ} = 1\, kg/L \times 2\, L = 2\, kg$ છે.
તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ છે.
$Q = 2\, kg \times 4.2 \times 10^3\, J/(kg \cdot K) \times (77 - 27)\, K = 2 \times 4200 \times 50 = 420,000\, J$.
પાણીને મળતો ચોખ્ખો પાવર $P_{\text{net}} = P_{\text{coil}} - P_{\text{loss}} = 1000\, W - 160\, W = 840\, W$ છે.
જરૂરી સમય $t = Q / P_{\text{net}} = 420,000 / 840 = 500\, s$ છે.
મિનિટમાં રૂપાંતર: $500\, s = 8\, \min\, 20\, s$.

(D) બ્લોક સ્થિર અવસ્થામાં હોવાથી,સ્થાનાંતરીય સંતુલન માટે:
$F_x = 0 \implies F = N$
$F_y = 0 \implies f = mg$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ ની સાપેક્ષે કુલ ટોર્ક $\tau = 0$:
$\vec{\tau_F} + \vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} + \vec{\tau_{mg}} = 0$
બળો $F$ અને $mg$ ની કાર્યરેખા દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$O$ ની સાપેક્ષે તેમનો ટોર્ક શૂન્ય છે.
તેથી,$\vec{\tau_f} + \vec{\tau_N} = 0$.
ઘર્ષણ બળ $f$ સપાટી પર ($O$ થી $a$ અંતરે) લાગતું હોવાથી,તે ટોર્ક $\vec{\tau_f} \neq 0$ ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,$\vec{\tau_N} \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે ઘર્ષણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કને સંતુલિત કરવા માટે લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ એ પણ ટોર્ક ઉત્પન્ન કરવું જ પડે.

(D) ધારો કે $\sigma$ એ તકતીનું એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ દળ છે.
મૂળ તકતીનું કુલ દળ $M_{total} = 9M$ છે.
મૂળ તકતીની ત્રિજ્યા $R$ છે.
$r = \frac{R}{3}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી દૂર કરેલી નાની તકતીનું દળ:
$m = \sigma \times \pi r^2 = \sigma \times \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{\sigma \pi R^2}{9} = \frac{M_{total}}{9} = \frac{9M}{9} = M$.
$9M$ દળ ધરાવતી સંપૂર્ણ તકતીની તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = \frac{1}{2}(9M)R^2 = \frac{9}{2}MR^2$.
$M$ દળ ધરાવતી દૂર કરેલી તકતીની તેના પોતાના કેન્દ્ર $O'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{O'} = \frac{1}{2}M\left(\frac{R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2$.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,દૂર કરેલી તકતીની $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_2 = I_{O'} + M d^2$,જ્યાં $d = \frac{2R}{3}$ એ $O$ અને $O'$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_2 = \frac{1}{18}MR^2 + M\left(\frac{2R}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}MR^2 + \frac{4}{9}MR^2 = \left(\frac{1+8}{18}\right)MR^2 = \frac{9}{18}MR^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_1 - I_2 = \frac{9}{2}MR^2 - \frac{1}{2}MR^2 = \frac{8}{2}MR^2 = 4MR^2$.

(B) અનંત લંબાઈની વિદ્યુતભારિત શીટ માટે વિદ્યુતક્ષેત્રનું સૂત્ર $\vec{E} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{n}$ છે,જ્યાં $\hat{n}$ એ શીટને લંબ અને બહારની તરફ જતો એકમ સદિશ છે.
બિંદુ $P$ એ $Z = a$ અને $Z = 3a$ પરની શીટ્સની વચ્ચે આવેલું છે.
$1$. $Z = 3a$ પરની $\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે,$P$ પરનું ક્ષેત્ર નીચેની તરફ (ઋણ $Z$-દિશામાં) હશે: $\vec{E}_1 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
$2$. $Z = a$ પરની $-2\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે,$P$ પરનું ક્ષેત્ર શીટ તરફ (નીચેની તરફ,ઋણ $Z$-દિશામાં) હશે: $\vec{E}_2 = -\frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
$3$. $Z = -a$ પરની $-\sigma$ ઘનતા ધરાવતી શીટ માટે,$P$ પરનું ક્ષેત્ર શીટ તરફ (નીચેની તરફ,ઋણ $Z$-દિશામાં) હશે: $\vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k}$.
બિંદુ $P$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ સરવાળો છે: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{2\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{4\sigma}{2\varepsilon_0} \hat{k} = -\frac{2\sigma}{\varepsilon_0} \hat{k}$.

(A) કેપેસિટરના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = V_0(1 - e^{-t/RC})$ છે અને અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો તફાવત $V_R = V_0 e^{-t/RC}$ છે.
આપેલ છે કે $V_C = 3 V_R$,તેથી $V_0(1 - e^{-t/RC}) = 3 V_0 e^{-t/RC}$.
$V_0$ વડે ભાગતા,$1 - e^{-t/RC} = 3 e^{-t/RC}$,જેનું સાદું રૂપ $1 = 4 e^{-t/RC}$ થાય છે.
આમ,$e^{t/RC} = 4$,અથવા $t/RC = \ln(4) = 2 \ln(2)$.
અહીં $R = 2.5 \times 10^6 \, \Omega$ અને $C = 4 \times 10^{-6} \, F$ હોવાથી,ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = RC = (2.5 \times 10^6) \times (4 \times 10^{-6}) = 10 \, s$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$t = 10 \times 2 \times 0.693 = 13.86 \, s$.

(C) આ પરિપથમાં બે અલગ લૂપ છે જે $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા જોડાયેલા છે.
ધારો કે $2\,\Omega$ અવરોધની ડાબી બાજુના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_1$ છે અને જમણી બાજુના નોડ પરનું પોટેન્શિયલ $V_2$ છે.
ડાબી લૂપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $10\,V$ ની બેટરીમાંથી $5\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. $2\,\Omega$ ના અવરોધ દ્વારા પરિપથ પૂર્ણ કરવા માટે કોઈ રસ્તો નથી (ડાબી લૂપની જમણી બાજુએ પરિપથ ખુલ્લો છે),તેથી ડાબી બાજુથી $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તે જ રીતે,જમણી લૂપ માટે,વિદ્યુતપ્રવાહ $20\,V$ ની બેટરીમાંથી $10\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહે છે. જમણી લૂપની ડાબી બાજુએ પરિપથ ખુલ્લો હોવાથી,જમણી બાજુથી $2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$2\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $0\,A$ છે.

(A) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 100 \,\Omega$ અને શંટ અવરોધ $S = 0.1 \,\Omega$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો મહત્તમ પ્રવાહ $I_G = 100 \,\mu A = 100 \times 10^{-6} \, A = 0.1 \, mA$ છે.
એમીટર માટે,શંટ અવરોધ $S$ ને ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_G \times G = (I - I_G) \times S$.
કુલ પ્રવાહ $I$ માટે સૂત્ર: $I = I_G \left( 1 + \frac{G}{S} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I = 0.1 \, mA \times \left( 1 + \frac{100}{0.1} \right)$.
$I = 0.1 \, mA \times (1 + 1000) = 0.1 \times 1001 \, mA$.
$I = 100.1 \, mA$.

(C) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,જ્યારે બંધ લૂપ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં ફેરફાર થાય ત્યારે જ પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ ઉત્પન્ન થાય છે.
આ કિસ્સામાં,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે અને નળાકાર તેને સમાંતર રાખવામાં આવ્યો છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન અને અચળ હોવાથી,નળાકારના કોઈપણ આડછેદમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi = B \cdot A$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સમાં કોઈ ફેરફાર થતો ન હોવાથી $(\frac{d\Phi}{dt} = 0)$,કોઈ પ્રેરિત $EMF$ ઉત્પન્ન થતું નથી.
પરિણામે,પ્રેરિત પ્રવાહ શૂન્ય છે.

(A) મોઝલેના નિયમ મુજબ,$K_{\alpha}$ ક્ષ-કિરણોની આવૃત્તિ $\nu = c/\lambda = a(Z - b)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_{\alpha}$ રેખાઓ માટે $b = 1$ છે.
આમ,$\frac{1}{\lambda} \propto (Z - 1)^2$,અથવા $\frac{1}{\sqrt{\lambda}} \propto (Z - 1)$.
પ્રથમ પરમાણુ માટે,$Z_1 = 11$ અને $\lambda_1 = \lambda$. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{\lambda}} = k(11 - 1) = 10k$.
બીજા પરમાણુ માટે,$Z_2 = Z$ અને $\lambda_2 = 4\lambda$. તેથી,$\frac{1}{\sqrt{4\lambda}} = k(Z - 1) = \frac{1}{2\sqrt{\lambda}} = k(Z - 1)$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{1/\sqrt{\lambda}}{1/(2\sqrt{\lambda})} = \frac{10k}{k(Z - 1)}$.
$2 = \frac{10}{Z - 1}$.
$Z - 1 = 5$,જે $Z = 6$ આપે છે.

(C) કણની કુલ ઊર્જા $E = 2 E_0$ છે.
$0 \le x \le 1$ વિસ્તાર માટે,સ્થિતિઊર્જા $U_1 = E_0$ છે. ગતિઊર્જા $K_1 = E - U_1 = 2 E_0 - E_0 = E_0$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2m K_1}} = \frac{h}{\sqrt{2m E_0}}$ છે.
$x > 1$ વિસ્તાર માટે,સ્થિતિઊર્જા $U_2 = 0$ છે. ગતિઊર્જા $K_2 = E - U_2 = 2 E_0 - 0 = 2 E_0$ થાય.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2m K_2}} = \frac{h}{\sqrt{2m(2 E_0)}} = \frac{h}{\sqrt{4m E_0}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2m E_0}}{h / \sqrt{4m E_0}} = \sqrt{\frac{4m E_0}{2m E_0}} = \sqrt{2}$.

(C) $1$. હાઇડ્રોજન પરમાણુની ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા $E_1 = -13.6 \ eV$ છે. પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થાની ઉર્જા $E_2 = -3.4 \ eV$ છે. ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E = E_2 - E_1 = 10.2 \ eV$ છે.
$2$. જ્યારે $10.2 \ eV$ નો ફોટોન પરમાણુ સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે શોષાય છે અને ઇલેક્ટ્રોનને $n=2$ અવસ્થામાં ઉત્તેજિત કરે છે. એક માઇક્રોસેકન્ડ પછી,ઇલેક્ટ્રોન પાછો મૂળ અવસ્થામાં આવે છે અને $10.2 \ eV$ નો ફોટોન ઉત્સર્જિત કરે છે.
$3$. જ્યારે બીજો $15 \ eV$ નો ફોટોન પરમાણુ સાથે અથડાય છે,ત્યારે $15 \ eV > 13.6 \ eV$ (હાઇડ્રોજનની આયનીકરણ ઉર્જા) હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોન પરમાણુમાંથી બહાર નીકળી જાય છે.
$4$. બહાર નીકળેલા ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = E_{photon} - |E_1| = 15 \ eV - 13.6 \ eV = 1.4 \ eV$ થશે.
$5$. તેથી,ડિટેક્ટર $10.2 \ eV$ નો એક ફોટોન અને $1.4 \ eV$ ઉર્જા ધરાવતો એક ઇલેક્ટ્રોન અવલોકન કરશે.

(D) ધારો કે બહિર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ અને અંતર્ગોળ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ છે. અંતર્ગોળ લેન્સ હોવાથી $f_2$ ઋણ લેવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર મુજબ: $|f_1| / |f_2| = 2/3$,તેથી $f_1 / (-f_2) = 2/3$,જેનો અર્થ છે કે $f_2 = -1.5 f_1$.
સંપર્કમાં રહેલા બે પાતળા લેન્સ માટે સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નું સૂત્ર $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$ છે.
અહીં $F = 30 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $1/30 = 1/f_1 - 1/|f_2|$.
$|f_2| = 1.5 f_1$ મૂકતા: $1/30 = 1/f_1 - 1/(1.5 f_1) = (1.5 - 1) / (1.5 f_1) = 0.5 / (1.5 f_1) = 1 / (3 f_1)$.
આમ,$3 f_1 = 30$,તેથી $f_1 = 10 \ cm$.
તેથી,$|f_2| = 1.5 \times 10 = 15 \ cm$. અંતર્ગોળ લેન્સ હોવાથી $f_2 = -15 \ cm$.
આમ,તેમની કેન્દ્રલંબાઈ $10 \ cm$ અને $-15 \ cm$ છે.

(C) પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.33 \approx 4/3$ છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $d$ પર રહેલી વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $d' = d/\mu = d \times (3/4)$ થાય છે.
$1$. અરીસાથી વસ્તુ (તળિયે) નું અંતર:
વસ્તુ તળિયે છે,તેથી પાણીની સપાટીથી તેની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $33.25\ cm$ છે. પાણીની સપાટીથી તેની આભાસી ઊંડાઈ $d'_o = 33.25 \times (3/4) = 24.9375\ cm$ થાય.
અરીસો પાણીની સપાટીથી $15\ cm$ ઉપર છે,તેથી વસ્તુ અંતર $u = -(15 + 24.9375) = -39.9375\ cm$ થાય.
$2$. અરીસાથી પ્રતિબિંબનું અંતર:
પ્રતિબિંબ પાણીની સપાટીથી $25\ cm$ નીચે રચાય છે. પાણીની સપાટીથી તેની આભાસી ઊંડાઈ $d'_i = 25 \times (3/4) = 18.75\ cm$ થાય.
પ્રતિબિંબ અંતર $v = -(15 + 18.75) = -33.75\ cm$ થાય.
$3$. અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-33.75} + \frac{1}{-39.9375} = \frac{1}{f}$
$-0.05467 = \frac{1}{f}$
$f \approx -18.3\ cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનું મૂલ્ય $20\ cm$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = I_{max} \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
આપેલ છે કે $I = I_{max}/4$,તેથી $I_{max}/4 = I_{max} \cos^2(\phi/2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\cos^2(\phi/2) = 1/4$,તેથી $\cos(\phi/2) = 1/2$.
આમ,$\phi/2 = \pi/3$,જેનો અર્થ છે કે કળા તફાવત $\phi = 2\pi/3$.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi/\lambda) \Delta x$ છે.
$\phi = 2\pi/3$ મૂકતા,આપણને $2\pi/3 = (2\pi/\lambda) \Delta x$ મળે છે,જે $\Delta x = \lambda/3$ આપે છે.
કોણીય સ્થાન $\theta$ પરના બિંદુ માટે,પથ તફાવત $\Delta x = d \sin \theta$ થાય છે.
તેથી,$d \sin \theta = \lambda/3$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \lambda/(3d)$.
આમ,$\theta = sin^{-1}(\lambda/3d)$.

(B) ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન $p$ એ $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે વેગ $v$ વધે છે,ત્યારે વેગમાન $p$ વધે છે.
ડી-બ્રોગ્લી ઉત્કલ્પના મુજબ,તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $\lambda = h/p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $p$ વધે છે,તેમ તરંગલંબાઇ $\lambda$ ઘટે છે.
$YDSE$ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ એ $\beta = \lambda D/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $D$ એ પડદા અને સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
કારણ કે $\beta \propto \lambda$,તેથી તરંગલંબાઇ $\lambda$ માં ઘટાડો થવાથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ માં ઘટાડો થાય છે.