IIT JEE 1994 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिया गया है कि $\omega$ इकाई का एक काल्पनिक घनमूल है,इसलिए $\omega^3 = 1$ और $1 + \omega + \omega^2 = 0$ है।
सबसे पहले,$\omega$ की घातों को सरल करने पर:
$\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$
$\omega^{23} = (\omega^3)^7 \cdot \omega^2 = \omega^2$
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\sin \left[ (\omega + \omega^2)\pi - \frac{\pi}{4} \right]$
चूंकि $\omega + \omega^2 = -1$ है,
$\sin \left[ -\pi - \frac{\pi}{4} \right] = -\sin \left( \pi + \frac{\pi}{4} \right) = -(-\sin \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों को पहले शीर्ष को मूल बिंदु के चारों ओर $120^\circ$ ($2\pi/3$ रेडियन) और $240^\circ$ ($4\pi/3$ रेडियन) घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
दिया गया है $z_1 = 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\pi/3}$।
अन्य शीर्ष $z_2 = z_1 e^{i2\pi/3} = 2e^{i\pi/3} e^{i2\pi/3} = 2e^{i\pi} = -2$ हैं।
और $z_3 = z_1 e^{i4\pi/3} = 2e^{i\pi/3} e^{i4\pi/3} = 2e^{i5\pi/3} = 2(\cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3)) = 1 - i\sqrt{3}$।
अतः,$z_3$ और $z_2$ के मान $1 - i\sqrt{3}$ और $-2$ हैं। विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है कि $\ln(a + c)$,$\ln(c - a)$,और $\ln(a - 2b + c)$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$2\ln(c - a) = \ln(a + c) + \ln(a - 2b + c)$
$\ln(x) + \ln(y) = \ln(xy)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\ln((c - a)^2) = \ln((a + c)(a - 2b + c))$
लघुगणक हटाने पर:
$(c - a)^2 = (a + c)(a - 2b + c)$
$c^2 + a^2 - 2ac = a^2 - 2ab + ac + ac - 2bc + c^2$
$c^2 + a^2 - 2ac = a^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc$
$-2ac = 2ac - 2b(a + c)$
$2b(a + c) = 4ac$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
यह $a, b, c$ के $H.P.$ में होने की शर्त है।

(D) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल इकाई के सम्मिश्र घनमूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।
मान लीजिए $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$.
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{19}$ और $\beta^7$ हैं।
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
नए समीकरण के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं,जो मूल समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूलों के समान हैं।

(C) द्विघात समीकरण $px^2 + qx + 1 = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = q^2 - 4(p)(1) \ge 0$
$q^2 \ge 4p$
दिया गया है कि $p, q \in \{1, 2, 3, 4\}$,संभावित मानों की जाँच करने पर:
यदि $p = 1$,तो $q^2 \ge 4 \Rightarrow q \in \{2, 3, 4\}$ ($3$ हल)।
यदि $p = 2$,तो $q^2 \ge 8 \Rightarrow q \in \{3, 4\}$ ($2$ हल)।
यदि $p = 3$,तो $q^2 \ge 12 \Rightarrow q \in \{4\}$ ($1$ हल)।
यदि $p = 4$,तो $q^2 \ge 16 \Rightarrow q \in \{4\}$ ($1$ हल)।
कुल हलों की संख्या = $3 + 2 + 1 + 1 = 7$।

(B) दिया गया व्यंजक: $\sec 2x - \tan 2x = \frac{1 - \sin 2x}{\cos 2x}$
सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$,$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,और $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x - \sin^2 x} = \frac{(\cos x - \sin x)^2}{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}$
$= \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x}$
अंश और हर को $\cos x$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan x}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan x}$
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करते हुए:
$= \tan \left( \frac{\pi}{4} - x \right)$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 3, b = 5$ और $c = 7$ हैं।
चूँकि सबसे बड़ी भुजा $c = 7$ है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $\angle C$ होगा।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
मान रखने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5}$
$\cos C = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos C = -\frac{1}{2},$ इसलिए $\angle C = \frac{2\pi}{3}$ होगा।

(C) त्रिभुज $ABC$ में,$AD = b \sin C = c \sin B$.
दिया गया है $AD = \frac{abc}{b^2 - c^2}$,अतः $AD(b^2 - c^2) = abc$.
सरल करने पर,$\sin(B-C) = 1$ प्राप्त होता है।
अतः $B - C = 90^\circ$.
$B = 90^\circ + 23^\circ = 113^\circ$.

(C) दिए गए समीकरण $x^2 - 5x + 6 = 0$ और $y^2 - 6y + 5 = 0$ हैं।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 2, 3$ और $y = 1, 5$ प्राप्त होते हैं।
ये रेखाएं $x=2, x=3, y=1, y=5$ हैं,जो $(2,1), (3,1), (3,5),$ और $(2,5)$ शीर्षों वाला एक आयत बनाती हैं।
विकर्ण $d_1$,$(2,1)$ और $(3,5)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y - 1 = \frac{5 - 1}{3 - 2}(x - 2)$ $\Rightarrow y - 1 = 4(x - 2)$ $\Rightarrow y = 4x - 7$ है।
विकर्ण $d_2$,$(3,1)$ और $(2,5)$ से होकर गुजरता है। इसका समीकरण $y - 1 = \frac{5 - 1}{2 - 3}(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4(x - 3)$ $\Rightarrow y - 1 = -4x + 12$ $\Rightarrow 4x + y = 13$ है।
अतः,विकर्णों के समीकरण $4x + y = 13$ और $y = 4x - 7$ हैं।

(C) माना $p$ समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब है। तब $p = a \sin 60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए केंद्रक,लंबकेंद्र,परिकेंद्र और अंतःकेंद्र सभी संपाती होते हैं।
अतः,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{1}{3}p = \frac{1}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ है।
वृत्त का व्यास $D = 2r = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
माना वृत्त में अंतःस्थापित वर्ग की भुजा की लंबाई $x$ है। वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
अतः,$x^2 + x^2 = D^2$,जिससे $2x^2 = D^2$ प्राप्त होता है।
$D = \frac{a}{\sqrt{3}}$ रखने पर,हमें $2x^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{a^2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,वर्ग का क्षेत्रफल $x^2 = \frac{a^2}{6}$ है।

(A) माना चर बिंदु $P(x, y)$ है।
शांकव परिच्छेद की परिभाषा के अनुसार,एक निश्चित बिंदु (नाभि) से दूरी,एक निश्चित रेखा (नियता) से दूरी की $e$ गुनी होती है।
यहाँ,नाभि $S(-2, 0)$ है,नियता $x = -\frac{9}{2}$ है,और उत्केंद्रता $e = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि $e < 1$,इसलिए बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है।
गणितीय रूप से,$\sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{2}{3} |x + \frac{9}{2}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 2)^2 + y^2 = \frac{4}{9} (x + \frac{9}{2})^2$.
$(x^2 + 4x + 4) + y^2 = \frac{4}{9} (x^2 + 9x + \frac{81}{4})$.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 = \frac{4}{9}x^2 + 4x + 9$.
$\frac{5}{9}x^2 + y^2 = 5$.
$5$ से भाग देने पर: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

(D) दीर्घवृत्त $E$,$f(x, y) = \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} - 1 = 0$ द्वारा दिया गया है।
बिंदु $P(1, 2)$ के लिए,$f(1, 2) = \frac{1}{9} + \frac{4}{4} - 1 = \frac{1}{9} > 0$,इसलिए $P$,$E$ के बाहर स्थित है।
बिंदु $Q(2, 1)$ के लिए,$f(2, 1) = \frac{4}{9} + \frac{1}{4} - 1 = \frac{16+9-36}{36} = -\frac{11}{36} < 0$,इसलिए $Q$,$E$ के अंदर स्थित है।
वृत्त $C$,$g(x, y) = x^2 + y^2 - 9 = 0$ द्वारा दिया गया है।
बिंदु $P(1, 2)$ के लिए,$g(1, 2) = 1^2 + 2^2 - 9 = 1 + 4 - 9 = -4 < 0$,इसलिए $P$,$C$ के अंदर स्थित है।
बिंदु $Q(2, 1)$ के लिए,$g(2, 1) = 2^2 + 1^2 - 9 = 4 + 1 - 9 = -4 < 0$,इसलिए $Q$,$C$ के अंदर स्थित है।
अतः,$P$,$C$ के अंदर है लेकिन $E$ के बाहर है।

(C) दिया गया समीकरण: $2x^2 + 3y^2 - 8x - 18y + 35 - k = 0$.
$x$ और $y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$2(x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 = k$.
स्थिति $1$: यदि $k = 0$ है,तो समीकरण $2(x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 = 0$ हो जाता है,जो बिंदु $(2, 3)$ को दर्शाता है।
स्थिति $2$: यदि $k > 0$ है,तो यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है।
स्थिति $3$: यदि $k < 0$ है,तो यह कोई वास्तविक बिंदु पथ नहीं दर्शाता है।
अतः,सही कथन यह है कि यह $k = 0$ होने पर एक बिंदु को दर्शाता है।

(A) माना $f(x) = 5x^2 + 2x + 3 - 2\sin x$ है।
हम $f(x) = 5(x^2 + \frac{2}{5}x) + 3 - 2\sin x = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 3 - \frac{1}{5} - 2\sin x = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 2.8 - 2\sin x$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
चूंकि $-1 \le \sin x \le 1$,पद $-2\sin x$ का न्यूनतम मान $-2$ है।
अतः,$f(x) \ge 5(x + \frac{1}{5})^2 + 2.8 - 2 = 5(x + \frac{1}{5})^2 + 0.8$ है।
चूंकि $5(x + \frac{1}{5})^2 \ge 0$,इसलिए सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \ge 0.8 > 0$ है।
अतः,$f(x)$ कभी भी $0$ के बराबर नहीं होता है,जिसका अर्थ है कि वक्र कभी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं की संख्या $0$ है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \implies \left(\frac{dy}{dx}\right)_1 = \frac{2a}{y} \dots (i)$
वक्र $y = e^{-x/2a}$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_2 = e^{-x/2a} \left(-\frac{1}{2a}\right) = -\frac{y}{2a} \dots (ii)$
दो वक्र लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर ढाल का गुणनफल $-1$ हो:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_1 \times \left(\frac{dy}{dx}\right)_2 = \left(\frac{2a}{y}\right) \times \left(-\frac{y}{2a}\right) = -1$
अतः,वक्र $y = e^{-x/2a}$ परवलय $y^2 = 4ax$ को समकोण पर काटता है।

(B) नाभियों के निर्देशांक $F_1(-ae, 0)$ और $F_2(ae, 0)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P$ $(x, y)$ है। त्रिभुज $PF_1F_2$ का आधार नाभियों के बीच की दूरी है,जो $F_1F_2 = 2ae$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $P$ से $x$-अक्ष पर लंबवत दूरी है,जो $|y|$ है।
त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |y| = ae|y|$ द्वारा दिया जाता है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,$|y|$ का अधिकतम मान $b$ है (जब $x = 0$ हो)।
अतः,अधिकतम क्षेत्रफल $A = ae \times b = abe$ है।

(B) माना $S = \sum_{k=0}^{99} \left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right]$.
$0 \le k \le 49$ के लिए,हमारे पास $0 \le \frac{k}{100} \le 0.49$ है,इसलिए $\frac{1}{2} + \frac{k}{100} = 0.5 + \frac{k}{100} < 1$ है। अतः,$k = 0, 1, \dots, 49$ के लिए $\left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right] = 0$ होगा।
$50 \le k \le 99$ के लिए,हमारे पास $0.50 \le \frac{k}{100} \le 0.99$ है,इसलिए $1 \le \frac{1}{2} + \frac{k}{100} < 1.49$ है। अतः,$k = 50, 51, \dots, 99$ के लिए $\left[ \frac{1}{2} + \frac{k}{100} \right] = 1$ होगा।
$k = 50$ से $k = 99$ तक पदों की संख्या $99 - 50 + 1 = 50$ है।
अतः,योग $0 \times 50 + 1 \times 50 = 50$ होगा।

(D) दिया गया है $2\sin^2 x + 3\sin x - 2 > 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2\sin^2 x + 4\sin x - \sin x - 2 > 0$।
$2\sin x(\sin x + 2) - 1(\sin x + 2) > 0$।
$(\sin x + 2)(2\sin x - 1) > 0$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\sin x + 2 > 0$ है,इसलिए $2\sin x - 1 > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\sin x > 1/2$।
$x$ के उचित अंतराल में,$\sin x > 1/2$ का अर्थ है $x > \pi/6$।
दिया गया है $x^2 - x - 2 < 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) < 0$।
यह असमिका $x \in (-1, 2)$ के लिए सत्य है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर: $x > \pi/6$ और $-1 < x < 2$।
चूंकि $\pi/6 \approx 0.523$ है,इसलिए प्रतिच्छेदन $x \in (\pi/6, 2)$ प्राप्त होता है।

(D) समिति का आकार $12$ है। मान लीजिए $W$ महिलाएं और $M$ पुरुष हैं। $W + M = 12$ और $W \ge 5$ है।
$(i)$ महिलाएं बहुमत में हैं $(W > M)$: $W$ के संभावित मान $7, 8, 9$ हैं।
तरीके = $^9C_7 \times ^8C_5 + ^9C_8 \times ^8C_4 + ^9C_9 \times ^8C_3 = 2016 + 630 + 56 = 2702$.
(ii) पुरुष बहुमत में हैं $(M > W)$: $W$ का संभावित मान $5$ है।
तरीके = $^9C_5 \times ^8C_7 = 126 \times 8 = 1008$.

(A) $(1 + x)^n$ के विस्तार में,दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के गुणांक क्रमशः $^nC_1, ^nC_2$ और $^nC_3$ हैं।
दिया गया है कि $^nC_1, ^nC_2, ^nC_3$ $A.P.$ में हैं,इसलिए:
$2(^nC_2) = ^nC_1 + ^nC_3$
$2 \times \frac{n(n - 1)}{2} = n + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}$
$n$ से विभाजित करने पर $(n \neq 0)$:
$n - 1 = 1 + \frac{(n - 1)(n - 2)}{6}$
$6(n - 1) = 6 + (n^2 - 3n + 2)$
$n^2 - 9n + 14 = 0$
$(n - 7)(n - 2) = 0$
अतः,$n = 7$ या $n = 2$ है।
$n = 2$ के लिए,$(1 + x)^2$ के विस्तार में केवल तीन पद होते हैं,इसलिए चौथा पद मौजूद नहीं है। अतः,$n = 7$ सही उत्तर है।

(C) $n = 1$ के लिए,हमें प्राप्त होता है,
${P^{1 + 1}} + {(P + 1)^{2(1) - 1}} = {P^2} + {(P + 1)^1} = {P^2} + P + 1$.
यह व्यंजक ${P^2} + P + 1$ से विभाज्य है।
मान लीजिए कि दिया गया परिणाम $n = m \in N$ के लिए सत्य है,अर्थात,${P^{m + 1}} + {(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1)$ किसी $k \in N$ के लिए .....$(i)$
अब,$n = m + 1$ के लिए:
${P^{(m + 1) + 1}} + {(P + 1)^{2(m + 1) - 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^{2m + 1}} = {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}{(P + 1)^{2m - 1}}$.
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,${(P + 1)^{2m - 1}} = k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2}[k({P^2} + P + 1) - {P^{m + 1}}]
= {P^{m + 2}} + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1) - {(P + 1)^2}{P^{m + 1}}
= {P^{m + 1}}[P - {(P + 1)^2}] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= {P^{m + 1}}[P - ({P^2} + 2P + 1)] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= {P^{m + 1}}[-{P^2} - P - 1] + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= -{P^{m + 1}}({P^2} + P + 1) + {(P + 1)^2} \cdot k({P^2} + P + 1)
= ({P^2} + P + 1)[k{(P + 1)^2} - {P^{m + 1}}]$.
चूंकि यह ${P^2} + P + 1$ का एक गुणज है,इसलिए परिणाम $n = m + 1$ के लिए सत्य है।
गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,परिणाम सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।

(B) दिया गया है $\sin \frac{\pi }{2^n} + \cos \frac{\pi }{2^n} = \frac{\sqrt{n}}{2}$.
दोनों पक्षों को $\frac{1}{\sqrt{2}}$ से गुणा करने पर:
$\sin \left( \frac{\pi }{2^n} + \frac{\pi }{4} \right) = \frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}}$.
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए $\frac{\sqrt{n}}{2\sqrt{2}} \le 1$ $\Rightarrow \sqrt{n} \le 2\sqrt{2}$ $\Rightarrow n \le 8$.
अतः,$4 < n \le 8$ प्राप्त होता है।

(C) माना मीनार $AB$ की ऊँचाई $h$ है और $B$ की $A$ से क्षैतिज दूरी $x$ है। $H = h \cos \alpha$ बिंदु $B$ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई है।
$H \cot \beta = d + x$ और $H \cot \gamma = 3d + x$ प्राप्त होता है।
घटाने पर,$H(\cot \gamma - \cot \beta) = 2d$ प्राप्त होता है।
$d = H(\cot \beta - \tan \alpha)$ और $3d = H(\cot \gamma - \tan \alpha)$ का उपयोग करने पर,
$3H(\cot \beta - \tan \alpha) = H(\cot \gamma - \tan \alpha)$,
अतः $3 \cot \beta - 3 \tan \alpha = \cot \gamma - \tan \alpha$,
जिससे $2 \tan \alpha = 3 \cot \beta - \cot \gamma$ प्राप्त होता है।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 10x + 16 = 0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (5, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5^2 - 16} = 3$ है।
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_2 = r$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
दो वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ हो।
मान रखने पर,$|3 - r| < 5 < 3 + r$ प्राप्त होता है।
$5 < 3 + r$ से $r > 2$ मिलता है।
$|3 - r| < 5$ से $r < 8$ मिलता है।
अतः,$2 < r < 8$ सही उत्तर है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $L(1, 2)$ और $L'(1, -2)$ हैं।
$L(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 2(x + 1)$ है,जो सरल होकर $y = x + 1$ हो जाता है।
$L'(1, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $-2y = 2(x + 1)$ है,जो सरल होकर $y = -(x + 1)$ हो जाता है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर:
$x + 1 = -(x + 1)$
$2(x + 1) = 0$
$x = -1$
$x = -1$ को $y = x + 1$ में रखने पर,हमें $y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 0)$ है।

(B) मान लीजिए $P, Q,$ और $R$ वे बिंदु हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{p} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$,$\vec{q} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$,और $\vec{r} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$ हैं।
$P$ और $Q$ के बीच की दूरी $|\vec{q} - \vec{p}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$ है।
$Q$ और $R$ के बीच की दूरी $|\vec{r} - \vec{q}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$ है।
$R$ और $P$ के बीच की दूरी $|\vec{p} - \vec{r}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$ है।
चूंकि $|\vec{PQ}| = |\vec{QR}| = |\vec{RP}|$ है,इसलिए ये बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

(D) माना $\vec{a} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k)$.
$1$. जाँचें कि क्या यह एक इकाई सदिश है:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}} = 1$.
अतः,यह एक इकाई सदिश है।
$2$. जाँचें कि क्या यह $\vec{b} = 3i + 2j - 2k$ के लंबवत है:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k) \cdot (3i + 2j - 2k) = \frac{1}{3}(2 \times 3 + (-2) \times 2 + 1 \times (-2)) = \frac{1}{3}(6 - 4 - 2) = \frac{1}{3}(0) = 0$.
चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,वे लंबवत हैं।
$3$. जाँचें कि क्या यह $\vec{c} = -i + j - \frac{1}{2}k$ के समानांतर है:
$\vec{a} = \frac{1}{3}(2i - 2j + k) = -\frac{2}{3}(-i + j - \frac{1}{2}k) = -\frac{2}{3}\vec{c}$.
चूँकि $\vec{a} = k\vec{c}$ है,वे समानांतर हैं।
सभी शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) मान लीजिए बिंदु $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ और $R(0, 2, 1)$ हैं।
सबसे पहले,हम समतल में दो सदिश ज्ञात करते हैं: $\overrightarrow{PQ} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$ और $\overrightarrow{PR} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$.
समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1)) = 8i + 4j + 4k$.
सरल बनाने के लिए,हम एक समानांतर सदिश $\vec{v} = 2i + j + k$ ले सकते हैं।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $\frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$।
तब $g(x) = x \cdot f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$।
$x = 0$ पर $g(x)$ की अवकलनीयता की जाँच करने के लिए:
$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{g(0+h) - g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin(1/h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin(1/h)$।
चूँकि $\lim_{h \to 0} h = 0$ और $\sin(1/h)$,$[-1, 1]$ में परिबद्ध है,स्क्वीज़ प्रमेय के अनुसार,$g'(0) = 0$ है।
अतः,$g(x)$,$x = 0$ पर अवकलनीय है।
अब,$x \ne 0$ के लिए,$g'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 \sin \frac{1}{x}) = 2x \sin \frac{1}{x} + x^2 \cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$।
जैसे $x \to 0$,$2x \sin \frac{1}{x} \to 0$,लेकिन $\lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}$ का अस्तित्व नहीं है।
इसलिए,$\lim_{x \to 0} g'(x)$ का अस्तित्व नहीं है,जिसका अर्थ है कि $g'(x)$,$x = 0$ पर सतत नहीं है।

(D) दिया गया है $f(x) = (x + 2)e^{-x}$.
वर्धमान और ह्रासमान अंतराल ज्ञात करने के लिए,हम गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं:
$f'(x) = (1)e^{-x} + (x + 2)(-e^{-x})$
$f'(x) = e^{-x}(1 - x - 2)$
$f'(x) = -e^{-x}(x + 1)$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$:
$-e^{-x}(x + 1) > 0$
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $-(x + 1) > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x + 1 < 0$,अर्थात $x < -1$.
अतः,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान है।
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f'(x) < 0$:
$-e^{-x}(x + 1) < 0$
चूंकि $e^{-x} > 0$ सभी $x$ के लिए,इसलिए $-(x + 1) < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x + 1 > 0$,अर्थात $x > -1$.
अतः,फलन $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।
इसलिए,फलन $(-\infty, -1)$ में वर्धमान और $(-1, \infty)$ में ह्रासमान है।

(D) माना $I = \int \cos 2\theta \log \left( \frac{\cos \theta + \sin \theta }{\cos \theta - \sin \theta } \right) d\theta$.
सबसे पहले,लघुगणकीय पद को सरल करने पर: $\log \left( \frac{\cos \theta + \sin \theta }{\cos \theta - \sin \theta } \right) = \log \left( \frac{1 + \tan \theta }{1 - \tan \theta } \right) = \log \tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right)$.
माना $u = \log \tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right)$ और $dv = \cos 2\theta d\theta$.
तब $du = \frac{1}{\tan(\frac{\pi}{4} + \theta)} \cdot \sec^2(\frac{\pi}{4} + \theta) d\theta = \frac{2}{\sin(\frac{\pi}{2} + 2\theta)} d\theta = 2 \sec 2\theta d\theta$.
और $v = \int \cos 2\theta d\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$.
खंडशः समाकलन विधि $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{2} \sin 2\theta \log \tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) - \int \left( \frac{1}{2} \sin 2\theta \right) (2 \sec 2\theta) d\theta$.
$I = \frac{1}{2} \sin 2\theta \log \tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) - \int \tan 2\theta d\theta$.
$I = \frac{1}{2} \sin 2\theta \log \tan \left( \frac{\pi }{4} + \theta \right) - \frac{1}{2} \log |\sec 2\theta| + C$.

(D) माना $I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt x }}} \,dx$ .....$(i)$
गुणधर्म $\int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a + b - x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,हम $x$ को $(2 + 3 - x) = (5 - x)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$\therefore I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\sqrt {5 - (5 - x)} + \sqrt {5 - x} }}} \,dx$
$I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt {5 - x} }}{{\sqrt x + \sqrt {5 - x} }}} \,dx$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_2^3 {\frac{{\sqrt x + \sqrt {5 - x} }}{{\sqrt {5 - x} + \sqrt x }}} \,dx$
$2I = \int_2^3 1 \,dx$
$2I = [x]_2^3 = 3 - 2 = 1$
$I = \frac{1}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि फलन $f(x) = |\sin x|$ का आवर्तकाल $\pi$ है।
अतः,$\int_0^{n\pi} |\sin x| \, dx = n \int_0^{\pi} |\sin x| \, dx = n \int_0^{\pi} \sin x \, dx = n [-\cos x]_0^{\pi} = n(1 - (-1)) = 2n$.
अब,समाकलन $\int_{n\pi}^{n\pi + v} |\sin x| \, dx$ पर विचार करें। मान लीजिए $x = n\pi + t$,तो $dx = dt$ होगा। जब $x = n\pi$,तब $t = 0$ है। जब $x = n\pi + v$,तब $t = v$ है।
चूंकि $|sin(n\pi + t)| = |\sin(n\pi) \cos t + \cos(n\pi) \sin t| = |(-1)^n \sin t| = |\sin t|$।
इसलिए,$\int_{n\pi}^{n\pi + v} |\sin x| \, dx = \int_0^v |\sin t| \, dt$।
मान लीजिए $0 \le v \le \pi$,तो हमें $\int_0^v \sin t \, dt = [-\cos t]_0^v = 1 - \cos v$ प्राप्त होता है।
अतः,$\int_0^{n\pi + v} |\sin x| \, dx = 2n + 1 - \cos v$।

(B) दिए गए वक्र $y = |x - 1|$ और $y = 1$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$|x - 1| = 1$ रखें,जिससे $x - 1 = 1$ या $x - 1 = -1$ प्राप्त होता है। अतः,$x = 2$ या $x = 0$ है।
क्षेत्र $x = 0$ और $x = 2$ के बीच परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{2} (1 - |x - 1|) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $x < 1$ के लिए $|x - 1| = 1 - x$ और $x \ge 1$ के लिए $|x - 1| = x - 1$ है,हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{1} (1 - (1 - x)) dx + \int_{1}^{2} (1 - (x - 1)) dx$
$A = \int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{2} (2 - x) dx$
$A = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2}$
$A = \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + \left( (4 - 2) - (2 - \frac{1}{2}) \right)$
$A = \frac{1}{2} + (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
अतः,क्षेत्रफल $1$ वर्ग इकाई है।

(A) यदि $A, B,$ और $C$ परस्पर स्वतंत्र हैं,तो $P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C),$ और $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ है।
$S_1$ के लिए: $P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A)P(B)P(C) = P(A)[P(B) + P(C) - P(B)P(C)] = P(A)P(B \cup C)$। अतः,$S_1$ सत्य है।
$S_2$ के लिए: $P(A \cap (B \cap C)) = P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = P(A)P(B \cap C)$। अतः,$S_2$ सत्य है।

(B) एक उछाल में $4$ से बड़ी संख्या (अर्थात $5$ या $6$) प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि सफलता सम संख्या के उछाल में मिले,जो परिणामों के अनुक्रम को दर्शाता है: (असफलता,सफलता),(असफलता,असफलता,असफलता,सफलता),आदि।
आवश्यक प्रायिकता $P = pq + q^3p + q^5p + \dots$ है।
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = pq$ और सार्व अनुपात $r = q^2$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
मान रखने पर: $P = \frac{pq}{1 - q^2} = \frac{(\frac{1}{3})(\frac{2}{3})}{1 - (\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{2}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2}{5}$.

(C) दिया गया है $P(A^c) = 0.3$,इसलिए $P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
दिया गया है $P(B) = 0.4$,इसलिए $P(B^c) = 1 - 0.4 = 0.6$.
दिया गया है $P(A \cap B^c) = 0.5$.
हम जानते हैं कि $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$,इसलिए $0.7 = P(A \cap B) + 0.5$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = 0.2$.
हमें $P(B | A \cup B^c) = \frac{P(B \cap (A \cup B^c))}{P(A \cup B^c)}$ ज्ञात करना है।
अंश: $P(B \cap (A \cup B^c)) = P((B \cap A) \cup (B \cap B^c)) = P(A \cap B) \cup \emptyset = P(A \cap B) = 0.2$.
हर: $P(A \cup B^c) = P(A) + P(B^c) - P(A \cap B^c) = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.
अतः,$P(B | A \cup B^c) = \frac{0.2}{0.8} = \frac{1}{4}$.

(B) माना $H$ चित आने की घटना है और $T$ पट आने की घटना है। $P(H) = P(T) = \frac{1}{2}$.
स्थिति $1$: यदि $H$ आता है,तो दो पासे फेंके जाते हैं। योग $7$ या $8$ हो सकता है।
$P(7|H) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ और $P(8|H) = \frac{5}{36}$.
स्थिति $2$: यदि $T$ आता है,तो $2$ से $12$ तक अंकित कार्डों में से एक कार्ड चुना जाता है।
$P(7|T) = \frac{1}{11}$ और $P(8|T) = \frac{1}{11}$.
$7$ प्राप्त करने की कुल प्रायिकता $P(7) = P(H)P(7|H) + P(T)P(7|T) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{11} = \frac{17}{132}$.
$8$ प्राप्त करने की कुल प्रायिकता $P(8) = P(H)P(8|H) + P(T)P(8|T) = \frac{1}{2} \times \frac{5}{36} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{11} = \frac{91}{792}$.
अभीष्ट प्रायिकता $P = P(7) + P(8) = \frac{17}{132} + \frac{91}{792} = \frac{193}{792} \approx 0.244$.

(C) सफेद गेंद निकलने की प्रायिकता $p = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ है।
$7^{th}$ प्रयास पर $4^{th}$ बार सफेद गेंद निकलने के लिए,पहले $6$ प्रयासों में ठीक $3$ सफेद गेंदें आनी चाहिए और $7^{th}$ प्रयास में सफेद गेंद आनी चाहिए।
प्रायिकता: $P = \binom{6}{3} \times p^3 \times (1-p)^3 \times p$.
$p = \frac{1}{2}$ रखने पर:
$P = 20 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^3 \times \frac{1}{2} = 20 \times (\frac{1}{2})^7 = \frac{20}{128} = \frac{5}{32}$.

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos(A-P) & \cos(A-Q) & \cos(A-R) \\ \cos(B-P) & \cos(B-Q) & \cos(B-R) \\ \cos(C-P) & \cos(C-Q) & \cos(C-R) \end{array} \right|$ है।
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ सूत्र का उपयोग करके,हम प्रत्येक अवयव को दो पदों के योग के रूप में लिख सकते हैं।
यह हमें सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos A & \sin A & 0 \\ \cos B & \sin B & 0 \\ \cos C & \sin C & 0 \end{array} \right| \times \left| \begin{array}{ccc} \cos P & \cos Q & \cos R \\ \sin P & \sin Q & \sin R \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$.
चूंकि पहले आव्यूह का तीसरा स्तंभ शून्य है और दूसरे आव्यूह की तीसरी पंक्ति शून्य है,इसलिए इन दो आव्यूहों का गुणनफल शून्य है।
वैकल्पिक रूप से,सारणिक को $8$ सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में कम से कम दो समान स्तंभ (या पंक्तियाँ) होते हैं,जिससे प्रत्येक सारणिक का मान $0$ हो जाता है।
अतः,सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना $\alpha = \cos^{-1} \frac{1}{5\sqrt{2}}$. तब $\cos \alpha = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
चूँकि $\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1 = (5\sqrt{2})^2 - 1 = 50 - 1 = 49$,इसलिए $\tan \alpha = 7$ है।
अतः,$\alpha = \tan^{-1} 7$.
माना $\beta = \sin^{-1} \frac{4}{\sqrt{17}}$. तब $\sin \beta = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
चूँकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - \frac{16}{17} = \frac{1}{17}$,इसलिए $\cos \beta = \frac{1}{\sqrt{17}}$ है।
तब $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{4/\sqrt{17}}{1/\sqrt{17}} = 4$.
अतः,$\beta = \tan^{-1} 4$.
व्यंजक $\tan(\alpha - \beta) = \tan(\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 4)$ बन जाता है।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan(\tan^{-1} 7 - \tan^{-1} 4) = \frac{7 - 4}{1 + (7)(4)} = \frac{3}{1 + 28} = \frac{3}{29}$.

(A) $R$ और $S$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\frac{3p + 2q}{5}$ और $3p - 2q$ हैं।
अतः,$\overrightarrow{OR} = \frac{3p + 2q}{5}$ और $\overrightarrow{OS} = 3p - 2q.$
चूंकि $\overrightarrow{OR} \perp \overrightarrow{OS},$ उनका अदिश गुणनफल शून्य है,इसलिए $\overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = 0.$
$\left( \frac{3p + 2q}{5} \right) \cdot (3p - 2q) = 0$
$9|p|^2 - 6(p \cdot q) + 6(q \cdot p) - 4|q|^2 = 0$
$9|p|^2 - 4|q|^2 = 0$
$9|p|^2 = 4|q|^2$
दिया गया है कि $|p| = p$ और $|q| = q,$ इसलिए हमें $9p^2 = 4q^2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \sin x$ और $g(x) = \ln |x|$।
$fog(x) = f(g(x)) = \sin(\ln |x|)$ के लिए।
चूंकि $\ln |x|$ का परिसर $(-\infty, \infty)$ है,इसलिए $\sin(\ln |x|)$ का परिसर $[-1, 1]$ होगा। अतः,$R_1 = [-1, 1]$।
$gof(x) = g(f(x)) = \ln |\sin x|$ के लिए।
चूंकि $|\sin x|$ का परिसर $(0, 1]$ है,इसलिए $\ln |\sin x|$ का परिसर $(-\infty, 0]$ होगा। अतः,$R_2 = (-\infty, 0]$।
इसलिए,$R_1 = \{u: -1 \le u \le 1\}$ और $R_2 = \{v: -\infty < v \le 0\}$।

(B) $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^-} (1 + |\sin x|)^{a/|\sin x|} = e^{\lim_{x \to 0^-} |\sin x| \cdot \frac{a}{|\sin x|}} = e^a$.
इसके बाद,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ की गणना करें:
$\lim_{x \to 0^+} e^{\tan 2x/\tan 3x} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{\tan 2x}{\tan 3x}} = e^{\lim_{x \to 0^+} \frac{(\tan 2x / 2x) \cdot 2x}{(\tan 3x / 3x) \cdot 3x}} = e^{2/3}$.
चूँकि $f(0) = b$,हम सीमाओं की तुलना करते हैं:
$e^a = b = e^{2/3}$.
अतः,$a = 2/3$ और $b = e^{2/3}$ है।

(A) चूंकि बिंदु $(2,3)$ वक्र $y^2=px^3+q$ पर स्थित है,इसलिए हमारे पास है:
$3^2 = p(2)^3 + q$
$9 = 8p + q$ ...$(i)$
अब,वक्र के समीकरण $y^2=px^3+q$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3px^2$
$\frac{dy}{dx} = \frac{3px^2}{2y}$
स्पर्शरेखा $y=4x-5$ की ढाल $4$ है। इसलिए,$(2,3)$ पर अवकलज का मान $4$ के बराबर होना चाहिए:
$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(2,3)} = \frac{3p(2)^2}{2(3)} = 4$
$\frac{12p}{6} = 4$
$2p = 4 \Rightarrow p = 2$ ...$(ii)$
$p=2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$8(2) + q = 9$
$16 + q = 9$
$q = 9 - 16 = -7$
अतः,$p=2$ और $q=-7$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $y=(\sin x)^{\tan x}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\log y = \tan x \cdot \log(\sin x)$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर (गुणन नियम का उपयोग करते हुए):
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\tan x) \cdot \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))$।
$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \cdot \log(\sin x) + \tan x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$।
चूंकि $\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x$,इसलिए $\tan x \cdot \cot x = 1$।
अतः,$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \log(\sin x) + 1$।
$y$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dy}{dx} = y[1 + \sec^2 x \log(\sin x)]$।
$y = (\sin x)^{\tan x}$ रखने पर,$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\tan x}[1 + \sec^2 x \log(\sin x)]$।