IIT JEE 1994 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया अभिकेंद्र त्वरण $a_c = k^2 r t^2$ है।
हम जानते हैं कि $a_c = \frac{v^2}{r}$,जहाँ $v$ कण की चाल है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{v^2}{r} = k^2 r t^2$।
इससे $v^2 = k^2 r^2 t^2$ प्राप्त होता है,अतः $v = krt$।
स्पर्शीय त्वरण $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(krt) = kr$ है।
कण पर कार्य करने वाला स्पर्शीय बल $F_t = m a_t = mkr$ है।
कण को दी गई शक्ति $P$ स्पर्शीय बल और वेग का गुणनफल है: $P = F_t \cdot v = (mkr) \cdot (krt) = m k^2 r^2 t$।

(B) दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $R$ अनुप्रयुक्त क्षैतिज बल के बराबर है,इसलिए $R = 5 \, N$ है।
सीमान्त घर्षण $F_l$ का मान $F_l = \mu R = 0.5 \times 5 = 2.5 \, N$ है।
नीचे की ओर कार्य करने वाला ब्लॉक का भार $W = mg = 0.1 \times 9.8 = 0.98 \, N$ है।
चूंकि नीचे की ओर कार्य करने वाला बल (भार) सीमान्त घर्षण से कम है $(0.98 \, N < 2.5 \, N)$,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहता है।
संतुलन में स्थित ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल $F_s$ को नीचे की ओर कार्य करने वाले भार को संतुलित करना चाहिए। अतः,$F_s = W = 0.98 \, N$।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र $g$ इस प्रकार है:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: $g = \frac{GMr}{R^3}$,जिसका अर्थ है $g \propto r$.
$2$. गोले के बाहर $(r > R)$: $g = \frac{GM}{r^2}$,जिसका अर्थ है $g \propto \frac{1}{r^2}$.
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल $F = mg$ है,इसलिए बलों का अनुपात $\frac{F_1}{F_2}$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अनुपात $\frac{g_1}{g_2}$ के बराबर होता है।
यदि $r_1 < R$ और $r_2 < R$ है,तो $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1}{r_2}$। यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
यदि $r_1 > R$ और $r_2 > R$ है,तो $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$। यह विकल्प $(b)$ से मेल खाता है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(A) बर्नौली का समीकरण बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर द्रव प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग धारा-रेखा के साथ स्थिर रहता है।
हवाई जहाज के पंख की डायनेमिक लिफ्ट इस सिद्धांत का एक उत्कृष्ट अनुप्रयोग है।
जैसे-जैसे पंख हवा में आगे बढ़ता है,पंख के आकार के कारण पंख के ऊपर हवा का वेग पंख के नीचे की हवा के वेग से अधिक हो जाता है।
बर्नौली के समीकरण के अनुसार,जहाँ द्रव का वेग अधिक होता है,वहाँ दाब कम होता है।
इसलिए,पंख के नीचे का दाब पंख के ऊपर के दाब से अधिक होता है,जो ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न करता है जिसे डायनेमिक लिफ्ट कहा जाता है।

(B) माना बर्फ के टुकड़े का द्रव्यमान $M$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,बर्फ का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
अतः,$M \cdot g = V_D \cdot \sigma_L \cdot g$,जहाँ $V_D$ विस्थापित द्रव का आयतन है और $\sigma_L$ द्रव का घनत्व है।
इसलिए,$V_D = \frac{M}{\sigma_L}$।
जब बर्फ पिघलती है,तो यह $M$ द्रव्यमान का पानी बनाती है। इस पानी का आयतन $V_F = \frac{M}{\sigma_W}$ है,जहाँ $\sigma_W$ पानी का घनत्व $(1 \ g/cm^3)$ है।
यहाँ $\sigma_L = 1.2 \ g/cm^3$ और $\sigma_W = 1 \ g/cm^3$ दिया गया है,इसलिए $\sigma_L > \sigma_W$ है।
आयतन की तुलना करने पर: चूँकि $\sigma_L > \sigma_W$ है,इसलिए $\frac{M}{\sigma_L} < \frac{M}{\sigma_W}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $V_D < V_F$ है।
चूँकि बने हुए पानी का आयतन $(V_F)$ तैरती हुई बर्फ द्वारा विस्थापित द्रव के आयतन $(V_D)$ से अधिक है,इसलिए बीकर में द्रव का स्तर ऊपर उठ जाएगा।

(D) स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,कुल विकिरण शक्ति $P = e A \sigma T^4$ है। चूँकि $P_A = P_B$ और $A_A = A_B$,इसलिए $e_A T_A^4 = e_B T_B^4$ होगा।
दिया गया है $e_A = 0.01$,$e_B = 0.81$,और $T_A = 5802\;K$.
$T_B = T_A \left( \frac{e_A}{e_B} \right)^{1/4} = 5802 \times \left( \frac{0.01}{0.81} \right)^{1/4} = 5802 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4} = 5802 \times \frac{1}{3} = 1934\;K$.
वीन के विस्थापन नियम का उपयोग करते हुए,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B = b$ (स्थिरांक)।
$\lambda_A = \frac{b}{T_A}$ और $\lambda_B = \frac{b}{T_B}$.
दिया गया है $\lambda_B - \lambda_A = 1.00\;\mu m$.
$\frac{b}{T_B} - \frac{b}{T_A} = 1.00\;\mu m$.
$b \left( \frac{1}{1934} - \frac{1}{5802} \right) = 1.00\;\mu m$.
$b \left( \frac{3 - 1}{5802} \right) = 1.00\;\mu m \Rightarrow b = \frac{5802}{2} = 2901\;\mu m \cdot K$.
अब,$\lambda_B = \frac{b}{T_B} = \frac{2901}{1934} = 1.5\;\mu m$.
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है: $L_1 = 8 \, mH$,$L_2 = 2 \, mH$,और $\frac{di_1}{dt} = \frac{di_2}{dt} = k$ (स्थिर)।
$1$. प्रेरित वोल्टेज: $V = L \frac{di}{dt}$। चूंकि $\frac{di}{dt}$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $\frac{V_2}{V_1} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
$2$. शक्ति: $P = V \cdot i$। दिया गया है कि $P_1 = P_2$,इसलिए $V_1 i_1 = V_2 i_2$। अतः,$\frac{i_1}{i_2} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{4}$। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. संचित ऊर्जा: $W = \frac{1}{2} L i^2$। अनुपात $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{L_2}{L_1} \right) \left( \frac{i_2}{i_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right) \left( 4 \right)^2 = \frac{1}{4} \times 16 = 4$। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
चूंकि $(a)$,$(b)$,और $(c)$ सभी सही हैं,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण का उपयोग करते हुए: $K_{max} = E - \Phi$,जहाँ $\Phi$ कार्य फलन है।
धातु $A$ के लिए: $T_A = 4.25 - \Phi_A$ ... $(i)$
धातु $B$ के लिए: $T_B = T_A - 1.50 = 4.70 - \Phi_B$ ... (ii)
$(i)$ से,$\Phi_A = 4.25 - T_A$. (ii) से,$\Phi_B = 4.70 - (T_A - 1.50) = 6.20 - T_A$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
दिया गया है $\lambda_B = 2\lambda_A$,इसलिए $\frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \sqrt{\frac{T_A}{T_B}} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{T_A}{T_A - 1.50} = 4$.
$T_A = 4T_A - 6.00 \Rightarrow 3T_A = 6.00 \Rightarrow T_A = 2.00\, eV$.
$T_A = 2.00\, eV$ को $(i)$ में रखने पर: $\Phi_A = 4.25 - 2.00 = 2.25\, eV$.
$T_A = 2.00\, eV$ को (ii) में रखने पर: $T_B = 2.00 - 1.50 = 0.50\, eV$. अतः $\Phi_B = 4.70 - 0.50 = 4.20\, eV$.
इस प्रकार,सभी कथन सही हैं।

(D) एक स्थिर नाभिक का विराम द्रव्यमान हमेशा उसके घटक न्यूक्लियॉन के विराम द्रव्यमानों के योग से कम होता है। इस अंतर को द्रव्यमान क्षति,$\Delta m$ के रूप में जाना जाता है। इस द्रव्यमान क्षति के समतुल्य ऊर्जा,जो $\Delta m c^2$ द्वारा दी जाती है,वह बंधन ऊर्जा है जो न्यूक्लियॉन को एक साथ बांधे रखती है।
नाभिकीय विखंडन एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें एक बहुत भारी नाभिक दो या दो से अधिक हल्के नाभिकों में विभाजित हो जाता है,जिससे काफी मात्रा में ऊर्जा मुक्त होती है।
नाभिकीय संलयन में दो हल्के नाभिक मिलकर एक भारी नाभिक बनाते हैं,न कि मध्यम द्रव्यमान वाले नाभिक जैसा कि विकल्प $(c)$ में कहा गया है।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(B) तेज न्यूट्रॉन को एक मंदक (moderator) से गुजारकर धीमा किया जाता है।
पानी $(H_2O)$,भारी पानी $(D_2O)$,या ग्रेफाइट जैसे हल्के नाभिक वाले पदार्थ प्रभावी मंदक होते हैं।
जब एक तेज न्यूट्रॉन किसी हल्के नाभिक (जैसे हाइड्रोजन या ड्यूटेरियम) के साथ प्रत्यास्थ रूप से टकराता है,तो वह अपनी गतिज ऊर्जा का एक महत्वपूर्ण हिस्सा नाभिक को स्थानांतरित कर देता है,जिससे उसकी गति कम हो जाती है।
इसलिए,न्यूट्रॉन को पानी से गुजारना उन्हें धीमा करने का एक प्रभावी तरीका है।

(A) रेडियोधर्मी विकिरणों की भेदन क्षमता उनके द्रव्यमान और आवेश पर निर्भर करती है।
अल्फा कण $(\alpha)$ भारी होते हैं और $+2e$ आवेश ले जाते हैं, जिससे उनकी आयनीकरण क्षमता अधिक होती है लेकिन भेदन क्षमता सबसे कम होती है।
बीटा कण $(\beta)$ बहुत कम द्रव्यमान वाले उच्च गति वाले इलेक्ट्रॉन होते हैं, जो उन्हें $\alpha$ कणों की तुलना में अधिक भेदन क्षमता प्रदान करते हैं।
गामा किरणें $(\gamma)$ उच्च ऊर्जा वाली विद्युत चुम्बकीय तरंगें हैं जिनका कोई द्रव्यमान या आवेश नहीं होता है, इसलिए उनकी भेदन क्षमता सबसे अधिक होती है।
विशेष रूप से, $\gamma$ की भेदन क्षमता $\beta$ की तुलना में लगभग $100$ गुना है, और $\beta$ की भेदन क्षमता $\alpha$ की तुलना में लगभग $100$ गुना है।
अतः, भेदन क्षमता का बढ़ता क्रम $\alpha$ < $\beta$ < $\gamma$ है।

(A) $PN$ जंक्शन डायोड अग्र अभिनति (forward bias) में होने पर एक चालक के रूप में कार्य करता है।
अग्र अभिनति में,बैटरी का धनात्मक टर्मिनल $P$-क्षेत्र से और ऋणात्मक टर्मिनल $N$-क्षेत्र से जुड़ा होता है।
यह अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई और विभव प्राचीर (potential barrier) की ऊंचाई को कम करता है।
महत्वपूर्ण धारा प्रवाहित होने के लिए,लागू किया गया अग्र अभिनति वोल्टेज अवरोध विभव (जो सिलिकॉन के लिए लगभग $0.7 \ V$ और जर्मेनियम के लिए $0.3 \ V$ है) से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,सही शर्त यह है कि अग्र अभिनति का मान अवरोध विभव से अधिक होना चाहिए।

(D) दिया गया है: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,स्लिट की चौड़ाई $a = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,और दूरी $D = 2 \, m$ है।
केंद्रीय दीप्त फ्रिंज के दोनों ओर पहली अदीप्त फ्रिंजों के बीच की दूरी केंद्रीय उच्चिष्ठ (central maximum) की चौड़ाई के बराबर होती है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई का सूत्र $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ है।
मान रखने पर:
$w = \frac{2 \times (600 \times 10^{-9} \, m) \times 2 \, m}{10^{-3} \, m}$
$w = \frac{2400 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \, m$
$w = 2400 \times 10^{-6} \, m = 2.4 \times 10^{-3} \, m = 2.4 \, mm$.