AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ઊંચાઈમાં થતા ફેરફારનો દર $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ટાંકીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $a$ એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
આના પરથી $dt = -\frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$ મળે છે.
ઊંચાઈ $h_1$ થી $h_2$ સુધી ઘટવા માટે લાગતો સમય $t = \int_{h_2}^{h_1} \frac{A}{a\sqrt{2g}} h^{-1/2} dh = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h_1} - \sqrt{h_2})$ છે.
ધારો કે $t_1$ એ $h$ થી $h/2$ સુધી ઘટવા માટેનો સમય છે:
$t_1 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h} - \sqrt{h/2}) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1 - 1/\sqrt{2})$.
ધારો કે $t_2$ એ $h/2$ થી $0$ સુધી ઘટવા માટેનો સમય છે:
$t_2 = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} (\sqrt{h/2} - 0) = \frac{2A}{a\sqrt{2g}} \sqrt{h} (1/\sqrt{2})$.
તેથી ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{1 - 1/\sqrt{2}}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$ થાય.

(B) આપેલ છે: નળીની ત્રિજ્યા $r_1 = 2 \,cm = 0.02 \,m$.
દરેક છિદ્રની ત્રિજ્યા $r_2 = 0.4 \,mm = 0.0004 \,m$.
છિદ્રોની સંખ્યા $n = 50$.
નળીની અંદર પ્રવાહીનો વેગ $v_1 = 0.04 \,ms^{-1}$.
સાતત્યના સમીકરણ મુજબ, નળીની અંદરનો કદ પ્રવાહ દર એ તમામ છિદ્રોમાંથી બહાર આવતા કુલ કદ પ્રવાહ દર જેટલો હોવો જોઈએ:
$A_1 v_1 = n A_2 v_2$
ક્ષેત્રફળની કિંમત મૂકતા $\pi r_1^2 v_1 = n \pi r_2^2 v_2$
$r_1^2 v_1 = n r_2^2 v_2$
$(0.02)^2 \times 0.04 = 50 \times (0.0004)^2 \times v_2$
$4 \times 10^{-4} \times 0.04 = 50 \times 16 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 800 \times 10^{-8} \times v_2$
$1.6 \times 10^{-5} = 8 \times 10^{-6} \times v_2$
$v_2 = \frac{1.6 \times 10^{-5}}{8 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10 = 2 \,ms^{-1}$.

(D) સાતત્યના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
$10 \times 1 = 5 \times V_2 \Rightarrow V_2 = 2 \,m/s$
આડી પાઈપ માટે બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
અહીં $\rho = 1000 \,kg/m^3$ (પાણીની ઘનતા):
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$
$2000 + 500 = P_2 + 2000$
$P_2 = 2500 - 2000 = 500 \,Pa$

(A) પાણી જેવા પ્રવાહીથી ભરેલા પાત્રના તળિયે $h$ ઊંચાઈએ દબાણનું સૂત્ર $P = P_0 + \rho gh$ છે,જ્યાં $P_0$ એ વાતાવરણીય દબાણ છે.
બંને પાત્રો સમાન ઊંચાઈ $h$ સુધી પાણી (સમાન ઘનતા $\rho$) થી ભરેલા છે અને સમાન આડા સમતલ પર રાખેલા હોવાથી (સમાન વાતાવરણીય દબાણ $P_0$),બંને પાત્રોના તળિયે દબાણ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,પાત્ર $A$ ના તળિયે દબાણ $P_A = P_0 + \rho gh$ અને પાત્ર $B$ ના તળિયે દબાણ $P_B = P_0 + \rho gh$ છે.
આમ,$P_A = P_B$.
પાત્રો $A$ અને $B$ ના તળિયે દબાણનો ગુણોત્તર $P_A : P_B = 1 : 1$ છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
એક નાના ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$216 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$R^3 = 216 r^3 \Rightarrow R = 6r$.
$216$ ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ = $216 \times A$.
મોટા ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ = $4 \pi R^2 = 4 \pi (6r)^2 = 36 \times (4 \pi r^2) = 36A$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = (પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ - અંતિમ પૃષ્ઠફળ) $\times T$.
મુક્ત થતી ઉર્જા = $(216A - 36A) \times T = 180 AT$.

(B) સંપર્ક બિંદુ પર,પૃષ્ઠતાણને કારણે લાગતા બળો ઘન સપાટીની દિશામાં સંતુલનમાં હોવા જોઈએ.
ધારો કે $S_2$ એ ઘન-હવા આંતરપૃષ્ઠ પરનું પૃષ્ઠતાણ છે,$S_3$ એ ઘન-પ્રવાહી આંતરપૃષ્ઠ પરનું પૃષ્ઠતાણ છે,અને $S_1$ એ પ્રવાહી-હવા આંતરપૃષ્ઠ પરનું પૃષ્ઠતાણ છે.
બળ $S_1$ એ ઘન સપાટી સાથે $\theta$ ખૂણે લાગે છે.
$S_1$ ના સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકો લેતા,સમક્ષિતિજ ઘટક $S_1 \cos \theta$ એ $S_3$ ની દિશામાં લાગે છે.
ઘન સપાટીની સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે,બળો સમાન હોવા જોઈએ:
$S_2 = S_3 + S_1 \cos \theta$
આમ,સાચો સંબંધ $S_1 \cos \theta + S_3 = S_2$ છે.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. બે ટીપાંના જોડાણ દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3} r$
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને તેના પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$E = T \times 4 \pi R^2$
સમીકરણમાં $R = 2^{1/3} r$ મૂકતા:
$E = T \times 4 \pi (2^{1/3} r)^2$
$E = T \times 4 \pi \times 2^{2/3} r^2$
$E = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
અહીં $4 = 2^2$ હોવાથી,$2^2 \times 2^{2/3} = 2^{2 + 2/3} = 2^{8/3}$ થાય.
તેથી,$E = 2^{8/3} \pi r^2 T$.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 1 \times 10^{-4} \,m$, દડાની ઘનતા $\sigma = 10^4 \,kg \,m^{-3}$, પાણીની ઘનતા $\delta = 10^3 \,kg \,m^{-3}$, પાણીની સ્નિગ્ધતા $\eta = 9.8 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$.
પાણીમાં દડાનો ટર્મિનલ વેગ $v$ સ્ટોક્સના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{2}{9} \frac{g r^2}{\eta} (\sigma - \delta)$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \frac{2}{9} \times \frac{9.8 \times (10^{-4})^2}{9.8 \times 10^{-4}} \times (10^4 - 10^3)$
$v = \frac{2}{9} \times 10^{-4} \times 9000 = 20 \,m/s$
પાણીમાં પ્રવેશ્યા પછી વેગ બદલાતો ન હોવાથી, $h$ ઊંચાઈ પરથી પડ્યા પછી પ્રાપ્ત થયેલ વેગ ટર્મિનલ વેગ $v$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 9.8} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \,m$.

(C) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$,પ્રવાહનો દર $Q = 7.5 \times 10^{-5} \ m^3 \ s^{-1}$,સ્નિગ્ધતા $\eta = 10^{-3} \ Pa \cdot s$,પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg \cdot m^{-3}$.
પ્રવાહનો દર $Q = A \cdot v = \frac{\pi}{4} D^2 v$,તેથી વેગ $v = \frac{4Q}{\pi D^2}$.
રેનોલ્ડ્સ નંબર $R_e = \frac{\rho v D}{\eta} = \frac{\rho (\frac{4Q}{\pi D^2}) D}{\eta} = \frac{4 \rho Q}{\pi \eta D}$.
કિંમતો મૂકતા: $R_e = \frac{4 \times 10^3 \times 7.5 \times 10^{-5}}{3.14 \times 10^{-3} \times 1.5 \times 10^{-2}}$.
$R_e = \frac{0.3}{4.71 \times 10^{-5}} \approx 6369.4$.
અહીં $R_e > 4000$ હોવાથી,પ્રવાહ અશાંત છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રવાહ અશાંત છે અને રેનોલ્ડ્સ નંબર $6000$ કરતા વધારે છે.

(B) આપેલ છે: ઊંડાઈ $h = 100 \ m$,સંકોચનક્ષમતા $k = 0.5 \times 10^{-9} \ N^{-1} \ m^2$,પાણીની ઘનતા $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
નદીના તળિયે દબાણ $P = \rho gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P = 10^3 \times 10 \times 100 = 10^6 \ N/m^2$.
સંકોચનક્ષમતા $k$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $k = \frac{1}{B} = \frac{(\Delta V / V)}{P}$.
તેથી,આંશિક સંકોચન (કદમાં આંશિક ફેરફાર) $\frac{\Delta V}{V} = k \times P$ છે.
$\frac{\Delta V}{V} = (0.5 \times 10^{-9}) \times 10^6 = 0.5 \times 10^{-3}$.

(C) આપેલ છે: $l_1: l_2 = 1: 2$,$d_1: d_2 = 3: 2$,$F_1: F_2 = 3: 1$.
એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{\sigma^2}{2Y}$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રતિબળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$ હોવાથી,$\sigma \propto \frac{F}{d^2}$ થાય.
તેથી,$U \propto \sigma^2 \propto \left(\frac{F}{d^2}\right)^2$.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{F_1}{F_2}\right)^2 \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 9 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $16: 9$ છે.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{YA}{L}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $W = \frac{1}{2} \left( \frac{YA}{L} \right) x^2$ મળે છે.
બંને તાર માટે દ્રવ્ય $(Y)$ અને વિસ્તરણ $(x)$ સમાન હોવાથી,$W \propto \frac{A}{L}$ થાય.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,$W \propto \frac{r^2}{L}$ થાય.
ધારો કે $r_1 = r$ અને $L_1 = L$. તો $r_2 = 2r$ અને $L_2 = \frac{L}{2}$ થાય.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \left( \frac{L_1}{L_2} \right) = (2)^2 \left( \frac{L}{L/2} \right) = 4 \times 2 = 8$.
તેથી,$W_2 = 8 \times W_1 = 8 \times 2 \ J = 16 \ J$.

(A) તારને ખેંચવા માટે કરવામાં આવેલું કાર્ય એ તારમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} F x$,જ્યાં $F$ એ બળ છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ભાર $F_1 = 5 \ kg \ wt = 5 \times 10 \ N = 50 \ N$,વિસ્તરણ $x_1 = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
અંતિમ ભાર $F_2 = 8 \ kg \ wt = 8 \times 10 \ N = 80 \ N$,વિસ્તરણ $x_2 = 1.8 \ mm = 1.8 \times 10^{-3} \ m$.
થયેલું કાર્ય $W = U_2 - U_1 = \frac{1}{2} F_2 x_2 - \frac{1}{2} F_1 x_1$.
$W = \frac{1}{2} [(80 \times 1.8 \times 10^{-3}) - (50 \times 1 \times 10^{-3})]$.
$W = \frac{1}{2} [144 \times 10^{-3} - 50 \times 10^{-3}] = \frac{1}{2} [94 \times 10^{-3}] = 47 \times 10^{-3} \ J$.

(A) એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \sigma \epsilon$
હૂકના નિયમ મુજબ,સ્ટ્રેસ $(\sigma)$ એ યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અને વિકૃતિ $(\epsilon)$ સાથે આ રીતે સંબંધિત છે:
$\sigma = Y \epsilon$
ઉર્જાના સમીકરણમાં $\sigma$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (Y \epsilon) \times \epsilon$
$u = \frac{Y \epsilon^2}{2}$

(A) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,ઝડપ $v = 12 \ ms^{-1}$,લંબાઈ $l = 4 \ m$,વ્યાસ $d = 2.0 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $F$ જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તે $F = \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{4 \times (12)^2}{4} = 144 \ N$.
વિકૃતિ $\epsilon$ ને $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
તેથી,$\epsilon = \frac{4F}{\pi d^2 Y}$.
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = \frac{4 \times 144}{\pi \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 2 \times 10^{11}}$.
$\epsilon = \frac{576}{\pi \times 4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{576}{\pi \times 8 \times 10^5} = \frac{72}{\pi \times 10^5} \approx 2.29 \times 10^{-4} \approx 2.3 \times 10^{-4}$.

(A) તાંબાના તારમાં તણાવ બળ તેના નીચે લટકતા $7 \,kg$ દળના વજનને કારણે છે。
$T = m \times g = 7 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 70 \,N$.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{T \times l}{Y \times A}$ છે。
આપેલ છે:
$T = 70 \,N$
$l = 0.5 \,m$
$Y = 10 \times 10^{10} \,N/m^2$
$A = 3.5 \,mm^2 = 3.5 \times 10^{-6} \,m^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{70 \times 0.5}{10 \times 10^{10} \times 3.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta l = \frac{35}{35 \times 10^4} = 10^{-4} \,m$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 100 \ cm = 1 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ mm^2 = 2 \times 10^{-6} \ m^2$,બળ $F = 440 \ N$,લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{440 \times 1}{2 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{440}{4 \times 10^{-9}} = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.

(D) ખેંચાયેલા તારમાં ઉર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ કાર્ય) નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2$ છે, જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે અને $\varepsilon$ એ વિકૃતિ છે.
કુલ કાર્ય $W = u \times V = \frac{1}{2} Y \varepsilon^2 V$.
આપેલ છે: $W = 16 \times 10^2 \,J$, $V = 2 \,cm^3 = 2 \times 10^{-6} \,m^3$, $Y = 4 \times 10^{12} \,N/m^2$.
વિકૃતિ $\varepsilon$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2W}{YV}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\varepsilon = \sqrt{\frac{2 \times 16 \times 10^2}{4 \times 10^{12} \times 2 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{3200}{8 \times 10^6}} = \sqrt{400 \times 10^{-6}} = 20 \times 10^{-3} = 0.02$.
આમ, ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ $0.02$ છે.

(A) કણનો $v$-$t$ આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
$1$. પ્રથમ ભાગ માટે (સમાન પ્રવેગ):
અંતર $2L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_1 \implies t_1 = \frac{4L}{V_m}$
$2$. બીજા ભાગ માટે (અચળ વેગ):
અંતર $L = V_m \times t_2 \implies t_2 = \frac{L}{V_m}$
$3$. ત્રીજા ભાગ માટે (સમાન પ્રતિપ્રવેગ):
અંતર $3L = \frac{1}{2} \times V_m \times t_3 \implies t_3 = \frac{6L}{V_m}$
$4$. સરેરાશ ઝડપ $\bar{V} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$
કુલ અંતર $= 2L + L + 3L = 6L$
કુલ સમય $= t_1 + t_2 + t_3 = \frac{4L}{V_m} + \frac{L}{V_m} + \frac{6L}{V_m} = \frac{11L}{V_m}$
$5$. તેથી,$\bar{V} = \frac{6L}{11L/V_m} = \frac{6}{11} V_m$
$\frac{\bar{V}}{V_m} = \frac{6}{11}$

(D) પદાર્થ $A$ માટે:
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$.
આપેલ છે $m_A = 2m$, $u_A = u$.
અહીં ધ્યાનમાં લેવાની ઊંચાઈ $h = \frac{H_{\max}}{2} = \frac{u^2}{4g}$ છે.
ઊંચાઈ $h$ પર પદાર્થ $A$ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$(KE)_A = \text{કુલ ઉર્જા} - (PE)_A = \frac{1}{2} m_A u_A^2 - m_A gh = \frac{1}{2}(2m)u^2 - (2m)g\left(\frac{u^2}{4g}\right) = mu^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}mu^2$.
પદાર્થ $B$ માટે:
આપેલ છે $m_B = m$, $u_B = 2u$.
ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{4g}$ પર પદાર્થ $B$ ની સ્થિતિઊર્જા:
$(PE)_B = m_B gh = m g \left(\frac{u^2}{4g}\right) = \frac{1}{4}mu^2$.
$(KE)_A$ અને $(PE)_B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{(KE)_A}{(PE)_B} = \frac{\frac{1}{2}mu^2}{\frac{1}{4}mu^2} = 2:1$.

(C) શરૂઆતના વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 2gH$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ પર વેગની ગણતરી કરીએ છીએ.
ઊંચાઈ $h_1 = \frac{3H}{4}$ માટે,વેગ $v_1$ એ $v_1^2 = u^2 - 2g(\frac{3H}{4}) = 2gH - \frac{3gH}{2} = \frac{gH}{2}$ દ્વારા મળે છે.
ઊંચાઈ $h_2 = \frac{8H}{9}$ માટે,વેગ $v_2$ એ $v_2^2 = u^2 - 2g(\frac{8H}{9}) = 2gH - \frac{16gH}{9} = \frac{2gH}{9}$ દ્વારા મળે છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2}} = \sqrt{\frac{gH/2}{2gH/9}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ થાય છે.

(C) ધારો કે $R$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
કિસ્સો $1$: ફુગ્ગો $a_0$ પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ: $Mg - R = Ma_0$ ....$(i)$
કિસ્સો $2$: $m$ દળ દૂર કર્યા પછી,ફુગ્ગો $2a_0$ પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ: $R - (M - m)g = (M - m)(2a_0)$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(Mg - R) + (R - (M - m)g) = Ma_0 + (M - m)(2a_0)$
$Mg - Mg + mg = Ma_0 + 2Ma_0 - 2ma_0$
$mg = 3Ma_0 - 2ma_0$
$mg + 2ma_0 = 3Ma_0$
$m(g + 2a_0) = 3Ma_0$
$m = \frac{3Ma_0}{g + 2a_0}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$, જેનો અર્થ છે $v dv = a dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, આપણને મળે છે $\int_{u}^{v} v dv = \int_{x_1}^{x_2} a dx$.
$\frac{v^2 - u^2}{2} = \text{a-x આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
$v^2 = u^2 + 2 \times (\text{a-x આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ})$.
$x=0$ થી $x=1.4$ સુધીના $a-x$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ, એક સમલંબ ચતુષ્કોણ અને બીજા એક લંબચોરસનું બનેલું છે:
ક્ષેત્રફળ $1$ ($x=0$ થી $0.4$): $0.4 \times 0.4 = 0.16$.
ક્ષેત્રફળ $2$ ($x=0.4$ થી $0.8$): $\frac{1}{2} \times (0.4 + 0.2) \times 0.4 = 0.12$.
ક્ષેત્રફળ $3$ ($x=0.8$ થી $1.4$): $0.2 \times 0.6 = 0.12$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 0.16 + 0.12 + 0.12 = 0.4$.
આપેલ છે $u = 0.8 \,ms^{-1}$, તેથી $u^2 = 0.64$.
$v^2 = 0.64 + 2 \times (0.4) = 0.64 + 0.8 = 1.44$.
$v = \sqrt{1.44} = 1.2 \,ms^{-1}$.

(A) અટકવાનું અંતર $S$ એ સૂત્ર $S = \frac{u^2}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે (જે સમાન બ્રેકિંગ બળ માટે અચળ રહે છે).
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $S \propto u^2$.
આપેલ છે: $u_1 = 80 \ km/h$,$S_1 = 60 \ m$,અને $u_2 = 160 \ km/h$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{u_2}{u_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{S_2}{60} = \left(\frac{160}{80}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,$S_2 = 4 \times 60 \ m = 240 \ m$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, પ્રવેગ $a = \frac{5}{4} \,ms^{-2}$, અને સમય $n = 3 \,s$.
$n$ મી સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_{3} = 0 + \frac{5/4}{2}(2 \times 3 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8}(6 - 1)$
$S_{3} = \frac{5}{8} \times 5$
$S_{3} = \frac{25}{8} \,m$.

(D) આપેલ સંબંધ: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
બંને બાજુ $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 = 2 \alpha x \left( \frac{dx}{dt} \right) + \beta \left( \frac{dx}{dt} \right)$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી:
$1 = (2 \alpha x + \beta) v \implies v = \frac{1}{2 \alpha x + \beta}$.
પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$.
$v = (2 \alpha x + \beta)^{-1}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = -1(2 \alpha x + \beta)^{-2} \cdot (2 \alpha) = -2 \alpha v^2$.
તેથી,$a = v (-2 \alpha v^2) = -2 \alpha v^3$.
પ્રતિપ્રવેગ એ પ્રવેગનું ઋણ મૂલ્ય છે:
$\text{પ્રતિપ્રવેગ} = -a = -(-2 \alpha v^3) = 2 \alpha v^3$.

(C) કણનો વેગ $v = 3x^2 - 4x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જેને સ્થાન $x$ ના સંદર્ભમાં $a = v \cdot \frac{dv}{dx}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x) = 6x - 4$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = (3x^2 - 4x)(6x - 4)$.
આમ,પ્રવેગ માટેનું સાચું સૂત્ર $(3x^2 - 4x)(6x - 4)$ છે.

(A) ધારો કે એસ્કેલેટરની લંબાઈ $L$ છે.
ધારો કે વ્યક્તિની ચાલવાની ઝડપ $v_p$ છે અને એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_e$ છે.
જ્યારે એસ્કેલેટર બંધ હોય,ત્યારે વ્યક્તિ $L$ લંબાઈ $t_1 = 90 \ s$ માં કાપે છે. તેથી,$v_p = \frac{L}{90}$.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ઉભી રહે છે,ત્યારે તે $t_2 = 60 \ s$ માં ઉપર પહોંચે છે. તેથી,$v_e = \frac{L}{60}$.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલીને ઉપર જાય છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_p + v_e$ થાય છે.
લાગતો સમય $t_3 = \frac{L}{v_p + v_e} = \frac{L}{\frac{L}{90} + \frac{L}{60}}$ દ્વારા મળે છે.
$t_3 = \frac{1}{\frac{1}{90} + \frac{1}{60}} = \frac{90 \times 60}{90 + 60} = \frac{5400}{150} = 36 \ s$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1.5 \ kg$,પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v} = -8 \hat{j} \ ms^{-1}$ (દક્ષિણ તરફ),બળ $\overrightarrow{F} = 6 \hat{i} \ N$ (પૂર્વ તરફ),સમય $t = 3 \ s$.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a} = \frac{\overrightarrow{F}}{m} = \frac{6}{1.5} \hat{i} = 4 \hat{i} \ ms^{-2}$.
સ્થાનાંતર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $\overrightarrow{s} = \overrightarrow{v}t + \frac{1}{2} \overrightarrow{a}t^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\overrightarrow{s} = (-8 \hat{j})(3) + \frac{1}{2}(4 \hat{i})(3)^2$.
$\overrightarrow{s} = -24 \hat{j} + 2(9) \hat{i} = 18 \hat{i} - 24 \hat{j} \ m$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $S = |\overrightarrow{s}| = \sqrt{(18)^2 + (-24)^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \ m$.

(A) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને તે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે છે.
$t = 3 \,s$ સમયે $(1 \,s + 2 \,s = 3 \,s)$, પદાર્થ સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે, જેનો અર્થ છે કે વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય છે.
$v_y = u \sin \theta - gt = 0 \Rightarrow u \sin \theta = g \times 3 = 10 \times 3 = 30 \,ms^{-1}$.
$t = 1 \,s$ સમયે, દિશા સમક્ષિતિજ સાથે $45^{\circ}$ છે, તેથી $\tan 45^{\circ} = \frac{v_y}{v_x} = 1$.
આમ, $v_y = v_x \Rightarrow u \sin \theta - g(1) = u \cos \theta$.
$u \sin \theta = 30$ અને $g = 10$ મૂકતા, આપણને $30 - 10 = u \cos \theta \Rightarrow u \cos \theta = 20 \,ms^{-1}$ મળે છે.
પ્રારંભિક વેગનું મૂલ્ય $u = \sqrt{(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2} = \sqrt{20^2 + 30^2} = \sqrt{400 + 900} = \sqrt{1300} = 10 \sqrt{13} \,ms^{-1}$ થાય.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ (Range) $R = d_1 + d_2 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sin(2 \times 45^{\circ}) = \sin(90^{\circ}) = 1$.
તેથી,$R = d_1 + d_2 = \frac{u^2}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
$y = h$,$x = d_1$,અને $\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$h = d_1 \tan 45^{\circ} - \frac{g d_1^2}{2u^2 \cos^2 45^{\circ}}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$h = d_1 - \frac{g d_1^2}{2u^2 (1/2)} = d_1 - \frac{g d_1^2}{u^2}$.
$\frac{u^2}{g} = d_1 + d_2$ મૂકતા:
$h = d_1 - \frac{d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1(d_1 + d_2) - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1^2 + d_1 d_2 - d_1^2}{d_1 + d_2} = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$.

(B) પ્રથમ પદાર્થ માટે,અવધિ મહત્તમ હોય ત્યારે પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોય છે.
પ્રથમ પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u_1^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u_1^2}{4g}$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે તેને શિરોલંબ પ્રક્ષિપ્ત કરવામાં આવે,એટલે કે $\theta = 90^{\circ}$.
બીજા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 90^{\circ}}{2g} = \frac{u_2^2}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પદાર્થો સમાન મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,તેથી $H_1 = H_2$.
તેથી,$\frac{u_1^2}{4g} = \frac{u_2^2}{2g}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{u_1^2}{u_2^2} = \frac{4g}{2g} = 2$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{u_1}{u_2} = \sqrt{2} : 1$ મળે છે.

(B) મહત્તમ રેન્જ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$ હોય છે.
મહત્તમ રેન્જનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 80 \ m$ છે.
$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$u^2 = 80 \times 10 = 800$,તેથી $u = \sqrt{800} \ m/s$ મળે.
સમય $t$ માં કાપેલું આડું (ક્ષૈતિજ) અંતર $x = (u \cos \theta) t$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = (\sqrt{800} \cos 45^{\circ}) \times 3$.
$x = \sqrt{800} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times 3 = \sqrt{400} \times 3 = 20 \times 3 = 60 \ m$.
આમ,પ્રથમ $3 \ s$ માં કાપેલું અંતર $60 \ m$ છે.

(D) શિરોલંબ ઉપરની તરફના પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2 u_1}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $\frac{2 u_1}{g} = \frac{2 u_2 \sin \theta}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $u_1 = u_2 \sin \theta$.
શિરોલંબ ગતિ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{u_2^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 / 2g}{(u_2 \sin \theta)^2 / 2g} = \left( \frac{u_1}{u_2 \sin \theta} \right)^2$.
કારણ કે $u_1 = u_2 \sin \theta$,તેથી ગુણોત્તર $1^2 : 1^2 = 1:1$ મળે છે.

(D) સમાન અવધિ માટે,$R_1 = R_2 = R$.
ધારો કે બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^{\circ} - \theta)$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કોણ $\theta_1 = \theta$ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
બીજા કોણ $\theta_2 = (90^{\circ} - \theta)$ માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u \sin(90^{\circ} - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર $T_1 T_2 = \left(\frac{2u \sin \theta}{g}\right) \left(\frac{2u \cos \theta}{g}\right)$ છે.
$T_1 T_2 = \frac{2}{g} \left(\frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g}\right)$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,આપણને $T_1 T_2 = \frac{2R}{g}$ મળે છે.
$g$ અચળ હોવાથી,$T_1 T_2 \propto R$.

(D) બળ દ્વારા આપવામાં આવતો સરેરાશ પાવર એ બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય અને લીધેલ સમયનો ગુણોત્તર છે.
$P_{av} = \frac{W_g}{t}$
મહત્તમ ઊંચાઈએ, શિરોલંબ સ્થાનાંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
જ્યારે પદાર્થ જમીનથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી જાય છે ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_g = mgH_{\max}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u \sin \theta}{g}$ છે.
આમ, સરેરાશ પાવરનું મૂલ્ય:
$P_{av} = \frac{mg H_{\max}}{t} = \frac{mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)}{\left( \frac{u \sin \theta}{g} \right)}$
$P_{av} = \frac{mgu \sin \theta}{2}$

(C) આપેલ છે: સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 50 \ m$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^{\circ}$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ વાપરતા: $y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$.
અહીં,$x$ એ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર છે અને $y$ એ શિરોલંબ ઊંચાઈ છે.
$x = 20 \ m$ આપેલ હોવાથી,કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$h = 20 \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{20}{50}\right)$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h = 20 \times 1 \times \left(1 - 0.4\right) = 20 \times 0.6 = 12 \ m$.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
ધારો કે $t_1$ અને $t_2$ એ સમય છે જ્યારે પદાર્થ તેની ઉપરની અને નીચેની ગતિ દરમિયાન ટાવરની ટોચને ઓળંગે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ બે ઓળંગવા વચ્ચેનો સમયગાળો $t_2 - t_1 = 8 \ s$ છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 16 \ s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવાનો સમય $T/2 = 16/2 = 8 \ s$ છે.
ધારો કે $t_c$ એ ટાવરની ટોચથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય છે. તો $t_1 = 8 - t_c$ અને $t_2 = 8 + t_c$.
આપેલ છે કે $t_2 - t_1 = 8 \ s$,તેથી $(8 + t_c) - (8 - t_c) = 8$,જે $2t_c = 8$ આપે છે,એટલે કે $t_c = 4 \ s$.
ટાવરની ઊંચાઈ $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $C$ થી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $t_c = 4 \ s$ માં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર છે.
$H = \frac{1}{2} g t_c^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$.

(D) આપેલ છે:
બંદૂકનું દળ,$M = 100 \ kg$
દડાનું દળ,$m = 1 \ kg$
ટેકરીની ઊંચાઈ,$H = 500 \ m$
સમક્ષિતિજ અવધિ,$R = 400 \ m$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \ ms^{-2}$
પગલું $1$: ઉડ્ડયન સમય $(T)$ ની ગણતરી:
દડાને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$T = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}} = \sqrt{100} = 10 \ s$
પગલું $2$: દડાના સમક્ષિતિજ વેગ $(u)$ ની ગણતરી:
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = u \times T$ દ્વારા મળે છે. તેથી:
$u = \frac{R}{T} = \frac{400}{10} = 40 \ ms^{-1}$
પગલું $3$: બંદૂકના રિકોઈલ વેગ $(V)$ ની ગણતરી:
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે:
$M \times V + m \times u = 0$
$V = -\left(\frac{m}{M}\right) u$
રિકોઈલ વેગનું મૂલ્ય:
$|V| = \left(\frac{1}{100}\right) \times 40 = 0.4 \ ms^{-1}$

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ $y = 3x - 0.8x^2$ આપેલ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\tan \theta = 3$ મળે છે.
વળી,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = 0.8$.
અહીં $u_x = u \cos \theta$ હોવાથી,$\frac{g}{2u_x^2} = 0.8$.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$u_x^2 = \frac{10}{2 \times 0.8} = \frac{10}{1.6} = 6.25$,તેથી $u_x = 2.5 \ m/s$.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $x$ નું મૂલ્ય છે જ્યારે $y = 0$ હોય: $0 = x(3 - 0.8x)$,જે આપણને $R = \frac{3}{0.8} = 3.75 \ m$ આપે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{R}{u_x} = \frac{3.75}{2.5} = 1.5 \ s$ થાય.

(B) દીવાલનું આડું અંતર $x = 7 \ m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$ અને ખૂણો $\theta = 37^{\circ}$ છે.
પ્રથમ,જમીન '$B$' થી લક્ષ્ય '$C$' ની ઊંચાઈ શોધો:
$\tan 37^{\circ} = \frac{BC}{x} \implies BC = 7 \times \tan 37^{\circ} = 7 \times \frac{3}{4} = 5.25 \ m$.
હવે,દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધો:
$v_x = u \cos 37^{\circ} = 15 \times \frac{4}{5} = 12 \ m/s$.
$x = v_x \cdot t \implies 7 = 12 \cdot t \implies t = \frac{7}{12} \ s$.
હવે,સમય '$t$' પર દડા દ્વારા પ્રાપ્ત ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ '$BD$' શોધો:
$v_y = u \sin 37^{\circ} = 15 \times \frac{3}{5} = 9 \ m/s$.
$BD = v_y \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 = 9 \times \left(\frac{7}{12}\right) - \frac{1}{2} \times 10 \times \left(\frac{7}{12}\right)^2$.
$BD = 5.25 - 5 \times \frac{49}{144} = 5.25 - \frac{245}{144} \approx 5.25 - 1.701 = 3.549 \ m$.
ઊર્ધ્વ અંતર '$y_0$' એ '$BC$' અને '$BD$' વચ્ચેનો તફાવત છે:
$y_0 = BC - BD = 5.25 - 3.549 = 1.701 \ m \approx 1.7 \ m$.

(A) દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $V_x = V_0 \cos \alpha$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી,દડો તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન આ અચળ સમક્ષિતિજ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ એ $T = \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દડા દ્વારા આવરી લેવામાં આવેલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $R = V_x \times T = (V_0 \cos \alpha) \times \left( \frac{2 V_0 \sin \alpha}{g} \right)$ છે.
દડાને પકડવા માટે,છોકરાએ સમાન સમય $T$ માં સમાન સમક્ષિતિજ અંતર $R$ કાપવું આવશ્યક છે.
ધારો કે છોકરાનો વેગ $v_b$ છે. તેથી,$R = v_b \times T$.
$R$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $v_b \times T = (V_0 \cos \alpha) \times T$ મળે છે.
તેથી,છોકરાનો વેગ $v_b = V_0 \cos \alpha$ હોવો જોઈએ.

(D) $h$ ઊંચાઈ પરથી $u = 10 \sqrt{3} \text{ m s}^{-1}$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે:
$1$. વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u = 10 \sqrt{3} \text{ m s}^{-1}$.
$2$. લેન્ડિંગ સમયે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = \sqrt{2gh}$ છે.
$3$. વેગ સદિશ સમક્ષિતિજ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. આપેલ છે કે લેન્ડિંગ ખૂણો $30^{\circ}$ કે તેથી વધુ છે,તેથી $\tan \theta \geq \tan 30^{\circ}$.
$5$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sqrt{2gh}}{10 \sqrt{3}} \geq \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$6$. સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{2gh} \geq 10$.
$7$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $2gh \geq 100$.
$8$. $g = 10 \text{ m s}^{-2}$ લેતા,$20h \geq 100$,જેનો અર્થ છે કે $h \geq 5 \text{ m}$.
$9$. લઘુત્તમ ઊંચાઈ $5 \text{ m}$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું સમીકરણ $Y = P x - Q x^2$ છે.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $\tan \theta = P$ અને $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ મળે છે।
$(A)$ અવધિ $(R)$: જ્યારે $Y = 0$, ત્યારે $x = R$. તેથી, $0 = P R - Q R^2 \Rightarrow R = \frac{P}{Q}$. આમ, $(A)-(i)$.
$(B)$ મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$: $H = \frac{R \tan \theta}{4} = \frac{(P/Q) \cdot P}{4} = \frac{P^2}{4 Q}$. આમ, $(B)-(iii)$.
$(C)$ ઉડ્ડયન સમય $(T)$: $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$. કારણ કે $\tan \theta = P$ અને $Q = \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta}$, તેથી $u \cos \theta = \sqrt{\frac{g}{2 Q}}$. હવે $T = \frac{2 u \sin \theta}{g} = \frac{2 (u \cos \theta) \tan \theta}{g} = \frac{2 \sqrt{\frac{g}{2 Q}} \cdot P}{g} = \left(\sqrt{\frac{2}{g Q}}\right) P$. આમ, $(C)-(iv)$.
$(D)$ પ્રક્ષેપણનો સ્પર્શક: $\tan \theta = P$. આમ, $(D)-(ii)$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 16 \,ms^{-1}$, પાણી સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_1 = 5 \,s$, પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
પથ્થર માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
નીચેની દિશાને ધન લેતા, સ્થાનાંતર $h$ નીચે મુજબ મળે:
$h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = -(16 \times 5) + \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2$
$h = -80 + 125 = 45 \,m$.
અવાજ દ્વારા કાપેલ અંતર $d = 45 \,m$ છે અને તે માટે લાગતો સમય $t_2 = 0.2 \,s$ છે.
અવાજની ઝડપ $v = \frac{d}{t_2} = \frac{45}{0.2} = 225 \,ms^{-1}$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બીજા પથ્થર માટે,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$.
આપેલ છે કે $H_2 = H_1 + 10$,તેથી $\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} - \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} = 10$.
$u = 20 \ ms^{-1}$ અને $g = 10 \ ms^{-2}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{400}{20} (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 10$.
$20 (\cos 2\theta) = 10$.
$\cos 2\theta = 0.5$.
$2\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ અને ઉડ્ડયન સમય $T$ નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ અને $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
આ સમીકરણો પરથી જોઈ શકાય છે કે $H \propto u^2$ અને $T \propto u$ (કારણ કે $\theta$ અચળ છે).
તેથી,$H \propto T^2$.
જો ઊંચાઈમાં $10 \%$ નો વધારો થાય,તો નવી ઊંચાઈ $H_2 = 1.10 H_1$ થાય.
$H \propto T^2$ હોવાથી,$\frac{H_2}{H_1} = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2$.
$1.10 = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 \implies \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{1.10} \approx 1.0488$.
આ આશરે $4.88 \%$ ના વધારાને અનુરૂપ છે,જે $5 \%$ ની સૌથી નજીક છે.

(D) ધારો કે $M = 90 \ kg$ એ પાટિયાનું દળ છે અને $m = 20 \ kg$ એ છોકરીનું દળ છે.
પાટિયાની લંબાઈ $l = 3.3 \ m$ છે.
તંત્ર (પાટિયું + છોકરી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે પાટિયાનું સ્થાનાંતર છોકરીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $\Delta x$ છે.
પાણીની સાપેક્ષમાં છોકરીનું સ્થાનાંતર $(l - \Delta x)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M \Delta x = m(l - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 20(3.3 - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 66 - 20 \Delta x$.
$110 \Delta x = 66$.
$\Delta x = \frac{66}{110} = 0.6 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.6 \ m = 60 \ cm$.

(C) બ્લોક $P$ નીચે ન સરકે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ વજન $mg$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ,તેથી $f = mg$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $f \leq \mu N$,તેથી $mg \leq \mu N$,જ્યાં $N$ એ દીવાલ દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
લંબબળ $N$ એ કેન્દ્રગામી બળ છે,$N = m \omega^2 R$.
આમ,સરક્યા વગર રહેવા માટેની સીમાંત સ્થિતિમાં,$mg = \mu m \omega^2 R$,જેનો અર્થ છે કે $\omega^2 R = \text{અચળ}$ (ધારી લઈએ કે $\mu$ અને $m$ બધા કિસ્સાઓ માટે સમાન છે).
તેથી,$\omega^2 R = C$ (અચળાંક),જેનો અર્થ છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{R}}$.
આપેલ ત્રિજ્યાઓ $R_A < R_B < R_C$ માટે,$\frac{1}{\sqrt{R_A}} > \frac{1}{\sqrt{R_B}} > \frac{1}{\sqrt{R_C}}$ થાય.
પરિણામે,કોણીય વેગ $\omega_A > \omega_B > \omega_C$ સંબંધનું પાલન કરે છે.

(D) સરેરાશ કોણીય ઝડપ એટલે કુલ કોણીય સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટે કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_{\text{total}} = 2\pi \ rad$ છે.
કુલ સમય $t_{\text{total}} = 4 \ s + 2 \ s = 6 \ s$ છે.
તેથી,સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\omega_{\text{avg}} = \frac{\theta_{\text{total}}}{t_{\text{total}}} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \ rad/s$ થાય.

(C) પરિપથમાં બે કોષો $E_1 = 4 \ V$ અને $E_2 = 12 \ V$ વિરુદ્ધ દિશામાં જોડાયેલા છે અને ત્રણ અવરોધો શ્રેણીમાં છે: $1 \ \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ ($12 \ V$ કોષ માટે),$1 \ \Omega$ નો આંતરિક અવરોધ ($4 \ V$ કોષ માટે) અને $8 \ \Omega$ નો બાહ્ય અવરોધ.
કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{E_{net}}{R_{total}} = \frac{12 \ V - 4 \ V}{8 \ \Omega + 1 \ \Omega + 1 \ \Omega} = \frac{8 \ V}{10 \ \Omega} = 0.8 \ A$.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $8 \ \Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે:
$V_{PQ} = I \times R = 0.8 \ A \times 8 \ \Omega = 6.4 \ V$.

(A) વાહકનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$l$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$R \propto \frac{l}{A}$ હોવાથી,$R$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે મહત્તમ લંબાઈ $l$ અને ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ $A$ ની જરૂર છે.
આપેલ પરિમાણો $1 \ cm, 2 \ cm, 3 \ cm$ માટે:
મહત્તમ અવરોધ $R_{\max} = \rho \frac{3 \ cm}{(1 \ cm \times 2 \ cm)} = \rho \frac{3}{2} \ cm^{-1}$.
$R$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે ન્યૂનતમ લંબાઈ $l$ અને મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A$ ની જરૂર છે.
ન્યૂનતમ અવરોધ $R_{\min} = \rho \frac{1 \ cm}{(2 \ cm \times 3 \ cm)} = \rho \frac{1}{6} \ cm^{-1}$.
ગુણોત્તર $\frac{R_{\max}}{R_{\min}} = \frac{\rho \times 1.5}{\rho \times (1/6)} = 1.5 \times 6 = 9$.
આમ,ગુણોત્તર $9: 1$ છે.

(B) આપેલ છે,પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 8 \Omega$.
રેખીય વિકૃતિ $\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_1} = 400 \% = 4$.
અંતિમ લંબાઈ $l_2 = l_1 + \Delta l = l_1 + 4l_1 = 5l_1$.
તારને ખેંચતી વખતે તેનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,અવરોધ $R$ એ લંબાઈના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto l^2$.
તેથી,$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{8} = \left(\frac{5l_1}{l_1}\right)^2 = 5^2 = 25$.
આમ,$R_2 = 25 \times 8 = 200 \Omega$.

(D) આપેલ પરિપથનું વિશ્લેષણ અવરોધોના શ્રેણી અને સમાંતર જોડાણોને ઓળખીને કરી શકાય છે.
બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે,બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં એક અવરોધ $R$ છે અને બીજીમાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે (બિંદુ $A-B$ અને $B-D$ વચ્ચે).
શાખા $A-B-D$ નો અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
આ $2R$ એ બિંદુ $A$ અને $D$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં છે. ધારો કે આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{AD}$ છે.
$\frac{1}{R_{AD}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{AD} = \frac{2R}{3}$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચે,બે સમાંતર શાખાઓ છે: એકમાં એક અવરોધ $R$ છે (બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચે) અને બીજીમાં શ્રેણીમાં બે અવરોધ $R$ છે (બિંદુ $B-D$ અને $D-C$ વચ્ચે).
શાખા $B-D-C$ નો અવરોધ $R + R = 2R$ છે.
આ $2R$ એ બિંદુ $B$ અને $C$ વચ્ચે સીધા જોડાયેલા અવરોધ $R$ સાથે સમાંતરમાં છે. ધારો કે આ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{BC}$ છે.
$\frac{1}{R_{BC}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} = \frac{3}{2R} \implies R_{BC} = \frac{2R}{3}$.
પરિપથની સમપ્રમાણતા જોતા,$A$ અને $C$ વચ્ચેનો કુલ અવરોધ આ બ્લોક્સના શ્રેણી જોડાણનો સરવાળો છે. પરિપથ $\frac{2R}{3}$ ના બે શ્રેણી બ્લોક્સમાં સરળ બને છે.
કુલ અવરોધ $R_{AC} = \frac{2R}{3} + \frac{2R}{3} = \frac{4R}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો અને આવા બ્રિજ નેટવર્ક્સના પ્રમાણિત અર્થઘટનને ધ્યાનમાં લેતા,જો પરિપથને સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ગણવામાં આવે,તો અવરોધ $R$ છે.

(A) આ પરિપથને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે. અવરોધો $R_{FC} = 2R$,$R_{FD} = 2R$,$R_{CE} = 2R$ અને $R_{DE} = 2R$ છે. $C$ અને $D$ વચ્ચેનો અવરોધ $2R$ છે.
અહીં $\frac{R_{FC}}{R_{FD}} = \frac{2R}{2R} = 1$ અને $\frac{R_{CE}}{R_{DE}} = \frac{2R}{2R} = 1$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે.
તેથી,મધ્યના અવરોધ $CD$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
આ પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં $2R$ ના બે અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
દરેક શાખાનો સમતુલ્ય અવરોધ $2R + 2R = 4R$ થાય છે.
તેથી,શાખા $FC$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $I_{FC} = \frac{V}{4R}$ મળે છે.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{v_1} = v_0 \hat{i}$,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -E_0 \hat{i}$,પ્રારંભિક ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \lambda$.
ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F} = q\vec{E} = -e(-E_0 \hat{i}) = e E_0 \hat{i}$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \left(\frac{e E_0}{m}\right) \hat{i}$ છે.
$t$ સમય પછીનો વેગ $\vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{a} t = v_0 \hat{i} + \left(\frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i} = \left(v_0 + \frac{e E_0 t}{m}\right) \hat{i}$ થાય.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{v_0}{v_0 + \frac{e E_0 t}{m}} = \frac{v_0}{v_0(1 + \frac{e E_0 t}{m v_0})} = \frac{1}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$.
આમ,$\lambda_2 = \frac{\lambda}{1 + \frac{e E_0 t}{m v_0}}$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2$ છે. આપેલ છે કે ગતિઊર્જામાં $36 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી:
$K_2 = K_1 - 0.36 K_1 = 0.64 K_1$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}} \Rightarrow \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
તેથી,અંતિમ તરંગલંબાઈ $\lambda_2$ અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઈ $\lambda_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{0.64 K_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.64}} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda_2 = 1.25 \lambda_1$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\frac{\Delta \lambda}{\lambda_1} \times 100 = \frac{\lambda_2 - \lambda_1}{\lambda_1} \times 100 = (1.25 - 1) \times 100 = 25 \%$.

(B) સપાટી પર આપાત થતા વિકિરણનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_1 = \frac{E}{c}$ છે.
સપાટી સંપૂર્ણ પરાવર્તક હોવાથી,વિકિરણ સમાન ઉર્જા $E$ સાથે પાછું પરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,વિકિરણનું અંતિમ વેગમાન $P_2 = -\frac{E}{c}$ છે (આપાત વિકિરણની દિશાને ધન લેતા).
સપાટીને સ્થાનાંતરિત વેગમાન એ વિકિરણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જે $\Delta P = P_1 - P_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta P = \frac{E}{c} - \left(-\frac{E}{c}\right) = \frac{E}{c} + \frac{E}{c} = \frac{2E}{c}$.

(A) આપેલ છે: વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 4.2 \text{ eV}$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 2000 \text{ Å}$.
આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{12400}{\lambda(\text{in Å})} \text{ eV} = \frac{12400}{2000} = 6.2 \text{ eV}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - \phi_0$.
$K_{\max} = 6.2 \text{ eV} - 4.2 \text{ eV} = 2 \text{ eV}$.
ગતિ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $K_{\max} = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$.
$K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m = 9.1 \times 10^{-31} \text{ kg}$.
$v_{\max}^2 = \frac{2 \times K_{\max}}{m} = \frac{2 \times 3.2 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}} \approx 0.703 \times 10^{12} \text{ m}^2/\text{s}^2$.
$v_{\max} = \sqrt{0.703 \times 10^{12}} \approx 8.38 \times 10^5 \text{ m/s} \approx 8.4 \times 10^5 \text{ m/s}$.

(A) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\phi_0 = 9 \ eV$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ એ ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર શરૂ કરવા માટે સક્ષમ સૌથી લાંબી તરંગલંબાઈ છે.
વર્ક ફંક્શન અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ છે.
અચળાંક $hc \approx 1240 \ eV \cdot nm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_0 = \frac{1240 \ eV \cdot nm}{9 \ eV} \approx 137.77 \ nm$.
નેનોમીટરને મીટરમાં ફેરવતા:
$\lambda_0 \approx 137.77 \times 10^{-9} \ m = 1.3777 \times 10^{-7} \ m$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $1.37 \times 10^{-7} \ m$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઇ $\lambda = 4500 \ \text{Å} = 4500 \times 10^{-10} \ \text{m}$,પાવર $P = 150 \ \text{W}$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 8 \% = 0.08$.
લેમ્પ દ્વારા ઉત્સર્જિત પ્રકાશનો પાવર $P_{\text{out}} = P \times \eta = 150 \times 0.08 = 12 \ \text{W}$ છે.
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P_{\text{out}}}{E} = \frac{P_{\text{out}} \times \lambda}{hc}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{12 \times 4500 \times 10^{-10}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8} \approx 2.717 \times 10^{19}$. વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $27.17 \times 10^{18}$ છે.

(B) ટ્રાન્સમીટરનો પાવર $P = \frac{n E_{photon}}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ $t$ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે અને $E_{photon} = \frac{hc}{\lambda}$ છે.
આમ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $\frac{n}{t} = \frac{P \lambda}{hc}$ થાય.
આપેલ છે: $P = 10 \text{ kW} = 10^4 \text{ W}$,$\lambda = 500 \text{ m}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$,અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{n}{t} = \frac{10^4 \times 500}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$
$\frac{n}{t} = \frac{5 \times 10^6}{19.89 \times 10^{-26}}$
$\frac{n}{t} \approx 0.251 \times 10^{32} = 2.51 \times 10^{31}$.
તેથી,તે $10^{31}$ ના ક્રમમાં છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_0}$
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી:
$\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)$
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_0} \right)}$
પ્રથમ કિરણ માટે $\lambda_1 = \frac{\lambda_0}{3}$:
$v_1 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{3}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{2}{\lambda_0}}$
બીજા કિરણ માટે $\lambda_2 = \frac{\lambda_0}{9}$:
$v_2 = \sqrt{\frac{2hc}{m} \left( \frac{9}{\lambda_0} - \frac{1}{\lambda_0} \right)} = \sqrt{\frac{2hc}{m} \cdot \frac{8}{\lambda_0}}$
મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{2/\lambda_0}{8/\lambda_0}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

(D) આપેલ છે: $\lambda_1 = 300 \ nm$,$\lambda_2 = 500 \ nm$,અને મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = 3$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $E = \phi_0 + K_{max}$,જ્યાં $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$.
તેથી,$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$.
બંને કિસ્સાઓ માટે ગુણોત્તર લેતા:
$\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 = \frac{E_1 - \phi_0}{E_2 - \phi_0} = \frac{\frac{1240}{\lambda_1} - \phi_0}{\frac{1240}{\lambda_2} - \phi_0}$.
કિંમતો મૂકતા: $3^2 = \frac{\frac{1240}{300} - \phi_0}{\frac{1240}{500} - \phi_0}$.
$9 = \frac{4.133 - \phi_0}{2.48 - \phi_0}$.
$9(2.48 - \phi_0) = 4.133 - \phi_0$.
$22.32 - 9\phi_0 = 4.133 - \phi_0$.
$8\phi_0 = 18.187$.
$\phi_0 \approx 2.273 \ eV \approx 2.28 \ eV$.

(B) ધાતુનું કાર્ય વિધેય $\phi_0$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ દ્વારા $\phi_0 = \frac{hc}{\lambda_0}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = 5420 Å$ છે.
સંબંધ $\phi_0 (\text{eV માં}) = \frac{12400}{\lambda_0 (Å \text{માં})}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમત મૂકતા: $\phi_0 = \frac{12400}{5420} eV$.
$\phi_0 \approx 2.29 eV$.
આમ,સોડિયમનું કાર્ય વિધેય $2.29 eV$ છે.

(B) આપેલ છે:
વર્ક ફંક્શન,$\phi_0 = 2 \text{ eV}$
મહત્તમ ગતિઊર્જા,$K_{\max} = 2 \text{ eV}$
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$E = \phi_0 + K_{\max}$
$E = 2 \text{ eV} + 2 \text{ eV} = 4 \text{ eV}$
ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંબંધ $\lambda = \frac{12400 \text{ eV Å}}{E \text{ (in eV)}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda = \frac{12400}{4} \text{ Å} = 3100 \text{ Å}$
આમ,આપાત ફોટોનની તરંગલંબાઈ $3100 \text{ Å}$ છે.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{2} LI^2$
આનો અર્થ એ છે કે $U \propto I^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_1 = 2 \ A$ અને અંતિમ પ્રવાહ $I_2 = 3 \ A$ છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_2$ અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{U_2}{U_1} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$
તેથી,$U_2 = 2.25 \ U_1$.
સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ટકાવારી વધારો:
$\Delta U \% = \left( \frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \%$
$\Delta U \% = \left( \frac{2.25 \ U_1 - U_1}{U_1} \times 100 \right) \% = (1.25 \times 100) \% = 125 \%$

(B) સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{\mu_0 N^2 A}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $L \propto \frac{N^2}{l}$.
જ્યારે ગૂંચળાને $n = 6$ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગમાં આંટાની સંખ્યા $N' = \frac{N}{6}$ થાય છે અને દરેક ભાગની લંબાઈ $l' = \frac{l}{6}$ થાય છે.
દરેક ભાગનું ઇન્ડક્ટન્સ $L'$ આ મુજબ મળે: $L' = L \left( \frac{N'}{N} \right)^2 \left( \frac{l}{l'} \right) = L \left( \frac{1}{6} \right)^2 \left( \frac{l}{l/6} \right) = L \left( \frac{1}{36} \right) (6) = \frac{L}{6}$.
જ્યારે આ $6$ ભાગોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_e$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{L_e} = \sum \frac{1}{L'} = \frac{1}{L'} + \frac{1}{L'} + \dots + \frac{1}{L'} = \frac{6}{L'}$ છે.
$L' = \frac{L}{6}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{L_e} = \frac{6}{L/6} = \frac{36}{L}$ મળે છે.
તેથી,$L_e = \frac{L}{36}$.

(B) જ્યારે સમાન દિશામાં પ્રવાહ વહેવડાવતા બે સહ-અક્ષીય ગૂંચળાઓને એકબીજાની નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $EMF$ આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરશે.
ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,પ્રેરિત પ્રવાહ દરેક ગૂંચળામાં મૂળ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
પરિણામે,બંને ગૂંચળાઓમાં ચોખ્ખો પ્રવાહ ઘટે છે.

(D) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 120$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 40 \text{ mH} = 40 \times 10^{-3} \text{ H}$,પ્રવાહ $I = 30 \text{ mA} = 30 \times 10^{-3} \text{ A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલ ફ્લક્સ લિંકેજ $N\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \frac{LI}{N}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\phi = \frac{40 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-3}}{120}$.
$\phi = \frac{1200 \times 10^{-6}}{120} = 10 \times 10^{-6} \text{ Wb}$.

(B) આપેલ છે: બાજુની લંબાઈ $l = 0.1 \text{ m}$, લૂપનો અવરોધ $R_{loop} = 1 \Omega$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 2 \text{ Wb m}^{-2}$, પ્રવાહ $I = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$.
પ્રથમ, લૂપ સાથે જોડાયેલ અવરોધ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો। આ નેટવર્ક ચાર $3 \Omega$ ના અવરોધોનું બનેલું છે। આ નેટવર્કનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{net} = 3 \Omega$ છે।
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{loop} + R_{net} = 1 \Omega + 3 \Omega = 4 \Omega$ છે।
લૂપમાં ઉદ્ભવતું ગતિકીય emf $E = Bvl$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઓમના નિયમ મુજબ, $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{Bvl}{R_{total}}$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-3} = \frac{2 \times v \times 0.1}{4}$.
$10^{-3} = \frac{0.2v}{4} = 0.05v$.
$v = \frac{10^{-3}}{0.05} = 0.02 \text{ m s}^{-1} = 2 \text{ cm s}^{-1}$.

(C) સોલેનોઇડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \mu_0 n^2 A l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓની સંખ્યા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ સોલેનોઇડની લંબાઈ છે.
સોલેનોઇડ $A$ અને $B$ માટે આપેલ છે:
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાઓનો ગુણોત્તર: $\frac{n_A}{n_B} = \frac{1}{3}$
લંબાઈનો ગુણોત્તર: $\frac{l_A}{l_B} = \frac{1}{2}$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે: $A_A = A_B = A$
કારણ કે $L \propto n^2 l$,તેથી આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણોત્તર:
$\frac{L_A}{L_B} = \left(\frac{n_A}{n_B}\right)^2 \times \left(\frac{l_A}{l_B}\right)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_A}{L_B} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{18}$
તેથી,ગુણોત્તર $1: 18$ છે.

(B) આપેલ છે: મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = 3 \text{ mH} = 3 \times 10^{-3} \text{ H}$,સર્કિટ $Y$ નો અવરોધ $R_2 = 4 \text{ } \Omega$,સર્કિટ $Y$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2 = 60 \times 10^{-4} \text{ A}$,સમયગાળો $\Delta t = 0.02 \text{ s}$.
સર્કિટ $X$ માં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે સર્કિટ $Y$ માં પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(e_2)$ $e_2 = M \frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સર્કિટ $Y$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ $I_2 = \frac{e_2}{R_2}$ છે.
$e_2$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $I_2 = \frac{M \cdot \Delta I_1}{R_2 \cdot \Delta t}$.
સર્કિટ $X$ માં પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I_1$ શોધવા માટે:
$\Delta I_1 = \frac{I_2 \cdot R_2 \cdot \Delta t}{M}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 4 \times 0.02}{3 \times 10^{-3}}$.
$\Delta I_1 = \frac{60 \times 10^{-4} \times 0.08}{3 \times 10^{-3}} = \frac{4.8 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} = 1.6 \times 10^{-1} = 0.16 \text{ A}$.

(C) આપેલ છે: પ્રવાહમાં ફેરફાર $\Delta I = 14 \ A - 4 \ A = 10 \ A$.
સમયગાળો $\Delta t = 0.2 \ ms = 0.2 \times 10^{-3} \ s$.
ઇન્ડ્યુસ્ડ emf $e = 150 \ V$.
ઇન્ડક્ટરમાં ઇન્ડ્યુસ્ડ emf માટેનું સૂત્ર $e = L \cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $150 = L \cdot \frac{10}{0.2 \times 10^{-3}}$.
$150 = L \cdot \frac{10}{2 \times 10^{-4}} = L \cdot 5 \times 10^4$.
$L = \frac{150}{5 \times 10^4} = 30 \times 10^{-4} \ H = 3 \times 10^{-3} \ H = 3 \ mH$.

(C) સૂર્ય વિકિરણ એ સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો બનેલો છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ગુણધર્મો અનુસાર,તે પ્રકૃતિમાં લંબગત (transverse) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે દોલન કરતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો તરંગના પ્રસરણની દિશાને લંબ હોય છે. તેથી,સૂર્ય વિકિરણ એ એક લંબગત વિદ્યુતચુંબકીય $(EM)$ તરંગ છે.

(C) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \mu_0 \mu_r$ અને $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$.
તેથી,$v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
આપેલ છે કે $v = 2 \times 10^8 \ m/s$ અને $\mu_r = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^8 = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \times \varepsilon_r}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{9}{\varepsilon_r}$.
તેથી,$\varepsilon_r = \frac{9}{4} = 2.25$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = B_0 r t \hat{k}$ છે.
ફેરાડેના પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = -\frac{d\phi_B}{dt}$.
$z$-અક્ષ પર કેન્દ્રિત $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખીય સંકલન $E(2\pi r)$ થાય છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_B = \int_0^r B(r') (2\pi r') dr'$ છે.
$B(r') = B_0 r' t$ મૂકતા,$\phi_B = \int_0^r (B_0 r' t) (2\pi r') dr' = 2\pi B_0 t \int_0^r r'^2 dr' = 2\pi B_0 t \frac{r^3}{3}$.
હવે,સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{d\phi_B}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{2\pi B_0 t r^3}{3} \right) = \frac{2\pi B_0 r^3}{3}$.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $E(2\pi r) = \frac{2\pi B_0 r^3}{3}$.
તેથી,$E = \frac{B_0 r^2}{3}$ મળે છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં તાત્કાલિક વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u_E = 1/2 \epsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$,તેથી $u_E = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \sin^2(\omega t - kx)$.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\sin^2(\theta)$ નું સરેરાશ મૂલ્ય $1/2$ છે.
તેથી,સરેરાશ વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times \langle \sin^2(\omega t - kx) \rangle$ થાય.
$\langle u_E \rangle = 1/2 \epsilon_0 E_0^2 \times 1/2 = 1/4 \epsilon_0 E_0^2$.

(C) વિદ્યુતચુંબકત્વના સિદ્ધાંતો અનુસાર,સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. સમાન વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને ઉત્પન્ન કરે છે,પરંતુ તે ઉર્જાનું ઉત્સર્જન કરતું નથી. પ્રવેગી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર સમય સાથે બદલાતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે,જે બદલામાં સમય સાથે બદલાતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. આ સતત પ્રક્રિયાને પરિણામે અવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનું પ્રસરણ થાય છે.

(D) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની સરેરાશ ઉર્જા ઘનતા $U_{av}$ નું સૂત્ર $U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ છે,જ્યાં $E_0$ એ મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
આપેલ છે કે $E_{rms} = 660 \ NC^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $E_0 = \sqrt{2} E_{rms} = \sqrt{2} \times 660 \ NC^{-1}$.
આ કિંમતને ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U_{av} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (\sqrt{2} E_{rms})^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 (2 E_{rms}^2) = \varepsilon_0 E_{rms}^2$.
$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2}$ લેતા:
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times (660)^2$.
$U_{av} = 8.85 \times 10^{-12} \times 435600$.
$U_{av} \approx 3.85 \times 10^{-6} \ J \ m^{-3}$.

(A) સમતલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ પરસ્પર લંબ હોય છે,એટલે કે $\vec{E} \cdot \vec{B} = 0$. વળી,પ્રસરણની દિશા $\vec{E} \times \vec{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રસરણ $+Z$-દિશામાં $(\hat{k})$ હોવાથી,$\vec{E} \times \vec{B} \propto \hat{k}$ થવું જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ તપાસતા: $\vec{E} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j})$ અને $\vec{B} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j})$.
અદિશ ગુણાકાર: $\vec{E} \cdot \vec{B} = (-2)(3) + (-3)(-2) = -6 + 6 = 0$. આ લંબ હોવાની શરતનું પાલન કરે છે.
સદિશ ગુણાકાર: $\vec{E} \times \vec{B} = (-2 \hat{i} - 3 \hat{j}) \times (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) = 4(\hat{i} \times \hat{j}) - 9(\hat{j} \times \hat{i}) = 4\hat{k} - 9(-\hat{k}) = 13\hat{k}$.
પરિણામ $+Z$-દિશામાં હોવાથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) ઘન પદાર્થોનું બંધારણ $X$-રે ડિફ્રેક્શન (વિવર્તન) નો ઉપયોગ કરીને તપાસવામાં આવે છે। $X$-કિરણોની તરંગલંબાઇ સ્ફટિકોમાં આંતર-પરમાણુ અંતરના ક્રમની (આશરે $1 \ \text{\AA}$) હોવાથી, તેઓ ઘન પદાર્થમાં રહેલા પરમાણુ સમતલો દ્વારા વિવર્તિત થાય છે। આ ઘટનાનો ઉપયોગ પદાર્થોના સ્ફટિક બંધારણને નિર્ધારિત કરવા માટે થાય છે।

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q_1 = 6 \mu C$,$q_2 = 10 \mu C$ અને $F = 30 \ N$ છે.
તેથી,$30 = \frac{k(6)(10)}{r^2} \Rightarrow \frac{k}{r^2} = \frac{30}{60} = 0.5$.
હવે,જો દરેક પર $-8 \mu C$ નો વધારાનો વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,તો નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 6 \mu C - 8 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 10 \mu C - 8 \mu C = 2 \mu C$
નવું બળ $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k}{r^2} \times (-2) \times (2)$ થશે.
$\frac{k}{r^2} = 0.5$ કિંમત મૂકતા,$F' = 0.5 \times (-4) = -2 \ N$ મળે.
ઋણ નિશાની આકર્ષણ બળ સૂચવે છે. આમ,તેઓ $2 \ N$ ના બળથી આકર્ષાય છે.

(A) કણો કોઈ ચોખ્ખું બળ અનુભવતા ન હોવાથી,સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = \frac{G m^2}{r^2}$
બંને બાજુથી $r^2$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q^2 = G m^2$
$\frac{q}{m}$ શોધવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{q^2}{m^2} = 4 \pi \epsilon_0 G$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{q}{m} = \sqrt{4 \pi \epsilon_0 G}$

(B) શરૂઆતનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = 80 \mu\text{C}$ અને $Q_2 = 40 \mu\text{C}$ છે.
ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 4 \text{ cm}$ અને $r_2 = 6 \text{ cm}$ છે.
જ્યારે તેમને તાર વડે જોડવામાં આવે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
ગોળા $A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_1^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Q_1^{\prime} = \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right) (Q_1 + Q_2) = \left( \frac{4}{4 + 6} \right) (80 + 40) = \left( \frac{4}{10} \right) (120) = 48 \mu\text{C}$.
ગોળા $A$ માંથી ગોળા $B$ માં વહેતો વિદ્યુતભાર:
$\Delta Q = Q_1 - Q_1^{\prime} = 80 \mu\text{C} - 48 \mu\text{C} = 32 \mu\text{C}$.
પરિણામ ધન હોવાથી,વિદ્યુતભાર $A$ થી $B$ તરફ વહે છે.

(D) ધારો કે $+q$ અને $+2q$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,અને $+2q$ અને $+4q$ વચ્ચેનું અંતર પણ $r$ છે. તેથી,$+q$ અને $+4q$ વચ્ચેનું કુલ અંતર $2r$ થાય.
$+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_1$ એ $+2q$ અને $+4q$ ને કારણે લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F_1 = \frac{k(q)(2q)}{r^2} + \frac{k(q)(4q)}{(2r)^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{3kq^2}{r^2}$.
$+4q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_2$ એ $+2q$ અને $+q$ ને કારણે લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F_2 = \frac{k(4q)(2q)}{r^2} + \frac{k(4q)(q)}{(2r)^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{9kq^2}{r^2}$.
$+q$ અને $+4q$ વિદ્યુતભારો પર લાગતા કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{3kq^2/r^2}{9kq^2/r^2} = \frac{3}{9} = 1:3$.

(C) ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{P}$ ધરાવતા ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પરના બિંદુએ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\overrightarrow{E}$ નું સૂત્ર આ મુજબ છે: $\overrightarrow{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\overrightarrow{P}}{r^3}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $\overrightarrow{E}$ ની દિશા ઇલેક્ટ્રિક ડાયપોલ મોમેન્ટ $\overrightarrow{P}$ ની દિશાથી વિરુદ્ધ છે.
આમ,બંને સદિશો પ્રતિ-સમાંતર (anti-parallel) હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.

(B) વિદ્યુત ડાયપોલ મોમેન્ટનું સૂત્ર $p = q \cdot l$ છે,જ્યાં $q$ એ કુલ ધન અથવા ઋણ વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે અને $l$ એ વિદ્યુતભારના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
તટસ્થ $NH_3$ અણુ માટે,કુલ ઇલેક્ટ્રોન (અથવા પ્રોટોન) ની સંખ્યા $7 + (3 \times 1) = 10$ છે.
તેથી,કુલ વિદ્યુતભાર $q = 10e = 10 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 1.6 \times 10^{-18} \ C$.
આપેલ છે કે $p = 5 \times 10^{-30} \ C \cdot m$.
સૂત્ર $l = \frac{p}{q}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$l = \frac{5 \times 10^{-30}}{1.6 \times 10^{-18}}$
$l = 3.125 \times 10^{-12} \ m$.

(A) એક સમાન લાંબા સીધા વિદ્યુતભારીત તારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $(E)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$
આપેલ છે:
રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda = 0.2 \ \mu Cm^{-1} = 0.2 \times 10^{-6} \ Cm^{-1}$
અંતર $r = 3 \ m$
કુલંબ અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (0.2 \times 10^{-6})}{3}$
$E = \frac{18 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-6}}{3}$
$E = 6 \times 0.2 \times 10^3$
$E = 1.2 \times 10^3 \ Vm^{-1}$

(A) આપેલ છે: ડ્યુટેરોનનું દળ $m = 3.2 \times 10^{-27} \ kg$,ડ્યુટેરોનનો વિદ્યુતભાર $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$.
ડ્યુટેરોન હવામાં મુક્ત રીતે લટકે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુતબળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
બળોને સરખાવતા: $qE = mg$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે સૂત્ર: $E = \frac{mg}{q}$.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{3.2 \times 10^{-27} \times 9.8}{1.6 \times 10^{-19}}$.
$E = 2 \times 9.8 \times 10^{-27+19} \ NC^{-1}$.
$E = 19.6 \times 10^{-8} \ NC^{-1}$.

(D) આપેલ છે:
દળ $m = 0.5 \ g = 0.5 \times 10^{-3} \ kg$
વીજભાર $q = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 8 \ NC^{-1}$
પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ ms^{-1}$
સમય $t = 5 \ s$
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = \frac{qE}{m}$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{10 \times 10^{-6} \times 8}{0.5 \times 10^{-3}} = \frac{80 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 160 \times 10^{-3} = 0.16 \ ms^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 0 + (0.16 \times 5) = 0.8 \ ms^{-1}$.

(D) ગોસના પ્રમેય મુજબ,બંધ સપાટી સાથે સંકળાયેલ કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર '$q$' વિદ્યુતભાર હોવાથી,તેની છ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ થાય.
સમઘન સંમિત હોવાથી,દરેક છ સપાટી સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
તેથી,દરેક સપાટી માટે ફ્લક્સ $\phi_{\text{face}} = \frac{\phi_{\text{total}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ થાય.

(D) આપેલ છે: $\vec{E} = (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \text{ NC}^{-1}$ અને $V(0,0) = 0 \text{ V}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$d\vec{r} = dx \hat{i} + dy \hat{j} + dz \hat{k}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી બિંદુ $(1,2)$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{V(0,0)}^{V(1,2)} dV = -\int_{(0,0)}^{(1,2)} (30 \hat{i} + 40 \hat{j}) \cdot (dx \hat{i} + dy \hat{j})$
$V(1,2) - V(0,0) = -\left[ \int_{0}^{1} 30 dx + \int_{0}^{2} 40 dy \right]$
$V(1,2) - 0 = -[30(1) + 40(2)]$
$V(1,2) = -(30 + 80) = -110 \text{ V}$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,વિદ્યુતભાર $q = 6 \ \mu C = 6 \times 10^{-6} \ C$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 60 \ V$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલી હોય છે:
$K.E. = qV$
$\frac{1}{2}mv^2 = qV$
$v^2 = \frac{2qV}{m}$
$v = \sqrt{\frac{2qV}{m}}$
કિંમતો મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{2 \times (6 \times 10^{-6} \ C) \times (60 \ V)}{2 \times 10^{-3} \ kg}}$
$v = \sqrt{\frac{720 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-3}}}$
$v = \sqrt{360 \times 10^{-3}} = \sqrt{0.36} = 0.6 \ ms^{-1}$.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ એ તમામ અનન્ય જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
ત્રણ વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3$ માટે જે અંતર $r_{12}, r_{23}, r_{31}$ પર રહેલા છે,સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q_1 q_2}{r_{12}} + \frac{q_2 q_3}{r_{23}} + \frac{q_3 q_1}{r_{31}} \right)$ છે.
અહીં,$q_1 = q_2 = q_3 = q$ અને $r_{12} = r_{23} = r_{31} = L$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} + \frac{q^2}{L} \right)$
$U = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{3 q^2}{L}$

(C) $1 \text{ m}$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર આપેલા વિદ્યુતભારો:
$q_1 = +1 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_2 = -2 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_3 = +3 \times 10^{-8} \text{ C}$
$q_4 = +2 \times 10^{-8} \text{ C}$
દરેક ખૂણાથી ચોરસના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $r$ એ વિકર્ણની લંબાઈનું અડધું છે:
$r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ m}$
કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V = \frac{k}{r} (q_1 + q_2 + q_3 + q_4)$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{9 \times 10^9}{1/\sqrt{2}} (1 - 2 + 3 + 2) \times 10^{-8}$
$V = 9 \sqrt{2} \times 10 \times (4) = 36 \sqrt{2} \times 10 \approx 509.04 \text{ V}$
આમ, નજીકનો વિકલ્પ $510 \text{ V}$ છે.

(B) આપેલ છે:
$q_1 = 5 \text{ nC} = 5 \times 10^{-9} \text{ C}$
$q_2 = -2 \text{ nC} = -2 \times 10^{-9} \text{ C}$
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r = (23 - 5) \text{ cm} = 18 \text{ cm} = 18 \times 10^{-2} \text{ m}$ છે.
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{k q_1 q_2}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{(9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2) \times (5 \times 10^{-9} \text{ C}) \times (-2 \times 10^{-9} \text{ C})}{18 \times 10^{-2} \text{ m}}$
$U = \frac{9 \times 5 \times (-2) \times 10^{9-9-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = \frac{-90 \times 10^{-9}}{18 \times 10^{-2}} \text{ J}$
$U = -5 \times 10^{-7} \text{ J}$

(C) આપેલ છે:
સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = 1.8 \mu \text{ J} = 1.8 \times 10^{-6} \text{ J}$
અંતર $r = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
વિદ્યુતભાર $Q_1 = 4 \text{ nC} = 4 \times 10^{-9} \text{ C}$
કુલંબનો અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$
બે વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર:
$U = \frac{k Q_1 Q}{r}$
કિંમતો મૂકતા:
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-9} \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = \frac{36 \times Q}{0.1}$
$1.8 \times 10^{-6} = 360 \times Q$
$Q = \frac{1.8 \times 10^{-6}}{360}$
$Q = 0.005 \times 10^{-6} \text{ C}$
$Q = 5 \times 10^{-9} \text{ C} = 5 \text{ nC}$

(C) ધારો કે દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. દરેક નાના ગોળા પરનું સ્થિતિમાન $V_s = \frac{kq}{r} = 60 \text{ mV} = 0.06 \text{ V}$ છે.
જ્યારે $125$ નાના ગોળાઓ જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનો મોટો ગોળો બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$125 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow R^3 = 125 r^3 \Rightarrow R = 5r$.
મોટા ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 125q$ છે.
મોટા ગોળા પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{R} = \frac{k(125q)}{5r} = 25 \times (\frac{kq}{r})$ છે.
$V_s$ ની કિંમત મૂકતા: $V_B = 25 \times 0.06 \text{ V} = 1.5 \text{ V}$.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહધારિત કોઈલ દ્વારા અનુભવાતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને કોઈલના સમતલના લંબ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{\max} = MB$ (જ્યારે $\theta = 90^{\circ}$).
આપેલ છે કે $\tau = 80 \%$ of $\tau_{\max} = 0.8 \tau_{\max} = \frac{4}{5} MB$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $MB \sin \theta = \frac{4}{5} MB$.
આથી $\sin \theta = \frac{4}{5}$ મળે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\tan \theta = \frac{4/5}{\sqrt{1 - (4/5)^2}} = \frac{4/5}{\sqrt{9/25}} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ મળે.
તેથી,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.