AP EAMCET 2024 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = 18 \,m/s^2$, ત્રિજ્યા $r = 50 \,cm = 0.5 \,m$, સમય $t = \frac{\pi}{18} \,s$.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં, $a_c = \frac{v^2}{r}$, તેથી $v = \sqrt{a_c \cdot r} = \sqrt{18 \times 0.5} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r} = \frac{3}{0.5} = 6 \,rad/s$ છે.
સમય $t$ માં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = \omega t = 6 \times \frac{\pi}{18} = \frac{\pi}{3} \,rad$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta v = 2v \sin(\frac{\theta}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\Delta v = 2 \times 3 \times \sin(\frac{\pi/3}{2}) = 6 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 6 \times 0.5 = 3 \,m/s$.

(B) સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ સાથે જોડાયેલા $m$ દળ માટે દોલન આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$s_1$ અને $s_2$ સ્પ્રિંગ માટે,આપણી પાસે $v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1}{m}}$ અને $v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_2}{m}}$ છે.
તેનો વર્ગ કરતા,$v_1^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_1}{m}$ અને $v_2^2 = \frac{1}{4\pi^2} \frac{s_2}{m}$ મળે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $s_{eq} = s_1 + s_2$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_{eq}}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{s_1 + s_2}{m}}$ છે.
$s_1 = 4\pi^2 m v_1^2$ અને $s_2 = 4\pi^2 m v_2^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{4\pi^2 m v_1^2 + 4\pi^2 m v_2^2}{m}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$.

(C) સિસ્ટમનું કુલ દળ $m = 6 \ g + 10 \ g = 16 \ g = 0.016 \ kg$ છે.
જ્યારે ટ્યુબને $x$ જેટલા નાના અંતરે નીચે દબાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = \rho A x g$ છે,જ્યાં $\rho$ પાણીની ઘનતા $(1000 \ kg/m^3)$,$A$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2)$ અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળનો અચળાંક $k = \frac{F}{x} = \rho A g = 1000 \times 10^{-3} \times 10 = 10 \ N/m$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{0.016}{10}} = 2 \pi \sqrt{0.0016} = 2 \pi \times 0.04 = 0.08 \pi \ s$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$T \approx 0.08 \times 3.14 \approx 0.25 \ s$ મળે છે.

(C) ડાબી બાજુની બે સ્પ્રિંગ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનો સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_p = K + K = 2K$ થશે.
આ સંયોજન ત્રીજી સ્પ્રિંગ (જેનો અચળાંક $K$ છે) સાથે શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય સ્પ્રિંગ અચળાંક $K_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{K_{eq}} = \frac{1}{2K} + \frac{1}{K} = \frac{1+2}{2K} = \frac{3}{2K}$
$K_{eq} = \frac{2K}{3} = \frac{2 \times 9 \pi^2}{3} = 6 \pi^2 \ Nm^{-1}$.
બ્લોકનું દળ $m = 3 \ kg$ છે.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{K_{eq}}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{6 \pi^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{2 \pi^2}} = 2 \pi \times \frac{1}{\pi \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ s$.
$T = 1.414 \ s$.

(B) આપેલ છે: આવર્તકાળ $T = 3 \,s$, સ્થાનાંતર $x = 0.6 \,A$ (જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે).
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
કણની સ્થિતિઊર્જા $(P.E.)$ નું સૂત્ર $P.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)}{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2} = \frac{A^2 - x^2}{x^2} = \left(\frac{A}{x}\right)^2 - 1$ થાય.
$x = 0.6 \,A = \frac{6}{10} \,A = \frac{3}{5} \,A$ મૂકતા, આપણને $\frac{A}{x} = \frac{5}{3}$ મળે છે.
તેથી, ગુણોત્તર $\left(\frac{5}{3}\right)^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{25 - 9}{9} = \frac{16}{9}$ થાય.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,આવર્તકાળ $T = \frac{\pi}{2} \ s$,સ્થાનાંતર $x = 0.2 \ m$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/2} = 4 \ rad/s$.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $k = m\omega^2$ હોવાથી,$U = \frac{1}{2} m\omega^2 x^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times 1 \times (4)^2 \times (0.2)^2$.
$U = \frac{1}{2} \times 16 \times 0.04 = 8 \times 0.04 = 0.32 \ J$.

(A) આપેલ છે: સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = 200 \, Nm^{-1}$.
પ્રારંભિક સ્થાનાંતર $x_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
અંતિમ સ્થાનાંતર $x_2 = 10 \, cm + 10 \, cm = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
સ્પ્રિંગને $x_1$ થી $x_2$ સુધી ખેંચવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} k (x_2^2 - x_1^2)$
કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times 200 \times ((0.2)^2 - (0.1)^2)$
$W = 100 \times (0.04 - 0.01)$
$W = 100 \times 0.03 = 3 \, J$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા પદાર્થ માટે,$d$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{2} k d^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$E_1 = \frac{1}{2} k x^2 \implies x = \sqrt{\frac{2 E_1}{k}}$
$E_2 = \frac{1}{2} k y^2 \implies y = \sqrt{\frac{2 E_2}{k}}$
$(x+y)$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $E$ છે:
$E = \frac{1}{2} k (x+y)^2$
$E = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + 2xy)$
$E = \frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} k y^2 + 2 \left( \frac{1}{2} k x y \right)$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{\left( \frac{1}{2} k x^2 \right) \left( \frac{1}{2} k y^2 \right)}$
$E = E_1 + E_2 + 2 \sqrt{E_1 E_2}$
$E = (\sqrt{E_1} + \sqrt{E_2})^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{E} = \sqrt{E_1} + \sqrt{E_2}$

(A) આપેલ દળ $m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$.
સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = 8 \cos \left(50 t + \frac{\pi}{12}\right) \text{ m}$ છે.
આને પ્રમાણિત સરળ આવર્ત ગતિના સમીકરણ $x = A \cos(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A = 8 \text{ m}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A \omega = 8 \times 50 = 400 \text{ m/s}$ છે.
મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(K.E.)_{\max} = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-3} \text{ kg}) \times (400 \text{ m/s})^2$.
$(K.E.)_{\max} = 10^{-3} \times 160000 = 160 \text{ J}$.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ કરતા કણ માટે, સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$, વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$, અને પ્રવેગ $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ છે।
$(A)$ વેગ-સ્થાનાંતર આલેખ: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \Rightarrow \frac{v^2}{\omega^2} + x^2 = A^2$. જો $\omega = 1$ હોય, તો તે વર્તુળ છે. જો $\omega \neq 1$ હોય, તો તે ઉપવલય છે. પ્રશ્નમાં $\omega \neq 1$ આપેલ હોવાથી, $(A)$ - $(iv)$ સાથે જોડાય છે।
$(B)$ પ્રવેગ-સ્થાનાંતર આલેખ: $a = -\omega^2 x$, જે સુરેખ રેખા દર્શાવે છે. તેથી, $(B)$ - $(i)$ સાથે જોડાય છે।
$(C)$ પ્રવેગ-સમય આલેખ: $a = -A\omega^2 \sin(\omega t)$, જે સાઇનસૉઇડલ આલેખ છે. તેથી, $(C)$ - $(ii)$ સાથે જોડાય છે।
$(D)$ પ્રવેગ-વેગ આલેખ: $\frac{v^2}{(A\omega)^2} + \frac{a^2}{(A\omega^2)^2} = 1$, જે ઉપવલયનું સમીકરણ છે. તેથી, $(D)$ - $(iv)$ સાથે જોડાય છે।

(B) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનું સ્થાનાંતર $x(t) = A_0 e^{-bt} \cos(\omega' t + \Phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A(t) = A_0 e^{-bt}$ એ $t$ સમયે કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ સમીકરણ $x(t) = \exp(-0.2 t) \cos(3.2 t + \Phi)$ પરથી,$t = 0$ સમયે પ્રારંભિક કંપવિસ્તાર $A_0 = 1$ છે.
$t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = e^{-0.2 t}$ છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે કંપવિસ્તાર તેના પ્રારંભિક કંપવિસ્તારના $\frac{1}{e^{1.2}}$ ગણો થાય.
તેથી,$A(t) = \frac{1}{e^{1.2}} \times A_0 = e^{-1.2} \times 1 = e^{-1.2}$.
કંપવિસ્તાર માટેના બંને પદોને સરખાવતા: $e^{-0.2 t} = e^{-1.2}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા: $-0.2 t = -1.2$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{1.2}{0.2} = 6 \ s$.

(C) $SHM$ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin (2t + \phi)$ છે.
વેગ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dy}{dt} = 2A \cos (2t + \phi)$.
$t = 0$ સમયે,$y = 2 \ m$ અને $v = 4 \ ms^{-1}$ છે.
આ કિંમતો સમીકરણોમાં મૂકતા:
$2 = A \sin (0 + \phi) \implies A \sin \phi = 2 \quad (i)$
$4 = 2A \cos (0 + \phi) \implies A \cos \phi = 2 \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{A \sin \phi}{A \cos \phi} = \frac{2}{2}$
$\tan \phi = 1$
$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(C) ડેમ્પ્ડ ઓસિલેટરનો $t$ સમયે કંપવિસ્તાર $A(t) = A_0 e^{-kt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{b}{2m}$ છે.
આપેલ છે કે $t = 2 \ s$ સમયે,$A(2) = \frac{A_0}{e}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{A_0}{e} = A_0 e^{-k(2)} \Rightarrow e^{-1} = e^{-2k} \Rightarrow 2k = 1 \Rightarrow k = 0.5 \ s^{-1}$.
આપણે પછીની બે સેકન્ડ પછી,એટલે કે $t = 4 \ s$ સમયે કંપવિસ્તાર શોધવાની જરૂર છે.
$A(4) = A_0 e^{-k(4)} = A_0 e^{-0.5 \times 4} = A_0 e^{-2} = \frac{A_0}{e^2}$.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $y_1 = 5[\sin 2 \pi t + \sqrt{3} \cos 2 \pi t]$ છે.
કંપવિસ્તાર $A_1$ શોધવા માટે,આપણે પદને $A_1 \sin(2 \pi t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખીએ.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $y_1 = 5 \times 2 [\frac{1}{2} \sin 2 \pi t + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 \pi t] = 10 [\sin 2 \pi t \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2 \pi t \sin \frac{\pi}{3}] = 10 \sin(2 \pi t + \frac{\pi}{3})$.
આમ,કંપવિસ્તાર $A_1 = 10$ મળે છે.
બીજું સમીકરણ $y_2 = 5 \sin [2 \pi t + \frac{\pi}{4}]$ છે.
આને $y_2 = A_2 \sin(2 \pi t + \phi_2)$ સાથે સરખાવતા,કંપવિસ્તાર $A_2 = 5$ મળે છે.
તેમના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{10}{5} = 2: 1$ થાય છે.

(C) આપેલ ગતિનું સમીકરણ: $500 F + \pi^2 y = 0$.
$F = ma$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ: $500 ma + \pi^2 y = 0$.
$500 m$ વડે ભાગતા: $a + \left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y = 0$.
આમ, $a = -\left(\frac{\pi^2}{500 m}\right) y$ ... $(i)$.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે, પ્રમાણિત સમીકરણ $a = -\omega^2 y$ છે ... (ii).
$(i)$ અને (ii) ની સરખામણી કરતા, આપણને $\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 m}$ મળે છે.
$m = 2 \text{ g} = 2 \times 10^{-3} \text{ kg}$ મૂકતા:
$\omega^2 = \frac{\pi^2}{500 \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{\pi^2}{1} = \pi^2$.
તેથી, $\omega = \pi$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s}$ મળે છે.

(C) મધ્યમાન સ્થાન પર,દળ $M$ નો વેગ મહત્તમ હોય છે,જે $v_1 = \omega_1 A_1 = \sqrt{\frac{k}{M}} A_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે મધ્યમાન સ્થાન પર દળ $m$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે કારણ કે મધ્યમાન સ્થાન પર સ્પ્રિંગ બળ શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે $v_2$ એ $m$ ઉમેર્યા પછી તરત જ સંયુક્ત દળ $(M+m)$ નો વેગ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $M v_1 = (M+m) v_2$.
વેગ માટેના સમીકરણો મૂકતા: $M \left( \sqrt{\frac{k}{M}} A_1 \right) = (M+m) \left( \sqrt{\frac{k}{M+m}} A_2 \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\sqrt{Mk} A_1 = \sqrt{(M+m)k} A_2$.
તેથી,$\frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{M+m}{M}}$.

(B) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લોલકને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડૂબાડવામાં આવે અને બોબની ઘનતા $\sigma$ હોય,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g'$ એ $g' = g(1 - \frac{\rho}{\sigma})$ થાય છે.
અહીં,$\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$ અને $\sigma = \frac{5000}{3} \ kg \ m^{-3}$ છે.
તેથી,$g' = g(1 - \frac{1000}{5000/3}) = g(1 - \frac{3000}{5000}) = g(1 - \frac{3}{5}) = g(\frac{2}{5})$.
પાણીમાં આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(2/5)}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} = \sqrt{\frac{5}{2}} T$ થાય.
તેથી,$\frac{T}{t} = \sqrt{\frac{2}{5}}$.

(D) આપેલ દળ $m = 10 \ g = 10 \times 10^{-3} \ kg$.
સ્થિતિઊર્જા $U(x) = 50x^2 + 100 \ J$ છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા મળે છે.
$F = -\frac{d}{dx}(50x^2 + 100) = -100x$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$.
$ma = -100x \Rightarrow a = -\frac{100}{m}x$.
$m = 10^{-2} \ kg$ મૂકતા:
$a = -\frac{100}{10^{-2}}x = -10^4 x$.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $a = -\omega^2 x$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = 10^4$ મળે છે.
$\omega = \sqrt{10^4} = 100 \ rad/s$.
દોલનની આવૃત્તિ $f = \frac{\omega}{2\pi}$ દ્વારા મળે છે.
$f = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi} \ s^{-1}$.

(D) સ્પ્રિંગ દ્વારા જોડાયેલા બે-પદાર્થોના તંત્ર માટે,સમતુલ્ય દળ (રિડ્યુસ્ડ માસ) $\mu$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$
તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}$
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{k}{\left(\frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}\right)}}$
$\omega = \sqrt{\frac{k(m_1 + m_2)}{m_1 m_2}}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{m_1}{m_1 m_2} + \frac{m_2}{m_1 m_2}\right)}$
$\omega = \sqrt{k \left(\frac{1}{m_2} + \frac{1}{m_1}\right)}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$,સમય $t = 60 \ s$,બરફનું દળ $m = 5 \ g$,ગલનગુપ્ત ઉષ્મા $L = 80 \ cal/g = 80 \times 4.2 \ J/g = 336 \ J/g = 336000 \ J/kg$.
સળિયામાંથી વહેતી ઉષ્મા $H = \frac{kA \Delta \theta}{l}$.
બરફ ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mL$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{kA \Delta \theta}{l} = \frac{mL}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{k \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{5 \times 10^{-3} \ kg \times 336000 \ J/kg}{60 \ s}$.
$k \times 0.2 = \frac{1680}{60} = 28$.
$k = \frac{28}{0.2} = 140 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(D) કુલ ઉષ્મા $Q$ માટેનું સૂત્ર: $Q = (m_1 s_1 + m_2 s_2 + m_3 s_3) \Delta T$.
અહીં,$m_1 = 2.4 \ kg$,$s_1 = 0.216 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (એલ્યુમિનિયમ).
$m_2 = 1.6 \ kg$,$s_2 = 0.0917 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (પિત્તળ).
$m_3 = 0.8 \ kg$,$s_3 = 0.0931 \ cal \cdot kg^{-1} \cdot ^{\circ}C^{-1}$ (તાંબુ).
$Q = 44.4 \ cal$.
કિંમતો મૂકતા: $44.4 = (2.4 \times 0.216 + 1.6 \times 0.0917 + 0.8 \times 0.0931) \Delta T$.
$44.4 = (0.5184 + 0.14672 + 0.07448) \Delta T$.
$44.4 = (0.7396) \Delta T$.
$\Delta T = 44.4 / 0.7396 \approx 60^{\circ} C$.
$\Delta T = T_{final} - T_{initial}$ હોવાથી,$60 = T_{final} - 20$.
તેથી,$T_{final} = 80^{\circ} C$.

(C) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,ધાતુના ગોળા દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા એ પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે.
ધારો કે $m_1 = 100 \ g$ એ ધાતુનું દળ છે,$s_1$ તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $T_1 = 20^{\circ} C$ તેનું પ્રારંભિક તાપમાન છે.
ધારો કે $m_2 = 200 \ g$ (પાણીની ઘનતા $1 \ g/ml$ હોવાથી) એ પાણીનું દળ છે,$s_2$ તેની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $T_2 = 80^{\circ} C$ તેનું પ્રારંભિક તાપમાન છે.
અંતિમ સંતુલન તાપમાન $T = 70^{\circ} C$ છે.
ધાતુ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $m_1 s_1 (T - T_1) = 100 \times s_1 \times (70 - 20) = 5000 s_1$.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_2 s_2 (T_2 - T) = 200 \times s_2 \times (80 - 70) = 2000 s_2$.
બંનેને સરખાવતા: $5000 s_1 = 2000 s_2$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{s_1}{s_2} = \frac{2000}{5000} = \frac{2}{5}$ થાય.

(B) કેલરીમિતિના સિદ્ધાંત મુજબ,પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા.
ધારો કે પાણીનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m \times c_w \times (T_i - T_f) = m \times 1 \times (30 - 6) = 24m \text{ cal}$.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ત્રણ ભાગમાં વહેંચાયેલી છે:
$1$. બરફને $-20^{\circ} C$ થી $0^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_1 = 5 \times 0.5 \times 20 = 50 \text{ cal}$.
$2$. $0^{\circ} C$ પર બરફને ઓગાળવા માટે: $Q_2 = 5 \times 80 = 400 \text{ cal}$.
$3$. ઓગળેલા પાણીને $0^{\circ} C$ થી $6^{\circ} C$ સુધી ગરમ કરવા માટે: $Q_3 = 5 \times 1 \times 6 = 30 \text{ cal}$.
કુલ મેળવેલી ઉષ્મા $= 50 + 400 + 30 = 480 \text{ cal}$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $24m = 480$.
$m = 480 / 24 = 20 \text{ g}$.

(D) ધારો કે $K_b$ અને $K_c$ એ અનુક્રમે પિત્તળ અને તાંબાની ઉષ્મીય વાહકતા છે. આપેલ છે કે $K_b : K_c = 1 : 4$.
ધારો કે $T$ એ સંપર્ક સપાટીનું તાપમાન છે.
પ્લેટો શ્રેણીમાં હોવાથી,સ્થાયી અવસ્થામાં બંને પ્લેટોમાંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર $H$ સમાન હશે.
$H = \frac{K_c A(100 - T)}{x} = \frac{K_b A(T - 0)}{x}$
જ્યાં $A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ દરેક પ્લેટની જાડાઈ છે.
બંને બાજુથી $A$ અને $x$ ને દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$K_c(100 - T) = K_b(T)$
$\frac{K_c}{K_b} = \frac{T}{100 - T}$
કારણ કે $\frac{K_b}{K_c} = \frac{1}{4}$,તેથી $\frac{K_c}{K_b} = 4$.
આ કિંમત મૂકતા:
$4 = \frac{T}{100 - T}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$

(A) આપેલ છે: આસપાસનું તાપમાન $T_0 = 300 \ K$.
$T_1 = 600 \ K$ તાપમાને ઠંડા પડવાનો દર $H$ છે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $Q \propto (T^4 - T_0^4)$.
તેથી,$H = k(T_1^4 - T_0^4)$ અને $Q_2 = k(T_2^4 - T_0^4)$ જ્યાં $T_2 = 900 \ K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{Q_2}{H} = \frac{T_2^4 - T_0^4}{T_1^4 - T_0^4}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q_2}{H} = \frac{(900)^4 - (300)^4}{(600)^4 - (300)^4}$.
$(300)^4$ વડે ભાગતા: $\frac{Q_2}{H} = \frac{3^4 - 1^4}{2^4 - 1^4} = \frac{81 - 1}{16 - 1} = \frac{80}{15} = \frac{16}{3}$.
તેથી,$Q_2 = \frac{16}{3} H$.

(D) આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ (perfect black body) એ એક એવો આદર્શ પદાર્થ છે જે તેના પર આપાત થતા તમામ વિકિરણોનું શોષણ કરે છે,પછી ભલે તે કોઈ પણ આવૃત્તિ કે આપાતકોણ હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,શોષણ ગુણાંક $\alpha$ એ પદાર્થ દ્વારા શોષાયેલી ઉર્જા અને પદાર્થ પર આપાત થતી કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર છે.
આદર્શ કૃષ્ણ પદાર્થ તમામ આપાત વિકિરણોનું શોષણ કરતું હોવાથી,શોષાયેલી ઉર્જા એ કુલ આપાત ઉર્જા જેટલી જ હોય છે.
તેથી,શોષણ ગુણાંક $\alpha = 1$ થાય છે.

(C) ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $A$ માટે: $\Delta T_A = 40^{\circ} C$,અને સળિયા $B$ માટે: $\Delta T_B = 60^{\circ} C$.
ઉષ્માના વહનનો દરનો ગુણોત્તર $\frac{H_A}{H_B} = \frac{3}{8}$ છે.
બંને સળિયા સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$k_A = k_B = k$.
તેથી,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{A_A \Delta T_A / l_A}{A_B \Delta T_B / l_B} = \frac{A_A}{A_B} \cdot \frac{l_B}{l_A} \cdot \frac{40}{60} = \frac{3}{8}$ ....$(i)$
સળિયા સમાન દળ અને સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,તેમના કદ સમાન છે: $V_A = V_B \Rightarrow A_A l_A = A_B l_B \Rightarrow \frac{A_A}{A_B} = \frac{l_B}{l_A}$ ....(ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $\left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{40}{60}\right) = \frac{3}{8}$.
$\left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8} \Rightarrow \left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{3}{4}$.
તેથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 4 : 3$ થાય.

(C) પગલું $1$: તે તાપમાન શોધો જ્યાં સેલ્સિયસ અને ફેરનહીટ સ્કેલ એકબીજા સાથે મળે છે.
ધારો કે તાપમાન $T_1$ છે. સંબંધ $\frac{C}{5} = \frac{F-32}{9}$ છે. $C = F = T_1$ લેતા:
$\frac{T_1}{5} = \frac{T_1-32}{9} \Rightarrow 9T_1 = 5T_1 - 160 \Rightarrow 4T_1 = -160 \Rightarrow T_1 = -40^{\circ}C$.
કેલ્વિનમાં,$T_1 = -40 + 273.15 = 233.15 \ K$.
પગલું $2$: તે તાપમાન શોધો જ્યાં કેલ્વિન અને ફેરનહીટ સ્કેલ એકબીજા સાથે મળે છે.
ધારો કે તાપમાન $T_2$ છે. સંબંધ $\frac{K-273.15}{5} = \frac{F-32}{9}$ છે. $K = F = T_2$ લેતા:
$\frac{T_2-273.15}{5} = \frac{T_2-32}{9} \Rightarrow 9T_2 - 2458.35 = 5T_2 - 160 \Rightarrow 4T_2 = 2298.35 \Rightarrow T_2 \approx 574.59 \ K$.
પગલું $3$: કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ ની ગણતરી કરો.
$\eta = 1 - \frac{T_{cold}}{T_{hot}} = 1 - \frac{233.15}{574.59} \approx 1 - 0.405 = 0.595 \approx 60 \%$.

(C) એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T = 40 \ J$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{\Delta U}{Q} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5}$ મળે.
તેથી,$\Delta U = \frac{3}{5} \times Q = \frac{3}{5} \times 40 \ J = 24 \ J$ થાય.

(C) આપેલ છે: આપેલી ઉષ્મા $Q = 100 \ J$,આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = 60 \ J$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,તેથી થયેલ કાર્ય $W = Q - \Delta U = 100 - 60 = 40 \ J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\Delta U = n C_v \Delta T$ અને $Q = n C_p \Delta T$.
તેથી,$\frac{Q}{\Delta U} = \frac{C_p}{C_v} = \gamma$.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{100}{60} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.67$ એ એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે હોય છે,તેથી વાયુ એક-પરમાણ્વીય છે.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તેના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{n f R \Delta T}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ અચળ કદ પર: $\Delta U_1 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
(ii) અચળ દબાણ પર: $\Delta U_2 = \frac{n(3)R(T_2 - T_1)}{2} = \frac{3}{2} nR(T_2 - T_1)$.
કારણ કે તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ બંને કિસ્સામાં સમાન છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર બંને કિસ્સામાં સમાન રહેશે.

(B) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 3$ છે. આપેલ છે કે $n_1 = 2$ મોલ અને $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$. આંતરિક ઊર્જા $U = \frac{n_1 f_1 R T_1}{2} = \frac{2 \times 3 \times R \times 300}{2} = 900 R$ થાય.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 5$ છે. આપેલ છે કે $n_2 = 3$ મોલ અને $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$. આંતરિક ઊર્જા $U' = \frac{n_2 f_2 R T_2}{2} = \frac{3 \times 5 \times R \times 400}{2} = 3000 R$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{U'}{U} = \frac{3000 R}{900 R} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$.
તેથી,$U' = \frac{10 U}{3}$.

(A) મોનોએટોમિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ દબાણે,શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{5}{2} R$,તેથી $Q = \frac{5}{2} n R \Delta T$.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ પરથી,$p \Delta V = n R \Delta T$.
આ કિંમતને ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q = \frac{5}{2} p \Delta V$.
અહીં $Q = 80 \ J$ અને $\Delta V = 16 \times 10^{-5} \ m^3$ આપેલ છે,તેથી:
$80 = \frac{5}{2} \times p \times 16 \times 10^{-5}$.
$80 = 40 \times 10^{-5} \times p$.
$p = \frac{80}{40 \times 10^{-5}} = 2 \times 10^5 \ Nm^{-2}$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W$.
અહીં,વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = +18 \ J$ છે.
વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવતું હોવાથી,વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = -12 \ J$ લેવાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = 18 \ J - (-12 \ J) = 18 \ J + 12 \ J = 30 \ J$.
તેથી,વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $30 \ J$ છે.

(D) ધારો કે સિંકનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_2 = T$ છે.
સોર્સનું નિરપેક્ષ તાપમાન $T_1$ એ સિંકના તાપમાન કરતાં $25 \%$ વધારે છે,તેથી $T_1 = T + 0.25T = 1.25T$.
કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\eta = 1 - \frac{T}{1.25T} = 1 - \frac{1}{1.25} = 1 - \frac{100}{125} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$.
આને ટકાવારીમાં દર્શાવતા,$\eta = \frac{1}{5} \times 100 \% = 20 \%$.

(B) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 10 \% = 0.1$ છે.
જ્યારે આ જ એન્જિન રેફ્રિજરેટર તરીકે કાર્ય કરે છે,ત્યારે રેફ્રિજરેટરનો કાર્યક્ષમતા ગુણાંક $(COP)_R$ એ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$(COP)_R = \frac{1 - \eta}{\eta}$.
સૂત્રમાં $\eta = 0.1$ ની કિંમત મૂકતા:
$(COP)_R = \frac{1 - 0.1}{0.1} = \frac{0.9}{0.1} = 9$.
આમ,રેફ્રિજરેટરનો કાર્યક્ષમતા ગુણાંક $9$ છે.

(C) કાર્નોટ ચક્ર માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
કેલ્વિનમાં તાપમાન: $T_1 = 127 + 273 = 400 \text{ K}$ અને $T_2 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
શોષાયેલી ઉષ્મા $Q_1 = 5 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\eta = 1 - \frac{300}{400} = 1 - 0.75 = 0.25$.
કારણ કે $\eta = \frac{W}{Q_1}$,તેથી $W = \eta \times Q_1$.
$W = 0.25 \times 5 \times 10^4 \text{ cal} = 1.25 \times 10^4 \text{ cal}$.
આમ,કાર્યમાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માનું પ્રમાણ $1.25 \times 10^4 \text{ cal}$ છે.

(B) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T_1 = 800 \ K$ અને $T_2 = 500 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{500}{800} = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$T_{source} = x \ K$ અને $T_{sink} = 600 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{600}{x}$.
કાર્યક્ષમતા સમાન હોવાથી,$\eta_1 = \eta_2$.
$1 - \frac{600}{x} = \frac{3}{8}$.
$\frac{600}{x} = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
$x = \frac{600 \times 8}{5} = 120 \times 8 = 960 \ K$.

(B) કોલ્ડ સ્ટોરેજમાં પ્રવેશતી ઉષ્માનો દર $Q_2 = \frac{mL}{t} = \frac{2 \times 10^3 \ g \times 80 \ cal/g}{3600 \ s} = \frac{160000}{3600} \ cal/s = \frac{400}{9} \ cal/s$ છે.
તેને જૂલ પ્રતિ સેકન્ડ (વોટ) માં ફેરવતા: $Q_2 = \frac{400}{9} \times 4.2 \ J/s = 186.67 \ W$.
કાર્નોટ રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ $\text{COP} = \frac{T_2}{T_1 - T_2} = \frac{Q_2}{W}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$T_2 = 0^{\circ} C = 273 \ K$ અને $T_1 = 20^{\circ} C = 293 \ K$ છે.
તેથી,$\frac{273}{293 - 273} = \frac{186.67}{W}$.
$\frac{273}{20} = \frac{186.67}{W}$.
$W = \frac{186.67 \times 20}{273} \approx 13.67 \ W$.
આમ,ન્યૂનતમ પાવર આઉટપુટ આશરે $13.6 \ W$ છે.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{1}{6} = 1 - \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = \frac{5}{6} \Rightarrow T_2 = \frac{5}{6} T_1$ ....$(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,સિંકનું તાપમાન $65 \ K$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી નવું સિંક તાપમાન $(T_2 - 65)$ થાય છે.
$\frac{1}{3} = 1 - \frac{T_2 - 65}{T_1} \Rightarrow \frac{T_2 - 65}{T_1} = \frac{2}{3}$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6} T_1$ ની કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6} T_1 - 65}{T_1} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{5}{6} - \frac{65}{T_1} = \frac{2}{3}$
$\frac{65}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$
$T_1 = 65 \times 6 = 390 \ K$
હવે,પ્રારંભિક સિંક તાપમાન $T_2$ ની ગણતરી કરતા:
$T_2 = \frac{5}{6} \times 390 = 325 \ K$
અંતિમ સિંક તાપમાન $T_2 - 65 = 325 - 65 = 260 \ K$ છે.
આમ,સિંકનું પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાન અનુક્રમે $325 \ K$ અને $260 \ K$ છે.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 25\% = 0.25$ અને $T_2 = 300 \ K$:
$0.25 = 1 - \frac{300}{T_1} \implies \frac{300}{T_1} = 0.75 \implies T_1 = \frac{300}{0.75} = 400 \ K$.
હવે,આપણે સોર્સના તાપમાનમાં $x$ જેટલો વધારો કરીને કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 50\% = 0.5$ કરવા માંગીએ છીએ:
$0.5 = 1 - \frac{300}{400 + x} \implies \frac{300}{400 + x} = 0.5 \implies 400 + x = \frac{300}{0.5} = 600 \ K$.
$x = 600 - 400 = 200 \ K$.
આમ,સોર્સના તાપમાનમાં જરૂરી વધારો $200 \ K$ છે.

(A) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_{sink}}{T_{source}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં તાપમાન કેલ્વિનમાં હોવું જોઈએ $(K = ^{\circ}C + 273)$.
કિસ્સો $1$: $T_{source} = 200^{\circ}C = 473 \ K$ અને $T_{sink} = 0^{\circ}C = 273 \ K$.
$\eta_1 = 1 - \frac{273}{473} = \frac{473 - 273}{473} = \frac{200}{473}$.
કિસ્સો $2$: $T_{source} = 0^{\circ}C = 273 \ K$ અને $T_{sink} = -200^{\circ}C = 73 \ K$.
$\eta_2 = 1 - \frac{73}{273} = \frac{273 - 73}{273} = \frac{200}{273}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{200}{473} \times \frac{273}{200} = \frac{273}{473} \approx 0.577 \approx 0.58$.

(A) કાર્નો એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
શરૂઆતમાં,$\eta_1 = 25 \% = 0.25$.
તેથી,$0.25 = 1 - \frac{T_2}{T_1} \implies \frac{T_2}{T_1} = 0.75 = \frac{3}{4}$.
આના પરથી $T_1 = \frac{4}{3} T_2$ મળે છે.
જ્યારે સ્ત્રોતનું તાપમાન $100 \ K$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 40 \% = 0.4$ થાય છે.
તેથી,$0.4 = 1 - \frac{T_2}{T_1 + 100}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{T_2}{T_1 + 100} = 0.6 = \frac{3}{5}$.
સમીકરણમાં $T_1 = \frac{4}{3} T_2$ મૂકતા:
$\frac{T_2}{\frac{4}{3} T_2 + 100} = \frac{3}{5}$.
$5 T_2 = 3 \left( \frac{4}{3} T_2 + 100 \right)$.
$5 T_2 = 4 T_2 + 300$.
$T_2 = 300 \ K$.

(C) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે.
આપેલ છે કે $\eta = 25 \% = 0.25$ અને $T_1 = 127^{\circ} C = (127 + 273) K = 400 K$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.25 = 1 - \frac{T_2}{400}$.
$\frac{T_2}{400} = 1 - 0.25 = 0.75$.
$T_2 = 0.75 \times 400 = 300 K$.
બીજા કિસ્સામાં,સિંકનું તાપમાન $10 \%$ ઘટાડવામાં આવે છે,તેથી $T_2' = T_2 - 0.10 T_2 = 0.9 T_2$.
$T_2' = 0.9 \times 300 = 270 K$.
નવી કાર્યક્ષમતા $\eta' = 1 - \frac{T_2'}{T_1} = 1 - \frac{270}{400}$.
$\eta' = 1 - 0.675 = 0.325 = 32.5 \%$.

(A) કાર્નોટ એન્જિન માટે,કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે અને $T_1$ એ સોર્સનું તાપમાન છે.
શરૂઆતમાં,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2}{3}$ છે. તેથી,$\eta_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
અંતે,ગુણોત્તર $\frac{T_2'}{T_1'} = \frac{3}{4}$ છે. તેથી,$\eta_2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કાર્યક્ષમતામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\eta_1 - \eta_2}{\eta_1} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{\frac{4-3}{12}}{\frac{1}{3}} \times 100 = \frac{1/12}{1/3} \times 100 = \frac{3}{12} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 = 25 \%$.

(C) સમતાપી પ્રક્રિયા દરમિયાન આદર્શ વાયુ દ્વારા થતું કાર્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = nRT \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $n_1 = 2 \text{ moles}$,$T_1 = T$,$V_i = V$,$V_f = 2V$.
$W_1 = W = 2RT \ln\left(\frac{2V}{V}\right) = 2RT \ln 2$.
બીજા કિસ્સા માટે: $n_2 = 4 \text{ moles}$,$T_2 = \frac{T}{2}$,$V_i = V$,$V_f = 8V$.
$W_2 = n_2 R T_2 \ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right) = 4R \left(\frac{T}{2}\right) \ln\left(\frac{8V}{V}\right)$.
$W_2 = 2RT \ln 8 = 2RT \ln(2^3) = 2RT \cdot 3 \ln 2$.
કારણ કે $W = 2RT \ln 2$,તેથી $W_2 = 3W$.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$,$V_2 = 2V_1$,અને $\gamma = 1.5$.
સમોષ્મી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $300 \times (V_1)^{1.5-1} = T_2 \times (2V_1)^{1.5-1}$.
$300 \times (V_1)^{0.5} = T_2 \times (2)^{0.5} \times (V_1)^{0.5}$.
$T_2 = \frac{300}{\sqrt{2}} = \frac{300}{1.414} \approx 212.13 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ઘટાડો $\Delta T = T_1 - T_2 = 300 - 212.13 = 87.87 \ K$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,તાપમાનમાં થતો ઘટાડો આશરે $88 \ K$ છે.

(B) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $du$ એ $dq = dw + du$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતાપી (આઇસોથર્મલ) પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અચળ રહે છે $(dT = 0)$.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તેના તાપમાન પર આધાર રાખતી હોવાથી,સમતાપી પ્રક્રિયા માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $du = 0$ થાય છે.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં $du = 0$ મૂકતા,આપણને $dq = dw + 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $dq = dw$ થાય છે.
તેથી,$dw = dq$ ની શરત સમતાપી પ્રક્રિયા માટે સાચી ઠરે છે.

(C) આપેલ એડિબેટિક પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $Pv^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$ ... $(i)$
આદર્શ વાયુના નિયમ મુજબ: $PV = nRT$,તેથી $P = \frac{nRT}{V}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\left(\frac{nRT}{V}\right) V^{\frac{3}{2}} = \text{constant}$
$T V^{\frac{1}{2}} = \text{constant}$
તેથી,$T_1 V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 V_2^{\frac{1}{2}}$
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = T$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{4}$ આપેલ છે:
$T V_1^{\frac{1}{2}} = T_2 \left(\frac{V_1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}$
$T = T_2 \left(\frac{1}{2}\right)$
$T_2 = 2T$

(A) $P-V$ આલેખમાં ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્ય એ ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
અહીં,ચક્ર એ ત્રિકોણ $ABC$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(V, P)$,$B(3V, 3P)$ અને $C(3V, P)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $AC$ આડી ધરી પર છે: $\text{પાયો} = 3V - V = 2V$.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $BC$ ઊભી ધરી પર છે: $\text{ઊંચાઈ} = 3P - P = 2P$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$.
$W = \frac{1}{2} \times (2V) \times (2P) = 2PV$.
ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલ કાર્ય ધન છે.

(A) લાંબા સીધા વાહકની નજીક રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું બળ $F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$I_1 = 25 \text{ A}$,$I_2 = 10 \text{ A}$,$L = 25 \text{ cm} = 0.25 \text{ m}$ છે.
લૂપની બે ઊભી બાજુઓ સીધા વાહકથી $r_1 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ અને $r_2 = 10 \text{ cm} + 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ અંતરે છે.
આડી બાજુઓ પર લાગતા બળો ($F_3$ અને $F_4$) સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
કુલ બળ એ બે ઊભી બાજુઓ પર લાગતા બળોનો તફાવત છે: $F_{net} = |F_1 - F_2|$.
$F_1 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.1} = 1.25 \times 10^{-4} \text{ N}$ (આકર્ષી).
$F_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 25 \times 10 \times 0.25}{0.2} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N}$ (અપાકર્ષી).
$F_{net} = 1.25 \times 10^{-4} - 0.625 \times 10^{-4} = 0.625 \times 10^{-4} \text{ N} = 6.25 \times 10^{-5} \text{ N}$.

(A) આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $N = 200$,ત્રિજ્યા $r = 20 \ cm = 0.2 \ m$,અને વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 5 \ A$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_0 NI}{2r}$
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \ T \cdot m/A) \times 200 \times 5}{2 \times 0.2 \ m}$
$B = \frac{4 \times 3.14159 \times 10^{-7} \times 1000}{0.4}$
$B = \frac{12.566 \times 10^{-4}}{0.4}$
$B = 31.4159 \times 10^{-4} \ T = 3.14 \times 10^{-3} \ T$.

(B) $2 \text{ cm}$ બાજુ લંબાઈ $(a)$ ધરાવતા ષટ્કોણના કેન્દ્રથી તેની કોઈપણ બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર $r$ નીચે મુજબ મળે:
$r = \frac{a/2}{\tan 30^{\circ}} = \frac{a}{2 \times (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} a}{2} = \sqrt{3} \text{ cm} = \sqrt{3} \times 10^{-2} \text{ m}$.
ષટ્કોણની એક બાજુને કારણે કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$
અહીં,$\theta_1 = \theta_2 = 30^{\circ}$ હોવાથી:
$B_1 = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \sin 30^{\circ}) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} (2 \times 0.5) = \frac{\mu_0 I}{4 \pi r}$.
ષટ્કોણને $6$ સમાન બાજુઓ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$:
$B = 6 \times B_1 = 6 \times \frac{\mu_0 I}{4 \pi r} = 6 \times 10^{-7} \times \frac{4}{\sqrt{3} \times 10^{-2}} = \frac{24 \times 10^{-5}}{\sqrt{3}} = 8 \sqrt{3} \times 10^{-5} \text{ T}$.

(C) આપેલ છે: આવૃત્તિ $f = 6.6 \times 10^{15} \text{ Hz}$,ત્રિજ્યા $r = 0.47 \text{ Å} = 0.47 \times 10^{-10} \text{ m}$.
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા ઉત્પન્ન થતો સમતુલ્ય પ્રવાહ $I = qf = ef$ છે.
$I = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (6.6 \times 10^{15} \text{ s}^{-1}) = 10.56 \times 10^{-4} \text{ A}$.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ T m/A}) \times (10.56 \times 10^{-4} \text{ A})}{2 \times (0.47 \times 10^{-10} \text{ m})}$.
$B = \frac{2 \times 3.14 \times 10^{-7} \times 10.56 \times 10^{-4}}{0.47 \times 10^{-10}} \approx 14 \text{ Wb m}^{-2}$.

(A) આપેલ છે: $r_1 = 40 \text{ cm} = 0.4 \text{ m}$,$r_2 = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$,$I = 3.5 \text{ A}$.
વર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર બંને રીંગો દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રોનો તફાવત હશે:
$B_{net} = |B_1 - B_2| = \left| \frac{\mu_0 I}{2r_1} - \frac{\mu_0 I}{2r_2} \right| = \frac{\mu_0 I}{2} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$B_{net} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 3.5}{2} \left( \frac{1}{0.4} - \frac{1}{0.5} \right)$
$B_{net} = 2\pi \times 10^{-7} \times 3.5 \times (2.5 - 2.0)$
$B_{net} = 7\pi \times 10^{-7} \times 0.5 = 3.5\pi \times 10^{-7} \text{ T}$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$B_{net} \approx 3.5 \times 3.14 \times 10^{-7} \approx 10.99 \times 10^{-7} \text{ T} \approx 11 \times 10^{-7} \text{ T}$.

(C) આપેલ છે: વાહક $A$ માં પ્રવાહ,$I_1 = 4.5 \ A$. વાહક $B$ માં પ્રવાહ,$I_2 = 8 \ A$. બિંદુ $P$ નું $A$ થી અંતર,$r_1 = 15 \ cm = 0.15 \ m$. બિંદુ $P$ નું $B$ થી અંતર,$r_2 = 10 \ cm = 0.10 \ m$.
લાંબા સીધા તારને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વાહક $A$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1$ પાનાની અંદરની તરફ છે,અને વાહક $B$ ને કારણે બિંદુ $P$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2$ પાનાની બહારની તરફ છે.
$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 4.5}{0.15} = 6 \times 10^{-6} \ T$ (અંદરની તરફ).
$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 8}{0.10} = 16 \times 10^{-6} \ T$ (બહારની તરફ).
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_2 - B_1 = (16 - 6) \times 10^{-6} \ T = 10 \times 10^{-6} \ T = 10^{-5} \ T$.

(C) વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત રીંગના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રણેય રીંગ એકબીજાને લંબ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત હોવાથી,તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો અનુક્રમે $x$,$y$ અને $z$ અક્ષોની દિશામાં હશે.
આમ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{i}$
$\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{j}$
$\vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} \hat{k}$
ઉગમબિંદુ પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B_0}$ એ આ ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{B_0} = \vec{B_1} + \vec{B_2} + \vec{B_3} = \frac{\mu_0 I}{2r} (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$B_0 = |\vec{B_0}| = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}$
$B_0 = \frac{\mu_0 I}{2r} \sqrt{3} = \sqrt{3} \frac{\mu_0 I}{2r}$

(D) ટોરોઇડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \mu_0 \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$
જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$R$ એ સરેરાશ ત્રિજ્યા છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $B \propto \frac{N}{R}$.
આપેલ છે:
$N_1 = 400, R_1 = 30 \ cm$
$N_2 = 200, R_2 = 60 \ cm$
બંને માટે વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ સમાન હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર:
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{N_1}{N_2} \right) \times \left( \frac{R_2}{R_1} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = \left( \frac{400}{200} \right) \times \left( \frac{60}{30} \right)$
$\frac{B_1}{B_2} = 2 \times 2 = 4$
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(D) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા અનંત લંબાઈના તારને કારણે $r$ લંબ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X$-અક્ષ પર રહેલા $I_1 = 6 \ A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે,$P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $Y$-અક્ષની દિશામાં હોય છે (જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા). તેથી,$\vec{B}_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{\mu_0 (6)}{2 \pi d} \hat{j} = \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$.
$Y$-અક્ષ પર રહેલા $I_2 = 8 \ A$ પ્રવાહ ધરાવતા તાર માટે,$P(0, 0, d)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઋણ $X$-અક્ષની દિશામાં હોય છે. તેથી,$\vec{B}_2 = -\frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{\mu_0 (8)}{2 \pi d} \hat{i} = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i}$.
$P$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}_P = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = -\frac{4 \mu_0}{\pi d} \hat{i} + \frac{3 \mu_0}{\pi d} \hat{j}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $B_P = \sqrt{\left(-\frac{4 \mu_0}{\pi d}\right)^2 + \left(\frac{3 \mu_0}{\pi d}\right)^2} = \frac{\mu_0}{\pi d} \sqrt{16 + 9} = \frac{5 \mu_0}{\pi d}$ થાય.

(B) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,જો તમે તમારા જમણા હાથના અંગૂઠાને વિદ્યુતપ્રવાહની દિશામાં (પૂર્વથી પશ્ચિમ) રાખો,તો તમારી આંગળીઓ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વળે છે.
પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ વિદ્યુતપ્રવાહ વહન કરતા આડા વાહક માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ વાયરની આસપાસ સમકેન્દ્રી વર્તુળો બનાવે છે.
વાહકની બરાબર નીચેના બિંદુએ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાનો સ્પર્શક દક્ષિણ દિશા તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં લટકાવેલા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે.
$T \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$ હોવાથી,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$ મળે.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $19 \%$ ઘટે છે,તેથી નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_2 = M_1 - 0.19 M_1 = 0.81 M_1$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{M_1}{0.81 M_1}} = \sqrt{\frac{1}{0.81}} = \frac{1}{0.9} \approx 1.111$ મળે.
આમ,$T_2 \approx 1.11 T_1$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100 = (1.11 - 1) \times 100 = 11 \%$ છે.
તેથી,આવર્તકાળમાં આશરે $11 \%$ નો વધારો થાય છે.

(D) આપેલ છે: પૃથ્વીનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e = 4 \times 10^{-5} \ T$,અંતર $r = 40 \ cm = 0.4 \ m$.
ટૂંકા ગજિયા ચુંબકની વિષુવરેખા પરના બિંદુએ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \cdot \frac{M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. ચુંબકની અક્ષ પૃથ્વીના ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી,$B$ એ $B_e$ ને લંબ છે.
પરિણામી ક્ષેત્રનો $B_e$ સાથેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવાથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{B}{B_e} = 1$,તેથી $B = B_e$.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times 10^{-5} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.4)^3}$.
$M = \frac{4 \times 10^{-5} \times 0.064}{10^{-7}} = 25.6 \ Am^2$.

(C) આપેલ છે: $T_1 = 0.1 \, s$, $B_H = 24 \, \mu T = 24 \times 10^{-6} \, T$, $I = 18 \, A$, $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
ઉર્ધ્વ તારને કારણે ચુંબકના સ્થાન પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ છે।
$B = \frac{4 \pi \times 10^{-7} \times 18}{2 \pi \times 0.2} = 18 \times 10^{-6} \, T = 18 \, \mu T$.
તાર પૂર્વ દિશામાં છે અને પ્રવાહ નીચેની તરફ છે, તેથી જમણા હાથના નિયમ મુજબ, તાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ઉત્તર દિશામાં ($B_H$ ની દિશામાં) હશે।
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = B_H + B = 24 \, \mu T + 18 \, \mu T = 42 \, \mu T$.
દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ હોવાથી, $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
તેથી, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{B_H}{B_{net}}} = \sqrt{\frac{24}{42}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.
$T_2 = T_1 \times \frac{2}{\sqrt{7}} = 0.1 \times \frac{2}{2.645} \approx 0.076 \, s$.

(A) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ નું સૂત્ર $M = i A$ છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ રીંગનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ એ $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે,ત્યારે એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ થાય છે.
સમતુલ્ય પ્રવાહ $i = \frac{q}{T} = \frac{q \omega}{2 \pi}$ મળે છે.
રીંગનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
આ કિંમતોને $M$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$M = \left( \frac{q \omega}{2 \pi} \right) (\pi R^2) = \frac{1}{2} q \omega R^2$.

(C) લોરેન્ઝ બળનું સૂત્ર $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે $q = -e = -1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
પ્રથમ,$\vec{v} \times \vec{B}$ શોધો: $\vec{v} \times \vec{B} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) \times (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) = 6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
હવે,$\vec{F} = -e [ (3 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + (6 \hat{i} - 6 \hat{j} + 4 \hat{k}) ] = -e (9 \hat{i} + 6 \hat{k})$.
આમ,બળનું મૂલ્ય અને દિશા આપેલ વિકલ્પ $C$ મુજબ મળે છે.

(C) ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K.E. = \frac{1}{2}mv^2 = eV$ છે.
આના પરથી,વેગ $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = evB \sin(\theta)$ છે. જો વેગ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોય,તો $F = evB$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા: $F = eB \sqrt{\frac{2eV}{m}} = B \sqrt{\frac{2e^3V}{m}}$.
આ દર્શાવે છે કે $F \propto \sqrt{V}$.
તેથી,$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$.
આપેલ છે કે $\frac{F_2}{F_1} = \frac{2F}{F} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = (2)^2 = 4$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = 4:1$ છે.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 4 \ mT = 4 \times 10^{-3} \ T$.
વિશિષ્ટ વિદ્યુતભાર $\frac{q}{m} = 8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણનો કોણીય વેગ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = \frac{qB}{m}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \left(\frac{q}{m}\right) \times B = (8 \times 10^7 \ C \ kg^{-1}) \times (4 \times 10^{-3} \ T)$.
$\omega = 32 \times 10^4 \ rad \ s^{-1}$.

(A) ધારો કે પ્રોટોનની ઉર્જા $E_p$ અને આલ્ફા કણની ઉર્જા $E_{\alpha}$ છે. આપેલ છે કે $\frac{E_p}{E_{\alpha}} = \frac{1}{4}$.
ઉર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$\frac{\frac{1}{2}m_p v_p^2}{\frac{1}{2}m_{\alpha} v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_{\alpha} = 4m_p$,તેથી $\frac{m_p v_p^2}{4m_p v_{\alpha}^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{v_p^2}{v_{\alpha}^2} = 1 \Rightarrow v_p = v_{\alpha}$.
ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin(\theta)$ છે. અહીં $\theta = 90^{\circ}$ હોવાથી,$F = qvB$.
બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_p}{F_{\alpha}} = \frac{q_p v_p B}{q_{\alpha} v_{\alpha} B} = \frac{q_p}{q_{\alpha}}$.
આલ્ફા કણનો વીજભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{q_p}{2q_p} = \frac{1}{2}$ થાય.

(B) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક,$B_v = 0.45 \ G$
ડીપનો ખૂણો,$\delta = 60^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ઉર્ધ્વ ઘટક નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B_v = B \sin \delta$
જ્યાં $B$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
$B$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$B = \frac{B_v}{\sin \delta}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{0.45}{\sin 60^{\circ}}$
કારણ કે $\sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$:
$B = \frac{0.45}{0.866} \approx 0.5196 \ G$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને મળે છે:
$B \approx 0.52 \ G$

(D) આપેલ છે: પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $B_{H} = 3 \times 10^{-5} \ T$.
મેગ્નેટિક ડેક્લિનેશન $\phi = 30^{\circ}$.
હોકાયંત્રની સોયની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 18 \ Am^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ શોધવાનું સૂત્ર $\tau = M B_{H} \sin \phi$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tau = 18 \times (3 \times 10^{-5}) \times \sin 30^{\circ}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,
$\tau = 18 \times 3 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 54 \times 10^{-5} \times 0.5$
$\tau = 27 \times 10^{-5} \ Nm$.

(A) ડોમેનનું કદ $V$ એ તેની બાજુની લંબાઈના ઘન જેટલું છે: $V = (2 \times 10^{-6} m)^3 = 8 \times 10^{-18} m^3$.
કુલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M_{\text{net}}$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા અને પ્રતિ પરમાણુ ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણાકાર છે: $M_{\text{net}} = (9 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} A m^2) = 81 \times 10^{-14} A m^2$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $I$ એ એકમ કદ દીઠ કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે: $I = \frac{M_{\text{net}}}{V} = \frac{81 \times 10^{-14} A m^2}{8 \times 10^{-18} m^3}$.
ગણતરી કરતા: $I = 10.125 \times 10^4 A m^{-1} \approx 10 \times 10^4 A m^{-1}$.

(D) જ્યારે કોઈપણ ચુંબકીય પદાર્થને ઊંચા તાપમાને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના ચુંબકીય ગુણધર્મો ગુમાવે છે. આ તાપમાનને ક્યુરી તાપમાન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ તાપમાનથી ઉપર,અણુઓની ઉષ્મીય ગતિ ચુંબકીય ગોઠવણી પર હાવી થઈ જાય છે,જેના પરિણામે ચુંબકત્વનો નાશ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ગજિયા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$
જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે અને $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mk^2$ હોવાથી (જ્યાં $m$ એ દળ અને $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે),આપણને મળે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{mk^2}{MB}}$
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{m}$.
અહીં દળ $9$ ગણું વધારવામાં આવે છે $(m_2 = 9m_1)$,તેથી નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{\frac{9m_1}{m_1}} = \sqrt{9} = 3$
તેથી,$T_2 = 3T_1 = 3T$.

(B) ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘનતા $B$,ચુંબકીય પરમિએબિલિટી $\mu$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ વચ્ચેનો સંબંધ $B = \mu H$ છે.
આપેલ છે કે $\mu = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \ H m^{-1}$ અને $B = 1 \ T$.
$\mu$ નું સૂત્ર $B = \mu H$ માં મૂકતા:
$B = [\frac{0.4}{H} + 12 \times 10^{-4}] \times H$
$B = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
$B = 1 \ T$ આપેલ હોવાથી:
$1 = 0.4 + (12 \times 10^{-4}) H$
$0.6 = 12 \times 10^{-4} H$
$H = \frac{0.6}{12 \times 10^{-4}} = \frac{0.6 \times 10^4}{12} = \frac{6000}{12} = 500 \ A m^{-1}$.

(D) કોષનું વાસ્તવિક emf $E$ છે. આંતરિક અવરોધ $r = 2 \ \Omega$ અને વોલ્ટમીટરનો અવરોધ $R = 998 \ \Omega$ છે.
વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $V$ એ બાહ્ય અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$V = I \times R = \left( \frac{E}{R + r} \right) \times R$
$V = \left( \frac{E}{998 + 2} \right) \times 998 = \frac{998}{1000} E = 0.998 E$
માપવામાં આવેલ emf માં ત્રુટિ $E - V = E - 0.998 E = 0.002 E$ છે.
emf માં પ્રતિશત ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = \left( \frac{E - V}{E} \right) \times 100$
$= \left( \frac{0.002 E}{E} \right) \times 100 = 0.2 \%$

(D) આપેલ છે: પાવર $P = 12 \text{ MW} = 12 \times 10^6 \text{ J/s}$.
સમય $t = 1 \text{ દિવસ} = 24 \times 3600 \text{ s} = 86400 \text{ s}$.
એક વિખંડન દીઠ મુક્ત થતી ઉર્જા $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
એક દિવસમાં ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા $E_{total} = P \times t = 12 \times 10^6 \times 86400 \text{ J} = 1.0368 \times 10^{12} \text{ J}$.
વિખંડનની સંખ્યા $n = \frac{E_{total}}{E} = \frac{1.0368 \times 10^{12}}{3.2 \times 10^{-11}} = 3.24 \times 10^{22}$.
${}_{92}U^{235}$ ના એક પરમાણુનું દળ $= \frac{235}{6.023 \times 10^{23}} \text{ g}$.
વપરાયેલ કુલ દળ $m = n \times \text{એક પરમાણુનું દળ} = \frac{3.24 \times 10^{22} \times 235}{6.023 \times 10^{23}} \approx 12.64 \text{ g}$.

(A) પરમાણુ દીઠ વિખંડનથી મુક્ત થતી ઉર્જા, $E = 200 \text{ MeV} = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ J} = 3.2 \times 10^{-11} \text{ J}$.
$0.1 \text{ kg}$ ${ }_{92}^{235} U$ માં પરમાણુઓની સંખ્યા $N = \frac{m}{M} \times N_A = \frac{0.1 \text{ kg}}{235 \times 10^{-3} \text{ kg/mol}} \times 6.023 \times 10^{23} \text{ atoms/mol} \approx 2.563 \times 10^{23} \text{ atoms}$.
જૂલમાં મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $E_{total} = N \times E = 2.563 \times 10^{23} \times 3.2 \times 10^{-11} \text{ J} \approx 8.2016 \times 10^{12} \text{ J}$.
$1 \text{ kWh} = 3.6 \times 10^6 \text{ J}$ હોવાથી, $\text{kWh}$ માં ઉર્જા $E_{kWh} = \frac{8.2016 \times 10^{12}}{3.6 \times 10^6} \approx 2.278 \times 10^6 \text{ kWh} \approx 22.8 \times 10^5 \text{ kWh}$.

(A) ન્યુક્લિયસનું પૃષ્ઠફળ $S$ એ $S = 4\pi R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4\pi R_1^2}{4\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{9}{25}$.
વર્ગમૂળ લેતા,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$.
ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યા $R$ એ તેના દળ-ક્રમાંક $A$ સાથે $R = R_0 A^{1/3}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{A_1}{A_2}\right)^{1/3}$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3$.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125}$.
આમ,દળ-ક્રમાંકનો ગુણોત્તર $27: 125$ છે.

(D) ધારો કે $t$ સમય પછી બંનેનું પ્રમાણ સમાન થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $A_1$ માટે,બાકી રહેલ જથ્થો $N_1 = N_{01} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_1} = 40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થ $A_2$ માટે,બાકી રહેલ જથ્થો $N_2 = N_{02} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_2} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$ છે.
$N_1 = N_2$ લેતા:
$40 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 160 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 4 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = 2^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10}$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{t/20} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10 - 2}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{t}{20} = \frac{t}{10} - 2$.
$2 = \frac{t}{10} - \frac{t}{20} = \frac{2t - t}{20} = \frac{t}{20}$.
$t = 40 \ s$.

(C) ધારો કે મૂળ ન્યુક્લિયસ ${ }_Z^A X$ છે. $2$ આલ્ફા કણો $({ }_2^4 He)$ ગુમાવ્યા પછી,નવા ન્યુક્લિયસ $R$ નો પરમાણુ દળાંક $A' = A - 2 \times 4 = A - 8$ થશે.
આપેલ છે કે નવા ન્યુક્લિયસ $R$ નું કદ આલ્ફા કણ $({ }_2^4 He)$ ના કદ કરતાં $60$ ગણું છે:
ન્યુક્લિયસનું કદ $\propto$ (પરમાણુ દળાંક $A$)
$\Rightarrow V_R = 60 \times V_{\alpha}$
કારણ કે $V \propto A$,તેથી $A' = 60 \times 4$.
$A' = A - 8$ મૂકતા:
$A - 8 = 240$
$A = 248$.

(A) આપેલ છે: મોલની સંખ્યા $n = 1 \text{ mol}$.
એક્ટિવિટી $A = \frac{1}{3.7} \text{ kCi} = \frac{1}{3.7} \times 10^3 \times 3.7 \times 10^{10} \text{ વિભંજન/સેકન્ડ} = 10^{13} \text{ s}^{-1}$.
ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N = n \times N_A = 1 \times 6 \times 10^{23} = 6 \times 10^{23}$.
એક્ટિવિટી અને ક્ષય અચળાંક વચ્ચેનો સંબંધ $A = \lambda N$ છે.
તેથી,$\lambda = \frac{A}{N} = \frac{10^{13}}{6 \times 10^{23}} = \frac{1}{6} \times 10^{-10} \text{ s}^{-1}$.

(A) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ તત્વ $A$ નો પ્રારંભિક જથ્થો છે અને $N$ એ $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો છે.
આપેલ છે કે $A$ એ $B$ માં ક્ષય પામે છે, તેથી $t$ સમયે $B$ નો જથ્થો $N_B = N_0 - N$ થશે.
$A$ અને $B$ નો ગુણોત્તર $\frac{N}{N_B} = \frac{1}{15}$ આપેલ છે.
$N_B = N_0 - N$ મૂકતા, આપણને $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{15}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $15N = N_0 - N$, જેનું સાદું રૂપ $16N = N_0$ અથવા $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ જણાવે છે કે $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$, જ્યાં $n = \frac{t}{T_{1/2}}$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
$T_{1/2} = 62 \text{ વર્ષ}$ આપેલ હોવાથી, $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{\frac{t}{62}}$ મળે.
કારણ કે $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, ઘાતાંકોને સરખાવતા: $4 = \frac{t}{62}$.
તેથી, $t = 62 \times 4 = 248 \text{ વર્ષ}$.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ પોલરાઈઝેશન કોણ $i_{p}$ માટે: $\mu = \tan i_{p}$.
અહીં $i_{p} = 60^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી વક્રીભવનાંક $\mu = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.
ક્રાંતિકોણ $C$ અને વક્રીભવનાંક વચ્ચેનો સંબંધ: $\sin C = \frac{1}{\mu}$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\sin C = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin ^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ થાય.

(C) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેનું વક્રીભવન થાય છે. વક્રીભવન માટે વિચલનકોણ $\delta = |r - i|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભૂતકોણ છે.
અહીં $r > i$ હોવાથી,$\delta = r - i$.
જેમ $i$ વધે છે,તેમ $r$ પણ વધે છે. $i$ નું મહત્તમ મૂલ્ય ક્રાંતિકોણ $C$ છે,જ્યાં $r = 90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયન થાય છે.
આમ,વક્રીભવન માટે મહત્તમ વિચલન $\delta_{\max} = \frac{\pi}{2} - C$ છે.
જો કે,જો આપાતકોણ $i$ એ $C$ કરતા વધી જાય,તો કિરણનું પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થાય છે. આ કિસ્સામાં,પરાવર્તનકોણ એ આપાતકોણ જેટલો જ હોય છે $(r = i)$.
પરાવર્તન માટે વિચલન $\delta = \pi - 2i$ છે.
પરાવર્તન માટે મહત્તમ વિચલન શોધવા માટે,આપણે $C < i < \frac{\pi}{2}$ ની શ્રેણી ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જેમ $i$ ઘટ્ટ માધ્યમની બાજુથી $C$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\delta$ એ $\pi - 2C$ ની નજીક પહોંચે છે. આ કિસ્સામાં કિરણ માટે આ મહત્તમ શક્ય વિચલન છે.

(B) વ્યક્તિ માયોપિયા (લઘુદ્રષ્ટિની ખામી) થી પીડાય છે કારણ કે તે $400 \ cm$ થી દૂરની વસ્તુઓ જોઈ શકતી નથી. આ ખામીને સુધારવા માટે, આપણે એવા લેન્સની જરૂર છે જે અનંત અંતરે $(u = -\infty)$ મૂકેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ દૂરના બિંદુ $(v = -400 \ cm)$ પર બનાવે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{-400} - \frac{1}{-\infty} = \frac{1}{-400} - 0$.
તેથી, $f = -400 \ cm = -4 \ m$.
લેન્સનો પાવર $P = \frac{1}{f(m \ \text{માં})} = \frac{1}{-4} = -0.25 \ D$ થાય.
ઋણ પાવર એ અંતર્ગોળ લેન્સ સૂચવે છે.

(A) હવામાં,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f_a} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ છે. આપેલ છે કે $f_a = 20 \ cm = 0.2 \ m$ અને $\mu_g = 1.5$,તેથી $\frac{1}{0.2} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow 5 = 0.5 \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \Rightarrow \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = 10 \ m^{-1}$.
જ્યારે $\mu_l$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f_l$ માટે $\frac{1}{f_l} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_l} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ થાય.
પાવર $P = -1 \ D$ આપેલ હોવાથી,કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = \frac{1}{P} = -1 \ m = -100 \ cm$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{-1} = \left( \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \right) (10)$.
$-0.1 = \frac{1.5}{\mu_l} - 1 \Rightarrow \frac{1.5}{\mu_l} = 0.9$.
$\mu_l = \frac{1.5}{0.9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

(B) ધારો કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu_l$ છે અને પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu_m$ છે. આપેલ છે કે $\mu_m = 0.8 \mu_l = \frac{4}{5} \mu_l$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_l = 1.25 \mu_m = \frac{5}{4} \mu_m$.
હવામાં લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(f_a)$:
$\frac{1}{f_a} = (\mu_l - 1) K$,જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રવાહી માધ્યમમાં લેન્સ માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $(f_m)$:
$\frac{1}{f_m} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) K$.
આપેલ છે કે કેન્દ્રલંબાઈમાં $100 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $f_m = f_a + 100 \% f_a = 2 f_a$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{f_m}{f_a} = \frac{\mu_l - 1}{\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1} = 2$.
$\mu_l = \frac{5}{4} \mu_m$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{\frac{5}{4} - 1} = 2$.
$\frac{\frac{5}{4} \mu_m - 1}{0.25} = 2 \Rightarrow \frac{5}{4} \mu_m - 1 = 0.5$.
$\frac{5}{4} \mu_m = 1.5 \Rightarrow \mu_m = 1.5 \times 0.8 = 1.2$.

(C) લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે અને $\mu_m$ એ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
ધારો કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu_l$ છે અને $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રથમ પ્રવાહી માટે,જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_{m1} = 1.25$ છે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_1$ માટે: $\frac{1}{f_1} = (\frac{\mu_l}{1.25} - 1)K$.
બીજા પ્રવાહી માટે,જેનો વક્રીભવનાંક $\mu_{m2} = 1.5$ છે,કેન્દ્રલંબાઈ $f_2$ માટે: $\frac{1}{f_2} = (\frac{\mu_l}{1.5} - 1)K$.
કેન્દ્રલંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{5}{16}$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{f_1}{f_2} = \frac{(\frac{\mu_l}{1.5} - 1)}{(\frac{\mu_l}{1.25} - 1)} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{1.5} \times \frac{1.25}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16}$.
$\frac{\mu_l - 1.5}{\mu_l - 1.25} = \frac{5}{16} \times \frac{1.5}{1.25} = \frac{5}{16} \times 1.2 = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.
$8(\mu_l - 1.5) = 3(\mu_l - 1.25)$.
$8\mu_l - 12 = 3\mu_l - 3.75$.
$5\mu_l = 8.25$.
$\mu_l = 1.65$.

(C) આપેલ છે: વસ્તુ અંતર $u = -18 \ cm$ (અરીસાની સામે).
પ્રતિબિંબ અંતર $v = +4 \ cm$ (અરીસાની બીજી બાજુ).
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{u}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = \frac{1}{4} + \frac{1}{-18} = \frac{9 - 2}{36} = \frac{7}{36}$.
તેથી,$f = \frac{36}{7} \ cm \approx 5.14 \ cm$.
કેન્દ્રલંબાઈ $f$ ધન હોવાથી,અરીસો બહિર્ગોળ અરીસો છે.
પ્રતિબિંબ અરીસાની બીજી બાજુ બનતું હોવાથી,તે આભાસી પ્રતિબિંબ છે.

(A) માઇક્રોસ્કોપની વિભેદન શક્તિ $R = \frac{1}{d} = \frac{2n \sin \beta}{1.22 \lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ બે પદાર્થો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર છે.
આમ,લઘુત્તમ અંતર $d$ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(d \propto \frac{1}{n})$.
હવા માટે $(n_1 = 1)$ આપેલ છે,$d_1 = 6 \mu m$.
$n_2 = 1.5$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમ માટે,નવું લઘુત્તમ અંતર $d_2$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$d_2 = \frac{d_1 \times n_1}{n_2} = \frac{6 \mu m \times 1}{1.5} = 4 \mu m$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $4 \mu m$ છે.

(A) આપેલ છે: ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o = 30 \text{ cm}$, આઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e = 3 \text{ cm}$, અને વસ્તુ અંતર $u_o = -200 \text{ cm}$ $(2 \text{ m} = 200 \text{ cm})$.
ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ માટે, લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{30} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-200}$
$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{30} - \frac{1}{200} = \frac{20 - 3}{600} = \frac{17}{600}$
$v_o = \frac{600}{17} \approx 35.3 \text{ cm}$.
સ્પષ્ટ પ્રતિબિંબ જોવા માટે, અંતિમ પ્રતિબિંબ અનંત અંતરે રચાવું જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ દ્વારા રચાતું મધ્યવર્તી પ્રતિબિંબ આઈ લેન્સના મુખ્ય કેન્દ્ર પર હોવું જોઈએ.
તેથી, ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર $L = v_o + f_e$ થશે.
$L = 35.3 \text{ cm} + 3 \text{ cm} = 38.3 \text{ cm}$.

(A) પ્રિઝમ માટે,લઘુત્તમ વિચલનની સ્થિતિમાં,વક્રીભવન કોણ $r$ અને પ્રિઝમ કોણ $A$ વચ્ચેનો સંબંધ $A = 2r$ છે.
આપેલ છે કે $r = 30^{\circ}$,તેથી $A = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
પ્રિઝમના દ્રવ્યના વક્રીભવનાંક $\mu$ માટેનું સૂત્ર $\mu = \frac{\sin((A + \delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ છે.
આપેલ કિંમતો $\delta_m = 30^{\circ}$ અને $A = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((60^{\circ} + 30^{\circ})/2)}{\sin(60^{\circ}/2)} = \frac{\sin(45^{\circ})}{\sin(30^{\circ})}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\mu = \frac{1/\sqrt{2}}{1/2} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) જ્યારે પાતળા માધ્યમમાંથી લંબરૂપે જોવામાં આવે ત્યારે આભાસી ઊંડાઈનું સૂત્ર: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\mu}$ છે.
અહીં,$\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ} = 100 \ cm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\text{આભાસી ઊંડાઈ} = \frac{100}{4/3} = 100 \times \frac{3}{4} = 75 \ cm$.
તેથી,વસ્તુની આભાસી ઊંડાઈ $75 \ cm$ છે.

(A) આપેલ સર્કિટમાં, બે ડાયોડ સમાંતર રીતે જોડાયેલા છે: $0.7 \, V$ ના થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ ધરાવતો સિલિકોન $(Si)$ ડાયોડ અને $2.2 \, V$ ના થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ ધરાવતો ગ્રીન $LED$.
જ્યારે વોલ્ટેજ લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે જે ડાયોડનો થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ ઓછો હોય તે પહેલાં વહન કરશે.
સિલિકોન ડાયોડનો થ્રેશોલ્ડ વોલ્ટેજ $(0.7 \, V)$ એ $LED$ $(2.2 \, V)$ કરતા ઓછો હોવાથી, સિલિકોન ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં આવશે અને વહન કરશે, જ્યારે $LED$ બંધ રહેશે (ઓપન સર્કિટ).
તેથી, સર્કિટ એવી રીતે વર્તે છે કે જાણે માત્ર સિલિકોન ડાયોડ જ $12 \, V$ ના સ્ત્રોત સાથે સમાંતરમાં હોય.
$2.2 \, k\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_0$ એ સિલિકોન ડાયોડ પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ દ્વારા નક્કી થાય છે.
$V_0 = 12 \, V - 0.7 \, V = 11.3 \, V$.

(B) $PN$ જંકશન ડાયોડ માત્ર એક જ દિશામાં (ફોરવર્ડ બાયસ) વિદ્યુતપ્રવાહને વહેવા દે છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં (રિવર્સ બાયસ) તેને અટકાવે છે. આ ગુણધર્મને કારણે તે અલ્ટરનેટિંગ કરંટ $(AC)$ ને ડાયરેક્ટ કરંટ $(DC)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે આદર્શ છે,જેને રેક્ટિફિકેશન કહેવામાં આવે છે. તેથી,$PN$ જંકશન ડાયોડનો ઉપયોગ રેક્ટિફાયર તરીકે થાય છે.

(C) જ્યારે $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ કરતા ઓછું હોય $(V_p < V_n)$,ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે.
દરેક કિસ્સાનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$A$: $V_p = -12 \text{ V}$,$V_n = -5 \text{ V}$. $-12 < -5$ હોવાથી,ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે.
$B$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = -10 \text{ V}$. $0 > -10$ હોવાથી,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
$C$: $V_p = 0 \text{ V}$,$V_n = +5 \text{ V}$. $0 < +5$ હોવાથી,ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં છે.
$D$: $V_p = +5 \text{ V}$,$V_n = 0 \text{ V}$. $5 > 0$ હોવાથી,ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
નોંધ: આપેલી આકૃતિઓ મુજબ,$A$ અને $C$ બંને રિવર્સ બાયસમાં છે. સામાન્ય રીતે આવા પ્રશ્નોમાં $C$ ને રિવર્સ બાયસના ઉદાહરણ તરીકે લેવામાં આવે છે.

(A) ઉર્જા બેન્ડ ગેપ $(E_g)$ ના આધારે પદાર્થોનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:
$1$. વાહકો માટે,ઉર્જા ગેપ $E_g \approx 0 \ eV$ હોય છે.
$2$. સેમિકન્ડક્ટર માટે,ઉર્જા ગેપ સામાન્ય રીતે $E_g < 3 \ eV$ હોય છે.
$3$. અવાહકો માટે,ઉર્જા ગેપ મોટો હોય છે,સામાન્ય રીતે $E_g > 5 \ eV$.
અહીં આપેલ ઉર્જા ગેપ $5.4 \ eV$ છે,જે $5 \ eV$ કરતા વધારે હોવાથી,તે પદાર્થ અવાહક છે.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરના કોમન-એમિટર $(CE)$ કન્ફિગરેશનમાં,આઉટપુટ સિગ્નલ ઇનપુટ સિગ્નલની સાપેક્ષમાં $180^{\circ}$ જેટલું ફેઝ-શિફ્ટ થાય છે. આ એટલા માટે થાય છે કારણ કે ઇનપુટ સિગ્નલ બેઝ-એમિટર જંકશન પર આપવામાં આવે છે અને આઉટપુટ કલેક્ટર-એમિટર જંકશન પરથી લેવામાં આવે છે,જેના પરિણામે સિગ્નલની પોલેરિટી ઉલટાઈ જાય છે.

(C) ટ્રાન્ઝિસ્ટરના કોમન એમિટર $(CE)$ કોન્ફિગરેશન માટે:
આપેલ છે: વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ = $150$, કરંટ ગેઇન $(\beta)$ = $50$, બેઝ અવરોધ $(R_B)$ = $850 \Omega$.
$CE$ એમ્પ્લીફાયરમાં વોલ્ટેજ ગેઇનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$A_v = \beta \times \left( \frac{R_C}{R_B} \right)$
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$150 = 50 \times \left( \frac{R_C}{850} \right)$
કલેક્ટર અવરોધ $(R_C)$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$\frac{R_C}{850} = \frac{150}{50}$
$\frac{R_C}{850} = 3$
$R_C = 3 \times 850 = 2550 \Omega$
તેથી, કલેક્ટર સર્કિટમાં અવરોધ $2550 \Omega$ છે.

(D) કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયર માટે,વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ એ કરંટ ગેઈન $(\beta)$ અને આઉટપુટ લોડ અવરોધ $(R_o)$ તથા ઇનપુટ અવરોધ $(R_i)$ ના ગુણોત્તરનો ગુણાકાર છે.
આપેલ છે:
$\beta = 40$
$R_i = 2 \ k\Omega$
$R_o = 10 \ k\Omega$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$A_v = \beta \times \left( \frac{R_o}{R_i} \right)$
$A_v = 40 \times \left( \frac{10 \ k\Omega}{2 \ k\Omega} \right)$
$A_v = 40 \times 5$
$A_v = 200$