AP EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) बल सदिश $\vec{F} = 4\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
बल का परिमाण $|\vec{F}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
क्षैतिज दिशा में बल का घटक $F_x = 4$ है।
कोण $\theta$ के लिए,$\cos \theta = \frac{F_x}{|\vec{F}|} = \frac{4}{5\sqrt{2}}$.
हर और अंश को $\sqrt{2}$ से गुणा करने पर,$\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}\right)$.

(A) माना दो सदिश $\vec{A}$ और $\vec{B}$ हैं,जहाँ $|\vec{A}|$ छोटा परिमाण है।
दिया गया है: $|\vec{A}| + |\vec{B}| = 18$ और $|\vec{R}| = 12$.
माना $|\vec{A}| = x$,तो $|\vec{B}| = 18 - x$.
चूँकि परिणामी सदिश $\vec{R}$,छोटे सदिश $\vec{A}$ के साथ $90^{\circ}$ पर है,इसलिए संबंध है: $|\vec{R}|^2 + |\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2$.
मान रखने पर: $12^2 + x^2 = (18 - x)^2$.
$144 + x^2 = 324 + x^2 - 36x$.
$36x = 324 - 144$.
$36x = 180$.
$x = 5$.
अतः,$|\vec{A}| = 5$ और $|\vec{B}| = 18 - 5 = 13$.

(C) माना परिणामी सदिश $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ है।
दिया है कि $\vec{R} \perp \vec{A}$,अतः अदिश गुणनफल $\vec{A} \cdot \vec{R} = 0$ होगा।
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + \vec{B}) = 0 \implies A^2 + AB \cos \theta = 0 \implies AB \cos \theta = -A^2$ ... $(i)$
परिणामी सदिश का परिमाण $R = \frac{B}{2}$ दिया है,अतः $R^2 = \frac{B^2}{4}$ होगा।
सदिश योग के नियम के अनुसार,$R^2 = A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta$.
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर:
$\frac{B^2}{4} = A^2 + B^2 + 2(-A^2) = B^2 - A^2$.
अतः $A^2 = B^2 - \frac{B^2}{4} = \frac{3B^2}{4}$,जिसका अर्थ है $A = \frac{\sqrt{3}}{2}B$.
अब $A$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$B(\frac{\sqrt{3}}{2}B) \cos \theta = -(\frac{\sqrt{3}}{2}B)^2$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} B^2 \cos \theta = -\frac{3}{4} B^2$.
$\cos \theta = -\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$\theta = 150^{\circ}$।

(D) दो सदिशों $\vec{A}$ और $\vec{B}$ के परिणामी $R$ का परिमाण सूत्र द्वारा दिया जाता है: $R = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB \cos \theta}$.
यह दिया गया है कि दोनों सदिशों के परिमाण समान हैं,मान लीजिए $A = B = x$.
यह भी दिया गया है कि परिणामी का परिमाण किसी भी सदिश के परिमाण के बराबर है,इसलिए $R = x$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $x = \sqrt{x^2 + x^2 + 2x^2 \cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 = 2x^2 + 2x^2 \cos \theta$.
$x^2$ से विभाजित करने पर ($x \neq 0$ मानते हुए): $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
यह $\theta = 120^{\circ}$ के कोण के अनुरूप है।

(B) सदिशों के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
परिणामी सदिश और $\vec{a}$ के बीच का कोण $\phi = 45^{\circ}$ है।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,परिणामी सदिश $\vec{a}$ के साथ जो कोण $\phi$ बनाता है,वह इस प्रकार है:
$\tan(\phi) = \frac{|\vec{b}| \sin(\theta)}{|\vec{a}| + |\vec{b}| \cos(\theta)}$
दिए गए मान $|\vec{b}| = 2$,$\theta = 60^{\circ}$,और $\phi = 45^{\circ}$ रखने पर:
$\tan(45^{\circ}) = \frac{2 \sin(60^{\circ})}{|\vec{a}| + 2 \cos(60^{\circ})}$
चूंकि $\tan(45^{\circ}) = 1$,$\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,और $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$ है:
$1 = \frac{2 \times (\frac{\sqrt{3}}{2})}{|\vec{a}| + 2 \times (\frac{1}{2})}$
$1 = \frac{\sqrt{3}}{|\vec{a}| + 1}$
$|\vec{a}| + 1 = \sqrt{3}$
$|\vec{a}| = \sqrt{3} - 1$ इकाई।

(B) सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार,सभी गैर-शून्य अंक सार्थक होते हैं।
इसके अतिरिक्त,दशमलव बिंदु वाली संख्या में अंत में आने वाले शून्य सार्थक होते हैं।
संख्या $4.870$ में,अंक $4, 8, 7$ गैर-शून्य हैं और दशमलव बिंदु के बाद आने वाला अंतिम शून्य भी सार्थक है।
इसलिए,सार्थक अंकों की कुल संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है: $V = 50 \text{ V}$,$\Delta V = 3 \text{ V}$ और $I = 5 \text{ A}$,$\Delta I = 0.1 \text{ A}$.
ओम के नियम से,$R = \frac{V}{I}$.
प्रतिरोध $R$ में सापेक्ष त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} = \frac{\Delta V}{V} + \frac{\Delta I}{I}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta R}{R} = \frac{3}{50} + \frac{0.1}{5}$.
$\frac{\Delta R}{R} = 0.06 + 0.02 = 0.08$.
प्रतिशत त्रुटि $\frac{\Delta R}{R} \times 100 = 0.08 \times 100 = 8 \%$ है।

(B) दो सदिशों $\overrightarrow{r}$ और $\overrightarrow{F}$ का सदिश गुणनफल (cross product) सारणिक विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ r_x & r_y & r_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$
यहाँ $\overrightarrow{r} = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ m}$ और $\overrightarrow{F} = (4 \hat{i} - 10 \hat{j} + 0 \hat{k}) \text{ N}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & -3 & 0 \\ 4 & -10 & 0 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-3)(0) - (0)(-10)) - \hat{j}((-5)(0) - (0)(4)) + \hat{k}((-5)(-10) - (-3)(4))$
$= \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(50 - (-12))$
$= \hat{k}(50 + 12) = 62 \hat{k} \text{ Nm}$.

(C) दो सदिशों $\overrightarrow{A}$ और $\overrightarrow{B}$ का सदिश गुणनफल $\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin \theta \hat{n}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दो समांतर सदिशों के लिए,उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ होता है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B} = AB \sin(0^\circ) \hat{n} = AB(0) \hat{n} = \vec{0}$.
अतः,दो समांतर सदिशों का सदिश गुणनफल एक शून्य सदिश होता है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) बर्नौली के समीकरण से प्राप्त टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
यहाँ $g = 10 \,m/s^2$ और $h = 10 \,m$ दिया गया है, इसलिए $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 14.14 \,m/s$ प्राप्त होता है।
छेद का व्यास $d = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$ है, इसलिए त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3} \,m$ होगी।
छेद का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-6} = 12.56 \times 10^{-6} \,m^2$ है।
प्रवाह की दर $Q = A \times v$ द्वारा दी जाती है।
$Q = (12.56 \times 10^{-6} \,m^2) \times (14.14 \,m/s) \approx 177.6 \times 10^{-6} \,m^3/s = 1.776 \times 10^{-4} \,m^3/s$।

(A) सिर और पैरों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, $\rho = 1.1 \times 10^3 \,kg \,m^{-3}$, $g = 10 \,ms^{-2}$, और $h = 1.65 \,m$ है।
$\Delta P = 1.1 \times 10^3 \times 10 \times 1.65 = 1.815 \times 10^4 \,Pa$.
रक्त वाहिका पर इस दबाव को संतुलित करने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times A$ है, जहाँ $A$ रक्त वाहिका का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
रक्त वाहिका $L = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$ लंबाई और $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ व्यास (त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-3} \,m$) वाला एक बेलन है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल) $A = 2 \pi r L$ है।
$A = 2 \times 3.14159 \times 0.5 \times 10^{-3} \times 10^{-2} = 3.14159 \times 10^{-5} \,m^2$.
$F = (1.815 \times 10^4) \times (3.14159 \times 10^{-5}) \approx 0.57 \,N$.

(B) $h$ गहराई पर गेज दबाव $P_g$ का सूत्र $P_g = \rho g h$ है।
दिया गया है:
समुद्र के पानी का घनत्व $\rho = 1025 \,kg \,m^{-3}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,ms^{-2}$
गहराई $h = 50 \,m$
सूत्र में मान रखने पर:
$P_g = 1025 \times 10 \times 50$
$P_g = 1025 \times 500$
$P_g = 512500 \,Pa$.

(A) द्रव स्तंभ के तल पर गेज दाब $P_g$ ज्ञात करने का सूत्र है: $P_g = \rho gh$।
यहाँ,तेल का घनत्व $\rho = 850 \,kg \,m^{-3}$,तेल स्तंभ की ऊँचाई $h = 4 \,m$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m \,s^{-2}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P_g = 850 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 4 \,m$
$P_g = 34000 \,Pa$
चूँकि $1 \,kPa = 1000 \,Pa$,इसलिए $P_g = 34 \,kPa$ प्राप्त होता है।

(B) रीजेलेशन (Regelation) एक भौतिक घटना है जिसमें दाब लगाने पर पानी का हिमांक कम हो जाता है। जब दाब हटा दिया जाता है,तो पानी फिर से जम जाता है। यही कारण है कि बर्फ को दबाकर विभिन्न आकृतियों में ढाला जा सकता है,क्योंकि दाब के तहत बर्फ पिघल जाती है और दाब हटने पर फिर से जम जाती है।

(D) दिया गया है:
गहराई, $h = 3 \,m$
पानी का घनत्व, $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3} = 10^3 \,kg \,m^{-3}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,m \,s^{-2}$
पानी के स्तंभ के कारण पूल के तल पर दबाव $P$ की गणना हाइड्रोस्टेटिक दबाव सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
$P = \rho g h$
दिए गए मानों को रखने पर:
$P = 10^3 \,kg \,m^{-3} \times 10 \,m \,s^{-2} \times 3 \,m$
$P = 30 \times 10^3 \,Pa$
अतः, तल पर दबाव $30 \times 10^3 \,Pa$ है।

(B) दिया गया है: केशिका नली की त्रिज्या $r = 0.1 \,mm = 0.1 \times 10^{-3} \,m$.
पानी के चढ़ने की ऊँचाई $h = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$.
पृष्ठ तनाव $T = 0.072 \,N/m$.
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \,kg/m^3$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$.
केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho g r}$ है।
$\cos \theta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\cos \theta = \frac{h \rho g r}{2T}$.
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{(2 \times 10^{-2}) \times (10^3) \times (10) \times (0.1 \times 10^{-3})}{2 \times 0.072}$.
$\cos \theta = \frac{2 \times 10^{-2} \times 10^4 \times 0.1 \times 10^{-3}}{0.144} = \frac{0.02}{0.144} = \frac{20}{144} = \frac{1}{7.2}$.
अतः, $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7.2}\right)$.

(D) प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi r^2 + 4 \pi (2r)^2 = 4 \pi r^2 + 16 \pi r^2 = 20 \pi r^2$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $E_i = A_i S = 20 \pi r^2 S$.
आयतन संरक्षण के अनुसार: $\frac{4}{3} \pi r^3 + \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$r^3 + 8r^3 = R^3 \implies R^3 = 9r^3 \implies R = 9^{1/3} r$.
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (9^{1/3} r)^2 = 4 \pi (9^{2/3}) r^2$.
दिया गया है $9^{2/3} = 4.326$,इसलिए $A_f = 4 \pi (4.326) r^2 = 17.304 \pi r^2$.
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $E_f = 17.304 \pi r^2 S$.
मुक्त हुई ऊर्जा $\Delta E = E_i - E_f = 20 \pi r^2 S - 17.304 \pi r^2 S = 2.696 \pi r^2 S \approx 2.7 \pi r^2 S$.

(D) श्यान तरल में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v_T$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 0.05 \,cm = 0.05 \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-4} \,m$.
स्टील का घनत्व $\rho = 7.8 \,g/cm^3 = 7800 \,kg/m^3$.
पानी का घनत्व $\sigma = 1 \,g/cm^3 = 1000 \,kg/m^3$.
श्यानता $\eta = 0.001 \,Pa \cdot s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$.
मान रखने पर:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(5 \times 10^{-4})^2 \times 9.8 \times (7800 - 1000)}{0.001}$.
गणना करने पर $v_T = 3.77 \,m/s$ प्राप्त होता है।

(C) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B$ को $B = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = \text{नियतांक}$ होता है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $P + V \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $V \frac{dP}{dV} = -P$।
अतः, समतापीय आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B_{\text{isothermal}} = -(-P) = P$ होता है।

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन,$V = 2000 \text{ cm}^3 = 2000 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 2 \times 10^{-3} \text{ m}^3$.
आयतन में परिवर्तन,$\Delta V = 5 \times 10^{-2} \text{ cm}^3 = 5 \times 10^{-2} \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$.
दबाव,$P = 15 \text{ atm} = 15 \times 10^5 \text{ Nm}^{-2}$.
बल्क मॉडुलस $(B)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$B = \frac{P}{\left(\frac{\Delta V}{V}\right)} = \frac{P \times V}{\Delta V}$
मान रखने पर:
$B = \frac{15 \times 10^5 \times 2 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-8}}$
$B = \frac{30 \times 10^2}{5 \times 10^{-8}}$
$B = 6 \times 10^{10} \text{ Nm}^{-2}$.

(B) कांच के स्लैब पर लगाया गया हाइड्रोलिक दबाव $P = 14 \,atm$ है। इसे पास्कल $(Pa)$ में बदलने पर:
$P = 14 \times 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 14.182 \times 10^5 \,Pa$।
दिया गया बल्क मापांक $B = 40 \times 10^9 \,N/m^2$ है।
बल्क मापांक का सूत्र $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ है, जहाँ $\frac{\Delta V}{V}$ आयतन में आंशिक परिवर्तन है।
इसलिए, आयतन में आंशिक परिवर्तन:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{P}{B}$।
मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{14 \times 1.013 \times 10^5}{40 \times 10^9} = \frac{14.182 \times 10^5}{40 \times 10^9} = 0.35455 \times 10^{-4} = 3.5455 \times 10^{-5}$।
निकटतम विकल्प के अनुसार, उत्तर $3.54 \times 10^{-5}$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V = 4000 \ cc$।
आयतन में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta V}{V} = 0.05 \% = \frac{0.05}{100} = 0.0005$।
बल्क मापांक $B = 2.2 \times 10^9 \ N/m^2$।
बल्क मापांक का सूत्र $B = -\frac{P}{\Delta V/V}$ है,जहाँ $P$ लगाया गया दबाव है।
परिमाण लेने पर,$P = B \times \frac{\Delta V}{V}$।
मान रखने पर: $P = (2.2 \times 10^9) \times (0.0005)$।
$P = 2.2 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-4} = 11 \times 10^5 = 1.1 \times 10^6 \ N/m^2$।

(B) आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $K$ को $K = -V \frac{dP}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^\gamma = \text{नियतांक}$ है।
दोनों पक्षों का $V$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^\gamma \frac{dP}{dV} = 0$ प्राप्त होता है।
$V^{\gamma-1}$ से भाग देने पर,हमें $\gamma P + V \frac{dP}{dV} = 0$ मिलता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$V \frac{dP}{dV} = -\gamma P$ प्राप्त होता है।
इस मान को आयतन प्रत्यास्थता गुणांक की परिभाषा में रखने पर,$K = -(-\gamma P) = \gamma P$ प्राप्त होता है।

(B) पर्वत के अपने वजन के कारण उसके आधार पर लगने वाला दबाव चट्टान की प्रत्यास्थ सीमा से अधिक नहीं होना चाहिए ताकि वह विकृत न हो।
मान लीजिए $h$ अधिकतम ऊँचाई है,$\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
आधार पर लगने वाला दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
इसे चट्टान की प्रत्यास्थ सीमा के बराबर रखने पर:
$h \rho g = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h \times (3 \times 10^3 \ kg m^{-3}) \times (10 \ m s^{-2}) = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
$h \times (3 \times 10^4) = 30 \times 10^7$.
$h = \frac{30 \times 10^7}{3 \times 10^4} = 10 \times 10^3 \ m$.
$h = 10,000 \ m = 10 \ km$.

(D) स्प्रिंग नियतांक $K$ को हुक के नियम के अनुसार $K = \frac{F}{x}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $F$ आरोपित बल है और $x$ विस्तार है।
स्प्रिंग $A$ के लिए दिया गया है: $F_A = 20 \,N$, $x_A = 8 \,cm$.
स्प्रिंग $B$ के लिए दिया गया है: $F_B = 10 \,N$, $x_B = 16 \,cm$.
स्प्रिंग नियतांकों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{F_A / x_A}{F_B / x_B} = \frac{F_A}{x_A} \times \frac{x_B}{F_B}$
मान रखने पर:
$\frac{K_A}{K_B} = \frac{20}{8} \times \frac{16}{10} = 2.5 \times 1.6 = 4$
अतः, अनुपात $K_A : K_B = 4 : 1$ है।

(B) दिया गया है: छड़ की त्रिज्या $r = 20 \ mm = 20 \times 10^{-3} \ m$,लंबाई $L = 2 \ m$,बल $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
प्रतिबल (Stress) = $\frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
मान रखने पर: $\text{Stress} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times (20 \times 10^{-3})^2} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times 400 \times 10^{-6}} = 3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
विकृति (Strain) = $\frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8}{2 \times 10^{11}} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.
अतः,प्रतिबल और विकृति के मान $3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ और $0.16 \%$ हैं।

(D) दिया गया है: लंबाई $l = 1 \,m$, व्यास $d = 10 \,cm = 0.1 \,m$, त्रिज्या $r = 0.05 \,m$, बल $F = 100 \,kN = 10^5 \,N$, यंग मापांक $Y = 70 \,GPa = 70 \times 10^9 \,Pa$.
यंग मापांक के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$, जहाँ $A = \pi r^2$.
विस्तार $\Delta l$ के लिए सूत्र: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 Y}$.
मान रखने पर: $\Delta l = \frac{10^5 \times 1}{3.14159 \times (0.05)^2 \times 70 \times 10^9}$.
$\Delta l = \frac{10^5}{3.14159 \times 0.0025 \times 70 \times 10^9} = \frac{10^5}{549.78 \times 10^6} \approx 1.81 \times 10^{-4} \,m$.

(A) दिया गया है: बल $F = 50 \text{ kN} = 50 \times 10^3 \text{ N}$.
आयाम: $40 \text{ mm} \times 20 \text{ mm} = 40 \times 10^{-3} \text{ m} \times 20 \times 10^{-3} \text{ m} = 800 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
कर्तन मापांक $G = 40 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2}$.
प्रतिबल $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{50 \times 10^3}{800 \times 10^{-6}} = \frac{50 \times 10^9}{800} = 0.0625 \times 10^9 \text{ Nm}^{-2} = 6.25 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2}$.
विकृति $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{G} = \frac{6.25 \times 10^7}{40 \times 10^9} = \frac{6.25}{40} \times 10^{-2} = 0.15625 \times 10^{-2} = 1.5625 \times 10^{-3}$.
अतः,विकृति लगभग $1.56 \times 10^{-3}$ है।

(C) जब '$l$' लंबाई,'$b$' चौड़ाई और '$d$' मोटाई वाली छड़ को दोनों सिरों पर सहारा देकर उसके केंद्र पर '$W$' भार लटकाया जाता है,तो उत्पन्न झुकाव (sag) '$\delta$' का सूत्र निम्नलिखित है:
$\delta = \frac{W l^3}{4 Y b d^3}$
यहाँ,'$W$' भार है,'$l$' लंबाई है,'$Y$' यंग मापांक है,'$b$' चौड़ाई है और '$d$' मोटाई है।
इस सूत्र की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प '$C$' सही उत्तर है।

(D) ब्लॉक का द्रव्यमान, $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$.
प्रारंभिक विस्तार, $x = 1 \,cm = 0.01 \,m$.
संतुलन की स्थिति में, स्प्रिंग बल वजन के बराबर होता है: $kx = mg$.
स्प्रिंग नियतांक $k = \frac{mg}{x} = \frac{0.02 \times 10}{0.01} = 20 \,N/m$.
जब ब्लॉक पानी में डूब जाता है, तो उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = \rho_w V g$ लगता है, जहाँ $V = \frac{m}{\rho_c}$.
नई संतुलन स्थिति $kx' + F_B = mg$ है, जहाँ $x'$ नया विस्तार है。
$kx' = mg - \rho_w \left(\frac{m}{\rho_c}\right) g = mg \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right)$.
$x' = \frac{mg}{k} \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_c}\right) = x \left(1 - \frac{1000}{9000}\right)$.
$x' = 0.01 \times \left(1 - \frac{1}{9}\right) = 0.01 \times \frac{8}{9} \approx 0.00888 \,m$.
$x' \approx 0.89 \,cm$.

(B) दिया गया है: तन्य बल $F = 1000 \,N$, लंबाई $L = 1 \,m$, लंबाई में परिवर्तन $\Delta L = 0.25 \,cm = 0.25 \times 10^{-2} \,m$, यंग मापांक $Y = 10^{11} \,Pa$.
यंग मापांक का सूत्र $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ है, जहाँ $A = \pi r^2$.
$r^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r^2 = \frac{FL}{Y \Delta L \pi}$.
मान रखने पर: $r^2 = \frac{1000 \times 1}{10^{11} \times 0.25 \times 10^{-2} \times \pi} = \frac{1000}{10^9 \times 0.25 \times \pi} = \frac{1}{0.25 \times \pi \times 10^6} = \frac{4}{\pi \times 10^6}$.
वर्गमूल लेने पर: $r = \frac{2}{\sqrt{\pi} \times 10^3} = \frac{2}{1.77 \times 10^3} \approx 1.13 \times 10^{-3} \,m = 1.13 \,mm$.
व्यास $d = 2r = 2 \times 1.13 \,mm = 2.26 \,mm$.

(C) प्रारंभिक वेग $v_{i}$ के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंके गए पिंड का वेग गति के समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$v_{f} = v_{i} - gt$
जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $t$ समय है।
$1$. प्रारंभ में,वेग धनात्मक $(v_{i})$ होता है और जैसे-जैसे पिंड ऊपर जाता है,समय के साथ रैखिक रूप से घटता है।
$2$. अधिकतम ऊँचाई पर,$t = \frac{v_{i}}{g}$ समय पर वेग शून्य $(v_{f} = 0)$ हो जाता है।
$3$. अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचने के बाद,पिंड नीचे की ओर गति करना शुरू कर देता है,इसलिए वेग ऋणात्मक हो जाता है और समय के साथ इसका परिमाण रैखिक रूप से बढ़ता है।
यह व्यवहार एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाया गया है जिसका ढाल स्थिर ऋणात्मक $(-g)$ है,जो धनात्मक $v$-अक्ष से गुजरती है,$t = \frac{v_{i}}{g}$ पर $t$-अक्ष को काटती है और ऋणात्मक $v$-क्षेत्र में जारी रहती है। ग्राफ $C$ वेग में धनात्मक मान से ऋणात्मक मान तक की इस रैखिक कमी को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) गति के दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$S = ut + \frac{1}{2}at^2$।
चूंकि पिंडों को गिराया जाता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ और त्वरण $a = g$ है।
पहले पिंड के लिए,$h_1 = \frac{1}{2}gt_1^2$,जिसका अर्थ है $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$।
दूसरे पिंड के लिए,$h_2 = \frac{1}{2}gt_2^2$,जिसका अर्थ है $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$।
लिए गए समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ है।

(B) मान लीजिए कि शांत जल में नाव की गति $v_b$ है और धारा की गति $v_s$ है。
धारा के अनुकूल गति $v_b + v_s = \frac{16 \, km}{2 \, h} = 8 \, km/h$ है。
धारा के प्रतिकूल गति $v_b - v_s = \frac{16 \, km}{4 \, h} = 4 \, km/h$ है。
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(v_b + v_s) + (v_b - v_s) = 8 + 4$ प्राप्त होता है。
$2v_b = 12 \, km/h$。
अतः, शांत जल में नाव की गति $v_b = 6 \, km/h$ है。

(D) माना एस्केलेटर की दूरी $D$ है।
बंद एस्केलेटर पर व्यक्ति के चलने की गति $v_p = \frac{D}{80}$ है।
चलते हुए एस्केलेटर की गति $v_e = \frac{D}{20}$ है।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर चलता है, तो उसकी प्रभावी गति $v_{eff} = v_p + v_e$ होती है।
$v_{eff} = \frac{D}{80} + \frac{D}{20} = \frac{D + 4D}{80} = \frac{5D}{80} = \frac{D}{16}$.
चलते हुए एस्केलेटर पर ऊपर जाने में लगा समय $t = \frac{D}{v_{eff}} = \frac{D}{D/16} = 16 \,s$ होगा।

(C) कण का वेग $v = \sqrt{196 - 16x}$ द्वारा दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $v^2 = 196 - 16x$ प्राप्त होता है।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(v^2) = \frac{d}{dt}(196 - 16x)$
$2v \frac{dv}{dt} = -16 \frac{dx}{dt}$
हम जानते हैं कि त्वरण $a = \frac{dv}{dt}$ और वेग $v = \frac{dx}{dt}$ होता है, इसलिए इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2v \cdot a = -16v$
दोनों पक्षों को $2v$ से विभाजित करने पर (मानते हुए कि $v \neq 0$):
$a = -8 \text{ m/s}^2$.
अतः, कण का त्वरण $-8 \text{ m/s}^2$ स्थिर है।

(C) मान लीजिए कुल दूरी $d$ है।
पहली आधी दूरी $(d/2)$ के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d/2}{V_1} = \frac{d}{2V_1}$ है।
दूसरी आधी दूरी $(d/2)$ के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d/2}{V_2} = \frac{d}{2V_2}$ है।
औसत वेग को कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
औसत वेग $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
$t_1$ और $t_2$ के मान रखने पर:
औसत वेग $= \frac{d}{\frac{d}{2V_1} + \frac{d}{2V_2}} = \frac{d}{\frac{d}{2} \left( \frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2} \right)} = \frac{1}{\frac{1}{2} \left( \frac{V_1 + V_2}{V_1 V_2} \right)} = \frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$.
ध्यान दें कि $\frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2}$ का मान $\frac{2}{\frac{1}{V_1} + \frac{1}{V_2}}$ के बराबर है,जो विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(A) मान लीजिए कि दोनों वाहनों का संवेग $p$ है। ब्रेकिंग बल $F$ दोनों के लिए समान है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,ब्रेकिंग बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$|W| = |\Delta K|$
$F \cdot S = \frac{p^2}{2m}$
इस प्रकार,रुकने की दूरी $S = \frac{p^2}{2mF}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $p$ और $F$ दोनों वाहनों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $S \propto \frac{1}{m}$ है।
अतः,ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $(S_T)$ और कार द्वारा तय की गई दूरी $(S_C)$ का अनुपात है:
$\frac{S_T}{S_C} = \frac{m_C}{m_T} = \frac{M/10}{M} = \frac{1}{10}$.
इसलिए,अनुपात $1: 10$ है।

(B) $\text{ऊर्ध्वाधर रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए उड्डयन काल } T = \frac{2u}{g} \text{ द्वारा दिया जाता है।}
\text{यहाँ } T = 8 \,s \text{ और } g = 10 \,m/s^2 \text{ दिया गया है,इसलिए } 8 = \frac{2u}{10},\text{जिससे प्रारंभिक वेग } u = 40 \,m/s \text{ प्राप्त होता है।}
\text{समय } t = 6 \,s \text{ के बाद पत्थर की स्थिति } h \text{ गति के समीकरण } h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{मान रखने पर: } h = (40 \times 6) - \frac{1}{2} \times 10 \times (6)^2.
h = 240 - 5 \times 36.
h = 240 - 180 = 60 \,m.
\text{अतः, } 6 \,s \text{ के बाद पत्थर की स्थिति } 60 \,m \text{ है।}$

(C) माना कि ट्रक $v_t = 12 \,m/s$ के निरंतर वेग से चल रहा है और कार विरामावस्था $(u_c = 0)$ से $a_c = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होती है।
माना कि कार को ट्रक तक पहुँचने में लगा समय $t$ है।
समय $t$ में, ट्रक द्वारा तय की गई दूरी $s_t = v_t \times t = 12t$ है।
कार द्वारा तय की गई दूरी $s_c = u_c t + \frac{1}{2} a_c t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2 = t^2$ है।
कार द्वारा ट्रक को पार करने के लिए, दोनों द्वारा तय की गई दूरी समान होनी चाहिए: $s_c = s_t$।
इसलिए, $t^2 = 12t$।
चूँकि $t \neq 0$, इसलिए $t = 12 \,s$ है।
कार द्वारा तय की गई दूरी $s_c = t^2 = (12)^2 = 144 \,m$ होगी।

(A) मान लीजिए प्रारंभिक वेग $u$ है और समान त्वरण $a$ है।
गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
पहले $2 \,s$ के लिए,$S_1 = 200 \,m$:
$200 = u(2) + \frac{1}{2}a(2)^2 \implies 200 = 2u + 2a \implies u + a = 100$ ...$(1)$
पहले $6 \,s$ के लिए (पहले $2 \,s$ + अगले $4 \,s$),कुल दूरी $S_2 = 200 + 220 = 420 \,m$:
$420 = u(6) + \frac{1}{2}a(6)^2 \implies 420 = 6u + 18a \implies u + 3a = 70$ ...$(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(u + 3a) - (u + a) = 70 - 100 \implies 2a = -30 \implies a = -15 \,m/s^2$
समीकरण $(1)$ में $a$ का मान रखने पर:
$u - 15 = 100 \implies u = 115 \,m/s$
$t = 7 \,s$ के बाद वेग $v = u + at$ द्वारा प्राप्त होता है:
$v = 115 + (-15)(7) = 115 - 105 = 10 \,m/s$.

(C) गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करते हुए,$v_f^2 - v_i^2 = 2as$।
मान लीजिए ट्रेन की कुल लंबाई $L$ है।
जब इंजन पेड़ को पार करता है,तो प्रारंभिक वेग $u$ है। जब अंतिम डिब्बा पेड़ को पार करता है,तो ट्रेन ने अपनी लंबाई $L$ के बराबर दूरी तय कर ली होती है और उसका अंतिम वेग $v$ होता है।
अतः,$v^2 - u^2 = 2aL$,जिससे $a = \frac{v^2 - u^2}{2L}$ प्राप्त होता है ....$(1)$
अब,मध्य डिब्बे पर विचार करें। यह इंजन से $\frac{L}{2}$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $v_m$ मध्य डिब्बे का वेग है जब वह पेड़ को पार करता है।
$\frac{L}{2}$ दूरी के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$v_m^2 - u^2 = 2a(\frac{L}{2}) = aL$।
समीकरण $(1)$ से $a$ का मान रखने पर:
$v_m^2 = u^2 + (\frac{v^2 - u^2}{2L}) \times L$
$v_m^2 = u^2 + \frac{v^2 - u^2}{2} = \frac{2u^2 + v^2 - u^2}{2} = \frac{v^2 + u^2}{2}$
इसलिए,$v_m = \sqrt{\frac{v^2 + u^2}{2}}$।

(B) कण का वेग $v = 4t$ द्वारा दिया गया है। चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
हम जानते हैं कि कण द्वारा तय की गई दूरी $S$,समय के सापेक्ष वेग के समाकलन (integral) द्वारा दी जाती है:
$S = \int_{0}^{t} v \ dt$
$v$ के लिए दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$S = \int_{0}^{4} 4t \ dt$
$S = 4 \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4}$
$S = 2 \times [t^2]_{0}^{4}$
$S = 2 \times (4^2 - 0^2)$
$S = 2 \times 16 = 32 \ m$
वैकल्पिक रूप से,गति के समीकरण $v = u + at$ का उपयोग करते हुए,$v = 4t$ की तुलना $v = 0 + at$ से करने पर त्वरण $a = 4 \ m s^{-2}$ प्राप्त होता है।
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करने पर:
$S = 0(4) + \frac{1}{2}(4)(4)^2 = 2 \times 16 = 32 \ m$.

(A) अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
कोण $\theta$ के लिए,$H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$।
कोण $(90^{\circ}-\theta)$ के लिए,$H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$।
क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
$H_1$ और $H_2$ का गुणा करने पर:
$H_1 H_2 = \left(\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}\right) \left(\frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}\right) = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$।
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $H_1 H_2 = \frac{(2u^2 \sin \theta \cos \theta)^2}{16g^2} = \frac{R^2}{16}$।
अतः,$R^2 = 16 H_1 H_2$,जिससे $R = 4 \sqrt{H_1 H_2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए समीकरण $2Y = 6t - gt^2$ और $X = 4t$ हैं।
सबसे पहले, ऊर्ध्वाधर विस्थापन समीकरण को सरल करने पर: $Y = 3t - \frac{1}{2}gt^2$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज वेग घटक $V_x = \frac{dX}{dt} = \frac{d}{dt}(4t) = 4 \,m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर वेग घटक $V_y = \frac{dY}{dt} = \frac{d}{dt}(3t - \frac{1}{2}gt^2) = 3 - gt$ है।
प्रारंभिक क्षण $t = 0$ पर, ऊर्ध्वाधर वेग $V_{y0} = 3 - g(0) = 3 \,m/s$ होगा।
प्रारंभिक वेग $V_i$, $t = 0$ पर वेग सदिश का परिमाण है: $V_i = \sqrt{V_x^2 + V_{y0}^2}$।
मान रखने पर: $V_i = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,m/s$।

(C) चौड़ाई वाली नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{V \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ तैराक द्वारा नदी के प्रवाह के लंबवत के साथ बनाया गया कोण है।
समय $t$ को न्यूनतम करने के लिए,हर $V \cos \theta$ को अधिकतम होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\cos \theta$ अधिकतम हो,जो $\theta = 0^{\circ}$ पर होता है।
इसलिए,कम से कम समय में नदी को पार करने के लिए तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत तैरना चाहिए।

(D) किसी बल $\vec{F}$ द्वारा $\vec{v}$ वेग से गतिमान वस्तु पर लगाई गई शक्ति $P$, बल और वेग सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दी जाती है: $P = \vec{F} \cdot \vec{v}$।
दिया गया है:
$\vec{v} = 7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k} \text{ m/s}$
$\vec{F} = 9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k} \text{ N}$
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$P = (9 \hat{i} + 3 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (7 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k})$
$P = (9 \times 7) + (3 \times 2) + (-3 \times -5)$
$P = 63 + 6 + 15$
$P = 84 \text{ W}$

(B) फ्लाईव्हील का प्रारंभिक कोणीय वेग, $\omega_0 = 150 \text{ rev/minute}$.
इसे $\text{rad/s}$ में बदलने पर:
$\omega_0 = \frac{150 \times 2\pi}{60} \text{ rad/s} = 5\pi \text{ rad/s}$.
जब पहिया स्थिर हो जाता है तो अंतिम कोणीय वेग, $\omega = 0 \text{ rad/s}$.
निरंतर मंदन, $\alpha = -\pi \text{ rad/s}^2$ (ऋणात्मक चिह्न धीमे होने को दर्शाता है)।
घूर्णी गति के प्रथम समीकरण का उपयोग करते हुए, $\omega = \omega_0 + \alpha t$:
$0 = 5\pi + (-\pi)t$.
$t = \frac{5\pi}{\pi} = 5 \text{ s}$.

(C) दिया गया है: वस्तु का द्रव्यमान,$m = 10 \,g = 10 \times 10^{-3} \,kg = 0.01 \,kg$.
डोरी की लंबाई (त्रिज्या),$r = 0.4 \,m$.
वस्तु की गति,$v = 6 \,m/s$.
क्षैतिज वृत्तीय गति में,डोरी में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
अभिकेंद्र बल का सूत्र $T = \frac{mv^2}{r}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{0.01 \times (6)^2}{0.4}$
$T = \frac{0.01 \times 36}{0.4}$
$T = \frac{0.36}{0.4} = 0.9 \,N$.
अतः,डोरी में तनाव $0.9 \,N$ है।

(C) पिंड की चाल $v = 20 \,m/s$ है।
एकसमान वृत्तीय गति में, वेग सदिश हमेशा वृत्त के स्पर्शरेखीय होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = v \hat{j}$ (उत्तर दिशा की ओर) है।
आधे चक्कर के बाद, पिंड विपरीत दिशा में गति करता है, इसलिए अंतिम वेग $\vec{v}_2 = -v \hat{j}$ (दक्षिण दिशा की ओर) होगा।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v}$ इस प्रकार है:
$\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$
$\Delta \vec{v} = (-v \hat{j}) - (v \hat{j}) = -2v \hat{j}$
वेग में परिवर्तन का परिमाण है:
$|\Delta \vec{v}| = |-2v| = 2v$
$v = 20 \,m/s$ का मान रखने पर:
$|\Delta \vec{v}| = 2 \times 20 = 40 \,m/s$.

(B) दो सेल समानांतर क्रम में जुड़े हैं। माना कि दो सेलों के $EMF$ $E_1 = 12 \,V$ और $E_2 = 6 \,V$ हैं और उनके आंतरिक प्रतिरोध क्रमशः $r_1 = 3 \,\Omega$ और $r_2 = 6 \,\Omega$ हैं।
समानांतर संयोजन के लिए समतुल्य $EMF$ $(E_{eq})$ और समतुल्य आंतरिक प्रतिरोध $(r_{eq})$ का सूत्र उपयोग करने पर:
$E_{eq} = \frac{\frac{E_1}{r_1} + \frac{E_2}{r_2}}{\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}} = 10 \,V$
$r_{eq} = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2} = 2 \,\Omega$
बाह्य प्रतिरोध $R = 4 \,\Omega$ है।
परिपथ में कुल धारा $I = \frac{E_{eq}}{R + r_{eq}} = \frac{10}{4 + 2} = 1.67 \,A$.
हालांकि,यदि हम यह मान लें कि सेल श्रेणी क्रम में हैं,तो $E_{net} = 12-6 = 6 \,V$ और $R_{net} = 3+6+4 = 13 \,\Omega$ होगा,जिससे $I = 6/13 \approx 0.5 \,A$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(C) तुल्य emf,$E_{eq} = E + E = 2E$
तुल्य प्रतिरोध,$R_{eq} = r_1 + r_2 + R$
परिपथ में प्रवाहित धारा,$i = \frac{2E}{r_1 + r_2 + R}$
पहले सेल के सिरों पर विभवांतर $V_1 = E - ir_1$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $V_1 = 0$,इसलिए:
$0 = E - ir_1$
$E = ir_1$
$i$ का मान रखने पर:
$E = \left( \frac{2E}{r_1 + r_2 + R} \right) r_1$
$1 = \frac{2r_1}{r_1 + r_2 + R}$
$r_1 + r_2 + R = 2r_1$
$R = 2r_1 - r_1 - r_2$
$R = r_1 - r_2$

(C) दिया गया है: धारा $I = 2 \, A$, विभवांतर $\Delta V = 3.4 \, V$, द्रव्यमान $m = 8.92 \times 10^{-3} \, kg$, घनत्व $d = 8.92 \times 10^3 \, kg/m^3$, प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8} \, \Omega m$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, प्रतिरोध $R$:
$R = \frac{\Delta V}{I} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \, \Omega$.
तार का आयतन $V_{ol}$:
$V_{ol} = \frac{m}{d} = \frac{8.92 \times 10^{-3}}{8.92 \times 10^3} = 10^{-6} \, m^3$.
हम जानते हैं कि प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ होता है। चूंकि $V_{ol} = A \times L$, इसलिए $A = \frac{V_{ol}}{L}$.
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर:
$R = \rho \frac{L}{(V_{ol}/L)} = \frac{\rho L^2}{V_{ol}}$.
$L^2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$L^2 = \frac{R \times V_{ol}}{\rho} = \frac{1.7 \times 10^{-6}}{1.7 \times 10^{-8}} = 10^2$.
अतः, तार की लंबाई $L = 10 \, m$ है।

(B) तार का प्रतिरोध $R = \frac{L}{\sigma A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L$ लंबाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $\sigma$ चालकता है।
दो तारों को श्रेणीक्रम में जोड़ने पर,कुल प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$ होता है।
संयुक्त तार की कुल लंबाई $2L$ है और क्षेत्रफल $A$ समान रहता है।
प्रतिरोध के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2L}{\sigma_{eq} A} = \frac{L}{\sigma_1 A} + \frac{L}{\sigma_2 A}$.
दोनों पक्षों से $L$ और $A$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\frac{2}{\sigma_{eq}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$.
अतः,प्रभावी चालकता $\sigma_{eq} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$ है।

(C) माना प्लेट $A$ की भुजा की लंबाई $L$ है। तो प्लेट $B$ की भुजा की लंबाई $2L$ होगी।
चूंकि दोनों $t$ मोटाई की वर्गाकार प्लेटें हैं, इसलिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_{cs} = \text{भुजा} \times t$ द्वारा दिया जाता है।
प्लेट $A$ के लिए: $L_A = L$ (धारा की दिशा में लंबाई), $A_{cs,A} = L \times t$।
प्लेट $B$ के लिए: $L_B = 2L$ (धारा की दिशा में लंबाई), $A_{cs,B} = 2L \times t$।
प्रतिरोध के सूत्र $R = \frac{\rho L}{A_{cs}}$ का उपयोग करने पर:
$R_A = \frac{\rho L}{Lt} = \frac{\rho}{t}$
$R_B = \frac{\rho (2L)}{(2L)t} = \frac{\rho}{t}$
अतः, $\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho/t}{\rho/t} = 1$।

(B) मान लीजिए तार की मूल लंबाई $L$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है। मूल प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ है।
मान लीजिए लंबाई का $x$ भाग $n = 1.5$ के गुणक से खींचा जाता है।
कुल लंबाई $L_{total} = (1-x)L + xLn = L(1 - x + 1.5x) = L(1 + 0.5x)$ है।
दिया गया है $L_{total} = 1.5L$,इसलिए $1 + 0.5x = 1.5 \implies x = 1$ है।
प्रतिरोध के लिए: $R_{total} = R_s + R_u = n^2(xR) + (1-x)R = 2.25xR + (1-x)R = R(1 + 1.25x)$ है।
$R_{total} = 4R$ के लिए,$1 + 1.25x = 4 \implies 1.25x = 3 \implies x = 2.4$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\frac{1}{8}$ है।

(A) मान लीजिए कि दो प्रतिरोध $R_1$ और $R_2$ हैं। मीटर ब्रिज में,संतुलन की स्थिति $\frac{R_1}{R_2} = \frac{L}{100-L}$ होती है।
दिया गया है $L = 20 \ cm$,इसलिए $\frac{R_1}{R_2} = \frac{20}{100-20} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$।
इसका अर्थ है $R_2 = 4R_1$। अतः $R_1$ छोटा प्रतिरोध है।
जब $R_1$ के साथ श्रेणीक्रम में $15 \ \Omega$ जोड़ा जाता है,तो नया प्रतिरोध $R_1' = R_1 + 15$ हो जाता है।
नया संतुलन बिंदु $L' = 40 \ cm$ है।
संतुलन स्थिति का पुनः उपयोग करने पर: $\frac{R_1 + 15}{R_2} = \frac{40}{100-40} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$।
समीकरण में $R_2 = 4R_1$ रखने पर: $\frac{R_1 + 15}{4R_1} = \frac{2}{3}$।
वज्र-गुणन करने पर: $3(R_1 + 15) = 2(4R_1)$।
$3R_1 + 45 = 8R_1$।
$5R_1 = 45$,इसलिए $R_1 = 9 \ \Omega$।

(C) यह परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज है। आकृति में दिखाए अनुसार बिंदुओं को $A, B, C, D$ मानें। हमें $B$ और $D$ के बीच प्रतिरोध की गणना करनी है।
यहाँ,प्रतिरोधक इस प्रकार व्यवस्थित हैं कि भुजाओं के प्रतिरोधों का अनुपात $\frac{R_{AB}}{R_{AD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ और $\frac{R_{BC}}{R_{CD}} = \frac{3 \Omega}{3 \Omega} = 1$ है।
चूंकि अनुपात समान है,इसलिए ब्रिज संतुलित है। अतः,$A$ और $C$ के बीच जुड़े मध्य $6 \Omega$ के प्रतिरोधक से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
हम परिपथ से $6 \Omega$ के प्रतिरोधक को हटा सकते हैं।
अब,परिपथ में समानांतर में दो शाखाएँ हैं: एक शाखा में दो $3 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं $(3+3 = 6 \Omega)$ और दूसरी शाखा में भी दो $3 \Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं $(3+3 = 6 \Omega)$।
$B$ और $D$ के बीच तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ इन दो $6 \Omega$ की शाखाओं के समानांतर संयोजन द्वारा दिया जाता है:
$R_{eq} = \frac{6 \Omega \times 6 \Omega}{6 \Omega + 6 \Omega} = \frac{36}{12} = 3 \Omega$.

(A) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य का सूत्र $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{mv}$.
दिया गया है: $v_{A} = 3 v_{p}$ और $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{3}{2}$.
संबंध $\frac{\lambda_{A}}{\lambda_{p}} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} v_{A}}$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p} v_{p}}{m_{A} (3 v_{p})}$.
अंश और हर से $v_{p}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{3}{2} = \frac{m_{p}}{3 m_{A}}$.
$m_{A}$ के लिए हल करने पर:
$m_{A} = \frac{2}{9} m_{p}$.

(D) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित एक आवेशित कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ का सूत्र है:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
चूंकि विभवांतर को $21 \%$ बढ़ाया गया है,नया विभवांतर $V^{\prime}$ होगा:
$V^{\prime} = V + 0.21V = 1.21V$
माना कि नई डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda^{\prime}$ है। तब:
$\frac{\lambda^{\prime}}{\lambda} = \sqrt{\frac{V}{V^{\prime}}} = \sqrt{\frac{V}{1.21V}} = \sqrt{\frac{1}{1.21}} = \frac{1}{1.1} = \frac{10}{11}$
अतः,$\lambda^{\prime} = \frac{10}{11} \lambda$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार:
$h \nu = \phi + K.E._{max}$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m v^2$
हम जानते हैं कि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{mv}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v = \frac{h}{m \lambda}$।
$v$ का मान गतिज ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h}{m \lambda} \right)^2$
$h \nu = \phi + \frac{1}{2} m \left( \frac{h^2}{m^2 \lambda^2} \right)$
$h \nu = \phi + \frac{h^2}{2 m \lambda^2}$
दोनों पक्षों को $h$ से विभाजित करने पर:
$\nu = \frac{\phi}{h} + \frac{h}{2 m \lambda^2}$

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - \phi$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\nu$ आवृत्ति के लिए,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ है,इसलिए:
$E = h\nu - \phi$ --- $(1)$
जब आवृत्ति को बढ़ाकर $3\nu$ कर दिया जाता है,तो नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $K'_{max}$ होगी:
$K'_{max} = h(3\nu) - \phi = 3h\nu - \phi$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ से,हम $h\nu$ को $h\nu = E + \phi$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$K'_{max} = 3(E + \phi) - \phi$
$K'_{max} = 3E + 3\phi - \phi$
$K'_{max} = 3E + 2\phi$.

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ होती है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति है।
चूँकि $K_{max} = \frac{P^2}{2m}$,इसलिए $\frac{P^2}{2m} = h\nu - h\nu_0$ होगा।
प्रथम स्थिति के लिए,$\nu = 2v$ और $\nu_0 = v$:
$\frac{P^2}{2m} = h(2v) - hv = hv$ ... $(1)$
दूसरी स्थिति के लिए,मान लीजिए कि नई आवृत्ति $\nu'$ है और नया संवेग $2P$ है:
$\frac{(2P)^2}{2m} = h\nu' - hv$
$\frac{4P^2}{2m} = h\nu' - hv$ ... $(2)$
समीकरण $(1)$ से $\frac{P^2}{2m}$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$4(hv) = h\nu' - hv$
$4hv + hv = h\nu'$
$h\nu' = 5hv$
$\nu' = 5v$

(B) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $E$ इस प्रकार है: $E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ ... $(i)$,
जहाँ $\phi$ कार्य फलन है।
जब तरंगदैर्ध्य में $50 \%$ की कमी की जाती है,तो नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda - 0.5\lambda = 0.5\lambda = \frac{\lambda}{2}$ हो जाती है।
नई अधिकतम गतिज ऊर्जा $E' = 3E$ है।
इन मानों को प्रकाश-विद्युत समीकरण में रखने पर: $3E = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$ ... $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से,$E = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ प्राप्त होता है। इस मान को समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$3(\frac{hc}{\lambda} - \phi) = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - 3\phi = \frac{2hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda} = 3\phi - \phi$
$\frac{hc}{\lambda} = 2\phi$
$\phi = \frac{hc}{2\lambda}$.

(C) फोटॉन विद्युत चुंबकीय विकिरण का एक क्वांटम है। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार,फोटॉन का विराम द्रव्यमान $0$ होता है। फोटॉन निर्वात में प्रकाश की गति $c$ से यात्रा करते हैं और उनके पास ऊर्जा $E = h\nu$ और संवेग $p = h/\lambda$ होता है,लेकिन उनका कोई विराम द्रव्यमान नहीं होता है।

(B) प्रकाश-विद्युत समीकरण $eV_s = h\nu - \phi$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_s$ निरोधी विभव है,$h$ प्लांक नियतांक है,$\nu$ आवृत्ति है और $\phi$ कार्य फलन है।
$V_s$ को $\nu$ के फलन के रूप में व्यवस्थित करने पर: $V_s = (\frac{h}{e})\nu - \frac{\phi}{e}$.
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = V_s$ और $x = \nu$,$X$-अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की ढाल $m = \frac{h}{e}$ प्राप्त होती है।
हालाँकि,प्रश्न में उल्लेख है कि कोण $\theta$,$Y$-अक्ष के साथ बनता है। रेखा $y = mx + c$ के लिए,ढाल $m = \tan(\alpha)$ है जहाँ $\alpha$,$X$-अक्ष के साथ बना कोण है। $Y$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$X$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$ से $\theta = 90^\circ - \alpha$ के रूप में संबंधित है।
अतः,$\tan \theta = \tan(90^\circ - \alpha) = \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{h/e} = \frac{e}{h}$.

(C) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = hf - \phi$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम स्थिति के लिए: $f_1 = 3f$,$\phi = 2hf$,और $v_1 = v$।
$\frac{1}{2}mv^2 = 3hf - 2hf = hf$ --- $(1)$
द्वितीय स्थिति के लिए: $f_2 = 4.25f$,$\phi = 2hf$,और $v_2 = ?$।
$\frac{1}{2}mv_2^2 = 4.25hf - 2hf = 2.25hf$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv_2^2}{\frac{1}{2}mv^2} = \frac{2.25hf}{hf}$
$\frac{v_2^2}{v^2} = 2.25$
$v_2^2 = 2.25v^2$
$v_2 = \sqrt{2.25}v = 1.5v$.

(C) बामर श्रेणी की $H_{\alpha}$ रेखा की आवृत्ति $\nu_0 = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}) = \frac{5Rc}{36}$ द्वारा दी जाती है। यह पदार्थ की देहली आवृत्ति $\nu_0$ है।
बामर श्रेणी की $H_{\beta}$ रेखा की आवृत्ति $\nu = Rc(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2}) = Rc(\frac{1}{4} - \frac{1}{16}) = \frac{3Rc}{16}$ द्वारा दी जाती है।
आइंस्टीन के प्रकाश-वैद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = h\nu - h\nu_0$ होती है।
मान रखने पर:
$K_{max} = h(\frac{3Rc}{16}) - h(\frac{5Rc}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{3}{16} - \frac{5}{36})$
$K_{max} = Rhc(\frac{27 - 20}{144}) = \frac{7 Rhc}{144}$.

(D) सतह पर प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा $U = I \times A$ है,जहाँ $I$ तीव्रता (ऊर्जा फ्लक्स) है और $A$ क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $I = 75 \times 10^4 \ W m^{-2}$,$A = 40 \ cm^2 = 40 \times 10^{-4} \ m^2$,और $t = 1 \ s$.
ऐसी सतह के लिए जो विकिरण को पूरी तरह से अवशोषित करती है,प्राप्त संवेग $p = \frac{U}{c} = \frac{I \times A \times t}{c}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m s^{-1}$ प्रकाश की गति है।
मान रखने पर:
$p = \frac{75 \times 10^4 \times 40 \times 10^{-4} \times 1}{3 \times 10^8}$
$p = \frac{75 \times 40}{3 \times 10^8} = \frac{3000}{3 \times 10^8} = 1000 \times 10^{-8} = 10^{-5} \ kg m s^{-1}$.

(A) दिया गया है: त्रिज्या $r = 10 \, cm = 0.1 \, m$, प्रतिरोध $R = 2 \, \Omega$, समय $t = 0.25 \, s$, प्रेरित emf $E = 3.8 \times 10^{-3} \, V$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 3 \times 10^{-5} \, T$.
कुंडली का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.1)^2 = 0.01 \pi \, m^2$.
जब कुंडली $180^{\circ}$ घूमती है तो चुंबकीय फ्लक्स बदल जाता है। प्रारंभिक फ्लक्स $\phi_i = B A \cos(0^{\circ}) = B A$ और अंतिम फ्लक्स $\phi_f = B A \cos(180^{\circ}) = -B A$.
फ्लक्स में परिवर्तन $\Delta \phi = \phi_f - \phi_i = -B A - B A = -2 B A$.
प्रेरित emf का परिमाण $|E| = N \frac{|\Delta \phi|}{t} = N \frac{2 B A}{t}$.
मान रखने पर: $3.8 \times 10^{-3} = N \frac{2 \times (3 \times 10^{-5}) \times (0.01 \pi)}{0.25}$.
$3.8 \times 10^{-3} = N \frac{6 \times 10^{-7} \times 3.14}{0.25}$.
$3.8 \times 10^{-3} = N \times 7.536 \times 10^{-6}$.
$N = \frac{3.8 \times 10^{-3}}{7.536 \times 10^{-6}} \approx 504$ फेरे।

(C) केवल प्रेरक युक्त $AC$ परिपथ के लिए:
$I = I_0 \sin(\omega t)$
$V = V_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{2}) = V_0 \cos(\omega t)$
तात्कालिक शक्ति $P = V \cdot I$
$P = (V_0 \cos(\omega t)) \cdot (I_0 \sin(\omega t))$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ का उपयोग करने पर:
$P = \frac{V_0 I_0}{2} \sin(2\omega t)$
शक्ति की कोणीय आवृत्ति $2\omega$ है। चूँकि $\omega = 2\pi f$,शक्ति की आवृत्ति $f' = 2f$ होगी।
दिया गया है $f = 50 \ Hz$,अतः तात्कालिक शक्ति की आवृत्ति $f' = 2 \times 50 \ Hz = 100 \ Hz$ है।

(C) एक प्रेरक में प्रेरित emf $\varepsilon$ को सूत्र $\varepsilon = -L \frac{di}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
परिमाण लेने पर, हमें प्राप्त होता है $L = \frac{|\varepsilon|}{\frac{di}{dt}}$.
दिया गया है: धारा में परिवर्तन $\Delta i = 6 \,A - 2 \,A = 4 \,A$, समय अंतराल $\Delta t = 2 \,s$, और प्रेरित emf $\varepsilon = 3 \,V$.
धारा के परिवर्तन की दर $\frac{di}{dt} = \frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{4 \,A}{2 \,s} = 2 \,A/s$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$L = \frac{3 \,V}{2 \,A/s} = 1.5 \,H$.

(C) $LR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा (impedance) है。
दिया गया है, $\cos \phi = 0.5 = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है。
अतः, $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है。
$4R^2 = R^2 + X_L^2$.
$3R^2 = X_L^2$.
वर्गमूल लेने पर, $\sqrt{3}R = X_L$.
इसलिए, प्रतिरोध और प्रतिघात का अनुपात $\frac{R}{X_L} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है。

(D) लेंज का नियम बताता है कि प्रेरित धारा की दिशा ऐसी होती है कि वह उस चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन का विरोध करती है जिसने इसे उत्पन्न किया है।
यह नियम ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।
यदि प्रेरित धारा चुंबकीय फ्लक्स के परिवर्तन में सहायता करती,तो यह एक 'परपेचुअल मोशन मशीन' की ओर ले जाती,जो ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उल्लंघन करती है।
इसलिए,प्रेरित चुंबकीय बल के विरुद्ध चुंबक को गति कराने में किया गया कार्य विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है,जो ऊर्जा संरक्षण के नियम को संतुष्ट करता है।

(A) फैराडे के विद्युत चुंबकीय प्रेरण के नियम के अनुसार,एक लूप में प्रेरित emf $\varepsilon = -\frac{d \phi_{B}}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$N$ फेरों वाली कुंडली के लिए,कुंडली से जुड़ा कुल चुंबकीय फ्लक्स $N \phi_{B}$ होता है।
इसलिए,कुल प्रेरित emf $\varepsilon$ कुल फ्लक्स लिंकेज के परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है:
$\varepsilon = -\frac{d}{dt} (N \phi_{B}) = -N \frac{d \phi_{B}}{dt}$.

(A) चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल चुंबकीय फ्लक्स हमेशा शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि चुंबकीय मोनोपोल (एकल ध्रुव) का अस्तित्व नहीं होता है; चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\oint \vec{B} \cdot d\vec{s} = 0$
जहाँ $\vec{B}$ चुंबकीय क्षेत्र है और $d\vec{s}$ क्षेत्रफल सदिश है।

(A) समय $t$ पर कुंडली से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = NBA \cos(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\omega = 2 \pi v$ कोणीय आवृत्ति है।
फैराडे के प्रेरण के नियम के अनुसार, प्रेरित $EMF$ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ होता है।
$\phi$ का मान रखने पर: $e = -\frac{d}{dt} [NBA \cos(\omega t)] = -NBA \frac{d}{dt} [\cos(\omega t)]$.
चेन नियम का उपयोग करने पर, $e = -NBA [-\omega \sin(\omega t)] = NBA \omega \sin(\omega t)$.
$\omega = 2 \pi v$ रखने पर, हमें $e = NBA(2 \pi v) \sin(2 \pi v t)$ प्राप्त होता है।

(D) $AC$ जनरेटर एक ऐसा उपकरण है जो विद्युत चुंबकीय प्रेरण के सिद्धांत पर कार्य करता है। यह टर्बाइन या इंजन द्वारा प्रदान की गई यांत्रिक ऊर्जा का उपयोग करके चुंबकीय क्षेत्र में एक कुंडली को घुमाता है। यह घूर्णन कुंडली से जुड़े चुंबकीय फ्लक्स को बदलता है,जिससे विद्युत वाहक बल $(EMF)$ प्रेरित होता है और प्रत्यावर्ती धारा उत्पन्न होती है। इसलिए,यह यांत्रिक ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है।

(A) भौतिक रूप से,स्व-प्रेरकत्व एक विद्युत परिपथ में जड़त्व की भूमिका निभाता है।
यह यांत्रिकी में द्रव्यमान का विद्युत-चुंबकीय अनुरूप है।
जैसे द्रव्यमान किसी वस्तु की गति की अवस्था में होने वाले किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है,वैसे ही स्व-प्रेरकत्व परिपथ में बहने वाली धारा में होने वाले किसी भी परिवर्तन का विरोध करता है।
इसलिए,धारा को स्थापित करने या बदलने के लिए प्रेरित बैक इलेक्ट्रोमोटिव फोर्स $(emf)$ के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है।

(B) एक लंबी परिनालिका के भीतर चुंबकीय क्षेत्र $B = \mu_0 n I$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ प्रति इकाई लंबाई फेरों की संख्या है और $I$ विद्युत धारा है।
परिनालिका के एक फेरे से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स $\phi = B \cdot A = \mu_0 n I A$ है।
$l$ लंबाई की परिनालिका में कुल फेरों की संख्या $N = n \cdot l$ है।
कुल चुंबकीय फ्लक्स लिंकेज $\Phi = N \cdot \phi = (nl) \cdot (\mu_0 n I A) = \mu_0 n^2 I A l$ है।
परिभाषा के अनुसार,स्व-प्रेरकत्व $L = \frac{\Phi}{I}$ होता है,इसलिए $L = \mu_0 n^2 A l$ प्राप्त होता है।

(B) बोलोमीटर एक ऐसा उपकरण है जिसका उपयोग तापमान पर निर्भर विद्युत प्रतिरोध वाली सामग्री को गर्म करके आपतित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की शक्ति को मापने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग विशेष रूप से इन्फ्रारेड विकिरणों का पता लगाने के लिए किया जाता है।

(C) जब उच्च ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉनों की एक किरण पुंज धातु के लक्ष्य से टकराती है,तो इलेक्ट्रॉनों के अचानक मंदन (deceleration) के कारण उच्च आवृत्ति वाली विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित होती है,जिसे $X$-किरणें कहा जाता है।

(B) मुक्त आकाश में विद्युतचुंबकीय तरंगों की गति निम्नलिखित संबंध द्वारा दी जाती है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$
समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$
विद्युतशीलता और चुंबकशीलता के गुणनफल को ज्ञात करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$
अतः, सही संबंध $\epsilon_0 \mu_0 = \frac{1}{c^2}$ है।

(C) एक विद्युतचुंबकीय तरंग में,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ समान कला में दोलन करते हैं और एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
विद्युतचुंबकीय तरंगों के गुणों के अनुसार,ऊर्जा संचरण की दिशा (पॉइंटिंग सदिश $\vec{S}$ की दिशा) विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा दी जाती है।
विशेष रूप से,संचरण की दिशा $\vec{E} \times \vec{B}$ के समानांतर होती है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) विद्युत क्षेत्र $E = E_0 \sin(\omega t - kx)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $E_0 = 36 \sqrt{\pi} \ V/m$ है।
विद्युत क्षेत्र के कारण औसत ऊर्जा घनत्व $U_{av} = \frac{1}{4} \varepsilon_0 E_0^2$ होता है।
दिया गया है $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2 C^{-2}$,इसलिए $\varepsilon_0 = \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \ F/m$ होगा।
मान रखने पर:
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \left( \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \right) \times (36 \sqrt{\pi})^2$
$U_{av} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{36 \pi \times 10^9} \times 1296 \pi$
$U_{av} = \frac{1296}{144 \times 10^9} = 9 \times 10^{-9} \ J/m^3$.
नोट: यदि हम $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2$ सूत्र का उपयोग करते हैं,तो उत्तर $18 \times 10^{-9} \ J/m^3$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(C) प्रकाश तरंग की आवृत्ति प्रकाश के स्रोत द्वारा निर्धारित होती है और यह उस माध्यम से स्वतंत्र रहती है जिससे होकर यह गुजरती है।
जब प्रकाश किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है, तो उसकी गति और तरंगदैर्ध्य बदल जाती है, लेकिन उसकी आवृत्ति अपरिवर्तित रहती है।
इसलिए, $1.5$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में प्रकाश किरण की आवृत्ति वही रहेगी जो निर्वात या हवा में है, यानी $6 \times 10^{14} \,Hz$।

(C) विद्युत चुम्बकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,$f$ आवृत्ति के साथ दोलन करने वाला एक विद्युत आवेश उसी आवृत्ति $f$ की विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न करता है।
चूंकि विद्युत आवेश $750 kHz$ की आवृत्ति के साथ दोलन कर रहा है,इसलिए उत्पन्न विद्युत चुम्बकीय तरंगों की आवृत्ति भी $750 kHz$ होगी।

(C) निर्वात में विद्युत चुम्बकीय तरंग की चाल विद्युत क्षेत्र $E_o$ और चुंबकीय क्षेत्र $B_o$ के परिमाणों के बीच संबंध द्वारा इस प्रकार दी जाती है:
$E_o = c B_o$,जहाँ $c$ प्रकाश की चाल है।
इसलिए,$c = \frac{E_o}{B_o}$.
मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार,निर्वात में प्रकाश की चाल,निर्वात की पारगम्यता $\mu_0$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ से इस प्रकार संबंधित है:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{E_o}{B_o} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$E_o \sqrt{\varepsilon_0} = \frac{B_o}{\sqrt{\mu_0}}$.
अतः,विकल्प $C$ सही संबंध है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच लगने वाला स्थिर-वैद्युत बल सदिश रूप में इस प्रकार दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = \frac{K q_1 q_2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q_1 = -e$ है और हाइड्रोजन नाभिक (प्रोटॉन) का आवेश $q_2 = +e$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overrightarrow{F} = \frac{K (-e)(e)}{r^3} \overrightarrow{r} = -\frac{K e^2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
अतः,बल नाभिक की दिशा में (आकर्षण बल) कार्य करता है।

(C) आवेश के क्वांटीकरण के सिद्धांत के अनुसार,किसी भी पिंड पर कुल आवेश $Q$,मूल आवेश $e$ (जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$) का एक पूर्णांक गुणज होना चाहिए।
गणितीय रूप से,$Q = ne$,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है $(n = 1, 2, 3, ...)$।
विकल्प $A$ के लिए: $n = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2$ (पूर्णांक)।
विकल्प $B$ के लिए: $n = \frac{6.4 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4$ (पूर्णांक)।
विकल्प $C$ के लिए: $n = \frac{9.6 \times 10^{-20}}{1.6 \times 10^{-19}} = 0.6$ (पूर्णांक नहीं है)।
विकल्प $D$ के लिए: $n = \frac{9.6 \times 10^{-18}}{1.6 \times 10^{-19}} = 60$ (पूर्णांक)।
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $9.6 \times 10^{-20} \ C$ का आवेश अस्तित्व में नहीं हो सकता है।

(B) बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में एक विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
चित्र से,$A$ पर द्विध्रुव $+x$-दिशा $(\theta_A = 0^{\circ})$ के अनुदिश है और $B$ पर द्विध्रुव $+y$-दिशा $(\theta_B = 90^{\circ})$ के अनुदिश है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा: $U_i = (-pE \cos 0^{\circ}) + (-pE \cos 90^{\circ}) = -pE + 0 = -pE$.
दोनों द्विध्रुवों को दक्षिणावर्त दिशा में $90^{\circ}$ घुमाने के बाद:
$A$ पर द्विध्रुव (प्रारंभ में $0^{\circ}$ पर) $-90^{\circ}$ (या $270^{\circ}$) पर घूम जाता है।
$B$ पर द्विध्रुव (प्रारंभ में $90^{\circ}$ पर) $0^{\circ}$ पर घूम जाता है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा: $U_f = (-pE \cos(-90^{\circ})) + (-pE \cos 0^{\circ}) = 0 - pE = -pE$.
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_f - U_i = (-pE) - (-pE) = 0$.

(A) अनंत रेखीय आवेश के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $E = \frac{2k\lambda}{r}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$ है।
दिए गए मान: $E = 9 \times 10^4 \ NC^{-1}$ और $r = 2 \ cm = 0.02 \ m$।
रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\lambda = \frac{E \cdot r}{2k}$।
मान रखने पर: $\lambda = \frac{9 \times 10^4 \times 0.02}{2 \times 9 \times 10^9}$।
$\lambda = \frac{1800}{18 \times 10^9} = 100 \times 10^{-9} = 10^{-7} \ Cm^{-1}$।

(D) माना कि बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,जो आवेश $Q$ से $x$ दूरी पर और आवेश $4Q$ से $(6-x)$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु $P$ पर दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए:
$\frac{KQ}{x^2} = \frac{K(4Q)}{(6-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{6-x}$
$6 - x = 2x$
$3x = 6$
$x = 2 \text{ cm}$
दूरी $x$ आवेश $Q$ से है। प्रश्न में $4Q$ से दूरी पूछी गई है,जो $(6-x)$ है।
$4Q$ से दूरी $= 6 - 2 = 4 \text{ cm}$.

(B) दिया गया है: गोले का व्यास $d = 2.4 \, m$।
गोले की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.2 \, m$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 80.0 \, \mu C m^{-2} = 80 \times 10^{-6} \, C m^{-2}$।
गोले की सतह पर कुल आवेश $Q$, पृष्ठीय आवेश घनत्व और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$Q = \sigma \times A = \sigma \times (4 \pi r^2)$।
मान रखने पर:
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times (1.2)^2$।
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times 1.44$।
$Q \approx 1.4476 \times 10^{-3} \, C$।
निकटतम मान लेने पर, $Q \approx 1.45 \times 10^{-3} \, C$।

(C) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} \ N C^{-1}$ है।
चूंकि वर्गाकार क्षेत्रफल $y-z$ तल के समानांतर है,इसलिए इसका क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$,$x$-अक्ष की दिशा में होगा।
वर्ग का क्षेत्रफल $A = (2 \ m) \times (2 \ m) = 4 \ m^2$ है।
अतः,क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A} = 4 \hat{i} \ m^2$ होगा।
विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश का अदिश गुणनफल है:
$\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \cdot (4 \hat{i})$
$\phi = (3 \times 4) \hat{i} \cdot \hat{i} + (5 \times 4) \hat{j} \cdot \hat{i}$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{j} \cdot \hat{i} = 0$,इसलिए:
$\phi = 12 \times 1 + 20 \times 0 = 12 \ N C^{-1} \ m^2$.

(C) विद्युत क्षेत्र एकसमान है और $\vec{E} = 3 \times 10^3 \hat{i} \text{ N/C}$ द्वारा दिया गया है।
एकसमान विद्युत क्षेत्र में एक बंद सतह (घन) के लिए,कुल विद्युत फ्लक्स गॉस के नियम द्वारा दिया जाता है: $\phi_{\text{net}} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र एकसमान है,एक फलक में प्रवेश करने वाला फ्लक्स विपरीत फलक से बाहर निकलने वाले फ्लक्स के बराबर होता है,लेकिन विपरीत चिह्न के साथ।
विशेष रूप से,$x$-अक्ष के लंबवत दो फलकों के लिए,क्षेत्रफल सदिश $\vec{A}_1 = -A \hat{i}$ और $\vec{A}_2 = A \hat{i}$ हैं।
इन फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A}_1 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (-A \hat{i}) = -EA$ और $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A}_2 = (3 \times 10^3 \hat{i}) \cdot (A \hat{i}) = EA$ है।
अन्य चार फलकों के लिए,क्षेत्रफल सदिश विद्युत क्षेत्र के लंबवत हैं $(\vec{E} \cdot d\vec{A} = 0)$,इसलिए उनसे गुजरने वाला फ्लक्स $0$ है।
कुल फ्लक्स $\phi_{\text{net}} = \phi_1 + \phi_2 + 0 + 0 + 0 + 0 = -EA + EA = 0$ है।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\overrightarrow{A}$ के अदिश गुणनफल (dot product) के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है:
$\overrightarrow{E} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \text{ NC}^{-1}$
$\overrightarrow{A} = 10 \hat{i} \text{ m}^2$
सूत्र $\phi = \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{A}$ का उपयोग करने पर:
$\phi = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (10 \hat{i})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,और $\hat{i} \cdot \hat{k} = 0$ होता है:
$\phi = (2 \times 10) \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1} = 20 \text{ Nm}^2 \text{C}^{-1}$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह के भीतर निहित आवेश $q$ और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_{0}$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\phi = \frac{q}{\varepsilon_{0}}$
दिया गया है कि आवेश एक इकाई धनात्मक आवेश है,इसलिए $q = 1$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\phi = \frac{1}{\varepsilon_{0}} = \left(\varepsilon_{0}\right)^{-1}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना स्विच बंद करने के बाद आंतरिक कोश पर आवेश $q$ है। चूंकि आंतरिक कोश को पृथ्वी से जोड़ा गया है,इसलिए इसका विभव शून्य हो जाता है।
$R$ त्रिज्या वाले आंतरिक कोश पर उसके स्वयं के आवेश $q$ और $2R$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विभव है:
$V_{\text{inner}} = \frac{Kq}{R} + \frac{KQ}{2R} = 0$
$q$ के लिए हल करने पर:
$\frac{Kq}{R} = -\frac{KQ}{2R}$
$q = -\frac{Q}{2}$
अतः,आंतरिक कोश का विभव शून्य हो जाता है,जिससे कथन $(a)$ सही है।
आंतरिक कोश पर आवेश $-\frac{Q}{2}$ है,जिससे कथन $(b)$ गलत है।
इसलिए,$(a)$ सही है और $(b)$ गलत है।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ने पर विद्युत विभव घटता है।
चूंकि $BC$,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ के समानांतर है और बिंदु $C$,बिंदु $B$ की तुलना में क्षेत्र की दिशा में आगे है,इसलिए $V_B > V_C$ है।
साथ ही,विद्युत क्षेत्र की दिशा के लंबवत रेखा पर विद्युत विभव स्थिर रहता है।
चूंकि $AB$,विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ के लंबवत है,इसलिए $A$ पर विभव $B$ पर विभव के बराबर है,अर्थात $V_A = V_B$ है।
इन दोनों परिणामों को मिलाने पर,हमें $V_A = V_B > V_C$ प्राप्त होता है।