AP EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया व्यंजक $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar}$ है।
हम जानते हैं कि कूलम्ब बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ होता है,इसलिए $\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0} = F r^2$ होगा।
$\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ की विमाएँ $[M L T^{-2}] [L^2] = [M L^3 T^{-2}]$ हैं।
प्लांक नियतांक $h$ (या $\hbar$) की विमाएँ $[M L^2 T^{-1}]$ हैं।
अतः,इस व्यंजक की विमाएँ $\frac{[M L^3 T^{-2}]}{[M L^2 T^{-1}]} = [L^1 T^{-1}]$ होंगी।
यह वेग (प्रकाश की गति $c$) की विमाओं को दर्शाता है।

(C) दिया गया सूत्र $X = \frac{\pi}{3}(a^2 - b^2) h d$ है।
चूंकि $a, b,$ और $h$ लंबाइयाँ हैं,इसलिए उनका विमीय सूत्र $[L]$ है।
अतः,$(a^2 - b^2)$ की विमा $[L^2]$ है।
पद $h$ की विमा $[L]$ है।
पद $d$ घनत्व है,जिसे $\frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आयतन}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसकी विमा $[M L^{-3}]$ है।
इन विमाओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$[X] = [L^2] \cdot [L] \cdot [M L^{-3}] = [L^3] \cdot [M L^{-3}] = [M]$.
चूंकि परिणामी विमा $[M]$ है,इसलिए यह भौतिक राशि द्रव्यमान है।

(C) दी गई इकाइयों के मान मीटर में इस प्रकार हैं:
$1 \text{ parsec} = 3.08 \times 10^{16} \text{ m}$
$1 \text{ nanometer} = 1 \times 10^{-9} \text{ m}$
$1 \text{ fermi} = 1 \times 10^{-15} \text{ m}$
$1 \text{ } \mathring{A} = 1 \times 10^{-10} \text{ m}$
इन मानों की तुलना करने पर, $1 \times 10^{-15} \text{ m}$ सबसे छोटा परिमाण है।
अतः, दिए गए विकल्पों में से लंबाई की सबसे छोटी इकाई फर्मी है।

(C) माना दी गई प्रणाली $S_1$ है और $CGS$ प्रणाली $S_2$ है।
प्रणाली $S_1$ में, द्रव्यमान की इकाई $M_1 = 20 \, g$ और लंबाई की इकाई $L_1 = 5 \, cm$ है।
घनत्व $\rho_1 = 4$ इकाई $S_1$ में है।
घनत्व को $\rho = \frac{M}{L^3}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$S_1$ में, मान $\rho_1 = 4 \frac{M_1}{L_1^3} = 4 \frac{20 \, g}{(5 \, cm)^3} = 4 \frac{20 \, g}{125 \, cm^3}$ है।
$CGS$ $(g/cm^3)$ में मान की गणना करने पर:
$\rho_{CGS} = 4 \times \frac{20 \, g}{125 \, cm^3} = 4 \times \frac{20}{125} \, g/cm^3 = 4 \times \frac{4}{25} \, g/cm^3 = \frac{16}{25} \, g/cm^3$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही उत्तर $25$ इकाई है।

(C) एक खींची हुई डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
हुक के नियम के अनुसार,एक खींची हुई डोरी में तनाव $T$ विस्तार $\Delta l$ के समानुपाती होता है,इसलिए $T = k \Delta l$।
चूंकि डोरी का द्रव्यमान और लंबाई स्थिर रहती है,इसलिए $\mu$ स्थिर है। अतः,$v \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{\Delta l}$।
प्रारंभिक विस्तार $\Delta l_1 = \frac{L}{20}$ और प्रारंभिक गति $v_1 = v$ दी गई है।
दूसरे मामले के लिए,विस्तार $\Delta l_2 = \frac{L}{10}$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}} = \sqrt{\frac{L/10}{L/20}} = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$v_2 = v \sqrt{2}$।

(D) तने हुए तार में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ रैखिक द्रव्यमान घनत्व है।
रैखिक द्रव्यमान घनत्व $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{लंबाई}} = \frac{\rho \times \text{आयतन}}{\text{लंबाई}} = \rho \times A = \rho \times \pi R^2$,जहाँ $\rho$ पदार्थ का घनत्व है और $R$ तार की त्रिज्या है।
वेग के सूत्र में $\mu$ का मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{T}{\rho \pi R^2}}$.
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$ और घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि दोनों तारों के लिए तनाव $T$ समान है,इसलिए गति का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\rho_2}{\rho_1} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\left(\frac{4}{1}\right) \times \left(\frac{2}{1}\right)^2} = \sqrt{4 \times 4} = \sqrt{16} = 4$.
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(A) जब एक अनुदैर्ध्य तरंग किसी माध्यम (ठोस,द्रव या गैस) से होकर गुजरती है,तो माध्यम के कण तरंग के संचरण की दिशा में ही अपनी माध्य स्थिति के इर्द-गिर्द दोलन करते हैं।
किसी भी क्षण,ऐसे क्षेत्र होते हैं जहाँ कण एक-दूसरे के करीब होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप घनत्व अधिक होता है,जिसे संपीड़न (compressions) कहा जाता है।
इसके विपरीत,ऐसे क्षेत्र होते हैं जहाँ कण एक-दूसरे से दूर होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप घनत्व कम होता है,जिसे विरलन (rarefactions) कहा जाता है।
इसलिए,अनुदैर्ध्य तरंग के संचरण के दौरान माध्यम का घनत्व समय-समय पर बदलता रहता है।

(D) बीट आवृत्ति को दो आवृत्तियों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $f_{beat} = v_1 - v_2$ द्वारा दिया जाता है।
दो क्रमिक उच्चिष्ठों (maxima) या दो क्रमिक निम्निष्ठों (minima) के बीच के समयांतराल को बीट्स का आवर्तकाल $(T_{beat})$ कहा जाता है।
आवर्तकाल,बीट आवृत्ति का व्युत्क्रम होता है:
$T_{beat} = \frac{1}{f_{beat}} = \frac{1}{v_1 - v_2}$.
अतः,दो क्रमिक निम्निष्ठों के बीच का समयांतराल $\frac{1}{v_1 - v_2}$ है।

(D) दिया गया विस्थापन समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \cos \omega t$ है।
हम $\cos \omega t$ को $\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$y = \frac{1}{\sqrt{a}} \sin \omega t \pm \frac{1}{\sqrt{b}} \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
यह दो सरल आवर्त गतियों का अध्यारोपण है,जहाँ आयाम $A_1 = \frac{1}{\sqrt{a}}$ और $A_2 = \frac{1}{\sqrt{b}}$ हैं,और कलांतर $\phi = \frac{\pi}{2}$ है।
परिणामी आयाम $A$ का सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos \phi}$ है।
चूँकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए सूत्र $A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}$ हो जाता है।
मान रखने पर,$A = \sqrt{(\frac{1}{\sqrt{a}})^2 + (\frac{1}{\sqrt{b}})^2} = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$.
हर समान करने पर,$A = \sqrt{\frac{a+b}{ab}}$ प्राप्त होता है।

(A) गैस का मोलर द्रव्यमान $M = 22.4 \times 10^{-3} \ kg/mol$ है।
विशिष्ट ऊष्मा अनुपात $\gamma = 1.6$ है।
$STP$ पर,दबाव $P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ और मोलर आयतन $V_m = 22.4 \times 10^{-3} \ m^3/mol$ है।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$ है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{M}{V_m}$,हम लिख सकते हैं $v = \sqrt{\frac{\gamma P V_m}{M}}$.
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{1.6 \times 1.013 \times 10^5 \times 22.4 \times 10^{-3}}{22.4 \times 10^{-3}}}$.
$v = \sqrt{1.6 \times 1.013 \times 10^5} = \sqrt{1.6208 \times 10^5} \approx \sqrt{162080} \approx 402.59 \ m/s$.
अतः,ध्वनि की गति लगभग $402 \ m/s$ है।

(A) एक अप्रगामी तरंग में,दो क्रमागत निस्पंदों के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है।
यह दिया गया है कि दो परमाणुओं के बीच $3$ निस्पंद और $2$ प्रस्पंद हैं,इसलिए दो परमाणुओं के बीच की कुल दूरी $L$,$\frac{\lambda}{2}$ लंबाई के दो खंडों के बराबर है।
अतः,कुल दूरी $L = \frac{\lambda}{2} + \frac{\lambda}{2} = \lambda$ है।
चूंकि $L = 1.21 \ Å$ दिया गया है,इसलिए $\lambda = 1.21 \ Å$ होगा।

(C) अप्रगामी तरंग का दिया गया समीकरण $y = 20 \sin(\pi x) \cos(\omega t)$ है।
इसे मानक समीकरण $y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ से तुलना करने पर,हमें तरंग संख्या $k = \pi \text{ rad/m}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,इसलिए $\frac{2\pi}{\lambda} = \pi$,जिससे तरंगदैर्ध्य $\lambda = 2 \text{ m} = 200 \text{ cm}$ प्राप्त होती है।
एक निस्पंद और उसके निकटतम प्रस्पंद के बीच की दूरी $\frac{\lambda}{4}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,दूरी $= \frac{200 \text{ cm}}{4} = 50 \text{ cm}$ है।

(B) दिया गया है: आवृत्ति $f = 100 \ Hz$,गति $v = 100 \ cm/s$,और पथ अंतर $\Delta x = 2.75 \ cm$ है।
सबसे पहले,हम $v = f \lambda$ संबंध का उपयोग करके तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की गणना करते हैं:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{100 \ cm/s}{100 \ Hz} = 1 \ cm$।
कलांतर $\Delta \phi$ और पथ अंतर $\Delta x$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x$।
मान रखने पर:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{1 \ cm} \times 2.75 \ cm = 5.5 \pi$।
$5.5 \pi$ को भिन्न में बदलने पर:
$5.5 \pi = \frac{11}{2} \pi$ रेडियन।

(C) असंरक्षी बल वह बल है जिसके द्वारा किया गया कार्य प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच अपनाए गए पथ पर निर्भर करता है।
संरक्षी बलों के विपरीत,एक बंद पथ पर असंरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता है।
इसलिए,यह कथन कि असंरक्षी बलों द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर करता है,सही है।

(C) दिया गया है: कार का द्रव्यमान $m = 1000 \,kg$, वेग $v = 10 \,ms^{-1}$, स्प्रिंग नियतांक $k = 4000 \,Nm^{-1}$।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, अधिकतम संपीड़न पर कार की गतिज ऊर्जा स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$\frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} k(\Delta x)^2$
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 1000 \times (10)^2 = \frac{1}{2} \times 4000 \times (\Delta x)^2$
$1000 \times 100 = 4000 \times (\Delta x)^2$
$100000 = 4000 \times (\Delta x)^2$
$(\Delta x)^2 = \frac{100000}{4000} = 25$
$\Delta x = \sqrt{25} = 5 \,m$
अतः, स्प्रिंग का अधिकतम संपीड़न $5 \,m$ है।

(D) माना प्रारंभिक वेग $v$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जब वेग $1 \,m/s$ बढ़ाया जाता है, तो नया वेग $v' = v + 1$ हो जाता है।
नई गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}m(v+1)^2$ है।
प्रश्न के अनुसार, गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है, इसलिए $E' = 2E$।
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{2}m(v+1)^2 = 2 \times (\frac{1}{2}mv^2)$।
समीकरण को सरल करने पर: $(v+1)^2 = 2v^2$।
बाएं पक्ष का विस्तार करने पर: $v^2 + 2v + 1 = 2v^2$।
द्विघात समीकरण बनाने पर: $v^2 - 2v - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र $v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$v = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$।
चूंकि वेग धनात्मक होना चाहिए, इसलिए $v = (1 + \sqrt{2}) \,m/s$ प्राप्त होता है।

(C) $10 \text{ m}$ की ऊँचाई $H$ पर गेंद की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $E_i = mgH$ है。
जब गेंद जमीन से टकराती है, तो यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है。
टक्कर के बाद, $50\%$ ऊर्जा नष्ट हो जाती है, इसलिए शेष ऊर्जा $E_f = 0.5 \times E_i = 0.5 \times mgH$ है。
गेंद नई ऊँचाई $h$ तक ऊपर जाएगी जहाँ उस ऊँचाई पर उसकी स्थितिज ऊर्जा शेष ऊर्जा के बराबर होगी:
$mgh = 0.5 \times mgH$
$h = 0.5 \times H$
यहाँ $H = 10 \text{ m}$ दिया गया है, इसलिए:
$h = 0.5 \times 10 \text{ m} = 5 \text{ m}$。
अतः, गेंद द्वारा प्राप्त ऊँचाई $5 \text{ m}$ है。

(C) पिंड की स्थितिज ऊर्जा $U = (4x^2 + 2x) \,J$ द्वारा दी गई है।
हम जानते हैं कि पिंड पर कार्य करने वाला बल $F$, स्थितिज ऊर्जा $U$ से $F = -\frac{dU}{dx}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
$x$ के सापेक्ष $U$ का अवकलन करने पर:
$F = -\frac{d}{dx}(4x^2 + 2x) = -(8x + 2) \,N$.
$x = 2 \,m$ की स्थिति पर, बल का परिमाण है:
$|F| = |-(8(2) + 2)| = |-(16 + 2)| = |-18| = 18 \,N$.
अतः, पिंड पर कार्य करने वाला बल $18 \,N$ है।

(C) दिया गया द्रव्यमान, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$ है।
वेग सदिश, $\vec{v} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \,m/s$ है।
वेग के वर्ग का परिमाण $v^2 = |\vec{v}|^2 = (1)^2 + (2)^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14 \,m^2/s^2$ है।
गतिज ऊर्जा $K$ की गणना सूत्र $K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करके की जाती है।
मान रखने पर, $K = \frac{1}{2} \times 0.1 \,kg \times 14 \,m^2/s^2 = 0.05 \times 14 = 0.7 \,J$।

(D) गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किसी पिंड को ऊपर उठाने में किया गया कार्य उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होता है।
दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान, $m = 2 \,kg$
ऊँचाई, $h = 4 \,m$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \,ms^{-2}$
कार्य का सूत्र, $W = mgh$
मान रखने पर:
$W = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} \times 4 \,m$
$W = 80 \,J$
अतः, किया गया कार्य $80 \,J$ है।

(B) स्प्रिंग नियतांक $k = 200 \,N/m$ दिया गया है।
विस्थापन $x = 1 \,cm = 0.01 \,m$ है।
स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} kx^2$ है।
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times 200 \times (0.01)^2$
$U = 100 \times 0.0001$
$U = 0.01 \,J$.
अतः, स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $0.01 \,J$ है।

(A) मान लीजिए कि गेंद को $h$ ऊँचाई से गिराया जाता है। प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = mgh$ है।
टक्कर के बाद,गेंद $h_f = \frac{3}{4}h$ की अंतिम ऊँचाई तक पहुँचती है।
अतः,अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = mgh_f = mgh(\frac{3}{4}) = \frac{3}{4}mgh$ है।
ऊर्जा में हानि $\Delta U = U_i - U_f = mgh - \frac{3}{4}mgh = \frac{1}{4}mgh$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत हानि $\frac{\Delta U}{U_i} \times 100\%$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिशत हानि $= \frac{\frac{1}{4}mgh}{mgh} \times 100\% = \frac{1}{4} \times 100\% = 25\%$।

(D) मशीन गन की शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में दी गई कुल गतिज ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$P = \frac{\text{कुल गतिज ऊर्जा}}{\text{समय}}$
$P = \frac{n \times (\frac{1}{2}mv^2)}{t} = \frac{n}{t} \times \frac{1}{2}mv^2$
दिया गया है:
गोलियों की संख्या $n = 300$
समय $t = 60 \,s$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m = 4 \,g = 4 \times 10^{-3} \,kg$
वेग $v = 500 \,ms^{-1}$
मान रखने पर:
$P = \frac{300}{60} \times \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3}) \times (500)^2$
$P = 5 \times \frac{1}{2} \times 0.004 \times 250000$
$P = 5 \times 0.002 \times 250000$
$P = 5 \times 500 = 2500 \,W$
$P = 2.5 \,kW$

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20 \,g = 0.02 \,kg$,प्रारंभिक वेग $u = 0$,अंतिम वेग $\vec{v} = (3 \hat{i} - 2 \hat{j}) \,m/s$,समय $t = 2 \,s$ है।
अंतिम वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \,m/s$ है।
खिलौने द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0.02 \times 13 = 0.13 \,J$ है।
खिलौने को दी गई औसत शक्ति $P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta K}{t} = \frac{0.13 \,J}{2 \,s} = 0.065 \,W$ है।

(B) दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान, $m = 2 \,kg$
त्वरण, $\vec{a} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \,ms^{-2}$
विस्थापन, $\vec{s} = (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) \,m$
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, पिंड पर कार्य करने वाला बल है:
$\vec{F} = m \vec{a} = 2(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) = (4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) \,N$
किया गया कार्य $(W)$, बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है:
$W = \vec{F} \cdot \vec{s}$
$W = (4 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$
$W = (4 \times 3) + (6 \times -1) + (-2 \times 2)$
$W = 12 - 6 - 4$
$W = 2 \,J$

(B) दिया गया है: लोड प्रतिरोध $R_C = 5 \ k\Omega = 5 \times 10^3 \ \Omega$.
आधार-उत्सर्जक वोल्टेज $V_{BE} = 0.02 \ V$.
संग्राहक धारा $I_C = 2 \ mA = 2 \times 10^{-3} \ A$.
आउटपुट वोल्टेज $V_{CE}$ का मान $V_{CE} = I_C \times R_C$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V_{CE} = (2 \times 10^{-3} \ A) \times (5 \times 10^3 \ \Omega) = 10 \ V$.
वोल्टेज लाभ $A_v$ आउटपुट वोल्टेज और इनपुट वोल्टेज का अनुपात है: $A_v = \frac{V_{CE}}{V_{BE}}$.
लाभ की गणना करने पर: $A_v = \frac{10 \ V}{0.02 \ V} = 500$.

(D) ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का फ्रीक्वेंसी रिस्पॉन्स कर्व यह दर्शाता है कि वोल्टेज गेन केवल मध्यम आवृत्ति रेंज में ही स्थिर रहता है।
बहुत कम आवृत्तियों पर,कपलिंग कैपेसिटर के रिएक्टेंस के कारण गेन कम हो जाता है।
बहुत उच्च आवृत्तियों पर,ट्रांजिस्टर के आंतरिक जंक्शन कैपेसिटेंस के कारण गेन कम हो जाता है।
इसलिए,गेन उच्च और निम्न दोनों आवृत्तियों पर कम होता है और मध्यम आवृत्तियों पर स्थिर रहता है।

(B) दिया गया है: करंट एम्प्लीफिकेशन फैक्टर, $\beta = 100$
कलेक्टर करंट, $I_C = 2.2 \text{ mA} = 2.2 \times 10^{-3} \text{ A}$
हम जानते हैं कि $CE$ कॉन्फ़िगरेशन में कलेक्टर करंट और बेस करंट के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$\beta = \frac{I_C}{I_B}$
बेस करंट $(I_B)$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$I_B = \frac{I_C}{\beta}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$I_B = \frac{2.2 \times 10^{-3} \text{ A}}{100} = 2.2 \times 10^{-5} \text{ A}$
माइक्रोएम्पियर $(\mu A)$ में बदलने पर:
$I_B = 2.2 \times 10^{-5} \times 10^6 \mu A = 22 \mu A$
अतः, बेस करंट $22 \mu A$ है।

(B) ट्रांजिस्टर में, उत्सर्जक (emitter) को आधार (base) में आवेश वाहकों को इंजेक्ट करने के लिए भारी रूप से डोप किया जाता है, जबकि संग्राहक (collector) को हल्के से डोप किया जाता है और उन्हें एकत्र करने के लिए इसका क्षेत्रफल बड़ा होता है।
यदि उत्सर्जक और संग्राहक के कनेक्शन आपस में बदल दिए जाते हैं, तो संग्राहक (जो हल्के से डोप है) उत्सर्जक के रूप में कार्य करता है और उत्सर्जक (जो भारी डोप है) संग्राहक के रूप में कार्य करता है।
डोपिंग स्तर और भौतिक संरचना में यह विसंगति ट्रांजिस्टर के करंट गेन $(\beta)$ को काफी कम कर देती है।
परिणामस्वरूप, एक निश्चित आधार धारा के लिए, संग्राहक धारा काफी कम हो जाती है, और जंक्शन के प्रभावी संचालन में परिवर्तन के कारण आधार धारा भी कम हो जाती है।
इसलिए, सही अवलोकन यह है कि आधार धारा घट जाती है।

(D) ट्रांजिस्टर का इनपुट प्रतिरोध $R_{\text{in}}$,आधार-उत्सर्जक वोल्टेज में परिवर्तन $(\Delta V_{BE})$ और आधार धारा में परिवर्तन $(\Delta I_b)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
$\Delta I_b = 60 \mu A = 60 \times 10^{-6} \ A$
$\Delta V_{BE} = 1.2 \ V$
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$R_{\text{in}} = \frac{\Delta V_{BE}}{\Delta I_b}$
$R_{\text{in}} = \frac{1.2}{60 \times 10^{-6}}$
$R_{\text{in}} = \frac{1.2 \times 10^6}{60}$
$R_{\text{in}} = \frac{1200000}{60} = 20000 \ \Omega$
अतः,इनपुट प्रतिरोध $20000 \ \Omega$ है।

(C) यह परिपथ दो $AND$ गेट,एक $NOT$ गेट और एक $OR$ गेट से बना है।
$1$. ऊपरी $AND$ गेट को $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 1 = 1$ है।
$2$. निचले $AND$ गेट को भी $A$ और $B$ इनपुट मिलते हैं। इसका आउटपुट $A \cdot B = 1 \cdot 1 = 1$ है।
$3$. निचले $AND$ गेट का आउटपुट $NOT$ गेट से होकर $X$ उत्पन्न करता है। अतः,$X = \overline{A \cdot B} = \overline{1} = 0$ है।
$4$. $OR$ गेट को ऊपरी $AND$ गेट का आउटपुट $(1)$ और $NOT$ गेट का आउटपुट $(X = 0)$ प्राप्त होता है।
$5$. अंतिम आउटपुट $Y$,$OR$ ऑपरेशन का परिणाम है: $Y = 1 + X = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,$X$ और $Y$ के मान क्रमशः $0$ और $1$ हैं।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि इनपुट $A=0$ और $B=1$ के लिए कौन सा गेट $0$ आउटपुट देता है,हम प्रत्येक विकल्प के लिए ट्रुथ टेबल का विश्लेषण करते हैं:
$1$. $AND$ गेट: आउटपुट $Y = A \cdot B$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 \cdot 1 = 0$। यह शर्त से मेल खाता है।
$2$. $OR$ गेट: आउटपुट $Y = A + B$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 + 1 = 1$।
$3$. $X$-$OR$ गेट: आउटपुट $Y = A \oplus B$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = 0 \oplus 1 = 1$।
$4$. $NAND$ गेट: आउटपुट $Y = \overline{A \cdot B}$ है। $A=0, B=1$ के लिए,$Y = \overline{0 \cdot 1} = \overline{0} = 1$।
अतः,जब $A=0$ और $B=1$ होता है,तो $AND$ गेट $0$ आउटपुट प्रदान करता है।

(C) एक अर्धचालक में,वैलेंस बैंड और कंडक्शन बैंड एक छोटे ऊर्जा अंतराल (energy gap) द्वारा अलग होते हैं। उच्च तापमान पर,वैलेंस बैंड में मौजूद इलेक्ट्रॉनों को तापीय ऊर्जा प्राप्त होती है। यह ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों को ऊर्जा अंतराल को पार करने और कंडक्शन बैंड में जाने में मदद करती है। जैसे ही एक इलेक्ट्रॉन कंडक्शन बैंड में जाता है,वह वैलेंस बैंड में एक रिक्ति छोड़ देता है जिसे होल कहा जाता है। इसलिए,तापमान में वृद्धि के परिणामस्वरूप मुक्त इलेक्ट्रॉनों और होल्स दोनों का निर्माण होता है,जिससे दोनों प्रकार के आवेश वाहकों (charge carriers) की संख्या में वृद्धि होती है।

(A) दिया गया है,आंतरिक वाहक सांद्रता $n_{i} = 1.4 \times 10^{16} \ m^{-3}$ है।
अर्धचालकों के लिए द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार,होल सांद्रता $(n_{h})$ और इलेक्ट्रॉन सांद्रता $(n_{e})$ का गुणनफल आंतरिक वाहक सांद्रता के वर्ग $(n_{i}^2)$ के बराबर होता है:
$n_{i}^2 = n_{h} \times n_{e}$
यहाँ $n_{h} = 4 \times 10^{22} \ m^{-3}$ दिया गया है,हमें $n_{e}$ ज्ञात करना है।
$n_{e} = \frac{n_{i}^2}{n_{h}}$
$n_{e} = \frac{(1.4 \times 10^{16})^2}{4 \times 10^{22}}$
$n_{e} = \frac{1.96 \times 10^{32}}{4 \times 10^{22}}$
$n_{e} = 0.49 \times 10^{10} \ m^{-3}$.

(C) इन्फ्रारेड $LED$ आमतौर पर गैलियम आर्सेनाइड $(GaAs)$ का उपयोग करके बनाए जाते हैं। जबकि गैलियम आर्सेनाइड फॉस्फाइड $(GaAsP)$ का उपयोग आमतौर पर दृश्यमान लाल प्रकाश वाले $LED$ के लिए किया जाता है,शुद्ध गैलियम आर्सेनाइड अपनी प्रत्यक्ष बैंडगैप ऊर्जा के कारण इन्फ्रारेड उत्सर्जन के लिए मानक सामग्री है,जो इन्फ्रारेड स्पेक्ट्रम के अनुरूप होती है।

(B) $Photodiode$ एक अर्धचालक उपकरण है जो प्रकाश को विद्युत धारा में परिवर्तित करता है। इसे विशेष रूप से रिवर्स बायस स्थितियों में काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है और इसका उपयोग ऑप्टिकल संकेतों का पता लगाने के लिए व्यापक रूप से किया जाता है।

(D) फोटोडायोड में,फोटोकरंट आपतित प्रकाश की तीव्रता के सीधे समानुपाती होता है। जब बैंडगैप ऊर्जा से अधिक ऊर्जा वाले फोटॉन डिप्लेशन क्षेत्र पर टकराते हैं,तो वे इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े बनाते हैं। उत्पन्न होने वाले ऐसे जोड़ों की संख्या आपतित फोटॉनों की संख्या के समानुपाती होती है,जो प्रकाश की तीव्रता द्वारा निर्धारित होती है।

(B) ग्रीनहाउस प्रभाव एक प्राकृतिक प्रक्रिया है जो पृथ्वी की सतह को गर्म रखती है।
जब सूर्य की ऊर्जा पृथ्वी के वायुमंडल में पहुँचती है,तो इसका कुछ हिस्सा अंतरिक्ष में वापस परावर्तित हो जाता है और बाकी हिस्सा ग्रीनहाउस गैसों द्वारा अवशोषित और पुन: उत्सर्जित किया जाता है।
यदि ये प्राकृतिक रूप से पाई जाने वाली ग्रीनहाउस गैसें नहीं होतीं,तो पृथ्वी का औसत सतह तापमान लगभग $-18^{\circ} C$ होता,जो वर्तमान औसत $+15^{\circ} C$ से काफी कम है।

(B) मुक्त स्थान की पारगम्यता $\mu_0$ को संबंध $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
इससे,इकाइयाँ $\mu_0 = \frac{B \cdot r}{I} = \frac{\text{Tesla} \cdot \text{metre}}{\text{Ampere}}$ होती हैं।
चूंकि $1 \text{ Tesla} = 1 \text{ Weber/metre}^2$,इसलिए $\mu_0 = \frac{\text{Weber}}{\text{metre}^2} \cdot \frac{\text{metre}}{\text{Ampere}} = \frac{\text{Weber}}{\text{Ampere} \cdot \text{metre}}$।
साथ ही,चूंकि $1 \text{ Henry} = 1 \text{ Weber/Ampere}$,इकाई को $\text{Henry/metre}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
फैराडे के नियम के अनुसार,$1 \text{ Volt} = 1 \text{ Weber/second}$,इसलिए $1 \text{ Weber} = 1 \text{ Volt} \cdot \text{second}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\mu_0 = \frac{\text{Volt} \cdot \text{second}}{\text{Ampere} \cdot \text{metre}}$।
चूंकि $1 \text{ Ohm} = 1 \text{ Volt/Ampere}$,हमें $\mu_0 = \frac{\text{Ohm} \cdot \text{second}}{\text{metre}}$ प्राप्त होता है।
इनकी विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ (वेबर/एम्पियर) में हर (denominator) में 'मीटर' पद गायब है,जो इसे गलत निरूपण बनाता है।

(A) विवर्तन में फ्रिंज की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{\lambda}{a}$ है,जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
इसी प्रकार,केंद्रीय उच्चिष्ठ की रैखिक चौड़ाई $\beta = \frac{2D\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है।
इन संबंधों से यह स्पष्ट है कि विवर्तन बैंड की चौड़ाई उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य के सीधे आनुपातिक होती है,अर्थात $\beta \propto \lambda$।
चूंकि नीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य लाल प्रकाश की तरंगदैर्ध्य से कम होती है $(\lambda_{\text{blue}} < \lambda_{\text{red}})$,इसलिए लाल प्रकाश को नीले प्रकाश से बदलने पर विवर्तन बैंड की चौड़ाई कम हो जाएगी।
अतः,बैंड संकरे हो जाएंगे।

(A) एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई का सूत्र $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ है।
यहाँ,$\lambda$ उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य को दर्शाता है और $a$ स्लिट की चौड़ाई को दर्शाता है।
चूंकि आवृत्ति $f$ तरंगदैर्ध्य से $\lambda = \frac{c}{f}$ द्वारा संबंधित है,इसलिए कोणीय चौड़ाई प्रकाश की आवृत्ति पर भी निर्भर करती है।
हालाँकि,सूत्र यह दर्शाता है कि कोणीय चौड़ाई स्लिट और स्रोत (या पर्दे) के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करती है।

(D) संबंध $I = I_0 \cos^2 \theta$ को मेलस का नियम कहा जाता है।
यह नियम बताता है कि जब पूर्णतः समतल-ध्रुवित प्रकाश किसी विश्लेषक पर आपतित होता है,तो विश्लेषक द्वारा प्रेषित प्रकाश की तीव्रता,विश्लेषक की संचरण अक्ष और आपतित प्रकाश के ध्रुवण तल के बीच के कोण के कोज्या (cosine) के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
यहाँ,$I_0$ आपतित प्रकाश की अधिकतम तीव्रता को दर्शाता है,$I$ निर्गत प्रकाश की तीव्रता को दर्शाता है,और $\theta$ ध्रुवण की दिशा और विश्लेषक की अक्ष के बीच का कोण है।

(B) ब्रूस्टर के नियम के अनुसार,जब प्रकाश की किरण ध्रुवण कोण (ब्रूस्टर कोण) पर आपतित होती है,तो परावर्तित किरण पूर्णतः समतल-ध्रुवित हो जाती है।
इस स्थिति में,परावर्तित किरण और अपवर्तित किरण एक-दूसरे के लंबवत होती हैं।
अतः,परावर्तित और अपवर्तित किरणों के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(D) हाइगेन्स का सिद्धांत प्रकाश के तरंग सिद्धांत पर आधारित है। यह प्रकाश के परावर्तन,अपवर्तन,व्यतिकरण और विवर्तन की घटनाओं को सफलतापूर्वक समझाता है। हालाँकि,यह स्पेक्ट्रा की उत्पत्ति को समझाने में विफल रहता है,जो प्रकाश की क्वांटम प्रकृति और परमाणुओं के ऊर्जा स्तरों से संबंधित है,जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी द्वारा वर्णित है।

(D) प्रकाश का तरंग सिद्धांत क्रिश्चियन हाइजेंस द्वारा प्रस्तावित किया गया था, न कि सी. वी. रमन द्वारा। सी. वी. रमन रमन प्रभाव (प्रकाश का अप्रत्यास्थ प्रकीर्णन) की खोज के लिए प्रसिद्ध हैं। इसलिए, $C. V. Raman - \text{Wave theory of light}$ का युग्म गलत सुमेलित है।

(C) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि तरंगदैर्ध्य में $50 \%$ की वृद्धि हुई है,इसलिए नई तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \lambda + 0.50 \lambda = 1.50 \lambda$ है।
स्लिट्स के बीच की दूरी को दोगुना कर दिया गया है,इसलिए $d' = 2d$ है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta'$ है: $\beta' = \frac{D \lambda'}{d'} = \frac{D (1.50 \lambda)}{2d} = 0.75 \beta$।
फ्रिंज चौड़ाई में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\beta' - \beta}{\beta} \times 100 \%$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{0.75 \beta - \beta}{\beta} \times 100 \% = -0.25 \times 100 \% = -25 \%$।
अतः,प्रतिशत परिवर्तन का परिमाण $25 \%$ है।

(C) दो कला-संबद्ध स्रोतों की तीव्रताओं का अनुपात $\frac{I_1}{I_2} = 2x$ दिया गया है।
हम जानते हैं कि $I_{\max} = (\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2$ और $I_{\min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ होता है।
गणना करने के लिए व्यंजक $V = \frac{I_{\max} - I_{\min}}{I_{\max} + I_{\min}}$ है।
$I_{\max}$ और $I_{\min}$ के मान रखने पर:
$V = \frac{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 - (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}{(\sqrt{I_1} + \sqrt{I_2})^2 + (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2}$।
बीजगणितीय सर्वसमिकाओं $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ और $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ का उपयोग करने पर:
$V = \frac{4\sqrt{I_1 I_2}}{2(I_1 + I_2)} = \frac{2\sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$।
अंश और हर को $I_2$ से विभाजित करने पर:
$V = \frac{2\sqrt{I_1/I_2}}{I_1/I_2 + 1}$।
$\frac{I_1}{I_2} = 2x$ रखने पर:
$V = \frac{2\sqrt{2x}}{2x + 1}$।

(B) यंग के द्वि-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्लिट और स्क्रीन के बीच की दूरी है और $d$ दो स्लिटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 560 \,nm$ और $\beta_1 = 7.2 \,mm$.
दूसरे प्रकाश के लिए,$\beta_2 = 8.1 \,mm$.
चूँकि $D$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $\beta \propto \lambda$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.
$\lambda_2$ के लिए हल करने पर,$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{\beta_2}{\beta_1}$.
मान रखने पर: $\lambda_2 = 560 \,nm \times \frac{8.1 \,mm}{7.2 \,mm} = 560 \times \frac{81}{72} = 560 \times \frac{9}{8} = 70 \times 9 = 630 \,nm$.
अतः,दूसरे प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $630 \,nm$ है।

(D) माना डोरी की लंबाई $L$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K
\Rightarrow qEL = \frac{1}{2}mv^2 - 0
\Rightarrow v^2 = \frac{2qEL}{m}$.
जब डोरी विद्युत क्षेत्र के समानांतर हो जाती है,तो ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$ (केंद्र की ओर) और विद्युत बल $qE$ (केंद्र से दूर) हैं।
अभिकेंद्री बल का समीकरण:
$T - qE = \frac{mv^2}{L}$.
$v^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$T = qE + \frac{m}{L} \left( \frac{2qEL}{m} \right)
\Rightarrow T = qE + 2qE
\Rightarrow T = 3qE$.