Textbook - Polynomials Questions in Hindi

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $g(x) = x - a$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$g(x) = x + 1$ है,जिसे $x - (-1)$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$a = -1$ है।
हम $p(-1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-1) = 2(-1)^3 + (-1)^2 - 2(-1) - 1$
$p(-1) = 2(-1) + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = -2 + 1 + 2 - 1$
$p(-1) = 0$
चूँकि $p(-1) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।

(D) दिया गया बहुपद $p(x) = x^{2} + x + k$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - 1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(1) = 0$ होना चाहिए।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = (1)^{2} + 1 + k$
$p(1) = 1 + 1 + k$
$p(1) = 2 + k$
चूंकि $p(1) = 0$,इसलिए:
$2 + k = 0$
$k = -2$

(A) दिया गया बहुपद $p(x) = 2x^2 + kx + \sqrt{2}$ है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = 2(1)^2 + k(1) + \sqrt{2} = 0$
$2 + k + \sqrt{2} = 0$
$k$ के लिए हल करने पर:
$k = -2 - \sqrt{2}$
अतः, $k$ का मान $-(2 + \sqrt{2})$ है।

(B) यहाँ $p(x) = kx^2 - \sqrt{2}x + 1$ दिया गया है और $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि $(x - 1)$, $p(x)$ का एक गुणनखंड है, तो $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = k(1)^2 - \sqrt{2}(1) + 1 = 0$
$k - \sqrt{2} + 1 = 0$
$k$ के लिए हल करने पर:
$k = \sqrt{2} - 1$.

(C) दिया गया है कि $x - 1$,$p(x) = kx^2 - 3x + k$ का एक गुणनखंड है।
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $(x - a)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है,तो $p(a) = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ है,इसलिए $p(1) = 0$ होगा।
बहुपद में $x = 1$ रखने पर:
$p(1) = k(1)^2 - 3(1) + k = 0$
$k - 3 + k = 0$
$2k - 3 = 0$
$2k = 3$
$k = 3/2$.

(A) द्विघात बहुपद $12 x^{2}-7 x+1$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x^{2}$ का गुणांक $a = 12$ है,$x$ का गुणांक $b = -7$ है और अचर पद $c = 1$ है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l + m = b = -7$ हो और जिनका गुणनफल $lm = a \times c = 12 \times 1 = 12$ हो।
इन शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएँ $-4$ और $-3$ हैं,क्योंकि $(-4) + (-3) = -7$ और $(-4) \times (-3) = 12$ होता है।
अब,मध्य पद $-7x$ को $-4x - 3x$ के रूप में लिखने पर:
$12 x^{2} - 7 x + 1 = 12 x^{2} - 4 x - 3 x + 1$
पदों के समूह बनाकर उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$= 4 x(3 x - 1) - 1(3 x - 1)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(3 x - 1)$ को बाहर लेने पर:
$= (3 x - 1)(4 x - 1)$
अतः,गुणनखंड $(3 x - 1)(4 x - 1)$ हैं।

(A) द्विघात व्यंजक $2 x^{2}+7 x+3$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
यहाँ,व्यंजक $ax^{2} + bx + c$ के रूप में है,जहाँ $a = 2$,$b = 7$,और $c = 3$ है।
हमें ऐसी दो संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l + m = b = 7$ हो और गुणनफल $l \times m = a \times c = 2 \times 3 = 6$ हो।
ये दो संख्याएँ $1$ और $6$ हैं,क्योंकि $1 + 6 = 7$ और $1 \times 6 = 6$ होता है।
अब,मध्य पद $7x$ को $x + 6x$ के रूप में लिखने पर:
$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + x + 6 x + 3$
पदों का समूह बनाकर उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
$= x(2 x + 1) + 3(2 x + 1)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2 x + 1)$ को बाहर लेने पर:
$= (2 x + 1)(x + 3)$
अतः,गुणनखंड $(2 x + 1)(x + 3)$ हैं।

(A) द्विघात बहुपद $6x^2 + 5x - 6$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद को विभाजित करने की विधि का उपयोग करते हैं।
हमें दो ऐसी संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l + m = 5$ ($x$ का गुणांक) हो और गुणनफल $lm = 6 \times (-6) = -36$ ($x^2$ के गुणांक और अचर पद का गुणनफल) हो।
हम देखते हैं कि $9 + (-4) = 5$ और $9 \times (-4) = -36$ होता है।
अब,मध्य पद $5x$ को $9x - 4x$ के रूप में लिखने पर:
$6x^2 + 9x - 4x - 6$
पदों का समूह बनाने पर:
$(6x^2 + 9x) - (4x + 6)$
प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालने पर:
$3x(2x + 3) - 2(2x + 3)$
अंत में,उभयनिष्ठ द्विपद $(2x + 3)$ को बाहर लेने पर:
$(2x + 3)(3x - 2)$

(A) दी गई बहुपद: $3x^{2}-x-4$
मानक द्विघात रूप $ax^{2}+bx+c$ से तुलना करने पर,हमें $a=3$,$b=-1$ और $c=-4$ प्राप्त होता है।
हमें दो ऐसी संख्याएँ $l$ और $m$ ज्ञात करनी हैं जिनका योग $l+m = b = -1$ हो और गुणनफल $lm = a \times c = 3 \times (-4) = -12$ हो।
इन शर्तों को पूरा करने वाली दो संख्याएँ $-4$ और $3$ हैं,क्योंकि $-4+3 = -1$ और $(-4) \times 3 = -12$ होता है।
अब,मध्य पद $-x$ को $-4x+3x$ के रूप में विभाजित करें:
$3x^{2}-4x+3x-4$
पदों का समूह बनाएं:
$= x(3x-4) + 1(3x-4)$
उभयनिष्ठ द्विपद $(3x-4)$ को बाहर निकालने पर:
$= (3x-4)(x+1)$
अतः,गुणनखंड $(3x-4)(x+1)$ हैं।

(A) दी गई व्यंजक: $x^{3}-2x^{2}-x+2$
चरण $1$: पदों को इस प्रकार समूहित करें कि गुणनखंडन आसान हो जाए।
$x^{3}-2x^{2}-x+2 = (x^{3}-2x^{2}) - (x-2)$
चरण $2$: प्रत्येक समूह से उभयनिष्ठ पद बाहर निकालें।
$= x^{2}(x-2) - 1(x-2)$
चरण $3$: उभयनिष्ठ द्विपद $(x-2)$ को बाहर निकालें।
$= (x^{2}-1)(x-2)$
चरण $4$: सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके $(x^{2}-1)$ का गुणनखंड करें।
$= (x-1)(x+1)(x-2)$
अतः,गुणनखंड $(x-1)(x+1)(x-2)$ हैं।

(A) माना $p(x) = x^{3}-3x^{2}-9x-5$.
गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,हम शून्य ज्ञात करने के लिए मानों की जाँच करते हैं। माना $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 9(-1) - 5$
$p(-1) = -1 - 3(1) + 9 - 5$
$p(-1) = -1 - 3 + 9 - 5 = 0$.
चूँकि $p(-1) = 0$,इसलिए $(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x^{2}-4x-5)$.
द्विघात व्यंजक $x^{2}-4x-5$ के मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$x^{2}-5x+x-5 = x(x-5) + 1(x-5) = (x-5)(x+1)$.
अतः,पूर्ण गुणनखंडन है:
$x^{3}-3x^{2}-9x-5 = (x+1)(x+1)(x-5) = (x+1)^{2}(x-5)$.

(D) माना $p(x) = x^{3}+13x^{2}+32x+20$.
प्रयास द्वारा,$p(1)$ ज्ञात करते हैं:
$p(1) = (1)^{3}+13(1)^{2}+32(1)+20 = 1+13+32+20 = 66 \neq 0$.
अब,$p(-1)$ ज्ञात करते हैं:
$p(-1) = (-1)^{3}+13(-1)^{2}+32(-1)+20 = -1+13-32+20 = 0$.
$\therefore$ गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x+1)$,$p(x)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(x)$ को $(x+1)$ से विभाजित करने पर:
$x^{3}+13x^{2}+32x+20 = (x+1)(x^{2}+12x+20)$.
द्विघात व्यंजक $x^{2}+12x+20$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड कीजिए:
$x^{2}+12x+20 = x^{2}+2x+10x+20$
$= x(x+2)+10(x+2)$
$= (x+2)(x+10)$.
अतः,गुणनखंड $(x+1)(x+2)(x+10)$ हैं।

(A) माना कि $p(y) = 2y^{3} + y^{2} - 2y - 1$.
प्रयास द्वारा,हम $p(1)$ की जाँच करते हैं:
$p(1) = 2(1)^{3} + (1)^{2} - 2(1) - 1 = 2 + 1 - 2 - 1 = 0$.
चूँकि $p(1) = 0$ है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(y - 1)$ बहुपद $p(y)$ का एक गुणनखंड है।
अब,$p(y)$ को $(y - 1)$ से विभाजित करने पर:
$2y^{3} + y^{2} - 2y - 1 = 2y^{2}(y - 1) + 3y(y - 1) + 1(y - 1)$
$= (y - 1)(2y^{2} + 3y + 1)$.
द्विघात व्यंजक $2y^{2} + 3y + 1$ का मध्य पद विभाजित करके गुणनखंड करने पर:
$2y^{2} + 2y + y + 1 = 2y(y + 1) + 1(y + 1) = (y + 1)(2y + 1)$.
अतः,गुणनखंड $(y - 1)(y + 1)(2y + 1)$ हैं।

(N/A) $(i)$ यहाँ,हम सर्वसमिका $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ का उपयोग कर सकते हैं। इस सर्वसमिका में $y = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + (3)^2 = x^2 + 6x + 9$.
$(ii)$ सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -3$ और $b = 5$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(x - 3)(x + 5) = x^2 + (-3 + 5)x + (-3)(5) = x^2 + 2x - 15$.

(A) सीधे गुणा किए बिना $105 \times 106$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम संख्याओं को $(100 + 5)$ और $(100 + 6)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = 5$,और $b = 6$ है:
$105 \times 106 = (100 + 5)(100 + 6)$
$= (100)^2 + (5 + 6)(100) + (5 \times 6)$
$= 10000 + 11(100) + 30$
$= 10000 + 1100 + 30$
$= 11130$

(B) व्यंजक $49 a^{2}+70 a b+25 b^{2}$ का गुणनखंड करने के लिए,हम पदों का अवलोकन करते हैं:
$49 a^{2} = (7 a)^{2}$
$25 b^{2} = (5 b)^{2}$
$70 a b = 2(7 a)(5 b)$
इसे बीजीय सर्वसमिका $(x+y)^{2} = x^{2}+2 x y+y^{2}$ के साथ तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $x = 7 a$ और $y = 5 b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$49 a^{2}+70 a b+25 b^{2} = (7 a+5 b)^{2} = (7 a+5 b)(7 a+5 b)$.

(A) हमारे पास व्यंजक है: $\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\left(\frac{5}{2} x\right)^{2}-\left(\frac{y}{3}\right)^{2}$
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{5}{2} x$ और $b = \frac{y}{3}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{25}{4} x^{2}-\frac{y^{2}}{9} = \left(\frac{5}{2} x+\frac{y}{3}\right)\left(\frac{5}{2} x-\frac{y}{3}\right)$

दी गई व्यंजक की तुलना $(x + y + z)^2$ से करने पर,हम पाते हैं कि $x = 3a$,$y = 4b$ और $z = 5c$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करते हुए,मान रखने पर:
$(3a + 4b + 5c)^2 = (3a)^2 + (4b)^2 + (5c)^2 + 2(3a)(4b) + 2(4b)(5c) + 2(5c)(3a)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(3a)^2 = 9a^2$
$(4b)^2 = 16b^2$
$(5c)^2 = 25c^2$
$2(3a)(4b) = 24ab$
$2(4b)(5c) = 40bc$
$2(5c)(3a) = 30ac$
अतः,विस्तारित रूप $9a^2 + 16b^2 + 25c^2 + 24ab + 40bc + 30ac$ है।

(N/A) बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(4a - 2b - 3c)^2 = [4a + (-2b) + (-3c)]^2$
$= (4a)^2 + (-2b)^2 + (-3c)^2 + 2(4a)(-2b) + 2(-2b)(-3c) + 2(-3c)(4a)$
$= 16a^2 + 4b^2 + 9c^2 - 16ab + 12bc - 24ac$

(A) दी गई व्यंजक $4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4xz$ है।
इसे बीजीय सर्वसमिका $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ के रूप में लिखा जा सकता है।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिखते हैं:
$(2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(2x)(z)$.
इसकी सर्वसमिका से तुलना करने पर,हमें $a = 2x$,$b = -y$,और $c = z$ प्राप्त होता है।
अतः,व्यंजक $(2x - y + z)^2$ बन जाता है।
इस प्रकार,गुणनखंड $(2x - y + z)(2x - y + z)$ हैं।

(N/A) $(3a + 4b)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ का उपयोग करते हैं।
$(3a + 4b)^3$ की तुलना $(x + y)^3$ से करने पर,हमें $x = 3a$ और $y = 4b$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a + 4b)^3 = (3a)^3 + (4b)^3 + 3(3a)(4b)(3a + 4b)$
$= 27a^3 + 64b^3 + 36ab(3a + 4b)$
$= 27a^3 + 64b^3 + 108a^2b + 144ab^2$.

(N/A) $(5 p-3 q)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x-y)$ का उपयोग करते हैं।
$(5 p-3 q)^{3}$ की तुलना $(x-y)^{3}$ से करने पर,हमें $x = 5p$ और $y = 3q$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(5 p-3 q)^{3} = (5 p)^{3} - (3 q)^{3} - 3(5 p)(3 q)(5 p-3 q)$
घनों और गुणनफल की गणना करने पर:
$= 125 p^{3} - 27 q^{3} - 45 pq(5 p-3 q)$
$-45 pq$ का कोष्ठक के भीतर गुणा करने पर:
$= 125 p^{3} - 27 q^{3} - 225 p^{2} q + 135 p q^{2}$

(A) हमारे पास $(104)^{3} = (100 + 4)^{3}$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3xy(x + y)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 100$ और $y = 4$ है:
$(100 + 4)^{3} = (100)^{3} + (4)^{3} + 3(100)(4)(100 + 4)$
$= 1000000 + 64 + 1200(104)$
$= 1000000 + 64 + 124800$
$= 1124864$.

(B) हम $999$ को $(1000 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x = 1000$ और $y = 1$ है:
$(1000 - 1)^{3} = (1000)^{3} - (1)^{3} - 3(1000)(1)(1000 - 1)$
$= 1,000,000,000 - 1 - 3000(999)$
$= 1,000,000,000 - 1 - 2,997,000$
$= 1,000,000,000 - 2,997,001$
$= 997,002,999$

(A) दी गई व्यंजक $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(2 x)^{3}+(3 y)^{3}+3(2 x)^{2}(3 y)+3(2 x)(3 y)^{2}$.
यह बीजीय सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2} = (a+b)^{3}$ के रूप में है,जहाँ $a = 2 x$ और $b = 3 y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2 x+3 y)^{3}$.
अतः,गुणनखंडित रूप $(2 x+3 y)(2 x+3 y)(2 x+3 y)$ है।

(N/A) हम बीजीय सर्वसमिका: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$,$b = y$,और $c = 3z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$8x^{3} + y^{3} + 27z^{3} - 18xyz = (2x)^{3} + (y)^{3} + (3z)^{3} - 3(2x)(y)(3z)$.
सूत्र लागू करने पर:
$= (2x + y + 3z)((2x)^{2} + (y)^{2} + (3z)^{2} - (2x)(y) - (y)(3z) - (2x)(3z))$.
दूसरे कोष्ठक के भीतर के पदों को सरल करने पर:
$= (2x + y + 3z)(4x^{2} + y^{2} + 9z^{2} - 2xy - 3yz - 6xz)$.

(A) $(x+4)(x+10)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजगणितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं:
$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
यहाँ,$a = 4$ और $b = 10$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+4)(x+10) = x^2 + (4+10)x + (4 \times 10)$
पदों की गणना करने पर:
$= x^2 + 14x + 40$
अतः,गुणनफल $x^2 + 14x + 40$ है।

(A) $(x+8)(x-10)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(x+a)(x+b) = x^{2} + (a+b)x + ab$।
यहाँ,$a = 8$ और $b = -10$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+8)(x-10) = x^{2} + (8 + (-10))x + (8 \times (-10))$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= x^{2} + (-2)x + (-80)$
$= x^{2} - 2x - 80$.

(A) $(3x + 4)(3x - 5)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,हम $x = 3x$,$a = 4$ और $b = -5$ लेते हैं।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3x + 4)(3x - 5) = (3x)^2 + (4 + (-5))(3x) + (4 \times (-5))$
$= 9x^2 + (-1)(3x) - 20$
$= 9x^2 - 3x - 20$.

(A) दी गई व्यंजक $\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = y^{2}$ और $b = \frac{3}{2}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$\left(y^{2}+\frac{3}{2}\right)\left(y^{2}-\frac{3}{2}\right) = (y^{2})^{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^{2}$
$= y^{4} - \frac{9}{4}$

(A) $(3-2 x)(3+2 x)$ का गुणनफल ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(a-b)(a+b) = a^{2}-b^{2}$।
यहाँ,$a = 3$ और $b = 2x$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3-2 x)(3+2 x) = (3)^{2} - (2x)^{2}$।
वर्गों की गणना करने पर:
$(3)^{2} = 9$ और $(2x)^{2} = 4x^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,गुणनफल $9 - 4x^{2}$ है।

(B) हम गुणनफल को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $103 \times 107 = (100 + 3)(100 + 7)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = 3$,और $b = 7$ है:
$103 \times 107 = (100)^2 + (3 + 7) \times 100 + (3 \times 7)$
$= 10000 + (10 \times 100) + 21$
$= 10000 + 1000 + 21$
$= 11021$

(C) हम गुणनफल को इस प्रकार लिख सकते हैं: $95 \times 96 = (100 - 5) \times (100 - 4)$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = 100$,$a = -5$,और $b = -4$ है:
$95 \times 96 = (100)^2 + [(-5) + (-4)] \times 100 + [(-5) \times (-4)]$.
$= 10000 + (-9) \times 100 + 20$.
$= 10000 - 900 + 20$.
$= 9100 + 20 = 9120$.

(D) हमारे पास $104 \times 96 = (100 + 4)(100 - 4)$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 100$ और $b = 4$ है:
$= (100)^2 - (4)^2$
$= 10000 - 16$
$= 9984$.

(A) हमारे पास व्यंजक $9x^{2}+6xy+y^{2}$ है।
इसे $(3x)^{2} + 2(3x)(y) + (y)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 3x$ और $b = y$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(3x+y)^{2} = (3x+y)(3x+y)$.

(B) हमारे पास व्यंजक $4y^{2}-4y+1$ है।
इसे $(2y)^{2}-2(2y)(1)+(1)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a=2y$ और $b=1$ है,हमें प्राप्त होता है:
$(2y-1)^{2}$.
अतः,गुणनखंड $(2y-1)(2y-1)$ हैं।

(A) हमारे पास व्यंजक $x^{2} - \frac{y^{2}}{100}$ है।
इसे $x^{2} - (\frac{y}{10})^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = x$ और $b = \frac{y}{10}$ है,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2} - (\frac{y}{10})^{2} = (x + \frac{y}{10})(x - \frac{y}{10})$.

(A) हम बीजीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$.
$(x + 2y + 4z)^2$ की तुलना सर्वसमिका से करने पर,हमें प्राप्त होता है $x = x$,$y = 2y$,और $z = 4z$.
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 2y + 4z)^2 = (x)^2 + (2y)^2 + (4z)^2 + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)$.
प्रत्येक पद को सरल करने पर:
$= x^2 + 4y^2 + 16z^2 + 4xy + 16yz + 8zx$.

(A) $(2x - y + z)^2$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$a = 2x$,$b = -y$,और $c = z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x - y + z)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (z)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(-y)^2 = y^2$
$(z)^2 = z^2$
$2(2x)(-y) = -4xy$
$2(-y)(z) = -2yz$
$2(z)(2x) = 4zx$
इन सबको जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(2x - y + z)^2 = 4x^2 + y^2 + z^2 - 4xy - 2yz + 4zx$.

(N/A) $(-2x + 3y + 2z)^2$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = -2x$,$b = 3y$,और $c = 2z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2x + 3y + 2z)^2 = (-2x)^2 + (3y)^2 + (2z)^2 + 2(-2x)(3y) + 2(3y)(2z) + 2(2z)(-2x)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(-2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(2z)^2 = 4z^2$
$2(-2x)(3y) = -12xy$
$2(3y)(2z) = 12yz$
$2(2z)(-2x) = -8zx$
इन परिणामों को संयोजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x^2 + 9y^2 + 4z^2 - 12xy + 12yz - 8zx$

(N/A) $(3a - 7b - c)^{2}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2yz + 2zx$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$x = 3a$,$y = -7b$,और $z = -c$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3a - 7b - c)^{2} = (3a)^{2} + (-7b)^{2} + (-c)^{2} + 2(3a)(-7b) + 2(-7b)(-c) + 2(-c)(3a)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$= 9a^{2} + 49b^{2} + c^{2} + (-42ab) + (14bc) + (-6ca)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$= 9a^{2} + 49b^{2} + c^{2} - 42ab + 14bc - 6ca$

(N/A) $(-2x + 5y - 3z)^2$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = -2x$,$b = 5y$,और $c = -3z$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(-2x + 5y - 3z)^2 = (-2x)^2 + (5y)^2 + (-3z)^2 + 2(-2x)(5y) + 2(5y)(-3z) + 2(-3z)(-2x)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(-2x)^2 = 4x^2$
$(5y)^2 = 25y^2$
$(-3z)^2 = 9z^2$
$2(-2x)(5y) = -20xy$
$2(5y)(-3z) = -30yz$
$2(-3z)(-2x) = 12zx$
इन परिणामों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4x^2 + 25y^2 + 9z^2 - 20xy - 30yz + 12zx$

हम बीजीय सर्वसमिका $(x+y+z)^{2} = x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$x = \frac{1}{4}a$,$y = -\frac{1}{2}b$,और $z = 1$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{1}{4} a-\frac{1}{2} b+1\right]^{2} = \left(\frac{1}{4} a\right)^{2} + \left(-\frac{1}{2} b\right)^{2} + (1)^{2} + 2\left(\frac{1}{4} a\right)\left(-\frac{1}{2} b\right) + 2\left(-\frac{1}{2} b\right)(1) + 2(1)\left(\frac{1}{4} a\right)$
$= \frac{1}{16} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + 1 - \frac{1}{4} ab - b + \frac{1}{2} a$.

(A) दी गई व्यंजक $4x^{2} + 9y^{2} + 16z^{2} + 12xy - 24yz - 16xz$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका: $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
दी गई व्यंजक की सर्वसमिका से तुलना करने पर:
$4x^{2} = (2x)^{2}$
$9y^{2} = (3y)^{2}$
$16z^{2} = (-4z)^{2}$ (चूंकि $-24yz$ और $-16xz$ पद ऋणात्मक हैं,इसलिए $z$ वाला पद ऋणात्मक होगा)।
अब,व्यंजक को इस प्रकार लिखें:
$= (2x)^{2} + (3y)^{2} + (-4z)^{2} + 2(2x)(3y) + 2(3y)(-4z) + 2(-4z)(2x)$
सर्वसमिका का उपयोग करने पर,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= (2x + 3y - 4z)^{2}$
अतः,गुणनखंडित रूप $(2x + 3y - 4z)(2x + 3y - 4z)$ है।

(A) दी गई व्यंजक $2x^2 + y^2 + 8z^2 - 2\sqrt{2}xy + 4\sqrt{2}yz - 8xz$ है।
हम बीजगणितीय सर्वसमिका $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ का उपयोग करेंगे।
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(-\sqrt{2}x)^2 + (y)^2 + (2\sqrt{2}z)^2 + 2(-\sqrt{2}x)(y) + 2(y)(2\sqrt{2}z) + 2(2\sqrt{2}z)(-\sqrt{2}x)$
यहाँ,$a = -\sqrt{2}x$,$b = y$,और $c = 2\sqrt{2}z$ है।
अतः,व्यंजक $(-\sqrt{2}x + y + 2\sqrt{2}z)^2$ या $(y - \sqrt{2}x + 2\sqrt{2}z)^2$ बन जाता है।

(A) $(2x + 1)^3$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = 2x$ और $b = 1$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 1)^3 = (2x)^3 + (1)^3 + 3(2x)(1)(2x + 1)$
पदों की गणना करने पर:
$= 8x^3 + 1 + 6x(2x + 1)$
$6x$ का कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= 8x^3 + 1 + 12x^2 + 6x$
घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$= 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$

(N/A) $(2a - 3b)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(x - y)^{3} = x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,$x = 2a$ और $y = 3b$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में रखने पर:
$(2a - 3b)^{3} = (2a)^{3} - (3b)^{3} - 3(2a)(3b)(2a - 3b)$
घनों और गुणनफल की गणना करने पर:
$= 8a^{3} - 27b^{3} - 18ab(2a - 3b)$
$-18ab$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= 8a^{3} - 27b^{3} - (36a^{2}b - 54ab^{2})$
$= 8a^{3} - 27b^{3} - 36a^{2}b + 54ab^{2}$

व्यंजक $\left[\frac{3}{2} x+1\right]^{3}$ का विस्तार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = \frac{3}{2}x$ और $b = 1$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{3}{2} x+1\right]^{3} = \left(\frac{3}{2} x\right)^{3} + (1)^{3} + 3\left(\frac{3}{2} x\right)(1)\left(\frac{3}{2} x + 1\right)$
घातों और गुणनफल की गणना करने पर:
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \frac{9}{2} x \left(\frac{3}{2} x + 1\right)$
$\frac{9}{2}x$ को कोष्ठक के अंदर गुणा करने पर:
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \left(\frac{9}{2} x \cdot \frac{3}{2} x\right) + \left(\frac{9}{2} x \cdot 1\right)$
$= \frac{27}{8} x^{3} + 1 + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x$
पदों को घातों के अवरोही क्रम में व्यवस्थित करने पर:
$= \frac{27}{8} x^{3} + \frac{27}{4} x^{2} + \frac{9}{2} x + 1$

(N/A) $\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3}$ का प्रसार करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a-b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$a = x$ और $b = \frac{2}{3}y$ है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(x-\frac{2}{3} y\right)^{3} = x^{3} - \left(\frac{2}{3} y\right)^{3} - 3(x)\left(\frac{2}{3} y\right)\left(x-\frac{2}{3} y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2xy\left(x-\frac{2}{3} y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2x^{2}y + \left(2xy \cdot \frac{2}{3}y\right)$
$= x^{3} - \frac{8}{27} y^{3} - 2x^{2}y + \frac{4}{3}xy^{2}$

(D) हम जानते हैं कि $99 = 100 - 1$ है।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 100$ और $b = 1$ है:
$(100 - 1)^{3} = 100^{3} - 1^{3} - 3(100)(1)(100 - 1)$
$= 1000000 - 1 - 300(99)$
$= 1000000 - 1 - 29700$
$= 1000000 - 29701$
$= 970299$