Textbook - Polynomials Questions in Hindi

(A) $(102)^{3}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम बीजीय सर्वसमिका $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$ का उपयोग करेंगे।
यहाँ,हम $102$ को $(100 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका में $a = 100$ और $b = 2$ रखने पर:
$(100 + 2)^{3} = (100)^{3} + (2)^{3} + 3(100)(2)(100 + 2)$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$(100)^{3} = 1000000$
$(2)^{3} = 8$
$3(100)(2) = 600$
अब,इन मानों को वापस रखने पर:
$1000000 + 8 + 600(102)$
$= 1000000 + 8 + 61200$
$= 1061208$

(B) हम $998$ को $(1000 - 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
बीजगणितीय सर्वसमिका $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = 1000$ और $b = 2$ है:
$(998)^{3} = (1000 - 2)^{3}$
$= (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(A) दी गई व्यंजक $8 a^{3}+b^{3}+12 a^{2} b+6 a b^{2}$ है।
हम इस व्यंजक को $(2 a)^{3}+(b)^{3}+3(2 a)^{2}(b)+3(2 a)(b)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह बीजीय सर्वसमिका $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}$ के रूप में है,जहाँ $x = 2a$ और $y = b$ है।
इसलिए,व्यंजक का सरलीकृत रूप $(2 a+b)^{3}$ है।
अतः,गुणनखंडित रूप $(2 a+b)(2 a+b)(2 a+b)$ है।

(A) दी गई व्यंजक $8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2$ है।
हम इसे $(2a)^3 - (b)^3 - 3(2a)^2(b) + 3(2a)(b)^2$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3x^2y + 3xy^2$ के रूप में है,जहाँ $x = 2a$ और $y = b$ है।
अतः,$8a^3 - b^3 - 12a^2b + 6ab^2 = (2a - b)^3$ है।
इसे $(2a - b)(2a - b)(2a - b)$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) दी गई व्यंजक $27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2}$ है।
हम इसे $(3)^{3}-(5 a)^{3}-3(3)^{2}(5 a)+3(3)(5 a)^{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}$ का पालन करती है।
यहाँ,$x = 3$ और $y = 5a$ है।
अतः,$27-125 a^{3}-135 a+225 a^{2} = (3-5a)^{3}$ है।
इसे $(3-5a)(3-5a)(3-5a)$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) दी गई व्यंजक $64 a^{3}-27 b^{3}-144 a^{2} b+108 a b^{2}$ है।
इसे $(4 a)^{3}-(3 b)^{3}-3(4 a)^{2}(3 b)+3(4 a)(3 b)^{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह व्यंजक बीजीय सर्वसमिका $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}$ का पालन करता है,जहाँ $x = 4a$ और $y = 3b$ है।
अतः,व्यंजक का सरलीकरण $(4 a-3 b)^{3}$ होता है।
इस प्रकार,इसके गुणनखंड $(4 a-3 b)(4 a-3 b)(4 a-3 b)$ हैं।

(A) दी गई व्यंजक $27 p^{3} - \frac{1}{216} - \frac{9}{2} p^{2} + \frac{1}{4} p$ है।
हम इस व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$(3p)^{3} - (\frac{1}{6})^{3} - 3(3p)(\frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})$.
यह बीजीय सर्वसमिका $x^{3} - y^{3} - 3xy(x - y) = (x - y)^{3}$ के रूप में है,जहाँ $x = 3p$ और $y = \frac{1}{6}$ है।
अतः,व्यंजक का सरल रूप $(3p - \frac{1}{6})^{3}$ है।
इसे $(3p - \frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})(3p - \frac{1}{6})$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(N/A) सर्वसमिका को सत्यापित करने के लिए,हम दाहिने पक्ष ($R$.$H$.$S$.) का विस्तार करेंगे।
$R.H.S. = (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$
$= x(x^{2}-xy+y^{2}) + y(x^{2}-xy+y^{2})$
$= (x^{3} - x^{2}y + xy^{2}) + (x^{2}y - xy^{2} + y^{3})$
समान पदों को एक साथ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= x^{3} + (-x^{2}y + x^{2}y) + (xy^{2} - xy^{2}) + y^{3}$
$= x^{3} + 0 + 0 + y^{3}$
$= x^{3} + y^{3} = L.H.S.$
अतः,सर्वसमिका सत्यापित होती है।

(N/A) इस सर्वसमिका को सत्यापित करने के लिए,हम दाएँ पक्ष ($R$.$H$.$S$.) से शुरुआत करते हैं:
$R.H.S. = (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$
पदों का वितरण करने पर:
$= x(x^{2}+xy+y^{2}) - y(x^{2}+xy+y^{2})$
$= (x^{3} + x^{2}y + xy^{2}) - (x^{2}y + xy^{2} + y^{3})$
$= x^{3} + x^{2}y + xy^{2} - x^{2}y - xy^{2} - y^{3}$
विपरीत चिह्नों वाले समान पदों को काटने पर ($x^{2}y - x^{2}y = 0$ और $xy^{2} - xy^{2} = 0$):
$= x^{3} - y^{3}$
$= L.H.S.$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S.$,अतः सर्वसमिका सत्यापित होती है।

(A) बीजगणितीय सर्वसमिका $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ का उपयोग करके,हम व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं।
यहाँ,$27 y^{3}+125 z^{3} = (3 y)^{3}+(5 z)^{3}$ है।
इसकी तुलना $a^{3}+b^{3}$ से करने पर,हमें $a = 3y$ और $b = 5z$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(3 y)^{3}+(5 z)^{3} = (3 y+5 z)((3 y)^{2}-(3 y)(5 z)+(5 z)^{2})$
$= (3 y+5 z)(9 y^{2}-15 y z+25 z^{2})$.

(A) बीजगणितीय सर्वसमिका $x^{3} - y^{3} = (x - y)(x^{2} + xy + y^{2})$ का उपयोग करके,हम व्यंजक का गुणनखंड कर सकते हैं।
दिया गया व्यंजक: $64m^{3} - 343n^{3}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(4m)^{3} - (7n)^{3}$
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए जहाँ $x = 4m$ और $y = 7n$ है:
$(4m - 7n)((4m)^{2} + (4m)(7n) + (7n)^{2})$
$= (4m - 7n)(16m^{2} + 28mn + 49n^{2})$

(A) बीजगणितीय सर्वसमिका इस प्रकार है: $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$.
हम दिए गए व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$27x^3 + y^3 + z^3 - 9xyz = (3x)^3 + (y)^3 + (z)^3 - 3(3x)(y)(z)$.
इसकी तुलना सर्वसमिका से करने पर,जहाँ $x$ को $3x$ से,$y$ को $y$ से और $z$ को $z$ से प्रतिस्थापित किया गया है:
$= (3x + y + z)((3x)^2 + y^2 + z^2 - (3x)(y) - (y)(z) - (z)(3x))$.
दूसरे कोष्ठक के पदों को सरल करने पर:
$= (3x + y + z)(9x^2 + y^2 + z^2 - 3xy - yz - 3zx)$.

(N/A) दाहिने पक्ष ($R$.$H$.$S$.) से शुरू करें:
$\text{R.H.S.} = \frac{1}{2}(x+y+z)[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}]$
कोष्ठक के अंदर के वर्गों का विस्तार करें:
$= \frac{1}{2}(x+y+z)[(x^{2}-2xy+y^{2})+(y^{2}-2yz+z^{2})+(z^{2}-2zx+x^{2})]$
समान पदों को जोड़ें:
$= \frac{1}{2}(x+y+z)[2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-2xy-2yz-2zx]$
वर्ग कोष्ठक के अंदर के व्यंजक से $2$ को उभयनिष्ठ (common) लें:
$= \frac{1}{2}(x+y+z) \cdot 2[x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx]$
$= (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$
बीजगणितीय सर्वसमिका $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = \text{L.H.S.}$

(N/A) दिया गया है कि $x+y+z=0.$
इसलिए,$x+y=-z.$
दोनों पक्षों का घन करने पर,हमें प्राप्त होता है $(x+y)^{3}=(-z)^{3}.$
सर्वसमिका $(x+y)^{3} = x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)$ का उपयोग करने पर:
$x^{3}+y^{3}+3xy(x+y) = -z^{3}.$
चूंकि $x+y=-z,$ इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{3}+y^{3}+3xy(-z) = -z^{3}.$
$x^{3}+y^{3}-3xyz = -z^{3}.$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz.$
अतः,यदि $x+y+z=0,$ तो $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3xyz$ होता है।

(C) माना $x = -12, y = 7$ और $z = 5$ है।
तब,$x + y + z = -12 + 7 + 5 = 0$ है।
हम जानते हैं कि यदि $x + y + z = 0$ हो,तो $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ होता है।
इसलिए,$(-12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3} = 3[(-12)(7)(5)]$,क्योंकि $(-12) + 7 + 5 = 0$ है।
गुणनफल ज्ञात करने पर: $3[-420] = -1260$ प्राप्त होता है।
अतः,$(-12)^{3} + (7)^{3} + (5)^{3} = -1260$ है।

(D) माना $x = 28$,$y = -15$,और $z = -13$ है।
सबसे पहले,$x, y,$ और $z$ का योग ज्ञात कीजिए:
$x + y + z = 28 + (-15) + (-13) = 28 - 28 = 0$.
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका के अनुसार: यदि $x + y + z = 0$ है,तो $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz$ होता है।
इस सर्वसमिका में मान रखने पर:
$(28)^{3} + (-15)^{3} + (-13)^{3} = 3(28)(-15)(-13)$.
गुणनफल ज्ञात करने पर:
$3 \times 28 = 84$
$(-15) \times (-13) = 195$
$84 \times 195 = 16380$.
अतः,इसका मान $16380$ है।

(A) आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \text{Length} \times \text{Breadth}$ (लंबाई $\times$ चौड़ाई)।
दिया गया क्षेत्रफल: $25a^2 - 35a + 12$ है।
लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए,हमें द्विघात बहुपद $25a^2 - 35a + 12$ का गुणनखंड करना होगा।
हमें ऐसी दो संख्याएँ ढूँढनी हैं जिनका गुणनफल $25 \times 12 = 300$ हो और जिनका योग $-35$ हो।
ये दो संख्याएँ $-20$ और $-15$ हैं,क्योंकि $(-20) \times (-15) = 300$ और $(-20) + (-15) = -35$ होता है।
अब,व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करते हुए:
$25a^2 - 20a - 15a + 12$
समूह बनाकर गुणनखंड करने पर:
$= 5a(5a - 4) - 3(5a - 4)$
$= (5a - 4)(5a - 3)$
अतः,लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक $(5a - 3)$ और $(5a - 4)$ हैं।

(A) आयत का क्षेत्रफल = (लंबाई) $\times$ (चौड़ाई)।
दिया गया क्षेत्रफल $35y^2 + 13y - 12$ है,इसलिए हमें इस द्विघात बहुपद का गुणनखंड करना होगा।
$35y^2 + 13y - 12$ का गुणनखंड करने के लिए,हम मध्य पद $13y$ को दो भागों में इस प्रकार विभाजित करते हैं कि उनका योग $13y$ हो और उनका गुणनफल $y^2$ के गुणांक और अचर पद के गुणनफल $(35 \times -12 = -420)$ के बराबर हो।
हम पाते हैं कि $28y$ और $-15y$ इन शर्तों को पूरा करते हैं क्योंकि $28y - 15y = 13y$ और $28y \times (-15y) = -420y^2$।
अब,व्यंजक को फिर से लिखते हैं:
$35y^2 + 28y - 15y - 12$
पदों का समूह बनाने पर:
$(35y^2 + 28y) - (15y + 12)$
उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$7y(5y + 4) - 3(5y + 4)$
$(7y - 3)(5y + 4)$
अतः,लंबाई और चौड़ाई के लिए संभावित व्यंजक $(7y - 3)$ और $(5y + 4)$ हैं।

(N/A) घनाभ का आयतन ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
दिया गया आयतन $= 3x^2 - 12x$.
संभव विमाएँ ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक का गुणनखंड करेंगे:
$3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$.
इस प्रकार,व्यंजक को तीन गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $3$,$x$,और $(x - 4)$.
अतः,घनाभ की संभव विमाएँ $3$,$x$,और $(x - 4)$ इकाई हैं।

(A) घनाभ का आयतन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{आयतन} = \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}$.
दिया गया आयतन $= 12ky^{2} + 8ky - 20k$.
सबसे पहले,उभयनिष्ठ पद $4k$ को बाहर निकालने पर:
$12ky^{2} + 8ky - 20k = 4k(3y^{2} + 2y - 5)$.
अब,मध्य पद को विभाजित करके द्विघात व्यंजक $(3y^{2} + 2y - 5)$ का गुणनखंड करने पर:
$3y^{2} + 2y - 5 = 3y^{2} + 5y - 3y - 5$
$= y(3y + 5) - 1(3y + 5)$
$= (3y + 5)(y - 1)$.
इस प्रकार,आयतन $= 4k \times (3y + 5) \times (y - 1)$.
अतः,घनाभ के संभावित आयाम $4k$,$(3y + 5)$ और $(y - 1)$ इकाई हैं।

(A) दिया गया व्यंजक $y^{2} + \sqrt{2}$ है।
इसे $y^{2} + \sqrt{2}y^{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक चर वाला बहुपद वह बीजीय व्यंजक है जिसमें चर का घातांक एक ऋणोत्तर पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होता है।
व्यंजक $y^{2} + \sqrt{2}$ में,चर $y$ का घातांक $2$ है,जो एक पूर्ण संख्या है।
अतः,$y^{2} + \sqrt{2}$ एक चर वाला बहुपद है।

(D) दिया गया व्यंजक $3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ है।
इसे $3 t^{1/2} + \sqrt{2} \cdot t$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक चर वाला बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक है जिसमें चर का घातांक एक पूर्ण संख्या (non-negative integer) होनी चाहिए।
पद $3 t^{1/2}$ में,चर $t$ का घातांक $\frac{1}{2}$ है,जो एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः,$3 \sqrt{t} + t \sqrt{2}$ एक बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $y + \frac{2}{y}$ है।
इसे $y + 2 \cdot y^{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
एक चर वाला बहुपद एक ऐसा बीजीय व्यंजक होता है जिसमें चर का घातांक एक अऋण पूर्णांक (पूर्ण संख्या) होना चाहिए।
पद $2 \cdot y^{-1}$ में,चर $y$ का घातांक $-1$ है।
चूंकि $-1$ एक पूर्ण संख्या नहीं है,इसलिए व्यंजक $y + \frac{2}{y}$ एक बहुपद नहीं है।

(D) दिया गया व्यंजक $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ है।
$1$. एक चर वाला बहुपद वह बीजीय व्यंजक है जिसमें चर का घातांक एक पूर्ण संख्या होती है और केवल एक ही चर उपस्थित होता है।
$2$. व्यंजक $x^{10} + y^{3} + t^{50}$ में तीन अलग-अलग चर हैं: $x$,$y$,और $t$।
$3$. यद्यपि प्रत्येक चर का घातांक $(10, 3, 50)$ एक पूर्ण संख्या है,लेकिन इस व्यंजक में तीन चर शामिल हैं।
$4$. अतः,$x^{10} + y^{3} + t^{50}$ तीन चरों वाला एक बहुपद है,न कि एक चर वाला।

(A) $(i)$ व्यंजक $\frac{\pi}{2} x^2 + x$ में,$x^2$ वाला पद $\frac{\pi}{2} x^2$ है। अतः,$x^2$ का गुणांक $\frac{\pi}{2}$ है।
$(ii)$ व्यंजक $\sqrt{2} x - 1$ में,$x^2$ का कोई पद नहीं है। हम इस व्यंजक को $\sqrt{2} x - 1 + 0 \cdot x^2$ के रूप में लिख सकते हैं। अतः,$x^2$ का गुणांक $0$ है।

(B) बहुपद की घात बहुपद में उपस्थित चर की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित की जाती है।
$(i)$ $5t - \sqrt{7}$
यह चर $t$ में एक बहुपद है। चर $t$ की उच्चतम घात $1$ है। इसलिए,इस बहुपद की घात $1$ है।
$(ii)$ $3$
यह एक अचर बहुपद है। किसी भी शून्येतर अचर बहुपद की घात हमेशा $0$ होती है,क्योंकि $3$ को $3 \times t^0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(N/A) $(i)$ $1+x$
चूंकि $1+x$ की घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक बहुपद है।
$(ii)$ $3t$
चूंकि $3t$ की घात $1$ है,इसलिए यह एक रैखिक बहुपद है।
$(iii)$ $r^{2}$
चूंकि $r^{2}$ की घात $2$ है,इसलिए यह एक द्विघाती बहुपद है।
$(iv)$ $7x^{3}$
चूंकि $7x^{3}$ की घात $3$ है,इसलिए यह एक त्रिघाती बहुपद है।

$(16+\sqrt{11})$ दिया गया बहुपद $q(y) = 3y^3 - 4y + \sqrt{11}$ है।
$y = 2$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $y$ के स्थान पर $2$ प्रतिस्थापित करेंगे:
$q(2) = 3(2)^3 - 4(2) + \sqrt{11}$
घात की गणना करने पर: $2^3 = 8$.
मान रखने पर: $q(2) = 3(8) - 8 + \sqrt{11}$.
गुणा करने पर: $q(2) = 24 - 8 + \sqrt{11}$.
घटाने पर: $q(2) = 16 + \sqrt{11}$.

(N/A) दिया गया बहुपद $p(t) = 4t^4 + 5t^3 - t^2 + 6$ है।
$t = a$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,हम व्यंजक में $t$ के स्थान पर $a$ प्रतिस्थापित करेंगे।
$p(a) = 4(a)^4 + 5(a)^3 - (a)^2 + 6$.
अतः,$t = a$ पर बहुपद का मान $4a^4 + 5a^3 - a^2 + 6$ है।

(B) माना कि बहुपद $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = -1$ पर मान ज्ञात करने के लिए,बहुपद में $x$ के स्थान पर $-1$ प्रतिस्थापित करें:
$p(-1) = 5(-1) - 4(-1)^2 + 3$
$p(-1) = -5 - 4(1) + 3$
$p(-1) = -5 - 4 + 3$
$p(-1) = -9 + 3$
$p(-1) = -6$

(C) दिया गया बहुपद $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ है।
$x = 2$ पर बहुपद का मान ज्ञात करने के लिए,व्यंजक में $x$ के स्थान पर $2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(2) = 5(2) - 4(2)^2 + 3$
$p(2) = 10 - 4(4) + 3$
$p(2) = 10 - 16 + 3$
$p(2) = -6 + 3$
$p(2) = -3$
अतः,$x = 2$ पर बहुपद का मान $-3$ है।

(B) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होगा यदि $p(-1) = 0$ हो।
दिया गया है $p(x) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1$।
बहुपद में $x = -1$ रखने पर:
$p(-1) = (-1)^{4} + (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$p(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1$
व्यंजक को सरल करने पर:
$p(-1) = 1$
चूंकि $p(-1) \neq 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(NONE) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड तभी होता है यदि $p(-1) = 0$ हो।
माना $p(x) = x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} + x + 1$ है।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{4} + 3(-1)^{3} + 3(-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = 1 + 3(-1) + 3(1) - 1 + 1$
$p(-1) = 1 - 3 + 3 - 1 + 1$
$p(-1) = 1$
चूंकि $p(-1) = 1 \neq 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(NONE) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, $(x + 1)$ बहुपद $p(x)$ का एक गुणनखंड है यदि $p(-1) = 0$ हो।
माना $p(x) = x^{3} - x^{2} - (2 + \sqrt{2})x + \sqrt{2}$ है।
बहुपद में $x = -1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - (2 + \sqrt{2})(-1) + \sqrt{2}$
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$p(-1) = -1 - 1 + (2 + \sqrt{2}) + \sqrt{2}$
$p(-1) = -2 + 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2}$
$p(-1) = 2\sqrt{2}$
चूंकि $p(-1) = 2\sqrt{2} \neq 0$ है, इसलिए $(x + 1)$ दिए गए बहुपद का गुणनखंड नहीं है।

(D) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$g(x) = x - a$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है यदि $p(a) = 0$ हो।
यहाँ,$g(x) = x + 2$ है,इसलिए $x + 2 = 0$ रखने पर,हमें $x = -2$ प्राप्त होता है।
अब,हम $p(-2)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 1$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 6 + 1$
$p(-2) = -8 + 12 - 6 + 1$
$p(-2) = 4 - 6 + 1 = -1$
चूँकि $p(-2) \neq 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x)$,$p(x)$ का गुणनखंड नहीं है।

(A) गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,यदि $p(a) = 0$ है,तो $g(x) = x - a$,$p(x)$ का एक गुणनखंड होता है।
यहाँ,$g(x) = x - 3$ है,इसलिए $a = 3$ है।
$p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ में $x = 3$ रखकर $p(3)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$p(3) = (3)^3 - 4(3)^2 + (3) + 6$
$p(3) = 27 - 4(9) + 3 + 6$
$p(3) = 27 - 36 + 3 + 6$
$p(3) = 36 - 36 = 0$
चूँकि $p(3) = 0$ है,इसलिए गुणनखंड प्रमेय के अनुसार $g(x) = x - 3$,$p(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ का एक गुणनखंड है।