Magnetic Equipment's (Tangent galvanometer, Vibration magnetometer and Neutral point) Questions in Hindi

(D) एक छोटे चुंबक के दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण, $B$ चुंबकीय क्षेत्र और $I$ जड़त्व आघूर्ण है। अतः, $f \propto \sqrt{B}$.
प्रारंभ में, $f_1 = 10 \, Hz$ और $B_1 = 12 \, \mu T$.
$r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ की दूरी पर एक लंबे ऊर्ध्वाधर तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र $B_w = \frac{\mu_0 i}{2\pi r} = \frac{2 \times 10^{-7} \times 15}{0.2} = 15 \, \mu T$ है।
चूंकि तार चुंबक के पश्चिम में है, नीचे की ओर धारा के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर, तार के कारण चुंबकीय क्षेत्र उत्तर दिशा में होगा। पृथ्वी का क्षैतिज घटक $B_H$ भी उत्तर दिशा में है।
यदि क्षेत्र विपरीत दिशा में हो, तो $B_2 = |12 - 15| = 3 \, \mu T$ होगा। अतः, $f_2 = 10 \times \sqrt{3/12} = 10 \times 0.5 = 5 \, Hz$। इस प्रकार, सही विकल्प $D$ है।

(B) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में कंपन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
पहले चुंबक के लिए: $T_1 = 8 \text{ s}$,$M_1 = 4 \text{ Am}^2$,$I_1 = I$.
$8 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4B}} \implies 64 = 4\pi^2 \frac{I}{4B} = \frac{\pi^2 I}{B} \quad (i)$
दूसरे चुंबक के लिए: $T_2 = 6 \text{ s}$,$M_2 = 8 \text{ Am}^2$,$I_2 = 9 \times 10^{-2} \text{ kg-m}^2$.
$6 = 2\pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-2}}{8B}} \implies 36 = 4\pi^2 \frac{9 \times 10^{-2}}{8B} = \frac{\pi^2 (9 \times 10^{-2})}{2B} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{64}{36} = \frac{\pi^2 I / B}{\pi^2 (9 \times 10^{-2}) / 2B} = \frac{I \times 2}{9 \times 10^{-2}}$
$\frac{16}{9} = \frac{2I}{9 \times 10^{-2}}$
$16 = \frac{2I}{10^{-2}} \implies 16 \times 10^{-2} = 2I$
$I = 8 \times 10^{-2} \text{ kg-m}^2$.

(D) चुंबक की लंबाई $2l = 10 \,cm$, इसलिए $l = 5 \,cm = 0.05 \,m$ है।
प्रत्येक ध्रुव से उदासीन बिंदु $P$ की दूरी $d = 15 \,cm = 0.15 \,m$ है।
चुंबक के केंद्र $O$ से उदासीन बिंदु की दूरी $r = \sqrt{d^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \,cm = 10\sqrt{2} \,cm = 0.1414 \,m$ है।
उदासीन बिंदु पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H = 0.4 \,Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \,T$ के बराबर होता है।
छड़ चुंबक की निरक्षीय रेखा पर किसी बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{(r^2 + l^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
यहाँ, $r^2 + l^2 = d^2 = (0.15)^2 = 0.0225 \,m^2$ है।
अतः, $0.4 \times 10^{-4} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.0225)^{3/2}}$.
$M = \frac{0.4 \times 10^{-4} \times (0.0225)^{3/2}}{10^{-7}} = 0.4 \times 10^3 \times (0.15)^3 = 400 \times 0.003375 = 1.35 \,A-m^2$.
ध्रुव प्रबलता $m$, $M = m \times (2l)$ द्वारा दी जाती है।
$m = \frac{M}{2l} = \frac{1.35 \,A-m^2}{0.10 \,m} = 13.5 \,A-m$.

(D) कंपन करते हुए छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ के लिए हल करने पर:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
दिए गए मान:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$
$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$
$T = 8.8 \,s$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$I = \frac{ml^2}{12}$ जड़त्व आघूर्ण है और $M = m_p l$ चुंबकीय आघूर्ण है,जहाँ $m_p$ ध्रुव प्रबलता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2}{12 m_p l B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{ml}{12 m_p B}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ लंबाई $l$ के समानुपाती है,$m \propto l$,इसलिए $T \propto \sqrt{\frac{l^2}{m_p}} \propto \frac{l}{\sqrt{m_p}}$।
जब चुंबक को तीन बराबर भागों में काटा जाता है,तो प्रत्येक भाग की लंबाई $l' = l/3$ हो जाती है और ध्रुव प्रबलता $m_p$ समान रहती है।
जब इन तीन भागों को समान ध्रुवों को एक साथ रखकर रखा जाता है,तो नई लंबाई $l' = l/3$ और नई ध्रुव प्रबलता $M'_{p} = 3m_p$ होती है।
संयोजन के लिए नया जड़त्व आघूर्ण $I' = 3 \times \frac{(m/3)(l/3)^2}{12} = \frac{ml^2}{108}$ होता है।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = 3m_p \times (l/3) = m_p l = M$ होता है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M'B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{ml^2/108}{M B}} = \frac{1}{\sqrt{9}} T = \frac{T}{3}$ होता है।
दिया गया है $T = 2 \ s$,अतः नया आवर्तकाल $T' = 2/3 \ s$ है।

(B) एक स्पर्शज्या गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $I = \frac{2r B_H}{\mu_0 N} \tan \theta$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $r$ त्रिज्या है, $N$ फेरों की संख्या है और $\theta$ विक्षेप है。
चूंकि गैल्वेनोमीटर $V$ emf वाले सेल के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं, इसलिए प्रत्येक पर विभवांतर समान है $(V_A = V_B = V)$。
$V = IR$ होने के कारण, $I = V/R$ प्राप्त होता है। दोनों के लिए $R$ समान $(8 \Omega)$ है, इसलिए धारा $I_A$ और $I_B$ समान हैं。
अतः, $\frac{2 r_A B_H}{\mu_0 N_A} \tan \theta_A = \frac{2 r_B B_H}{\mu_0 N_B} \tan \theta_B$.
सरल करने पर, $\frac{r_A \tan \theta_A}{N_A} = \frac{r_B \tan \theta_B}{N_B}$ प्राप्त होता है。
दिए गए मान रखने पर: $r_A = 8 \text{ cm}$, $r_B = 16 \text{ cm}$, $N_A = 2$, $\theta_A = 30^{\circ}$, $\theta_B = 60^{\circ}$.
$\frac{8 \tan 30^{\circ}}{2} = \frac{16 \tan 60^{\circ}}{N_B}$.
$4 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{16 \times \sqrt{3}}{N_B}$.
$N_B = \frac{16 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3}{4} = 12$ फेरे।

(D) उदासीन बिंदु पर, कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य होता है। इस स्थिति में, पृथ्वी का क्षैतिज चुंबकीय क्षेत्र द्विध्रुव द्वारा निरक्षीय (द्विभाजक) स्थिति पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र द्वारा निरस्त हो जाता है।
$B_H = B_{\text{equatorial}}$
यहाँ $B_H = 20 \mu T = 20 \times 10^{-6} \text{ T}$ और दूरी $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ है।
निरक्षीय तल पर चुंबकीय क्षेत्र का सूत्र $B = \frac{\mu_0}{4 \pi} \times \frac{M}{d^3}$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $20 \times 10^{-6} = 10^{-7} \times \frac{M}{(0.2)^3}$.
$M = \frac{20 \times 10^{-6} \times 0.008}{10^{-7}} = 200 \times 0.008 = 1.6 \text{ A m}^2$.

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ है,जिसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{B}}$.
प्रारंभ में,चुंबक $30$ दोलन प्रति मिनट करता है,इसलिए आवृत्ति $f = 30/60 = 0.5 \,Hz$.
प्रारंभिक आवर्तकाल $T = 1/f = 1/0.5 = 2 \,s$.
जब चुंबकीय क्षेत्र को दोगुना किया जाता है,तो $B' = 2B$.
नया आवर्तकाल $T'$ इस प्रकार है: $T' = \frac{T}{\sqrt{B'/B}} = \frac{T}{\sqrt{2B/B}} = \frac{T}{\sqrt{2}}$.
$T$ का मान रखने पर,हमें $T' = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$ प्राप्त होता है।

(B) छड़ चुंबक के दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
दिया गया है $T_1 = 2 \,s$ और $M_1 = M$।
दूसरे चुंबक के लिए,$M_2 = 4M$ और जड़त्व आघूर्ण $I$ समान रहता है क्योंकि चुंबक आकार और माप में समान हैं।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}} = \sqrt{\frac{4M}{M}} = \sqrt{4} = 2$।
अतः,$\frac{2}{T_2} = 2$,जिससे $T_2 = 1 \,s$ प्राप्त होता है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
जब चुंबकों को एक साथ रखा जाता है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{eff} = M_A + M_B$ (समान ध्रुवों के लिए) और $M_{eff} = M_A - M_B$ (विपरीत ध्रुवों के लिए) होता है।
मान लीजिए $f_s = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_d = 15 \text{ दोलन/मिनट}$ है।
चूंकि $f \propto \sqrt{M_{eff}}$,इसलिए $\frac{f_s}{f_d} = \sqrt{\frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\left(\frac{20}{15}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B} \Rightarrow \frac{16}{9} = \frac{M_A + M_B}{M_A - M_B}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर: $\frac{M_A}{M_B} = \frac{16+9}{16-9} = \frac{25}{7}$.

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
चूँकि दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{T}$ होती है,इसलिए $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MH}{I}}$.
इसका अर्थ है कि $f \propto \sqrt{H}$,या $H \propto f^2$.
यहाँ $f_A = 40 \text{ दोलन/मिनट}$ और $f_B = 20 \text{ दोलन/मिनट}$ दिया गया है।
स्थान $A$ पर $H_A = 36 \times 10^{-6} \ T$ है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{H_B}{H_A} = \left( \frac{f_B}{f_A} \right)^2$.
$\frac{H_B}{36 \times 10^{-6}} = \left( \frac{20}{40} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,$H_B = \frac{36 \times 10^{-6}}{4} = 9 \times 10^{-6} \ T$.

(A) विक्षेप चुंबकत्वमापी में,चुंबक के कारण उत्पन्न क्षेत्र $F$ और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक $B_H$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
सुई पर कार्य करने वाला परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B_{net} = \sqrt{F^2 + B_H^2}$ है।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_{net}}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $m$ सुई का चुंबकीय आघूर्ण है।
अतः,$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m \sqrt{F^2 + B_H^2}}}$.
जब चुंबक को हटा दिया जाता है,तो केवल $B_H$ क्षेत्र कार्य करता है,इसलिए $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H}}$.
विक्षेप चुंबकत्वमापी के सिद्धांत के अनुसार,$\frac{F}{B_H} = \tan \theta$,जिसका अर्थ है $F = B_H \tan \theta$.
$F$ का मान $T$ के व्यंजक में रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m \sqrt{(B_H \tan \theta)^2 + B_H^2}}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H \sqrt{\tan^2 \theta + 1}}} = 2\pi \sqrt{\frac{I}{m B_H \sec \theta}}$.
चूंकि $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{I \cos \theta}{m B_H}} = T_0 \sqrt{\cos \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = T_0^2 \cos \theta$ प्राप्त होता है।

(B) कंपन चुंबकत्वमापी में दोलनों की आवृत्ति $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{MB}{I}}$ द्वारा दी जाती है।
$M_1$ और $M_2$ आघूर्ण तथा $I_1$ और $I_2$ जड़त्व आघूर्ण वाले दो चुंबकों के लिए,जब उन्हें एक साथ बांधा जाता है,तो कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2$ होता है।
जब समान ध्रुवों को बांधा जाता है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{sum} = M_1 + M_2$ होता है। आवृत्ति $n_1 = 6 \ Hz$ है।
जब असमान ध्रुवों को बांधा जाता है,तो प्रभावी चुंबकीय आघूर्ण $M_{diff} = M_1 - M_2$ होता है। आवृत्ति $n_2 = 2 \ Hz$ है।
चूंकि $n \propto \sqrt{M}$,इसलिए $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{6}{2})^2 = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2} \implies 9 = \frac{M_1 + M_2}{M_1 - M_2}$।
$9M_1 - 9M_2 = M_1 + M_2$।
$8M_1 = 10M_2$।
$\frac{M_1}{M_2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$।

(A) माना पहले चुम्बक का द्रव्यमान $m_1 = m$ और दूसरे का $m_2 = 2m$ है। माना लंबाई $l_1 = l$ और $l_2 = 2l$ है।
छड़ चुम्बक का उसके केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{m l^2}{12}$ होता है।
अतः,$I_1 = \frac{m l^2}{12}$ और $I_2 = \frac{(2m)(2l)^2}{12} = \frac{8 m l^2}{12} = 8 I_1$ होगा।
अधिकतम बल-आघूर्ण $\tau_{max} = M B$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $\tau_{max,1} = \tau_{max,2}$,इसलिए $M_1 B = M_2 B$,अर्थात $M_1 = M_2 = M$ होगा।
दोलन का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{M B}}$ होता है।
आवर्तकाल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{M_2}{M_1}}$ है।
मान रखने पर,$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{I_1}{8 I_1} \cdot \frac{M}{M}} = \sqrt{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) कंपन करते हुए छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले चुंबक के लिए: $T_1 = 8 \text{ s}$,$M_1 = 4 \text{ Am}^2$,$I_1 = I$. अतः,$8 = 2\pi \sqrt{\frac{I}{4B_H}}$ $(i)$.
दूसरे चुंबक के लिए: $T_2 = 6 \text{ s}$,$M_2 = 8 \text{ Am}^2$,$I_2 = 9 \times 10^{-2} \text{ kg m}^2$. अतः,$6 = 2\pi \sqrt{\frac{9 \times 10^{-2}}{8B_H}}$ (ii).
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर: $\frac{8}{6} = \sqrt{\frac{I}{4B_H} \times \frac{8B_H}{9 \times 10^{-2}}} = \sqrt{\frac{2I}{9 \times 10^{-2}}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{64}{36} = \frac{2I}{9 \times 10^{-2}}$.
$\frac{16}{9} = \frac{2I}{9 \times 10^{-2}} \implies 16 = 2I \times 10^2 \implies I = 8 \times 10^{-2} \text{ kg m}^2$.

(D) दोलन करते हुए चुंबक का आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{MB_H}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $T \propto \frac{1}{\sqrt{B_H}}$.
प्रथम स्थान पर दिया गया है,$n_1 = 30 \text{ दोलन/मिनट} = 0.5 \text{ दोलन/सेकंड}$.
अतः,आवर्तकाल $T_1 = \frac{1}{n_1} = \frac{1}{0.5} = 2 \,s$.
दूसरे स्थान पर,चुंबकीय क्षेत्र दोगुना है,इसलिए $(B_H)_2 = 2(B_H)_1$.
संबंध $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{(B_H)_1}{(B_H)_2}}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$T_2 = T_1 \sqrt{\frac{(B_H)_1}{2(B_H)_1}} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \,s$.

(D) जब एक चुंबकीय सुई को दो परस्पर लंबवत चुंबकीय क्षेत्रों $B_1$ और $B_2$ में रखा जाता है,तो यह परिणामी चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में संरेखित हो जाती है।
पहले क्षेत्र $B_1$ के कारण टॉर्क $\tau_1 = mB_1 \sin \theta$ है,जहाँ $m$ चुंबकीय आघूर्ण है।
दूसरे क्षेत्र $B_2$ के कारण टॉर्क $\tau_2 = mB_2 \cos \theta$ है।
संतुलन की स्थिति में,सुई पर कुल टॉर्क शून्य होता है,इसलिए $\tau_1 = \tau_2$।
$mB_1 \sin \theta = mB_2 \cos \theta$
$\tan \theta = \frac{B_2}{B_1}$
यहाँ $B_1 = 1 \text{ T}$ और $B_2 = \sqrt{3} \text{ T}$ दिया गया है।
$\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
$\theta = 60^{\circ}$

(D) दिया गया है: चुंबक की लंबाई $2l = 10 \, cm$, इसलिए $l = 5 \, cm = 0.05 \, m$. प्रत्येक ध्रुव से उदासीन बिंदु की दूरी $r' = 15 \, cm = 0.15 \, m$.
माना $m$ ध्रुव प्रबलता है। उदासीन बिंदु $P$ पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के क्षैतिज घटक $B_H = 0.4 \, Gauss = 0.4 \times 10^{-4} \, T$ के बराबर होता है।
बिंदु $P$ पर चुंबक के कारण चुंबकीय क्षेत्र $N$ और $S$ ध्रुवों के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है:
$B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{m}{r'^2} \times 2 \cos\theta$, जहाँ $\cos\theta = \frac{OP}{r'}$.
ज्यामिति से, $OP = \sqrt{r'^2 - l^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{200} \, cm = 10\sqrt{2} \, cm = 0.1 \sqrt{2} \, m$.
$\cos\theta = \frac{10\sqrt{2}}{15} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
गणना करने पर, $m = 1.35 \, A-m$ प्राप्त होता है।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है और $M$ चुंबकीय आघूर्ण है।
जब छड़ चुंबक को उसकी लंबाई के समानांतर चार बराबर टुकड़ों में काटा जाता है, तो प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{4}$ हो जाता है।
घूर्णन अक्ष के परितः एक टुकड़े का नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{I}{4}$ होता है।
एक टुकड़े का नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = \frac{M}{4}$ होता है।
इन मानों को नए आवर्तकाल $T'$ के सूत्र में रखने पर:
$T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I/4}{(M/4) B}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MB}} = T$.
अतः, नया आवर्तकाल $T' = 4 \,s$ होगा।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले छड़ चुंबक का आवर्तकाल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$
जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{I}{MH}$
$M$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$M = \frac{4 \pi^2 I}{T^2 H}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 49 \times 10^{-2} \,kg-m^2$,$H = 0.5 \times 10^{-4} \,T$,$T = 8.8 \,s$,और $\pi \approx 3.14$:
$M = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 49 \times 10^{-2}}{(8.8)^2 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{4 \times 9.8596 \times 49 \times 10^{-2}}{77.44 \times 0.5 \times 10^{-4}}$
$M = \frac{1932.48 \times 10^{-2}}{38.72 \times 10^{-4}}$
$M = 49.909 \times 10^2 \approx 5000 \,A-m^2$.

(B) कंपन चुंबकत्वमापी की दोलन आवृत्ति $n$,$n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{M H}{I}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $n \propto \sqrt{B_{net}}$।
प्रथम स्थिति में,शुद्ध चुंबकीय क्षेत्र $H$ है। अतः,$n_1 = 12 \propto \sqrt{H}$।
दूसरी स्थिति में,छड़ चुंबक को अक्ष पर रखा जाता है,इसलिए शुद्ध क्षेत्र $H + H_1$ है। अतः,$n_2 = 15 \propto \sqrt{H + H_1}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{15}{12} = \sqrt{\frac{H + H_1}{H}} \Rightarrow \frac{5}{4} = \sqrt{1 + \frac{H_1}{H}} \Rightarrow \frac{25}{16} = 1 + \frac{H_1}{H} \Rightarrow \frac{H_1}{H} = \frac{9}{16}$।
जब ध्रुवों को आपस में बदल दिया जाता है,तो क्षेत्र $H - H_1$ हो जाता है। मान लीजिए नई आवृत्ति $n_3$ है।
$\frac{n_3}{n_1} = \sqrt{\frac{H - H_1}{H}} = \sqrt{1 - \frac{H_1}{H}} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$।
अतः,$n_3 = 12 \times \frac{\sqrt{7}}{4} = 3 \sqrt{7} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{63}$ दोलन प्रति मिनट।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I$ जड़त्व आघूर्ण है,$M$ चुंबकीय आघूर्ण है,और $H$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक है।
मूल चुंबक के लिए: $I_1 = \frac{m l^2}{12}$ और $M_1 = M$ है।
जब चुंबक को उसकी लंबाई के लंबवत चार बराबर टुकड़ों में काटा जाता है,तो प्रत्येक टुकड़े का द्रव्यमान $m' = \frac{m}{4}$ और लंबाई $l' = \frac{l}{4}$ हो जाती है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I_2 = \frac{m' (l')^2}{12} = \frac{(m/4) (l/4)^2}{12} = \frac{m l^2}{12 \times 4 \times 16} = \frac{I_1}{64}$ होगा।
नया चुंबकीय आघूर्ण $M_2 = \frac{M}{4}$ होगा।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{I_2}{I_1} \cdot \frac{M_1}{M_2}} = \sqrt{\frac{I_1/64}{I_1} \cdot \frac{M}{M/4}} = \sqrt{\frac{1}{64} \cdot 4} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$।
दिया गया है $T_1 = 4 \ s$,इसलिए $T_2 = T_1 \times \frac{1}{4} = 4 \times \frac{1}{4} = 1 \ s$।

(C) कंपन चुंबकत्वमापी में चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले मामले में,दो समान चुंबक एक-दूसरे के लंबवत रखे गए हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण $I_{total} = I + I = 2I$ है और परिणामी चुंबकीय आघूर्ण $M' = \sqrt{M^2 + M^2} = M\sqrt{2}$ है।
अतः,$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{2I}{M\sqrt{2}H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$.
दिया गया है $T_1 = 2^{5/4} \ s$,इसलिए $2^{5/4} = 2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}$ ... $(i)$.
जब एक चुंबक को हटा दिया जाता है,तो आवर्तकाल $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ होता है ... (ii).
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{2^{5/4}}{T_2} = \frac{2 \pi \sqrt{\frac{\sqrt{2}I}{MH}}}{2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}} = \sqrt{\sqrt{2}} = 2^{1/4}$.
इसलिए,$T_2 = \frac{2^{5/4}}{2^{1/4}} = 2^{5/4 - 1/4} = 2^1 = 2 \ s$.

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M$ चुंबकीय आघूर्ण $(M = m \times l)$ है और $I$ जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{m l^2}{12})$ है,जहाँ $m$ ध्रुव शक्ति है और $l$ लंबाई है।
जब छड़ को तीन बराबर भागों में तोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $l' = \frac{l}{3}$ हो जाती है और ध्रुव शक्ति $m$ समान रहती है।
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times \frac{l}{3} = \frac{M}{3}$ है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m(l/3)^2}{12} = \frac{m l^2}{9 \times 12} = \frac{I}{9}$ है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3)H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{3MH}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $T = 4 \ s$,अतः नया आवर्तकाल $T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$ है।