Electric potential Questions in Gujarati

(A) વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = Q(V_B - V_A)$.
આપેલ છે: $Q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$ અને $W = 10\,mJ = 10 \times 10^{-3}\,J$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $(V_B - V_A) = \frac{W}{Q}$.
કિંમતો મૂકતા: $(V_B - V_A) = \frac{10 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^3\,V = 2\,kV$.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુતભારથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto \frac{1}{r})$.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) પૃથ્વીને એક સારું વાહક માનવામાં આવે છે. તેના વિશાળ કદને કારણે,તે તેના સ્થિતિમાનમાં નોંધપાત્ર ફેરફાર કર્યા વિના લગભગ અમર્યાદિત પ્રમાણમાં વિદ્યુતભાર સ્વીકારી અથવા આપી શકે છે. પ્રણાલીગત રીતે,પૃથ્વીનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $0 \ V$ લેવામાં આવે છે.

(C) ભારિત વાહક ગોળા માટે,વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય $(E = 0)$ હોય છે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન $(E = -dV/dr)$ છે,જો $E = 0$ હોય,તો $dV/dr = 0$ થાય,જે સૂચવે છે કે વાહકની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $(V)$ અચળ રહે છે.
તેથી,વાહક ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.

(C) $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાન તેના અંદરના ભાગમાં અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
અહીં અંતર $R/2$ એ ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઓછું હોવાથી,આ બિંદુ વાહક ગોળાની અંદર આવેલું છે.
તેથી,$R/2$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ થશે,જે $V = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કુલ સ્થિતિમાન એ વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનોનો બેઝિક સરવાળો છે.
ધારો કે જે બિંદુએ સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તેનું સ્થાન $x$ છે. સ્થિતિમાનનું સૂત્ર:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_1}{x} + \frac{q_2}{|x - 6|} \right] = 0$
કિસ્સો $1$: વિદ્યુતભારોની વચ્ચેનું બિંદુ $(0 < x < 6)$:
$\frac{2 \times 10^{-6}}{x} + \frac{-1 \times 10^{-6}}{6 - x} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{1}{6 - x} \implies 12 - 2x = x \implies 3x = 12 \implies x = 4$.
કિસ્સો $2$: વિદ્યુતભારોની બહારનું બિંદુ $(x > 6)$:
$\frac{2 \times 10^{-6}}{x} + \frac{-1 \times 10^{-6}}{x - 6} = 0$
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - 6} \implies 2x - 12 = x \implies x = 12$.
આમ,$x = 4$ અને $x = 12$ બિંદુઓ પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2\,g = 2 \times 10^{-3}\,kg$, વિદ્યુતભાર $q = 2\,\mu C = 2 \times 10^{-6}\,C$, અંતિમ વેગ $v = 10\,m/s$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ, વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K$
$qV = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2$
અહીં $u = 0$ હોવાથી:
$qV = \frac{1}{2}mv^2$
$V = \frac{mv^2}{2q}$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(2 \times 10^{-3}\,kg) \times (10\,m/s)^2}{2 \times (2 \times 10^{-6}\,C)}$
$V = \frac{2 \times 10^{-3} \times 100}{4 \times 10^{-6}}$
$V = \frac{2 \times 10^{-1}}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^5\,V = 50,000\,V = 50\,kV$.
તેથી, જરૂરી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $50\,kV$ છે।

(C) ધન વિદ્યુતભાર કુદરતી રીતે ઉચ્ચ સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ ગતિ કરે છે.
વર્તુળ $S$ ની અંદરનું સ્થિતિમાન ધન છે અને બહારનું સ્થિતિમાન ઋણ હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ અંદરથી બહારની તરફ હશે.
તેથી,$S$ ની અંદર મૂકવામાં આવેલ મુક્ત ધન વિદ્યુતભાર પર $S$ ની બહારની દિશામાં વિદ્યુત બળ લાગશે.
પરિણામે,વિદ્યુતભાર ધન સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારમાંથી ઋણ સ્થિતિમાનવાળા વિસ્તારમાં ગતિ કરશે,જેનો અર્થ છે કે તેણે કોઈક સમયે વર્તુળ $S$ ને ઓળંગવું જ પડશે.

(D) ધારો કે બે રીંગોના કેન્દ્રો $O_1$ અને $O_2$ છે. $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે આવેલા કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ રીંગ (વિદ્યુતભાર $+q$) માટે કેન્દ્ર $O_1$ પર:
પોતાના કારણે સ્થિતિમાન $V_{1, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{R}$.
બીજી રીંગ (વિદ્યુતભાર $-q$) ના કારણે $d$ અંતરે સ્થિતિમાન $V_{1, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$.
તેથી,$V_{O_1} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.
બીજી રીંગ (વિદ્યુતભાર $-q$) માટે કેન્દ્ર $O_2$ પર:
પોતાના કારણે સ્થિતિમાન $V_{2, self} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{-q}{R}$.
પ્રથમ રીંગ (વિદ્યુતભાર $+q$) ના કારણે $d$ અંતરે સ્થિતિમાન $V_{2, other} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{R^2 + d^2}}$.
તેથી,$V_{O_2} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ -\frac{1}{R} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = -V_{O_1}$.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{O_1} - V_{O_2} = V_{O_1} - (-V_{O_1}) = 2V_{O_1}$.
$\Delta V = 2 \cdot \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right] = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{R^2 + d^2}} \right]$.

(B) બે બિંદુઓ વચ્ચે પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V$ ધરાવતા વિસ્તારમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $q$ પર થતું કાર્ય $W = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂઆત કરતું હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V = V_{final} - V_{initial} = 70\, V - 50\, V = 20\, V$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
તેથી,ગતિઊર્જા $K.E. = q \times \Delta V = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (20 \, V) = 3.2 \times 10^{-18} \, J$ થશે.

(B) આકૃતિ મુજબ,ત્યાં કોઈ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર હાજર નથી.
વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્યાં કોઈ બાહ્ય વિદ્યુતભાર કે ક્ષેત્ર ન હોવાથી,આ વિસ્તારમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ દરેક જગ્યાએ શૂન્ય છે.
તેથી,કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે.
પરિણામે,બિંદુવત વિદ્યુતભારને બિંદુ $P$ થી કોઈપણ બિંદુ $A$,$B$ અથવા $C$ પર લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય શૂન્ય છે.
આમ,$W_A = W_B = W_C = 0$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પોલા ધાતુના ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dr} = 0$ છે,તેથી ગોળાની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન અચળ હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સપાટી પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R}$ છે.

(D) બે વાહકો વચ્ચે વિદ્યુત પ્રવાહ ત્યારે જ વહે છે જ્યારે તેમની વચ્ચે સ્થિતિમાનનો તફાવત હોય.
જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત પદાર્થોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા પદાર્થથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા પદાર્થ તરફ વહે છે.
જો બંને પદાર્થો સમાન સ્થિતિમાન પર હોય,તો તેમની વચ્ચે કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત હોતો નથી,અને તેથી,તેમની વચ્ચે કોઈ પ્રવાહ વહેશે નહીં.
આમ,સાચી શરત એ છે કે તેમની પાસે સમાન સ્થિતિમાન હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાંનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $n = 8$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે આપણને $R = n^{1/3} r = 8^{1/3} r = 2r$ આપે છે.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq = 8q$ છે.
મોટા ટીપાંનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(8q)}{2r} = 4 \left( \frac{kq}{r} \right) = 4v$ થાય.
તેથી,મોટા ટીપાં અને નાના ટીપાંના વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $\frac{V}{v} = 4:1$ છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વીજભાર $q$ છે.
નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $n = 27$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = n r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$n = 27$ માટે,$R = (27)^{1/3} r = 3r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq = 27q$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} v$ થાય.
$n = 27$ મૂકતા,$V = (27)^{2/3} v = (3^3)^{2/3} v = 3^2 v = 9v$.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $9$ ગણું વધશે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r = 2 \, cm = 0.02 \, m$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q = 10^{-9} \, C$ છે.
નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-9}}{0.02} = \frac{9}{0.02} = 450 \, V$ થાય.
જ્યારે $n = 64$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,તેથી $R = n^{1/3}r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ થાય.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \times \frac{kq}{r} = n^{2/3}v$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V = (64)^{2/3} \times 450 = (4^3)^{2/3} \times 450 = 4^2 \times 450 = 16 \times 450 = 7200 \, V$.
આમ,$V = 7.2 \times 10^3 \, V$.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r} = 10\,V$ છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે. કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$64$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે પરથી $R^3 = 64r^3$ મળે,તેથી $R = 4r$.
મોટા ટીપાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 64q$ થાય.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(64q)}{4r} = 16 \times \frac{kq}{r}$ થાય.
$v = \frac{kq}{r} = 10\,V$ કિંમત મૂકતા,આપણને $V = 16 \times 10 = 160\,V$ મળે છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $n = 8$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જે પરથી $R = n^{1/3}r = 8^{1/3}r = 2r$ મળે છે.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq = 8q$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3}V$ થાય.
$n = 8$ મૂકતા,આપણને $V' = 8^{2/3}V = (2^3)^{2/3}V = 2^2 V = 4V$ મળે છે.
તેથી,મોટા ટીપાં પરનું સ્થિતિમાન નાના ટીપાં કરતા $4$ ગણું હશે.

(C) વાહકનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ $V = Q/C$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q$ એ વાહકને આપવામાં આવેલ વીજભારનો જથ્થો દર્શાવે છે.
$C$ એ વાહકની કેપેસિટન્સ (કેપેસીટન્સ) દર્શાવે છે,જે તેના ભૌમિતિક સ્વરૂપ,કદ અને આસપાસના માધ્યમ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સ્થિતિમાન $V$ એ વીજભારના જથ્થા $Q$ અને કેપેસિટન્સ $C$ (જે ભૌમિતિક સ્વરૂપ અને કદ પર આધાર રાખે છે) બંને પર આધાર રાખે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(D) ધારો કે $r$ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = Q$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવાથી,$\sigma = \frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2}$.
આથી $\frac{q_1}{r^2} = \frac{q_2}{R^2}$,એટલે કે $q_1 = q_2 \frac{r^2}{R^2}$.
કુલ વિદ્યુતભારના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા: $q_2 \frac{r^2}{R^2} + q_2 = Q \implies q_2 \left( \frac{r^2 + R^2}{R^2} \right) = Q \implies q_2 = \frac{Q R^2}{R^2 + r^2}$.
તે જ રીતે,$q_1 = \frac{Q r^2}{R^2 + r^2}$.
સામાન્ય કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન બંને ગોળાઓને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$.
$q_1$ અને $q_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r^2}{r(R^2 + r^2)} + \frac{Q R^2}{R(R^2 + r^2)} \right)$.
$V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{Q r}{R^2 + r^2} + \frac{Q R}{R^2 + r^2} \right) = \frac{Q(R + r)}{4\pi \varepsilon_0(R^2 + r^2)}$.

(B) એક રીંગના કેન્દ્ર $(O_1)$ થી બીજી રીંગના કેન્દ્ર $(O_2)$ સુધી $q$ વિદ્યુતભારને લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_{O_2} - V_{O_1})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને રીંગોને કારણે પ્રથમ રીંગના કેન્દ્ર $(O_1)$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_{O_1} = \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_1 + \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right)$.
બંને રીંગોને કારણે બીજી રીંગના કેન્દ્ર $(O_2)$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_{O_2} = \frac{Q_2}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{Q_1}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + R^2}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} \right)$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_{O_2} - V_{O_1} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( Q_2 + \frac{Q_1}{\sqrt{2}} - Q_1 - \frac{Q_2}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( (Q_2 - Q_1) - \frac{1}{\sqrt{2}}(Q_2 - Q_1) \right) = \frac{Q_2 - Q_1}{4\pi \varepsilon_0 R} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{(Q_2 - Q_1)(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} \cdot 4\pi \varepsilon_0 R}$.
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = \frac{q(Q_2 - Q_1)(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} \cdot 4\pi \varepsilon_0 R}$ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભારોના તંત્રને કારણે ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i}{r_i}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સ્થાન અને વિદ્યુતભારોની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \left( \frac{q}{x_0} + \frac{q}{3x_0} + \frac{q}{5x_0} + \dots \right) - \left( \frac{q}{2x_0} + \frac{q}{4x_0} + \frac{q}{6x_0} + \dots \right) \right]$
$V = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 x_0} \left[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \dots \right]$
ટેલર શ્રેણી $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા, $x=1$ માટે, આપણને $\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ મળે છે.
તેથી, $V = \frac{q \ln 2}{4\pi\varepsilon_0 x_0}$.

(A) અનંતથી બિંદુ $P$ સુધીના વિદ્યુતક્ષેત્રનું રેખા સંકલન એ તે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$\int_{\infty}^{P} -\vec{E} \cdot d\vec{l} = V_P - V_{\infty}$.
અનંત પર સ્થિતિમાન $V_{\infty} = 0$ હોવાથી,આ સંકલન રીંગના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન દર્શાવે છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતી રીંગ માટે,કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q = 1.11 \times 10^{-10}\,C$,$R = 0.5\,m$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ છે.
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{1.11 \times 10^{-10}}{0.5} = \frac{9.99 \times 10^{-1}}{0.5} = \frac{0.999}{0.5} \approx 2\,V$.

(B) શરૂઆતમાં,આકૃતિ $(i)$ મુજબ,$Q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{2kqQ}{a}$ છે ... $(i)$
આકૃતિ $(ii)$ મુજબ,જ્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ ને $x$ જેટલા નાના અંતરે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા નીચે મુજબ થાય છે:
$U_f = kqQ \left[ \frac{1}{a+x} + \frac{1}{a-x} \right] = kqQ \left[ \frac{(a-x) + (a+x)}{a^2 - x^2} \right] = \frac{2kqQa}{a^2 - x^2}$ ... $(ii)$
તેથી,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર:
$\Delta U = U_f - U_i = 2kqQ \left[ \frac{a}{a^2 - x^2} - \frac{1}{a} \right] = 2kqQ \left[ \frac{a^2 - (a^2 - x^2)}{a(a^2 - x^2)} \right] = \frac{2kqQx^2}{a(a^2 - x^2)}$
અહીં $x << a$ હોવાથી,આપણે $a^2 - x^2 \approx a^2$ લઈ શકીએ. તેથી:
$\Delta U \approx \frac{2kqQx^2}{a(a^2)} = \frac{2kqQ}{a^3} x^2$
આમ,$\Delta U \propto x^2$.

(A) ધારો કે નક્કર ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે અને પોલા કવચની ત્રિજ્યા $b$ છે.
શરૂઆતમાં,નક્કર ગોળા પર $Q$ વિદ્યુતભાર છે અને કવચ પર $0$ વિદ્યુતભાર છે.
નક્કર ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{a} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{0}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{a}$ છે.
પોલા કવચની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{b} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{0}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{b}$ છે.
શરૂઆતનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{\text{sphere}} - V_{\text{shell}} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ છે.
હવે,કવચને $-3Q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળાની સપાટી પરનું નવું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'_{\text{sphere}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{a} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-3Q}{b}$ છે.
પોલા કવચની સપાટી પરનું નવું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{b} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-3Q}{b} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( -\frac{2Q}{b} \right)$ છે.
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = V'_{\text{sphere}} - V'_{\text{shell}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{3Q}{b} - (-\frac{2Q}{b}) \right) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Q}{a} - \frac{Q}{b} \right) = V$ થાય છે.

(B) $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના પોલા ગોળાકાર કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r \le R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે: $V_{inside} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r \ge R)$,કવચ કેન્દ્ર પર મૂકેલા બિંદુવત વિદ્યુતભારની જેમ વર્તે છે,તેથી સ્થિતિમાન $V_{out} = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 r}$ મુજબ બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{r}$.
$3$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આલેખ $B$ સાચી રીતે $r \le R$ માટે અચળ સ્થિતિમાન અને $r > R$ માટે હાયપરબોલિક ઘટાડો દર્શાવે છે.

(B) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $K = qV$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,કણનો વીજભાર $q = 2e$ છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો મૂળભૂત વીજભાર છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 5 \; V$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$K = (2e) \times (5 \; V)$
$K = 10 \; eV$.
તેથી,કણની અંતિમ ગતિઊર્જા $10 \; eV$ થશે.

(D) સ્થિતિમાન તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત થતા વીજભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = qV$ છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ છે અને સ્થિતિમાન તફાવત $V = 100,000 \text{ V} = 10^5 \text{ V}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (10^5 \text{ V})$
$E = 1.6 \times 10^{-14} \text{ J}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) જ્યારે $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનને $V$ જેટલા વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર દ્વારા ઇલેક્ટ્રોન પર થતું કાર્ય $W = eV$ થાય છે.
આ કાર્ય ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(K)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,$K = eV$.
જેમ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધે છે,તેમ ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા વધે છે.
આમ,ઇલેક્ટ્રોનને વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાંથી પસાર કરીને તેમની ઉર્જા વધારી શકાય છે.

(B) $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતમાંથી પસાર થતા $q$ વીજભાર પર થતું કાર્ય $W = qV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $q = e$ છે અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ઉર્જા $K = e \times V = eV$ જૂલ થશે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ઇલેક્ટ્રોન વોલ્ટ (સંજ્ઞા $eV$) એ ઉર્જાનો એકમ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1 \ eV$ એ એક ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $1 \ V$ ના વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થતી વખતે મેળવેલી ગતિ ઉર્જાનું મૂલ્ય છે.
ગાણિતિક રીતે,$1 \ eV = 1.602 \times 10^{-19} \ J$,જ્યાં $J$ એ ઉર્જાનો $SI$ એકમ,જૂલ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારીત સુવાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની સપાટી પર રહેલો હોય છે.
ગોળાની અંદર (જ્યાં અંતર $r < R$ હોય),વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
સુવાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,સ્થિતિમાન અચળ રહે છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ગોળાની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ,જેમાં કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરનો પણ સમાવેશ થાય છે,ત્યાં સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R}$ થશે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વિદ્યુતભારિત રીંગના કેન્દ્રથી તેની અક્ષ પર $x$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{x^2 + R^2}}$ છે.
ધારો કે રીંગોના કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ છે,જે $d$ અંતરે આવેલા છે. $C_1$ પરનું સ્થિતિમાન એ $C_1$ પરની રીંગ (વિદ્યુતભાર $+q$) અને $C_2$ પરની રીંગ (વિદ્યુતભાર $-q$) ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_1 = \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{-q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}}$.
$C_2$ પરનું સ્થિતિમાન એ $C_2$ પરની રીંગ (વિદ્યુતભાર $-q$) અને $C_1$ પરની રીંગ (વિદ્યુતભાર $+q$) ને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V_2 = \frac{-q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}}$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_1 - V_2$ છે:
$\Delta V = \left( \frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} - \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}} \right) - \left( -\frac{q}{4\pi \epsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{d^2 + R^2}} \right)$
$\Delta V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} + \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} \right)$
$\Delta V = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \cdot 2 \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} \right) = \frac{q}{2\pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\sqrt{d^2 + R^2}} \right)$.

(C) ત્રિજ્યા અને $Q$ કુલ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન વિદ્યુતભારિત ગોળા માટે,તેના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(r > a)$ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$
અહીં,$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ અને $Q$ અચળાંકો છે.
તેથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ ગોળાના કેન્દ્રથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે $(V \propto \frac{1}{r})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) $1$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે ગાઉસનો નિયમ વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ $(1/r^2)$ નું સીધું પરિણામ છે. જો ક્ષેત્ર $1/r^n$ મુજબ બદલાતું હોય જ્યાં $n \neq 2$,તો ફ્લક્સ માત્ર બંધિત વિદ્યુતભાર પર જ નહીં,પરંતુ સપાટીના આકાર પર પણ આધાર રાખશે.
$2$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે કારણ કે ગાઉસનો નિયમ હંમેશા સાચો હોવા છતાં,તે માત્ર ત્યારે જ ક્ષેત્રના વિતરણની ગણતરી માટે ઉપયોગી છે જ્યારે ઉચ્ચ સંમિતિ (જેમ કે ગોળીય,નળાકાર અથવા સમતલીય સંમિતિ) હોય. ડાઈપોલમાં આવી સંમિતિનો અભાવ હોય છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે,તેમની વચ્ચેના કોઈ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્યારે જ શૂન્ય હોય જો વિદ્યુતભારો સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય (અપાકર્ષી બળ). જો તેઓ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોત,તો ક્ષેત્ર તેમની વચ્ચેના વિસ્તારની બહાર શૂન્ય હોત.
$4$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે. વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A$ એ એકમ ધન વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી પ્રવેગિત કર્યા વિના લઈ જવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે.

(A) વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
વાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોવાથી,અંદરના ભાગમાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
ગોળાની અંદરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન તેની સપાટી પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્રથી $x < R$ જેટલા કોઈપણ અંતરે,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ થશે.

(A) પોલા ધાતુના ગોળા માટે,ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે $(E = 0)$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનનો ઋણ પ્રચલન હોવાથી $(E = -dV/dr)$,જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે.
તેથી,કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $(V_C)$ એ સપાટી પરના સ્થિતિમાન $(V_S)$ જેટલું જ હોય છે.
આપેલ છે કે $V_S = 10\, V$,તેથી કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન $V_C = 10\, V$ થશે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે વિદ્યુતભારો $q_1 = -20 \,\mu C$ અને $q_2 = +40 \,\mu C$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,તેથી કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{kq_1}{x_1} + \frac{kq_2}{x_2} = 0$,અથવા $\frac{|q_1|}{x_1} = \frac{|q_2|}{x_2}$.
અહીં $|q_1| < |q_2|$ હોવાથી,જે બિંદુએ સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય તે નાના વિદ્યુતભાર $(-20 \,\mu C)$ ની નજીક હોવું જોઈએ.
$1$. પ્રદેશ $A$ માં ($-20 \,\mu C$ ની ડાબી બાજુ): ધારો કે $-20 \,\mu C$ થી અંતર $x$ છે. તો $\frac{20}{x} = \frac{40}{r+x} \implies 20r + 20x = 40x \implies 20x = 20r \implies x = r$. આમ,પ્રદેશ $A$ માં સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
$2$. પ્રદેશ $B$ માં (વિદ્યુતભારોની વચ્ચે): ધારો કે $-20 \,\mu C$ થી અંતર $x$ છે. તો $\frac{20}{x} = \frac{40}{r-x} \implies 20r - 20x = 40x \implies 60x = 20r \implies x = r/3$. આમ,પ્રદેશ $B$ માં સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.
$3$. પ્રદેશ $C$ માં ($+40 \,\mu C$ ની જમણી બાજુ): ધન વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય મોટું હોવાથી,અહીં સ્થિતિમાન ક્યારેય શૂન્ય થશે નહીં.
તેથી,પ્રદેશ $A$ અને $B$ બંનેમાં સ્થિતિમાન શૂન્ય છે.

(D) આપેલ આલેખ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે બે ચલ વચ્ચે વ્યસ્ત સંબંધ સૂચવે છે,એટલે કે $Y \propto 1/X$.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનના સૂત્ર $V = Q/C$ પરથી.
અચળ વિદ્યુતભાર $Q$ માટે,સ્થિતિમાન $V$ એ કેપેસીટન્સ $C$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V \propto 1/C$.
આ સંબંધ એક લંબચોરસ અતિવલય દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જ્યાં $Y$-અક્ષ પર $V$ અને $X$-અક્ષ પર $C$ હોય છે.
તેથી,આ આલેખ અચળ વિદ્યુતભાર $(Q)$ માટે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $(V)$ વિરુદ્ધ કેપેસીટન્સ $(C)$ દર્શાવે છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતી વિદ્યુતભારિત ગોળીય કવચ માટે:
$1$. કવચની અંદર $(r < R)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,એટલે કે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$.
$2$. કવચની બહાર $(r \geq R)$,કવચ તેના કેન્દ્ર પરના બિંદુવત વિદ્યુતભારની જેમ વર્તે છે,તેથી સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto \frac{1}{r}$.
આમ,$V$ વિરુદ્ધ $r$ નો આલેખ $r < R$ માટે આડી રેખા અને $r \geq R$ માટે $V \propto \frac{1}{r}$ ને અનુસરતો વક્ર હોવો જોઈએ. આ આલેખ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(A) વોલ્ટ એ વોલ્ટેજ અથવા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ નો વિદ્યુત એકમ છે.
- $V$ એ સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$V = \frac{\Delta U}{q}$
ઉપરના સૂત્ર પરથી,જ્યારે $1$ કુલંબ $(C)$ વિદ્યુતભારને ખસેડવામાં $1$ જૂલ $(J)$ સ્થિતિ ઊર્જાનો ફેરફાર થાય ત્યારે આપણને $1$ વોલ્ટનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મળે છે.
તેથી,$1$ વોલ્ટ $= 1$ જૂલ/કુલંબ $(J/C)$.

(B) $1$. વિદ્યુત સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી કોઈ બિંદુ સુધી લાવવા માટે કરવા પડતા કાર્ય તરીકે આપવામાં આવે છે,જે એકમ વિદ્યુતભાર દીઠ સ્થિતિ ઉર્જાને સમાન છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. સ્થિત-વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે. સંરક્ષી બળ દ્વારા થતું કાર્ય માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી,પરંતુ તે માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે તેમાં કાર્ય માર્ગ પર આધાર રાખે છે તેમ કહેવામાં આવ્યું છે.
$3$. જ્યારે ધન વિદ્યુતભાર કુલંબીય અપાકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તંત્ર પર બાહ્ય કાર્ય થાય છે,જેનાથી તંત્રની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો થાય છે. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. મૂળભૂત વિદ્યુતભાર $(e \approx 1.6 \times 10^{-19} \ C)$ એ એક મૂળભૂત અચળાંક છે,જ્યારે 'વિદ્યુતભાર' એ ભૌતિક ગુણધર્મ છે જે $e$ ના કોઈપણ પૂર્ણાંક ગુણાંકમાં હોઈ શકે છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.

(A) ધારો કે અંદરના ધન ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને બહારના કવચની ત્રિજ્યા $R$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,ગોળા અને કવચ વચ્ચેના વિસ્તારમાં $(r < x < R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માત્ર $x$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગૌસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે.
ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર એ અંદરના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
તેથી,$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2}$.
અંદરના ગોળાની સપાટી અને બહારના કવચની સપાટી વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \int_{r}^{R} E \, dx = \int_{r}^{R} \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0 x^2} \, dx$ દ્વારા મળે છે.
સંકલન કરતા,$V = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{r}^{R} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ માત્ર અંદરના ગોળાના વિદ્યુતભાર $Q$ અને ત્રિજ્યાઓ $r$ તથા $R$ પર આધાર રાખે છે,તેથી બહારના કવચ પરનો વિદ્યુતભાર બદલવાથી બે સપાટીઓ વચ્ચેના સ્થિતિમાનના તફાવતમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તેથી,નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જ રહેશે.

(D) સ્થિત વિદ્યુત બળ એ સંરક્ષી બળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો કોઈ કણ બે બિંદુઓ વચ્ચે ગતિ કરે ત્યારે તેના પર થતું કાર્ય લીધેલા માર્ગ પર આધારિત ન હોય,તો તે બળને સંરક્ષી બળ કહેવાય છે.
તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વધુમાં,સંરક્ષી બળનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ એ છે કે બંધ લૂપમાં તેના દ્વારા થતું ચોખ્ખું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળ સંરક્ષી હોવાથી,તે આ ગુણધર્મનું પાલન કરે છે.
આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે કે શા માટે કાર્ય માર્ગ પર આધારિત નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પોલા વાહક ગોળાની અંદર $(r < R)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -\frac{dV}{dr}$ છે,તેથી જો $E = 0$ હોય,તો ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહેવું જોઈએ.
ગોળાની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
આમ,વિદ્યુતભારિત પોલા વાહક ગોળાની અંદર સ્થિતિમાન અચળ રહે છે.

(B) ધારો કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. ગોળાઓ પરના વિદ્યુતભારો $q_1 = 4\pi r^2 \sigma$ અને $q_2 = 4\pi R^2 \sigma$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = q_1 + q_2 = 4\pi \sigma (r^2 + R^2)$,તેથી $\sigma = \frac{Q}{4\pi (r^2 + R^2)}$.
આંતરિક ગોળાને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1}{r} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4\pi r^2 \sigma}{r} = \frac{r \sigma}{\varepsilon_0}$ છે.
બાહ્ય ગોળાને કારણે કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_2}{R} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{4\pi R^2 \sigma}{R} = \frac{R \sigma}{\varepsilon_0}$ છે.
કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (r + R)$ છે.
$\sigma = \frac{Q}{4\pi (r^2 + R^2)}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(R + r)Q}{(R^2 + r^2)}$ મળે છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા $q$ વિદ્યુતભારને કારણે કોઈ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ છે.
મધ્યબિંદુ $O$ પર,બંને વિદ્યુતભારો $+q$ અને $-q$ થી અંતર $d$ છે.
મધ્યબિંદુ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_{total}$ એ બંને વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_{total} = V_{+q} + V_{-q}$
$V_{total} = \frac{k(+q)}{d} + \frac{k(-q)}{d}$
$V_{total} = \frac{kq}{d} - \frac{kq}{d} = 0$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_0 \hat{i}$ તરીકે આપેલ છે,જ્યાં $E_0 > 0$ છે.
$1$. બિંદુઓ $A(0,0)$ અને $B(1,0)$ માટે: સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\int_0^1 E_0 dx = -E_0$ થાય.
અહીં $E_0 > 0$ હોવાથી,$V_B - V_A < 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $V_A > V_B$.
$2$. બિંદુઓ $A(0,0)$ અને $C(0,1)$ માટે: સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C - V_A = -\int_A^C \vec{E} \cdot d\vec{r}$ થાય. વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-દિશામાં છે અને સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ એ $y$-દિશામાં હોવાથી,$\vec{E} \cdot d\vec{r} = 0$ થાય.
તેથી,$V_C - V_A = 0$,જેનો અર્થ છે કે $V_A = V_C$.
આમ,$V_A > V_B$ અને $V_A = V_C$ સાચો સંબંધ છે.

(C) ઘનના કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ છે.
ઘનના ખૂણાઓ પર $(-q)$ મૂલ્યના $8$ વિદ્યુતભારો છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિમાન ઉર્જા $U = \sum \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_i q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_i = -q$ અને $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ છે.
$U = 8 \times \left[ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{(-q)(q)}{\frac{\sqrt{3}b}{2}} \right]$.
$U = 8 \times \left[ \frac{-q^2}{4\pi \epsilon_0} \times \frac{2}{\sqrt{3}b} \right]$.
$U = \frac{-16q^2}{4\sqrt{3}\pi \epsilon_0 b} = \frac{-4q^2}{\sqrt{3}\pi \epsilon_0 b}$.

(A) $x$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે ઉગમબિંદુ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વિતરણ માટે,વિદ્યુતભારો $x=1$ પર $q$,$x=2$ પર $-q$,$x=3$ પર $q$,$x=4$ પર $-q$ વગેરે છે.
ઉગમબિંદુ પર કુલ સ્થિતિમાન:
$V = kq \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right)$
ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણ $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ માટે,આપણને $\ln(2) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$ મળે છે.
તેથી,$V = kq \ln(2)$.