Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Gujarati

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $x=0$,$x=\frac{l}{2}$ અને $x=l$ સ્થાન પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
વિદ્યુતભાર $q$ એ $x=0$ પર,$Q$ એ $x=\frac{l}{2}$ પર અને $4q$ એ $x=l$ પર છે.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ એ $Q$ અને $4q$ દ્વારા લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત બળોનો સરવાળો છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$.
$q$ પરનું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થવા માટે:
$F_{net} = F_{Qq} + F_{4qq} = 0$
$k \frac{Qq}{(\frac{l}{2})^2} + k \frac{(4q)q}{l^2} = 0$
$k \frac{Qq}{\frac{l^2}{4}} + k \frac{4q^2}{l^2} = 0$
$4k \frac{Qq}{l^2} + 4k \frac{q^2}{l^2} = 0$
$\frac{4k}{l^2}$ વડે ભાગતા ($l \neq 0$ ધારીને):
$Qq + q^2 = 0$
$Qq = -q^2$
$Q = -q$

(D) બ્રહ્માંડના સ્તરે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ પ્રભુત્વ ધરાવતું બળ છે કારણ કે તે હંમેશા આકર્ષી પ્રકારનું હોય છે અને વિશાળ પદાર્થો વચ્ચે લાંબા અંતર સુધી કાર્ય કરે છે,જ્યારે કુલંબ બળ (સ્થિત-વિદ્યુત બળ) પદાર્થમાં ધન અને ઋણ બંને વીજભારોની હાજરીને કારણે ઘણીવાર તટસ્થ થઈ જાય છે.
તેથી,વિધાન ખોટું છે.
વધુમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સૂક્ષ્મ સ્તરે (દા.ત. બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચે) કુલંબ બળ કરતા ઘણું નબળું હોય છે,પરંતુ કારણમાં જણાવેલ છે કે કુલંબ બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કરતા નબળું છે,જે ખોટું છે.
આમ,વિધાન અને કારણ બંને ખોટા છે.

(B) શરૂઆતમાં,વિદ્યુતભારો $q_A = Q$ અને $q_B = -Q$ છે. $r$ અંતરે તેમની વચ્ચે લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k Q (-Q)}{r^2} = -\frac{k Q^2}{r^2}$
જ્યારે $A$ માંથી $25 \%$ વિદ્યુતભાર $B$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે સ્થાનાંતરિત થતો જથ્થો $\Delta q = 0.25 Q = \frac{Q}{4}$ છે.
નવા વિદ્યુતભારો:
$q_A' = Q - \frac{Q}{4} = \frac{3Q}{4}$
$q_B' = -Q + \frac{Q}{4} = -\frac{3Q}{4}$
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (\frac{3Q}{4})(-\frac{3Q}{4})}{r^2}$
$F' = -\frac{9}{16} \frac{k Q^2}{r^2}$
કારણ કે $F = -\frac{k Q^2}{r^2}$,તેથી $F'$ માટેના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$F' = \frac{9}{16} F$

(N/A) $(a) (i)$ $r$ અંતરે રહેલા ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ $F_{e} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_{G} = G \frac{m_{p} m_{e}}{r^{2}}$ છે. ગુણોત્તર $\left| \frac{F_{e}}{F_{G}} \right| = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G m_{p} m_{e}} \approx 2.4 \times 10^{39}$ થાય.
$(ii)$ બે પ્રોટોન માટે,ગુણોત્તર $\left| \frac{F_{e}}{F_{G}} \right| = \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} G m_{p}^{2}} \approx 1.3 \times 10^{36}$ થાય.
$(b)$ વિદ્યુત બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}} = (8.99 \times 10^{9}) \frac{(1.6 \times 10^{-19})^{2}}{(10^{-10})^{2}} \approx 2.3 \times 10^{-8} \, N$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ: $a_{e} = \frac{F}{m_{e}} = \frac{2.3 \times 10^{-8}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 2.5 \times 10^{22} \, m/s^{2}$.
પ્રોટોનનો પ્રવેગ: $a_{p} = \frac{F}{m_{p}} = \frac{2.3 \times 10^{-8}}{1.67 \times 10^{-27}} \approx 1.4 \times 10^{19} \, m/s^{2}$.

(A) ધારો કે ગોળા $A$ પરનો મૂળ વિદ્યુતભાર $q$ છે અને $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $q^{\prime}$ છે. તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેના $r = 10 \, cm$ અંતરે,કુલંબના નિયમ મુજબ દરેક પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q q^{\prime}}{r^{2}}$
જ્યારે સમાન પણ વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$,$A$ ને સ્પર્શે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $A$ અને $C$ પર પુનઃવિતરિત થાય છે. સંમિતિને કારણે,દરેક ગોળા પર $q/2$ વિદ્યુતભાર આવે છે.
તે જ રીતે,$D$ એ $B$ ને સ્પર્શ્યા પછી,દરેક પર પુનઃવિતરિત વિદ્યુતભાર $q^{\prime}/2$ થાય છે.
હવે,$A$ અને $B$ ના કેન્દ્રો વચ્ચેનું નવું અંતર $r^{\prime} = 5.0 \, cm = r/2$ છે.
દરેક પર લાગતું નવું સ્થિત વિદ્યુત બળ:
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(q/2)(q^{\prime}/2)}{(r/2)^{2}}$
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q q^{\prime} / 4}{r^{2} / 4}$
$F^{\prime} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q q^{\prime}}{r^{2}} = F$
આમ,$B$ ને કારણે $A$ પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ બદલાતું નથી.

(D) $l$ લંબાઈની બાજુ ધરાવતા આપેલ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,ધારો કે $O$ એ મધ્યકેન્દ્ર છે.
દરેક શિરોબિંદુથી મધ્યકેન્દ્ર $O$ નું અંતર $r = \frac{l}{\sqrt{3}}$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,શિરોબિંદુઓ પરના દરેક વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે $O$ પરના વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ: $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{r^{2}} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{(l/\sqrt{3})^{2}} = \frac{3}{4\pi\varepsilon_{0}} \frac{Qq}{l^{2}}$.
ધારો કે $A, B,$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતા બળો અનુક્રમે $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2},$ અને $\vec{F}_{3}$ છે. આ બળો શિરોબિંદુઓથી દૂર મધ્યગાઓની દિશામાં લાગે છે.
સંમિતિને કારણે,કોઈપણ બે બળ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
$\vec{F}_{2}$ અને $\vec{F}_{3}$ નું પરિણામી બળ મૂલ્યમાં $F_{1}$ જેટલું જ છે પરંતુ તેની વિરુદ્ધ દિશામાં ($OA$ ની દિશામાં) છે.
તેથી,કુલ બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} = 0$.

(N/A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે,જેના પર અનુક્રમે $q_1 = q, q_2 = q$ અને $q_3 = -q$ વિદ્યુતભારો છે. બાજુની લંબાઈ $l$ છે.
$A$ પરના વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $(F_1)$ એ $B$ દ્વારા લાગતું અપાકર્ષી બળ $(F_{12})$ અને $C$ દ્વારા લાગતું આકર્ષી બળ $(F_{13})$ નો સદિશ સરવાળો છે. બંનેનું મૂલ્ય $F = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 l^2}$ છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે. સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_1 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(120^\circ)} = F$ મળે છે. તેની દિશા $BC$ ને સમાંતર રેખા પર છે.
તે જ રીતે,$B$ પરના વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $(F_2)$ એ $F_{21}$ અને $F_{23}$ નો સદિશ સરવાળો છે. સંમિતિ મુજબ,તેનું મૂલ્ય $F_2 = F$ છે,જે $AC$ ને સમાંતર રેખા પર છે.
$C$ પરના વિદ્યુતભાર $-q$ પર લાગતું બળ $(F_3)$ એ $F_{31}$ અને $F_{32}$ નો સદિશ સરવાળો છે. બંનેનું મૂલ્ય $F$ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે. પરિણામી બળનું મૂલ્ય $F_3 = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(60^\circ)} = \sqrt{3}F$ મળે છે. તેની દિશા $\angle BCA$ ના દ્વિભાજક પર છે.
બળોનો સરવાળો $F_1 + F_2 + F_3 = 0$ થાય છે,જે ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ સાથે સુસંગત છે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q_{1} = 2 \times 10^{-7} \;C$
વિદ્યુતભાર $q_{2} = 3 \times 10^{-7} \;C$
અંતર $r = 30 \;cm = 0.3 \;m$
અચળાંક $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \;N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times (2 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^{-7})}{(0.3)^{2}}$
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times 6 \times 10^{-14}}{0.09}$
$F = \frac{54 \times 10^{-5}}{0.09} = 600 \times 10^{-5} = 6 \times 10^{-3} \;N$.
બંને વિદ્યુતભારો ધન હોવાથી,બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું હશે.

(A) પ્રથમ ગોળા પરનું સ્થિત વિદ્યુત બળ,$F = 0.2 \; N$.
પ્રથમ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_{1} = 0.4 \; \mu C = 0.4 \times 10^{-6} \; C$.
બીજા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર,$q_{2} = -0.8 \; \mu C = -0.8 \times 10^{-6} \; C$.
કુલંબના નિયમ મુજબ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$.
અહીં,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$.
$r^{2}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$r^{2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{1} q_{2}|}{F}$.
$r^{2} = \frac{9 \times 10^{9} \times (0.4 \times 10^{-6}) \times (0.8 \times 10^{-6})}{0.2} = \frac{2.88 \times 10^{-3}}{0.2} = 144 \times 10^{-4} \; m^{2}$.
$r = \sqrt{144 \times 10^{-4}} = 12 \times 10^{-2} = 0.12 \; m$.
બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $0.12 \; m$ છે.
$(b)$ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,પ્રથમ ગોળા દ્વારા બીજા ગોળા પર લાગતું બળ,બીજા ગોળા દ્વારા પ્રથમ ગોળા પર લાગતા બળ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. તેથી,પ્રથમ ગોળાને કારણે બીજા ગોળા પર લાગતું બળ $0.2 \; N$ છે.

(A) આકૃતિમાં $10\; cm$ બાજુવાળો ચોરસ દર્શાવેલ છે જેના ખૂણાઓ પર ચાર વિદ્યુતભારો મૂકેલા છે. $O$ એ ચોરસનું કેન્દ્ર છે.
(બાજુઓ) $AB = BC = CD = AD = 10\; cm$.
(વિકર્ણો) $AC = BD = 10\sqrt{2}\; cm$.
$AO = OC = DO = OB = 5\sqrt{2}\; cm$.
બિંદુ $O$ પર $1\; \mu C$ જેટલો વિદ્યુતભાર મૂકેલો છે.
ખૂણા $A$ અને કેન્દ્ર $O$ પરના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ,ખૂણા $C$ અને કેન્દ્ર $O$ પરના વિદ્યુતભારો વચ્ચેના અપાકર્ષણ બળ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે. તેથી,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરશે.
તે જ રીતે,ખૂણા $B$ અને કેન્દ્ર $O$ પરના વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ,ખૂણા $D$ અને કેન્દ્ર $O$ પરના વિદ્યુતભારો વચ્ચેના આકર્ષણ બળ જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવે છે પરંતુ દિશામાં વિરુદ્ધ છે. તેથી,તેઓ પણ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરશે.
આમ,ચોરસના ખૂણાઓ પર મૂકેલા ચાર વિદ્યુતભારો દ્વારા કેન્દ્ર $O$ પરના $1\; \mu C$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ $0\; N$ છે.

(A) ગોળા $A$ પરનો વિદ્યુતભાર,$q_{A} = 6.5 \times 10^{-7} \; C$
ગોળા $B$ પરનો વિદ્યુતભાર,$q_{B} = 6.5 \times 10^{-7} \; C$
ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર,$r = 50 \; cm = 0.5 \; m$
કુલંબના નિયમ મુજબ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q_{A} q_{B}}{r^{2}}$
જ્યાં,$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times (6.5 \times 10^{-7})^{2}}{(0.5)^{2}} = \frac{9 \times 10^{9} \times 42.25 \times 10^{-14}}{0.25} = 1.521 \times 10^{-2} \; N$
$(b)$ દરેક ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર,$q'_{A} = q'_{B} = 2 \times 6.5 \times 10^{-7} = 1.3 \times 10^{-6} \; C$
ગોળાઓ વચ્ચેનું નવું અંતર,$r' = \frac{0.5}{2} = 0.25 \; m$
નવું અપાકર્ષણ બળ,$F' = \frac{9 \times 10^{9} \times (1.3 \times 10^{-6})^{2}}{(0.25)^{2}} = \frac{9 \times 10^{9} \times 1.69 \times 10^{-12}}{0.0625} = 0.24336 \; N \approx 0.243 \; N$

(B) ગોળાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર,$r = 0.5 \; m$.
શરૂઆતમાં,દરેક ગોળા પરનો વીજભાર,$q = 6.5 \times 10^{-7} \; C$.
જ્યારે ગોળા $A$ ને વીજભાર રહિત ગોળા $C$ સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે વીજભાર $q$ સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,ગોળા $A$ અને $C$ પરનો વીજભાર $q_A = q/2$ થાય છે.
જ્યારે ગોળા $C$ (હવે $q/2$ વીજભાર સાથે) ને ગોળા $B$ ($q$ વીજભાર સાથે) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વીજભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. દરેક પરનો નવો વીજભાર $(q + q/2) / 2 = 3q/4$ થાય છે. તેથી,$q_B = 3q/4$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_A q_B}{r^2} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{(q/2) \cdot (3q/4)}{r^2} = (9 \times 10^9) \cdot \frac{3q^2}{8r^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (9 \times 10^9) \cdot \frac{3 \times (6.5 \times 10^{-7})^2}{8 \times (0.5)^2} = 5.703 \times 10^{-3} \; N$.

(B) તેલના ટીપાને સ્થિર રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$F_e = W$
$qE = mg$
$n = 12$ વધારાના ઇલેક્ટ્રોન આપેલ છે,તેથી કુલ વિદ્યુતભાર $q = ne = 12 \times 1.60 \times 10^{-19} \; C = 1.92 \times 10^{-18} \; C$.
ટીપાનું દળ $m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતોને સંતુલન સમીકરણમાં મૂકતા:
$neE = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$
$r^3 = \frac{3neE}{4 \pi \rho g}$
અહીં $\rho = 1.26 \; g \, cm^{-3} = 1260 \; kg \, m^{-3}$,$E = 2.55 \times 10^4 \; N \, C^{-1}$,અને $g = 9.81 \; m \, s^{-2}$ છે:
$r^3 = \frac{3 \times (1.92 \times 10^{-18}) \times (2.55 \times 10^4)}{4 \times 3.14159 \times 1260 \times 9.81}$
$r^3 = \frac{1.4688 \times 10^{-13}}{155167.6} \approx 9.466 \times 10^{-19} \; m^3$
$r = (9.466 \times 10^{-19})^{1/3} \approx 9.82 \times 10^{-7} \; m$
$mm$ માં રૂપાંતર કરતા: $r = 9.82 \times 10^{-7} \times 10^3 \; mm = 9.82 \times 10^{-4} \; mm$.

(N/A) કુલંબનો નિયમ જણાવે છે કે બે સ્થિર બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ એ વિદ્યુતભારોના મૂલ્યોના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. આ બળ બંને વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
જો બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ શૂન્યાવકાશમાં $r$ અંતરે રહેલા હોય,તો તેમની વચ્ચે લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$F \propto \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
$F = k \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે,$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \approx 8.9875 \times 10^{9} \text{ N m}^{2} \text{ C}^{-2}$.
અહીં,$\epsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$\epsilon_{0} \approx 8.854 \times 10^{-12} \text{ C}^{2} \text{ N}^{-1} \text{ m}^{-2}$.
જો વિદ્યુતભારો $\epsilon$ પરમિટિવિટી ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે,તો બળ $F_{m}$ નીચે મુજબ મળે:
$F_{m} = \frac{1}{4 \pi \epsilon} \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}}$
સાપેક્ષ પરમિટિવિટી (અથવા ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક) ને $K = \epsilon_{r} = \frac{\epsilon}{\epsilon_{0}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$\epsilon = K \epsilon_{0}$.
આ કિંમત $F_{m}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{m} = \frac{1}{4 \pi K \epsilon_{0}} \frac{|q_{1} q_{2}|}{r^{2}} = \frac{F}{K}$
આમ,માધ્યમમાં લાગતું બળ એ શૂન્યાવકાશમાં લાગતા બળ કરતા $1/K$ ગણું હોય છે.

(N/A) કુલમ્બે ધાર્યું કે એક ધાતુના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. જો આ ગોળાને સમાન એવા બીજા વિદ્યુતભાર રહિત ગોળા સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે,તો વિદ્યુતભાર બંને ગોળાઓ પર સમાન રીતે વહેંચાઈ જશે. સંમિતિના આધારે,દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$ થશે.
આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરીને,આપણે $\frac{q}{2}, \frac{q}{4}, \frac{q}{8}, \dots$ જેવા વિદ્યુતભારો મેળવી શકીએ છીએ.
કુલમ્બે નિશ્ચિત વિદ્યુતભારોની જોડી માટે અંતર $r$ બદલીને અલગ-અલગ અંતરે બળ $F$ માપ્યું. તેમણે નીચે મુજબનો સંબંધ તારવ્યો:
$F \propto \frac{1}{r^{2}} \quad (1)$
ત્યારબાદ,તેમણે અંતર અચળ રાખીને વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ બદલ્યા. વિવિધ વિદ્યુતભારોની જોડી માટે બળની સરખામણી કરીને,તેમણે નીચે મુજબનો સંબંધ સ્થાપિત કર્યો:
$F \propto q_{1} q_{2} \quad (2)$
આ બંનેને જોડતા,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ નીચે મુજબ મળે છે:
$F \propto \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$
તેથી,$F = k \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$,જ્યાં $k$ એ કુલંબનો અચળાંક છે.

(N/A) $(1)$ કુલંબનો નિયમ માત્ર બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે જ માન્ય છે.
$(2)$ તે માત્ર ત્યારે જ લાગુ પડે છે જ્યારે વિદ્યુતભારો સ્થિર હોય.
$(3)$ તે ન્યુક્લિયર પરિમાણ કરતા વધારે અંતર માટે માન્ય છે, એટલે કે $r > 10^{-15} \,m$.
$(4)$ તે ખૂબ મોટા અંતરો માટે લાગુ પડતું નથી જ્યાં અન્ય બળો પ્રભાવી હોઈ શકે અથવા બિંદુવત વિદ્યુતભારની ધારણા નિષ્ફળ જાય છે.

(N/A) $SI$ એકમ પદ્ધતિમાં,વિદ્યુતભારનો એકમ કુલંબ $(C)$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે.
જો આપણે $q_1 = q_2 = 1 \ C$ અને $r = 1 \ m$ લઈએ,તો બળ $F = (9 \times 10^9) \times \frac{1 \times 1}{1^2} = 9 \times 10^9 \ N$ થાય છે.
વ્યાખ્યા: $1 \ C$ એ તે વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય છે જે શૂન્યાવકાશમાં $1 \ m$ ના અંતરે રહેલા સમાન મૂલ્યના બીજા વિદ્યુતભાર પર $9 \times 10^9 \ N$ જેટલું અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.

(N/A) આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ $q_{1}$ અને $q_{2}$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{r}_{1}$ અને $\vec{r}_{2}$ છે.
ધારો કે $q_{2}$ દ્વારા $q_{1}$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_{12}$ છે અને $q_{1}$ દ્વારા $q_{2}$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_{21}$ છે.
$q_{1}$ થી $q_{2}$ નો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{21} = \vec{r}_{2} - \vec{r}_{1}$ છે,અને $q_{2}$ થી $q_{1}$ નો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{12} = \vec{r}_{1} - \vec{r}_{2} = -\vec{r}_{21}$ છે.
એકમ સદિશો $\hat{r}_{21} = \frac{\vec{r}_{21}}{|\vec{r}_{21}|}$ અને $\hat{r}_{12} = \frac{\vec{r}_{12}}{|\vec{r}_{12}|}$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ સદિશ સ્વરૂપમાં:
$q_{1}$ દ્વારા $q_{2}$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_{21} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{21}^{2}} \hat{r}_{21}$ છે.
$q_{2}$ દ્વારા $q_{1}$ પર લાગતું બળ $\vec{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}} \hat{r}_{12}$ છે.
કારણ કે $\hat{r}_{12} = -\hat{r}_{21}$ અને $r_{12} = r_{21}$,તેથી $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$ મળે છે.
મહત્વ અને મહત્વના મુદ્દાઓ:
$1$. તે દર્શાવે છે કે સ્થિત-વિદ્યુત બળ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમનું પાલન કરે છે.
$2$. તે સૂચવે છે કે બળ બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર લાગે છે (કેન્દ્રીય બળ).
$3$. તે બળનું મૂલ્ય અને દિશા બંનેને ધ્યાનમાં લે છે.

(N/A) કુલંબના નિયમનું સદિશ સ્વરૂપ $\overrightarrow{F_{21}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r_{21}^{2}} \cdot \hat{r}_{21}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ $q_{1}$ અને $q_{2}$ ના ધન અને ઋણ બંને મૂલ્યો માટે સાચું છે.
જો $q_{1}$ અને $q_{2}$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય (બંને ધન અથવા બંને ઋણ),તો $\overrightarrow{F_{21}}$ એ $\hat{r}_{21}$ ની દિશામાં હોય છે,જે અપાકર્ષણ દર્શાવે છે.
જો $q_{1}$ અને $q_{2}$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $\overrightarrow{F_{21}}$ એ $-\hat{r}_{21}$ (અથવા $\hat{r}_{12}$) ની દિશામાં હોય છે,જે આકર્ષણ દર્શાવે છે.
$1$ અને $2$ ને અદલાબદલી કરતા,આપણને $\overrightarrow{F_{12}} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1} q_{2}}{r_{12}^{2}} \hat{r}_{12} = -\overrightarrow{F_{21}}$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે કુલંબનો નિયમ ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ સાથે સુસંગત છે.
જો વિદ્યુતભારોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે,તો બળ $K$ ગણું ઘટે છે.
કુલંબ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,એટલે કે તે બે વિદ્યુતભારોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે. તે વ્યસ્ત વર્ગનો નિયમ છે.
વિદ્યુત બળ બે પ્રકારના હોય છે: આકર્ષી અને અપાકર્ષી.
ત્રીજા વિદ્યુતભારની હાજરી બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેના બળને અસર કરતી નથી,તેથી કુલંબ બળને દ્વિ-પદ બળ (two-body force) કહેવામાં આવે છે.

(N/A) કુલંબિયન અચળાંક $k$ એ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તેનું મૂલ્ય આશરે $8.98755 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે.
મોટાભાગના ભૌતિકવિજ્ઞાનના દાખલાઓમાં,તેને $k \approx 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ તરીકે લેવામાં આવે છે.

(N/A) કુલંબના નિયમની મર્યાદાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. તે ફક્ત બિંદુવત વિદ્યુતભારો માટે જ લાગુ પડે છે. બિંદુવત વિદ્યુતભાર એટલે એવો વિદ્યુતભાર કે જેનું કદ તેમની વચ્ચેના અંતરની સરખામણીમાં અવગણ્ય હોય.
$2$. તે ફક્ત ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે વિદ્યુતભારો સ્થિર હોય. જો વિદ્યુતભારો ગતિમાં હોય,તો વધારાના ચુંબકીય બળો ઉદ્ભવે છે.
$3$. તે ફક્ત ન્યુક્લિયર રેન્જ $(r > 10^{-15} \ m)$ કરતા વધારે અંતર માટે જ લાગુ પડે છે. આના કરતા ઓછા અંતરે,સ્થિત વિદ્યુત બળો કરતા પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળો વધુ પ્રભાવી હોય છે.
$4$. તે એક પાયાનો નિયમ છે જે પરમાણુના કદથી લઈને મેક્રોસ્કોપિક અંતર સુધીના અંતરો માટે સાચો ઠરે છે.

(N/A) માધ્યમમાં $\epsilon$ પરમિટિવિટી ધરાવતા $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું કુલંબિયન બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
જ્યાં $\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ (અથવા $\epsilon = \epsilon_0 K$),$\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,અને $\epsilon_r$ (અથવા $K$) એ માધ્યમની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી અથવા ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
આમ,આ સૂત્રને નીચે મુજબ પણ લખી શકાય:
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r^2}$

(N/A) કુલંબ બળને બે-પદાર્થ બળ કહેવામાં આવે છે કારણ કે બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ ફક્ત તે બે વિદ્યુતભારોના મૂલ્ય અને તેમની વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.
તે આસપાસમાં હાજર અન્ય કોઈ ત્રીજા વિદ્યુતભારની હાજરી કે ગેરહાજરીથી સ્વતંત્ર છે.
ગાણિતિક રીતે,કુલંબના નિયમ મુજબ,$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$,જ્યાં $q_1$ અને $q_2$ એ બે આંતરક્રિયા કરતા વિદ્યુતભારો છે.
આમ,બળ માત્ર આ બે ચોક્કસ પદાર્થો વચ્ચેની આંતરક્રિયા દ્વારા નક્કી થતું હોવાથી,તેને બે-પદાર્થ બળ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) કુલંબનો નિયમ જણાવે છે કે $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,દરેક આઘાત-પ્રત્યાઘાત સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_1$ એ વિદ્યુતભાર $q_2$ પર બળ $F_{12}$ લગાડે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $q_2$ એ વિદ્યુતભાર $q_1$ પર તેટલું જ બળ $F_{21}$ વિરુદ્ધ દિશામાં લગાડે છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત બળો હંમેશા મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવાથી,કુલંબનો નિયમ ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ સાથે સુસંગત છે.

(N/A) સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જ્યારે એક કરતાં વધુ બિંદુવત વિદ્યુતભારો હાજર હોય,ત્યારે કોઈ આપેલા વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ સ્થિત વિદ્યુત બળ એ અન્ય તમામ વિદ્યુતભારો દ્વારા તેના પર લાગતા વ્યક્તિગત બળોના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે. કોઈપણ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ અન્ય વિદ્યુતભારોની હાજરીથી પ્રભાવિત થતું નથી.
ધારો કે $n$ બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, ..., q_n$ છે,જેમના ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશો $\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ છે.
વિદ્યુતભાર $q_2$ ને કારણે $q_1$ પર લાગતું બળ:
$\vec{F}_{12} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{21}^2} \hat{r}_{21}$
તે જ રીતે,વિદ્યુતભાર $q_n$ ને કારણે $q_1$ પર લાગતું બળ:
$\vec{F}_{1n} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_n}{r_{n1}^2} \hat{r}_{n1}$
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,વિદ્યુતભાર $q_1$ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F}_1$ એ આ વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{F}_1 = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} + ... + \vec{F}_{1n} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F}_{1i}$
દરેક બળ માટેનું સમીકરણ મૂકતા:
$\vec{F}_1 = \frac{q_1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=2}^{n} \frac{q_i}{r_{i1}^2} \hat{r}_{i1}$
જ્યાં $\vec{r}_{i1} = \vec{r}_1 - \vec{r}_i$ એ વિદ્યુતભાર $q_i$ થી $q_1$ તરફ જતો સદિશ છે,અને $r_{i1}$ એ આ સદિશનું મૂલ્ય છે.

(N/A) સુપરપોઝિશનનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે અન્ય ઘણા વિદ્યુતભારોને કારણે કોઈ આપેલ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ બળ એ દરેક અન્ય વિદ્યુતભાર દ્વારા તે વિદ્યુતભાર પર લાગતા વ્યક્તિગત બળોના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો કોઈ વિદ્યુતભાર $q_0$ એ $q_1, q_2, ..., q_n$ વિદ્યુતભારોની હાજરીમાં હોય,તો $q_0$ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n$
જ્યાં $\vec{F}_i$ એ કુલંબના નિયમ મુજબ $i$-માં વિદ્યુતભાર $q_i$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ છે,જે અન્ય વિદ્યુતભારોની હાજરીથી સ્વતંત્ર છે.

સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$n$ બિંદુવત વીજભારોના તંત્રને કારણે વીજભાર ${q_1}$ પર લાગતું કુલ બળ એ દરેક વીજભાર દ્વારા ${q_1}$ પર લાગતા વ્યક્તિગત બળોનો સદિશ સરવાળો છે.
ધારો કે ${q_1}$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r_1}$ છે અને $i$-માં વીજભાર ${q_i}$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r_i}$ છે.
વીજભાર ${q_i}$ દ્વારા ${q_1}$ પર લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$\vec{F_{1i}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_i}{|\vec{r_1} - \vec{r_i}|^3} (\vec{r_1} - \vec{r_i})$
વીજભાર ${q_1}$ પર લાગતું કુલ બળ $\vec{F_1}$ એ $i = 2$ થી $n$ સુધીના આ બળોનો સરવાળો છે:
$\vec{F_1} = \sum_{i=2}^{n} \vec{F_{1i}} = \frac{q_1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=2}^{n} \frac{q_i}{|\vec{r_1} - \vec{r_i}|^3} (\vec{r_1} - \vec{r_i})$

(A) સમગ્ર સ્થિત-વિદ્યુતશાસ્ત્રનો પાયો મૂળભૂત રીતે કુલંબના નિયમ પર આધારિત છે.
કુલંબનો નિયમ બે સ્થિર બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતા બળનું વર્ણન કરે છે,જે વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાનને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટેનો પાયો પૂરો પાડે છે.
જોકે ગોસનો નિયમ એ કુલંબના નિયમ પરથી તારવેલું એક શક્તિશાળી સાધન છે,પરંતુ કુલંબનો નિયમ પોતે જ પ્રાથમિક પરિણામ છે જે સ્થિત-વિદ્યુત આંતરક્રિયાઓને સંચાલિત કરે છે.

(N/A) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $q = 34.8\,kC = 3.48 \times 10^4\,C$. કુલંબનો અચળાંક $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k|q|^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(i)$ $r_1 = 1\,cm = 10^{-2}\,m$ માટે:
$F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 12.11 \times 10^8}{10^{-4}} = 1.09 \times 10^{23}\,N$.
$(ii)$ $r_2 = 100\,m$ માટે:
$F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(100)^2} = \frac{109 \times 10^{21}}{10^4} = 1.09 \times 10^{15}\,N$.
$(iii)$ $r_3 = 10^6\,m$ માટે:
$F_3 = \frac{9 \times 10^9 \times (3.48 \times 10^4)^2}{(10^6)^2} = \frac{109 \times 10^{21}}{10^{12}} = 1.09 \times 10^7\,N$.
તારણ: ગણતરી કરેલ બળો અત્યંત મોટા છે. આ સૂચવે છે કે તટસ્થ પદાર્થમાં ધન અને ઋણ વિદ્યુતભારોને અલગ કરવા લગભગ અશક્ય છે,જે સમજાવે છે કે પદાર્થ સામાન્ય રીતે વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ કેમ હોય છે.

(N/A) ધારો કે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $2q$ ને $q$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે,$-3q$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં મૂકવામાં આવે છે.
$q$ ને કારણે $2q$ પર લાગતું અપાકર્ષી બળ:
$F_q = \frac{k(q)(2q)}{x^2} = \frac{2kq^2}{x^2}$
$-3q$ ને કારણે $2q$ પર લાગતું આકર્ષી બળ:
$F_{-3q} = \frac{k(3q)(2q)}{(x+d)^2} = \frac{6kq^2}{(x+d)^2}$
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$F_q = F_{-3q}$
$\frac{2kq^2}{x^2} = \frac{6kq^2}{(x+d)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(x+d)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{x+d}$
$x+d = \sqrt{3}x$
$d = x(\sqrt{3}-1)$
$x = \frac{d}{\sqrt{3}-1} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{2}$
આમ,$2q$ વિદ્યુતભારને $q$ વિદ્યુતભારથી $\frac{d(\sqrt{3}+1)}{2}$ અંતરે $-3q$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં મૂકવો જોઈએ.

(N/A) ત્રણ વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = k \left( \frac{q_1 q_2}{r} + \frac{q_2 q_3}{r} + \frac{q_3 q_1}{r} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યુટ્રોન માટે,વિદ્યુતભારો $q_1 = \frac{2}{3}e$,$q_2 = -\frac{1}{3}e$,અને $q_3 = -\frac{1}{3}e$ છે.
$U = \frac{k}{r} \left[ (\frac{2}{3}e)(-\frac{1}{3}e) + (-\frac{1}{3}e)(-\frac{1}{3}e) + (-\frac{1}{3}e)(\frac{2}{3}e) \right] = \frac{k}{r} \left[ -\frac{2}{9}e^2 + \frac{1}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 \right] = \frac{k}{r} \left( -\frac{3}{9}e^2 \right) = -\frac{k e^2}{3r}$.
$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $r = 10^{-15} \ m$ મૂકતા:
$U = -\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{3 \times 10^{-15}} = -7.68 \times 10^{-14} \ J$.
$eV$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $U = \frac{-7.68 \times 10^{-14}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = -4.8 \times 10^5 \ eV = -0.48 \ MeV$.
$(b)$ પ્રોટોન માટે,વિદ્યુતભારો $q_1 = \frac{2}{3}e$,$q_2 = \frac{2}{3}e$,અને $q_3 = -\frac{1}{3}e$ છે.
$U = \frac{k}{r} \left[ (\frac{2}{3}e)(\frac{2}{3}e) + (\frac{2}{3}e)(-\frac{1}{3}e) + (-\frac{1}{3}e)(\frac{2}{3}e) \right] = \frac{k}{r} \left[ \frac{4}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 - \frac{2}{9}e^2 \right] = 0 \ J$.

(A) આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q_1 = 2 \times 10^{-7} C$
વિદ્યુતભાર $q_2 = 3 \times 10^{-7} C$
અંતર $r = 30 cm = 0.3 m$
કુલંબનો અચળાંક $k = 9 \times 10^9 N \cdot m^2/C^2$
કુલંબના નિયમ મુજબ, બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$F = (9 \times 10^9) \times \frac{(2 \times 10^{-7}) \times (3 \times 10^{-7})}{(0.3)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 6 \times 10^{-14}}{0.09}$
$F = \frac{54 \times 10^{-5}}{0.09}$
$F = 600 \times 10^{-5} N = 6 \times 10^{-3} N$
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{r^{2}}$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોનનો પ્રવેગ $a_{e} = \frac{F}{m_{e}}$ છે.
બળનું સૂત્ર મૂકતા: $a_{e} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e^{2}}{m_{e} r^{2}}$.
અહીં $r = 1.6 \; \mathring{A} = 1.6 \times 10^{-10} \; m$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_{e} = 9 \times 10^{-31} \; kg$,અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2} C^{-2}$ છે.
$a_{e} = \frac{9 \times 10^{9} \times (1.6 \times 10^{-19})^{2}}{9 \times 10^{-31} \times (1.6 \times 10^{-10})^{2}}$.
$a_{e} = \frac{9 \times 10^{9} \times 2.56 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-31} \times 2.56 \times 10^{-20}}$.
$a_{e} = \frac{10^{9} \times 10^{-38}}{10^{-31} \times 10^{-20}} = \frac{10^{-29}}{10^{-51}} = 10^{22} \; m/s^{2}$.

(C) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
અહીં,ઉગમબિંદુ પર $q_{1} = 1 \,C$ અને વિવિધ સ્થાનો $y$ પર $q_{2} = 1 \,\mu C = 10^{-6} \,C$ છે.
કુલ બળ $F$ એ બધા વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F = \sum \frac{k q_{1} q_{2}}{y^{2}} = k q_{1} q_{2} \left( \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{8^{2}} + \ldots \right)$
$F = (9 \times 10^{9}) \times (1) \times (10^{-6}) \times \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \ldots \right)$
આ એક અનંત ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
$F = 9 \times 10^{3} \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^{3} \,N$.
$x \times 10^{3} \,N$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 12$ મળે છે.

(D) ધારો કે $m = 10 \, mg = 10 \times 10^{-6} \, kg$,$L = 0.5 \, m$,$r = 0.2 \, m$,અને $g = 10 \, ms^{-2}$.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$,અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{r^2}$ છે.
ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{r/2}{L} = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$. તેથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - 0.04} = \sqrt{0.96}$.
બળોનું વિભાજન કરતા: $T \cos \theta = mg$ અને $T \sin \theta = F_e$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{r^2 mg}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{0.2}{\sqrt{0.96}} = \frac{0.2}{0.9798} \approx 0.204$.
$q^2 = \frac{r^2 mg \tan \theta}{k} = \frac{(0.2)^2 \times (10^{-5}) \times (0.204)}{9 \times 10^9} = \frac{0.04 \times 10^{-5} \times 0.204}{9 \times 10^9} \approx 9.06 \times 10^{-17} \, C^2$.
$q \approx 9.52 \times 10^{-9} \, C = 0.952 \times 10^{-8} \, C$.
આપેલ છે કે $q = \frac{a}{21} \times 10^{-8} \, C$,તેથી $\frac{a}{21} = 0.952 \implies a = 0.952 \times 21 \approx 20$.

(C) જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 2.1 \, nC + (-0.1 \, nC) = 2.0 \, nC$.
સંપર્ક પછી દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{2} = \frac{2.0 \, nC}{2} = 1.0 \, nC = 1.0 \times 10^{-9} \, C$.
ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $r = 0.5 \, m$ છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = (9 \times 10^{9}) \times \frac{(1.0 \times 10^{-9}) \times (1.0 \times 10^{-9})}{(0.5)^{2}}$.
$F = \frac{9 \times 10^{9} \times 10^{-18}}{0.25} = \frac{9 \times 10^{-9}}{0.25} = 36 \times 10^{-9} \, N$.
આમ,બળ $36 \times 10^{-9} \, N$ છે.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $(Q-q)$ એકબીજાથી $r$ અંતરે રહેલા છે. તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુતીય બળ $F$ કુલંબના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{k q(Q-q)}{r^2}$
મહત્તમ બળ માટેની શરત મેળવવા માટે,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{k}{r^2} (Q - 2q) = 0$
અહીં $k$ અને $r$ અચળાંક છે અને શૂન્ય નથી,તેથી:
$Q - 2q = 0$
$Q = 2q$
આમ,મહત્તમ અપાકર્ષણ માટે વિદ્યુતભાર $Q$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવો જોઈએ.

(B) ધારો કે બે સ્થિર વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $2d = 2 \, m$ છે,તેથી $d = 1 \, m$. કણનું દળ $m = 1 \, mg = 10^{-6} \, kg$ છે.
જ્યારે કણને $x$ જેટલું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ:
$F = \frac{kq^{2}}{(d-x)^{2}} - \frac{kq^{2}}{(d+x)^{2}}$
$F = kq^{2} \left[ \frac{(d+x)^{2} - (d-x)^{2}}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right] = kq^{2} \left[ \frac{4dx}{(d^{2}-x^{2})^{2}} \right]$
$x \ll d$ હોવાથી,આપણે $(d^{2}-x^{2})^{2} \approx d^{4}$ લઈ શકીએ:
$F \approx \frac{4kq^{2}dx}{d^{4}} = \frac{4kq^{2}}{d^{3}} x$
બળ સંતુલન સ્થિતિ તરફ હોવાથી,$F = -m\omega^{2}x$. તેથી:
$m\omega^{2} = \frac{4kq^{2}}{d^{3}}$
$\omega = \sqrt{\frac{4kq^{2}}{md^{3}}}$
કિંમતો $k = 9 \times 10^{9} \, N \cdot m^{2}/C^{2}$,$q^{2} = 10 \, C^{2}$,$m = 10^{-6} \, kg$,અને $d = 1 \, m$ મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{4 \times 9 \times 10^{9} \times 10}{10^{-6} \times 1^{3}}} = \sqrt{36 \times 10^{16}} = 6 \times 10^{8} \, rad/s$.
આમ,કોણીય આવૃત્તિ $6 \times 10^{8} \, rad/s$ છે.

(C) ધારો કે દોરામાં તણાવ $T$ છે અને બોલ વચ્ચેનું અંતર $x$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક બોલ પર લાગતા બળો છે: તણાવ $T$,વજન $mg$,અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$.
બળોના ઘટકો લેતા:
$T \cos \theta = mg$ (શિરોલંબ ઘટક)
$T \sin \theta = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$ (ક્ષૈતિજ ઘટક)
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 x^2 mg}$.
નાના ખૂણા માટે,$\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{l} = \frac{x}{2l}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x}{2l} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 x^2 mg}$.
$x^3$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $x^3 = \frac{q^2 l}{2 \pi \varepsilon_0 mg}$.
આમ,$x = \left(\frac{q^2 l}{2 \pi \varepsilon_0 mg}\right)^{1/3}$.

(D) ધારો કે દરેક દડા પરનો વીજભાર $q = 2 \, C$ છે અને કોઈપણ બે દડા વચ્ચેનું અંતર $r = 1 \, m$ છે.
કોઈપણ બે વીજભારિત દડાઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{k q^2}{r^2} = \frac{k (2)^2}{(1)^2} = 4k$
કોઈપણ એક વીજભારિત દડાનો વિચાર કરો. તે અન્ય બે દડાઓ દ્વારા બે સ્થિત-વિદ્યુત બળો અનુભવે છે. દડાઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા હોવાથી,આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
અન્ય બે દડાઓને કારણે એક દડા પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_{\text{net}}$ એ આ બે બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2F^2 + 2F^2 (0.5)} = \sqrt{3F^2} = F \sqrt{3}$
તેથી,કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ અને કોઈપણ બે વીજભારિત દડાઓ વચ્ચેના બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_{\text{net}}}{F} = \frac{F \sqrt{3}}{F} = \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{1}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q$ ને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર $d$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. મધ્યબિંદુ $O$ છે. વિદ્યુતભાર $q$ એ લંબદ્વિભાજક પર બિંદુ $P$ પર $O$ થી $x$ અંતરે છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ અને $q$ વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{x^2 + (d/2)^2}$ છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું કુલંબ બળ $F = \frac{kQq}{x^2 + d^2/4}$ છે.
બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે,અને પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ લંબદ્વિભાજકની દિશામાં હોય છે:
$F_{\text{net}} = 2F \cos \theta = 2 \left( \frac{kQq}{x^2 + d^2/4} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + d^2/4}} \right) = \frac{2kQqx}{(x^2 + d^2/4)^{3/2}}$.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે $\frac{dF_{\text{net}}}{dx} = 0$ લઈએ છીએ:
$\frac{d}{dx} \left[ 2kQqx (x^2 + d^2/4)^{-3/2} \right] = 0$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $2kQq \left[ (x^2 + d^2/4)^{-3/2} + x(-3/2)(x^2 + d^2/4)^{-5/2}(2x) \right] = 0$.
$(x^2 + d^2/4)^{-3/2} - 3x^2(x^2 + d^2/4)^{-5/2} = 0$.
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0 \implies d^2/4 = 2x^2 \implies x^2 = d^2/8$.
તેથી,$x = \frac{d}{2\sqrt{2}}$.

(C) આપેલ વિદ્યુતભારો: $q_A = 5 \, \mu C$,$q_B = 0.16 \, \mu C$,$q_C = 0.3 \, \mu C$.
અંતર: $r_{AB} = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$,$r_{AC} = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$.
કુલંબનો નિયમ: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
$C$ ને કારણે $A$ પર લાગતું બળ $(F_1)$: $F_1 = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (0.3 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1.5 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1.5 \times 10 = 15 \, N$.
$B$ ને કારણે $A$ પર લાગતું બળ $(F_2)$: $F_2 = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (0.16 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 0.8 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 0.8 \times 10 = 8 \, N$.
બિંદુ $A$ એ કાટખૂણો હોવાથી,$F_1$ અને $F_2$ પરસ્પર લંબ છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \, N$.

(B) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 4\,\mu C$ ને બે ભાગ $q$ અને $(Q - q)$ માં વહેંચવામાં આવે છે.
$d$ અંતરે રહેલા આ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{K q (Q - q)}{d^2}$
મહત્તમ બળ માટેની શરત મેળવવા,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{K}{d^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$\frac{K}{d^2} (Q - 2q) = 0$
અહીં $K$ અને $d$ અચળ હોવાથી:
$Q - 2q = 0 \implies q = \frac{Q}{2}$
$Q = 4\,\mu C$ આપેલ હોવાથી,$q = \frac{4\,\mu C}{2} = 2\,\mu C$ મળે.
આમ,બે વિદ્યુતભારો $2\,\mu C$ અને $2\,\mu C$ હશે.

(A) આ પરિસ્થિતિમાં એક પ્રોટોન અને એક એન્ટિ-પ્રોટોન એકબીજાની નજીક આવે છે. તેમની પાસે વિરુદ્ધ વીજભાર હોવાથી,તેઓ એકબીજાને આકર્ષે છે.
ધારો કે $r = 10 \, cm = 0.1 \, m$ અંતરે દરેક કણનો વેગ $v$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અનંત અંતરે કુલ ઉર્જા (જ્યાં સ્થિતિ ઉર્જા શૂન્ય છે અને ધારો કે તેઓ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે) એ $r$ અંતરે કુલ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$(PE)_{i} + (KE)_{i} = (PE)_{f} + (KE)_{f}$
$0 + 0 = -\frac{K e^2}{r} + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2$
નોંધ: સ્થિતિ ઉર્જા ઋણ છે કારણ કે વીજભાર વિરુદ્ધ છે.
$\frac{K e^2}{r} = m v^2$
$v = \sqrt{\frac{K e^2}{m r}}$
કિંમતો મૂકતા: $K = 9 \times 10^9 \, N m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$m = 1.67 \times 10^{-27} \, kg$,$r = 0.1 \, m$.
$v = \sqrt{\frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.67 \times 10^{-27} \times 0.1}} = 1.17 \, m/s$.

(D) દરેક ગોળો ત્રણ બળોની અસર હેઠળ સંતુલનમાં છે:
$(i)$ સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F_e$,જે બંને ગોળાઓ પર સમાન મૂલ્યનું છે અને તેમના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
$(ii)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (વજન) $m_1 g$ અને $m_2 g$,જે દરેક ગોળાના કેન્દ્રમાંથી નીચેની તરફ લાગે છે.
$(iii)$ તણાવ બળ $T_1$ અને $T_2$,જે દોરીઓની દિશામાં લાગે છે.
ધારો કે $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 60^{\circ}$ એ શિરોલંબ સાથેના ખૂણા છે. સંતુલનની સ્થિતિમાં:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
આ બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$
ગોળા $1$ માટે:
$\tan 30^{\circ} = \frac{F_e}{m_1 g} \implies m_1 g = \frac{F_e}{\tan 30^{\circ}}$
ગોળા $2$ માટે:
$\tan 60^{\circ} = \frac{F_e}{m_2 g} \implies m_2 g = \frac{F_e}{\tan 60^{\circ}}$
ગુણોત્તર $m_1 / m_2$ લેતા:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{\tan 60^{\circ}}{\tan 30^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 3$
જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ,જો આપણે $\sin \theta_2 / \sin \theta_1$ નો ઉપયોગ કરીએ તો $\sin 60^{\circ} / \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.73$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $1.7$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ગોળાકાર કવચની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $E = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા મુજબ,$E = m_e c^2$.
ઉર્જા માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 R} = m_e c^2$.
$R$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$R = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_0 m_e c^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m_e c^2} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \times 9 \times 10^9}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (3 \times 10^8)^2}$.
$R = \frac{2.56 \times 10^{-38} \times 9 \times 10^9}{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 9 \times 10^{16}} = \frac{2.56 \times 10^{-29}}{18.2 \times 10^{-15}} \approx 0.14 \times 10^{-14} \, m = 1.4 \times 10^{-15} \, m$.

(B) ધારો કે $a$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ છે અને $r$ એ ઉગમબિંદુથી દરેક વિદ્યુતભારનું અંતર (પરિત્રિજ્યા) છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$r = \frac{a}{\sqrt{3}}$,તેથી $a = \sqrt{3} r$.
અન્ય બે વિદ્યુતભારોને કારણે એક વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ એ બે કુલંબ બળોનો સદિશ સરવાળો છે. દરેક બળનું મૂલ્ય $F_C = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}$ છે.
આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે. પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ ઉગમબિંદુ તરફ નિર્દેશિત છે:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_C^2 + F_C^2 + 2 F_C^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{3} F_C = \sqrt{3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \right)$.
$a^2 = 3 r^2$ મૂકતા:
$F_{\text{net}} = \sqrt{3} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{3 r^2} \right) = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{3} r^2}$.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ $F(r) = k r$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે:
$k r = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{3} r^2} \Rightarrow r^3 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 \sqrt{3} k} = \frac{\sqrt{3} q^2}{12 \pi \varepsilon_0 k}$.
આમ,$r = \left[ \frac{\sqrt{3}}{12 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{k} \right]^{1/3}$.

(B) લઘુત્તમ અંતરના બિંદુએ,કણોનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા એ લઘુત્તમ અંતર $r$ પરની કુલ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $KE_i = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 = m v^2$ છે.
$r$ અંતરે સ્થિતિ ઉર્જા $PE_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $m v^2 = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 m v^2}$ મળે છે.

(D) પ્રારંભિક સ્થિતિ: બે ગોળાઓ $A$ અને $B$ દરેક પાસે $q$ વિદ્યુતભાર છે અને તેઓ $r$ અંતરે અલગ છે. પ્રારંભિક બળ $F = \frac{k q^2}{r^2}$ છે.
પગલું $1$: જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત ગોળા $C$ ને ગોળા $A$ સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q + 0 = q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે. આમ,$A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_A = \frac{q}{2}$ થાય છે અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C = \frac{q}{2}$ થાય છે.
પગલું $2$: હવે,ગોળા $C$ (જેનો વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$ છે) ને ગોળા $B$ (જેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે) સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ થાય છે. ગોળાઓ સમાન હોવાથી,આ વિદ્યુતભાર $B$ અને $C$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. તેથી,$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_B = \frac{1}{2} \times \frac{3q}{2} = \frac{3q}{4}$ થાય છે.
પગલું $3$: ગોળા $A$ (વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$) અને ગોળા $B$ (વિદ્યુતભાર $\frac{3q}{4}$) વચ્ચે સમાન અંતર $r$ પર લાગતું અંતિમ બળ $F^{\prime}$:
$F^{\prime} = \frac{k q_A q_B}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2}$.
કારણ કે $F = \frac{k q^2}{r^2}$,તેથી $F^{\prime} = \frac{3}{8} F$.

(C) આપેલ છે:
ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = 6.7 \times 10^{-11} \, Nm^2/kg^2$
ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
કુલંબનો અચળાંક $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$
$r$ અંતરે રહેલા બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ:
$F_G = \frac{G m_e^2}{r^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{r^2}$
બે ઇલેક્ટ્રોન વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ:
$F_E = \frac{k e^2}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r^2}$
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_G}{F_E} = \frac{G m_e^2}{k e^2} = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times (9.1 \times 10^{-31})^2}{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}$
ગણતરી કરતા:
$\frac{F_G}{F_E} \approx \frac{6.7 \times 82.81 \times 10^{-73}}{9 \times 2.56 \times 10^{-29}} \approx 24 \times 10^{-44}$
આમ,ગુણોત્તર આશરે $24 \times 10^{-44}$ છે.