અ Gujarati
Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Gujarati
Class 12 Physics · Electric Charges and Fields · Electrostatic Force and Coulombs Law
322+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 322 questions in Gujarati
201
AdvancedMCQ
$m$ દળ અને $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા પ્રોટોનને ખૂબ દૂરના અંતરેથી $v$ વેગ સાથે $\alpha$-કણ તરફ ફેંકવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં $\alpha$-કણ સ્થિર છે,પરંતુ તે ગતિ કરવા માટે મુક્ત છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણને અવગણવામાં આવે,તો તેમની ગતિની સીધી રેખા પર ન્યૂનતમ અંતર કેટલું હશે?
A
$e^2 / 4 \pi \varepsilon_0 m v^2$
B
$5 e^2 / 4 \pi \varepsilon_0 m v^2$
C
$2 e^2 / 4 \pi \varepsilon_0 m v^2$
D
$4 e^2 / 4 \pi \varepsilon_0 m v^2$
Solution
(B) ધારો કે પ્રોટોનનું દળ $m_1 = m$ અને તેનો વિદ્યુતભાર $q_1 = e$ છે. ધારો કે $\alpha$-કણનું દળ $m_2 = 4m$ અને તેનો વિદ્યુતભાર $q_2 = 2e$ છે.
$\alpha$-કણ ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોવાથી,આપણે સિસ્ટમને સેન્ટર-ઓફ-માસ ફ્રેમમાં વિચારીએ છીએ. સિસ્ટમનું રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 4m}{m + 4m} = \frac{4m}{5}$ છે.
સેન્ટર-ઓફ-માસ ફ્રેમમાં સિસ્ટમની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{2} (\frac{4m}{5}) v^2 = \frac{2}{5} mv^2$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $r$ પર,કણોનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} mv^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e \cdot 2e}{r}$
$\frac{2}{5} mv^2 = \frac{2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{5 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m v^2}$.
$\alpha$-કણ ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોવાથી,આપણે સિસ્ટમને સેન્ટર-ઓફ-માસ ફ્રેમમાં વિચારીએ છીએ. સિસ્ટમનું રિડ્યુસ્ડ માસ $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m \cdot 4m}{m + 4m} = \frac{4m}{5}$ છે.
સેન્ટર-ઓફ-માસ ફ્રેમમાં સિસ્ટમની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{2} (\frac{4m}{5}) v^2 = \frac{2}{5} mv^2$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $r$ પર,કણોનો સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય થાય છે. ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા એ $r$ અંતરે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} \mu v^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{5} mv^2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{e \cdot 2e}{r}$
$\frac{2}{5} mv^2 = \frac{2e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}$
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = \frac{5 e^2}{4 \pi \varepsilon_0 m v^2}$.
0 likes
View Solution202
AdvancedMCQ
$100 \,g$ દળ ધરાવતા નાના દડાને $20 \,cm$ લાંબા દોરા સાથે જોડીને ચાર સમાન લોલક બનાવવામાં આવે છે અને તેમને એક જ બિંદુએથી લટકાવવામાં આવે છે. હવે,દરેક દડાને $Q$ વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,જેથી દડા એકબીજાથી દૂર જાય છે અને દરેક દોરો શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. $Q$ નું મૂલ્ય .............$\mu C$ ની નજીક છે $\left(\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9\right.$ $SI$ એકમોમાં $)$
A
$1$
B
$1.5$
C
$2$
D
$2.5$
Solution
(B) ધારો કે ચાર દડા $x$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણા પર છે. લટકાવવાના બિંદુમાંથી પસાર થતી શિરોલંબ ધરીથી દરેક દડાનું અંતર $r = l \sin 45^{\circ} = 20 \times 10^{-2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{0.2}{\sqrt{2}} \,m$ છે.
બે પાસપાસેના દડા વચ્ચેનું અંતર $x = \sqrt{2} r = 0.2 \,m$ છે.
અન્ય ત્રણ દડાને કારણે એક દડા પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e$ એ અન્ય ત્રણ વિદ્યુતભારોથી લાગતા બળોનો સદિશ સરવાળો છે. બે પાસપાસેના વિદ્યુતભારો $x$ અંતરે છે,અને વિકર્ણ પરનો વિદ્યુતભાર $\sqrt{2} x$ અંતરે છે.
$F_e = \frac{k Q^2}{x^2} \cos 45^{\circ} + \frac{k Q^2}{x^2} \cos 45^{\circ} + \frac{k Q^2}{(\sqrt{2} x)^2} = \frac{2 k Q^2}{x^2} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{k Q^2}{2 x^2} = \frac{k Q^2}{x^2} (\sqrt{2} + 0.5)$.
સંતુલનમાં,$\tan 45^{\circ} = \frac{F_e}{mg} \Rightarrow F_e = mg$.
$mg = \frac{k Q^2}{x^2} (\sqrt{2} + 0.5)$.
આપેલ છે $m = 0.1 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,$k = 9 \times 10^9$,$x = 0.2 \,m$.
$0.1 \times 10 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{(0.2)^2} (1.414 + 0.5)$.
$1 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{0.04} (1.914)$.
$Q^2 = \frac{0.04}{9 \times 10^9 \times 1.914} \approx 2.32 \times 10^{-12} \,C^2$.
$Q \approx 1.52 \times 10^{-6} \,C = 1.52 \,\mu C$.
આમ,$Q$ નું મૂલ્ય $1.5 \,\mu C$ ની નજીક છે.
બે પાસપાસેના દડા વચ્ચેનું અંતર $x = \sqrt{2} r = 0.2 \,m$ છે.
અન્ય ત્રણ દડાને કારણે એક દડા પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e$ એ અન્ય ત્રણ વિદ્યુતભારોથી લાગતા બળોનો સદિશ સરવાળો છે. બે પાસપાસેના વિદ્યુતભારો $x$ અંતરે છે,અને વિકર્ણ પરનો વિદ્યુતભાર $\sqrt{2} x$ અંતરે છે.
$F_e = \frac{k Q^2}{x^2} \cos 45^{\circ} + \frac{k Q^2}{x^2} \cos 45^{\circ} + \frac{k Q^2}{(\sqrt{2} x)^2} = \frac{2 k Q^2}{x^2} \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{k Q^2}{2 x^2} = \frac{k Q^2}{x^2} (\sqrt{2} + 0.5)$.
સંતુલનમાં,$\tan 45^{\circ} = \frac{F_e}{mg} \Rightarrow F_e = mg$.
$mg = \frac{k Q^2}{x^2} (\sqrt{2} + 0.5)$.
આપેલ છે $m = 0.1 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,$k = 9 \times 10^9$,$x = 0.2 \,m$.
$0.1 \times 10 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{(0.2)^2} (1.414 + 0.5)$.
$1 = \frac{9 \times 10^9 \times Q^2}{0.04} (1.914)$.
$Q^2 = \frac{0.04}{9 \times 10^9 \times 1.914} \approx 2.32 \times 10^{-12} \,C^2$.
$Q \approx 1.52 \times 10^{-6} \,C = 1.52 \,\mu C$.
આમ,$Q$ નું મૂલ્ય $1.5 \,\mu C$ ની નજીક છે.
0 likes
View Solution203
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ એક તારા આકારના શિરોબિંદુઓ પર ધન બિંદુવત વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. તારાના કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા ઋણ બિંદુવત વિદ્યુતભાર પર લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળની દિશા કઈ છે?
A
જમણી તરફ
B
શિરોલંબ ઉપરની તરફ
C
ડાબી તરફ
D
શિરોલંબ નીચેની તરફ
Solution
(A) કેન્દ્ર $O$ પર રહેલા ઋણ વિદ્યુતભાર પર શિરોબિંદુ પરના ધન વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ તે શિરોબિંદુની દિશામાં હોય છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ છે. કેન્દ્ર $O$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર પર વિરુદ્ધ દિશામાં રહેલી વિદ્યુતભારોની ત્રણ જોડીઓ દ્વારા લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ડાબી અને જમણી બાજુએ રહેલા $q$ મૂલ્યના બે વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$2$. નીચેના ભાગે રહેલો $q$ વિદ્યુતભાર અને ઉપરના ભાગે રહેલો $2q$ વિદ્યુતભાર,પરિણામી બળ ઉપરના શિરોબિંદુ તરફ લગાડે છે (કારણ કે $2q > q$).
$3$. ઉપર-ડાબી બાજુએ રહેલો $q$ વિદ્યુતભાર અને નીચે-જમણી બાજુએ રહેલો $3q$ વિદ્યુતભાર,પરિણામી બળ નીચે-જમણી બાજુના શિરોબિંદુ તરફ લગાડે છે (કારણ કે $3q > q$).
આ બે પરિણામી બળોના સદિશ સરવાળા દ્વારા,કેન્દ્ર $O$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ પરિણામી બળ જમણી તરફની દિશામાં મળે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ પરના વિદ્યુતભારો $q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6$ છે. કેન્દ્ર $O$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર પર વિરુદ્ધ દિશામાં રહેલી વિદ્યુતભારોની ત્રણ જોડીઓ દ્વારા લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. ડાબી અને જમણી બાજુએ રહેલા $q$ મૂલ્યના બે વિદ્યુતભારો એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
$2$. નીચેના ભાગે રહેલો $q$ વિદ્યુતભાર અને ઉપરના ભાગે રહેલો $2q$ વિદ્યુતભાર,પરિણામી બળ ઉપરના શિરોબિંદુ તરફ લગાડે છે (કારણ કે $2q > q$).
$3$. ઉપર-ડાબી બાજુએ રહેલો $q$ વિદ્યુતભાર અને નીચે-જમણી બાજુએ રહેલો $3q$ વિદ્યુતભાર,પરિણામી બળ નીચે-જમણી બાજુના શિરોબિંદુ તરફ લગાડે છે (કારણ કે $3q > q$).
આ બે પરિણામી બળોના સદિશ સરવાળા દ્વારા,કેન્દ્ર $O$ પરના ઋણ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ પરિણામી બળ જમણી તરફની દિશામાં મળે છે.
0 likes
View Solution204
DifficultMCQ
$m_1$ અને $m_2$ દળ ધરાવતા બે ધન વીજભારિત ગોળાઓને છત પરના એક સામાન્ય બિંદુથી $l$ લંબાઈની સમાન અવાહક દળરહિત દોરીઓ વડે લટકાવવામાં આવ્યા છે. બંને ગોળાઓ પરના વીજભાર અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,બંને દોરીઓ શિરોલંબ સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવે છે. તો
A
$q_1 m_1 = q_2 m_2$
B
$m_1 = m_2$
C
$m_1 = m_2 \sin \theta$
D
$q_2 m_1 = q_1 m_2$
Solution
(B) આપેલ પરિસ્થિતિમાં,દરેક વીજભારિત ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$(i)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$
$(ii)$ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
$(iii)$ દોરીમાં તણાવ બળ $(T)$
સંતુલન માટે,આપણે તણાવ બળ $T$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$T \sin \theta = F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{k q_1 q_2}{r^2 mg}$
ગોળા $1$ માટે:
$\tan \theta = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_1 g}$
ગોળા $2$ માટે:
$\tan \theta = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_2 g}$
કારણ કે બંને ગોળાઓ માટે ખૂણો $\theta$ સમાન છે,તેથી આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ છીએ:
$\frac{k q_1 q_2}{r^2 m_1 g} = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_2 g}$
આના પરથી સાદું રૂપ આપતા:
$m_1 = m_2$
$(i)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$
$(ii)$ સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
$(iii)$ દોરીમાં તણાવ બળ $(T)$
સંતુલન માટે,આપણે તણાવ બળ $T$ ને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ:
$T \sin \theta = F_e = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{k q_1 q_2}{r^2 mg}$
ગોળા $1$ માટે:
$\tan \theta = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_1 g}$
ગોળા $2$ માટે:
$\tan \theta = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_2 g}$
કારણ કે બંને ગોળાઓ માટે ખૂણો $\theta$ સમાન છે,તેથી આપણે સમીકરણોને સરખાવીએ છીએ:
$\frac{k q_1 q_2}{r^2 m_1 g} = \frac{k q_1 q_2}{r^2 m_2 g}$
આના પરથી સાદું રૂપ આપતા:
$m_1 = m_2$
0 likes
View Solution205
MediumMCQ
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર $q$ મૂલ્યના $12$ ધન વિદ્યુતભારોને સમાન અંતરે ગોઠવવામાં આવ્યા છે. કેન્દ્ર પર $Q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવ્યો છે. જો $q$ વિદ્યુતભારોમાંથી એકને દૂર કરવામાં આવે,તો $Q$ પર લાગતું બળ કેટલું હશે?
A
શૂન્ય
B
$\frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$,દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાનથી દૂરની દિશામાં
C
$\frac{11 q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$,દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાનથી દૂરની દિશામાં
D
$\frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$,દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાન તરફ
Solution
(D) શરૂઆતમાં,$q$ મૂલ્યના $12$ ધન વિદ્યુતભારોને $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર સપ્રમાણ રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા છે. આ ગોઠવણીની સંમિતિને કારણે,દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું વિદ્યુતબળ તેનાથી વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ દિશામાં રહેલા વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતા બળ વડે સંતુલિત થાય છે. તેથી,$Q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
જ્યારે એક વિદ્યુતભાર $q$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંમિતિ તૂટી જાય છે. બાકીના $11$ વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બળો હવે એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી. ખાસ કરીને,જે વિદ્યુતભાર $q$ દૂર કરવામાં આવ્યો છે,તેના દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ હવે ગેરહાજર છે. ધારો કે દૂર કરેલા વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $\vec{F}_{removed}$ હતું. પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,$\vec{F}_{net} + \vec{F}_{removed} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_{net} = -\vec{F}_{removed}$.
$R$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{R^2}$ છે.
દૂર કરેલો વિદ્યુતભાર $q$ ધન હોવાથી અને $Q$ પણ ધન હોવાથી,$\vec{F}_{removed}$ બળ દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાનથી દૂરની દિશામાં હતું. તેથી,વિદ્યુતભાર દૂર કર્યા પછી $Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ આ બળ જેટલા જ મૂલ્યનું પરંતુ દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાન તરફની દિશામાં હશે. આમ,બળ $\frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$ જેટલું દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાન તરફ હશે.
જ્યારે એક વિદ્યુતભાર $q$ ને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંમિતિ તૂટી જાય છે. બાકીના $11$ વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બળો હવે એકબીજાને નાબૂદ કરતા નથી. ખાસ કરીને,જે વિદ્યુતભાર $q$ દૂર કરવામાં આવ્યો છે,તેના દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ હવે ગેરહાજર છે. ધારો કે દૂર કરેલા વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતું બળ $\vec{F}_{removed}$ હતું. પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,$\vec{F}_{net} + \vec{F}_{removed} = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_{net} = -\vec{F}_{removed}$.
$R$ અંતરે રહેલા એક વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતા બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q Q}{R^2}$ છે.
દૂર કરેલો વિદ્યુતભાર $q$ ધન હોવાથી અને $Q$ પણ ધન હોવાથી,$\vec{F}_{removed}$ બળ દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાનથી દૂરની દિશામાં હતું. તેથી,વિદ્યુતભાર દૂર કર્યા પછી $Q$ પર લાગતું પરિણામી બળ આ બળ જેટલા જ મૂલ્યનું પરંતુ દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાન તરફની દિશામાં હશે. આમ,બળ $\frac{q Q}{4 \pi \varepsilon_0 R^2}$ જેટલું દૂર કરેલા વિદ્યુતભારના સ્થાન તરફ હશે.
0 likes
View Solution206
DifficultMCQ
$10^{-5} \,C$ ના મૂલ્ય અને $1 \,kg$ દળ ધરાવતા $5$ વિદ્યુતભારોને $5 \times 10^{-5} \,C$ ના મૂલ્ય અને $0.5 \,kg$ દળ ધરાવતા ગતિશીલ કેન્દ્રીય વિદ્યુતભારની આસપાસ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સપ્રમાણ રીતે (સ્થિર) ગોઠવવામાં આવ્યા છે. $P_1$ પરનો વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે છે. કેન્દ્રીય વિદ્યુતભારનો પ્રવેગ શોધો. [આપેલ છે,$O P_1=O P_2=O P_3=O P_4=O P_5=1 \,m, \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}=9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$]
A
$9 \,m/s^2$ ઉપરની તરફ
B
$9 \,m/s^2$ નીચેની તરફ
C
$4.5 \,m/s^2$ ઉપરની તરફ
D
$4.5 \,m/s^2$ નીચેની તરફ
Solution
(B) શરૂઆતમાં,$P_1, P_2, P_3, P_4$ અને $P_5$ પરના $5$ સમાન વિદ્યુતભારોની સપ્રમાણ ગોઠવણીને કારણે બિંદુ $O$ પરના કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય છે.
ધારો કે $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$ અને $\vec{F}_5$ એ અનુક્રમે $P_1, P_2, P_3, P_4$ અને $P_5$ પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા બિંદુ $O$ પરના કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = 0$.
જ્યારે $P_1$ પરનો વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પરનું નવું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = -\vec{F}_1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરિણામી બળનું મૂલ્ય $P_1$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતા બળ જેટલું જ છે અને તેની દિશા તેની વિરુદ્ધ (એટલે કે $OP_1$ રેખા પર $P_1$ થી દૂર,જે ઉપરની તરફ છે) છે.
બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = (9 \times 10^9) \frac{(10^{-5})(5 \times 10^{-5})}{(1)^2} = 4.5 \,N$ છે.
કેન્દ્રીય વિદ્યુતભારનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{4.5 \,N}{0.5 \,kg} = 9 \,m/s^2$ છે.
આમ,પ્રવેગ $9 \,m/s^2$ ઉપરની તરફ છે.
ધારો કે $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \vec{F}_3, \vec{F}_4$ અને $\vec{F}_5$ એ અનુક્રમે $P_1, P_2, P_3, P_4$ અને $P_5$ પરના વિદ્યુતભારો દ્વારા બિંદુ $O$ પરના કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,$\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = 0$.
જ્યારે $P_1$ પરનો વિદ્યુતભાર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર પરનું નવું પરિણામી બળ $\vec{F}_{net} = \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 + \vec{F}_5 = -\vec{F}_1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે પરિણામી બળનું મૂલ્ય $P_1$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા લાગતા બળ જેટલું જ છે અને તેની દિશા તેની વિરુદ્ધ (એટલે કે $OP_1$ રેખા પર $P_1$ થી દૂર,જે ઉપરની તરફ છે) છે.
બળનું મૂલ્ય $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = (9 \times 10^9) \frac{(10^{-5})(5 \times 10^{-5})}{(1)^2} = 4.5 \,N$ છે.
કેન્દ્રીય વિદ્યુતભારનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{4.5 \,N}{0.5 \,kg} = 9 \,m/s^2$ છે.
આમ,પ્રવેગ $9 \,m/s^2$ ઉપરની તરફ છે.
0 likes
View Solution207
MediumMCQ
કુલંબના નિયમ અનુસાર,નીચેની આકૃતિ માટે કયો સંબંધ સાચો છે?
A
$q_1 q_2 < 0$
B
$q_1 q_2 > 0$
C
$q_1 q_2 = 0$
D
$q_1 q_2 \gg 100 \text{ C}$
Solution
(A) આપેલી આકૃતિમાં,બળો $\vec{F}_{12}$ અને $\vec{F}_{21}$ એકબીજાની દિશામાં છે,જે બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે આકર્ષણ બળ સૂચવે છે.
આકર્ષણ બળ ફક્ત વિજાતીય વિદ્યુતભારો (એક ધન અને એક ઋણ) વચ્ચે જ હોય છે.
ધારો કે $q_1 = +Q$ અને $q_2 = -Q$,જ્યાં $Q > 0$ છે.
તેથી,વિદ્યુતભારોનો ગુણાકાર $q_1 q_2 = (+Q)(-Q) = -Q^2$ થાય.
કારણ કે $Q^2$ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી $-Q^2$ ઋણ થશે.
તેથી,$q_1 q_2 < 0$.
આકર્ષણ બળ ફક્ત વિજાતીય વિદ્યુતભારો (એક ધન અને એક ઋણ) વચ્ચે જ હોય છે.
ધારો કે $q_1 = +Q$ અને $q_2 = -Q$,જ્યાં $Q > 0$ છે.
તેથી,વિદ્યુતભારોનો ગુણાકાર $q_1 q_2 = (+Q)(-Q) = -Q^2$ થાય.
કારણ કે $Q^2$ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી $-Q^2$ ઋણ થશે.
તેથી,$q_1 q_2 < 0$.
0 likes
View Solution208
EasyMCQ
એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q_1$ એ બીજા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q_2$ પર વિદ્યુતબળ લગાડે છે. જો ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q_3$ નજીક લાવવામાં આવે,તો $q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતું વિદ્યુતબળ:
A
ઘટે છે
B
વધે છે
C
અપરિવર્તિત રહે છે
D
જો $q_3$ એ $q_1$ જેવી જ સંજ્ઞા ધરાવતો હોય તો વધે છે અને જો $q_3$ વિરુદ્ધ સંજ્ઞા ધરાવતો હોય તો ઘટે છે
Solution
(C) સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું વિદ્યુતબળ તેની આસપાસ રહેલા અન્ય વિદ્યુતભારોની હાજરીથી સ્વતંત્ર હોય છે.
$q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$.
આ બળ માત્ર $q_1$ અને $q_2$ ના મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેના અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ત્રીજા વિદ્યુતભાર $q_3$ ની હાજરી $q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતા વ્યક્તિગત બળને અસર કરતી નથી.
$q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$.
આ બળ માત્ર $q_1$ અને $q_2$ ના મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેના અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,ત્રીજા વિદ્યુતભાર $q_3$ ની હાજરી $q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતા વ્યક્તિગત બળને અસર કરતી નથી.
0 likes
View Solution209
EasyMCQ
જો $1 \,C$ ના બે વિદ્યુતભારોને એકબીજાથી $1 \,km$ દૂર રાખવામાં આવે,તો તેમની વચ્ચેનું બળ ........... $N$ હશે.
A
$9 \times 10^3$
B
$9 \times 10^{-3}$
C
$9 \times 10^{-4}$
D
$10^{-6}$
Solution
(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે: $q_1 = 1 \,C$,$q_2 = 1 \,C$,અને $r = 1 \,km = 1000 \,m = 10^3 \,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 1}{(10^3)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9}{10^6}$
$F = 9 \times 10^3 \,N$.
આપેલ છે: $q_1 = 1 \,C$,$q_2 = 1 \,C$,અને $r = 1 \,km = 1000 \,m = 10^3 \,m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 1}{(10^3)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9}{10^6}$
$F = 9 \times 10^3 \,N$.
0 likes
View Solution210
MediumMCQ
બે ઇલેક્ટ્રોન એકબીજા તરફ $10^6 \, m/s$ ના વેગથી ગતિ કરી રહ્યા છે. તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર (closest distance of approach) કેટલા $m$ હશે?
A
$1.53 \times 10^{-8}$
B
$2.53 \times 10^{-10}$
C
$2.53 \times 10^{-6}$
D
$0$
Solution
(B) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન એકબીજાની સૌથી નજીક પહોંચે છે,ત્યારે તેમની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
બે ઇલેક્ટ્રોનની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K.E. = 2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = m v^2$ છે.
અહીં $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ અને $v = 10^6 \, m/s$ આપેલ છે,તેથી કુલ ગતિઊર્જા $(9.1 \times 10^{-31}) \times (10^6)^2 = 9.1 \times 10^{-19} \, J$ થાય.
$r$ અંતરે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r}$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાને સરખાવતા: $9.1 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{r}$.
$r$ માટે ગણતરી કરતા: $r = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-19}} \approx 2.53 \times 10^{-10} \, m$.
બે ઇલેક્ટ્રોનની કુલ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K.E. = 2 \times (\frac{1}{2} m v^2) = m v^2$ છે.
અહીં $m = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$ અને $v = 10^6 \, m/s$ આપેલ છે,તેથી કુલ ગતિઊર્જા $(9.1 \times 10^{-31}) \times (10^6)^2 = 9.1 \times 10^{-19} \, J$ થાય.
$r$ અંતરે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{r}$ છે.
ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાને સરખાવતા: $9.1 \times 10^{-19} = \frac{9 \times 10^9 \times 2.56 \times 10^{-38}}{r}$.
$r$ માટે ગણતરી કરતા: $r = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{9.1 \times 10^{-19}} \approx 2.53 \times 10^{-10} \, m$.
0 likes
View Solution211
MediumMCQ
જો બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ ને '$d$' અંતરે રાખવામાં આવે અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે,તો સમાન સ્થિત-વિદ્યુત બળ માટે હવામાં વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સમતુલ્ય અંતર કેટલું હશે?
A
$d \sqrt{K}$
B
$K \sqrt{d}$
C
$1.5 d \sqrt{K}$
D
$2 d \sqrt{K}$
Solution
(A) $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
હવામાં સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચે $d'$ સમતુલ્ય અંતરે લાગતું બળ: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$.
બળો સમાન હોવાથી $(F = F_{\text{air}})$,આપણે પદોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{K d^2} = \frac{1}{d'^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$d'^2 = K d^2 \implies d' = d \sqrt{K}$.
હવામાં સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચે $d'$ સમતુલ્ય અંતરે લાગતું બળ: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$.
બળો સમાન હોવાથી $(F = F_{\text{air}})$,આપણે પદોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d'^2}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{K d^2} = \frac{1}{d'^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$d'^2 = K d^2 \implies d' = d \sqrt{K}$.
0 likes
View Solution212
MediumMCQ
એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q_1 = 4 q_0$ ને ઉગમબિંદુ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. બીજો બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q_2 = -q_0$ ને $x = 12 \, cm$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. પ્રોટોનનો વિદ્યુતભાર $q_0$ છે. પ્રોટોનને $x$-અક્ષ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે જેથી તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય થાય. આ સ્થિતિમાં,ઉગમબિંદુથી પ્રોટોનનું અંતર $.......... \, cm$ છે.
A
$24$
B
$23$
C
$22$
D
$20$
Solution
(A) ધારો કે પ્રોટોનને ઉગમબિંદુથી $r$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યો છે. ઉગમબિંદુ પર રહેલા $q_1$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{k (4q_0) q_0}{r^2}$ (અપાકર્ષી,જમણી તરફ) છે.
$x = 12 \, cm$ પર રહેલા $q_2$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{k q_0 q_0}{(r - 12)^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ) છે.
કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_1 = F_2$ હોવું જોઈએ:
$\frac{4 k q_0^2}{r^2} = \frac{k q_0^2}{(r - 12)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{r} = \frac{1}{r - 12}$
$2(r - 12) = r$
$2r - 24 = r$
$r = 24 \, cm$.
આમ,પ્રોટોન ઉગમબિંદુથી $24 \, cm$ ના અંતરે છે.
$x = 12 \, cm$ પર રહેલા $q_2$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{k q_0 q_0}{(r - 12)^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ) છે.
કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_1 = F_2$ હોવું જોઈએ:
$\frac{4 k q_0^2}{r^2} = \frac{k q_0^2}{(r - 12)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{r} = \frac{1}{r - 12}$
$2(r - 12) = r$
$2r - 24 = r$
$r = 24 \, cm$.
આમ,પ્રોટોન ઉગમબિંદુથી $24 \, cm$ ના અંતરે છે.
0 likes
View Solution213
MediumMCQ
ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચે અમુક અંતરે રહેલા કુલંબના સ્થિત-વિદ્યુત બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ગુણોત્તર $2.4 \times 10^{39}$ છે. પ્રમાણ્યતા અચળાંક $K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G$ નો ગુણોત્તર આશરે કેટલો થાય? (આપેલ છે કે પ્રોટોન અને ઇલેક્ટ્રોનનો દરેકનો વીજભાર $= 1.6 \times 10^{-19} \; C$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $= 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,પ્રોટોનનું દળ $= 1.67 \times 10^{-27} \; kg$):
A
$10^{20}$
B
$10^{30}$
C
$10^{40}$
D
$10$
Solution
(A) સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_G$ નો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{F_e}{F_G} = \frac{\frac{K q_1 q_2}{r^2}}{\frac{G m_1 m_2}{r^2}} = \frac{K}{G} \cdot \frac{q_1 q_2}{m_1 m_2}$
આપેલ છે કે $\frac{F_e}{F_G} = 2.4 \times 10^{39}$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_1 = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,અને $m_2 = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$2.4 \times 10^{39} = \frac{K}{G} \cdot \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (1.67 \times 10^{-27})}$
$\frac{K}{G} = \frac{2.4 \times 10^{39} \times (9.11 \times 1.67) \times 10^{-58}}{(1.6)^2 \times 10^{-38}}$
$\frac{K}{G} = \frac{2.4 \times 15.2137 \times 10^{-19}}{2.56 \times 10^{-38}} = \frac{36.51288}{2.56} \times 10^{19} \approx 14.26 \times 10^{19} = 1.426 \times 10^{20}$
આમ,ગુણોત્તર આશરે $10^{20}$ છે.
$\frac{F_e}{F_G} = \frac{\frac{K q_1 q_2}{r^2}}{\frac{G m_1 m_2}{r^2}} = \frac{K}{G} \cdot \frac{q_1 q_2}{m_1 m_2}$
આપેલ છે કે $\frac{F_e}{F_G} = 2.4 \times 10^{39}$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \; C$,$m_1 = 9.11 \times 10^{-31} \; kg$,અને $m_2 = 1.67 \times 10^{-27} \; kg$.
કિંમતો મૂકતા:
$2.4 \times 10^{39} = \frac{K}{G} \cdot \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{(9.11 \times 10^{-31}) \times (1.67 \times 10^{-27})}$
$\frac{K}{G} = \frac{2.4 \times 10^{39} \times (9.11 \times 1.67) \times 10^{-58}}{(1.6)^2 \times 10^{-38}}$
$\frac{K}{G} = \frac{2.4 \times 15.2137 \times 10^{-19}}{2.56 \times 10^{-38}} = \frac{36.51288}{2.56} \times 10^{19} \approx 14.26 \times 10^{19} = 1.426 \times 10^{20}$
આમ,ગુણોત્તર આશરે $10^{20}$ છે.
0 likes
View Solution214
DifficultMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બે સમાન બિંદુવત વિદ્યુતભારો $(q_0 = +2 \mu C)$ ની ગોઠવણી એક ઢળતા સમતલ પર મૂકવામાં આવી છે. દરેક બિંદુવત વિદ્યુતભારનું દળ $20 \, g$ છે. ધારો કે વિદ્યુતભાર અને સમતલ વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ નથી. બે બિંદુવત વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમ સંતુલનમાં (સ્થિર) રહે તે માટે ઊંચાઈ $h = x \times 10^{-3} \, m$ છે. $x$ નું મૂલ્ય $..........$ છે. (લો $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, Nm^2 C^{-2}, g = 10 \, ms^{-2}$)
A
$200$
B
$300$
C
$400$
D
$100$
Solution
(B) ઢળતા સમતલ પર ઉપરના વિદ્યુતભારના સંતુલન માટે,સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક,સમતલની ઉપરની તરફ લાગતા સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવો જોઈએ.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$h = r \sin 30^{\circ}$,તેથી $r = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$.
બળ સંતુલનનું સમીકરણ છે: $mg \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_0^2}{r^2}$.
$r = 2h$ અને આપેલ કિંમતો $(m = 0.02 \, kg, g = 10 \, ms^{-2}, q_0 = 2 \times 10^{-6} \, C, \sin 30^{\circ} = 0.5)$ મૂકતા:
$0.02 \times 10 \times 0.5 = 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{(2h)^2}$
$0.1 = 9 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-12}}{4h^2}$
$0.1 = \frac{9 \times 10^{-3}}{h^2}$
$h^2 = \frac{9 \times 10^{-3}}{0.1} = 9 \times 10^{-2} \, m^2$
$h = 0.3 \, m = 300 \times 10^{-3} \, m$.
આને $h = x \times 10^{-3} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 300$ મળે છે.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. ભૂમિતિ પરથી,$h = r \sin 30^{\circ}$,તેથી $r = \frac{h}{\sin 30^{\circ}} = 2h$.
બળ સંતુલનનું સમીકરણ છે: $mg \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_0^2}{r^2}$.
$r = 2h$ અને આપેલ કિંમતો $(m = 0.02 \, kg, g = 10 \, ms^{-2}, q_0 = 2 \times 10^{-6} \, C, \sin 30^{\circ} = 0.5)$ મૂકતા:
$0.02 \times 10 \times 0.5 = 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6})^2}{(2h)^2}$
$0.1 = 9 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-12}}{4h^2}$
$0.1 = \frac{9 \times 10^{-3}}{h^2}$
$h^2 = \frac{9 \times 10^{-3}}{0.1} = 9 \times 10^{-2} \, m^2$
$h = 0.3 \, m = 300 \times 10^{-3} \, m$.
આને $h = x \times 10^{-3} \, m$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 300$ મળે છે.
0 likes
View Solution215
DifficultMCQ
$10\,\mu C$ ના વીજભારને બે ભાગમાં વહેંચીને $1\,cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે જેથી તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ મહત્તમ થાય. તો તે બે ભાગના વીજભાર કેટલા હશે?
A
$9\,\mu C , 1\,\mu C$
B
$5\,\mu C , 5\,\mu C$
C
$7\,\mu C , 3\,\mu C$
D
$8\,\mu C , 2\,\mu C$
Solution
(B) ધારો કે કુલ વીજભાર $q = 10\,\mu C$ ને બે ભાગ $x$ અને $(q - x)$ માં વહેંચવામાં આવે છે.
$r$ અંતરે તેમની વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{K x(q - x)}{r^2}$
મહત્તમ બળ મેળવવા માટે,આપણે $F$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF}{dx} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dx} (qx - x^2) = 0$
$\frac{K}{r^2} (q - 2x) = 0$
અહીં $\frac{K}{r^2} \neq 0$ હોવાથી,$q - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{q}{2}$.
આપેલ $q = 10\,\mu C$ માટે,બે ભાગ:
$x = \frac{10\,\mu C}{2} = 5\,\mu C$
$(q - x) = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$.
આમ,બંને વીજભાર $5\,\mu C$ અને $5\,\mu C$ છે.
$r$ અંતરે તેમની વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{K x(q - x)}{r^2}$
મહત્તમ બળ મેળવવા માટે,આપણે $F$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF}{dx} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dx} (qx - x^2) = 0$
$\frac{K}{r^2} (q - 2x) = 0$
અહીં $\frac{K}{r^2} \neq 0$ હોવાથી,$q - 2x = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{q}{2}$.
આપેલ $q = 10\,\mu C$ માટે,બે ભાગ:
$x = \frac{10\,\mu C}{2} = 5\,\mu C$
$(q - x) = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$.
આમ,બંને વીજભાર $5\,\mu C$ અને $5\,\mu C$ છે.
0 likes
View Solution216
MediumMCQ
ત્રણ બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q$,$-2q$ અને $2q$ ને $x$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી અનુક્રમે $x=0$,$x=\frac{3}{4}R$ અને $x=R$ અંતરે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે. જો $q = 2 \times 10^{-6} \, C$ અને $R = 2 \, cm$ હોય,તો $-2q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ .......... $N$ છે.
A
$5442$
B
$5440$
C
$5448$
D
$5475$
Solution
(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = q$ ($x=0$ પર),$q_2 = -2q$ ($x=\frac{3}{4}R$ પર) અને $q_3 = 2q$ ($x=R$ પર) છે.
$q_1$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ $F_{21} = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{21}^2} = \frac{k |q(-2q)|}{(\frac{3}{4}R)^2} = \frac{2kq^2}{\frac{9}{16}R^2} = \frac{32kq^2}{9R^2}$ (ઉગમબિંદુ તરફ,એટલે કે $-x$ દિશામાં).
$q_3$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ $F_{23} = \frac{k |q_2 q_3|}{r_{23}^2} = \frac{k |(-2q)(2q)|}{(R - \frac{3}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{(\frac{1}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{\frac{1}{16}R^2} = \frac{64kq^2}{R^2}$ ($x=R$ તરફ,એટલે કે $+x$ દિશામાં).
$-2q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{23} - F_{21} = \frac{64kq^2}{R^2} - \frac{32kq^2}{9R^2} = \frac{576kq^2 - 32kq^2}{9R^2} = \frac{544kq^2}{9R^2}$.
કિંમતો મૂકતા $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q = 2 \times 10^{-6} \, C$,અને $R = 0.02 \, m$:
$F_{net} = \frac{544 \times 9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})^2}{9 \times (0.02)^2} = \frac{544 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-4}} = 544 \times 10^1 = 5440 \, N$.
$q_1$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ $F_{21} = \frac{k |q_1 q_2|}{r_{21}^2} = \frac{k |q(-2q)|}{(\frac{3}{4}R)^2} = \frac{2kq^2}{\frac{9}{16}R^2} = \frac{32kq^2}{9R^2}$ (ઉગમબિંદુ તરફ,એટલે કે $-x$ દિશામાં).
$q_3$ ને કારણે $q_2$ પર લાગતું બળ $F_{23} = \frac{k |q_2 q_3|}{r_{23}^2} = \frac{k |(-2q)(2q)|}{(R - \frac{3}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{(\frac{1}{4}R)^2} = \frac{4kq^2}{\frac{1}{16}R^2} = \frac{64kq^2}{R^2}$ ($x=R$ તરફ,એટલે કે $+x$ દિશામાં).
$-2q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{23} - F_{21} = \frac{64kq^2}{R^2} - \frac{32kq^2}{9R^2} = \frac{576kq^2 - 32kq^2}{9R^2} = \frac{544kq^2}{9R^2}$.
કિંમતો મૂકતા $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q = 2 \times 10^{-6} \, C$,અને $R = 0.02 \, m$:
$F_{net} = \frac{544 \times 9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-6})^2}{9 \times (0.02)^2} = \frac{544 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{4 \times 10^{-4}} = 544 \times 10^1 = 5440 \, N$.
0 likes
View Solution217
DifficultMCQ
બે સમાન વિદ્યુતભારીત ગોળાઓને સમાન લંબાઈની દોરીઓ વડે લટકાવવામાં આવ્યા છે. દોરીઓ એકબીજા સાથે $37^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. જ્યારે તેમને $0.7 \text{ g/cm}^3$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે ખૂણો સમાન રહે છે. જો ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા $1.4 \text{ g/cm}^3$ હોય,તો પ્રવાહીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક . . . . . . છે $\left(\tan 37^{\circ} = \frac{3}{4}\right)$.
A
$1$
B
$3$
C
$2$
D
$10$
Solution
(C) ધારો કે $\theta$ એ દરેક દોરી શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. દોરીઓ વચ્ચેનો કુલ ખૂણો $37^{\circ}$ હોવાથી,$\theta = 37^{\circ}/2 = 18.5^{\circ}$ થાય.
હવામાં,સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{F_e}{\rho_B V g}$ છે,જ્યાં $\rho_B$ એ ગોળાની ઘનતા છે અને $V$ તેનું કદ છે.
પ્રવાહીમાં,અસરકારક વજન $mg' = V(\rho_B - \rho_L)g$ થાય છે અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{F_e}{K}$ થાય છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$ છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી,આપણે $\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F_e}{\rho_B V g} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$
$\rho_B = K(\rho_B - \rho_L)$
$1.4 = K(1.4 - 0.7)$
$1.4 = K(0.7)$
$K = \frac{1.4}{0.7} = 2$.
હવામાં,સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{F_e}{\rho_B V g}$ છે,જ્યાં $\rho_B$ એ ગોળાની ઘનતા છે અને $V$ તેનું કદ છે.
પ્રવાહીમાં,અસરકારક વજન $mg' = V(\rho_B - \rho_L)g$ થાય છે અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{F_e}{K}$ થાય છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$ છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી,આપણે $\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F_e}{\rho_B V g} = \frac{F_e}{K V(\rho_B - \rho_L)g}$
$\rho_B = K(\rho_B - \rho_L)$
$1.4 = K(1.4 - 0.7)$
$1.4 = K(0.7)$
$K = \frac{1.4}{0.7} = 2$.
0 likes
View Solution218
DifficultMCQ
શૂન્યાવકાશમાં $r \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F$ છે. જ્યારે તેમને $K=5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં $r/5 \ cm$ અંતરે મૂકવામાં આવે ત્યારે તેમની વચ્ચેનું બળ કેટલું થશે?
A
$F/25$
B
$5F$
C
$F/5$
D
$25F$
Solution
(B) શૂન્યાવકાશમાં બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
જ્યારે વિદ્યુતભારોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
અહીં $K = 5$ અને નવું અંતર $r' = r/5$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{(r/5)^2}$
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{r^2 / 25}$
$F' = \frac{25}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right)$
$F' = 5F$
$F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
જ્યારે વિદ્યુતભારોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
અહીં $K = 5$ અને નવું અંતર $r' = r/5$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{(r/5)^2}$
$F' = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (5)} \frac{q_1 q_2}{r^2 / 25}$
$F' = \frac{25}{5} \left( \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right)$
$F' = 5F$
0 likes
View Solution219
DifficultMCQ
બે સમાન વિદ્યુતભારીત ગોળાઓ સમાન લંબાઈની દોરીઓ વડે લટકાવેલા છે. દોરીઓ એકબીજા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. જ્યારે પાણીમાં લટકાવવામાં આવે ત્યારે ખૂણો સમાન રહે છે. જો ગોળાના દ્રવ્યની ઘનતા $1.5 \ g/cc$ હોય,તો પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક કેટલો હશે? (પાણીની ઘનતા $= 1 \ g/cc$ લો)
A
$4$
B
$8$
C
$7$
D
$3$
Solution
(D) હવામાં,સંતુલન સ્થિતિ $\tan(\theta/2) = \frac{F}{mg} = \frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2 mg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $K$ (અથવા $\varepsilon_r$) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે અને અસરકારક વજન $mg' = mg(1 - \frac{\rho_{liquid}}{\rho_{sphere}})$ થાય છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $\theta$ સમાન રહે છે,તેથી $\tan(\theta/2) = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$.
$\tan(\theta/2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$
$K = \frac{1}{1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere}} = \frac{\rho_s}{\rho_s - \rho_l} = \frac{1.5}{1.5 - 1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
આમ,પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $3$ છે.
જ્યારે $K$ (અથવા $\varepsilon_r$) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે અને અસરકારક વજન $mg' = mg(1 - \frac{\rho_{liquid}}{\rho_{sphere}})$ થાય છે.
આપેલ છે કે ખૂણો $\theta$ સમાન રહે છે,તેથી $\tan(\theta/2) = \frac{F'}{mg'} = \frac{F/K}{mg(1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$.
$\tan(\theta/2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F}{mg} = \frac{F}{K mg (1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere})}$
$K = \frac{1}{1 - \rho_{liquid}/\rho_{sphere}} = \frac{\rho_s}{\rho_s - \rho_l} = \frac{1.5}{1.5 - 1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
આમ,પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $3$ છે.
0 likes
View Solution220
DifficultMCQ
હાઇડ્રોજન જેવા તંત્રમાં ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેના કુલંબ બળ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ગુણોત્તર કયા ક્રમનો હોય છે?
A
$10^{39}$
B
$10^{19}$
C
$10^{29}$
D
$10^{36}$
Solution
(A) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું કુલંબ બળ $F_e = \frac{k e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ અને $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}}$ છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $\frac{F_e}{F_g} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{101.3 \times 10^{-69}} \approx 0.227 \times 10^{40} \approx 2.27 \times 10^{39}$ મળે છે.
આમ,પરિમાણનો ક્રમ $10^{39}$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \ m^2/kg^2$,$m_e = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$ અને $m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_g} = \frac{k e^2}{G m_e m_p} = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{6.67 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.67 \times 10^{-27}}$ છે.
કિંમતોની ગણતરી કરતા: $\frac{F_e}{F_g} \approx \frac{23.04 \times 10^{-29}}{101.3 \times 10^{-69}} \approx 0.227 \times 10^{40} \approx 2.27 \times 10^{39}$ મળે છે.
આમ,પરિમાણનો ક્રમ $10^{39}$ છે.
0 likes
View Solution221
DifficultMCQ
બે સમાન વાહક ગોળાઓ $P$ અને $S$ કે જે દરેક પર $Q$ વિદ્યુતભાર છે, એકબીજાને $16 \,N$ ના બળથી અપાકર્ષે છે. ત્રીજો સમાન વિદ્યુતભાર રહિત વાહક ગોળો $R$ વારાફરતી આ બંને ગોળાઓના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે. $P$ અને $S$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ કેટલું હશે ($\,N$ માં)?
A
$4$
B
$6$
C
$1$
D
$12$
Solution
(B) શરૂઆતમાં, ગોળાઓ $P$ અને $S$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{Q^2}{r^2} = 16 \,N$.
જ્યારે ગોળો $R$ (વિદ્યુતભાર રહિત) ને ગોળા $P$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે। આમ, $P$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_P' = \frac{Q+0}{2} = \frac{Q}{2}$ થાય છે। $R$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $\frac{Q}{2}$ થાય છે।
ત્યારબાદ, ગોળો $R$ (હવે $\frac{Q}{2}$ વિદ્યુતભાર સાથે) ને ગોળા $S$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે। કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે। આમ, $S$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_S' = \frac{Q + Q/2}{2} = \frac{3Q/2}{2} = \frac{3Q}{4}$ થાય છે।
$P$ અને $S$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F' = k \frac{Q_P' Q_S'}{r^2} = k \frac{(Q/2)(3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right)$ છે।
શરૂઆતનું બળ $F = 16 \,N$ મૂકતા, આપણને $F' = \frac{3}{8} \times 16 \,N = 6 \,N$ મળે છે।
જ્યારે ગોળો $R$ (વિદ્યુતભાર રહિત) ને ગોળા $P$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેઓ સમાન છે। આમ, $P$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_P' = \frac{Q+0}{2} = \frac{Q}{2}$ થાય છે। $R$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $\frac{Q}{2}$ થાય છે।
ત્યારબાદ, ગોળો $R$ (હવે $\frac{Q}{2}$ વિદ્યુતભાર સાથે) ને ગોળા $S$ (વિદ્યુતભાર $Q$) ના સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે। કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે। આમ, $S$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_S' = \frac{Q + Q/2}{2} = \frac{3Q/2}{2} = \frac{3Q}{4}$ થાય છે।
$P$ અને $S$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F' = k \frac{Q_P' Q_S'}{r^2} = k \frac{(Q/2)(3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right)$ છે।
શરૂઆતનું બળ $F = 16 \,N$ મૂકતા, આપણને $F' = \frac{3}{8} \times 16 \,N = 6 \,N$ મળે છે।
1 likes
View Solution222
DifficultMCQ
સમાન દળ અને વિદ્યુતભાર ધરાવતા બે સમાન અવાહક ઘન ગોળાઓને એક સામાન્ય બિંદુથી સમાન લંબાઈની બે અવાહક,દળરહિત દોરીઓ વડે હવામાં લટકાવવામાં આવ્યા છે. સંતુલન સ્થિતિમાં,દોરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. હવે આ ગોળાઓને $800 \ kg \ m^{-3}$ ઘનતા અને $21$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે. જો ડુબાડ્યા પછી પણ દોરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો સમાન રહેતો હોય,તો
$(A)$ ગોળાઓ વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ બદલાતું નથી
$(B)$ ગોળાઓ વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ ઘટે છે
$(C)$ ગોળાઓની દળ ઘનતા $840 \ kg \ m^{-3}$ છે
$(D)$ ગોળાઓને પકડી રાખતી દોરીઓમાં તણાવ બદલાતું નથી
$(A)$ ગોળાઓ વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ બદલાતું નથી
$(B)$ ગોળાઓ વચ્ચેનું વિદ્યુત બળ ઘટે છે
$(C)$ ગોળાઓની દળ ઘનતા $840 \ kg \ m^{-3}$ છે
$(D)$ ગોળાઓને પકડી રાખતી દોરીઓમાં તણાવ બદલાતું નથી
A
$B, C$
B
$B, D$
C
$B, A$
D
$B, C, D$
Solution
(A) હવામાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$,અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં:
$T \cos(\alpha/2) = mg$
$T \sin(\alpha/2) = F$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan(\alpha/2) = \frac{F}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2 mg}$.
જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે. ગોળા પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_l g$ લાગે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ અને $\rho_l$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે. અસરકારક વજન $mg' = mg - V \rho_l g = V \rho_s g - V \rho_l g = V g (\rho_s - \rho_l)$ થાય છે,જ્યાં $\rho_s$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિમાં:
$T' \cos(\alpha/2) = V g (\rho_s - \rho_l)$
$T' \sin(\alpha/2) = F/K$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan(\alpha/2) = \frac{F/K}{V g (\rho_s - \rho_l)}$.
ખૂણો $\alpha$ સમાન રહેતો હોવાથી,$\tan(\alpha/2)$ અચળ છે:
$\frac{F}{mg} = \frac{F/K}{V g (\rho_s - \rho_l)}$
$\frac{1}{mg} = \frac{1}{K V g (\rho_s - \rho_l)}$
$m = V \rho_s$ હોવાથી:
$\frac{1}{V \rho_s g} = \frac{1}{K V g (\rho_s - \rho_l)}$
$\rho_s = K (\rho_s - \rho_l)$
$21 (\rho_s - 800) = \rho_s$
$21 \rho_s - 16800 = \rho_s$
$20 \rho_s = 16800 \implies \rho_s = 840 \ kg \ m^{-3}$.
$F' = F/K$ હોવાથી,વિદ્યુત બળ ઘટે છે (વિકલ્પ $B$ સાચો છે). ગોળાની ઘનતા $840 \ kg \ m^{-3}$ છે (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
સંતુલન સ્થિતિમાં:
$T \cos(\alpha/2) = mg$
$T \sin(\alpha/2) = F$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan(\alpha/2) = \frac{F}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2 mg}$.
જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે,ત્યારે સ્થિત વિદ્યુત બળ $F' = \frac{F}{K}$ થાય છે. ગોળા પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $F_B = V \rho_l g$ લાગે છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ અને $\rho_l$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે. અસરકારક વજન $mg' = mg - V \rho_l g = V \rho_s g - V \rho_l g = V g (\rho_s - \rho_l)$ થાય છે,જ્યાં $\rho_s$ એ ગોળાની ઘનતા છે.
પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિમાં:
$T' \cos(\alpha/2) = V g (\rho_s - \rho_l)$
$T' \sin(\alpha/2) = F/K$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan(\alpha/2) = \frac{F/K}{V g (\rho_s - \rho_l)}$.
ખૂણો $\alpha$ સમાન રહેતો હોવાથી,$\tan(\alpha/2)$ અચળ છે:
$\frac{F}{mg} = \frac{F/K}{V g (\rho_s - \rho_l)}$
$\frac{1}{mg} = \frac{1}{K V g (\rho_s - \rho_l)}$
$m = V \rho_s$ હોવાથી:
$\frac{1}{V \rho_s g} = \frac{1}{K V g (\rho_s - \rho_l)}$
$\rho_s = K (\rho_s - \rho_l)$
$21 (\rho_s - 800) = \rho_s$
$21 \rho_s - 16800 = \rho_s$
$20 \rho_s = 16800 \implies \rho_s = 840 \ kg \ m^{-3}$.
$F' = F/K$ હોવાથી,વિદ્યુત બળ ઘટે છે (વિકલ્પ $B$ સાચો છે). ગોળાની ઘનતા $840 \ kg \ m^{-3}$ છે (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
0 likes
View Solution223
MediumMCQ
બે મણકા,દરેક $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા,$R$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ,ઘર્ષણરહિત,અવાહક,વર્તુળાકાર હૂપ પર છે. એક મણકો હૂપ પર કોઈ બિંદુએ ચોંટાડેલો છે,જ્યારે બીજો મણકો હૂપ પર તેની સંતુલન સ્થિતિની આસપાસ નાના દોલનો કરે છે. નાના દોલનોની કોણીય આવૃત્તિનો વર્ગ કેટલો થાય? [ $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.]
A
$q^2 / (4 \pi \varepsilon_0 R^3 m)$
B
$q^2 / (32 \pi \varepsilon_0 R^3 m)$
C
$q^2 / (8 \pi \varepsilon_0 R^3 m)$
D
$q^2 / (16 \pi \varepsilon_0 R^3 m)$
Solution
(B) ધારો કે સ્થિર મણકો હૂપની ટોચ પર છે. જ્યારે બીજો મણકો સંતુલન સ્થિતિ (હૂપનું તળિયું) થી $\theta$ કોણીય સ્થાને હોય,ત્યારે બે મણકા વચ્ચેનું અંતર $r = 2R \sin(\theta/2)$ છે.
બે મણકા વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 R^2 \sin^2(\theta/2)}$ છે.
હૂપને સ્પર્શક આ બળનો ઘટક પુનઃસ્થાપક બળ આપે છે: $F_t = F \cos(\theta/2)$.
ટોર્ક $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I = mR^2$ અને $\tau = -F_t R = -F R \cos(\theta/2)$.
નાના $\theta$ માટે,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$ અને $\cos(\theta/2) \approx 1$.
આ ગણતરી કરતા,$\omega^2 = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 m R^3}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
બે મણકા વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} = \frac{q^2}{16 \pi \varepsilon_0 R^2 \sin^2(\theta/2)}$ છે.
હૂપને સ્પર્શક આ બળનો ઘટક પુનઃસ્થાપક બળ આપે છે: $F_t = F \cos(\theta/2)$.
ટોર્ક $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $I = mR^2$ અને $\tau = -F_t R = -F R \cos(\theta/2)$.
નાના $\theta$ માટે,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$ અને $\cos(\theta/2) \approx 1$.
આ ગણતરી કરતા,$\omega^2 = \frac{q^2}{32 \pi \varepsilon_0 m R^3}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.
0 likes
View Solution224
MediumMCQ
એક નાનો વિદ્યુતભાર રહિત વાહક ગોળો $4 \times 10^{-8} \text{ C}$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા સમાન ગોળાના સંપર્કમાં મૂકવામાં આવે છે. ત્યારબાદ તેમને એકબીજાથી અમુક અંતરે દૂર કરવામાં આવે છે જેથી તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ $9 \times 10^{-3} \text{ N}$ થાય છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે ($\text{ cm}$ માં)? ($SI$ એકમોમાં $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ લો).
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$1$
Solution
(A) જ્યારે બે સમાન વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે।
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$.
સંપર્ક પછી, દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{2} = \frac{4 \times 10^{-8}}{2} = 2 \times 10^{-8} \text{ C}$ થાય છે।
કુલંબના નિયમ મુજબ, $r$ અંતરે તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
અહીં $F = 9 \times 10^{-3} \text{ N}$ અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ આપેલ છે।
$9 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-8})}{r^2}$
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-16}}{9 \times 10^{-3}}$
$r^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$r = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = 4 \times 10^{-8} \text{ C}$.
સંપર્ક પછી, દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{2} = \frac{4 \times 10^{-8}}{2} = 2 \times 10^{-8} \text{ C}$ થાય છે।
કુલંબના નિયમ મુજબ, $r$ અંતરે તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
અહીં $F = 9 \times 10^{-3} \text{ N}$ અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$ આપેલ છે।
$9 \times 10^{-3} = \frac{9 \times 10^9 \times (2 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-8})}{r^2}$
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-16}}{9 \times 10^{-3}}$
$r^2 = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$r = 2 \times 10^{-2} \text{ m} = 2 \text{ cm}$.
0 likes
View Solution225
DifficultMCQ
બે સમાન વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાઓ $A$ અને $B$ ના કેન્દ્રો એક નિશ્ચિત અંતરે આવેલા છે. દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ $F$ છે. એક ત્રીજો સમાન વિદ્યુતભાર રહિત વાહક ગોળો $C$ પહેલા ગોળા $A$ સાથે અને ત્યારબાદ ગોળા $B$ સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે અને અંતે બંનેથી દૂર કરવામાં આવે છે. ગોળાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ (ગોળાઓ $A$ અને $B$ ની ત્રિજ્યાઓ તેમના વચ્ચેના અંતરની સરખામણીમાં નગણ્ય છે,જેથી તેમની વચ્ચેનું બળ ગણવા માટે તેમને બિંદુવત વિદ્યુતભારો ગણી શકાય) કેટલું હશે?
A
$\frac{3 F}{5}$
B
$\frac{2 F}{3}$
C
$\frac{F}{2}$
D
$\frac{3 F}{8}$
Solution
(D) શરૂઆતમાં,ગોળાઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ $F = \frac{k q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે ત્રીજો સમાન વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$ ને ગોળા $A$ સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q + 0 = q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,$A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_A' = \frac{q}{2}$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C' = \frac{q}{2}$ થાય છે.
ત્યારબાદ,ગોળા $C$ ને (જેના પર હવે $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર છે) ગોળા $B$ (જેના પર $q$ વિદ્યુતભાર છે) સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ થાય છે. આ વિદ્યુતભાર $B$ અને $C$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_B' = \frac{3q}{4}$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C'' = \frac{3q}{4}$ થાય છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2}$ થાય છે.
કારણ કે $F = \frac{k q^2}{r^2}$,તેથી $F' = \frac{3 F}{8}$ મળે છે.
જ્યારે ત્રીજો સમાન વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$ ને ગોળા $A$ સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $q + 0 = q$ તેમની વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,$A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_A' = \frac{q}{2}$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C' = \frac{q}{2}$ થાય છે.
ત્યારબાદ,ગોળા $C$ ને (જેના પર હવે $\frac{q}{2}$ વિદ્યુતભાર છે) ગોળા $B$ (જેના પર $q$ વિદ્યુતભાર છે) સાથે સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે. કુલ વિદ્યુતભાર $q + \frac{q}{2} = \frac{3q}{2}$ થાય છે. આ વિદ્યુતભાર $B$ અને $C$ વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_B' = \frac{3q}{4}$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C'' = \frac{3q}{4}$ થાય છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું નવું અપાકર્ષણ બળ $F' = \frac{k q_A' q_B'}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \frac{k q^2}{r^2}$ થાય છે.
કારણ કે $F = \frac{k q^2}{r^2}$,તેથી $F' = \frac{3 F}{8}$ મળે છે.
0 likes
View Solution226
MediumMCQ
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. ત્રીજા વિદ્યુતભારને ક્યાં મૂકવો જોઈએ જેથી તે સ્થિર રહે?
A
$16 q$ થી $8 \ m$ અંતરે
B
$16 q$ થી $6 \ m$ અંતરે
C
$16 q$ થી $10 \ m$ અંતરે
D
$16 q$ થી $3 \ m$ અંતરે
Solution
(A) ત્રીજો વિદ્યુતભાર $Q$ સ્થિર રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. ધારો કે વિદ્યુતભાર $Q$ ને $16 q$ થી $x$ અંતરે તેમની વચ્ચેની રેખા પર મૂકવામાં આવે છે.
$16 q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ અને $25 q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{K(16 q)(Q)}{x^2} = \frac{K(25 q)(Q)}{(18 - x)^2}$
$\frac{16}{x^2} = \frac{25}{(18 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{4}{x} = \frac{5}{18 - x}$
$4(18 - x) = 5x$
$72 - 4x = 5x$
$9x = 72$
$x = 8 \ m$
તેથી,ત્રીજા વિદ્યુતભારને $16 q$ થી $8 \ m$ ના અંતરે મૂકવો જોઈએ.
$16 q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ અને $25 q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોવા જોઈએ.
$\frac{K(16 q)(Q)}{x^2} = \frac{K(25 q)(Q)}{(18 - x)^2}$
$\frac{16}{x^2} = \frac{25}{(18 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{4}{x} = \frac{5}{18 - x}$
$4(18 - x) = 5x$
$72 - 4x = 5x$
$9x = 72$
$x = 8 \ m$
તેથી,ત્રીજા વિદ્યુતભારને $16 q$ થી $8 \ m$ ના અંતરે મૂકવો જોઈએ.
0 likes
View Solution227
DifficultMCQ
$1 \mu C, -1 \mu C$ અને $2 \mu C$ ના વિદ્યુતભારોને $10 \ cm$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ પર હવામાં મૂકવામાં આવ્યા છે. $C$ પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ કેટલું હશે ($N$ માં)?
A
$0.9$
B
$1.8$
C
$2.7$
D
$3.6$
Solution
(B) વિદ્યુતભારો $q_A = 1 \mu C$,$q_B = -1 \mu C$,અને $q_C = 2 \mu C$ છે. બાજુની લંબાઈ $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
$A$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8 \ N$ (અપાકર્ષી,$AC$ ની દિશામાં).
$B$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{BC} = \frac{k |q_B q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8 \ N$ (આકર્ષી,$B$ ની દિશામાં).
આ બે બળ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે કારણ કે સમબાજુ ત્રિકોણનો અંતઃકોણ $60^\circ$ છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = \sqrt{F_{AC}^2 + F_{BC}^2 + 2 F_{AC} F_{BC} \cos(120^\circ)}$.
અહીં $F_{AC} = F_{BC} = F = 1.8 \ N$ હોવાથી,$F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2 + F^2 - F^2} = F$.
તેથી,$F_{net} = 1.8 \ N$.
$A$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8 \ N$ (અપાકર્ષી,$AC$ ની દિશામાં).
$B$ પરના વિદ્યુતભાર દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{BC} = \frac{k |q_B q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8 \ N$ (આકર્ષી,$B$ ની દિશામાં).
આ બે બળ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે કારણ કે સમબાજુ ત્રિકોણનો અંતઃકોણ $60^\circ$ છે.
પરિણામી બળ $F_{net} = \sqrt{F_{AC}^2 + F_{BC}^2 + 2 F_{AC} F_{BC} \cos(120^\circ)}$.
અહીં $F_{AC} = F_{BC} = F = 1.8 \ N$ હોવાથી,$F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2 + F^2 - F^2} = F$.
તેથી,$F_{net} = 1.8 \ N$.
0 likes
View Solution228
DifficultMCQ
ત્રણ વિદ્યુતભારો $4q, Q$ અને $q$ એ $x$-અક્ષ પર અનુક્રમે $x=0 \ m, x=\frac{1}{2} \ m$ અને $x=1 \ m$ ના સ્થાને એક સીધી રેખામાં છે. જો $Q$ નું મૂલ્ય કેટલું હોય તો $q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થશે?
A
$-q$
B
$-2q$
C
$-\frac{q}{2}$
D
$4q$
Solution
(A) ધારો કે વિદ્યુતભારોના સ્થાન $x_1 = 0$,$x_2 = \ell/2$ અને $x_3 = \ell$ છે. $4q$ અને $q$ વચ્ચેનું અંતર $\ell = 1 \ m$ છે,અને $Q$ અને $q$ વચ્ચેનું અંતર $\ell/2 = 0.5 \ m$ છે.
$q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,$4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ અને $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
ધારો કે $F_1$ એ $4q$ ને કારણે લાગતું બળ છે અને $F_2$ એ $Q$ ને કારણે લાગતું બળ છે.
$F_1 = \frac{k(4q)(q)}{\ell^2}$ અને $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2}$.
$F_1 + F_2 = 0$ લેતા:
$\frac{k(4q)(q)}{\ell^2} = - \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2}$.
$\frac{4q}{\ell^2} = - \frac{Q}{\ell^2 / 4}$.
$4q = -4Q$.
$Q = -q$.
$q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,$4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ અને $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
ધારો કે $F_1$ એ $4q$ ને કારણે લાગતું બળ છે અને $F_2$ એ $Q$ ને કારણે લાગતું બળ છે.
$F_1 = \frac{k(4q)(q)}{\ell^2}$ અને $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2}$.
$F_1 + F_2 = 0$ લેતા:
$\frac{k(4q)(q)}{\ell^2} = - \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2}$.
$\frac{4q}{\ell^2} = - \frac{Q}{\ell^2 / 4}$.
$4q = -4Q$.
$Q = -q$.
0 likes
View Solution229
MediumMCQ
નીચેની ચાર્જ્ડ સસ્પેન્ડેડ બોલ સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો. જો $\alpha < \beta$ હોય,તો નીચેના વિધાનોમાંથી સંતુલન સ્થિતિમાં કયું સાચું હોઈ શકે? :-
$(a) Q_1 > Q_2, m_1 < m_2$
$(b) Q_1 > Q_2, m_1 > m_2$
$(c) Q_1 < Q_2, m_1 = m_2$
$(d) Q_1 < Q_2, m_1 > m_2$
$(a) Q_1 > Q_2, m_1 < m_2$
$(b) Q_1 > Q_2, m_1 > m_2$
$(c) Q_1 < Q_2, m_1 = m_2$
$(d) Q_1 < Q_2, m_1 > m_2$
A
માત્ર $d$
B
માત્ર $c$
C
$(c, d)$
D
$(b, d)$
Solution
(D) દરેક બોલ માટે,લાગતા બળો તણાવ $T$,નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને આડા દિશામાં સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F_e$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,આડું બળ $F_e = T \sin \theta$ અને ઊભું બળ $mg = T \cos \theta$ છે.
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ મળે છે.
બંને બોલ સમાન સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$ અનુભવે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{F_e}{mg}$ ખૂણો નક્કી કરે છે.
ડાબી બાજુના બોલ માટે,$\tan \alpha = \frac{F_e}{m_1 g}$. જમણી બાજુના બોલ માટે,$\tan \beta = \frac{F_e}{m_2 g}$.
આપેલ છે કે $\alpha < \beta$,તેથી $\tan \alpha < \tan \beta$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{F_e}{m_1 g} < \frac{F_e}{m_2 g}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $m_1 > m_2$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં $Q_1$ અને $Q_2$ વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ સંબંધ આપેલો નથી,તેથી તેઓ કોઈપણ રીતે સંબંધિત હોઈ શકે છે જ્યાં સુધી સ્થિત-વિદ્યુત બળ સમાન અને વિરુદ્ધ હોય. આમ,$m_1 > m_2$ શરત સાચી હોવી જોઈએ,જ્યારે $Q_1$ અને $Q_2$ ના મૂલ્યો ગમે તે હોઈ શકે.
વિકલ્પો જોતા,$(b)$ અને $(d)$ બંને $m_1 > m_2$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,આડું બળ $F_e = T \sin \theta$ અને ઊભું બળ $mg = T \cos \theta$ છે.
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ મળે છે.
બંને બોલ સમાન સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$ અનુભવે છે,તેથી ગુણોત્તર $\frac{F_e}{mg}$ ખૂણો નક્કી કરે છે.
ડાબી બાજુના બોલ માટે,$\tan \alpha = \frac{F_e}{m_1 g}$. જમણી બાજુના બોલ માટે,$\tan \beta = \frac{F_e}{m_2 g}$.
આપેલ છે કે $\alpha < \beta$,તેથી $\tan \alpha < \tan \beta$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{F_e}{m_1 g} < \frac{F_e}{m_2 g}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $m_1 > m_2$ મળે છે.
પ્રશ્નમાં $Q_1$ અને $Q_2$ વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ સંબંધ આપેલો નથી,તેથી તેઓ કોઈપણ રીતે સંબંધિત હોઈ શકે છે જ્યાં સુધી સ્થિત-વિદ્યુત બળ સમાન અને વિરુદ્ધ હોય. આમ,$m_1 > m_2$ શરત સાચી હોવી જોઈએ,જ્યારે $Q_1$ અને $Q_2$ ના મૂલ્યો ગમે તે હોઈ શકે.
વિકલ્પો જોતા,$(b)$ અને $(d)$ બંને $m_1 > m_2$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
0 likes
View Solution230
DifficultMCQ
સમાન વિદ્યુતભાર ધરાવતા બે દડા $-10^{\circ} C$ તાપમાને બરફના પાત્રમાં એકબીજાથી $25 \ cm$ અંતરે રાખેલા છે. જ્યારે તે $0^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં ફેરવાય છે,ત્યારે તેમની વચ્ચેનું આંતરક્રિયા બળ સમાન રહે તે માટે દડાઓને $5 \ cm$ અંતરે લાવવામાં આવે છે. જો $0^{\circ} C$ તાપમાને પાણીનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $80$ હોય,તો $-10^{\circ} C$ તાપમાને બરફનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક કેટલો હશે?
A
$40$
B
$3.2$
C
$20$
D
$6.4$
Solution
(B) $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં $q$ વિદ્યુતભાર વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K} \frac{q^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$-10^{\circ} C$ તાપમાને બરફમાં,બળ $F_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K_i} \frac{q^2}{(25 \times 10^{-2})^2}$ છે.
$0^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં,બળ $F_w = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (80)} \frac{q^2}{(5 \times 10^{-2})^2}$ છે.
આંતરક્રિયા બળ સમાન રહેતું હોવાથી $(F_i = F_w)$,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{K_i (25)^2} = \frac{1}{80 (5)^2}$.
$K_i = 80 \times \frac{5^2}{25^2} = 80 \times \frac{25}{625} = 80 \times \frac{1}{25} = 3.2$.
તેથી,બરફનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $3.2$ છે.
$-10^{\circ} C$ તાપમાને બરફમાં,બળ $F_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 K_i} \frac{q^2}{(25 \times 10^{-2})^2}$ છે.
$0^{\circ} C$ તાપમાને પાણીમાં,બળ $F_w = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0 (80)} \frac{q^2}{(5 \times 10^{-2})^2}$ છે.
આંતરક્રિયા બળ સમાન રહેતું હોવાથી $(F_i = F_w)$,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{K_i (25)^2} = \frac{1}{80 (5)^2}$.
$K_i = 80 \times \frac{5^2}{25^2} = 80 \times \frac{25}{625} = 80 \times \frac{1}{25} = 3.2$.
તેથી,બરફનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $3.2$ છે.
0 likes
View Solution231
MediumMCQ
ચોરસના શિરોબિંદુ પર મૂકવામાં આવેલા $10 \mu C$ ના વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય થાય તે માટે $q$ નું મૂલ્ય શોધો. વિદ્યુતભારો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ગોઠવાયેલા છે.
A
$-5 \sqrt{2} \mu C$
B
$-5 \mu C$
C
$-\frac{5}{\sqrt{2}} \mu C$
D
$5 \mu C$
Solution
(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. ઉપરના જમણા ખૂણે રહેલા $10 \mu C$ વિદ્યુતભારનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. નીચેના ડાબા ખૂણે રહેલા $10 \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ: $F_1 = \frac{k (10 \mu C)^2}{(\sqrt{2} a)^2}$,જે વિકર્ણની દિશામાં છે.
$2$. અન્ય શિરોબિંદુઓ પર રહેલા બે $q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતા બળો: $F_2 = \frac{k q (10 \mu C)}{a^2}$,જે બાજુઓની દિશામાં છે.
કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,બે $F_2$ બળોનું પરિણામી બળ $F_1$ ની વિરુદ્ધ અને સમાન હોવું જોઈએ.
બે $F_2$ બળોનું પરિણામી બળ $\sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{k q (10 \mu C)}{a^2}$ છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $\sqrt{2} \frac{k q (10 \mu C)}{a^2} = - \frac{k (10 \mu C)^2}{2 a^2}$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q = - \frac{10 \mu C}{2 \sqrt{2}} = - \frac{5}{\sqrt{2}} \mu C$.
$1$. નીચેના ડાબા ખૂણે રહેલા $10 \mu C$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ: $F_1 = \frac{k (10 \mu C)^2}{(\sqrt{2} a)^2}$,જે વિકર્ણની દિશામાં છે.
$2$. અન્ય શિરોબિંદુઓ પર રહેલા બે $q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતા બળો: $F_2 = \frac{k q (10 \mu C)}{a^2}$,જે બાજુઓની દિશામાં છે.
કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,બે $F_2$ બળોનું પરિણામી બળ $F_1$ ની વિરુદ્ધ અને સમાન હોવું જોઈએ.
બે $F_2$ બળોનું પરિણામી બળ $\sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{k q (10 \mu C)}{a^2}$ છે.
મૂલ્યોને સરખાવતા: $\sqrt{2} \frac{k q (10 \mu C)}{a^2} = - \frac{k (10 \mu C)^2}{2 a^2}$.
$q$ માટે ઉકેલતા: $q = - \frac{10 \mu C}{2 \sqrt{2}} = - \frac{5}{\sqrt{2}} \mu C$.
0 likes
View Solution232
EasyMCQ
જો $\varepsilon_0$ અને $\varepsilon$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી અને માધ્યમની નિરપેક્ષ પરમિટિવિટી દર્શાવતા હોય,તો માધ્યમની સાપેક્ષ પરમિટિવિટી શું થાય?
A
$\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon_0}$
B
$\frac{\varepsilon_0}{\varepsilon}$
C
$\varepsilon \varepsilon_0$
D
$\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$
Solution
(D) માધ્યમની નિરપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon)$ અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $(\varepsilon_0)$ વચ્ચેનો સંબંધ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon_r)$ ના સંદર્ભમાં નીચે મુજબ છે: $\varepsilon = \varepsilon_r \varepsilon_0$.
આ સંબંધ પરથી,સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon_r)$ ને આ રીતે લખી શકાય: $\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
આ સંબંધ પરથી,સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $(\varepsilon_r)$ ને આ રીતે લખી શકાય: $\varepsilon_r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
0 likes
View Solution233
MediumMCQ
બે વિદ્યુતભારો $q_1 = +6q$ અને $q_2 = -3q$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે. એક પ્રોટોનને $q_2$ થી દૂર $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે. પ્રોટોન સંતુલનમાં રહે તે માટે,$q_1$ અને પ્રોટોન વચ્ચેનું અંતર કેટલું હશે?
A
$\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\right) L$
B
$2 L$
C
$\frac{L}{2}$
D
$\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\right) L$
Solution
(A) ધારો કે પ્રોટોન (વિદ્યુતભાર $+e$) ને $q_1$ થી $x$ અંતરે $x$-અક્ષ પર મૂકવામાં આવે છે. $q_2$ એ $q_1$ થી $L$ અંતરે હોવાથી,પ્રોટોનનું $q_2$ થી અંતર $(x - L)$ થશે.
પ્રોટોન સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$q_1$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{k q_1 e}{x^2}$ (અપાકર્ષી,જમણી તરફ).
$q_2$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{k |q_2| e}{(x - L)^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ).
બળોના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{k (6q) e}{x^2} = \frac{k (3q) e}{(x - L)^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{6}{x^2} = \frac{3}{(x - L)^2} \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x - L}$.
$\sqrt{2}(x - L) = x \implies \sqrt{2}x - \sqrt{2}L = x$.
$x(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}L$.
$x = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}\right) L$.
પ્રોટોન સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
$q_1$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{k q_1 e}{x^2}$ (અપાકર્ષી,જમણી તરફ).
$q_2$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{k |q_2| e}{(x - L)^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ).
બળોના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{k (6q) e}{x^2} = \frac{k (3q) e}{(x - L)^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $\frac{6}{x^2} = \frac{3}{(x - L)^2} \implies \frac{2}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{\sqrt{2}}{x} = \frac{1}{x - L}$.
$\sqrt{2}(x - L) = x \implies \sqrt{2}x - \sqrt{2}L = x$.
$x(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}L$.
$x = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}\right) L$.
0 likes
View Solution234
EasyMCQ
એક ચોરસના ત્રણ ખૂણાઓ પર ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો નીચે દર્શાવ્યા મુજબ મૂકવામાં આવ્યા છે. જો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેના બળનું મૂલ્ય $F_{12}$ હોય અને $q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેના બળનું મૂલ્ય $F_{13}$ હોય,તો $F_{13}$ અને $F_{12}$ નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
B
$\sqrt{2}$
C
$\frac{1}{2}$
D
$2$
Solution
(C) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. વિદ્યુતભારો $q_1 = q_2 = q_3 = q$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_i$ અને $q_j$ વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q_i q_j}{r^2}$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r_{12} = a$ છે. તેથી,$F_{12} = \frac{k q^2}{a^2}$.
$q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેનું અંતર ચોરસનો વિકર્ણ છે,$r_{13} = a\sqrt{2}$. તેથી,$F_{13} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$.
$F_{13}$ અને $F_{12}$ નો ગુણોત્તર $\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{k q^2 / 2a^2}{k q^2 / a^2} = \frac{1}{2}$ થાય.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_i$ અને $q_j$ વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q_i q_j}{r^2}$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r_{12} = a$ છે. તેથી,$F_{12} = \frac{k q^2}{a^2}$.
$q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેનું અંતર ચોરસનો વિકર્ણ છે,$r_{13} = a\sqrt{2}$. તેથી,$F_{13} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$.
$F_{13}$ અને $F_{12}$ નો ગુણોત્તર $\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{k q^2 / 2a^2}{k q^2 / a^2} = \frac{1}{2}$ થાય.
0 likes
View Solution235
MediumMCQ
ત્રણ વિદ્યુતભારો $+3q$,$Q$ અને $+q$ ને $\ell$ લંબાઈની સીધી રેખા પર અનુક્રમે $0$,$\frac{\ell}{2}$ અને $\ell$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. $+q$ પરનું કુલ બળ શૂન્ય થાય તે માટે $Q$ નું મૂલ્ય $Q = xq$ છે. $x$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$-\frac{1}{4}$
B
$-\frac{3}{4}$
C
$-3$
D
$4$
Solution
(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = +3q$ ($x = 0$ પર),$q_2 = Q$ ($x = \frac{\ell}{2}$ પર),અને $q_3 = +q$ ($x = \ell$ પર) છે.
$x = \ell$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$q_1$ અને $q_2$ દ્વારા લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
$q_1$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{k(3q)(q)}{\ell^2}$ છે.
$q_2$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2} = \frac{kQq}{\ell^2/4} = \frac{4kQq}{\ell^2}$ છે.
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,$F_1 + F_2 = 0$,તેથી $\frac{3kq^2}{\ell^2} + \frac{4kQq}{\ell^2} = 0$.
$\frac{kq}{\ell^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $3q + 4Q = 0$ મળે છે.
તેથી,$4Q = -3q$,જેનો અર્થ છે કે $Q = -\frac{3}{4}q$.
આને $Q = xq$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -\frac{3}{4}$ મળે છે.
$x = \ell$ પર રહેલા $+q$ વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય થવા માટે,$q_1$ અને $q_2$ દ્વારા લાગતા સ્થિત વિદ્યુત બળોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$.
$q_1$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{k(3q)(q)}{\ell^2}$ છે.
$q_2$ દ્વારા $q_3$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(\ell/2)^2} = \frac{kQq}{\ell^2/4} = \frac{4kQq}{\ell^2}$ છે.
કુલ બળ શૂન્ય હોવાથી,$F_1 + F_2 = 0$,તેથી $\frac{3kq^2}{\ell^2} + \frac{4kQq}{\ell^2} = 0$.
$\frac{kq}{\ell^2}$ વડે ભાગતા,આપણને $3q + 4Q = 0$ મળે છે.
તેથી,$4Q = -3q$,જેનો અર્થ છે કે $Q = -\frac{3}{4}q$.
આને $Q = xq$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -\frac{3}{4}$ મળે છે.
0 likes
View Solution236
EasyMCQ
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ એકબીજાથી '$l$' અંતરે છે. જો એક વિદ્યુતભારને બમણો કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે, તો બળનું મૂલ્ય $n$ ગણું થાય છે, જ્યાં $n$ નું મૂલ્ય કેટલું છે?
A
$1$
B
$2$
C
$8$
D
$16$
Solution
(C) કુલંબના નિયમ મુજબ, બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{l^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, બળ $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$ છે.
જ્યારે એક વિદ્યુતભારને બમણો $(q_1' = 2q_1)$ કરવામાં આવે અને અંતર અડધું $(l' = l/2)$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ મળે:
$F_2 = k \frac{(2q_1)(q_2)}{(l/2)^2} = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4} = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$.
તેથી, $F_2 = 8 F_1$.
આને $F_2 = n F_1$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 8$ મળે છે.
શરૂઆતમાં, બળ $F_1 = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$ છે.
જ્યારે એક વિદ્યુતભારને બમણો $(q_1' = 2q_1)$ કરવામાં આવે અને અંતર અડધું $(l' = l/2)$ કરવામાં આવે, ત્યારે નવું બળ $F_2$ નીચે મુજબ મળે:
$F_2 = k \frac{(2q_1)(q_2)}{(l/2)^2} = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4} = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$.
તેથી, $F_2 = 8 F_1$.
આને $F_2 = n F_1$ સાથે સરખાવતા, આપણને $n = 8$ મળે છે.
0 likes
View Solution237
MediumMCQ
બે સમાન રીતે વીજભારિત નાના દડાઓ નિશ્ચિત અંતરે રાખેલા છે અને તેમની વચ્ચે લાગતું બળ $F$ છે. એક સમાન વીજભાર રહિત દડાને તેમાંથી એક દડા સાથે સ્પર્શ કરાવ્યા પછી,બંને દડાઓની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે. આ દડા પર લાગતું બળ કેટલું હશે?
A
$F/2$
B
$F$
C
$2F$
D
$4F$
Solution
(B) ધારો કે બે દડાઓ પરના વીજભાર $q$ અને $q$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. શરૂઆતનું બળ $F = k \frac{q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે એક વીજભાર રહિત દડો વીજભારિત દડાને સ્પર્શે છે,ત્યારે વીજભાર $q$ બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,પ્રથમ દડા પરનો વીજભાર $q/2$ થાય છે અને ત્રીજા દડા પરનો વીજભાર $q/2$ થાય છે.
ત્રીજા દડાને મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,તેથી બંને દડાથી તેનું અંતર $r/2$ છે.
પ્રથમ દડાને કારણે ત્રીજા દડા પર લાગતું બળ $F_1 = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = F$ (પ્રથમ દડાથી દૂરની દિશામાં).
બીજા દડાને કારણે ત્રીજા દડા પર લાગતું બળ $F_2 = k \frac{(q/2)(q)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2F$ (બીજા દડાથી દૂરની દિશામાં).
આ બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ત્રીજા દડા પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ થશે.
જ્યારે એક વીજભાર રહિત દડો વીજભારિત દડાને સ્પર્શે છે,ત્યારે વીજભાર $q$ બંને વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે. આમ,પ્રથમ દડા પરનો વીજભાર $q/2$ થાય છે અને ત્રીજા દડા પરનો વીજભાર $q/2$ થાય છે.
ત્રીજા દડાને મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે,તેથી બંને દડાથી તેનું અંતર $r/2$ છે.
પ્રથમ દડાને કારણે ત્રીજા દડા પર લાગતું બળ $F_1 = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = F$ (પ્રથમ દડાથી દૂરની દિશામાં).
બીજા દડાને કારણે ત્રીજા દડા પર લાગતું બળ $F_2 = k \frac{(q/2)(q)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2F$ (બીજા દડાથી દૂરની દિશામાં).
આ બળો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,ત્રીજા દડા પરનું પરિણામી બળ $F_{net} = |F_2 - F_1| = |2F - F| = F$ થશે.
0 likes
View Solution238
MediumMCQ
$r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+2 \ C$ અને $+6 \ C$ એકબીજા પર $18 \ N$ નું અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે. જો આ દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 \ C$ નો ઋણ વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,તો તેમના દ્વારા અનુભવાતું બળ કેટલું હશે?
A
$6 \ N$ (આકર્ષી)
B
$12 \ N$ (આકર્ષી)
C
$6 \ N$ (અપાકર્ષી)
D
$12 \ N$ (અપાકર્ષી)
Solution
(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$q_1 = +2 \ C$ અને $q_2 = +6 \ C$ છે. બળ $F_1 = k \frac{(2)(6)}{r^2} = 18 \ N$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k \frac{12}{r^2} = 18$,તેથી $k/r^2 = 18/12 = 1.5$.
હવે,દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 \ C$ ઉમેરવામાં આવે છે:
નવો વિદ્યુતભાર $q_1' = +2 \ C - 4 \ C = -2 \ C$.
નવો વિદ્યુતભાર $q_2' = +6 \ C - 4 \ C = +2 \ C$.
નવું બળ $F_2 = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(-2)(2)|}{r^2} = k \frac{4}{r^2}$ છે.
$k/r^2 = 1.5$ મૂકતા,આપણને $F_2 = 1.5 \times 4 = 6 \ N$ મળે છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી ($-2 \ C$ અને $+2 \ C$),બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.
શરૂઆતમાં,$q_1 = +2 \ C$ અને $q_2 = +6 \ C$ છે. બળ $F_1 = k \frac{(2)(6)}{r^2} = 18 \ N$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k \frac{12}{r^2} = 18$,તેથી $k/r^2 = 18/12 = 1.5$.
હવે,દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 \ C$ ઉમેરવામાં આવે છે:
નવો વિદ્યુતભાર $q_1' = +2 \ C - 4 \ C = -2 \ C$.
નવો વિદ્યુતભાર $q_2' = +6 \ C - 4 \ C = +2 \ C$.
નવું બળ $F_2 = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(-2)(2)|}{r^2} = k \frac{4}{r^2}$ છે.
$k/r^2 = 1.5$ મૂકતા,આપણને $F_2 = 1.5 \times 4 = 6 \ N$ મળે છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી ($-2 \ C$ અને $+2 \ C$),બળ આકર્ષી પ્રકારનું હશે.
0 likes
View Solution239
EasyMCQ
બે સમાન બિંદુવત વિદ્યુતભારો '$q$' એકબીજા પર '$F$' જેટલું બળ લગાડે છે,જ્યારે તેમને હવામાં '$x$' અંતરે રાખવામાં આવે છે. જ્યારે આ જ વિદ્યુતભારોને '$k$' ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં '$y$' અંતરે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન બળ લગાડે છે. અંતર '$y$' અને '$x$' નો ગુણોત્તર કેટલો થાય?
A
$\frac{1}{\sqrt{k}}$
B
$\sqrt{k}$
C
$\frac{\sqrt{k}}{2}$
D
$\frac{2}{\sqrt{k}}$
Solution
(A) હવામાં બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$
જ્યારે આ જ વિદ્યુતભારોને '$k$' ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
બંને કિસ્સામાં બળ '$F$' સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{k y^2}$
$\frac{y}{x}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y^2 = \frac{x^2}{k}$
$\frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{k}$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{k}}$
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2}$
જ્યારે આ જ વિદ્યુતભારોને '$k$' ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે બળ:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
બંને કિસ્સામાં બળ '$F$' સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{x^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 k} \frac{q^2}{y^2}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{q^2}{4 \pi \varepsilon_0}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{k y^2}$
$\frac{y}{x}$ નો ગુણોત્તર મેળવવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$y^2 = \frac{x^2}{k}$
$\frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{k}$
$\frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{k}}$
0 likes
View Solution240
EasyMCQ
એક ચોરસના સામસામેના ખૂણાઓ પર $+Q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બાકીના બે સામસામેના ખૂણાઓ પર $-q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે. જો $+Q$ પર લાગતું પરિણામી વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોય,તો $\frac{+Q}{-q}$ ની કિંમત શોધો.
A
$1$
B
$+2 \sqrt{2}$
C
$\frac{+1}{\sqrt{2}}$
D
$-2 \sqrt{2}$
Solution
(D) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. એક ખૂણા પર રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. સામસામેના ખૂણા પર રહેલા $+Q$ ને કારણે લાગતું બળ: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ (અપાકર્ષી બળ).
$2$. પાસપાસેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું બળ: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ (આકર્ષી બળ).
આ બે $-q$ વિદ્યુતભારો સમાન અંતર $a$ પર હોવાથી,તેમનું પરિણામી બળ $F_2' = \sqrt{F_2^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ થશે.
$+Q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,અપાકર્ષી બળ $F_1$ નું મૂલ્ય પરિણામી આકર્ષી બળ $F_2'$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2} = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$
$\frac{Q}{2} = \sqrt{2} q$
$Q = 2\sqrt{2} q$
તેથી,$\frac{Q}{-q} = -2\sqrt{2}$.
$1$. સામસામેના ખૂણા પર રહેલા $+Q$ ને કારણે લાગતું બળ: $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2}$ (અપાકર્ષી બળ).
$2$. પાસપાસેના ખૂણાઓ પર રહેલા બે $-q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું બળ: $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ (આકર્ષી બળ).
આ બે $-q$ વિદ્યુતભારો સમાન અંતર $a$ પર હોવાથી,તેમનું પરિણામી બળ $F_2' = \sqrt{F_2^2 + F_2^2} = \sqrt{2} F_2 = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$ થશે.
$+Q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,અપાકર્ષી બળ $F_1$ નું મૂલ્ય પરિણામી આકર્ષી બળ $F_2'$ ના મૂલ્ય જેટલું હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{2a^2} = \sqrt{2} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{a^2}$
$\frac{Q}{2} = \sqrt{2} q$
$Q = 2\sqrt{2} q$
તેથી,$\frac{Q}{-q} = -2\sqrt{2}$.
0 likes
View Solution241
EasyMCQ
$+4q$ અને $-4q$ મૂલ્યના બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $A$ અને $B$ ને એક રેખા પર $r$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. તેમની વચ્ચે લાગતું બળ $F$ છે. જો બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભારનો $25\%$ ભાગ બિંદુ $B$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,તો હવે તેમની વચ્ચે લાગતું નવું બળ કેટલું થશે?
A
$\frac{3}{4} F$
B
$\frac{4}{3} F$
C
$\frac{9}{16} F$
D
$\frac{16}{9} F$
Solution
(C) શરૂઆતમાં $+4q$ અને $-4q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k(4q)(-4q)}{r^2} = \frac{-16kq^2}{r^2} \quad \dots(i)$
જ્યારે બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભારનો $25\%$ ભાગ બિંદુ $B$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે:
સ્થાનાંતરિત વિદ્યુતભાર $= 0.25 \times 4q = 1q$.
$A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $(q_1)$ $= 4q - 1q = 3q$.
$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $(q_2)$ $= -4q + 1q = -3q$.
હવે તેમની વચ્ચે લાગતું નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{k(3q)(-3q)}{r^2} = \frac{-9kq^2}{r^2}$.
$F'$ અને $F$ ની સરખામણી કરતા:
$F' = \frac{9}{16} \times \left( \frac{-16kq^2}{r^2} \right) = \frac{9}{16} F$.
$F = \frac{k(4q)(-4q)}{r^2} = \frac{-16kq^2}{r^2} \quad \dots(i)$
જ્યારે બિંદુ $A$ પરના વિદ્યુતભારનો $25\%$ ભાગ બિંદુ $B$ પર સ્થાનાંતરિત થાય છે:
સ્થાનાંતરિત વિદ્યુતભાર $= 0.25 \times 4q = 1q$.
$A$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $(q_1)$ $= 4q - 1q = 3q$.
$B$ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $(q_2)$ $= -4q + 1q = -3q$.
હવે તેમની વચ્ચે લાગતું નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{k(3q)(-3q)}{r^2} = \frac{-9kq^2}{r^2}$.
$F'$ અને $F$ ની સરખામણી કરતા:
$F' = \frac{9}{16} \times \left( \frac{-16kq^2}{r^2} \right) = \frac{9}{16} F$.
0 likes
View Solution242
EasyMCQ
$x$-અક્ષ પર $x=0$,$x=l/3$ અને $x=l$ સ્થાન પર અનુક્રમે $3Q$,$q$ અને $Q$ વિદ્યુતભારો મૂકવામાં આવ્યા છે. જ્યારે $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય,ત્યારે $q$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$Q/3$
B
$-Q/3$
C
$4Q/3$
D
$-4Q/3$
Solution
(D) $3Q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1$ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(3Q)(Q)}{l^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2}$
$q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2$:
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(l - l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(2l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2}$
$Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવા માટે,બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$F_1 + F_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l^2}$ વડે ભાગતા:
$3Q + \frac{9q}{4} = 0$
$3Q = -\frac{9q}{4}$
$Q = -\frac{3q}{4}$
$q = -\frac{4}{3}Q$
$F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(3Q)(Q)}{l^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2}$
$q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા $Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2$:
$F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(l - l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{(2l/3)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2}$
$Q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવા માટે,બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$F_1 + F_2 = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{3Q^2}{l^2} + \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{9qQ}{4l^2} = 0$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l^2}$ વડે ભાગતા:
$3Q + \frac{9q}{4} = 0$
$3Q = -\frac{9q}{4}$
$Q = -\frac{3q}{4}$
$q = -\frac{4}{3}Q$
0 likes
View Solution243
EasyMCQ
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+q_1$ અને $+q_2$ એકબીજાને $100 \ N$ ના બળથી અપાકર્ષે છે. જો $q_1$ માં $10 \ \%$ નો વધારો અને $q_2$ માં $10 \ \%$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે, અને તેમને તેમના મૂળ સ્થાને રાખવામાં આવે, તો તેમની વચ્ચેના અપાકર્ષણ બળમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે?
A
$10 \ N$ નો ઘટાડો
B
$10 \ N$ નો વધારો
C
$1 \ N$ નો વધારો
D
$1 \ N$ નો ઘટાડો
Solution
(D) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = 100 \ N$ છે.
ફેરફાર પછી, નવા વિદ્યુતભારો $q_1' = q_1 + 0.1q_1 = 1.1q_1$ અને $q_2' = q_2 - 0.1q_2 = 0.9q_2$ થાય છે।
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(1.1q_1)(0.9q_2)}{r^2}$.
$F' = (1.1 \times 0.9) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right) = 0.99 \times F$.
$F' = 0.99 \times 100 \ N = 99 \ N$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F - F' = 100 \ N - 99 \ N = 1 \ N$.
નવું બળ પ્રારંભિક બળ કરતા ઓછું હોવાથી, બળમાં $1 \ N$ નો ઘટાડો થાય છે.
ફેરફાર પછી, નવા વિદ્યુતભારો $q_1' = q_1 + 0.1q_1 = 1.1q_1$ અને $q_2' = q_2 - 0.1q_2 = 0.9q_2$ થાય છે।
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(1.1q_1)(0.9q_2)}{r^2}$.
$F' = (1.1 \times 0.9) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} \right) = 0.99 \times F$.
$F' = 0.99 \times 100 \ N = 99 \ N$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F - F' = 100 \ N - 99 \ N = 1 \ N$.
નવું બળ પ્રારંભિક બળ કરતા ઓછું હોવાથી, બળમાં $1 \ N$ નો ઘટાડો થાય છે.
0 likes
View Solution244
EasyMCQ
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ એકબીજાથી $l$ અંતરે છે. જો એક વિદ્યુતભારને બમણો કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે,તો બળનું મૂલ્ય $n$ ગણું થાય છે,જ્યાં $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$8$
B
$1$
C
$2$
D
$16$
Solution
(A) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{l^2}$.
જ્યારે એક વિદ્યુતભાર બમણો $(q_1' = 2q_1)$ અને અંતર અડધું $(l' = l/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = k \frac{(2q_1) q_2}{(l/2)^2}$
$F' = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4}$
$F' = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$
$F' = 8F$.
આમ,બળનું મૂલ્ય મૂળ બળ કરતાં $8$ ગણું થાય છે,તેથી $n = 8$.
જ્યારે એક વિદ્યુતભાર બમણો $(q_1' = 2q_1)$ અને અંતર અડધું $(l' = l/2)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = k \frac{(2q_1) q_2}{(l/2)^2}$
$F' = k \frac{2q_1 q_2}{l^2 / 4}$
$F' = 8 \left( k \frac{q_1 q_2}{l^2} \right)$
$F' = 8F$.
આમ,બળનું મૂલ્ય મૂળ બળ કરતાં $8$ ગણું થાય છે,તેથી $n = 8$.
0 likes
View Solution245
EasyMCQ
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $+q$ એકબીજાને $100 \,N$ ના બળથી અપાકર્ષે છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર અચળ રાખીને, જો $Q$ માં $10 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે અને $q$ માં $10 \%$ નો ઘટાડો કરવામાં આવે, તો તેમની વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ:
A
$10 \,N$ જેટલું ઘટશે
B
$1 \,N$ જેટલું ઘટશે
C
$10 \,N$ જેટલું વધશે
D
સમાન રહેશે
Solution
(B) કુલંબના નિયમ મુજબ, બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k Q q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં, $F_1 = \frac{k Q q}{r^2} = 100 \,N$.
જ્યારે $Q$ માં $10 \%$ નો વધારો થાય, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q + 0.1 Q = 1.1 Q$ થાય.
જ્યારે $q$ માં $10 \%$ નો ઘટાડો થાય, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q' = q - 0.1 q = 0.9 q$ થાય.
નવું બળ $F_2$ એ $F_2 = \frac{k (1.1 Q) (0.9 q)}{r^2} = (1.1 \times 0.9) \frac{k Q q}{r^2}$ છે.
$F_2 = 0.99 \times F_1 = 0.99 \times 100 \,N = 99 \,N$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_1 - F_2 = 100 \,N - 99 \,N = 1 \,N$ છે.
તેથી, બળ $1 \,N$ જેટલું ઘટશે.
શરૂઆતમાં, $F_1 = \frac{k Q q}{r^2} = 100 \,N$.
જ્યારે $Q$ માં $10 \%$ નો વધારો થાય, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q + 0.1 Q = 1.1 Q$ થાય.
જ્યારે $q$ માં $10 \%$ નો ઘટાડો થાય, ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q' = q - 0.1 q = 0.9 q$ થાય.
નવું બળ $F_2$ એ $F_2 = \frac{k (1.1 Q) (0.9 q)}{r^2} = (1.1 \times 0.9) \frac{k Q q}{r^2}$ છે.
$F_2 = 0.99 \times F_1 = 0.99 \times 100 \,N = 99 \,N$.
બળમાં થતો ફેરફાર $\Delta F = F_1 - F_2 = 100 \,N - 99 \,N = 1 \,N$ છે.
તેથી, બળ $1 \,N$ જેટલું ઘટશે.
0 likes
View Solution246
MediumMCQ
$a$ બાજુવાળા ચોરસના ત્રણ ખૂણાઓ પર ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારો $q_1, q_2$ અને $q_3$ મૂકવામાં આવ્યા છે. જો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F_{12}$ હોય અને $q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેનું બળ $F_{13}$ હોય,તો તેમના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $\left(\frac{F_{12}}{F_{13}}\right)$ કેટલો થાય?
A
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
B
$\frac{1}{2}$
C
$2$
D
$\sqrt{2}$
Solution
(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. પાસપાસેના ખૂણાઓ વચ્ચેનું અંતર $a$ છે અને સામસામેના ખૂણાઓ (વિકર્ણ) વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}a$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r^2}$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ પાસપાસેના ખૂણાઓ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = a$ છે. તેથી,$F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{a^2}$.
$q_1$ અને $q_3$ સામસામેના ખૂણાઓ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{2}a$ છે. તેથી,$F_{13} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{2a^2}$.
આપેલ છે કે $q_1 = q_2 = q_3 = q$,તેથી:
$\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}} = \frac{1}{1/2} = 2$.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r^2}$ છે.
$q_1$ અને $q_2$ પાસપાસેના ખૂણાઓ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = a$ છે. તેથી,$F_{12} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{a^2}$.
$q_1$ અને $q_3$ સામસામેના ખૂણાઓ પર હોવાથી,તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{2}a$ છે. તેથી,$F_{13} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_3}{2a^2}$.
આપેલ છે કે $q_1 = q_2 = q_3 = q$,તેથી:
$\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2}}{\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{2a^2}} = \frac{1}{1/2} = 2$.
0 likes
View Solution247
MediumMCQ
$q, Q$ અને $+4q$ એમ ત્રણ વિદ્યુતભારોને $d$ લંબાઈની સીધી રેખા પર અનુક્રમે $0, \frac{d}{2}$ અને $d$ અંતરે મૂકવામાં આવ્યા છે. $q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય કરવા માટે,$Q$ નું મૂલ્ય કેટલું હોવું જોઈએ?
A
$-2q$
B
$\frac{-q}{2}$
C
$-q$
D
$\frac{-3}{2}q$
Solution
(C) ધારો કે વિદ્યુતભારોને અનુક્રમે $x=0$,$x=\frac{d}{2}$ અને $x=d$ સ્થાનો પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
$x=0$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય કરવા માટે,$Q$ દ્વારા લાગતું બળ અને $+4q$ દ્વારા લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
કૂલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_Q = \frac{k q Q}{(d/2)^2}$ છે અને $+4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_{+4q} = \frac{k q (4q)}{d^2}$ છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{k q Q}{(d/2)^2} + \frac{k q (4q)}{d^2} = 0$
$\frac{k q Q}{d^2/4} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q Q}{d^2} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q}{d^2}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $q \neq 0$):
$Q + q = 0$
$Q = -q$
$x=0$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય કરવા માટે,$Q$ દ્વારા લાગતું બળ અને $+4q$ દ્વારા લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ.
કૂલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_Q = \frac{k q Q}{(d/2)^2}$ છે અને $+4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_{+4q} = \frac{k q (4q)}{d^2}$ છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\frac{k q Q}{(d/2)^2} + \frac{k q (4q)}{d^2} = 0$
$\frac{k q Q}{d^2/4} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q Q}{d^2} + \frac{4 k q^2}{d^2} = 0$
$\frac{4 k q}{d^2}$ વડે ભાગતા (ધારો કે $q \neq 0$):
$Q + q = 0$
$Q = -q$
0 likes
View Solution248
EasyMCQ
$F$ એ એકબીજાથી $Y$ અંતરે મૂકાયેલા બે સમાન વીજભારિત કણો વચ્ચેનું બળ છે. જો વીજભારો વચ્ચેનું અંતર અગાઉના અંતર કરતા અડધું કરવામાં આવે,તો તેમની વચ્ચેનું બળ કેટલું થશે?
A
$\frac{F}{4}$
B
$4F$
C
$2F$
D
$\frac{F}{2}$
Solution
(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વીજભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કણો સમાન હોવાથી,ધારો કે $q_1 = q_2 = q$. શરૂઆતમાં અંતર $r_1 = Y$ છે,તેથી $F_1 = k \frac{q^2}{Y^2} = F$.
જ્યારે અંતર અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $r_2 = \frac{Y}{2}$ થાય છે.
નવું બળ $F_2 = k \frac{q^2}{(Y/2)^2} = k \frac{q^2}{Y^2 / 4} = 4 \left( k \frac{q^2}{Y^2} \right)$ મળે છે.
$F_1 = F$ કિંમત મૂકતા,આપણને $F_2 = 4F$ મળે છે.
અહીં કણો સમાન હોવાથી,ધારો કે $q_1 = q_2 = q$. શરૂઆતમાં અંતર $r_1 = Y$ છે,તેથી $F_1 = k \frac{q^2}{Y^2} = F$.
જ્યારે અંતર અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $r_2 = \frac{Y}{2}$ થાય છે.
નવું બળ $F_2 = k \frac{q^2}{(Y/2)^2} = k \frac{q^2}{Y^2 / 4} = 4 \left( k \frac{q^2}{Y^2} \right)$ મળે છે.
$F_1 = F$ કિંમત મૂકતા,આપણને $F_2 = 4F$ મળે છે.
0 likes
View Solution249
MediumMCQ
બે સમાન બિંદુવત વિદ્યુતભારો $+q$ અને $+q$ ને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ પર એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ મૂકવામાં આવે છે. જો વિદ્યુતભારોની આ તંત્ર સંતુલનમાં હોય,તો $Q$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?
A
$\frac{-q}{2}$
B
$-\frac{q}{4}$
C
$\frac{+q}{4}$
D
$\frac{+q}{2}$
Solution
(B) તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે બે $+q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. વિદ્યુતભાર $Q$ મધ્યમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,તેથી દરેક $+q$ વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર $r/2$ છે.
બે $+q$ વિદ્યુતભારોને કારણે મધ્યમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તે પહેલેથી જ સંતુલનમાં છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈ એક $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બીજા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે એક $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ (અપાકર્ષી) છે.
કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે આ $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{(r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2}$ છે.
સંતુલન માટે,$F_1 + F_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F_1 = -F_2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = -\left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2} \right)$.
$q^2 = -4qQ$.
$Q = -\frac{q}{4}$.
ધારો કે બે $+q$ વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. વિદ્યુતભાર $Q$ મધ્યમાં મૂકવામાં આવ્યો છે,તેથી દરેક $+q$ વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર $r/2$ છે.
બે $+q$ વિદ્યુતભારોને કારણે મધ્યમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી તે પહેલેથી જ સંતુલનમાં છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,કોઈ એક $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
બીજા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે એક $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$ (અપાકર્ષી) છે.
કેન્દ્રીય વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે આ $+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{(r/2)^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2}$ છે.
સંતુલન માટે,$F_1 + F_2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $F_1 = -F_2$.
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = -\left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{4qQ}{r^2} \right)$.
$q^2 = -4qQ$.
$Q = -\frac{q}{4}$.
0 likes
View Solution250
MediumMCQ
બે ધન આયનો,જે દરેક '$q$' જેટલો વિદ્યુતભાર ધરાવે છે,તેમને '$d$' અંતરે રાખવામાં આવ્યા છે. જો આયનો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ '$F$' હોય,તો દરેક આયનમાંથી ગુમાવેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા કેટલી હશે? ($e=$ ઇલેક્ટ્રોન પરનો વિદ્યુતભાર,$\varepsilon_0=$ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી)
A
$\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 d^2}{e^2}}$
B
$\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 Fd}{e^2}}$
C
$\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 Fd}{e}}$
D
$\sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 F d^2}{e^2}}$
Solution
(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,'$d$' અંતરે રહેલા બે '$q$' વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{d^2}$
આયનો ધન હોવાથી,દરેક આયન પરનો વિદ્યુતભાર '$n$' ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવવાને કારણે છે,તેથી $q = ne$.
$q = ne$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(ne)^2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{n^2 e^2}{d^2}$
હવે,'$n$' માટે ઉકેલતા:
$n^2 = \frac{F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d^2}{e^2}$
$n = \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 F d^2}{e^2}}$
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{d^2}$
આયનો ધન હોવાથી,દરેક આયન પરનો વિદ્યુતભાર '$n$' ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવવાને કારણે છે,તેથી $q = ne$.
$q = ne$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{(ne)^2}{d^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{n^2 e^2}{d^2}$
હવે,'$n$' માટે ઉકેલતા:
$n^2 = \frac{F \cdot 4 \pi \varepsilon_0 \cdot d^2}{e^2}$
$n = \sqrt{\frac{4 \pi \varepsilon_0 F d^2}{e^2}}$
0 likes
View SolutionElectric Charges and Fields — Electrostatic Force and Coulombs Law · Frequently Asked Questions
1Are these Electric Charges and Fields questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a Electric Charges and Fields Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.