Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Gujarati

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,એક ગોળાકાર બોલ પર લાગતા બળો તણાવબળ $T$,સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ છે.
ધારો કે દોરાની લંબાઈ $L = 1\,m$ છે અને શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 30^o$ છે.
બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r = 2L \sin(30^o) = 2 \times 1 \times 0.5 = 1\,m$ છે.
સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{r^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{(10 \times 10^{-6})^2}{1^2} = 9 \times 10^9 \times 10^{-10} = 0.9\,N$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં સંતુલન માટે: $T \sin(30^o) = F_e$.
$T \times 0.5 = 0.9$.
$T = 1.8\,N$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ને $+9e$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $+e$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $F_1$ છે અને $+9e$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $F_2$ છે.
સંતુલન માટે,$|F_1| = |F_2|$.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{kqe}{(16-x)^2} = \frac{kq(9e)}{x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{1}{16-x} = \frac{3}{x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = 3(16-x) \implies x = 48 - 3x \implies 4x = 48 \implies x = 12\, cm$.
આમ,વિદ્યુતભાર $q$ ને $+9e$ વિદ્યુતભારથી $12\, cm$ અંતરે મૂકવો જોઈએ.

(C) ત્રીજા વિદ્યુતભાર $q$ પર કોઈ ચોખ્ખું બળ ન લાગે તે માટે,બે વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ દ્વારા લાગતા બળોના મૂલ્યો સમાન અને દિશા વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ. વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ સંજ્ઞા ધરાવતા હોવાથી,સંતુલન બિંદુ તેમને જોડતી રેખાની બહાર,નાના મૂલ્યવાળા વિદ્યુતભાર $(-2.7 \times 10^{-11} \, C)$ ની નજીક હોવું જોઈએ.
ધારો કે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ એ $Q_2 = -2.7 \times 10^{-11} \, C$ થી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. $Q_1 = 5 \times 10^{-11} \, C$ થી તેનું અંતર $(x + 0.2) \, m$ થશે.
બળોના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{k |Q_1| |q|}{(x + 0.2)^2} = \frac{k |Q_2| |q|}{x^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5 \times 10^{-11}}{(x + 0.2)^2} = \frac{2.7 \times 10^{-11}}{x^2}$.
$\frac{5}{(x + 0.2)^2} = \frac{2.7}{x^2} \implies \frac{\sqrt{5}}{x + 0.2} = \frac{\sqrt{2.7}}{x}$.
$2.236 x = 1.643 (x + 0.2) \implies 2.236 x = 1.643 x + 0.3286$.
$0.593 x = 0.3286 \implies x \approx 0.554 \, m$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકની કિંમત $0.556 \, m$ છે.

(D) $x = l$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ પર લાગતું બળ $x = 0$ પરના $4Q$ અને $x = l/2$ પરના $q$ વિદ્યુતભારોને કારણે છે.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$4Q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(4Q)(Q)}{l^2}$ છે.
$q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(l/2)^2}$ છે.
$Q$ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવા માટે,$F_1 + F_2 = 0$ થવું જોઈએ.
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{4Q^2}{l^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{l^2/4} = 0$.
$\frac{4Q^2}{l^2} + \frac{4qQ}{l^2} = 0$.
$\frac{4Q}{l^2}$ વડે ભાગતા (ધારી લઈએ કે $Q \neq 0$ અને $l \neq 0$),આપણને $Q + q = 0$ મળે છે.
તેથી,$q = -Q$.

(C) ધારો કે બે સમાન વિદ્યુતભારો $Q$ છે અને ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ છે. બે વિદ્યુતભારો $Q$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ લંબ દ્વિભાજક પર $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + (d/2)^2}$ છે.
$q$ પર લાગતું કુલ બળ $F_{net}$ એ લંબ દ્વિભાજક પરના આ બળોના ઘટકોનો સરવાળો છે:
$F_{net} = 2F \cos \theta$,જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (d/2)^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{net} = 2 \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Qq}{x^2 + d^2/4} \cdot \frac{x}{(x^2 + d^2/4)^{1/2}} = \frac{2Qqx}{4\pi\varepsilon_0 (x^2 + d^2/4)^{3/2}}$.
$F_{net}$ મહત્તમ હોય તે માટે,$\frac{dF_{net}}{dx} = 0$ હોવું જોઈએ.
વિકલન કરતા:
$f'(x) = (x^2 + a^2)^{-3/2} + x \cdot (-3/2)(x^2 + a^2)^{-5/2} \cdot 2x = 0$,જ્યાં $a = d/2$.
$(x^2 + a^2)^{-5/2} [ (x^2 + a^2) - 3x^2 ] = 0$.
$a^2 - 2x^2 = 0 \implies x^2 = a^2/2 \implies x = a/\sqrt{2}$.
$a = d/2$ હોવાથી,આપણને $x = \frac{d/2}{\sqrt{2}} = \frac{d}{2\sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $+q_2$ દ્વારા $-q_1$ પર લાગતું બળ $F_2$ છે. વિરુદ્ધ ચિહ્નો હોવાથી,આ બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે અને ધન $x$-અક્ષની દિશામાં લાગે છે. તેથી,$F_2 = k \frac{q_1 q_2}{b^2}$.
ધારો કે $-q_3$ દ્વારા $-q_1$ પર લાગતું બળ $F_3$ છે. સમાન ચિહ્નો હોવાથી,આ બળ અપાકર્ષી પ્રકારનું છે. બળ $F_3$ તેમની વચ્ચેની રેખા પર લાગે છે,જે ઋણ $y$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. તેનું મૂલ્ય $F_3 = k \frac{q_1 q_3}{a^2}$ છે.
$F_3$ નો $x$-ઘટક $F_{3x} = F_3 \sin \theta = k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ છે,જે ધન $x$-દિશામાં લાગે છે.
$-q_1$ પર લાગતા કુલ બળનો $x$-ઘટક $F_x = F_2 + F_{3x} = k \frac{q_1 q_2}{b^2} + k \frac{q_1 q_3}{a^2} \sin \theta$ છે.
તેથી,$F_x = k q_1 \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$.
આમ,$F_x \propto \left( \frac{q_2}{b^2} + \frac{q_3}{a^2} \sin \theta \right)$.

(A) ઇલેક્ટ્રિકલ ઈમેજની પદ્ધતિ મુજબ,અર્થ કરેલી વાહક પ્લેટ એ સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા પ્રતિબિંબ વિદ્યુતભાર તરીકે કાર્ય કરે છે,જે પ્લેટની પાછળ સમાન અંતરે રહેલો હોય છે.
અહીં,વિદ્યુતભાર $q = 40 \ statC$ એ પ્લેટથી $d = 2 \ cm$ અંતરે છે.
પ્રતિબિંબ વિદ્યુતભાર $q' = -40 \ statC$ એ પ્લેટની પાછળ $d = 2 \ cm$ અંતરે છે.
વિદ્યુતભાર અને તેના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું કુલ અંતર $r = 2d = 4 \ cm$ છે.
$CGS$ પદ્ધતિમાં કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $F$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F = \frac{|q \cdot q'|}{r^2} = \frac{40 \times 40}{4^2} = \frac{1600}{16} = 100 \ dynes$.

(B) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું વિદ્યુત આકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$.
અહીં,$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = q_2 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,અને $r = 2.5 \times 10^{-11} \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (1.6 \times 10^{-19})}{(2.5 \times 10^{-11})^2}$
$F = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{9 - 19 - 19}}{6.25 \times 10^{-22}}$
$F = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{6.25 \times 10^{-22}}$
$F = 3.6864 \times 10^{-7} \ N \approx 3.7 \times 10^{-7} \ N$.

(A) $CsCl$ સ્ફટિકમાં,$Cs^{+}$ આયનો $a$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા સમઘનના આઠ ખૂણાઓ પર સ્થિત છે.
$Cl^{-}$ આયન આ સમઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે છે.
$bcc$ બંધારણની સમપ્રમાણતાને કારણે,દરેક ખૂણા પરનો $Cs^{+}$ આયન કેન્દ્રમાં રહેલા $Cl^{-}$ આયન પર સ્થિત-વિદ્યુત બળ લગાડે છે.
દરેક $Cs^{+}$ આયન માટે,તેનાથી કેન્દ્રની સાપેક્ષમાં વ્યાસાંત વિરુદ્ધ દિશામાં એક સમાન $Cs^{+}$ આયન આવેલો હોય છે.
આ $Cs^{+}$ આયનોની જોડી દ્વારા કેન્દ્રમાં રહેલા $Cl^{-}$ આયન પર લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,આ તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$Cl^{-}$ આયન પરનું પરિણામી સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુના ન્યુક્લિયસનો વિદ્યુતભાર $q_1 = +e$ છે.
ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q_2 = -e$ છે.
કુલંબ બળ $\vec{F}$ નું સૂત્ર $\vec{F} = \frac{k q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$ છે,જ્યાં $\hat{r}$ એ ન્યુક્લિયસથી ઇલેક્ટ્રોન તરફની દિશાનો એકમ સદિશ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{F} = \frac{k(e)(-e)}{r^2} \hat{r} = -\frac{k e^2}{r^2} \hat{r}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$,તેથી આ પદને $\vec{F} = -\frac{k e^2}{r^2} \left( \frac{\vec{r}}{r} \right) = -k \frac{e^2}{r^3} \vec{r}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) ધારો કે બે ગોળાઓ $A$ $(+q)$ અને $B$ $(-q)$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. તેમની વચ્ચે લાગતું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે $+q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ત્રીજો ગોળો $O$ તેમની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ ($r/2$ અંતરે) મૂકવામાં આવે છે:
ગોળા $A$ $(+q)$ દ્વારા ગોળા $O$ $(+q)$ પર લાગતું અપાકર્ષણ બળ: $F_{AO} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q \cdot q}{(r/2)^2} = 4 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right) = 4F$ ($-q$ તરફની દિશામાં).
ગોળા $B$ $(-q)$ દ્વારા ગોળા $O$ $(+q)$ પર લાગતું આકર્ષણ બળ: $F_{OB} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|-q| \cdot q}{(r/2)^2} = 4 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right) = 4F$ ($-q$ તરફની દિશામાં).
કુલ બળ $F' = F_{AO} + F_{OB} = 4F + 4F = 8F$. આ બળ $-q$ વિદ્યુતભારની દિશામાં લાગશે.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$q_1 = 2 \, \mu \text{C}$ અને $q_2 = 6 \, \mu \text{C}$ છે,અને $F = 12 \, \text{N}$ છે.
તેથી,$12 = \frac{k (2 \times 10^{-6}) (6 \times 10^{-6})}{r^2} \implies \frac{k}{r^2} = \frac{12}{12 \times 10^{-12}} = 10^{12} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$.
દરેક વિદ્યુતભારમાં $-4 \, \mu \text{C}$ ઉમેર્યા પછી:
$q_1' = 2 - 4 = -2 \, \mu \text{C}$
$q_2' = 6 - 4 = +2 \, \mu \text{C}$
નવું બળ $F'$ એ $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k (-2 \times 10^{-6}) (2 \times 10^{-6})}{r^2}$ થશે.
$\frac{k}{r^2} = 10^{12}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $F' = 10^{12} \times (-4 \times 10^{-12}) = -4 \, \text{N}$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ આકર્ષી પ્રકારનું છે. આમ,બળનું મૂલ્ય $4 \, \text{N}$ છે અને તે આકર્ષી છે.

(D) અને $C$ પરના વિદ્યુતભારો $q$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $a$ છે. $B$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_{AB} = \frac{kq^2}{a^2}$ છે,જે $BA$ રેખાની દિશામાં છે. $C$ દ્વારા $A$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{kq^2}{a^2}$ છે,જે $CA$ રેખાની દિશામાં છે. ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,આ બળોનો શિરોલંબ (લંબ) સાથેનો ખૂણો $30^\circ$ છે. આ બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે: $F_{net} = F_{AB} \cos(30^\circ) + F_{AC} \cos(30^\circ) = 2 \times \frac{kq^2}{a^2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}kq^2}{a^2}$.

(D) ધારો કે ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ એ $9e$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તેથી,$16e$ વિદ્યુતભારથી તેનું અંતર $(70 - x) \ cm$ થશે.
ત્રીજો વિદ્યુતભાર સંતુલનમાં રહે તે માટે,તેના પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેથી,$9e$ દ્વારા લાગતું બળ અને $16e$ દ્વારા લાગતું બળ સમાન હોવા જોઈએ:
$F_1 = F_2$
$\frac{k \cdot (9e) \cdot q}{x^2} = \frac{k \cdot (16e) \cdot q}{(70 - x)^2}$
$\frac{9}{x^2} = \frac{16}{(70 - x)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{3}{x} = \frac{4}{70 - x}$
$3(70 - x) = 4x$
$210 - 3x = 4x$
$7x = 210$
$x = 30 \ cm$
આમ,વિદ્યુતભારને $9e$ થી $30 \ cm$ અંતરે મૂકવો જોઈએ. $16e$ થી તેનું અંતર $70 - 30 = 40 \ cm$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(B) પગલું $1$: વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર શોધો. ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. વિકર્ણની લંબાઈ $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$ છે. કેન્દ્ર $O$ થી કોઈપણ ખૂણાનું અંતર $OC = \frac{AC}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ છે.
પગલું $2$: સંતુલનની શરત. તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે દરેક વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. સંમિતિ દ્વારા,કેન્દ્રના વિદ્યુતભાર $q$ પરનું કુલ બળ તેના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લીધા વિના શૂન્ય જ રહેશે. તેથી,આપણે કોઈપણ એક ખૂણા પરના વિદ્યુતભાર (દા.ત. બિંદુ $C$ પર) પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે તેમ સાબિત કરવું પડશે.
પગલું $3$: ખૂણા $C$ પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતા બળો. ખૂણા $A, B, C, D$ પરના વિદ્યુતભારો $-Q$ છે. $B$ ને કારણે લાગતું બળ $F_1 = \frac{KQ^2}{a^2}$ (અપાકર્ષી),$D$ ને કારણે લાગતું બળ $F_2 = \frac{KQ^2}{a^2}$ (અપાકર્ષી),અને $A$ ને કારણે લાગતું બળ $F_4 = \frac{KQ^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{KQ^2}{2a^2}$ (અપાકર્ષી) છે. કેન્દ્રના વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે લાગતું બળ $F_3 = \frac{K|q|Q}{(a/\sqrt{2})^2} = \frac{2K|q|Q}{a^2}$ (આકર્ષી) છે.
પગલું $4$: વિકર્ણ $OC$ ની દિશામાં બળોનો સરવાળો. $F_1$ અને $F_2$ નું પરિણામી બળ $\sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2} \frac{KQ^2}{a^2}$ છે. સંતુલન માટે: $F_3 + F_4 + \sqrt{2}F_1 = 0$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{2KqQ}{a^2} + \frac{KQ^2}{2a^2} + \sqrt{2}\frac{KQ^2}{a^2} = 0$.
પગલું $5$: $q$ માટે ઉકેલતા: $2q + \frac{Q}{2} + \sqrt{2}Q = 0 \Rightarrow 2q = -Q(\frac{1}{2} + \sqrt{2}) \Rightarrow q = -\frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$. બળની દિશા ચકાસતા,ખૂણાના વિદ્યુતભારને સંતુલિત કરવા માટે $q$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી સાચું મૂલ્ય $q = \frac{Q}{4}(1 + 2\sqrt{2})$ છે.

(A) સ્થિત-વિદ્યુતશાસ્ત્રમાં સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા બીજા વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ તેની આસપાસના અન્ય વિદ્યુતભારોની હાજરીથી સ્વતંત્ર હોય છે.
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F$ એ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$,જ્યાં $r$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
બળ $F$ એ માત્ર $q_1$ અને $q_2$ ના મૂલ્યો અને તેમની વચ્ચેના અંતર $r$ પર આધાર રાખતું હોવાથી,ત્રીજા વિદ્યુતભાર $q_3$ ને લાવવાથી $q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતું વ્યક્તિગત બળ બદલાતું નથી.
જોકે $q_2$ પર લાગતું પરિણામી બળ $q_3$ ના કારણે બદલાશે,પરંતુ $q_1$ દ્વારા $q_2$ પર લાગતું બળ $F$ જ રહેશે.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{|Q_1 Q_2|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ન્યૂટનનો ગતિનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન મૂલ્યનું અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર $Q_1$ દ્વારા $Q_2$ પર લાગતું બળ અને વિદ્યુતભાર $Q_2$ દ્વારા $Q_1$ પર લાગતું બળ મૂલ્યમાં સમાન હોય છે.
આમ,તેમના દ્વારા એકબીજા પર લાગતા બળોનો ગુણોત્તર $1 : 1$ થશે.

(D) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે,જે સંરક્ષી બળ છે.
સંરક્ષી બળ દ્વારા બંધ માર્ગ પર થતું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કાર્ય $W$ એ સંકલન $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિસ્સામાં,બળ $\vec{F}$ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં (વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખા પર) લાગે છે અને સ્થાનાંતર $d\vec{r}$ એ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં છે.
બળ હંમેશા સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી (ખૂણો $\theta = 90^\circ$),ડોટ ગુણાકાર $\vec{F} \cdot d\vec{r} = F \cdot dr \cdot \cos(90^\circ) = 0$ થાય છે.
તેથી,કુલ કાર્ય $0$ થશે.

(C) મુક્ત અવકાશની વિદ્યુત પરમિટિવિટિ, જેને $\varepsilon_0$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે, તે એક મૂળભૂત ભૌતિક અચળાંક છે。
કુલંબના નિયમ મુજબ, બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
$\varepsilon_0$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા, આપણને $\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$ મળે છે。
$\varepsilon_0$ નો $SI$ એકમ $C^2/(N \cdot m^2)$ અથવા $F/m$ છે。
પ્રાયોગિક રીતે નક્કી કરવામાં આવેલ તેનું મૂલ્ય આશરે $8.854 \times 10^{-12} \, C^2/(N \cdot m^2)$ છે。

(A) ઉપગ્રહમાં વજનરહિત અવસ્થા હોવાથી,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg = 0$ થાય છે.
બે સમાન ઋણ વિદ્યુતભાર $Q$ વચ્ચે લાગતા અપાકર્ષણના સ્થિત વિદ્યુત બળને કારણે,બોલ એકબીજાથી દૂર જશે જ્યાં સુધી દોરીઓ વિરુદ્ધ દિશામાં સંપૂર્ણ રીતે ખેંચાયેલી ન રહે.
દોરીઓની લંબાઈ $L$ હોવાથી,બે બોલ વચ્ચેનું અંતર $2L$ થાય છે.
આથી,બે દોરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ થાય છે.
દરેક દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ $T$ એ બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતા અપાકર્ષણના સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ: $F_e = \frac{k |Q_1 Q_2|}{r^2} = \frac{k Q^2}{(2L)^2} = \frac{k Q^2}{4L^2}$.
તેથી,તણાવ $T = F_e = \frac{k Q^2}{4L^2} \text{ N}$.

(D) કુલંબના નિયમ અનુસાર,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ તેમની વચ્ચેના અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$
અહીં પ્રારંભિક અંતર $r$ છે અને નવું અંતર $r' = 2r$ છે.
નવું બળ $F'$ નીચે મુજબ મળે:
$F' = k \frac{|q_1 q_2|}{(r')^2} = k \frac{|q_1 q_2|}{(2r)^2}$
$F' = k \frac{|q_1 q_2|}{4r^2} = \frac{1}{4} \left( k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \right)$
$F' = \frac{F}{4}$
તેથી,સ્થિત-વિદ્યુત બળ તેના મૂળ મૂલ્યના ચોથા ભાગનું થશે.

(B) પગલું $1$: મધ્યમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ નું સંતુલન.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે દરેક વિદ્યુતભાર પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સંમિતિ મુજબ,બંને બાહ્ય વિદ્યુતભારો $q$ એ $Q$ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડે છે,જે એકબીજાને નાબૂદ કરે છે. આમ,$q$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે $Q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય જ રહેશે.
પગલું $2$: બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q$ નું સંતુલન.
ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q$ વચ્ચેનું અંતર $2x$ છે. $q$ થી $Q$ નું અંતર $x$ છે.
જમણી બાજુના વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$F = \frac{kQq}{x^2} + \frac{kq^2}{(2x)^2} = 0$
$k/x^2$ વડે ભાગતા:
$Qq + \frac{q^2}{4} = 0$
$Qq = -\frac{q^2}{4}$
$Q = -\frac{q}{4}$
તેથી,$q = -4Q$.

(A) પગલું $1$: $CsCl$ સ્ફટિક બંધારણની સમપ્રમાણતાનું વિશ્લેષણ કરો.
$CsCl$ ની $bcc$ રચનામાં,$Cl^-$ આયન ઘનના બરાબર કેન્દ્રમાં સ્થિત છે,જ્યારે આઠ $Cs^+$ આયનો ઘનના આઠ ખૂણાઓ પર સ્થિત છે.
પગલું $2$: ચોખ્ખા બળની ગણતરી કરો.
ઘનની સમપ્રમાણતાને કારણે,દરેક ખૂણા પર રહેલો $Cs^+$ આયન કેન્દ્રમાં રહેલા $Cl^-$ આયન પર સ્થિત-વિદ્યુત બળ લગાડે છે. $Cl^-$ આયન ભૌમિતિક કેન્દ્રમાં હોવાથી,એક ખૂણા પરના દરેક $Cs^+$ આયન માટે,તેનાથી વિકર્ણીય રીતે વિરુદ્ધ ખૂણા પર એક સમાન $Cs^+$ આયન હોય છે.
પગલું $3$: નિષ્કર્ષ.
વિકર્ણીય રીતે વિરુદ્ધ રહેલા $Cs^+$ આયનોની આ જોડીઓ દ્વારા કેન્દ્રમાં રહેલા $Cl^-$ આયન પર લાગતા બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે. પરિણામે,આ બળો એકબીજાની અસરને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરે છે.
તેથી,$Cl^-$ આયન પર લાગતું ચોખ્ખું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $zero$ છે.

(C) ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે. $Q$ વિદ્યુતભારોને $(0, a)$ અને $(a, 0)$ પર,અને $q$ વિદ્યુતભારોને $(0, 0)$ અને $(a, a)$ પર મૂકો.
$(a, 0)$ પર રહેલા $Q$ પર લાગતું બળ ધ્યાનમાં લો.
$Q$ પર લાગતા બળો:
$1$. $(0, 0)$ પરના $q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_1 = \frac{kQq}{a^2} \hat{i}$
$2$. $(a, a)$ પરના $q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_2 = \frac{kQq}{a^2} \hat{j}$
$3$. $(0, a)$ પરના $Q$ ને કારણે બળ: $\vec{F}_3 = \frac{kQ^2}{(\sqrt{2}a)^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} \right)$
ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થવા માટે,ઘટકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$F_x = \frac{kQq}{a^2} + \frac{kQ^2}{2a^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
$\frac{kQq}{a^2} = -\frac{kQ^2}{2\sqrt{2}a^2}$
$q = -\frac{Q}{2\sqrt{2}}$
તેથી,$\frac{Q}{q} = -2\sqrt{2}$.

(D) ટીપું સ્થિર રહે તે માટે,ઉપરની તરફ લાગતું વિદ્યુત બળ નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$qE = mg$
આપેલ છે:
$E = 100 \ V m^{-1}$
$m = 1.6 \times 10^{-3} \ g = 1.6 \times 10^{-6} \ kg$
$g \approx 10 \ m s^{-2}$
$q = \frac{mg}{E} = \frac{1.6 \times 10^{-6} \times 10}{100} = 1.6 \times 10^{-7} \ C$
ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $n = \frac{q}{e}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
$n = \frac{1.6 \times 10^{-7}}{1.6 \times 10^{-19}} = 10^{12}$.

(A) આપેલ છે: બળ $F = 0.144 \, N$, અંતર $r = 5 \, cm = 5 \times 10^{-2} \, m$, અને વિદ્યુતભારો સમાન છે $(q_1 = q_2 = q)$.
કુલંબના નિયમ મુજબ: $F = \frac{k q^2}{r^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.144 = \frac{(9 \times 10^9) \times q^2}{(5 \times 10^{-2})^2}$.
$0.144 = \frac{9 \times 10^9 \times q^2}{25 \times 10^{-4}}$.
$q^2 = \frac{0.144 \times 25 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9}$.
$q^2 = 0.016 \times 25 \times 10^{-13} = 0.4 \times 10^{-13} = 4 \times 10^{-14}$.
$q = \sqrt{4 \times 10^{-14}} = 2 \times 10^{-7} \, C = 0.2 \times 10^{-6} \, C = 0.2 \, \mu C$.

(D) ધારો કે ગોળાની ઘનતા $\rho$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ છે. જ્યારે ગોળાઓ હવામાં હોય,ત્યારે સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ છે.
જ્યારે તેમને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે અસરકારક વજન $mg' = V(\rho - \sigma)g$ થાય છે અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{F_e}{K}$ થાય છે,જ્યાં $K$ એ ડાય-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
પ્રવાહીમાં સંતુલન સ્થિતિ $\tan \theta = \frac{F_e'}{m'g} = \frac{F_e / K}{V(\rho - \sigma)g}$ છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી,આપણે $\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{F_e}{V\rho g} = \frac{F_e}{K V(\rho - \sigma)g}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $K = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$ મળે છે.
અહીં $\rho = 1.6 \, g \cdot cm^{-3}$ અને $\sigma = 0.8 \, g \cdot cm^{-3}$ આપેલ છે,તેથી $K = \frac{1.6}{1.6 - 0.8} = \frac{1.6}{0.8} = 2$.

(B) કુલંબના નિયમ મુજબ,હવામાં લાગતું બળ $F_{air} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ છે.
માધ્યમ (તેલ) માં લાગતું બળ $F_{medium} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ છે,જ્યાં $\epsilon_r$ એ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી છે.
અહીં બળ સમાન હોવાથી $(F_{air} = F_{medium})$,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0 \epsilon_r} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$r^2 = \epsilon_r d^2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{r}{\sqrt{\epsilon_r}}$.
અહીં $r = 50 \ cm$ અને $\epsilon_r = 5$ આપેલ છે,તેથી:
$d = \frac{50}{\sqrt{5}} = \frac{50}{2.236} \approx 22.36 \ cm$.
આમ,તેલમાં અંતર આશરે $22.3 \ cm$ છે.

(C) વિદ્યુતભાર $Q$ એ $-q$ અને $+q$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર છે. દરેક વિદ્યુતભારથી $Q$ સુધીનું અંતર $r/2$ છે.
$-q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ $F_A = \frac{kQq}{(r/2)^2} = \frac{4kQq}{r^2}$ ($-q$ તરફ આકર્ષી બળ).
$+q$ દ્વારા $Q$ પર લાગતું બળ $F_B = \frac{kQq}{(r/2)^2} = \frac{4kQq}{r^2}$ ($+q$ થી દૂર અપાકર્ષી બળ).
બંને બળો એક જ દિશામાં (ડાબી તરફ,$-q$ તરફ) લાગતા હોવાથી,પરિણામી બળ:
$F_{net} = F_A + F_B = \frac{4kQq}{r^2} + \frac{4kQq}{r^2} = \frac{8kQq}{r^2}$.

(A) શરૂઆતમાં,$r$ અંતરે રહેલા $q$ અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા બે ગોળાઓ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{kq^2}{r^2}$
જ્યારે એક ગોળાનો $50\%$ વિદ્યુતભાર બીજા ગોળા પર સ્થાનાંતરિત થાય,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1 = q - 0.5q = 0.5q = \frac{q}{2}$
$q_2 = q + 0.5q = 1.5q = \frac{3q}{2}$
નવું બળ $F'$:
$F' = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = \frac{k (q/2) (3q/2)}{r^2}$
$F' = \frac{3}{4} \frac{kq^2}{r^2}$
કારણ કે $F = \frac{kq^2}{r^2}$,તેથી:
$F' = \frac{3}{4} F = 0.75 F$

(A) ધારો કે વિદ્યુતભાર $q$ ને $+9e$ વિદ્યુતભારથી $x$ અંતરે મૂકવામાં આવે છે. તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,$q$ પર લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $+e$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $F_1$ છે અને $+9e$ વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $F_2$ છે.
સંતુલન માટે,$|F_1| = |F_2|$.
$\frac{kqe}{(16-x)^2} = \frac{kq(9e)}{x^2}$
$\frac{1}{(16-x)^2} = \frac{9}{x^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{1}{16-x} = \frac{3}{x}$
$x = 3(16-x)$
$x = 48 - 3x$
$4x = 48$
$x = 12\, cm$ ($+9e$ થી).

(C) બંને ગોળાઓ પર $+q$ જેટલો વિદ્યુતભાર છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $r = 2a$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષી વિદ્યુતીય બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
અહીં $q_1 = q$,$q_2 = q$ અને $r = 2a$ કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q \cdot q}{(2a)^2}$
$F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{4a^2}$
$F = \frac{q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$
ગોળાઓ સંતુલિત અવસ્થામાં હોવાથી,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ એ વિદ્યુતીય અપાકર્ષી બળ જેટલું જ હશે.
તેથી,$T = F = \frac{q^2}{16\pi \varepsilon_0 a^2}$.

(B) ધારો કે $4q$ વિદ્યુતભાર $x=0$ પર અને $q$ વિદ્યુતભાર $x=l$ પર છે. $Q$ વિદ્યુતભાર $x=l/2$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
$q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,$4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ અને $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવા જોઈએ.
$4q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_1 = \frac{k(4q)(q)}{l^2}$ છે.
$Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F_2 = \frac{k(Q)(q)}{(l/2)^2}$ છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,$F_1 + F_2 = 0$,એટલે કે $F_1 = -F_2$.
$\frac{k(4q)(q)}{l^2} = -\frac{k(Q)(q)}{(l/2)^2}$.
$\frac{4q}{l^2} = -\frac{Q}{l^2/4}$.
$4q = -4Q$.
તેથી,$Q = -q$.

(B) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = q_2 = q_3 = q$ છે.
ધારો કે ચોરસની બાજુ $a$ છે.
પાસપાસેના ખૂણાઓ (દા.ત.,$1$ અને $2$) વચ્ચેનું અંતર $r_{12} = a$ છે.
સામેના ખૂણાઓ (દા.ત.,$1$ અને $3$) વચ્ચેનું અંતર $r_{13} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળ $F_{12} = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}^2} = \frac{k q^2}{a^2}$.
બળ $F_{13} = \frac{k q_1 q_3}{r_{13}^2} = \frac{k q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{k q^2 / a^2}{k q^2 / 2a^2} = 2$ થાય.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,વિદ્યુતભાર $q = 10^{-9} \, C$,અંતર $x = 0.3 \, cm = 3 \times 10^{-3} \, m$,$g \approx 10 \, m/s^2$.
સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{k q^2}{x^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (10^{-9})^2}{(3 \times 10^{-3})^2} = \frac{9 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-6}} = 10^{-3} \, N$.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg = 10^{-3} \times 10 = 10^{-2} \, N$.
સંતુલન માટે,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{10^{-3}}{10^{-2}} = 0.1$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(0.1)$.

(A) દરેક કાર્બન પરમાણુમાં $6$ ઇલેક્ટ્રોન અને $6$ પ્રોટોન હોય છે. તેથી કુલ ઇલેક્ટ્રોન (અને પ્રોટોન) ની સંખ્યા = $6 \times 10^{23}$ થાય.
દરેક ધ્રુવ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q = (6 \times 10^{23}) \times (1.6 \times 10^{-19} \ C) = 9.6 \times 10^4 \ C$ મળે.
ઉત્તર ધ્રુવ અને દક્ષિણ ધ્રુવ વચ્ચેનું અંતર એ પૃથ્વીનો વ્યાસ છે,$d = 2R = 2 \times 6400 \ km = 1.28 \times 10^7 \ m$.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = \frac{k q_1 q_2}{d^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (9.6 \times 10^4)^2}{(1.28 \times 10^7)^2}$.
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 92.16 \times 10^8}{1.6384 \times 10^{14}} = \frac{829.44 \times 10^{17}}{1.6384 \times 10^{14}} \approx 506 \times 10^3 \ N = 5.06 \times 10^5 \ N$.
આમ,બળ અંદાજે $5 \times 10^5 \ N$ છે.

(A) ધારો કે ગોળાઓની ત્રિજ્યા $R_1 = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$ અને $R_2 = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$ છે. દરેક ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = 10 \ V$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q = 4\pi\epsilon_0 R V$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ ગોળા માટે: $Q_1 = \frac{R_1 V}{k} = \frac{3 \times 10^{-2} \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{3} \times 10^{-10} \ C$.
બીજા ગોળા માટે: $Q_2 = \frac{R_2 V}{k} = \frac{1 \times 10^{-2} \times 10}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \ C$.
તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{Q_1 Q_2}{d^2}$ છે.
$F = (9 \times 10^9) \times \frac{(\frac{1}{3} \times 10^{-10}) \times (\frac{1}{9} \times 10^{-10})}{(0.1)^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{\frac{1}{27} \times 10^{-20}}{10^{-2}} = \frac{9}{27} \times 10^9 \times 10^{-18} = \frac{1}{3} \times 10^{-9} \ N$.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{r}_A = (\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) \ m$ અને $\vec{r}_B = (3\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) \ m$ છે.
$B$ થી $A$ તરફનો સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (1-3)\hat{i} + (3-5)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k} \ m$ છે.
વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $r = |\vec{r}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \ m$ છે.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બળનું મૂલ્ય $F = \frac{k |q_1 q_2|}{r^2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{9 \times 10^9 \times (5 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-6})}{3^2}$.
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 15 \times 10^{-12}}{9} = 15 \times 10^{-3} \ N = 1.5 \times 10^{-2} \ N$.

(D) આપેલ છે કે $Q = Q_1 + Q_2$,તેથી $Q_2 = Q - Q_1$.
તેમની વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{k Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{k Q_1 (Q - Q_1)}{R^2} = \frac{k}{R^2} (Q Q_1 - Q_1^2)$.
બળ મહત્તમ હોવા માટે,$Q_1$ ની સાપેક્ષમાં $F$ નું વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dF}{dQ_1} = 0$.
$\frac{d}{dQ_1} [\frac{k}{R^2} (Q Q_1 - Q_1^2)] = \frac{k}{R^2} (Q - 2Q_1) = 0$.
અહીં $\frac{k}{R^2} \neq 0$ હોવાથી,$Q - 2Q_1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $Q_1 = \frac{Q}{2}$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
આમ,જ્યારે $Q_1 = Q_2 = \frac{Q}{2}$ હોય ત્યારે બળ મહત્તમ હોય છે.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો: તણાવબળ $T$,સ્થિત વિદ્યુતબળ $F_e$ અને વજનબળ $mg$ છે.
બળોનું વિભાજન કરતા: $F_e = T \sin \theta$ $(i)$ અને $mg = T \cos \theta$ (ii).
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા,$\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$ મળે.
આપેલ છે કે $\tan \theta \approx \sin \theta = \frac{x/2}{L} = \frac{x}{2L}$.
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x}{2L} = \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 x^2 mg}$.
$x$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $x^3 = \frac{2q^2 L}{4\pi \varepsilon_0 mg} = \frac{q^2 L}{2\pi \varepsilon_0 mg}$.
તેથી,$x = {\left( {\frac{{{q^2}L}}{{2\pi {\varepsilon _0}mg}}} \right)^{1/3}}$.

(B) દરેક ગોળા પર ત્રણ બળ લાગે છે: $(1)$ તણાવ બળ $(T)$,$(2)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(Mg)$,અને $(3)$ અપાકર્ષી વિદ્યુત બળ $(F)$.
પ્રથમ ગોળા માટે સંતુલન સમયે:
$T_1 \cos \theta_1 = M_1 g$ અને $T_1 \sin \theta_1 = F$
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta_1 = \frac{F}{M_1 g}$
બીજા ગોળા માટે સંતુલન સમયે:
$T_2 \cos \theta_2 = M_2 g$ અને $T_2 \sin \theta_2 = F$
આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta_2 = \frac{F}{M_2 g}$
બંને ગોળા વચ્ચે લાગતું અપાકર્ષી વિદ્યુત બળ $F$ સમાન હોવાથી (ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ),$\theta_1 = \theta_2$ થવા માટે $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$\frac{F}{M_1 g} = \frac{F}{M_2 g}$,જેનો અર્થ છે કે $M_1 = M_2$.

(A) $y$-અક્ષ પર ઉગમબિંદુથી $y$ અંતરે રહેલા વિદ્યુતભાર $q_0$ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ,$(-a, 0)$ અને $(a, 0)$ પર રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ ને કારણે છે.
સંમિતિને કારણે,બળોના સમક્ષિતિજ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે અને શિરોલંબ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા $q_0$ પર લાગતું બળ $F = \frac{k q q_0}{r^2}$ છે,જ્યાં $r^2 = a^2 + y^2$.
ચોખ્ખું બળ $F_{net} = 2F \sin\theta$ છે,જ્યાં $\sin\theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $F_{net} = 2 \left[ \frac{k q q_0}{a^2 + y^2} \right] \cdot \frac{y}{(a^2 + y^2)^{1/2}} = \frac{2 k q q_0 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$.
સૂક્ષ્મ સ્થાનાંતર $(y << a)$ માટે,આપણે $a^2 + y^2 \approx a^2$ લઈ શકીએ.
આમ,$F_{net} \approx \frac{2 k q q_0 y}{a^3}$.
અહીં $k, q, q_0,$ અને $a$ અચળાંકો હોવાથી,ચોખ્ખું બળ $y$ ના સમપ્રમાણમાં છે.

(C) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $x$ અંતરે સળિયાનો $dx$ લંબાઈનો સૂક્ષ્મ ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ ઘટકને બિંદુવત વિદ્યુતભાર તરીકે ગણો.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$q$ અને વિદ્યુતભાર ઘટક $dQ$ વચ્ચેનું બળ $dF$ છે:
$dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q \cdot dQ}{x^2}$
અહીં વિદ્યુતભાર $Q$ એ $L$ લંબાઈ પર સમાન રીતે વિતરિત થયેલ હોવાથી,એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતભાર $\lambda = \frac{Q}{L}$ છે. તેથી,$dQ = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$dF = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q (Q/L) dx}{x^2} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x^2}$
કુલ બળ $F$ મેળવવા માટે,$x = d$ થી $x = d + L$ સુધી સંકલન કરતા:
$F = \int_{d}^{d+L} \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \frac{dx}{x^2} = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{d}^{d+L}$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( -\frac{1}{d+L} - (-\frac{1}{d}) \right) = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{1}{d} - \frac{1}{d+L} \right)$
$F = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{(d+L) - d}{d(d+L)} \right) = \frac{qQ}{4\pi \epsilon_0 L} \left( \frac{L}{d(d+L)} \right)$
$F = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qQ}{d(d+L)}$

(A) વિદ્યુતભારો $q_A = +100 \ \mu C$,$q_B = +100 \ \mu C$,અને $q_C = -100 \ \mu C$ છે. બાજુની લંબાઈ $r = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
$A$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_A)$ અપાકર્ષી છે અને $AB$ રેખા પર $A$ થી દૂરની દિશામાં લાગે છે: $F_A = \frac{k |q_A q_B|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6}) \times (100 \times 10^{-6})}{(0.1)^2} = 9 \times 10^3 \ N$.
$C$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_C)$ આકર્ષી છે અને $BC$ રેખા પર $C$ ની દિશામાં લાગે છે: $F_C = \frac{k |q_C q_B|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6}) \times (100 \times 10^{-6})}{(0.1)^2} = 9 \times 10^3 \ N$.
$F_A$ અને $F_C$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે કારણ કે $AB$ અને $BC$ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે,અને બળ $F_C$ એ $C$ ની દિશામાં છે (જે $F_A$ સાથે $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે).
પરિણામી બળ $F_{net} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2 + 2 F_A F_C \cos(120^\circ)}$.
અહીં $F_A = F_C = F = 9 \times 10^3 \ N$ હોવાથી,$F_{net} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2} = F = 9 \times 10^3 \ N$.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $a$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ પર મૂકેલા છે. $(a, 0)$ પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર બાકીના ત્રણ વિદ્યુતભારોને કારણે બળ લાગે છે.
ધારો કે $(0, 0)$ અને $(a, a)$ પરના વિદ્યુતભારો $Q$ છે,અને $(0, a)$ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
$(a, 0)$ પરના $q$ પર બે $Q$ વિદ્યુતભારોને કારણે લાગતું બળ $F_Q = \sqrt{2} \frac{kQq}{a^2}$ છે જે ઉગમબિંદુ તરફ લાગે છે.
$(a, 0)$ પરના $q$ પર $(0, a)$ પરના $q$ ને કારણે લાગતું બળ $F_q = \frac{kq^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kq^2}{2a^2}$ છે જે $(0, a)$ થી દૂરની દિશામાં લાગે છે.
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,આ બંને બળો મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ:
$\sqrt{2} \frac{kQq}{a^2} + \frac{kq^2}{2a^2} = 0$
$\sqrt{2} Q + \frac{q}{2} = 0$
$q = -2\sqrt{2} Q$.

(A) શરૂઆતમાં,વિદ્યુતભારો $q_1 = +7 \ \mu C$ અને $q_2 = -5 \ \mu C$ છે. તેમની વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ: $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = k \frac{|(7 \times 10^{-6})(-5 \times 10^{-6})|}{r^2} = k \frac{35 \times 10^{-12}}{r^2}$.
બંનેમાં $-2 \ \mu C$ ઉમેર્યા પછી,નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 7 \ \mu C - 2 \ \mu C = +5 \ \mu C$
$q_2' = -5 \ \mu C - 2 \ \mu C = -7 \ \mu C$.
નવું બળ $F'$:
$F' = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(5 \times 10^{-6})(-7 \times 10^{-6})|}{r^2} = k \frac{35 \times 10^{-12}}{r^2}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $F' = F$.

(C) ધારો કે બે સમાન વિદ્યુતભારો $Q$ છે અને ત્રીજો વિદ્યુતભાર $q$ છે. બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. ત્રીજા વિદ્યુતભારનું બે વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુથી અંતર $x$ છે.
દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા $q$ પર લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qq}{x^2 + (d/2)^2}$ છે.
લંબદ્રીભાજક પર $q$ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{res} = 2F \cos\theta$ છે,જ્યાં $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + (d/2)^2}}$.
$F$ અને $\cos\theta$ ની કિંમત મૂકતા,$F_{res} = \frac{2Qqx}{4\pi\epsilon_0 (x^2 + d^2/4)^{3/2}}$ મળે છે.
મહત્તમ બળ શોધવા માટે,આપણે $F_{res}$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dF_{res}}{dx} = 0$.
વિકલન કરતા,$(x^2 + d^2/4)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + d^2/4)^{1/2} \cdot 2x = 0$ મળે છે.
$(x^2 + d^2/4) - 3x^2 = 0 \implies 2x^2 = d^2/4 \implies x^2 = d^2/8$.
તેથી,$x = \frac{d}{\sqrt{8}} = \frac{d}{2\sqrt{2}}$.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક બળ $F$ નીચે મુજબ છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = k \frac{(3 \times 10^{-6})(8 \times 10^{-6})}{r^2} = 40 \ N$.
બંને વિદ્યુતભારોમાં $-5 \ \mu C$ ઉમેર્યા પછી,નવા વિદ્યુતભારો: $q_1' = 3 - 5 = -2 \ \mu C$ અને $q_2' = 8 - 5 = 3 \ \mu C$ થાય.
નવું બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2 \times 10^{-6})(3 \times 10^{-6})}{r^2}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{F'}{F} = \frac{(-2)(3)}{(3)(8)} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.
તેથી,$F' = -\frac{1}{4} \times 40 = -10 \ N$.

(D) $R$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો ${Q_1}$ અને ${Q_2}$ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = k \frac{Q_1 Q_2}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ${Q_1} + {Q_2} = Q$ હોવાથી,આપણે ${Q_2} = Q - {Q_1}$ લખી શકીએ.
આ કિંમત બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = \frac{k}{R^2} ({Q_1}Q - Q_1^2)$.
બળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $F$ નું ${Q_1}$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ: $\frac{dF}{d{Q_1}} = \frac{k}{R^2} (Q - 2{Q_1}) = 0$.
${Q_1}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $Q - 2{Q_1} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે ${Q_1} = \frac{Q}{2}$.
તેથી ${Q_2} = Q - {Q_1} = Q - \frac{Q}{2} = \frac{Q}{2}$.
આમ,જ્યારે ${Q_1} = {Q_2} = \frac{Q}{2}$ હોય ત્યારે બળ મહત્તમ થાય છે.

(A) શરૂઆતમાં,વિદ્યુતભારો $+Q$ અને $-Q$ છે જે $r$ અંતરે રહેલા છે. તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F = k\frac{|(+Q)(-Q)|}{r^2} = k\frac{Q^2}{r^2}$ છે.
જ્યારે પ્રથમ ગોળા $(+Q)$ પરથી $75\%$ વિદ્યુતભાર બીજા ગોળા $(-Q)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે પ્રથમ ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q' = Q - 0.75Q = 0.25Q = \frac{Q}{4}$ થાય.
બીજા ગોળા પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q'' = -Q + 0.75Q = -0.25Q = -\frac{Q}{4}$ થાય.
નવું બળ $F'$ એ $F' = k\frac{|(Q/4)(-Q/4)|}{r^2} = k\frac{Q^2/16}{r^2} = \frac{1}{16} \left( k\frac{Q^2}{r^2} \right) = \frac{F}{16}$ થશે.