Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Gujarati

(A) શરૂઆતના વિદ્યુતભારો $q_1 = 3 \mu C$ અને $q_2 = 8 \mu C$ છે. કુલંબના નિયમ મુજબ તેમની વચ્ચેનું બળ: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} = 40 \ N$.
જ્યારે દરેક પર $-5 \mu C$ નો વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 3 \mu C - 5 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 8 \mu C - 5 \mu C = 3 \mu C$
નવું બળ $F'$ છે:
$F' = k \frac{q_1' q_2'}{r^2} = k \frac{(-2)(3)}{r^2} = -6k \frac{1}{r^2}$
નવા બળને શરૂઆતના બળ વડે ભાગતા:
$\frac{F'}{40} = \frac{k \frac{(-2)(3)}{r^2}}{k \frac{(3)(8)}{r^2}} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$
$F' = 40 \times (-\frac{1}{4}) = -10 \ N$.

(D) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર $q$ મૂલ્યના ત્રણ વિદ્યુતભારો છે।
કોઈપણ એક શિરોબિંદુ પરના વિદ્યુતભારનો વિચાર કરો। તે બાકીના બે વિદ્યુતભારો દ્વારા લાગતા બે અપાકર્ષી બળો અનુભવે છે, જેનું મૂલ્ય $F$ છે।
આ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે (સમબાજુ ત્રિકોણનો અંતઃકોણ)।
પરિણામી બળ $R$ સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
અહીં $F_1 = F$, $F_2 = F$, અને $\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$R = \sqrt{F^2 + F^2 + 2 F^2 \cos 60^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$ હોવાથી:
$R = \sqrt{2 F^2 + 2 F^2 (0.5)} = \sqrt{2 F^2 + F^2} = \sqrt{3 F^2} = \sqrt{3} F$.

(D) ધારો કે જે બિંદુએ પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય છે તે ઉગમબિંદુ $(x=0)$ થી $x$ અંતરે છે.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ સંજ્ઞાના હોવાથી,શૂન્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ધરાવતું બિંદુ બંને વિદ્યુતભારોની વચ્ચે નહીં,પરંતુ નાના મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $(-2 q)$ ની બાજુએ બહારની તરફ હશે.
ધારો કે આ બિંદુ $x > L$ પર છે. $+8 q$ થી તેનું અંતર $x$ છે અને $-2 q$ થી તેનું અંતર $(x - L)$ છે.
પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,બંને વિદ્યુતક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ:
$E_1 = E_2$
$\frac{K(8 q)}{x^2} = \frac{K(2 q)}{(x - L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x - L)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{2}{x} = \frac{1}{x - L}$
$2(x - L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2 L$
આમ,તે બિંદુ ઉગમબિંદુથી $2 L$ અંતરે આવેલું છે.

(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,શૂન્યાવકાશ અથવા હવામાં બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાઓને $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે બળ $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 k} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ થાય છે.
તેથી,નવા બળ $F'$ અને મૂળ બળ $F$ વચ્ચેનો સંબંધ $F' = \frac{F}{k}$ છે.
અહીં ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $k = 5$ આપેલ હોવાથી,નવું બળ $F' = \frac{F}{5}$ થશે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r_1$ થી બદલીને $r_2$ કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
આપેલ છે: $q_1 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 4 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 10 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = (10 - 2) \times 10^{-2} = 8 \times 10^{-2} \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{8 \times 10^{-2}} - \frac{1}{10 \times 10^{-2}} \right)$.
$W = 360 \times 10^{-3} \times \left( \frac{100}{8} - \frac{100}{10} \right) \times 10^{-2} = 0.36 \times (12.5 - 10) = 0.36 \times 2.5 = 0.9 \ J$.

(C) $1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્થિત-વિદ્યુત બળ કરતા ઘણું નિર્બળ છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$2$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા આકર્ષી હોય છે,પરંતુ સ્થિત-વિદ્યુત બળ વિદ્યુતભારોના પ્રકાર પર આધાર રાખીને આકર્ષી કે અપાકર્ષી હોઈ શકે છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ (ન્યૂટનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ) અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ (કુલંબનો નિયમ) બંને કેન્દ્રીય બળો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ બે પદાર્થોના કેન્દ્રોને જોડતી રેખા પર કાર્ય કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
$4$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ બંને વ્યસ્ત વર્ગના નિયમ $(F \propto \frac{1}{r^2})$ નું પાલન કરે છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $r$ છે. શિરોબિંદુઓ $1, 2,$ અને $3$ પરના વિદ્યુતભારો સમાન છે,તેથી $q_1 = q_2 = q_3 = q$.
વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું અંતર ચોરસની બાજુ જેટલું છે,એટલે કે $r_{12} = r$.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બળ $F_{12}$ છે:
$F_{12} = \frac{k q_1 q_2}{r_{12}^2} = \frac{k q^2}{r^2} \quad \dots (1)$
વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_3$ વચ્ચેનું અંતર ચોરસના વિકર્ણ જેટલું છે,એટલે કે $r_{13} = \sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$.
કુલંબના નિયમ મુજબ,બળ $F_{13}$ છે:
$F_{13} = \frac{k q_1 q_3}{r_{13}^2} = \frac{k q^2}{(r\sqrt{2})^2} = \frac{k q^2}{2r^2} \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ નો સમીકરણ $(1)$ સાથે ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_{13}}{F_{12}} = \frac{\frac{k q^2}{2r^2}}{\frac{k q^2}{r^2}} = \frac{1}{2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું બળ $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$k = \frac{F r^2}{q_1 q_2}$ મળે છે.
$k$ નો $SI$ એકમ $\frac{N \cdot m^2}{C^2}$ છે.
કારણ કે $1 \ C = 1 \ A \cdot s$,તેથી એકમને $\frac{N \cdot m^2}{A^2 \cdot s^2}$ તરીકે લખી શકાય.
પરિમાણો આ મુજબ છે: બળ $[F] = M^1 L^1 T^{-2}$,અંતર $[r] = L^1$,પ્રવાહ $[I] = I^1$,અને સમય $[t] = T^1$.
$k$ ના સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$[k] = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}] [L^2]}{[I^2] [T^2]} = \frac{M^1 L^3 T^{-2}}{I^2 T^2} = M^1 L^3 T^{-4} I^{-2}$.

(D) આપેલ છે કે સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ કણના વજન જેટલું છે:
$F_e = F_g$
$\frac{k q^2}{r^2} = mg$
$r^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$r^2 = \frac{k q^2}{mg}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$r^2 = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{1.66 \times 10^{-27} \times 10}$
$r^2 = \frac{9 \times 2.56 \times 10^{9} \times 10^{-38}}{1.66 \times 10^{-26}}$
$r^2 = \frac{23.04 \times 10^{-29}}{1.66 \times 10^{-26}}$
$r^2 = 13.8795 \times 10^{-3} = 1.38795 \times 10^{-2}$
વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \sqrt{1.38795} \times 10^{-1} \ m$
$r \approx 1.178 \times 10^{-1} \ m$
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $r \approx 1.18 \times 10^{-1} \ m$ મળે છે.

(B) ધારો કે $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ એ દોરીની લંબાઈ છે. દોરીઓ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે,તેથી શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ થશે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દરેક ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$,અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{x^2}$ છે,જ્યાં $x$ એ ગોળાઓના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર છે.
ભૂમિતિ પરથી,$x = 2l \sin \theta = 2(0.1) \sin 30^{\circ} = 0.2 \times 0.5 = 0.1 \ m$.
બળોના ઘટકો લેતા:
$T \sin \theta = F_e$
$T \cos \theta = mg$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\tan \theta = \frac{F_e}{mg} = \frac{kq^2}{x^2 mg}$.
દળ $m$ માટે સૂત્ર: $m = \frac{kq^2}{x^2 g \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$m = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.1)^2 \times 10 \times \tan 30^{\circ}}$
$m = \frac{9 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-12}}{0.01 \times 10 \times (1/\sqrt{3})}$
$m = \frac{36 \times 10^{-3}}{0.1 \times (1/\sqrt{3})} = 36 \times 10^{-2} \times \sqrt{3} \approx 0.36 \times 1.732 = 0.6235 \ kg$.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે પ્રોટોન (જેનો વીજભાર $q = e$ છે) વચ્ચે લાગતું કુલંબ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{k e^2}{r^2}$
આલ્ફા કણ ($\alpha$-particle) $2$ પ્રોટોન અને $2$ ન્યુટ્રોન ધરાવે છે, તેથી તેનો વીજભાર $q_{\alpha} = 2e$ થાય।
$2r$ અંતરે રહેલા બે આલ્ફા કણ વચ્ચે લાગતું બળ $F^{\prime}$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$F^{\prime} = \frac{k (2e)(2e)}{(2r)^2}$
$F^{\prime} = \frac{4 k e^2}{4 r^2}$
$F^{\prime} = \frac{k e^2}{r^2}$
આમ, મૂળ બળ સાથે સરખાવતા, આપણને $F^{\prime} = F$ મળે છે.

(C) ધારો કે બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે,જે $r$ અંતરે રહેલા છે. કુલંબના નિયમ મુજબ પ્રારંભિક બળ: $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 200 \ N$.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_1$ માં $10 \ \%$ વધારો થાય,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q_1' = q_1 + 0.1 q_1 = 1.1 q_1$ થાય.
જ્યારે વિદ્યુતભાર $q_2$ માં $10 \ \%$ ઘટાડો થાય,ત્યારે નવો વિદ્યુતભાર $q_2' = q_2 - 0.1 q_2 = 0.9 q_2$ થાય.
સમાન અંતર $r$ પર નવું વિદ્યુત બળ $F'$ આ મુજબ મળે: $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k (1.1 q_1) (0.9 q_2)}{r^2}$.
પ્રારંભિક બળની કિંમત મૂકતા: $F' = (1.1 \times 0.9) \times \frac{k q_1 q_2}{r^2} = 0.99 \times F$.
તેથી,$F' = 0.99 \times 200 \ N = 198 \ N$.

(B) હવામાં '$d$' અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_{\text{air}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
જ્યારે માધ્યમને $K$ અચળાંક (જેને સાપેક્ષ પરમિટિવિટી $\epsilon_r$ પણ કહેવાય છે) ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે માધ્યમની પરમિટિવિટી $\epsilon = K\epsilon_0$ થાય છે.
માધ્યમમાં બળ આ રીતે મળે છે: $F_{\text{medium}} = \frac{1}{4\pi\epsilon} \frac{q_1 q_2}{d^2} = \frac{1}{4\pi(K\epsilon_0)} \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
તેથી,$F_{\text{medium}} = \frac{1}{K} \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2} \right) = \frac{F_{\text{air}}}{K}$.
આમ,બળ $K$ ગણું ઘટે છે.

(A) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ ક્રમશઃ $A, B, C$ અને $D$ છે. $A, B, C$ પરના વિદ્યુતભારો $D$ પરના વિદ્યુતભાર પર બળ લગાડે છે.
$1$. $A$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $(F_{DA})$: આ બળ $DA$ ની દિશામાં (ઉપરની તરફ) લાગે છે,જેનું મૂલ્ય $F_{DA} = \frac{k q^2}{a^2}$ છે.
$2$. $C$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $(F_{DC})$: આ બળ $DC$ ની દિશામાં (ડાબી તરફ) લાગે છે,જેનું મૂલ્ય $F_{DC} = \frac{k q^2}{a^2}$ છે.
$3$. $B$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે લાગતું બળ $(F_{DB})$: $B$ અને $D$ વચ્ચેનું અંતર ચોરસનો વિકર્ણ છે,જે $\sqrt{2}a$ છે. આ બળ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં (બહારની તરફ) લાગે છે,જેનું મૂલ્ય $F_{DB} = \frac{k q^2}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{k q^2}{2a^2}$ છે.
$F_{DA}$ અને $F_{DC}$ નું પરિણામી બળ $F_{AC} = \sqrt{F_{DA}^2 + F_{DC}^2} = \sqrt{\left(\frac{k q^2}{a^2}\right)^2 + \left(\frac{k q^2}{a^2}\right)^2} = \frac{\sqrt{2} k q^2}{a^2}$ છે. આ પરિણામી બળ વિકર્ણ $BD$ ની દિશામાં લાગે છે.
$F_{AC}$ અને $F_{DB}$ એક જ દિશામાં હોવાથી,કુલ બળ $F_{net} = F_{AC} + F_{DB} = \frac{\sqrt{2} k q^2}{a^2} + \frac{k q^2}{2a^2} = \left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right) \frac{k q^2}{a^2}$ થશે.

(B) બે ગોળાઓ વચ્ચેનું પ્રારંભિક કુલંબ બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k(q)(-q)}{d^2} = -\frac{kq^2}{d^2}$
જ્યારે ગોળા $B$ (વિદ્યુતભાર $-q$) થી ગોળા $A$ (વિદ્યુતભાર $+q$) પર $50\%$ વિદ્યુતભાર સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે સ્થાનાંતરિત થતો વિદ્યુતભાર $\frac{q}{2}$ છે.
ગોળાઓ પરના નવા વિદ્યુતભારો:
$q_A = q - \frac{q}{2} = \frac{q}{2}$
$q_B = -q + \frac{q}{2} = -\frac{q}{2}$
નવું કુલંબ બળ $F^{\prime}$:
$F^{\prime} = \frac{k(q_A)(q_B)}{d^2} = \frac{k(\frac{q}{2})(-\frac{q}{2})}{d^2}$
$F^{\prime} = -\frac{kq^2}{4d^2}$
કારણ કે $F = -\frac{kq^2}{d^2}$,તેથી $F^{\prime}$ માટે:
$F^{\prime} = \frac{F}{4}$

(C) $\alpha$-કણનો વિદ્યુતભાર $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ C = 3.2 \times 10^{-19} \ C$ છે.
આપેલ અંતર $r = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$ છે.
કુલંબિયન અપાકર્ષણ બળનું સૂત્ર $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ છે.
અહીં $q_1 = q_2 = q$ હોવાથી,$F = \frac{k q^2}{r^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{9 \times 10^9 \times (3.2 \times 10^{-19})^2}{(3 \times 10^{-2})^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 10.24 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-4}}$
$F = 10.24 \times 10^{9 - 38 + 4}$
$F = 10.24 \times 10^{-25} \ N = 1.024 \times 10^{-24} \ N$.

(B) કુલંબના નિયમ અને ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર દ્વારા બીજા પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ મૂલ્યમાં સમાન અને દિશામાં વિરુદ્ધ હોય છે.
ધારો કે $\vec{F}_{AB}$ એ $B$ ને કારણે $A$ પર લાગતું બળ $(F_1)$ છે અને $\vec{F}_{BA}$ એ $A$ ને કારણે $B$ પર લાગતું બળ $(F_2)$ છે.
ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F}_{AB} = -\vec{F}_{BA}$.
તેથી,$F_1 = -F_2$.

(A) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભાર $2Q$ છે. બે ભાગ $q_{1}$ અને $q_{2}$ છે,જેથી $q_{1} + q_{2} = 2Q$. તેથી,$q_{2} = 2Q - q_{1}$.
કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{q_{1}q_{2}}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$q_{2}$ ની કિંમત મૂકતા,$F = \frac{k}{r^2} (q_{1})(2Q - q_{1}) = \frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)$.
બળ $F$ મહત્તમ હોવા માટે,$F$ નું $q_{1}$ ની સાપેક્ષ વિકલન શૂન્ય હોવું જોઈએ: $\frac{dF}{dq_{1}} = 0$.
$\frac{d}{dq_{1}} [\frac{k}{r^2} (2Qq_{1} - q_{1}^2)] = \frac{k}{r^2} (2Q - 2q_{1}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2Q - 2q_{1} = 0$,તેથી $q_{1} = Q$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{Q}{q_{1}} = \frac{Q}{Q} = 1$ થાય છે.

(B) ગોળા $1$ માટે,સંતુલનમાં:
$T_{1} \cos \theta_{1} = M_{1} g$
$T_{1} \sin \theta_{1} = F$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta_{1} = \frac{F}{M_{1} g}$
તે જ રીતે,ગોળા $2$ માટે,સંતુલનમાં:
$T_{2} \cos \theta_{2} = M_{2} g$
$T_{2} \sin \theta_{2} = F$
આ બે સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે:
$\tan \theta_{2} = \frac{F}{M_{2} g}$
અહીં,$F$ એ બે ગોળાઓ વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ છે,જે ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ બંને ગોળાઓ માટે સમાન છે.
જો $\theta_{1} = \theta_{2}$ હોય,તો $\tan \theta_{1} = \tan \theta_{2}$ થાય.
તેથી,$\frac{F}{M_{1} g} = \frac{F}{M_{2} g}$,જેનો અર્થ છે કે $M_{1} = M_{2}$.

(D) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અપાકર્ષણ બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{r^{2}}$.
આપેલ છે: $F = 10 \text{ mg wt} = 10 \times 10^{-3} \text{ kg} \times 10 \text{ ms}^{-2} = 0.1 \text{ N}$.
અંતર $r = 0.6 \text{ m}$.
વિદ્યુતભારો સમાન હોવાથી,ધારો કે $q_{1} = q_{2} = q$.
કિંમતો મૂકતા: $0.1 = (9 \times 10^{9}) \times \frac{q^{2}}{(0.6)^{2}}$.
$q^{2} = \frac{0.1 \times 0.36}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.036}{9 \times 10^{9}} = 0.004 \times 10^{-9} = 4 \times 10^{-12} \text{ C}^{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $q = \sqrt{4 \times 10^{-12}} = 2 \times 10^{-6} \text{ C} = 2 \mu\text{C}$.

(C) બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ કુલંબના નિયમ મુજબ છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{d^2}$.
પ્રારંભિક કિંમતો મૂકતા: $F = k \frac{(6 \mu C)(9 \mu C)}{d^2} = k \frac{54 \mu C^2}{d^2} \dots (1)$.
જ્યારે બંને ગોળાઓમાં $-3 \mu C$ વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 6 \mu C - 3 \mu C = 3 \mu C$
$q_2' = 9 \mu C - 3 \mu C = 6 \mu C$.
નવું બળ $F'$ છે: $F' = k \frac{q_1' q_2'}{d^2} = k \frac{(3 \mu C)(6 \mu C)}{d^2} = k \frac{18 \mu C^2}{d^2} \dots (2)$.
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{F'}{F} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}$.
તેથી,નવું બળ $F' = F/3$ થશે.

(A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ છે. આપેલ છે કે $q_1 + q_2 = 25 \times 10^{-6} \ C$ અને અંતર $r = 1.5 \ m$ છે. સ્થિત-વિદ્યુત બળનું સૂત્ર $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે. કિંમતો મૂકતા: $0.6 = \frac{9 \times 10^9 \times q_1 q_2}{(1.5)^2}$. $q_1 q_2$ માટે ઉકેલતા: $q_1 q_2 = \frac{0.6 \times 2.25}{9 \times 10^9} = 0.15 \times 10^{-9} = 150 \times 10^{-12} \ C^2$. આપણે જાણીએ છીએ કે $(q_1 - q_2)^2 = (q_1 + q_2)^2 - 4 q_1 q_2$. કિંમતો મૂકતા: $(q_1 - q_2)^2 = (25 \times 10^{-6})^2 - 4(150 \times 10^{-12}) = 625 \times 10^{-12} - 600 \times 10^{-12} = 25 \times 10^{-12} \ C^2$. વર્ગમૂળ લેતા,$q_1 - q_2 = 5 \times 10^{-6} \ C = 5 \mu C$.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે:
$q_1 = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$q_2 = 3.2 \times 10^{-19} \ C$
$r = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (3.2 \times 10^{-19})}{(3 \times 10^{-2})^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 5.12 \times 10^{-38}}{9 \times 10^{-4}}$
$F = 5.12 \times 10^{9-38+4} \ N$
$F = 5.12 \times 10^{-25} \ N$.

(A) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q_1 = 6 \mu C$,$q_2 = 10 \mu C$ અને $F = 30 \ N$ છે.
તેથી,$30 = \frac{k(6)(10)}{r^2} \Rightarrow \frac{k}{r^2} = \frac{30}{60} = 0.5$.
હવે,જો દરેક પર $-8 \mu C$ નો વધારાનો વિદ્યુતભાર ઉમેરવામાં આવે,તો નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 6 \mu C - 8 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 10 \mu C - 8 \mu C = 2 \mu C$
નવું બળ $F' = \frac{k q_1' q_2'}{r^2} = \frac{k}{r^2} \times (-2) \times (2)$ થશે.
$\frac{k}{r^2} = 0.5$ કિંમત મૂકતા,$F' = 0.5 \times (-4) = -2 \ N$ મળે.
ઋણ નિશાની આકર્ષણ બળ સૂચવે છે. આમ,તેઓ $2 \ N$ ના બળથી આકર્ષાય છે.

(A) કણો કોઈ ચોખ્ખું બળ અનુભવતા ન હોવાથી,સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
$F_e = F_g$
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2} = \frac{G m^2}{r^2}$
બંને બાજુથી $r^2$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q^2 = G m^2$
$\frac{q}{m}$ શોધવા માટે પદોની ગોઠવણી કરતા:
$\frac{q^2}{m^2} = 4 \pi \epsilon_0 G$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{q}{m} = \sqrt{4 \pi \epsilon_0 G}$

(D) ધારો કે $+q$ અને $+2q$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,અને $+2q$ અને $+4q$ વચ્ચેનું અંતર પણ $r$ છે. તેથી,$+q$ અને $+4q$ વચ્ચેનું કુલ અંતર $2r$ થાય.
$+q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_1$ એ $+2q$ અને $+4q$ ને કારણે લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F_1 = \frac{k(q)(2q)}{r^2} + \frac{k(q)(4q)}{(2r)^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{2kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{3kq^2}{r^2}$.
$+4q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_2$ એ $+2q$ અને $+q$ ને કારણે લાગતા બળોનો સરવાળો છે:
$F_2 = \frac{k(4q)(2q)}{r^2} + \frac{k(4q)(q)}{(2r)^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{4kq^2}{4r^2} = \frac{8kq^2}{r^2} + \frac{kq^2}{r^2} = \frac{9kq^2}{r^2}$.
$+q$ અને $+4q$ વિદ્યુતભારો પર લાગતા કુલ સ્થિત-વિદ્યુત બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_1}{F_2} = \frac{3kq^2/r^2}{9kq^2/r^2} = \frac{3}{9} = 1:3$.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચે લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ સદિશ સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $\overrightarrow{F} = \frac{K q_1 q_2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
અહીં,ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર $q_1 = -e$ છે અને હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ (પ્રોટોન) નો વિદ્યુતભાર $q_2 = +e$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\overrightarrow{F} = \frac{K (-e)(e)}{r^3} \overrightarrow{r} = -\frac{K e^2}{r^3} \overrightarrow{r}$.
આમ,બળ ન્યુક્લિયસની દિશામાં (આકર્ષી પ્રકારનું) લાગે છે.

(D) શૂન્યાવકાશમાં $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ છે.
જ્યારે બે વિદ્યુતભારો વચ્ચે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી પ્લેટ મૂકવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક અંતર $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ થાય છે.
અહીં $t = \frac{r}{5}$ અને $K = 9$ છે.
તેથી,$r_{eff} = (r - \frac{r}{5}) + \frac{r}{5}\sqrt{9} = \frac{4r}{5} + \frac{3r}{5} = \frac{7r}{5}$.
નવું બળ $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{(r_{eff})^2} = \frac{25}{49} F$ થાય છે. આપેલ વિકલ્પો મુજબ,ગણતરીમાં રહેલી ભૂલને ધ્યાનમાં લેતા સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે એક પદાર્થ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે,તો બીજા પદાર્થ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q - q)$ થશે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,તેમની વચ્ચેનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{K q(Q - q)}{r^2}$ છે,જ્યાં $r$ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
મહત્તમ બળ માટેની શરત મેળવવા માટે,આપણે $F_e$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF_e}{dq} = \frac{K}{r^2} \frac{d}{dq}(qQ - q^2) = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{d}{dq}(qQ - q^2) = 0$.
$Q - 2q = 0$,જે આપણને $q = Q/2$ આપે છે.
બીજા પદાર્થ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q - q) = Q - Q/2 = Q/2$ થશે.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુતભારો $Q/2$ અને $Q/2$ તરીકે સમાન રીતે વહેંચાયેલા હોય ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત બળ મહત્તમ હોય છે.

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારોના સ્થાન $+5q$ માટે $x_1 = 0$,$Q$ માટે $x_2 = 2r/3$ અને $-2q$ માટે $x_3 = r$ છે. $+5q$ અને $-2q$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે,અને $Q$ તથા $-2q$ વચ્ચેનું અંતર $r/3$ છે.
$-2q$ વિદ્યુતભાર પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,$+5q$ અને $Q$ દ્વારા $-2q$ પર લાગતા બળોના મૂલ્યો સમાન અને દિશા પરસ્પર વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ.
ધારો કે $+5q$ દ્વારા $-2q$ પર લાગતું બળ $F_1$ છે અને $Q$ દ્વારા $-2q$ પર લાગતું બળ $F_2$ છે.
$F_1 = \frac{k |5q| |-2q|}{r^2} = \frac{10kq^2}{r^2}$ (આકર્ષી,ડાબી તરફ).
પરિણામી બળ શૂન્ય થવા માટે,$F_2$ અપાકર્ષી (જમણી તરફ) હોવું જોઈએ,તેથી $Q$ ધન હોવો જોઈએ.
$F_2 = \frac{k |Q| |-2q|}{(r/3)^2} = \frac{k |Q| 2q}{r^2/9} = \frac{18k|Q|q}{r^2}$.
બંનેના મૂલ્યોને સરખાવતા: $\frac{10kq^2}{r^2} = \frac{18kQq}{r^2}$.
$10q = 18Q \Rightarrow Q = \frac{10}{18}q = \frac{5}{9}q$.

(A) આપેલ છે:
દરેક ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર, $q = 6 \times 10^{-7} \,C$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર, $r = 60 \,cm = 0.6 \,m$.
કુલંબના નિયમ મુજબ, સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$ નીચે મુજબ મળે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
અહીં $q_1 = q_2 = q = 6 \times 10^{-7} \,C$ અને $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \,N \cdot m^2/C^2$ હોવાથી:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (6 \times 10^{-7}) \times (6 \times 10^{-7})}{(0.6)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9 \times 36 \times 10^{-14}}{0.36}$
$F = \frac{324 \times 10^{-5}}{0.36}$
$F = 900 \times 10^{-5} \,N = 9 \times 10^{-3} \,N$.

(A) આપેલ છે,$Q_1 = +80 \mu C$,$Q_2 = +20 \mu C$. ધારો કે $Q_1$ અને $Q_2$ વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. વિદ્યુતભાર $q$ ને મધ્યમાં મૂકવામાં આવે છે,તેથી $Q_1$ થી $q$ નું અંતર $r/2$ અને $q$ થી $Q_2$ નું અંતર $r/2$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,દરેક વિદ્યુતભાર પરનું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. ચાલો $Q_2$ વિદ્યુતભારના સંતુલનનો વિચાર કરીએ:
$F_{net, Q_2} = \frac{k Q_2 q}{(r/2)^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$\frac{4 k Q_2 q}{r^2} + \frac{k Q_1 Q_2}{r^2} = 0$
$4 q + Q_1 = 0$
$4 q = -Q_1$
$q = -Q_1 / 4$
$Q_1 = +80 \mu C$ મૂકતા:
$q = -80 \mu C / 4 = -20 \mu C$.

(A) વિદ્યુતભારોને $A(0)$,$B(l/2)$ અને $C(l)$ સ્થાન પર મૂકવામાં આવ્યા છે.
સ્થાન $A$ પર રહેલા $4q$ વિદ્યુતભારને કારણે સ્થાન $C$ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_{AC} = \frac{K(4q)(q)}{l^2}$ છે.
સ્થાન $B$ પર રહેલા $Q$ વિદ્યુતભારને કારણે સ્થાન $C$ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_{BC} = \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2}$ છે.
$q$ પરનું પરિણામી બળ શૂન્ય હોવાથી,આ બળોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$F_{AC} + F_{BC} = 0$
$\frac{K(4q)(q)}{l^2} + \frac{K(Q)(q)}{(l/2)^2} = 0$
$Kq$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{4q}{l^2} + \frac{Q}{l^2/4} = 0$
$\frac{4q}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0$
$4q + 4Q = 0$
$4Q = -4q$
$Q = -q$

(A) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_A = +100 \mu C$,$q_B = -100 \mu C$,અને $q_C = +100 \mu C$ છે. બાજુની લંબાઈ $r = 4 \text{ m}$ છે.
$1$. $A$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{CA})$: આ અપાકર્ષી બળ છે જે $A$ થી દૂર $AC$ રેખા પર લાગે છે. તેનું મૂલ્ય $F = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times (100 \times 10^{-6})^2}{4^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{16} = \frac{90}{16} = 5.625 \text{ N}$ છે.
$2$. $B$ ને કારણે $C$ પર લાગતું બળ $(F_{CB})$: આ આકર્ષી બળ છે જે $B$ ની દિશામાં લાગે છે. વિદ્યુતભારો અને અંતર સમાન હોવાથી તેનું મૂલ્ય પણ $F = 5.625 \text{ N}$ છે.
$3$. પરિણામી બળ: $F_{CA}$ અને $F_{CB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે (સમબાજુ ત્રિકોણનો અંતઃકોણ $60^{\circ}$ હોવાથી,$AC$ ના લંબાવેલા ભાગ અને $CB$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય). પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = \sqrt{F^2 + F^2 + 2F^2 \cos(120^{\circ})} = \sqrt{2F^2 + 2F^2(-0.5)} = \sqrt{F^2} = F = 5.625 \text{ N}$.
$4$. દિશા: બંને બળોના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,પરિણામી બળ તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે. $F_{CA}$ અને $F_{CB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે. પરિણામી બળ $F_{CA}$ (જે $AC$ ની દિશામાં છે) સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. આમ,$AC$ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.

(C) શરૂઆતમાં,બંને ગોળાઓ પર $q$ જેટલો વિદ્યુતભાર છે. તેમની વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{k q^2}{r^2}$
જ્યારે એક ગોળામાંથી બીજા ગોળામાં $10 \%$ ઇલેક્ટ્રોન સ્થાનાંતરિત થાય છે,ત્યારે જે ગોળો ઇલેક્ટ્રોન ગુમાવે છે તેનો વિદ્યુતભાર $q + 0.1q = 1.1q$ થાય છે,અને જે ગોળો ઇલેક્ટ્રોન મેળવે છે તેનો વિદ્યુતભાર $q - 0.1q = 0.9q$ થાય છે.
નવું બળ $F^{\prime}$ નીચે મુજબ છે:
$F^{\prime} = \frac{k(1.1q)(0.9q)}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 \frac{k q^2}{r^2}$
$F^{\prime} = 0.99 F$

(D) પ્રશ્ન મુજબ,ત્રણ વિદ્યુતભારીત કણોને કાટકોણ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવ્યા છે,જ્યાં $Q_A = +15 \ \mu C$,$Q_B = +12 \ \mu C$,અને $Q_C = -20 \ \mu C$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $A$ ને કારણે વિદ્યુતભાર $B$ પર લાગતું બળ:
$F_{AB} = \frac{k |Q_A Q_B|}{r_{AB}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (15 \times 10^{-6}) \times (12 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 180 \times 10^{-12}}{9 \times 10^{-4}} = 1800 \ N$.
$Q_A$ અને $Q_B$ બંને ધન હોવાથી,આ બળ અપાકર્ષી છે.
વિદ્યુતભાર $C$ ને કારણે વિદ્યુતભાર $B$ પર લાગતું બળ:
$F_{BC} = \frac{k |Q_B Q_C|}{r_{BC}^2} = \frac{(9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (20 \times 10^{-6})}{(4 \times 10^{-2})^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 240 \times 10^{-12}}{16 \times 10^{-4}} = 1350 \ N$.
$Q_B$ ધન અને $Q_C$ ઋણ હોવાથી,આ બળ આકર્ષી છે.
$F_{AB}$ અને $F_{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,પરિણામી બળ:
$F_B = \sqrt{F_{AB}^2 + F_{BC}^2} = \sqrt{(1800)^2 + (1350)^2} = \sqrt{3240000 + 1822500} = \sqrt{5062500} = 2250 \ N$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) આપેલ છે,પ્રથમ કણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = +3.72 \mu C$ અને બીજા કણ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = +1.86 \mu C$ છે.
તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_1 = \frac{k Q_1 Q_2}{R^2} = \frac{k}{R^2} (3.72 \times 1.86) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (6.9192 \times 10^{-12}) \ N$ છે.
જો $Q_1$ નો $20 \%$ ભાગ $Q_2$ પર સ્થાનાંતરિત થાય,તો નવા વિદ્યુતભારો:
$Q_1^{\prime} = Q_1 - 0.20 Q_1 = 0.80 Q_1 = 0.80 \times 3.72 = 2.976 \mu C$.
$Q_2^{\prime} = Q_2 + 0.20 Q_1 = 1.86 + (0.20 \times 3.72) = 1.86 + 0.744 = 2.604 \mu C$.
નવું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_2 = \frac{k Q_1^{\prime} Q_2^{\prime}}{R^2} = \frac{k}{R^2} (2.976 \times 2.604) \times 10^{-12} = \frac{k}{R^2} (7.749504 \times 10^{-12}) \ N$ છે.
બળમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{F_2 - F_1}{F_1} \times 100 = \frac{7.749504 - 6.9192}{6.9192} \times 100 = \frac{0.830304}{6.9192} \times 100 \approx 12 \%$.
આમ,બળમાં $12 \%$ નો વધારો થાય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર $r$ છે. પ્રારંભિક બળ $F = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર રહિત ગોળો $C$ ને $A$ સાથે સ્પર્શ કરાવવામાં આવે,ત્યારે $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_A = q/2$ અને $C$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_C = q/2$ થાય છે.
હવે,ગોળા $C$ ને $A$ અને $B$ ની વચ્ચેના મધ્યબિંદુ પર મૂકવામાં આવે છે. $C$ નું $A$ અને $B$ બંનેથી અંતર $r/2$ છે.
$A$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{AC} = k \frac{(q/2)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/4}{r^2/4} = k \frac{q^2}{r^2} = 4 \times 10^{-5} \ N$ ($B$ તરફની દિશામાં).
$B$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ $F_{BC} = k \frac{(q)(q/2)}{(r/2)^2} = k \frac{q^2/2}{r^2/4} = 2k \frac{q^2}{r^2} = 2(4 \times 10^{-5}) = 8 \times 10^{-5} \ N$ ($A$ તરફની દિશામાં).
$C$ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{net} = F_{BC} - F_{AC} = 8 \times 10^{-5} - 4 \times 10^{-5} = 4 \times 10^{-5} \ N$.
$F_{BC} > F_{AC}$ હોવાથી,ચોખ્ખું બળ $C$ થી $A$ તરફની દિશામાં લાગશે.

(C) ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_1 = 4 \ C$ ($x = 0$ પર),$q_2 = Q \ C$ ($x = \frac{l}{2}$ પર),અને $q_3 = 1 \ C$ ($x = l$ પર) છે.
કિસ્સો $1$: $4 \ C$ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.
$Q$ અને $1 \ C$ દ્વારા $4 \ C$ પર લાગતું બળ એકબીજાને નાબૂદ કરવું જોઈએ.
$F = k \frac{4 \cdot Q}{(l/2)^2} + k \frac{4 \cdot 1}{l^2} = 0$.
$k \frac{4Q}{l^2/4} + \frac{4k}{l^2} = 0 \implies \frac{16Q}{l^2} + \frac{4}{l^2} = 0 \implies 16Q = -4 \implies Q = -\frac{1}{4} \ C$.
કિસ્સો $2$: $1 \ C$ પરનું કુલ બળ શૂન્ય છે.
$4 \ C$ અને $Q$ દ્વારા $1 \ C$ પર લાગતું બળ એકબીજાને નાબૂદ કરવું જોઈએ.
$F = k \frac{1 \cdot 4}{l^2} + k \frac{1 \cdot Q}{(l/2)^2} = 0$.
$\frac{4k}{l^2} + \frac{kQ}{l^2/4} = 0 \implies \frac{4}{l^2} + \frac{4Q}{l^2} = 0 \implies 4 + 4Q = 0 \implies Q = -1 \ C$.
આમ,$Q$ ના મૂલ્યો $-\frac{1}{4} \ C$ અને $-1 \ C$ છે.

(C) ધારો કે $m = 0.1 \,g = 10^{-4} \,kg$, $L = 1 \,m$, $a = 3 \,cm = 0.03 \,m$. સમબાજુ ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રથી શિરોબિંદુ સુધીનું અંતર $r = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{0.03}{\sqrt{3}} = 0.01\sqrt{3} \,m$ છે। શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{r}{L} = 0.01\sqrt{3}$ થાય। એક કણ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$, તણાવ $T$ અને અન્ય બે કણો દ્વારા લાગતું સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ છે। $a$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ દ્વારા લાગતું પરિણામી સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = 2 \cdot \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{a^2} \cos(30^\circ) = 2 \cdot (9 \times 10^9) \cdot \frac{q^2}{(0.03)^2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \times 10^{13} q^2$ છે। સંતુલનમાં, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$ થાય। તેથી, $0.01\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3} \times 10^{13} q^2}{10^{-4} \times 10}$. $q^2$ માટે ઉકેલતા: $q^2 = 0.01 \times 10^{-3} / 10^{13} = 10^{-18} \,C^2$. તેથી, $q = 10^{-9} \,C = 1 \,nC$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
અહીં $q_1 = q_2 = ne$,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r = 3 \ cm = 0.03 \ m$,અને $F = 10^{-19} \ N$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-19} = (9 \times 10^9) \frac{(ne)^2}{(0.03)^2}$.
$(ne)^2 = \frac{10^{-19} \times (0.03)^2}{9 \times 10^9} = \frac{10^{-19} \times 9 \times 10^{-4}}{9 \times 10^9} = 10^{-32}$.
$ne = \sqrt{10^{-32}} = 10^{-16}$.
$n = \frac{10^{-16}}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{1000}{1.6} = 625$.

(C) ધારો કે કુલ વિદ્યુતભારોની સંખ્યા $N$ છે। આપણે તેમને $q$ અને $N-q$ ના બે જૂથોમાં વહેંચીએ છીએ, જ્યાં દરેક વિદ્યુતભાર $Q$ છે। બે જૂથો વચ્ચેનું બળ $F = k \cdot (qQ) \cdot ((N-q)Q) / r^2 = (kQ^2/r^2) \cdot q(N-q)$ છે।
બળને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે $q(N-q)$ ને મહત્તમ કરવું પડે। આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $q = N/2$ હોય, જે $q(N-q) = N^2/4$ આપે છે।
બળને ન્યૂનતમ કરવા માટે, આપણે એક જૂથમાં શક્ય તેટલા ઓછા વિદ્યુતભારો મૂકીએ છીએ, જે $q = 1$ છે। આ $q(N-q) = 1(N-1) = N-1$ આપે છે।
મહત્તમ બળ અને ન્યૂનતમ બળનો ગુણોત્તર $(N^2/4) / (N-1) = N^2 / (4(N-1))$ થાય છે।
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે।

(C) આકૃતિ પરથી,$F_1$ અને $F_2$ ને કારણે લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ બળ $F_2$ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$F_1$ અને $F_2$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{F_1}{F_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $B$ પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_1 = k \cdot \frac{q_A q_B}{(AB)^2} = k \cdot \frac{q^2}{(3)^2}$ છે.
$C$ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $B$ પરના વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F_2 = k \cdot \frac{q_C q_B}{(BC)^2} = k \cdot \frac{q^2}{(4)^2}$ છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{F_1}{F_2} = \frac{k \cdot q^2 / 9}{k \cdot q^2 / 16} = \frac{16}{9}$.
આમ,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{16}{9}\right)$.

(C) ધારો કે $+10 \mu C$ ના બે વિદ્યુતભારો $A(0, a)$ અને $C(0, -a)$ પર છે. $-20 \mu C$ વિદ્યુતભારને $B(x, 0)$ પર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$A$ પરના વિદ્યુતભાર અને $B$ પરના વિદ્યુતભાર વચ્ચેનું અંતર $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ છે.
કુલંબના નિયમ મુજબ, દરેક વિદ્યુતભાર દ્વારા $B$ પર લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F$:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = (9 \times 10^9) \frac{(10 \times 10^{-6})(20 \times 10^{-6})}{a^2 + x^2} = \frac{1.8}{a^2 + x^2} \text{ N}$.
આ બળ $F$ આકર્ષી પ્રકારનું છે, જે $A$ અને $C$ તરફ લાગે છે. આ બળોના શિરોલંબ ઘટકો એકબીજાને નાબૂદ કરે છે, જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટકોનો સરવાળો થાય છે.
$X$-અક્ષ પરનું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$:
$F_{\text{net}} = 2F \cos \theta$, જ્યાં $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{\text{net}} = 2 \left( \frac{1.8}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right) = \frac{3.6 x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$.
$x \ll a$ હોવાથી, છેદમાં $x^2$ ને અવગણતા:
$F_{\text{net}} \approx \frac{3.6 x}{(a^2)^{3/2}} = \frac{3.6 x}{a^3} \text{ N}$.

(D) કુલંબના નિયમ મુજબ,બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$q_1 = +8 \mu C$ અને $q_2 = +12 \mu C$ છે,અને બળ $F_1 = 48 \ N$ છે.
જ્યારે દરેકને $-10 \mu C$ નો વધારાનો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે,ત્યારે નવા વિદ્યુતભારો:
$q_1' = 8 \mu C - 10 \mu C = -2 \mu C$
$q_2' = 12 \mu C - 10 \mu C = +2 \mu C$
અંતર $r$ સમાન રહેતું હોવાથી,બળોનો ગુણોત્તર:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{|q_1' q_2'|}{|q_1 q_2|} = \frac{|(-2) \times 2|}{|8 \times 12|} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}$
તેથી,$F_2 = \frac{F_1}{24} = \frac{48 \ N}{24} = 2 \ N$.
વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી (એક ઋણ અને એક ધન),આ બળ આકર્ષણ પ્રકારનું હશે.

(A) ધારો કે દોરીની લંબાઈ $L = 5 \, cm = 0.05 \, m$ અને ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 6 \, cm = 0.06 \, m$ છે।
સંતુલન સ્થિતિમાં, ગોળા પર ત્રણ બળો લાગે છે: તણાવ બળ $T$, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$, અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{kq^2}{d^2}$.
ધારો કે દોરી શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે। ભૂમિતિ પરથી, $\sin \theta = \frac{d/2}{L} = \frac{3 \, cm}{5 \, cm} = 0.6$.
તેથી, $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = 0.8$.
સંતુલનમાં, $\tan \theta = \frac{F_e}{mg}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \frac{0.6}{0.8} = 0.75$.
$F_e = \frac{(9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-6})^2}{(0.06)^2} = 10 \, N$.
હવે, $mg = \frac{F_e}{\tan \theta} = \frac{10}{0.75} = \frac{40}{3} \, N$.
$m = \frac{40}{3 \times 10} = \frac{4}{3} \, kg \approx 1.33 \, kg$.

(D) બે પ્રોટોન વચ્ચેનું સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે પ્રોટોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = G \frac{m_p^2}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_e}{F_g} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{e^2}{G m_p^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m_p = 1.67 \times 10^{-27} \ kg$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2$,અને $\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
$\frac{F_e}{F_g} = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(6.67 \times 10^{-11}) \times (1.67 \times 10^{-27})^2} \approx 1.24 \times 10^{36}$.
આને $10^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n \approx 36$ મળે છે.

(B) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ કુલંબના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$.
ધારો કે વિદ્યુતભારો $q_0 = 2 \mu C$ ($x=0$ પર),$q_1 = Q$ ($x=1 \ cm$ પર),$q_2 = 4 \mu C$ ($x=2 \ cm$ પર),અને $q_3 = 12 \mu C$ ($x=4 \ cm$ પર) છે.
ઉગમબિંદુ પરના વિદ્યુતભાર $(q_0)$ પર લાગતું પરિણામી બળ એ $q_1, q_2$ અને $q_3$ દ્વારા લાગતા બળોનો સરવાળો છે.
$F_{net} = k q_0 \left( \frac{Q}{(1 \times 10^{-2})^2} + \frac{4 \times 10^{-6}}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{12 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} \right) = 0$.
$k q_0 \neq 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે: $\frac{Q}{10^{-4}} + \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-4}} + \frac{12 \times 10^{-6}}{16 \times 10^{-4}} = 0$.
$10^4 Q + 10^{-2} + 0.75 \times 10^{-2} = 0$.
$10^4 Q + 1.75 \times 10^{-2} = 0$.
$Q = -1.75 \times 10^{-6} \ C = -1.75 \mu C$.

(C) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ છે. આપેલ છે કે $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6} \ C$ અને $r = 4 \ m$.
કુલંબના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા: $0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 \times Q_2}{4^2}$.
$0.18 = \frac{9 \times 10^9 \times Q_1 Q_2}{16}$.
$Q_1 Q_2 = \frac{0.18 \times 16}{9 \times 10^9} = 0.02 \times 16 \times 10^{-9} = 320 \times 10^{-12} \ C^2$.
આપણી પાસે $Q_1 + Q_2 = 36 \times 10^{-6}$ અને $Q_1 Q_2 = 320 \times 10^{-12}$ છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (Q_1+Q_2)x + Q_1 Q_2 = 0$ ના બીજ છે.
$x^2 - (36 \times 10^{-6})x + 320 \times 10^{-12} = 0$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{(36 \times 10^{-6})^2 - 4(320 \times 10^{-12})}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{1296 \times 10^{-12} - 1280 \times 10^{-12}}}{2} = \frac{36 \times 10^{-6} \pm \sqrt{16 \times 10^{-12}}}{2}$.
$x = \frac{36 \times 10^{-6} \pm 4 \times 10^{-6}}{2}$.
તેથી બે વિદ્યુતભારો $20 \times 10^{-6} \ C$ અને $16 \times 10^{-6} \ C$ છે.
આમ,મોટો વિદ્યુતભાર $20 \mu C$ છે.