Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = 1$ અને $|\hat{b}| = 1$.
સદિશો $\vec{c} = \hat{a} + 2\hat{b}$ અને $\vec{d} = 5\hat{a} - 4\hat{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.
$(\hat{a} + 2\hat{b}) \cdot (5\hat{a} - 4\hat{b}) = 0$
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
$\hat{a} \cdot \hat{a} = |\hat{a}|^2 = 1$ અને $\hat{b} \cdot \hat{b} = |\hat{b}|^2 = 1$ હોવાથી:
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 3$
$\hat{a} \cdot \hat{b} = 1 / 2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = 1 / 2$
$\cos \theta = 1 / 2$
$\theta = \pi / 3$.

(A) સદિશો લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય.
$(a\hat{i} + 6\hat{j} - \hat{k}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j} + 17\hat{k}) = 0$
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(a)(7) + (6)(-3) + (-1)(17) = 0$
$7a - 18 - 17 = 0$
$7a - 35 = 0$
$7a = 35$
$a = 5$

(A) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય. $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
પ્રથમ,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$ છે.
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ લેતા:
$(1)(\lambda) + (-1)(1) + (2)(\mu) = 0 \implies \lambda - 1 + 2\mu = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1$ (સમીકરણ $1$).
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ લેતા:
$(2)(\lambda) + (4)(1) + (1)(\mu) = 0 \implies 2\lambda + 4 + \mu = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$\mu = -4 - 2\lambda$.
આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\lambda + 2(-4 - 2\lambda) = 1
\lambda - 8 - 4\lambda = 1
-3\lambda = 9
\lambda = -3$.
હવે $\mu$ શોધતા: $\mu = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$.

(D) $\Delta ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A(1, 0, 0)$,$B(0, 1, 0)$ અને $C(0, 0, 1)$ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$
$\vec{AC} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$
ખૂણો $A$ એ સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = 1 + 0 + 0 = 1$
માનની ગણતરી:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\cos A = \frac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$A = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $c = 2 \lambda (a \times b) + 3 \mu (b \times a)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b \times a = -(a \times b)$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ લખી શકાય:
$c = 2 \lambda (a \times b) - 3 \mu (a \times b)$
$c = (2 \lambda - 3 \mu) (a \times b)$
આપેલ છે કે $c \cdot (a \times b) = 0$.
$c$ ની કિંમત મૂકતા:
$(2 \lambda - 3 \mu) (a \times b) \cdot (a \times b) = 0$
$(2 \lambda - 3 \mu) |a \times b|^2 = 0$
અહીં $a \times b \neq 0$ હોવાથી,$|a \times b|^2 \neq 0$ થાય.
તેથી,$2 \lambda - 3 \mu = 0$,જેનો અર્થ છે કે $2 \lambda = 3 \mu$.

(C) આપેલ છે કે $x$ અને $y$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|x| = 1$ અને $|y| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x - y|^2 = |x|^2 + |y|^2 - 2(x \cdot y)$.
અહીં $x \cdot y = |x||y| \cos \phi = (1)(1) \cos \phi = \cos \phi$ હોવાથી:
$|x - y|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \phi = 2 - 2 \cos \phi$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \phi = 2 \sin^2(\phi / 2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|x - y|^2 = 2(1 - \cos \phi) = 2(2 \sin^2(\phi / 2)) = 4 \sin^2(\phi / 2)$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|x - y| = 2 |\sin(\phi / 2)|$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{2} |x - y| = \frac{1}{2} \times 2 |\sin(\phi / 2)| = |\sin(\phi / 2)|$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{d}) = 0$.
કારણ કે સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય છે,તેથી સદિશ $(\vec{c} - \vec{d})$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{c} - \vec{d} = \lambda \vec{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આનાથી આપણને $\vec{d} = \vec{c} - \lambda \vec{b}$ મળે છે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b})$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,તેથી $0 = \vec{a} \cdot \vec{c} - \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b})$.
આમ,$\lambda = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$.
$\lambda$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $\vec{d} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$ મળે છે.

(A) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(a, -3, 1)$ છે.
કારણ કે $\angle C = \pi/2$,સદિશો $\vec{CA}$ અને $\vec{CB}$ પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\vec{CA} = (2-a)\hat{i} + (-1 - (-3))\hat{j} + (1-1)\hat{k} = (2-a)\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$.
$\vec{CB} = (1-a)\hat{i} + (-3 - (-3))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = (1-a)\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\angle C = 90^\circ$ માટે,$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$.
$(2-a)(1-a) + (2)(0) + (0)(-6) = 0$.
$(2-a)(1-a) = 0$.
આથી $a = 2$ અથવા $a = 1$ મળે છે.
આમ,$a$ ના મૂલ્યો $2$ અને $1$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|a + b| = |a - b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = |a - b|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$,જેનો અર્થ છે કે $4(a \cdot b) = 0$.
તેથી,$a \cdot b = 0$.
બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\overline{AB} \cdot \overline{AC} + \overline{BC} \cdot \overline{BA} + \overline{CA} \cdot \overline{CB}$.
અહીં $\triangle ABC$ એ $C$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી $\overline{CA} \cdot \overline{CB} = 0$ થાય કારણ કે $\overline{CA} \perp \overline{CB}$.
હવે,સદિશ સરવાળાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\overline{BC} = \overline{AC} - \overline{AB}$ હોવાથી:
$\overline{AB} \cdot \overline{AC} + \overline{BC} \cdot \overline{BA} + 0$
$= \overline{AB} \cdot \overline{AC} - \overline{BC} \cdot \overline{AB}$
$= \overline{AB} \cdot (\overline{AC} - \overline{BC})$
$= \overline{AB} \cdot (\overline{AC} + \overline{CB})$
$= \overline{AB} \cdot \overline{AB} = |\overline{AB}|^2 = p^2$.

(C) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $(\vec{a} + 3\vec{b})$ એ $(7\vec{a} - 5\vec{b})$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$7(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 21(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 15(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$
$7|\vec{a}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 15|\vec{b}|^2 = 0$
$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \cos \theta$ કિંમતો મૂકતા:
$7(1)^2 + 16 \cos \theta - 15(1)^2 = 0$
$7 + 16 \cos \theta - 15 = 0$
$16 \cos \theta - 8 = 0$
$16 \cos \theta = 8$
$\cos \theta = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
પ્રથમ,$2\vec{a} + \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$2\vec{a} + \vec{b} = 2(\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) + (4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})$
$= (2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}) + (4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})$
$= 6\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$
ત્યારબાદ,$\vec{a} - 2\vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} - 2\vec{b} = (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) - 2(4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})$
$= (\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) - (8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k})$
$= -7\hat{i} + 7\hat{j} - 10\hat{k}$
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(2\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ શોધો:
$= (6\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}) \cdot (-7\hat{i} + 7\hat{j} - 10\hat{k})$
$= (6)(-7) + (4)(7) + (0)(-10)$
$= -42 + 28 + 0$
$= -14$

(B) ધારો કે $\bar{x} = (2, -m, 3m)$ અને $\bar{y} = (1 + m, -2m, 1)$.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય કરતાં મોટો હોવો જોઈએ.
$\bar{x} \cdot \bar{y} > 0$
$2(1 + m) + (-m)(-2m) + (3m)(1) > 0$
$2 + 2m + 2m^2 + 3m > 0$
$2m^2 + 5m + 2 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$2m^2 + 4m + m + 2 > 0$
$2m(m + 2) + 1(m + 2) > 0$
$(2m + 1)(m + 2) > 0$
અહીં બીજ $m = -2$ અને $m = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
ગુણાકાર ધન હોય તે માટે $m$ ની કિંમત $[-2, -\frac{1}{2}]$ અંતરાલની બહાર હોવી જોઈએ.
તેથી,$m < -2$ અથવા $m > -\frac{1}{2}$.

(C) સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$ લખી શકીએ.
$\vec{v} = x(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + y(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (x+y)\hat{i} + (x-y)\hat{j} + (x+y)\hat{k}$.
$\vec{v}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\vec{v} \cdot \vec{c} = ((x+y)\hat{i} + (x-y)\hat{j} + (x+y)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (x+y) + (x-y) - (x+y) = x - y$.
આમ,$x - y = 1$.
આ શરત મુજબ વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(C) સદિશ $\bar{r}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ના સમતલમાં હોવાથી,$\bar{r} = \bar{b} + m\bar{c}$ લખી શકાય,જ્યાં $m \in \mathbb{R}$.
આપેલા સદિશો મૂકતા: $\bar{r} = (\bar{i} + 2\bar{j} - \bar{k}) + m(\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k}) = (1+m)\bar{i} + (2+m)\bar{j} - (1+2m)\bar{k}$.
$\bar{r}$ નો $\bar{a}$ પરના પ્રક્ષેપનું માન $\frac{|\bar{r} \cdot \bar{a}|}{|\bar{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ છે.
$|\bar{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ મળે.
તેથી,$\frac{|2(1+m) - (2+m) - (1+2m)|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
$|2 + 2m - 2 - m - 1 - 2m| = 2$.
$|-m - 1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $m+1 = 2$ અથવા $m+1 = -2$.
કિસ્સો $1$: $m = 1$. તો $\bar{r} = 2\bar{i} + 3\bar{j} - 3\bar{k}$.
કિસ્સો $2$: $m = -3$. તો $\bar{r} = -2\bar{i} - \bar{j} + 5\bar{k}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો સદિશ $-2\bar{i} - \bar{j} + 5\bar{k}$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $P = -2b + 3c$,$Q = 2a + mb - 4c$ અને $R = -7b + 10c$ છે.
બિંદુઓ $P, Q, R$ સમરેખ હોવા માટે,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{PR}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{PQ} = Q - P = 2a + (m + 2)b - 7c$.
$\vec{PR} = R - P = -5b + 7c$.
જો આપણે ધારીએ કે પ્રથમ બિંદુ $a - 2b + 3c$ છે,તો $B-A = a+(m+2)b-7c$ અને $C-A = -a-5b+7c$ મળે.
બંને સમાંતર હોવા માટે,$B-A = -1(C-A)$ થવું જોઈએ.
તેથી,$a+(m+2)b-7c = a+5b-7c$.
સરખાવતા,$m+2 = 5$,એટલે કે $m = 3$.

(D) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19$ મેળવો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{19}{9}$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $p\vec{r} + (\vec{r} \cdot \vec{b})\vec{a} = \vec{c}$ છે.
અહીં $\vec{a} \perp \vec{b}$ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણનો $\vec{b}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$p(\vec{r} \cdot \vec{b}) + (\vec{r} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{b}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ હોવાથી,$p(\vec{r} \cdot \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{b}$ મળે,એટલે કે $\vec{r} \cdot \vec{b} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p}$.
હવે,આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$p\vec{r} + \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p} \right)\vec{a} = \vec{c}$.
$p\vec{r} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p} \right)\vec{a}$.
બંને બાજુ $p$ વડે ભાગતા,$\vec{r} = \frac{\vec{c}}{p} - \left( \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{p^2} \right)\vec{a}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(x) + (1)(y) + (1)(z) = x + y + z$ થાય.
આપણને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$ આપેલ છે,તેથી $x + y + z = 10$.
અહીં $x, y, z \in \mathbb{N}$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ,જ્યાં $x, y, z \ge 1$) હોવાથી,આપણે સમીકરણ $x_1 + x_2 + \dots + x_k = n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે $\binom{n-1}{k-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં $n = 10$ અને $k = 3$ છે.
ઉકેલોની સંખ્યા = $\binom{10-1}{3-1} = \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 3i + 2j + 8k$ અને $\vec{b} = 2i + xj + k$ છે.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(3i + 2j + 8k) \cdot (2i + xj + k) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(3)(2) + (2)(x) + (8)(1) = 0$.
$6 + 2x + 8 = 0$.
$2x + 14 = 0$.
$2x = -14$.
$x = -7$.

(A) અહીં આપેલા સદિશો $\vec{a} = (1, 1, 1)$ અને $\vec{b} = (2, 2, 1)$ છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{પ્રક્ષેપ સદિશ} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (1)(2) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$
હવે,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો:
$|\vec{b}|^2 = 2^2 + 2^2 + 1^2 = 4 + 4 + 1 = 9$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{પ્રક્ષેપ સદિશ} = \left( \frac{5}{9} \right) (2, 2, 1) = \frac{5}{9}(2, 2, 1)$

(A) એ $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $c = xa + yb$ લખી શકીએ.
સદિશોની કિંમત મૂકતા: $c = x(2i + j + k) + y(i + 2j - k) = (2x + y)i + (x + 2y)j + (x - y)k$.
આપેલ છે કે $c$ એ $a$ ને લંબ છે,તેથી $a \cdot c = 0$.
$2(2x + y) + 1(x + 2y) + 1(x - y) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$y = -2x$ ને $c$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$c = (2x - 2x)i + (x - 4x)j + (x + 2x)k = -3xj + 3xk = 3x(-j + k)$.
$c$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|c| = 1$.
$|3x(-j + k)| = 1 \implies |3x| \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 1 \implies |3x| \sqrt{2} = 1$.
$|x| = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
આમ,$c = 3(\pm \frac{1}{3\sqrt{2}})(-j + k) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|2\vec{a} - \vec{b}| = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|2\vec{a} - \vec{b}|^2 = 25$.
$4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$|\vec{a}| = 2$ અને $|\vec{b}| = 3$ મૂકતા: $4(4) + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25$.
$16 + 9 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies 25 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 25 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
હવે,$|2\vec{a} + \vec{b}|^2 = 4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 16 + 9 + 0 = 25$.
તેથી,$|2\vec{a} + \vec{b}| = 5$. આમ,વિધાન $A$ સાચું છે.
કારણ $R$ માટે,$|\vec{p} - \vec{q}| = |\vec{p} + \vec{q}|$ નો અર્થ છે કે $|\vec{p} - \vec{q}|^2 = |\vec{p} + \vec{q}|^2$.
$|\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 - 2(\vec{p} \cdot \vec{q}) = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 + 2(\vec{p} \cdot \vec{q}) \implies 4(\vec{p} \cdot \vec{q}) = 0 \implies \vec{p} \cdot \vec{q} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{p} \perp \vec{q}$. કારણ કે આ કારણ સરવાળા અને તફાવત સદિશોના માન સમાન હોવાની શરતને યોગ્ય રીતે સમજાવે છે,તેથી $R$ સાચું છે અને તે $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનો વર્ગ કરતા,આપણને $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ મળે છે.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેનો વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$ મળે છે.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = (\vec{a} \cdot \vec{a}) (\vec{b} \cdot \vec{b})$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ મેળવો.
તેથી,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{19}{9}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = (1)(1) \cos \theta = \cos \theta$,તેથી:
$|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \theta = 2 - 2 \cos \theta = 2(1 - \cos \theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a - b|^2 = 2(2 \sin^2(\theta/2)) = 4 \sin^2(\theta/2)$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|a - b| = 2 \sin(\theta/2)$ મળે છે.
તેથી,$\sin(\theta/2) = \frac{1}{2}|a - b|$.

(D) સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોવા માટે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$
$(-3\hat{i} + x\hat{j} + \hat{k}) \cdot (x\hat{i} + 2x\hat{j} + \hat{k}) > 0$
$-3x + 2x^2 + 1 > 0$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$
$(2x - 1)(x - 1) > 0$
આથી $x < 1/2$ અથવા $x > 1$ મળે.
$\vec{b}$ અને $x$-અક્ષ $(\hat{i})$ વચ્ચેનો ખૂણો $\pi/2$ અને $\pi$ ની વચ્ચે હોવા માટે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ:
$\vec{b} \cdot \hat{i} < 0$
$(x\hat{i} + 2x\hat{j} + \hat{k}) \cdot \hat{i} < 0$
$x < 0$
આમ,$x < 1/2$ અથવા $x > 1$ અને $x < 0$ નો છેદ લેતા,આપણને $x < 0$ મળે છે.

(D) $xy$-સમતલમાં એકમ સદિશ $\vec{u} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ ધારો.
આપેલ છે કે $\vec{u}$ એ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\vec{u}$ અને $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos 45^{\circ} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{a}}{|\vec{u}| |\vec{a}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\cos \theta + \sin \theta}{1 \cdot \sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta + \sin \theta = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = 1$,તેથી $\sin 2\theta = 0$,એટલે કે $\theta = 0$ અથવા $\theta = 90^{\circ}$.
જો $\theta = 0$,તો $\vec{u} = \hat{i}$. જો $\theta = 90^{\circ}$,તો $\vec{u} = \hat{j}$.
હવે,$\vec{b} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$ સાથેનો ખૂણો તપાસો.
$\vec{u} = \hat{i}$ માટે,$\cos \phi = \frac{\hat{i} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j})}{1 \cdot 5} = \frac{3}{5} \neq \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\vec{u} = \hat{j}$ માટે,$\cos \phi = \frac{\hat{j} \cdot (3\hat{i} - 4\hat{j})}{1 \cdot 5} = \frac{-4}{5} \neq \frac{1}{2}$.
આમ,કોઈ પણ સદિશ બીજી શરતનું પાલન કરતું નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આપેલ પૈકી એકપણ નહિ' છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(2) + (3)(-1) + (1)(-1) = 4 - 3 - 1 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,બંને સદિશો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) ધારો કે $(a + b)$ અને $a$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1$ છે,અને $(a + b)$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2$ છે. આપેલ છે કે $\theta_1 = \theta_2$,તેથી $\cos \theta_1 = \cos \theta_2$.
$\frac{(a + b) \cdot a}{|a + b| |a|} = \frac{(a + b) \cdot b}{|a + b| |b|}$
$\Rightarrow \frac{|a|^2 + b \cdot a}{|a + b| |a|} = \frac{a \cdot b + |b|^2}{|a + b| |b|}$
$\Rightarrow \frac{|a|^2}{|a + b| |a|} + \frac{b \cdot a}{|a + b| |a|} = \frac{a \cdot b}{|a + b| |b|} + \frac{|b|^2}{|a + b| |b|}$
$\Rightarrow \frac{|a|}{|a + b|} + \frac{a \cdot b}{|a + b| |a|} = \frac{a \cdot b}{|a + b| |b|} + \frac{|b|}{|a + b|}$
$\Rightarrow \frac{|a| - |b|}{|a + b|} + \frac{a \cdot b}{|a + b|} \left( \frac{1}{|a|} - \frac{1}{|b|} \right) = 0$
$\Rightarrow \frac{|a| - |b|}{|a + b|} + \frac{a \cdot b}{|a + b|} \left( \frac{|b| - |a|}{|a| |b|} \right) = 0$
$\Rightarrow (|a| - |b|) \left( \frac{1}{|a + b|} - \frac{a \cdot b}{|a + b| |a| |b|} \right) = 0$
$\Rightarrow (|a| - |b|) \left( 1 - \frac{a \cdot b}{|a| |b|} \right) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $|a| = |b|$ અથવા $\frac{a \cdot b}{|a| |b|} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta = 1$,તેથી $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ છે.

(C) બળયુગ્મની ચાકમાત્રા $\vec{\tau} = (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{r}_1$ અને $\vec{r}_2$ એ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો છે.
અહીં $\vec{r}_1 = 5\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{r}_2 = -5\hat{i} - \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{r} = \vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (5\hat{i} + \hat{k}) - (-5\hat{i} - \hat{k}) = 10\hat{i} + 2\hat{k}$.
બળ $\vec{F} = 9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ લેતા,
$\vec{\tau} = (10\hat{i} + 2\hat{k}) \times (9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
$= 10\hat{i} \times (9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + 2\hat{k} \times (9\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$
$= 0 - 10\hat{k} + 20\hat{j} + 18\hat{j} + 2\hat{i} + 0$
$= 2\hat{i} + 38\hat{j} - 10\hat{k}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x)(2x) + (-3)(x) + (-1)(-1) = 2x^2 - 3x + 1 > 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x - 1)(x - 1) > 0$.
આ અસમતા $x < 1/2$ અથવા $x > 1$ માટે સાચી છે.
જ્યારે સદિશ $\vec{b}$ અને $y$-અક્ષ $(\hat{j})$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ: $\vec{b} \cdot \hat{j} < 0$.
$\vec{b} \cdot \hat{j} = (2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{j} = x < 0$.
બંને શરતોને જોડતા: $(x < 1/2 \text{ અથવા } x > 1)$ અને $(x < 0)$.
આ ગણનો છેદગણ $x < 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે સદિશોનું મૂલ્ય $|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\vec{r}| = a$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{q} \cdot \vec{r} = \vec{r} \cdot \vec{p} = 0$ થાય.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{p} + \vec{q} + \vec{r}$ છે.
આપણે $\vec{p}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવો છે.
ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{p} \cdot \vec{v}}{|\vec{p}| |\vec{v}|}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{p} \cdot \vec{v} = \vec{p} \cdot (\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) = \vec{p} \cdot \vec{p} + \vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{p} \cdot \vec{r} = |\vec{p}|^2 + 0 + 0 = a^2$ ગણો.
ત્યારબાદ,$|\vec{v}|^2 = (\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) \cdot (\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) = |\vec{p}|^2 + |\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 + 2(\vec{p} \cdot \vec{q} + \vec{q} \cdot \vec{r} + \vec{r} \cdot \vec{p}) = a^2 + a^2 + a^2 + 0 = 3a^2$ ગણો.
તેથી,$|\vec{v}| = \sqrt{3}a$ મળે.
હવે,$\cos \theta = \frac{a^2}{a \cdot (\sqrt{3}a)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/\sqrt{3})$.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = cx\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = x\hat{i} + 2\hat{j} + 2cx\hat{k}$ છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
$(cx\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (x\hat{i} + 2\hat{j} + 2cx\hat{k}) < 0$
$cx^2 - 12 + 6cx < 0$
આમ,$cx^2 + 6cx - 12 < 0$ એ બધા વાસ્તવિક $x$ માટે સાચું હોવું જોઈએ.
કોઈ દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C < 0$ બધા $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $x^2$ નો સહગુણક $A < 0$ અને વિવેચક $D < 0$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = c < 0$.
વિવેચક $D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0$.
$36c^2 + 48c < 0$.
$12$ વડે ભાગતા: $3c^2 + 4c < 0$.
$c(3c + 4) < 0$.
આ અસમતા $-4/3 < c < 0$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $-4/3 < c < 0$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
$\vec{a} + 2\vec{b}$ અને $5\vec{a} - 4\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ થાય.
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$
$5|\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 8|\vec{b}|^2 = 0$
$5(1) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1) = 0$
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3 = 0$
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^\circ$.

(B) આપેલ છે કે $(3\vec{a} - 5\vec{b}) \cdot (2\vec{a} + \vec{b}) = 0$.
$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$
$6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad \dots(i)$
તે જ રીતે,$(\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (-\vec{a} + \vec{b}) = 0$.
$-|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$
$|\vec{a}|^2 - 4|\vec{b}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ માંથી $\vec{a} \cdot \vec{b}$ નો લોપ કરતા,સમીકરણ $(ii)$ ને $7$ વડે અને $(i)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 - 21\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 28|\vec{b}|^2 + 21\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $25|\vec{a}|^2 - 43|\vec{b}|^2 = 0 \implies |\vec{a}|^2 = \frac{43}{25}|\vec{b}|^2 \implies |\vec{a}| = \frac{\sqrt{43}}{5}|\vec{b}|$.
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75}|\vec{b}|^2 = \frac{57}{75}|\vec{b}|^2 = \frac{19}{25}|\vec{b}|^2$.
હવે,$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\frac{19}{25}|\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5}|\vec{b}|)|\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$ અને $|\vec{c}| = 7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec a \perp (\vec b + \vec c)$,$\vec b \perp (\vec c + \vec a)$ અને $\vec c \perp (\vec a + \vec b)$.
આનો અર્થ એ છે કે ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય છે:
$\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 0 \Rightarrow \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c = 0$
$\vec b \cdot (\vec c + \vec a) = 0 \Rightarrow \vec b \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec a = 0$
$\vec c \cdot (\vec a + \vec b) = 0 \Rightarrow \vec c \cdot \vec a + \vec c \cdot \vec b = 0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec c = \vec c \cdot \vec a = 0$.
હવે,$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + |\vec c|^2 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a)$ ધ્યાનમાં લો.
આપેલ મૂલ્યો અને ડોટ પ્રોડક્ટની કિંમતો મૂકતા:
$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(0) = 1 + 4 + 9 = 14$.
તેથી,$|\vec a + \vec b + \vec c| = \sqrt{14}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(3, -4, -4)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$|\vec{AB}| = |(1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k}| = |-\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$|\vec{BC}| = |(3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k}| = |2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{CA}| = |(2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k}| = |-\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
અહીં $|\vec{AB}|^2 = 41$ અને $|\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 6 + 35 = 41$ હોવાથી,$|\vec{AB}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2$ થાય છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(D) સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે $\vec{a} = x\vec{b} + y\vec{c}$ લખી શકીએ.
$\vec{a} = x(\hat{i} + \hat{j}) + y(\hat{j} + \hat{k}) = x\hat{i} + (x+y)\hat{j} + y\hat{k}$.
આને $\vec{a} = \alpha \hat{i} + 2\hat{j} + \beta \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \alpha$,$y = \beta$,અને $x+y = 2$ મળે છે,તેથી $\alpha + \beta = 2$.
સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દ્વિભાજતો હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
$\hat{b} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ અને $\hat{c} = \frac{\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$.
$\hat{b} + \hat{c} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.
આમ,$\vec{a} = k(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$ કોઈ અચળાંક $k$ માટે.
સહગુણકોને સરખાવતા,$\alpha = k$,$2 = 2k$,અને $\beta = k$ મળે છે.
$2 = 2k$ પરથી,$k = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = 1$ અને $\beta = 1$.

(D) ધારો કે સમગુણોત્તર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $R$ છે. તો પદો નીચે મુજબ મળે:
$a = AR^{p-1}$,$b = AR^{q-1}$,$c = AR^{r-1}$.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા:
$\log a = \log A + (p-1)\log R$
$\log b = \log A + (q-1)\log R$
$\log c = \log A + (r-1)\log R$
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (\log a)(q-r) + (\log b)(r-p) + (\log c)(p-q)$ ધ્યાનમાં લો.
$\log a$,$\log b$ અને $\log c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = [\log A + (p-1)\log R](q-r) + [\log A + (q-1)\log R](r-p) + [\log A + (r-1)\log R](p-q)$
$= \log A(q-r+r-p+p-q) + \log R[(p-1)(q-r) + (q-1)(r-p) + (r-1)(p-q)]$
$= \log A(0) + \log R[pq - pr - q + r + qr - qp - r + p + rp - rq - p + q]$
$= 0 + \log R(0) = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$P$ ($\overline{BC}$ નું મધ્યબિંદુ) નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$ છે.
$Q$ ($\overline{AD}$ નું મધ્યબિંદુ) નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2}$ છે.
હવે,$\vec{AB} + \vec{DC}$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$\vec{AB} + \vec{DC} = (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{d})$
$= (\vec{b} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{d})$
$= 2 \left( \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} \right) - 2 \left( \frac{\vec{a} + \vec{d}}{2} \right)$
$= 2(\vec{p} - \vec{q})$
$= 2\vec{QP}$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,માન શોધો: $|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{AD}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
ધારો કે $\vec{AB}$ અને $\vec{AD}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો $\cos \alpha = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AB}| |\vec{AD}|} = \frac{(2)(-1) + (10)(2) + (11)(2)}{15 \times 3} = \frac{-2 + 20 + 22}{45} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
કારણ કે $\vec{AD'}$ એ $\vec{AD}$ ને $\theta$ ખૂણે ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે જેથી $\vec{AD'} \perp \vec{AB}$,તેથી $\vec{AD'}$ અને $\vec{AB}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
$\vec{AD}$ અને $\vec{AD'}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તેથી,$\theta = |\alpha - 90^\circ|$ અથવા $\theta = |90^\circ - \alpha|$.
તેથી,$\cos \theta = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.
$\cos \alpha = 8/9$ હોવાથી,$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \sqrt{1 - 64/81} = \sqrt{17/81} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $A$ પર છે. તેથી $\vec{A} = \vec{0}$,$\vec{B} = \vec{q}$,અને $\vec{D} = \vec{p}$.
ધારો કે $M$ એ $B$ માંથી $AD$ રેખા પરના વેધનો લંબપાદ છે. $M$ એ $AD$ રેખા પર હોવાથી,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{AM} = k\vec{p}$ થાય.
સદિશ $\vec{BM}$ એ $\vec{AD}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{BM} \cdot \vec{AD} = 0$.
$\vec{BM} = \vec{AM} - \vec{AB} = k\vec{p} - \vec{q}$ હોવાથી,$(k\vec{p} - \vec{q}) \cdot \vec{p} = 0$ મળે.
$k(\vec{p} \cdot \vec{p}) - \vec{q} \cdot \vec{p} = 0$,જે આપણને $k = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{\vec{p} \cdot \vec{p}}$ આપે છે.
સદિશ $\vec{r}$ એ વેધ સદિશ $\vec{BM} = k\vec{p} - \vec{q} = \frac{(\vec{p} \cdot \vec{q})}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \vec{p} - \vec{q}$ છે.
આમ,$\vec{r} = -\vec{q} + \frac{(\vec{p} \cdot \vec{q})}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \vec{p}$.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 24\hat{k}$.
ચાલો વિકલ્પ $B$ માટે અદિશ ગુણાકાર ચકાસીએ: $\vec{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (-6)(5) + (-24)(-1) = 6 - 30 + 24 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશ $2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે.

(B) ધારો કે ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક $BC$ ને $D$ બિંદુમાં મળે છે. ખૂણાના દ્વિભાજકના પ્રમેય મુજબ,$D$ એ $BC$ નું $AB : AC$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
આપેલ સ્થાન સદિશો: $\vec{A} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{C} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$.
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
માન (Magnitude) શોધો:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
ગુણોત્તર $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{D} = \frac{1(\vec{B}) + 2(\vec{C})}{1+2} = \frac{(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + 2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k})}{3}$.
$\vec{D} = \frac{6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k})$.

(D) જ્યારે સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + (\log_3 x)\hat{j} + a\hat{k}$ અને $\vec{b} = -3\hat{i} + (a \log_3 x)\hat{j} + (\log_3 x)\hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2)(-3) + (\log_3 x)(a \log_3 x) + (a)(\log_3 x) > 0$.
$-6 + a(\log_3 x)^2 + a(\log_3 x) > 0$.
ધારો કે $y = \log_3 x$. કારણ કે $x > 0$,તેથી $y$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત $y \in \mathbb{R}$ લઈ શકે છે.
અસમતા $ay^2 + ay - 6 > 0$ બને છે જે તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે સાચી હોવી જોઈએ.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ay^2 + By + C > 0$ તમામ $y \in \mathbb{R}$ માટે સાચું હોય તે માટે $A > 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC < 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$A = a$,$B = a$,અને $C = -6$.
શરત $1$: $a > 0$.
શરત $2$: $D = a^2 - 4(a)(-6) = a^2 + 24a < 0$.
$a(a + 24) < 0$ ઉકેલતા $a \in (-24, 0)$ મળે છે.
$a > 0$ અને $a \in (-24, 0)$ ને જોડતા,$a$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે બંને શરતોનું પાલન કરે. તેથી,એવું કોઈ $a$ શક્ય નથી.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$. તેઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આપેલ છે કે $\bar{c}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\bar{c}| = 1$. $\bar{c}$ અને $\bar{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી $\bar{c} \cdot \bar{a} = |\bar{c}||\bar{a}| \cos \theta = \cos \theta$.
$\bar{c} = \alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})$ મૂકતા:
$\bar{c} \cdot \bar{a} = (\alpha \bar{a} + \beta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})) \cdot \bar{a} = \alpha |\bar{a}|^2 + \beta (\bar{b} \cdot \bar{a}) + r((\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a}) = \alpha(1) + \beta(0) + r(0) = \alpha$.
આમ,$\alpha = \cos \theta$.
તે જ રીતે,$\bar{c} \cdot \bar{b} = \beta = \cos \theta$.
હવે,$\bar{c} = \cos \theta \bar{a} + \cos \theta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})$.
કારણ કે $|\bar{c}|^2 = 1$,આપણને મળે:
$|\cos \theta \bar{a} + \cos \theta \bar{b} + r(\bar{a} \times \bar{b})|^2 = 1$.
$\bar{a}, \bar{b}, (\bar{a} \times \bar{b})$ પરસ્પર લંબ હોવાના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta |\bar{a}|^2 + \cos^2 \theta |\bar{b}|^2 + r^2 |\bar{a} \times \bar{b}|^2 = 1$.
કારણ કે $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin 90^\circ = 1$,આપણને મળે:
$\cos^2 \theta + \cos^2 \theta + r^2(1) = 1$.
$2 \cos^2 \theta + r^2 = 1$.
$r^2 = 1 - 2 \cos^2 \theta = - (2 \cos^2 \theta - 1) = - \cos 2\theta$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = (x, -3, -1)$ અને $\bar{b} = (2x, x, -1)$.
$1$. $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ છે,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} > 0$.
$(x)(2x) + (-3)(x) + (-1)(-1) > 0$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$
$(2x - 1)(x - 1) > 0$
આથી $x < 1/2$ અથવા $x > 1$ મળે. ... $(1)$
$2$. $\bar{b}$ અને $y$-અક્ષ (સદિશ $\bar{j} = (0, 1, 0)$) વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ છે,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{j} < 0$.
$(2x, x, -1) \cdot (0, 1, 0) < 0$
$0 + x + 0 < 0$
$x < 0$. ... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,સામાન્ય ઉકેલ $x < 0$ મળે છે.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ હોય તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$.
અહીં,$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ અને $\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})|$.
સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$,$-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$,અને $-\vec{a} \times \vec{c} = \vec{c} \times \vec{a}$,તેથી:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.