Vector triple product Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $v = (a \times b) \times c$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $v = (a \times b) \times c$ એ સદિશો $a$ અને $b$ ધરાવતા સમતલમાં આવેલો છે.
વળી,ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $v = (a \times b) \times c$ એ સદિશ $c$ ને લંબ છે.
તેથી,વિધાન '$(a \times b) \times c$ એ $c$ ને લંબ છે' તે સત્ય છે.

(C) સદિશ $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોય તેવા સદિશને $a$ અને $b$ ના રૈખિક સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપણે એવો સદિશ $r$ શોધી રહ્યા છીએ જે $c$ ને લંબ હોય અને $a$ તથા $b$ ના સમતલમાં હોય.
સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્ર મુજબ,$c \times (a \times b) = (c \cdot b)a - (c \cdot a)b$.
આ પરિણામી સદિશ સ્પષ્ટપણે $a$ અને $b$ નું રૈખિક સંયોજન છે,જેનો અર્થ છે કે તે $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય છે.
વધુમાં,સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,સદિશ $c \times (a \times b)$ એ $c$ ને લંબ છે.
એકમ સદિશ મેળવવા માટે,આપણે આ સદિશને તેના માન વડે ભાગીએ છીએ: $\frac{c \times (a \times b)}{|c \times (a \times b)|}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(C) ધારો કે $a = xi + yj + zk.$
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ સૂત્ર $A \times (B \times C) = B(A \cdot C) - C(A \cdot B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
$i \times (a \times i) = a(i \cdot i) - i(a \cdot i) = a - xi.$
તે જ રીતે,$j \times (a \times j) = a(j \cdot j) - j(a \cdot j) = a - yj.$
અને $k \times (a \times k) = a(k \cdot k) - k(a \cdot k) = a - zk.$
આ પદોનો સરવાળો કરતા:
$u = (a - xi) + (a - yj) + (a - zk)$
$u = 3a - (xi + yj + zk)$
કારણ કે $a = xi + yj + zk,$
$u = 3a - a = 2a.$

(C) સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આ સદિશ બીજગણિતનું એક પ્રમાણિત પરિણામ છે,જેને ઘણીવાર $BAC-CAB$ નિયમ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(A) સદિશ ત્રિગુણનનું સૂત્ર $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$a \cdot c = (3)(1) + (-1)(-2) + (2)(2) = 3 + 2 + 4 = 9.$
$b \cdot c = (2)(1) + (1)(-2) + (-1)(2) = 2 - 2 - 2 = -2.$
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$(a \times b) \times c = 9(2i + j - k) - (-2)(3i - j + 2k)$
$= (18i + 9j - 9k) + (6i - 2j + 4k)$
$= (18 + 6)i + (9 - 2)j + (-9 + 4)k$
$= 24i + 7j - 5k$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
સદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{1}{2}b$,તેથી $(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{2}b$.
$b$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા (ધારી લો કે $b$ અને $c$ અસમરેખ છે),આપણને મળે છે:
$a \cdot c = \frac{1}{2}$ અને $a \cdot b = 0$.
$a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta_1$ માટે: $\cos \theta_1 = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = 0 \implies \theta_1 = 90^\circ$.
$a$ અને $c$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta_2$ માટે: $\cos \theta_2 = \frac{a \cdot c}{|a||c|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2} \implies \theta_2 = 60^\circ$.
આમ,ખૂણાઓ અનુક્રમે $90^\circ$ અને $60^\circ$ છે.

(D) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $i \times (j \times k) = (i \cdot k)j - (i \cdot j)k = (0)j - (0)k = 0$.
$2$. $j \times (k \times i) = (j \cdot i)k - (j \cdot k)i = (0)k - (0)i = 0$.
$3$. $k \times (i \times i) = k \times 0 = 0$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $0 + 0 + 0 = 0$.

(B) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
આપેલ છે કે $a \perp b$,તેથી $a \cdot b = 0$.
આપેલ છે કે $a \parallel c$ અને $a, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $a \cdot c = \pm 1$. જો $a$ અને $c$ સમાન દિશામાં હોય તો $a \cdot c = 1$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$a \times (b \times c) = (1)b - (0)c = b$.

(B) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરો:
$a \cdot c = (i + j - k) \cdot (i - j - k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$a \cdot b = (i + j - k) \cdot (i - j + k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$a \times (b \times c) = (1)b - (-1)c = b + c$.
અંતે,સદિશો $b$ અને $c$ નો સરવાળો કરો:
$b + c = (i - j + k) + (i - j - k) = (1+1)i + (-1-1)j + (1-1)k = 2i - 2j$.

(A) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
દરેક પદ માટે આ લાગુ કરતા:
$1. \, a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$
$2. \, b \times (c \times a) = (b \cdot a)c - (b \cdot c)a$
$3. \, c \times (a \times b) = (c \cdot b)a - (c \cdot a)b$
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
સરવાળો $= [(a \cdot c)b - (a \cdot b)c] + [(b \cdot a)c - (b \cdot c)a] + [(c \cdot b)a - (c \cdot a)b]$
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ ક્રમનો નિયમ પાળે છે ($a \cdot b = b \cdot a$,વગેરે),આપણે પદોને જૂથબદ્ધ કરી શકીએ છીએ:
સરવાળો $= (a \cdot c)b - (c \cdot a)b + (b \cdot a)c - (a \cdot b)c + (c \cdot b)a - (b \cdot c)a$
સરવાળો $= 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ અને $(a \times b) \times c = -(c \times (a \times b)) = -((c \cdot b)a - (c \cdot a)b) = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$
બંને બાજુથી $(a \cdot c)b$ બાદ કરતા:
$-(a \cdot b)c = -(b \cdot c)a$
પદોને ગોઠવતા:
$(b \cdot c)a - (a \cdot b)c = 0$
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $b \times (a \times c) = (b \cdot c)a - (b \cdot a)c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આ પદ નીચે મુજબ છે:
$b \times (a \times c) = 0$.

(D) $(a \times b) \times (c \times d)$ માટે સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$(a \times b) \times (c \times d) = [a, b, d]c - [a, b, c]d$.
કારણ કે $a, b, c, d$ સમતલીય સદિશો છે,તેથી આમાંથી પસંદ કરેલા કોઈપણ ત્રણ સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થશે.
તેથી,$[a, b, d] = 0$ અને $[a, b, c] = 0$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(a \times b) \times (c \times d) = (0)c - (0)d = 0$.

(D) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $u \times (v \times w) = (u \cdot w) v - (u \cdot v) w$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પહેલા અંદરના પદ $(a \times (a \times b))$ ને સરળ બનાવીએ:
$a \times (a \times b) = (a \cdot b) a - (a \cdot a) b$
હવે,આને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં મૂકો:
$a \times [a \times (a \times b)] = a \times [(a \cdot b) a - (a \cdot a) b]$
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને:
$= (a \cdot b) (a \times a) - (a \cdot a) (a \times b)$
કારણ કે $a \times a = 0$:
$= (a \cdot b) (0) - (a \cdot a) (a \times b)$
$= -(a \cdot a) (a \times b)$
$= (a \cdot a) (b \times a)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a \times (b \times c) = \frac{b + c}{\sqrt{2}}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = \frac{1}{\sqrt{2}}b + \frac{1}{\sqrt{2}}c$.
$a, b, c$ અસમતલીય હોવાથી,$b$ અને $c$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. $b$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$a \cdot c = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $-(a \cdot b) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow a \cdot b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$a$ અને $b$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
ધારો કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\varphi$ છે. તેથી $a \cdot b = |a||b| \cos \varphi = \cos \varphi$.
આમ,$\cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
જેથી $\varphi = \frac{3\pi}{4}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{\bar{b}}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્ર મુજબ,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
તેથી,$(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c} = \frac{1}{2}\bar{b} + 0\bar{c}$.
અહીં $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}$ અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
$\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1$ છે,તો $\cos \theta_1 = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}||\bar{b}|} = \frac{0}{1 \times 1} = 0$,તેથી $\theta_1 = 90^{\circ}$.
ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2$ છે,તો $\cos \theta_2 = \frac{\bar{a} \cdot \bar{c}}{|\bar{a}||\bar{c}|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta_2 = 60^{\circ}$.
આમ,ખૂણાઓ $90^{\circ}$ અને $60^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{x} = (\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} = ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c})\vec{a} - ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a})\vec{c}$.
હવે,$\vec{x} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ પદને ધ્યાનમાં લો.
નિત્યસમ $\vec{v} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{v} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{v} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{x} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{x} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
$(\vec{b} + \vec{c})$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$[\vec{x} \times (\vec{b} \times \vec{c})] \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = ((\vec{x} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{x} \cdot \vec{b})\vec{c}) \cdot (\vec{b} + \vec{c})$
$= (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) + (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{c} \cdot \vec{b}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{c} \cdot \vec{c})$.
અહીં $|\vec{b}| = |\vec{c}|$ હોવાથી,$\vec{b} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{c}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,પદ $= (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{b}) + (\vec{x} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{x} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) + 3\vec{b} = \vec{0}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c} + 3\vec{b} = \vec{0}$.
અહીં $|\vec{a}| = \sqrt{3}$,$|\vec{b}| = 1$,$|\vec{c}| = 2$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{a}||\vec{c}|\cos \theta = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \theta = 2\sqrt{3} \cos \theta$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$(2\sqrt{3} \cos \theta)\vec{a} - 3\vec{c} + 3\vec{b} = \vec{0}$.
તેથી,$3\vec{b} = 3\vec{c} - (2\sqrt{3} \cos \theta)\vec{a}$.
બંને બાજુ માનનું વર્ગ લેતા:
$|3\vec{b}|^2 = |3\vec{c} - (2\sqrt{3} \cos \theta)\vec{a}|^2$.
$9|\vec{b}|^2 = 9|\vec{c}|^2 + 12 \cos^2 \theta |\vec{a}|^2 - 2(3)(2\sqrt{3} \cos \theta)(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
$9(1)^2 = 9(2)^2 + 12 \cos^2 \theta (\sqrt{3})^2 - 12\sqrt{3} \cos \theta (2\sqrt{3} \cos \theta)$.
$9 = 36 + 36 \cos^2 \theta - 72 \cos^2 \theta$.
$9 = 36 - 36 \cos^2 \theta$.
$36 \cos^2 \theta = 27$.
$\cos^2 \theta = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

(A) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (2)(3) + (-2)(-1) = 1 + 6 + 2 = 9$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (-2)(1) = 2 - 2 - 2 = -2$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 9(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (-2)(\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k})$.
$= (18\hat{i} - 9\hat{j} + 9\hat{k}) + (2\hat{i} + 6\hat{j} - 2\hat{k})$.
$= (18+2)\hat{i} + (-9+6)\hat{j} + (9-2)\hat{k} = 20\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$.

(B) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$a \cdot c = (i + j - k) \cdot (i - j - k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
$a \cdot b = (i + j - k) \cdot (i - j + k) = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a \times (b \times c) = (1)b - (-1)c = b + c$.
છેલ્લે,સદિશ $b$ અને $c$ નો સરવાળો કરતા:
$b + c = (i - j + k) + (i - j - k) = (1+1)i + (-1-1)j + (1-1)k = 2i - 2j$.

(C) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ નો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $p = b$,$q = c$,અને $r = (c \times a)$.
તેથી,$(b \times c) \times (c \times a) = (b \cdot (c \times a))c - (c \cdot (c \times a))b$.
અહીં $c \cdot (c \times a) = 0$ છે (કારણ કે બે સમાન વેક્ટર સાથેનો સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય છે),તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$(b \cdot (c \times a))c - 0 = [b, c, a]c$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ચક્રીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[b, c, a] = [a, b, c]$.
તેથી,પરિણામ $[a, b, c]c$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$,તેથી $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{c}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (-\vec{c})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$,તેથી સમીકરણ $3\vec{a} - 2\vec{b} = -\vec{a} \times \vec{c}$ બને છે.
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$3\vec{a} - 2\vec{b} = -(-2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$2\vec{b} = 3\vec{a} - (2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3(\hat{j} - \hat{k}) - 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{\sqrt{2}}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
તેથી,$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\vec{c}$.
પદોને ગોઠવતા,$(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{1}{\sqrt{2}})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{\sqrt{2}})\vec{c} = \vec{0}$.
અહીં $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય થશે.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
તેથી,$1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}} \implies \theta = \frac{3\pi}{4}$.

(D) આપેલ સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(\overline{u} \times \overline{v}) \times \overline{w} = (\overline{u} \cdot \overline{w}) \overline{v} - (\overline{v} \cdot \overline{w}) \overline{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a} = \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \overline{a}$.
પદોને ગોઠવતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} = \left( (\overline{b} \cdot \overline{c}) + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| \right) \overline{a}$.
કારણ કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ શુન્યેતર અને સમાંતર નથી,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ અને $(\overline{b} \cdot \overline{c}) + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| = 0$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા $\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}| |\overline{c}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{b}| |\overline{c}| \cos \theta + \frac{1}{3} |\overline{b}| |\overline{c}| = 0$.
$|\overline{b}|$ અને $|\overline{c}|$ શુન્યેતર હોવાથી,$|\overline{b}| |\overline{c}|$ વડે ભાગતા:
$\cos \theta + \frac{1}{3} = 0 \implies \cos \theta = -\frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
$\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો હોવાથી,$0 \le \theta \le \pi,$ તેથી $\sin \theta \ge 0$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) આપેલ સદિશો $a = i + j + k$,$b = i + j$,અને $c = i$ છે.
સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$a \cdot c = (i + j + k) \cdot i = 1$
$b \cdot c = (i + j) \cdot i = 1$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$(a \times b) \times c = (1)b - (1)a = -a + b$.
આપેલ સમીકરણ $(a \times b) \times c = \lambda a + \mu b$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = -1$ અને $\mu = 1$ મળે છે.
તેથી,$\lambda + \mu = -1 + 1 = 0$.

(C) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
અહીં $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (0)\vec{b} - (0)\vec{c} = 0$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ માટે,જો $\vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ હોય,તો $\vec{b} \times \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \sin(90^\circ) \hat{n} = |\vec{b}||\vec{c}| \hat{n} \neq 0$ (જો તેમાંથી કોઈ શૂન્ય સદિશ ન હોય તો).
તેથી,કારણ $(R)$ ખોટું છે.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2 - (-3)) - \hat{j}(-1 - (-6)) + \hat{k}(1 - (-4))$
$= \hat{i}(5) - \hat{j}(5) + \hat{k}(5) = 5\hat{i} - 5\hat{j} + 5\hat{k}$
હવે,$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C}$ શોધો:
$(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -5 & 5 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(10 - 15) - \hat{j}(-10 - 5) + \hat{k}(15 - (-5))$
$= \hat{i}(-5) - \hat{j}(-15) + \hat{k}(20)$
$= -5\hat{i} + 15\hat{j} + 20\hat{k}$
$= 5(-\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})$

(A) સદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$
અને
$(a \times b) \times c = -(c \times (a \times b)) = -((c \cdot b)a - (c \cdot a)b) = (c \cdot a)b - (c \cdot b)a$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(a \cdot c)b - (a \cdot b)c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
બંને બાજુથી $(a \cdot c)b$ બાદ કરતા:
$-(a \cdot b)c = -(b \cdot c)a$.
તેને ફરીથી ગોઠવતા:
$(b \cdot c)a - (a \cdot b)c = 0$.
આ સદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $b \times (a \times c) = 0$ નું વિસ્તરણ છે.

(A) સદિશ $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે અને $\vec{c} \perp \vec{b}$ હોવાથી,$\vec{c}$ એ $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{\alpha} = \vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{b} \cdot \vec{a})\vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = 2^2 + 0^2 + 1^2 = 5$ ગણો.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(-1) + (0)(1) + (1)(1) = -2 + 0 + 1 = -1$ ગણો.
આમ,$\vec{\alpha} = 5(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (-1)(2\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k} + 2\hat{i} + \hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\vec{c} = \lambda \vec{\alpha}$ હોવાથી,$\vec{c} = \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k})$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 7$ આપેલ છે,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot \lambda(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) = 7$.
$\lambda(3 + 5 + 6) = 7 \implies 14\lambda = 7 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\vec{c} = \frac{1}{2}(-3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}) = -\frac{3}{2}\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} + 3\hat{k}$.

(D) સદિશ ત્રિગુણકને $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોઈપણ બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર તે બંને સદિશોને લંબ હોય છે.
ધારો કે $v = (a \times b) \times c$.
અહીં $v$ એ $(a \times b)$ અને $c$ નો સદિશ ગુણાકાર હોવાથી,તે $c$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$v \cdot c = 0$.
આ સાબિત કરે છે કે $(a \times b) \times c$ એ $c$ ને લંબ છે.

(C) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આપેલ સમીકરણ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ માટે,આપણે બંને પદોને સરખાવીએ:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
બંને બાજુથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
અહીં $(\vec{b} \cdot \vec{c})$ અને $(\vec{a} \cdot \vec{b})$ અદિશ હોવાથી,આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે $\vec{a}$ એ $\vec{c}$ નો અદિશ ગુણક છે.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર છે.

(D) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
તે જ રીતે,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
બંને બાજુથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b}$ બાદ કરતા:
$-(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = -(\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આ સૂચવે છે કે $(\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} \neq 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} \neq 0$,આપણે લખી શકીએ કે $\vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{c}} \right) \vec{c}$.
આ દર્શાવે છે કે $\vec{a}$ એ $\vec{c}$ નો અદિશ ગુણાંક છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{d}$.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{d})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{d}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,તેથી સમીકરણ આ મુજબ સરળ બને છે:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = 0 - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d}$.
$\vec{d}$ માટે ગોઠવતા:
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{d} = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} - (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b}$.
$(\vec{a} \cdot \vec{b})$ વડે ભાગતા (જે શૂન્ય નથી કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ લંબ નથી):
$\vec{d} = \vec{c} - \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{\vec{a} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$.

(B) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
આને આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a} = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}| \vec{a}$.
અહીં $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ શૂન્યતર છે અને કોઈ પણ બે સમરેખ નથી,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સમીકરણ સંતોષવા માટે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $-(\vec{b} \cdot \vec{c}) = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-|\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\vec{b}| |\vec{c}|$.
$|\vec{b}| |\vec{c}|$ વડે ભાગતા,આપણને $\cos \theta = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (કારણ કે $\theta \in [0, \pi]$,$\sin \theta \ge 0$).

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\sqrt{3}}{2}(\vec{b} + \vec{c})$,તેથી:
$(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2}\vec{c}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે:
$(\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\sqrt{3}}{2})\vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2})\vec{c}$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર નથી,તેથી સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$\vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{5\pi}{6}$.

(A) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ મુજબ: $(a \times b) \times c = (a \cdot c)b - (b \cdot c)a$.
આપેલ સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $(a \cdot c)b - (b \cdot c)a = \frac{1}{3}|b||c|a$.
પદોને ગોઠવતા: $(a \cdot c)b = (b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c|)a$.
અહીં $a$ અને $b$ શૂન્યતર અને સમાંતર ન હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$a \cdot c = 0$ અને $b \cdot c + \frac{1}{3}|b||c| = 0$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા $b \cdot c = |b||c| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|b||c| \cos \theta + \frac{1}{3}|b||c| = 0$.
$b$ અને $c$ શૂન્યતર હોવાથી,$\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
પ્રશ્નમાં $\theta$ ને લઘુકોણ કહ્યો છે,તેથી $\cos \theta$ નું મૂલ્ય ધન લેતા,$\cos \theta = 1/3$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (1/3)^2} = \sqrt{8/9} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$,અને $\vec{c} = \hat{i}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 1) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(1 - 1) = -\hat{i} + \hat{j}$.
હવે,$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ શોધો:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(0 - 1) = -\hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$-\hat{k} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j})$
$-\hat{k} = (\lambda + \mu)\hat{i} + (\lambda + \mu)\hat{j} + \lambda\hat{k}$.
બંને બાજુ સહગુણકોને સરખાવતા:
$\hat{i}$ માટે: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{j}$ માટે: $\lambda + \mu = 0$.
$\hat{k}$ માટે: $\lambda = -1$.
આમ,$\lambda + \mu = 0$ થાય.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બે બાજુઓ $\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{v} = \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a}) = (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે,$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1$,તેથી $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$.
નોંધો કે $\vec{u}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ છે,અને $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ છે.
ખાસ કરીને,$\vec{u} = \sqrt{3}(\vec{a} \times \vec{b})$ એ $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ ને લંબ છે કારણ કે $\vec{a} \times \vec{b}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે,જ્યારે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં આવેલું છે.
આમ,આ બે બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ ત્રીજી બાજુ અને બાજુ $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\tan \theta = \frac{|\vec{u}|}{|\vec{v}|}$.
$|\vec{u}| = \sqrt{3} |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \phi = \sqrt{3} |\vec{b}| \sin \phi$,જ્યાં $\phi$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$|\vec{v}| = |\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{a})| = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{a}| \sin(90^{\circ}) = |\vec{b}| \sin \phi$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \phi}{|\vec{b}| \sin \phi} = \sqrt{3}$.
આનાથી $\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
ત્રીજો ખૂણો $\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{6}$ છે.
આમ,ખૂણાઓ $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ છે.

(A) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(1) + (1)(1) + (1)(2) = 2 + 1 + 2 = 5$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(2) + (1)(2) = 2 + 2 + 2 = 6$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 5(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 6(\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})$
$= (5-6)\hat{i} + (10-6)\hat{j} + (10-12)\hat{k} = -\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
આને $(1 + \alpha)\hat{i} + \beta(1 + \alpha)\hat{j} + \gamma(1 + \alpha)(1 + \beta)\hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$1 + \alpha = -1 \Rightarrow \alpha = -2$.
$\beta(1 + \alpha) = 4 \Rightarrow \beta(1 - 2) = 4 \Rightarrow -\beta = 4 \Rightarrow \beta = -4$.
$\gamma(1 + \alpha)(1 + \beta) = -2 \Rightarrow \gamma(1 - 2)(1 - 4) = -2 \Rightarrow \gamma(-1)(-3) = -2 \Rightarrow 3\gamma = -2 \Rightarrow \gamma = -\frac{2}{3}$.
આમ,$\alpha = -2, \beta = -4, \gamma = -\frac{2}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{v} \times \vec{b} = \vec{c}$. બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{b} \times (\vec{v} \times \vec{b}) = \vec{b} \times \vec{c}$
સદિશ ત્રિપુટી ગુણાકારના નિયમ $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{b} \cdot \vec{b})\vec{v} - (\vec{b} \cdot \vec{v})\vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$
$|\vec{b}| = 2$ હોવાથી,$|\vec{b}|^2 = 4$. તેથી,$4\vec{v} - (\vec{b} \cdot \vec{v})\vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$.
$\vec{v} \times \vec{b} = \vec{c}$ પરથી,$|\vec{v} \times \vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{v}||\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{3}$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{v}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{v}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{v}| = 1$.
$1 \times 2 \times \sin \theta = \sqrt{3} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \cos \theta = \frac{1}{2}$.
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{v} = |\vec{b}||\vec{v}| \cos \theta = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$4\vec{v} - (1)\vec{b} = \vec{b} \times \vec{c}$
$4\vec{v} = \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c}$
$\vec{v} = \frac{1}{4}(\vec{b} + \vec{b} \times \vec{c})$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{p}| = |\vec{q}| = |\vec{r}| = 1$.
તેઓ $\theta$ ખૂણે સમાન રીતે નમેલા હોવાથી,$\vec{p} \cdot \vec{q} = \vec{q} \cdot \vec{r} = \vec{r} \cdot \vec{p} = \cos \theta$ થાય.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r}) = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{p} \cdot \vec{q})\vec{r} = \cos \theta \vec{q} - \cos \theta \vec{r} = \cos \theta (\vec{q} - \vec{r})$.
માન લેતા,$|\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r})| = |\cos \theta| |\vec{q} - \vec{r}|$.
$\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \theta > 0$.
$|\vec{q} - \vec{r}| = \sqrt{|\vec{q}|^2 + |\vec{r}|^2 - 2(\vec{q} \cdot \vec{r})} = \sqrt{1 + 1 - 2 \cos \theta} = \sqrt{2(1 - \cos \theta)} = \sqrt{4 \sin^2 \left( \frac{\theta}{2} \right)} = 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$.
આમ,$|\vec{p} \times (\vec{q} \times \vec{r})| = \cos \theta \cdot 2 \sin \left( \frac{\theta}{2} \right) = 2 \cos \theta \sin \left( \frac{\theta}{2} \right)$.

(D) ધારો કે $\vec{x} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{y} = \vec{b} \times \vec{c}$,અને $\vec{z} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તેથી પદાવલિ $\vec{x} \times (\vec{y} \times (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}))$ છે.
કારણ કે $\vec{x} + \vec{y} + \vec{z} = (\vec{a} \times \vec{b}) + (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{c} \times \vec{a})$,આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{y} \times \vec{y} = 0$.
તેથી પદાવલિ $\vec{x} \times (\vec{y} \times \vec{x} + \vec{y} \times \vec{z})$ બને છે.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\vec{A} \times (\vec{B} \times \vec{C}) = \vec{B}(\vec{A} \cdot \vec{C}) - \vec{C}(\vec{A} \cdot \vec{B})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{y} \times \vec{z} = (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{c} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$.
$\vec{y} \times \vec{x} = (\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = [\vec{b} \vec{c} \vec{b}] \vec{a} - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] \vec{b} = -[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$.
આમ,પદાવલિ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c} - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{c} - \vec{b}))$ છે.
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} - (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b})$.
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} - ((\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{a}))$.
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] ((\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b} + (|\vec{b}|^2 - \vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a})$.

(D) સદિશ ત્રિગુણન નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\hat{i} \times (\vec{a} \times \hat{i}) = (\hat{i} \cdot \hat{i})\vec{a} - (\hat{i} \cdot \vec{a})\hat{i} = \vec{a} - a_x \hat{i}$.
તે જ રીતે,$\hat{j} \times (\vec{a} \times \hat{j}) = \vec{a} - a_y \hat{j}$ અને $\hat{k} \times (\vec{a} \times \hat{k}) = \vec{a} - a_z \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$.
આ પદાવલિ $|\vec{a} - a_x \hat{i}|^2 + |\vec{a} - a_y \hat{j}|^2 + |\vec{a} - a_z \hat{k}|^2$ છે.
દરેક પદનું વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}|^2 + a_x^2 - 2a_x^2 = |\vec{a}|^2 - a_x^2$,$|\vec{a}|^2 - a_y^2$,અને $|\vec{a}|^2 - a_z^2$.
તેમનો સરવાળો કરતા: $3|\vec{a}|^2 - (a_x^2 + a_y^2 + a_z^2) = 3|\vec{a}|^2 - |\vec{a}|^2 = 2|\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 9$ મૂકતા,આપણને $2 \times 9 = 18$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે.
સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિનું સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a}) \vec{b} = 0 - |\vec{a}|^2 \vec{b} = -|\vec{a}|^2 \vec{b}$.
ત્યારબાદ,$\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))) = \vec{a} \times (\vec{a} \times (-|\vec{a}|^2 \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$= -|\vec{a}|^2 (-|\vec{a}|^2 \vec{b}) = |\vec{a}|^4 \vec{b}$.

(D) આપેલ છે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{v}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં છે,$\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
કારણ કે $\vec{v} \perp \vec{c}$,$\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$. ઉપરાંત,$\vec{v}$ એ સમતલના લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{v}$ એ $\vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ ને સમાંતર છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{v} = \lambda [(\vec{c} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{c} \cdot \vec{a})\vec{b}]$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{c} \cdot \vec{b} = (3)(1) + (2)(2) + (-1)(-1) = 3+4+1 = 8$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (3)(2) + (2)(-1) + (-1)(2) = 6-2-2 = 2$.
તેથી,$\vec{v} = \lambda [8(2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) - 2(\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k})] = \lambda [16 \hat{i}-8 \hat{j}+16 \hat{k} - 2 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}] = \lambda [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}]$.
$\vec{a}$ પર $\vec{v}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 19$ છે.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{v} \cdot \vec{a} = \lambda [14(2) - 12(-1) + 18(2)] = \lambda [28+12+36] = 76\lambda$.
તેથી,$\frac{76\lambda}{3} = 19 \Rightarrow 76\lambda = 57 \Rightarrow \lambda = \frac{57}{76} = \frac{3}{4}$.
આમ,$\vec{v} = \frac{3}{4} [14 \hat{i}-12 \hat{j}+18 \hat{k}] = \frac{3}{2} [7 \hat{i}-6 \hat{j}+9 \hat{k}]$.
$|2\vec{v}|^2 = 4|\vec{v}|^2 = 4 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 \times (14^2 + (-12)^2 + 18^2) = 4 \times \frac{9}{16} \times (196 + 144 + 324) = \frac{9}{4} \times 664 = 9 \times 166 = 1494$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}+\vec{b} = (1-1)\hat{i} + (1+2)\hat{j} + (2+3)\hat{k} = 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ગણો.
હવે,પદાવલિ $E = ((\vec{a} \times((\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b})) \times \vec{b})$ ને સરળ બનાવો.
ગુણધર્મ $(\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$E = ((\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times \vec{b})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}$.
તેથી $E = ((\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b}) \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{a} \times \vec{b})$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(-1) + (1)(2) + (2)(3) = -1 + 2 + 6 = 7$ ગણો.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(3+2) + \hat{k}(2+1) = -\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$ ગણો.
આમ,$E = 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$.
છેલ્લે,$(\vec{a}+\vec{b}) \times E = (3\hat{j} + 5\hat{k}) \times 7(-\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}) = 7 \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & 5 \\ -1 & -5 & 3 \end{vmatrix}$ ગણો.
$= 7 [\hat{i}(9 - (-25)) - \hat{j}(0 - (-5)) + \hat{k}(0 - (-3))] = 7(34\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k})$.

(B) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} = \vec{b} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = 1$,$|\vec{c}| = 2$,અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}| |\vec{c}| \cos \theta = 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta = 2 \cos \theta$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\vec{a} = (2 \cos \theta) \vec{b} - (1)^2 \vec{c} = 2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}$.
હવે,$|\vec{a}|^2 = |2 \cos \theta \vec{b} - \vec{c}|^2 = (2 \cos \theta)^2 |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(2 \cos \theta) (\vec{b} \cdot \vec{c})$ ની ગણતરી કરો.
$|\vec{a}|^2 = 4 \cos^2 \theta (1) + 4 - 4 \cos \theta (2 \cos \theta) = 4 \cos^2 \theta + 4 - 8 \cos^2 \theta = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
કારણ કે $|\vec{a}|^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$,તેથી $2 = 4 - 4 \cos^2 \theta$.
$4 \cos^2 \theta = 2 \Rightarrow \cos^2 \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
તેથી,$1 + \tan \theta = 1 + \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\alpha \hat{i}+\beta \hat{j}+2 \hat{k}$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$((\vec{a} \times \vec{b}) \times \hat{i}) \cdot \hat{k} = ((\vec{a} \cdot \hat{i})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \hat{i})\vec{a}) \cdot \hat{k} = \frac{23}{2}$.
અહીં $\vec{a} \cdot \hat{i} = 2$ અને $\vec{b} \cdot \hat{i} = \alpha$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$(2\vec{b} - \alpha\vec{a}) \cdot \hat{k} = 2(\vec{b} \cdot \hat{k}) - \alpha(\vec{a} \cdot \hat{k}) = \frac{23}{2}$.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \hat{k} = 2$ અને $\vec{a} \cdot \hat{k} = 5$,તેથી:
$2(2) - \alpha(5) = \frac{23}{2} \implies 4 - 5\alpha = \frac{23}{2} \implies 5\alpha = 4 - \frac{23}{2} = -\frac{15}{2} \implies \alpha = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(\vec{b} \times \hat{j})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b} \times \hat{j} = (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 2 \hat{k}) \times \hat{j} = \alpha(\hat{i} \times \hat{j}) + \beta(\hat{j} \times \hat{j}) + 2(\hat{k} \times \hat{j}) = \alpha \hat{k} - 2 \hat{i}$.
તેથી,$\vec{b} \times 2\hat{j} = 2(-\alpha \hat{k} + 2 \hat{i}) = 4\hat{i} - 2\alpha \hat{k}$.
$|\vec{b} \times 2\hat{j}| = \sqrt{4^2 + (-2\alpha)^2} = \sqrt{16 + 4\alpha^2} = \sqrt{16 + 4(-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{16 + 4(\frac{9}{4})} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આને આપેલ સમીકરણ $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} + \lambda \vec{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$(\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમાંતર નથી,તેથી આપણે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવી શકીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ અને $-(\vec{a} \cdot \vec{b}) = \lambda$.
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{b}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3 \hat{i} + \hat{j}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) = (3)(1) + (1)(2) + (0)(1) = 3 + 2 = 5$.
તેથી,$\lambda = -(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5$.

(A) આપણે સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
પ્રથમ,અંદરના સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $(3\hat{i}+4\hat{j}) \times (\hat{j}+\hat{k}) = 3(\hat{i} \times \hat{j}) + 3(\hat{i} \times \hat{k}) + 4(\hat{j} \times \hat{j}) + 4(\hat{j} \times \hat{k}) = 3\hat{k} - 3\hat{j} + 0 + 4\hat{i} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
હવે,આગળના સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $(\hat{i}-\hat{k}) \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{i} \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) - \hat{k} \times (4\hat{i}-3\hat{j}+3\hat{k}) = (0 - 3\hat{k} - 3\hat{j}) - (4\hat{j} + 3\hat{i} + 0) = -3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{v} \times (-3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}) = \vec{0}$,જે સૂચવે છે કે $\vec{v}$ એ $3\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{v} = \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k})$.
આપેલ છે કે $\vec{v} \cdot \hat{j} = -7$,તેથી $7\lambda = -7$,એટલે કે $\lambda = -1$.
આમ,$\vec{v} = -3\hat{i} - 7\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેથી,$\vec{v} \cdot \hat{i} = -3$.

(D) સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = \frac{\vec{b} - \vec{c}}{2}$,તેથી $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{c}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{a} \cdot \vec{b}$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{d} = \frac{1}{2}$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}))$ ધ્યાનમાં લો.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{d}$ નો ઉપયોગ કરતા.
કારણ કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,આ પદ $(\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}$ માં પરિણમે છે.
આમ,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \vec{a} \cdot ((\vec{b} \cdot \vec{d})\vec{c}) = (\vec{b} \cdot \vec{d})(\vec{a} \cdot \vec{c})$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ મળે છે.