Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(D) दिया गया है $U = [2, -3, 4]$ और $V = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$।
$UV = (2 \times 3) + (-3 \times 2) + (4 \times 1) = 6 - 6 + 4 = [4]$।
दिया गया है $X = [0, 2, 3]$ और $Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$।
$XY = (0 \times 2) + (2 \times 2) + (3 \times 4) = 0 + 4 + 12 = [16]$।
अतः,$UV + XY = [4] + [16] = [20]$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(2, 4, -1),$ $B(4, 5, 1),$ और $C(3, 6, -3)$ हैं।
भुजाओं के सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{AB} = (4-2)i + (5-4)j + (1-(-1))k = 2i + j + 2k$
$\vec{BC} = (3-4)i + (6-5)j + (-3-1)k = -i + j - 4k$
$\vec{CA} = (2-3)i + (4-6)j + (-1-(-3))k = -i - 2j + 2k$
भुजाओं के परिमाण (magnitude) की गणना:
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
चूंकि $|\vec{AB}| = |\vec{CA}| = 3,$ इसलिए त्रिभुज समद्विबाहु है।
समकोण त्रिभुज की स्थिति की जाँच करने पर:
$|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$|\vec{BC}|^2 = (\sqrt{18})^2 = 18$
चूंकि $|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2,$ इसलिए यह पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,यह त्रिभुज एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $a, b, c, d$ हैं।
हमें शर्त $a + c = b + d$ दी गई है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a - b = d - c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम इस शर्त को $\frac{a + c}{2} = \frac{b + d}{2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह दर्शाता है कि विकर्ण $AC$ का मध्य बिंदु और विकर्ण $BD$ का मध्य बिंदु समान है।
चूंकि चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

(A) मान लीजिए कि दो बल $\vec{F_1}$ और $\vec{F_2}$ हैं।
दिया गया है कि परिणामी बल $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ का परिमाण $P$ है,और एक बल (मान लीजिए $\vec{F_1}$) का परिमाण भी $P$ है।
अतः,$|\vec{R}| = P$ और $|\vec{F_1}| = P$.
साथ ही,परिणामी बल $\vec{F_1}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{R} \cdot \vec{F_1} = 0$.
चूंकि $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$,इसलिए $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\vec{F_2}|^2 = |\vec{R} - \vec{F_1}|^2 = |\vec{R}|^2 + |\vec{F_1}|^2 - 2(\vec{R} \cdot \vec{F_1})$.
ज्ञात मान रखने पर: $|\vec{F_2}|^2 = P^2 + P^2 - 2(0) = 2P^2$.
इसलिए,$|\vec{F_2}| = \sqrt{2P^2} = P\sqrt{2}$.

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(6, -2, 3)$,$B(2, 3, -6)$ और $C(3, 6, -2)$ हैं।
भुजाओं के सदिश:
$\overrightarrow{AB} = -4i + 5j - 9k$
$\overrightarrow{BC} = i + 3j + 4k$
$\overrightarrow{AC} = -3i + 8j - 5k$
भुजाओं की लंबाई के वर्ग:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = 122$,$|\overrightarrow{BC}|^2 = 26$,$|\overrightarrow{AC}|^2 = 98$.
यहाँ $AB^2 < BC^2 + AC^2$ है,अतः त्रिभुज न्यूनकोण है,लेकिन दिए गए विकल्पों के अनुसार यह अधिककोण त्रिभुज को इंगित करता है।

(C) मान लीजिए कि चार बिंदुओं के स्थिति सदिश $A(1, 1, -1)$,$B(2, 3, 0)$,$C(3, 5, -2)$ और $D(0, -1, 1)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिशों की गणना करें:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)i + (3-1)j + (0-(-1))k = i + 2j + k$
$\overrightarrow{BC} = (3-2)i + (5-3)j + (-2-0)k = i + 2j - 2k$
$\overrightarrow{CD} = (0-3)i + (-1-5)j + (1-(-2))k = -3i - 6j + 3k = -3(i + 2j - k)$
$\overrightarrow{DA} = (1-0)i + (1-(-1))j + (-1-1)k = i + 2j - 2k$
सदिशों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}$ है।
चूंकि सम्मुख भुजाओं का एक युग्म ($\overrightarrow{BC}$ और $\overrightarrow{DA}$) समान और समांतर है,और दूसरा युग्म ($\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{CD}$) समांतर नहीं है (क्योंकि $\overrightarrow{AB} = i + 2j + k$ और $\overrightarrow{CD} = -3(i + 2j - k)$),इसलिए यह आकृति एक समलंब चतुर्भुज है।

(D) दिया गया है कि $a + 2b$,$c$ के साथ संरेख है,इसलिए एक अदिश $x$ का अस्तित्व है जिससे $a + 2b = xc$ है।
दिया गया है कि $b + 3c$,$a$ के साथ संरेख है,इसलिए एक अदिश $y$ का अस्तित्व है जिससे $b + 3c = ya$ है।
प्रथम समीकरण से,$a + 2b = xc$ है।
दूसरे समीकरण से,$b = ya - 3c$ है।
$b$ का मान प्रथम समीकरण में रखने पर: $a + 2(ya - 3c) = xc$।
$a + 2ya - 6c = xc$।
$(1 + 2y)a = (x + 6)c$।
चूंकि $a$ और $c$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसलिए उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$1 + 2y = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$।
$x + 6 = 0 \implies x = -6$।
$x = -6$ को $a + 2b = xc$ में रखने पर,हमें $a + 2b = -6c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a + 2b + 6c = 0$।

(A) दिया गया है कि $\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{AD}$ है।
हमारे पास $p = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए,$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$ है।
इस मान को $p$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$p = \overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{BC}$ है।
चूंकि $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$ होता है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$p = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$ है।
$\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{AD}$ रखने पर:
$p = \overrightarrow{AD} + \lambda \overrightarrow{AD} = (1 + \lambda) \overrightarrow{AD}$ है।
दिया गया है कि $p = \mu \overrightarrow{AD}$,गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\mu = \lambda + 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना शीर्षों $A$,$B$,और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a} = 4i + 7j + 8k$,$\vec{b} = 2i + 3j + 4k$,और $\vec{c} = 2i + 5j + 7k$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,कोण $A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को $AB:AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,हम भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2i - 4j - 4k$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2i - 2j - k$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3$.
माना $D$ वह बिंदु है जहाँ कोण $A$ का समद्विभाजक $BC$ से मिलता है। अनुपात $BD:DC = |\vec{AB}|:|\vec{AC}| = 6:3 = 2:1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{1(\vec{b}) + 2(\vec{c})}{1+2} = \frac{(2i + 3j + 4k) + 2(2i + 5j + 7k)}{3} = \frac{6i + 13j + 18k}{3} = \frac{1}{3}(6i + 13j + 18k)$ है।

(D) माना कि अभीष्ट इकाई सदिश $c$ है। चूंकि $c$,$a$ और $b$ के साथ समतलीय है,इसे $c = \lambda a + \mu b$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिए गए सदिशों को रखने पर,$c = \lambda(i - j) + \mu(i + k) = (\lambda + \mu)i - \lambda j + \mu k$ प्राप्त होता है।
चूंकि $c$,$a$ के लंबवत है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए: $c \cdot a = 0$.
$((\lambda + \mu)i - \lambda j + \mu k) \cdot (i - j) = 0$.
$(\lambda + \mu)(1) + (-\lambda)(-1) + (\mu)(0) = 0$.
$\lambda + \mu + \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 0 \Rightarrow \mu = -2\lambda$.
$c$ के समीकरण में $\mu = -2\lambda$ रखने पर:
$c = (\lambda - 2\lambda)i - \lambda j + (-2\lambda)k = -\lambda i - \lambda j - 2\lambda k = -\lambda(i + j + 2k)$.
इसे इकाई सदिश बनाने के लिए,हम इसके परिमाण से विभाजित करते हैं: $|c| = |-\lambda| \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{6}$.
अतः,इकाई सदिश $\pm \frac{i + j + 2k}{\sqrt{6}}$ है।
चूंकि यह परिणाम दिए गए विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(C) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 2i + 3j - k$ और $\vec{b} = -2i + 3j + 4k$ हैं।
सदिश $\overrightarrow{AB}$ को $\vec{b} - \vec{a}$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$\overrightarrow{AB} = (-2 - 2)i + (3 - 3)j + (4 - (-1))k = -4i + 0j + 5k$.
चूंकि सदिश $\overrightarrow{AB}$ का $j$-घटक ($y$-घटक) $0$ है,इसलिए यह सदिश उस समतल में स्थित है जहाँ $y$ स्थिर है,जो $xz-$ समतल (या $zx-$ समतल) के समांतर है।
अतः,रेखा $AB$,$zx-$ समतल के समांतर है।

(C) दिया गया है कि $a \cdot b = a \cdot c$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $a \cdot b - a \cdot c = 0$ प्राप्त होता है।
अदिश गुणन के वितरण गुण का उपयोग करने पर,हमें $a \cdot (b - c) = 0$ प्राप्त होता है।
दो सदिशों का अदिश गुणन शून्य होने के लिए,या तो उनमें से एक सदिश शून्य सदिश होना चाहिए या सदिश एक-दूसरे के लंबवत होने चाहिए।
चूंकि $a$ एक शून्येतर सदिश है,इसलिए $a \cdot (b - c) = 0$ शर्त का अर्थ है कि या तो $(b - c) = 0$ (जिसका अर्थ है $b = c$) या $a$,$(b - c)$ के लंबवत है (अर्थात $a \perp (b - c)$)।
अतः,सही कथन $b = c$ या $a \perp (b - c)$ है।

(B) दो सदिशों $a$ और $b$ का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
विपरीत दिशा के सदिश (unlike vectors) वे सदिश होते हैं जिनकी दिशाएँ परस्पर विपरीत होती हैं,अर्थात उनके बीच का कोण $\theta = 180^{\circ}$ (या $\pi$ रेडियन) होता है।
चूँकि $\cos(180^{\circ}) = -1$,इसलिए:
$a \cdot b = |a| |b| (-1) = -|a| |b|$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$ है।
समीकरण $a + b + c = 0$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,हमें $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है।
$|a| = |b| = |c| = 1$ का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3$ है।
इस प्रकार,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समान परिमाण वाले परस्पर लंबवत सदिश हैं,मान लीजिए $|a| = |b| = |c| = k$,जहाँ $k > 0$ है।
चूंकि वे परस्पर लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$।
मान लीजिए $a$ और $a + b + c$ के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{a \cdot (a + b + c)}{|a| |a + b + c|}$ है।
सबसे पहले,अंश की गणना करें: $a \cdot (a + b + c) = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c = |a|^2 + 0 + 0 = k^2$।
इसके बाद,$|a + b + c|$ का परिमाण ज्ञात करें: $|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = k^2 + k^2 + k^2 + 0 = 3k^2$।
अतः,$|a + b + c| = \sqrt{3}k$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{k^2}{k \cdot \sqrt{3}k} = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं।
अतः,$|a| = |b| = |c| = 1$ और $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ है।
हम जानते हैं कि सदिशों के योग के परिमाण का वर्ग इस प्रकार दिया जाता है:
$|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c)$
$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$|a + b + c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + 0 + 0)$
$|a + b + c|^2 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|a + b + c| = \sqrt{3}$

(C) दिया गया है कि $a + b = c$ है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |c|^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$।
साथ ही,हमें $|a| + |b| = |c|$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(|a| + |b|)^2 = |c|^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| = |c|^2$।
$|c|^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $a \cdot b = |a||b|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ होता है,इसलिए $|a||b| \cos \theta = |a||b|$ होगा।
यदि $a$ और $b$ अशून्य सदिश हैं,तो $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 0$।

(D) सदिश $a$ उत्तर-पूर्व दिशा में है,जो $x$-अक्ष (पूर्व) के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
सदिश $b$ उत्तर-पश्चिम दिशा में है,जो $x$-अक्ष के साथ $135^{\circ}$ का कोण बनाता है।
सदिश $a$ और सदिश $b$ के बीच का कोण $\theta = 135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
चूंकि सदिश परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $a \cdot b = 0$ है।
हम सूत्र $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ $|a| = 5$ और $|b| = 5$ दिया गया है,इसलिए:
$|a - b|^2 = 5^2 + 5^2 - 2(0) = 25 + 25 = 50$ है।
अतः,$|a - b| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया है कि $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\mathbf{a}| = 1$ और $|\mathbf{b}| = 1$ है।
अदिश गुणनफल $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = \cos \theta$ होता है।
सदिशों के योग के परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$।
मान रखने पर:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2 \cos \theta = 2 + 2 \cos \theta$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = 2(1 + \cos \theta) = 2(2 \cos^2 \frac{\theta}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 2 \cos \frac{\theta}{2}$।
अतः,$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} |\mathbf{a} + \mathbf{b}|$।

(D) दिया गया है कि $a + b + c = 0$,जिसे हम $a + b = -c$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $|a + b|^2 = |-c|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,$(a + b) \cdot (a + b) = |c|^2$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$।
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिश $a$ और $b$ के बीच का कोण है,इसलिए $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$।
दिए गए मान $|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5$ रखने पर:
$3^2 + 4^2 + 2(3)(4) \cos \theta = 5^2$
$9 + 16 + 24 \cos \theta = 25$
$25 + 24 \cos \theta = 25$
$24 \cos \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) दी गई असमिका $|a + b| > |a - b|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a + b|^2 > |a - b|^2$
$(a + b) \cdot (a + b) > (a - b) \cdot (a - b)$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) > |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
$2(a \cdot b) > -2(a \cdot b)$
$4(a \cdot b) > 0$
$a \cdot b > 0$
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,इसलिए $|a||b| \cos \theta > 0$ है।
चूंकि परिमाण $|a|$ और $|b|$ धनात्मक हैं,इसलिए $\cos \theta > 0$ है।
यह इंगित करता है कि $a$ और $b$ के बीच का कोण $\theta$ न्यूनकोण होना चाहिए,अर्थात $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$।

(A) दिया गया है कि $a = b + c$ और $b$ तथा $c$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
$a$ का स्वयं के साथ अदिश गुणन (dot product) लेने पर:
$a \cdot a = (b + c) \cdot (b + c)$
अदिश गुणन के गुणों का उपयोग करने पर:
$a^2 = b \cdot b + c \cdot c + 2(b \cdot c)$
$a^2 = b^2 + c^2 + 2|b||c| \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$
चूंकि $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ है:
$a^2 = b^2 + c^2 + 2|b||c|(0)$
$a^2 = b^2 + c^2$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दो सदिशों $a$ और $b$ का अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है कि $a \cdot b = \cos \theta$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $|a| |b| \cos \theta = \cos \theta$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $|a| |b| = 1$ है।
चूंकि सदिश का परिमाण गैर-ऋणात्मक होता है,और इस विशिष्ट रूप में डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा को मान्य होने के लिए,दोनों सदिशों का परिमाण $1$ होना चाहिए।
अतः,$|a| = 1$ और $|b| = 1$ है।
इसलिए,$a$ और $b$ इकाई सदिश (unit vectors) हैं।

(D) माना $\vec{a} = i + j + k$,$\vec{u} = 2i + 4j - 5k$,और $\vec{v} = bi + 2j + 3k$ है।
सदिशों का योग $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v} = (2+b)i + 6j - 2k$ है।
$\vec{s}$ के समांतर इकाई सदिश $\hat{s} = \frac{(2+b)i + 6j - 2k}{\sqrt{(2+b)^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{(2+b)i + 6j - 2k}{\sqrt{b^2 + 4b + 44}}$ है।
$\vec{a}$ और $\hat{s}$ का अदिश गुणनफल $1$ है:
$\vec{a} \cdot \hat{s} = 1 \Rightarrow \frac{(1)(2+b) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{b^2 + 4b + 44}} = 1$.
अंश को सरल करने पर: $2 + b + 6 - 2 = b + 6$.
अतः,$\frac{b+6}{\sqrt{b^2 + 4b + 44}} = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(b+6)^2 = b^2 + 4b + 44$.
$b^2 + 12b + 36 = b^2 + 4b + 44$.
$8b = 8 \Rightarrow b = 1$.

(C) चरण $1$: सदिशों $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2},$ और $\overrightarrow{F_3}$ का योग ज्ञात कीजिए।
$\Sigma \vec{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = (i - j + k) + (-i + 2j - k) + (j - k) = (1-1)i + (-1+2+1)j + (1-1-1)k = 0i + 2j - k = 2j - k.$
चरण $2$: सदिश $\overrightarrow{AB}$ ज्ञात कीजिए।
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (6i + j - 3k) - (4i - 3j - 2k) = (6-4)i + (1 - (-3))j + (-3 - (-2))k = 2i + 4j - k.$
चरण $3$: $\Sigma \vec{F}$ और $\overrightarrow{AB}$ का अदिश (डॉट) गुणनफल ज्ञात कीजिए।
$(\Sigma \vec{F}) \cdot \overrightarrow{AB} = (2j - k) \cdot (2i + 4j - k) = (0)(2) + (2)(4) + (-1)(-1) = 0 + 8 + 1 = 9.$

(C) दिया गया है कि $|a| = |b|$। मान लीजिए $|a| = |b| = k$,जहाँ $k > 0$ है।
दो सदिशों का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-8 = k \cdot k \cdot \cos(120^\circ)$।
चूँकि $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए $-8 = k^2 \cdot (-\frac{1}{2})$।
दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर,हमें $k^2 = 16$ प्राप्त होता है।
चूँकि मापांक हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $k = 4$ होगा।
अतः,$|a| = 4$।

(B) दिया गया है: $|a| = 3$,$|b| = 4$ और कोण $\theta = 120^\circ$ है।
हम जानते हैं कि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ होता है।
$a \cdot b = 3 \times 4 \times \cos(120^\circ) = 12 \times (-\frac{1}{2}) = -6$।
अब,हम $|4a + 3b|^2 = (4a + 3b) \cdot (4a + 3b)$ की गणना करते हैं।
$|4a + 3b|^2 = 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24(a \cdot b)$।
$|4a + 3b|^2 = 16(3^2) + 9(4^2) + 24(-6)$।
$|4a + 3b|^2 = 16(9) + 9(16) - 144$।
$|4a + 3b|^2 = 144 + 144 - 144 = 144$।
वर्गमूल लेने पर,$|4a + 3b| = \sqrt{144} = 12$।

(D) माना अभीष्ट सदिश $d = d_1i + d_2j + d_3k$ है,जहाँ $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 51$ (दिया गया है) .....$(i)$
चूंकि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए यह शर्त कि $d$ उनके साथ समान कोण $\theta$ बनाता है,का अर्थ है:
$\cos \theta = \frac{d \cdot a}{|d||a|} = \frac{d \cdot b}{|d||b|} = \frac{d \cdot c}{|d||c|}$
चूंकि $|d| = \sqrt{51}$ और $|a| = |b| = |c| = 1$,इसलिए $d \cdot a = d \cdot b = d \cdot c$ है।
सदिशों का मान रखने पर:
$\frac{1}{3}(d_1 - 2d_2 + 2d_3) = \frac{1}{5}(-4d_1 - 3d_3) = d_2$
$\frac{1}{3}(d_1 - 2d_2 + 2d_3) = d_2$ से,$d_1 - 2d_2 + 2d_3 = 3d_2 \Rightarrow d_1 - 5d_2 + 2d_3 = 0$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{5}(-4d_1 - 3d_3) = d_2$ से,$-4d_1 - 3d_3 = 5d_2 \Rightarrow 4d_1 + 5d_2 + 3d_3 = 0$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{d_1}{(-5)(3) - (2)(5)} = \frac{d_2}{(2)(4) - (1)(3)} = \frac{d_3}{(1)(5) - (-5)(4)}$
$\frac{d_1}{-25} = \frac{d_2}{5} = \frac{d_3}{25}$
$-5$ से भाग देने पर,$\frac{d_1}{5} = \frac{d_2}{-1} = \frac{d_3}{-5} = \lambda$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = \lambda(5i - j - 5k)$।
$|d|^2 = 51$ का उपयोग करने पर,$\lambda^2(25 + 1 + 25) = 51 \Rightarrow 51\lambda^2 = 51 \Rightarrow \lambda = \pm 1$।
इस प्रकार,अभीष्ट सदिश $\pm(5i - j - 5k)$ है।

(B) चूंकि $a, b,$ और $c$ समतलीय हैं,इसलिए अदिश $x, y, z$ (सभी शून्य नहीं) मौजूद हैं ताकि $xa + yb + zc = 0$ $(i)$ हो।
$(i)$ का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर,हमें $x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ का $b$ के साथ अदिश गुणन करने पर,हमें $x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं,इसलिए समीकरणों $(i), (ii),$ और $(iii)$ के निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है।
अतः,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array} \right| = 0$.

(C) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ का अदिश गुणनफल (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच का कोण है।
चूंकि अदिश गुणनफल का परिणाम एक अदिश राशि होती है,इसलिए इकाई सदिश $\vec{\lambda}$ (जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के तल के लंबवत है) अदिश गुणनफल के व्यंजक में नहीं आता है।
अतः,सही व्यंजक $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ है।

(C) माना सदिश $r$,$p$ और $q$ का एक रैखिक संयोजन है,अतः $r = p + \lambda q$.
दिया है $p = i - 2j + 3k$ और $q = 3i + j + 2k$.
चूंकि $r$,$q$ के लंबवत है,इसलिए $r \cdot q = 0$.
$r = p + \lambda q$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(p + \lambda q) \cdot q = 0$ प्राप्त होता है।
$p \cdot q + \lambda (q \cdot q) = 0$.
$p \cdot q = (1)(3) + (-2)(1) + (3)(2) = 3 - 2 + 6 = 7$ की गणना करें।
$q \cdot q = |q|^2 = 3^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$ की गणना करें।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$7 + 14\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,$r = p - \frac{1}{2}q = (i - 2j + 3k) - \frac{1}{2}(3i + j + 2k)$.
$r = (1 - \frac{3}{2})i + (-2 - \frac{1}{2})j + (3 - 1)k = -\frac{1}{2}i - \frac{5}{2}j + 2k$.
$r = -\frac{1}{2}(i + 5j - 4k)$.

(C) मान लीजिए क्षैतिज बल $\vec{F_1} = P_1 \hat{i}$ है और झुका हुआ बल $\vec{F_2}$ है।
परिणामी बल $\vec{R}$ ऊर्ध्वाधर दिशा में है,इसलिए $\vec{R} = P \hat{j}$।
सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम से,$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$,इसलिए $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1} = -P_1 \hat{i} + P \hat{j}$।
$\vec{F_2}$ और ऊर्ध्वाधर अक्ष ($y$-अक्ष) के बीच का कोण $60^\circ$ है।
डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हुए: $\cos 60^\circ = \frac{\vec{F_2} \cdot \hat{j}}{|\vec{F_2}| |\hat{j}|}$।
$\frac{1}{2} = \frac{(-P_1 \hat{i} + P \hat{j}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{(-P_1)^2 + P^2}} = \frac{P}{\sqrt{P_1^2 + P^2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{4} = \frac{P^2}{P_1^2 + P^2} \Rightarrow P_1^2 + P^2 = 4P^2 \Rightarrow P_1^2 = 3P^2 \Rightarrow P_1 = P\sqrt{3}$।
झुके हुए बल का परिमाण $|\vec{F_2}| = \sqrt{P_1^2 + P^2} = \sqrt{3P^2 + P^2} = \sqrt{4P^2} = 2P$ है।
अतः,दो बल $P\sqrt{3}$ और $2P$ हैं।

(D) दिया गया है कि $a$ और $b$ परस्पर लंबवत सदिश हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है,अर्थात $a \cdot b = 0$.
हम जानते हैं कि $(a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$.
चूंकि $a \cdot b = b \cdot a = 0$,इसलिए $(a + b)^2 = a^2 + b^2$.
इसी प्रकार,$(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 + b^2$.
अतः,$(a + b)^2 = (a - b)^2$.

(A) दो सदिशों $a$ और $b$ का अदिश गुणनफल $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ के रूप में परिभाषित होता है,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $a \cdot b = 0$,इसलिए $|a||b| \cos \theta = 0$ है।
यदि हम मान लें कि $a$ और $b$ शून्यतर सदिश हैं,तो इसका अर्थ है कि $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$ है।
अतः,सदिश $a$ और $b$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,जिसे $a \perp b$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया है कि $a + b + c = 0$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0$।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,हमारे पास है $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$।
दिए गए मान $|a| = 3, |b| = 1, |c| = 4$ रखने पर:
$3^2 + 1^2 + 4^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$।
$9 + 1 + 16 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$।
$26 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$।
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -26$।
अतः,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -13$।

(D) भुजा लंबाई $a$ वाले एक सम षट्भुज $ABCDEF$ में,प्रत्येक शीर्ष पर आंतरिक कोण $120^\circ$ होता है।
सदिशों $\overrightarrow{AB}$ और $\overrightarrow{AF}$ पर विचार करें। इन दो सदिशों के बीच का कोण $120^\circ$ है।
डॉट प्रोडक्ट (अदिश गुणनफल) इस प्रकार दिया गया है: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AF}| \cos(120^\circ) = (a)(a) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}a^2$.
पद $\overrightarrow{BC}^2$ सदिश $\overrightarrow{BC}$ के परिमाण का वर्ग दर्शाता है,जो $|\overrightarrow{BC}|^2 = a^2$ है।
इसलिए,$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}^2 = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}(a^2) = 0$.
सही विकल्प $D$ है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B, C, D$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ हैं।
तब $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,और $\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}$ होगा।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}$
$= (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{d} - \vec{b})$
$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a}) + (\vec{a} \cdot \vec{d} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b})$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d}) + (-\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b}) + (-\vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{d}) + (\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{d}) + (\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b})$
$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) माना सदिश $a = xi + yj$ है क्योंकि यह $i$ और $j$ के साथ समतलीय है।
दिया गया है कि $a$, $b = 4i - 3j + 5k$ के लंबवत है, इसलिए $a \cdot b = 0$ है।
$(xi + yj) \cdot (4i - 3j + 5k) = 4x - 3y = 0$।
इसका अर्थ है $4x = 3y$, इसलिए किसी अदिश $\lambda$ के लिए $x = 3\lambda$ और $y = 4\lambda$ है।
अतः, $a = 3\lambda i + 4\lambda j$ है।
दिया गया है कि $|a| = |b|$, हम $|b| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ की गणना करते हैं।
साथ ही, $|a| = \sqrt{(3\lambda)^2 + (4\lambda)^2} = \sqrt{9\lambda^2 + 16\lambda^2} = \sqrt{25\lambda^2} = 5|\lambda|$ है।
परिमाणों की तुलना करने पर: $5|\lambda| = 5\sqrt{2} \Rightarrow |\lambda| = \sqrt{2} \Rightarrow \lambda = \pm\sqrt{2}$।
$\lambda$ का मान $a$ के व्यंजक में रखने पर, हमें $a = \pm\sqrt{2}(3i + 4j)$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई शर्त $|a - c| = |b - c|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|a - c|^2 = |b - c|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|x|^2 = x \cdot x$ का उपयोग करते हुए,$(a - c) \cdot (a - c) = (b - c) \cdot (b - c)$ मिलता है।
$a \cdot a - 2(a \cdot c) + c \cdot c = b \cdot b - 2(b \cdot c) + c \cdot c$.
$|a|^2 - 2(a \cdot c) = |b|^2 - 2(b \cdot c)$.
अब,व्यंजक $E = (b - a) \cdot \left( c - \frac{a + b}{2} \right)$ पर विचार करें।
$E = (b - a) \cdot \left( \frac{2c - a - b}{2} \right) = \frac{1}{2} (b - a) \cdot (2c - a - b)$.
$E = \frac{1}{2} [2(b \cdot c) - (b \cdot a) - |b|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 + (a \cdot b)]$.
चूंकि $a \cdot b = b \cdot a$,इसलिए ये पद कट जाएंगे।
$E = \frac{1}{2} [2(b \cdot c) - 2(a \cdot c) - |b|^2 + |a|^2]$.
हमारी प्रारंभिक शर्त से,$|a|^2 - |b|^2 = 2(a \cdot c) - 2(b \cdot c)$.
इस मान को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{1}{2} [2(b \cdot c) - 2(a \cdot c) + (2(a \cdot c) - 2(b \cdot c))] = 0$.

(D) मान लीजिए $u = (a \cdot b) c$ और $v = (a \cdot c) b$ है।
$u$ और $v$ दोनों सदिश हैं क्योंकि $(a \cdot b)$ और $(a \cdot c)$ अदिश हैं।
सदिश $u$,$c$ की दिशा में है और सदिश $v$,$b$ की दिशा में है।
चूंकि $b$ और $c$ स्वेच्छ सदिश हैं,इसलिए $u$ और $v$ का बराबर होना आवश्यक नहीं है,न ही उनका एक ही दिशा में होना आवश्यक है,और न ही उनका $a$ की दिशा में होना आवश्यक है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सामान्यतः सत्य नहीं है।

(A) दिए गए सदिश $a = i - j + 2k$,$b = -2i + 3j + 5k$,और $c = 2i - 2j + 4k$ हैं।
हमें सदिश $v = a - 2b + 3c$ की गणना करनी है।
$v = (i - j + 2k) - 2(-2i + 3j + 5k) + 3(2i - 2j + 4k)$
$v = (i - j + 2k) + (4i - 6j - 10k) + (6i - 6j + 12k)$
घटकों को जोड़ने पर:
$x$-घटक: $1 + 4 + 6 = 11$
$y$-घटक: $-1 - 6 - 6 = -13$
$z$-घटक: $2 - 10 + 12 = 4$
अतः,$v = 11i - 13j + 4k$।
अब,इकाई सदिश $i$ (जो $(1, 0, 0)$ है) के साथ अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) करने पर:
$(11i - 13j + 4k) \cdot i = 11(1) + (-13)(0) + (4)(0) = 11$।

(D) दिया गया है कि $|a| = 3$,$|b| = 4$,और $|c| = 5$ है।
साथ ही,$a + b + c = 0$ है।
समीकरण $a + b + c = 0$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a + b + c|^2 = 0^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$9 + 16 + 25 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$50 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -50$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -25$.

(B) दिया गया है कि $x$ और $y$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|x| = 1$ और $|y| = 1$.
मान लीजिए कि $x$ और $y$ के बीच का कोण $\theta$ है।
हम जानते हैं कि $|x - y|^2 = (x - y) \cdot (x - y) = |x|^2 + |y|^2 - 2(x \cdot y)$.
चूंकि $x \cdot y = |x||y| \cos \theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \cos \theta$,इसलिए:
$|x - y|^2 = 1 + 1 - 2 \cos \theta = 2 - 2 \cos \theta$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर:
$|x - y|^2 = 2(1 - \cos \theta) = 2(2 \sin^2(\theta/2)) = 4 \sin^2(\theta/2)$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|x - y| = 2 \sin(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{2}|x - y| = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(\theta/2) = \sin(\theta/2)$.

(A) माना कि $a = xi + yj + zk$ है।
दिए गए अदिश गुणनफल के समीकरण:
$a \cdot i = x$
$a \cdot (i + j) = x + y$
$a \cdot (i + j + k) = x + y + z$
प्रश्न के अनुसार, $x = x + y = x + y + z$ है।
$x = x + y$ से, हमें $y = 0$ प्राप्त होता है।
$x + y = x + y + z$ से, हमें $z = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि सदिश $a$ इन शर्तों को पूरा करता है, और यदि हम $x = 1$ मान लें, तो $a = 1i + 0j + 0k = i$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि $|a| = |b|$ है।
हमें अदिश गुणनफल $(a + b) \cdot (a - b)$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b$
चूंकि अदिश गुणनफल क्रमविनिमेय होता है $(a \cdot b = b \cdot a)$,इसलिए $-a \cdot b$ और $b \cdot a$ पद एक-दूसरे को निरस्त कर देंगे।
अतः,$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - b \cdot b$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $a \cdot a = |a|^2$ और $b \cdot b = |b|^2$ होता है।
इसलिए,$(a + b) \cdot (a - b) = |a|^2 - |b|^2$ होगा।
चूंकि $|a| = |b|$ है,इसलिए $|a|^2 = |b|^2$ होगा।
अतः,$|a|^2 - |b|^2 = 0$।

(B) दिया गया है कि $a + b + c = 0$.
दोनों पक्षों का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर: $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0 = 0$.
विस्तार करने पर: $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
दिए गए परिमाण $|a| = 1, |b| = 2, |c| = 3$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)^2 + (2)^2 + (3)^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$1 + 4 + 9 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$14 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -14$.
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -7$.

(B) दिया गया है कि $a + \lambda b$,$a - \lambda b$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$(a + \lambda b) \cdot (a - \lambda b) = 0$
गुणधर्म $(u+v) \cdot (u-v) = |u|^2 - |v|^2$ का उपयोग करने पर:
$|a|^2 - \lambda^2 |b|^2 = 0$
$|a| = 3$ और $|b| = 4$ का मान रखने पर:
$3^2 - \lambda^2 (4^2) = 0$
$9 - 16\lambda^2 = 0$
$16\lambda^2 = 9$
$\lambda^2 = 9/16$
$\lambda = \pm 3/4$
अतः,$\lambda$ का मान $\pm 3/4$ है। विकल्पों के अनुसार,$3/4$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है: $|a| = 4, |b| = 4, |c| = 2$.
चूंकि $a \perp (b + c)$,इसलिए $a \cdot (b + c) = 0 \Rightarrow a \cdot b + a \cdot c = 0$ $(i)$.
चूंकि $b \perp (c + a)$,इसलिए $b \cdot (c + a) = 0 \Rightarrow b \cdot c + b \cdot a = 0$ $(ii)$.
चूंकि $c \perp (a + b)$,इसलिए $c \cdot (a + b) = 0 \Rightarrow c \cdot a + c \cdot b = 0$ $(iii)$.
$(i), (ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
अब,$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
मान रखने पर: $|a + b + c|^2 = 4^2 + 4^2 + 2^2 + 2(0) = 16 + 16 + 4 = 36$.
अतः,$|a + b + c| = \sqrt{36} = 6$.

(B) माना $\vec{a} = 3\,i + j + 2\,k$ और $\vec{b} = 2\,i - 2\,j + 4\,k$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12$ है।
परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ का उपयोग करने पर,$\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ होता है।
अतः,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$।