Vector or Cross product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = ai + bj + ck$ છે.
$\vec{v}$ એ $\vec{u_1} = i + j + 2k$ અને $\vec{u_2} = i + 2j + k$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{u_1}$ અને $\vec{u_2}$ નું રેખીય સંયોજન હશે.
તેથી,$\vec{v} = p(i + j + 2k) + r(i + 2j + k) = (p+r)i + (p+2r)j + (2p+r)k$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,$a = p+r$,$b = p+2r$,અને $c = 2p+r$ મળે છે.
$\vec{v}$ એ $\vec{w} = i + j + k$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(ai + bj + ck) \cdot (i + j + k) = a + b + c = 0$.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(p+r) + (p+2r) + (2p+r) = 4p + 4r = 0$,જેનો અર્થ છે કે $p = -r$.
$p = -r$ ને $a, b, c$ માં મૂકતા:
$a = -r + r = 0$,
$b = -r + 2r = r$,
$c = 2(-r) + r = -r$.
આમ,$\vec{v} = r(j - k)$.
$\vec{v}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\vec{v}| = 1$:
$\sqrt{0^2 + r^2 + (-r)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{2r^2} = 1 \Rightarrow |r|\sqrt{2} = 1 \Rightarrow r = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}(j - k)$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = x\,i + y\,j + z\,k$ છે.
કારણ કે $\vec{v}$ એ $\vec{a} = 3\,i + j - 4\,k$ અને $\vec{b} = 6\,i + 5\,j - 2\,k$ ને લંબ છે,તેથી તે $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 1 & -4 \\ 6 & 5 & -2 \end{vmatrix} = i(-2 - (-20)) - j(-6 - (-24)) + k(15 - 6) = 18\,i - 18\,j + 9\,k$.
સરળ બનાવતા,આપણે દિશા સદિશ $\vec{u} = 2\,i - 2\,j + k$ લઈ શકીએ છીએ.
$\vec{u}$ નું માન $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
જરૂરી સદિશની લંબાઈ $3$ હોવાથી,સદિશ $\pm(2\,i - 2\,j + k)$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2\,i - 2\,j + k$ એ સાચો વિકલ્પ છે.

(D) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = i + 2j + k$ અને $\vec{b} = i + j + 2k$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલો સદિશ $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b} = (i + 2j + k) - (i + j + 2k) = j - k$ છે.
હવે,ચકાસો કે શું $\vec{v}$ એ $2i + j + k$ ને લંબ છે: $(j - k) \cdot (2i + j + k) = (0)(2) + (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$.
આમ,$j - k$ એ માંગેલ સમતલમાં છે અને $2i + j + k$ ને લંબ છે.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{j - k}{|j - k|} = \frac{j - k}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{j - k}{\sqrt{2}}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $a \times b$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|a \times b| = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 = (1)(1) \sin \theta$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = 1$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(B) ત્રણ બિંદુઓ $A(a), B(b), C(c)$ સમરેખ હોય તે માટે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે તેમનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{AB} \times \vec{BC} = 0$.
સ્થાન સદિશો મૂકતા,આપણને $(b - a) \times (c - b) = 0$ મળે છે.
સદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $b \times c - b \times b - a \times c + a \times b = 0$.
કારણ કે $b \times b = 0$,પદાવલિ $b \times c - a \times c + a \times b = 0$ માં સરળ બને છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a \times b + b \times c + c \times a = 0$ મળે છે.

(A) સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(a - b) \times (a + b) = a \times a + a \times b - b \times a - b \times b$
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી ($a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$):
$= 0 + a \times b - b \times a - 0$
$= a \times b - b \times a$
સદિશ ગુણાકાર એન્ટી-કોમ્યુટેટિવ હોવાથી $(b \times a = -(a \times b))$:
$= a \times b - (-(a \times b))$
$= a \times b + a \times b$
$= 2(a \times b)$

(C) આપેલ છે કે $a + b + c = 0.$
બંને બાજુ $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$a \times (a + b + c) = a \times 0$
$a \times a + a \times b + a \times c = 0$
કારણ કે $a \times a = 0,$ તેથી $a \times b + a \times c = 0,$ જે સૂચવે છે કે $a \times b = - (a \times c) = c \times a$ .....$(i)$
તે જ રીતે,બંને બાજુ $b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$b \times (a + b + c) = b \times 0$
$b \times a + b \times b + b \times c = 0$
કારણ કે $b \times b = 0,$ તેથી $b \times a + b \times c = 0,$ જે સૂચવે છે કે $-(a \times b) = b \times c,$ અથવા $a \times b = b \times c$ .....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને $a \times b = b \times c = c \times a$ મળે છે.

(B) સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(2a + 3b) \times (5a + 7b) = 2a \times (5a + 7b) + 3b \times (5a + 7b)$
$= 2a \times 5a + 2a \times 7b + 3b \times 5a + 3b \times 7b$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $b \times b = 0$:
$= 0 + 14(a \times b) + 15(b \times a) + 0$
$a \times b = -(b \times a)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= 14(a \times b) - 15(a \times b) = -1(a \times b) = b \times a$.

(C) સદિશ $a$ અને $b$ ને લંબ સદિશ તેમના ક્રોસ પ્રોડક્ટ $a \times b$ દ્વારા મળે છે.
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 - 0) - j(1 - 0) + k(1 - 0) = i - j + k$.
આ સદિશનું માન $|a \times b| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$a$ અને $b$ બંનેને લંબ એકમ સદિશો $\pm \frac{a \times b}{|a \times b|}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,એકમ સદિશો $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(i - j + k)$ છે.
તેથી,આવા કુલ $2$ સદિશો મળે છે.

(D) ધારો કે $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$.
આપેલ છે કે $a \cdot b = 1$,તેથી $(i - j + k) \cdot (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = 1 \Rightarrow b_1 - b_2 + b_3 = 1$ ... $(i)$
આપેલ છે કે $a \times b = c$,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = i(-b_3 - b_2) - j(b_3 - b_1) + k(b_2 + b_1) = (-b_2 - b_3)i + (b_1 - b_3)j + (b_1 + b_2)k$.
આને $c = -i - j + 0k$ સાથે સરખાવતા:
$-b_2 - b_3 = -1 \Rightarrow b_2 + b_3 = 1$ ... $(ii)$
$b_1 - b_3 = -1$ ... $(iii)$
$b_1 + b_2 = 0$ ... $(iv)$
સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $b_1 = 2/3, b_2 = -2/3, b_3 = -1/3$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો જવાબ 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(A) આપેલ છે કે $a \times b = b \times c \ne 0.$
આને $a \times b - b \times c = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $b \times c = -(c \times b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a \times b + c \times b = 0$ મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર સામાન્ય લેતા,આપણને $(a + c) \times b = 0$ મળે છે.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,તે સદિશો સમાંતર હોવા જોઈએ.
તેથી,$a + c$ એ $b$ ને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $a + c = k\,b$ થાય.

(C) સદિશ ક્રોસ ગુણાકારના ગુણધર્મો મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રોસ ગુણાકાર એ એન્ટિકોમ્યુટેટિવ છે,એટલે કે $u \times v = -(v \times u)$.
પદ $a \times (b - c)$ ને ધ્યાનમાં લો.
વિતરણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$.
હવે જમણી બાજુને ધ્યાનમાં લો: $(c - b) \times a = c \times a - b \times a$.
એન્ટિકોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$c \times a = -(a \times c)$ અને $b \times a = -(a \times b)$.
આ કિંમતોને પદમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $(c - b) \times a = -(a \times c) - (-(a \times b)) = a \times b - a \times c$.
બંને બાજુઓ સમાન હોવાથી,વિધાન $a \times (b - c) = (c - b) \times a$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $a \times b = b \times c \ne 0$.
આને $a \times b - b \times c = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $b \times c = -c \times b$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a \times b + c \times b = 0$ મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર સામાન્ય લેતા,આપણને $(a + c) \times b = 0$ મળે છે.
બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,સદિશો સમાંતર હોવા જોઈએ.
તેથી,$(a + c) \parallel b$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ છે.
સમતલમાં બે સદિશો: $\vec{AB} = i + j - 3k$ અને $\vec{BC} = -2i + 2j + 2k$ છે.
સમતલનો લંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{BC}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 8i + 4j + 4k$.
એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \pm \frac{8i + 4j + 4k}{\sqrt{96}} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$.

(C) આપેલ છે કે $a = 2i + 3j - 5k$ અને $b = mi + nj + 12k$. જો $a \times b = 0$ હોય,તો સદિશો સમરેખ છે.
સદિશ ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & -5 \\ m & n & 12 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$i(36 - (-5n)) - j(24 - (-5m)) + k(2n - 3m) = 0$
$(36 + 5n)i - (24 + 5m)j + (2n - 3m)k = 0$
શૂન્ય સદિશ માટે,દરેક ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$36 + 5n = 0 \Rightarrow n = -\frac{36}{5}$
$24 + 5m = 0 \Rightarrow m = -\frac{24}{5}$
$2n - 3m = 2(-\frac{36}{5}) - 3(-\frac{24}{5}) = -\frac{72}{5} + \frac{72}{5} = 0$ (આ કિંમતોની પુષ્ટિ કરે છે).
આમ,$(m, n) = \left( -\frac{24}{5}, -\frac{36}{5} \right)$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = i + 2j - 2k$ અને $\vec{b} = -i + 2j + 2k$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ગણીએ.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = i(4 - (-4)) - j(2 - 2) + k(2 - (-2)) = 8i - 0j + 4k = 8i + 4k$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{8i + 4k}{4\sqrt{5}} = \pm \frac{2i + k}{\sqrt{5}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{1}{\sqrt{5}}(2i + k)$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 6i + 2j + 3k$ અને $\vec{b} = 3i - 6j - 2k$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 6 & 2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = i(-4 - (-18)) - j(-12 - 9) + k(-36 - 6) = 14i + 21j - 42k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{14^2 + 21^2 + (-42)^2} = \sqrt{196 + 441 + 1764} = \sqrt{2401} = 49$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{14i + 21j - 42k}{49} = \pm \frac{2i + 3j - 6k}{7}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો એકમ સદિશ $\frac{2i + 3j - 6k}{7}$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે છે:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 (1 - \cos^2 \theta)$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,તે અનુસરે છે કે $(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \cos^2 \theta$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 3i + 2j - k$ અને $\vec{b} = 12i + 5j - 5k$ છે.
બંને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 12 & 5 & -5 \end{vmatrix}$
$= i(2(-5) - (-1)(5)) - j(3(-5) - (-1)(12)) + k(3(5) - 2(12))$
$= i(-10 + 5) - j(-15 + 12) + k(15 - 24)$
$= -5i + 3j - 9k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}$ છે.
તેથી,બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-5i + 3j - 9k}{\sqrt{115}}$ થાય.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 3i + 2j - k$ અને $\vec{b} = 12i + 5j - 5k$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \times \vec{b}$ આ મુજબ મળે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 12 & 5 & -5 \end{vmatrix} = i(-10 - (-5)) - j(-15 - (-12)) + k(15 - 24) = -5i + 3j - 9k$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 9 + 81} = \sqrt{115}$ છે.
સદિશોના માન $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 5^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25 + 25} = \sqrt{194}$ છે.
કારણ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,તેથી $\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{\sqrt{115}}{\sqrt{14}\sqrt{194}}$.

(D) બે સદિશો $a$ અને $b$ નો સદિશ ગુણાકાર $a \times b = |a||b| \sin(\theta) \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $a \times b = 0$ હોય,તો $|a||b| \sin(\theta) = 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $|a| = 0$,$|b| = 0$,અથવા $\sin(\theta) = 0$ છે.
જો $\sin(\theta) = 0$ હોય,તો $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$ થાય,જેનો અર્થ છે કે સદિશો $a$ અને $b$ સમાંતર અથવા સમરેખ છે.
કારણ કે $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ હોય ત્યારે પણ (જ્યારે તેઓ સમાંતર હોય) $a \times b = 0$ ની શરત સાચી હોઈ શકે છે,તેથી વિકલ્પો $A, B,$ અથવા $C$ માંથી કોઈ પણ આવશ્યકપણે સાચું નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સદિશ સરવાળા પર સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
$b \times (c + a) = b \times c + b \times a$
$c \times (a + b) = c \times a + c \times b$
આ પદાવલિઓનો સરવાળો કરતા:
$(a \times b + a \times c) + (b \times c + b \times a) + (c \times a + c \times b)$
$u \times v = -(v \times u)$ ના એન્ટિકોમ્યુટેટિવ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$a \times b + a \times c + b \times c - a \times b - c \times a + c \times b$
કારણ કે $a \times c = -(c \times a)$,તેથી પદો ઉડી જશે:
$a \times b - a \times b + a \times c - a \times c + b \times c - b \times c = 0$
આમ,પરિણામ $0$ મળે છે.

(A) સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ એ એકમ સદિશો $i, j, k$ અને સદિશો $a$ અને $b$ ના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & -1 \\ 6 & -3 & 2 \end{vmatrix}$
$= i((2)(2) - (-1)(-3)) - j((2)(2) - (-1)(6)) + k((2)(-3) - (2)(6))$
$= i(4 - 3) - j(4 + 6) + k(-6 - 12)$
$= i(1) - j(10) + k(-18)$
$= i - 10j - 18k$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
તેથી,$|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$.
હવે,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = a_1(\hat{i} \times \hat{i}) + a_2(\hat{j} \times \hat{i}) + a_3(\hat{k} \times \hat{i}) = 0 - a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = |a_3\hat{j} - a_2\hat{k}|^2 = a_3^2 + a_2^2$.
તે જ રીતે,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = |a_1\hat{k} - a_3\hat{i}|^2 = a_1^2 + a_3^2$.
અને,$|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = |a_2\hat{i} - a_1\hat{j}|^2 = a_2^2 + a_1^2$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_3^2 + a_2^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_2^2 + a_1^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2) = 2|\vec{a}|^2$.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $P(1, -1, 2)$,$Q(2, 0, -1)$ અને $R(0, 2, 1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સમતલમાં બે સદિશો શોધીએ: $\overrightarrow{PQ} = (2-1)i + (0-(-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$ અને $\overrightarrow{PR} = (0-1)i + (2-(-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$.
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1)) = 8i + 4j + 4k$.
સરળ બનાવવા માટે,આપણે સમાંતર સદિશ $\vec{v} = 2i + j + k$ લઈ શકીએ.
$\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{2i + j + k}{\sqrt{6}}$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 4i - j + 3k$ અને $\vec{b} = -2i + j - 2k$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & -1 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(-2) - (3)(1)) - j((4)(-2) - (3)(-2)) + k((4)(1) - (-1)(-2))$
$= i(2 - 3) - j(-8 + 6) + k(4 - 2)$
$= -i + 2j + 2k$.
હવે,તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી,એકમ સદિશ $\frac{-i + 2j + 2k}{3} = \frac{1}{3}(-i + 2j + 2k)$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,સદિશો $a + b$ અને $b + c$ ની ગણતરી કરો:
$a + b = (i + j - k) + (-i + 2j + k) = 3j$
$b + c = (-i + 2j + k) + (-i + 2j - k) = -2i + 4j$
$a + b$ અને $b + c$ બંનેને લંબ સદિશ શોધવા માટે,આપણે તેમનો ક્રોસ ગુણાકાર કરીએ:
$(a + b) \times (b + c) = (3j) \times (-2i + 4j) = -6(j \times i) + 12(j \times j)$
કારણ કે $j \times i = -k$ અને $j \times j = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$(a + b) \times (b + c) = -6(-k) + 0 = 6k$
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{6k}{|6k|} = \pm k$ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$k$ એ સાચો એકમ સદિશ છે.

(A) આપેલ છે કે $a, c, b$ એક જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે,તેથી સદિશ $c$ એ $b$ અને $a$ ના ક્રોસ ગુણાકાર દ્વારા $c = b \times a$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ સદિશો $a = xi + yj + zk$ અને $b = j$ ને મૂકતા:
$c = j \times (xi + yj + zk)$
એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($j \times i = -k$,$j \times j = 0$,$j \times k = i$):
$c = x(j \times i) + y(j \times j) + z(j \times k)$
$c = x(-k) + y(0) + z(i)$
$c = zi - xk$.

(B) ધારો કે $A$ ઉગમબિંદુ છે અને $B, C$ તથા $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ છે.
તો $\overrightarrow{AB} = \vec{b}, \overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}, \overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}, \overrightarrow{AD} = \vec{d}, \overrightarrow{CA} = -\vec{c},$ અને $\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}$ થાય.
હવે, પદાવલિને ધ્યાનમાં લો:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{BD}|$
$= |\vec{b} \times (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{b}) \times \vec{d} - \vec{c} \times (\vec{d} - \vec{b})|$
$= |\vec{b} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{d} - \vec{b} \times \vec{d} - \vec{c} \times \vec{d} + \vec{c} \times \vec{b}|$
$= |-\vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b}|$
$= |-\vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}| = |-2(\vec{b} \times \vec{c})| = 2|\vec{b} \times \vec{c}|$
કારણ કે $\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}|$ છે, તેથી $|\vec{b} \times \vec{c}| = 2\Delta$ થાય.
આમ, પદાવલિની કિંમત $2(2\Delta) = 4\Delta$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$r \times a = b \times a \implies r \times a - b \times a = 0 \implies (r - b) \times a = 0$
$r \times b = a \times b \implies r \times b + b \times a = 0 \implies (r + a) \times b = 0$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$
$r \times (a + b) = b \times a - b \times a = 0$
કારણ કે $r \times (a + b) = 0$,તેથી $r$ એ $(a + b)$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ,એટલે કે $r = k(a + b)$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
પ્રથમ સમીકરણમાં $r = k(a + b)$ મૂકતા:
$k(a + b) \times a = b \times a$
$k(a \times a + b \times a) = b \times a$
$k(0 + b \times a) = b \times a$
$k(b \times a) = b \times a$
કારણ કે $a$ એ $b$ ને લંબ નથી અને $a \ne \lambda b$,તેથી $b \times a \ne 0$,એટલે કે $k = 1$.
તેથી,$r = a + b$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 2i - j + k$ અને $\vec{b} = 3i + 4j - k$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ એ તેમનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) $\vec{a} \times \vec{b}$ છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -1 \end{vmatrix} = i(1 - 4) - j(-2 - 3) + k(8 + 3) = -3i + 5j + 11k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 11^2} = \sqrt{9 + 25 + 121} = \sqrt{155}$ છે.
તેથી,બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-3i + 5j + 11k}{\sqrt{155}}$ થાય.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = i + j + k$,$\vec{B} = 2i + 3j - 4k$,અને $\vec{C} = 7i + 4j + 9k$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = i + 2j - 5k$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = 6i + 3j + 8k$.
સમતલને લંબ સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 2 & -5 \\ 6 & 3 & 8 \end{vmatrix} = 31i - 38j - 9k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{31^2 + (-38)^2 + (-9)^2} = \sqrt{2486}$ છે.
તેથી,સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{31i - 38j - 9k}{\sqrt{2486}}$ છે.

(B) ત્રિકોણ $ABC$ ના સમતલને લંબ એકમ સદિશનું સૂત્ર: $\hat{n} = \frac{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $a, b, c$ આપેલા હોવાથી,$\overrightarrow{AB} = b - a$ અને $\overrightarrow{AC} = c - a$ થાય.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(b - a) \times (c - a) = b \times c - b \times a - a \times c + a \times a$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \times a = 0$,$-b \times a = a \times b$ અને $-a \times c = c \times a$,તેથી: $(b - a) \times (c - a) = a \times b + b \times c + c \times a$.
આમ,માંગેલ એકમ સદિશ $\frac{a \times b + b \times c + c \times a}{|a \times b + b \times c + c \times a|}$ છે.

(B) $\Delta ABC$ માં,બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $BC = a$,$CA = b$,અને $AB = c$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,ત્રિકોણની પરિમિતિ પરના સદિશોનો ક્રમમાં સરવાળો શૂન્ય થાય છે: $a + b + c = 0$.
બંને બાજુ $a$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $a \times (a + b + c) = a \times 0 \implies a \times a + a \times b + a \times c = 0$.
$a \times a = 0$ હોવાથી,આપણને $a \times b = c \times a$ મળે છે (કારણ કે $a \times c = -c \times a$).
તે જ રીતે,$b$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $b \times (a + b + c) = b \times 0 \implies b \times a + b \times b + b \times c = 0$.
$b \times b = 0$ હોવાથી,આપણને $b \times a + b \times c = 0 \implies b \times c = a \times b$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $a \times b = b \times c = c \times a$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = i + j + k$ અને $\vec{b} = i + j$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$
$= i(0 - 1) - j(0 - 1) + k(1 - 1)$
$= -i + j + 0k = -i + j$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ કોઈપણ સદિશ એ $-i + j$ નો અદિશ ગુણાંક છે,જેને કોઈ અદિશ $c$ માટે $c(i - j)$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) અને $b$ બંનેને લંબ સદિશ $a \times b$ દ્વારા મળે છે.
$a$ અને $b$ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\frac{a \times b}{|a \times b|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -6 & -3 \\ 4 & 3 & -1 \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$a \times b = i(6 + 9) - j(-2 + 12) + k(6 + 24) = 15i - 10j + 30k$.
ત્યારબાદ,માન $|a \times b| = \sqrt{15^2 + (-10)^2 + 30^2} = \sqrt{225 + 100 + 900} = \sqrt{1225} = 35$ ની ગણતરી કરો.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{15i - 10j + 30k}{35} = \frac{3i - 2j + 6k}{7}$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 6) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(2 - (-2)) = -4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ છે.
બંને સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{-4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4\sqrt{3}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{1}{\sqrt{3}}(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.

(C) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = i - j + k$ અને $\vec{b} = 2i + 3j - k$ છે.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= i((-1)(-1) - (1)(3)) - j((1)(-1) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-1)(2))$
$= i(1 - 3) - j(-1 - 2) + k(3 + 2)$
$= -2i + 3j + 5k$
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + (5)^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$ છે.
બંને સદિશોને લંબ એકમ સદિશ $\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{-2i + 3j + 5k}{\sqrt{38}}$ થાય.

(B) સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ નિશ્ચાયકની મદદથી ગણવામાં આવે છે:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & -3 & -1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$= i((-3)(-2) - (-1)(4)) - j((2)(-2) - (-1)(1)) + k((2)(4) - (-3)(1))$
$= i(6 + 4) - j(-4 + 1) + k(8 + 3)$
$= i(10) - j(-3) + k(11)$
$= 10i + 3j + 11k$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|a| = 4$,$|b| = 2$,અને $\theta = \frac{\pi}{6}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $|a \times b| = 4 \times 2 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$,તેથી $|a \times b| = 8 \times \frac{1}{2} = 4$.
આમ,$|a \times b|^2 = 4^2 = 16$.

(A) સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ નિશ્ચાયકની મદદથી નીચે મુજબ મેળવી શકાય:
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$
$= i(4 \times 3 - (-5) \times 2) - j(2 \times 3 - (-5) \times 1) + k(2 \times 2 - 4 \times 1)$
$= i(12 + 10) - j(6 + 5) + k(4 - 4)$
$= 22i - 11j + 0k$
હવે,માન $|a \times b|$ શોધો:
$|a \times b| = \sqrt{(22)^2 + (-11)^2 + (0)^2}$
$= \sqrt{484 + 121}$
$= \sqrt{605}$
$= \sqrt{121 \times 5} = 11\sqrt{5}$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = i + j$ અને $\vec{b} = j + k$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(1 - 0) - j(1 - 0) + k(1 - 0) = i - j + k$.
આ સદિશનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \pm \frac{i - j + k}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $\frac{i - j + k}{\sqrt{3}}$ છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$ અને $C(3, -1, 2)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (2-2)\hat{k} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = 2\hat{i}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 0) - \hat{j}(0 - (-6)) + \hat{k}(0 - 4) = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
હવે,તેનું માન શોધીએ:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધો:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)i + (0 - (-1))j + (-1-2)k = i + j - 3k$
$\overrightarrow{AC} = (0-1)i + (2 - (-1))j + (1-2)k = -i + 3j - k$
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix}$
$= i(-1 - (-9)) - j(-1 - 3) + k(3 - (-1))$
$= i(8) - j(-4) + k(4) = 8i + 4j + 4k$
સદિશ ગુણાકારનું માન:
$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{8^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6}$
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} (4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(2, 5, -1)$ અને $C(-1, 1, 2)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધો:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
$\overrightarrow{AC} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ ની ગણતરી કરો:
$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & -4 \\ -2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(-3 - 4) - \hat{j}(-1 - 8) + \hat{k}(-1 + 6)$
$= -7\hat{i} + 9\hat{j} + 5\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકારનું માન $|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + 9^2 + 5^2} = \sqrt{49 + 81 + 25} = \sqrt{155}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \sqrt{155} = \frac{\sqrt{155}}{2}$ ચોરસ એકમ છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તે તેમના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ના માન દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = |\vec{a} \times \vec{b}|$.
અહીં $\vec{a} = 3i + 0j - k$ અને $\vec{b} = i + 2j + 0k$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$
$= i(0(0) - (-1)(2)) - j(3(0) - (-1)(1)) + k(3(2) - 0(1))$
$= i(0 + 2) - j(0 + 1) + k(6 - 0)$
$= 2i - j + 6k$.
ક્ષેત્રફળ એ આ સદિશનું માન છે:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (6)^2}$
$= \sqrt{4 + 1 + 36}$
$= \sqrt{41}$.

(B) વિકર્ણો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -2 \\ 1 & -3 & 4 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(12 + 2) + \hat{k}(-9 - 1)$
$= -2\hat{i} - 14\hat{j} - 10\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન શોધો:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-14)^2 + (-10)^2}$
$= \sqrt{4 + 196 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.
છેલ્લે,ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| = \frac{1}{2} (10\sqrt{3}) = 5\sqrt{3}$.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \vec{i} + \vec{j}$,$\vec{OB} = \vec{j} + \vec{k}$,અને $\vec{OC} = \vec{k} + \vec{i}$ છે.
પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\vec{j} + \vec{k}) - (\vec{i} + \vec{j}) = -\vec{i} + \vec{k}$
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (\vec{k} + \vec{i}) - (\vec{i} + \vec{j}) = -\vec{j} + \vec{k}$
$\Delta ABC$ નું સદિશ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}(\vec{AB} \times \vec{AC})$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}$
$= \vec{i}(0 - (-1)) - \vec{j}(-1 - 0) + \vec{k}(1 - 0) = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$
આમ,સદિશ ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}(\vec{i} + \vec{j} + \vec{k})$ છે.
તેને $\pm \frac{1}{2} \vec{\alpha}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\vec{\alpha} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $O$,$A$ અને $B$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$
$= i(2(1) - (-1)(3)) - j(3(1) - (-1)(1)) + k(3(3) - 2(1))$
$= i(2 + 3) - j(3 + 1) + k(9 - 2)$
$= 5i - 4j + 7k$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધીએ:
$|\overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB}| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 16 + 49} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
અંતે,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{10} = \frac{3}{2}\sqrt{10}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે ક્ષેત્રફળ $= |\vec{a} \times \vec{b}|$.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(2 - (-6)) - \hat{j}(1 - 9) + \hat{k}(-2 - 6)$
$= 8\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$.
હવે,તેનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.