Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $x + y + z = 0$,તેથી $x = -(y + z)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|x|^2 = |y + z|^2$.
$|x|^2 = |y|^2 + |z|^2 + 2(y \cdot z)$.
$|x| = |y| = |z| = 2$ હોવાથી,$4 = 4 + 4 + 2(2)(2) \cos \theta$.
$4 = 8 + 8 \cos \theta$.
$8 \cos \theta = -4$,જે દર્શાવે છે કે $\cos \theta = -1/2$.
આમ,$\theta = 120^{\circ}$.
હવે,$\csc^2(120^{\circ}) + \cot^2(120^{\circ}) = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$.
$= \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$.

(C) સદિશ $\vec{a} = 2i + j - 3k$ નો સદિશ $\vec{b} = i - 2j + k$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર:
$\text{પ્રક્ષેપ} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-2) + (-3)(1) = 2 - 2 - 3 = -3$
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન શોધો:
$|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{પ્રક્ષેપ} = \frac{-3}{\sqrt{6}} = -\frac{3}{\sqrt{2 \times 3}} = -\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{\frac{3}{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|a| = 1$,$|b| = 1$,અને $|a + b| = \sqrt{3}$.
સમીકરણ $|a + b| = \sqrt{3}$ નો વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = 3$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 3$.
$2 + 2(a \cdot b) = 3 \implies 2(a \cdot b) = 1 \implies a \cdot b = \frac{1}{2}$.
હવે,$(3a - 4b) \cdot (2a + 5b)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3a - 4b) \cdot (2a + 5b) = 6(a \cdot a) + 15(a \cdot b) - 8(b \cdot a) - 20(b \cdot b)$.
કારણ કે $a \cdot a = |a|^2 = 1$,$b \cdot b = |b|^2 = 1$,અને $a \cdot b = b \cdot a$,તેથી:
$6(1) + 7(a \cdot b) - 20(1) = 6 - 20 + 7 \left(\frac{1}{2}\right)$.
$= -14 + \frac{7}{2} = \frac{-28 + 7}{2} = -\frac{21}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $a \perp (b + c)$,$b \perp (c + a)$,અને $c \perp (a + b)$.
આનો અર્થ એ છે કે:
$a \cdot (b + c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ .....$(i)$
$b \cdot (c + a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ .....$(ii)$
$c \cdot (a + b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ .....$(iii)$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ મળે છે.
હવે,માનના વર્ગોનો સરવાળો ધ્યાનમાં લો:
$|a + b|^2 + |b + c|^2 + |c + a|^2 = 6^2 + 8^2 + 10^2 = 36 + 64 + 100 = 200$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(|a|^2 + |b|^2 + 2a \cdot b) + (|b|^2 + |c|^2 + 2b \cdot c) + (|c|^2 + |a|^2 + 2c \cdot a) = 200$
$2(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 200$.
કારણ કે $2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$,તેથી $2(|a|^2 + |b|^2 + |c|^2) = 200$,એટલે કે $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 = 100$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કિંમતો મૂકતા: $|a + b + c|^2 = 100 + 0 = 100$.
તેથી,$|a + b + c| = \sqrt{100} = 10$.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = \vec{a} \cdot \vec{b}$.
સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ:
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$
જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ શૂન્યતર સદિશો હોય,તો બંને બાજુને $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1$
$\tan \theta = 1$
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$0 \leq \theta \leq \pi$. $\tan \theta = 1$ માટે $\theta$ ની કિંમત $\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે છે.

(B) સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ ની દિશામાં ઘટક એ $a$ નો $b$ પરનો પ્રક્ષેપ છે,જે $a \cos \theta = \frac{a \cdot b}{|b|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ ને લંબ ઘટક $a \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$,તેથી $a \sin \theta = \frac{|a \times b|}{|b|}$ થાય.
આમ,ઘટકો $\frac{a \cdot b}{|b|}$ અને $\frac{|a \times b|}{|b|}$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$(a \times b)^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(a \times b)^2 = |a|^2 |b|^2 (1 - \cos^2 \theta) = |a|^2 |b|^2 - |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$.
કારણ કે $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$,તેથી $(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$.
આમ,$(a \times b)^2 = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2$.
નોંધો કે $|a|^2 = a \cdot a$ અને $|b|^2 = b \cdot b$.
તેથી,$(a \times b)^2 = (a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)(b \cdot a)$.
આ પદ ગ્રામ મેટ્રિક્સના નિશ્ચાયકને સમાન છે:
$\left| \begin{matrix} a \cdot a & a \cdot b \\ b \cdot a & b \cdot b \end{matrix} \right| = (a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)(b \cdot a)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot b = a \cdot c$ અને $a \times b = a \times c$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a \cdot b - a \cdot c = 0$,જેનો અર્થ થાય છે $a \cdot (b - c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = 0$ અથવા $(b - c) = 0$ અથવા $a \perp (b - c)$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$a \times b - a \times c = 0$,જેનો અર્થ થાય છે $a \times (b - c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $a = 0$ અથવા $(b - c) = 0$ અથવા $a \parallel (b - c)$.
કારણ કે $a \neq 0$,આપણી પાસે એકસાથે $a \perp (b - c)$ અને $a \parallel (b - c)$ છે.
શૂન્યતર સદિશ બીજા સદિશને સમાંતર અને લંબ બંને હોઈ શકે નહીં સિવાય કે બીજો સદિશ શૂન્ય સદિશ હોય.
તેથી,$b - c = 0$,જેનો અર્થ છે $b = c$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta$.
આપેલ છે કે $|a| = 2$,$|b| = 5$,અને $|a \times b| = 8$.
કિંમતો મૂકતા: $8 = 2 \times 5 \times \sin \theta$.
$8 = 10 \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$.
આમ,$\cos \theta = \pm \frac{3}{5}$.
હવે,$a \cdot b = |a| |b| \cos \theta = 2 \times 5 \times (\pm \frac{3}{5}) = \pm 6$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $6$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|a \cdot b| = |a||b| \cos \theta = 3$ $(i)$
અને $|a \times b| = |a||b| \sin \theta = 4$ $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{|a||b| \sin \theta}{|a||b| \cos \theta} = \frac{4}{3}$
$\tan \theta = \frac{4}{3}$
અહીં $\tan \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{4}{3}$ હોવાથી,કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ થાય.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\text{પાસેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{5}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \frac{3}{5}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $la + mb = c$ છે.
$l$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $b$ સાથે સદિશ ગુણાકાર (cross product) લેતા:
$(la + mb) \times b = c \times b$
$l(a \times b) + m(b \times b) = c \times b$
$b \times b = 0$ હોવાથી,આપણને $l(a \times b) = c \times b$ મળે છે.
બંને બાજુ $(a \times b)$ સાથે અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા:
$l(a \times b) \cdot (a \times b) = (c \times b) \cdot (a \times b)$
$l|a \times b|^2 = (c \times b) \cdot (a \times b)$
$l = \frac{(c \times b) \cdot (a \times b)}{|a \times b|^2}$.
તે જ રીતે,$m$ શોધવા માટે,મૂળ સમીકરણનો $a$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$(la + mb) \times a = c \times a$
$l(a \times a) + m(b \times a) = c \times a$
$a \times a = 0$ હોવાથી,આપણને $m(b \times a) = c \times a$ મળે છે.
બંને બાજુ $(b \times a)$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$m|b \times a|^2 = (c \times a) \cdot (b \times a)$
$m = \frac{(c \times a) \cdot (b \times a)}{|b \times a|^2}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકાર વચ્ચેનો સંબંધ $|a \times r|^2 + |a \cdot r|^2 = |a|^2 |r|^2$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $a \times r = j$,તેથી $|a \times r| = |j| = 1$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $1^2 + (a \cdot r)^2 = |a|^2 |r|^2$ મળે છે.
આમ,$(a \cdot r)^2 = |a|^2 |r|^2 - 1$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $a \cdot r$ ની કિંમત $|r|$ પર આધાર રાખે છે,જે નિશ્ચિત નથી.
તેથી,$a \cdot r$ એક સ્વેચ્છ અદિશ (Arbitrary scalar) છે.

(A) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{A} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{B} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12$ શોધો.
ત્યારબાદ,માન શોધો: $|\overrightarrow{A}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ અને $|\overrightarrow{B}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B}}{|\overrightarrow{A}| |\overrightarrow{B}|}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{84}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $a$ અને $b$ ના સદિશ ગુણાકારનું માન $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a \times b|^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta$ મળે છે.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$ મળે છે.
આ બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$|a \times b|^2 + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta$
$= |a|^2 |b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$|a \times b|^2 + (a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2$.
જેમ કે $|a|^2 = a \cdot a$ અને $|b|^2 = b \cdot b$,તેથી પરિણામ $(a \cdot a)(b \cdot b)$ છે.

(A) ધારો કે $\theta$ એ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકાર અને અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$
$|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$
તેથી,ગુણોત્તર નીચે મુજબ થશે:
$\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a} \cdot \vec{b}|} = \frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta}{|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|} = \frac{\sin \theta}{|\cos \theta|} = |\tan \theta|$
જો આપણે ધારીએ કે $\theta$ એ $[0, \pi]$ અંતરાલમાં ખૂણો છે,તો આ પદ $0 \le \theta < \pi/2$ માટે $\tan \theta$ બને છે.

(B) ધારો કે જરૂરી એકમ સદિશ $\hat{a}$ છે. કારણ કે $\hat{a}$ એ $\vec{u} = 2i + j + k$ અને $\vec{v} = i - j + k$ ના સમતલમાં છે,તેને $\hat{a} = \alpha(2i + j + k) + \beta(i - j + k)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સાદું રૂપ આપતા,$\hat{a} = (2\alpha + \beta)i + (\alpha - \beta)j + (\alpha + \beta)k$ મળે છે.
કારણ કે $\hat{a}$ એકમ સદિશ છે,તેનું માન $1$ છે,તેથી $(2\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2 + (\alpha + \beta)^2 = 1$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$6\alpha^2 + 4\alpha\beta + 3\beta^2 = 1$ ... $(i)$ મળે છે.
કારણ કે $\hat{a}$ એ $\vec{w} = 5i + 2j + 6k$ ને લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $5(2\alpha + \beta) + 2(\alpha - \beta) + 6(\alpha + \beta) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $18\alpha + 9\beta = 0$ થાય છે,જે $\beta = -2\alpha$ આપે છે.
$\beta = -2\alpha$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$6\alpha^2 + 4\alpha(-2\alpha) + 3(-2\alpha)^2 = 1$ મળે છે.
$6\alpha^2 - 8\alpha^2 + 12\alpha^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $10\alpha^2 = 1$,તેથી $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$.
ત્યારબાદ $\beta = -2(\pm \frac{1}{\sqrt{10}}) = \mp \frac{2}{\sqrt{10}}$.
આ કિંમતોને $\hat{a}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$\hat{a} = \pm \frac{1}{\sqrt{10}} [ (2 - 2)i + (1 + 2)j + (1 - 2)k ] = \pm \frac{3j - k}{\sqrt{10}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $a \times b = 2a \times c$,તેથી $a \times (b - 2c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(b - 2c)$ એ $a$ ને સમાંતર છે.
આપેલ છે કે $b - 2c = \lambda a$,તેથી $|b - 2c|^2 = \lambda^2 |a|^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $|b|^2 + 4|c|^2 - 4(b \cdot c) = \lambda^2 (1)^2$.
$|b| = 4$ અને $|c| = 1$ હોવાથી,$16 + 4(1) - 4(b \cdot c) = \lambda^2$,એટલે કે $20 - 4(b \cdot c) = \lambda^2$.
આપેલ છે કે $|b \times c| = \sqrt{15}$.
$|b \times c| = |b||c| \sin \alpha = \sqrt{15}$ હોવાથી,જ્યાં $\alpha$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,$(4)(1) \sin \alpha = \sqrt{15}$,તેથી $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
તેથી $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16}$,એટલે કે $\cos \alpha = \pm \frac{1}{4}$.
$b \cdot c = |b||c| \cos \alpha = (4)(1) \cos \alpha = 4 \cos \alpha$ હોવાથી,$b \cdot c = 4(\pm \frac{1}{4}) = \pm 1$.
આ કિંમત $\lambda^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $\lambda^2 = 20 - 4(\pm 1) = 20 \mp 4$.
જો $b \cdot c = 1$ હોય,તો $\lambda^2 = 16$,તેથી $\lambda = \pm 4$.
આમ,$\lambda = \pm 4$.

(C) સ્થાન સદિશો $a, b, c$ ધરાવતા શિરોબિંદુઓવાળા ત્રિકોણનું સદિશ ક્ષેત્રફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \vec{AB} \times \vec{AC}$
કારણ કે $\vec{AB} = b - a$ અને $\vec{AC} = c - a$,તેથી:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (b - a) \times (c - a)$
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (b \times c - b \times a - a \times c + a \times a)$
કારણ કે $a \times a = 0$ અને $-b \times a = a \times b$,તથા $-a \times c = c \times a$:
$\text{સદિશ ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} (a \times b + b \times c + c \times a)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બિંદુ $P$ પર કાર્યરત બળ $\overrightarrow{F}$ નું બિંદુ $C$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક (મોમેન્ટ) એ $C$ ની સાપેક્ષે $P$ ના સ્થાન સદિશ અને બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,ટોર્ક $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{CP}$ છે.
તેથી,ટોર્ક $\overrightarrow{CP} \times \overrightarrow{F}$ થાય છે.

(B) ધારો કે બળો $\vec{F_1} = i + 2j - 3k$,$\vec{F_2} = 2i + 3j + 4k$,અને $\vec{F_3} = i - j + k$ છે.
પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = (1+2+1)i + (2+3-1)j + (-3+4+1)k = 4i + 4j + 2k$ છે.
કણ બિંદુ $A(0, 1, 2)$ પર છે અને આપણે બિંદુ $B(1, -2, 0)$ ની સાપેક્ષે મોમેન્ટ શોધવાની છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \vec{OA} - \vec{OB} = (0-1)i + (1-(-2))j + (2-0)k = -i + 3j + 2k$ છે.
મોમેન્ટ $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -1 & 3 & 2 \\ 4 & 4 & 2 \end{vmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા: $\vec{M} = i(6 - 8) - j(-2 - 8) + k(-4 - 12) = -2i + 10j - 16k$ મળે છે.
મોમેન્ટનું મૂલ્ય $|\vec{M}| = \sqrt{(-2)^2 + 10^2 + (-16)^2} = \sqrt{4 + 100 + 256} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$ થાય છે.

(B) આપેલ બિંદુઓ $A(-2, 2, 4)$,$B(2, 6, 3)$,અને $P(1, 2, 1)$ છે.
બળ સદિશ $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{AB} = (2 - (-2))\hat{i} + (6 - 2)\hat{j} + (3 - 4)\hat{k} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
$P$ ની સાપેક્ષે $A$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{PA} = (-2 - 1)\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (4 - 1)\hat{k} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k}$.
$P$ ની સાપેક્ષે બળની મોમેન્ટ $\vec{M} = \overrightarrow{PA} \times \overrightarrow{F}$ છે.
$\vec{M} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 0 & 3 \\ 4 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 12) - \hat{j}(3 - 12) + \hat{k}(-12 - 0) = -12\hat{i} + 9\hat{j} - 12\hat{k}$.
મોમેન્ટનું મૂલ્ય $|\vec{M}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2 + (-12)^2} = \sqrt{144 + 81 + 144} = \sqrt{369} = \sqrt{9 \times 41} = 3\sqrt{41}$.

(A) બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{OA} = (4-1)i + (-1-(-3))j + (-7-2)k = 3i + 2j - 9k$ છે.
સદિશ $(9, 6, -2)$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{9i + 6j - 2k}{\sqrt{9^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{9i + 6j - 2k}{11}$ છે.
બળ સદિશ $\vec{F} = 6 \hat{u} = \frac{6}{11}(9i + 6j - 2k)$ છે.
બિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે બળની ચાકમાત્રા $\vec{M} = \overrightarrow{OA} \times \vec{F}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{M} = (3i + 2j - 9k) \times \frac{6}{11}(9i + 6j - 2k) = \frac{6}{11} \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 2 & -9 \\ 9 & 6 & -2 \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા: $i(2(-2) - (-9)(6)) - j(3(-2) - (-9)(9)) + k(3(6) - 2(9)) = i(-4 + 54) - j(-6 + 81) + k(18 - 18) = 50i - 75j + 0k$.
આમ,$\vec{M} = \frac{6}{11}(50i - 75j) = \frac{6 \times 25}{11}(2i - 3j) = \frac{150}{11}(2i - 3j)$.

(D) આપેલ છે કે $a \cdot i = 4$.
આપણે $(a \times j) \cdot (2j - 3k)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $(A \times B) \cdot C = A \cdot (B \times C)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times j) \cdot (2j - 3k) = a \cdot \{ j \times (2j - 3k) \}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$j \times (2j - 3k) = 2(j \times j) - 3(j \times k)$.
કારણ કે $j \times j = 0$ અને $j \times k = i$,આપણને મળે છે:
$j \times (2j - 3k) = 2(0) - 3(i) = -3i$.
આ કિંમતને મૂળ પદમાં મૂકતા:
$a \cdot (-3i) = -3(a \cdot i)$.
$a \cdot i = 4$ આપેલ હોવાથી,પરિણામ છે:
$-3(4) = -12$.

(D) આપેલ સદિશો $a = 3i - j + 2k$ અને $b = 2i + j - k$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b$ શોધો:
$a \cdot b = (3)(2) + (-1)(1) + (2)(-1) = 6 - 1 - 2 = 3$.
હવે,પદાવલિ $a \times (a \cdot b) = a \times (3) = 3(a \times 1)$ થાય.
જોકે,સદિશ ગુણાકાર (cross product) બે સદિશો વચ્ચે વ્યાખ્યાયિત છે. અહીં $(a \cdot b)$ એ એક અદિશ $(3)$ છે,તેથી $a \times (3)$ પદાવલિ ગાણિતિક રીતે અર્થહીન છે કારણ કે સદિશ ગુણાકાર માટે બે સદિશોની જરૂર પડે છે.
તેથી,$a \times (a \cdot b)$ પદાવલિ અર્થપૂર્ણ નથી.

(B) ધારો કે જરૂરી સદિશ $\vec{v} = ai + bj + ck$ છે.
કારણ કે $\vec{v}$,$i + j$ અને $j + k$ સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$a(1 - 0) - b(1 - 0) + c(1 - 0) = 0 \Rightarrow a - b + c = 0$.
વળી,$\vec{v}$ એ $2i - 2j - 4k$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{v} = \lambda(2i - 2j - 4k) = 2\lambda i - 2\lambda j - 4\lambda k$ થાય.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$a = 2\lambda$,$b = -2\lambda$,$c = -4\lambda$ મળે.
આ કિંમતોને સમતલીયતાની શરત $a - b + c = 0$ માં મૂકતા:
$2\lambda - (-2\lambda) + (-4\lambda) = 0$
$2\lambda + 2\lambda - 4\lambda = 0 \Rightarrow 0 = 0$.
આ સાબિત કરે છે કે સદિશ $\lambda(2i - 2j - 4k)$ સ્વરૂપનો છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$\lambda = 0.5$ માટે,આપણને $i - j - 2k$ મળે છે,જે વિકલ્પ $(b)$ સાથે સુસંગત છે.

(B) આપેલ સદિશો ગ્રામ-શ્મિટ ઓર્થોગોનાલાઇઝેશન પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવ્યા છે.
ગણ $\{a, b_1, c_2\}$ માટે:
$1$. $a \cdot b_1 = a \cdot (b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} a) = a \cdot b - \frac{b \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) = a \cdot b - b \cdot a = 0$. તેથી,$a \perp b_1$.
$2$. $a \cdot c_2 = a \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = a \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (a \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (a \cdot b_1) = a \cdot c - c \cdot a - 0 = 0$. તેથી,$a \perp c_2$.
$3$. $b_1 \cdot c_2 = b_1 \cdot (c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} a - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} b_1) = b_1 \cdot c - \frac{c \cdot a}{|a|^2} (b_1 \cdot a) - \frac{c \cdot b_1}{|b_1|^2} (b_1 \cdot b_1) = b_1 \cdot c - 0 - c \cdot b_1 = 0$. તેથી,$b_1 \perp c_2$.
બધી જોડીઓ લંબ હોવાથી,ગણ $\{a, b_1, c_2\}$ એ પરસ્પર લંબ સદિશોનો સમૂહ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(b)$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો છે:
$(i) x + y = a$
$(ii) x \times y = b$
$(iii) x \cdot a = 1$
સમીકરણ $(i)$ નો $a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$a \cdot (x + y) = a \cdot a$
$a \cdot x + a \cdot y = |a|^2$
$1 + a \cdot y = |a|^2 \implies a \cdot y = |a|^2 - 1$ $(iv)$
સમીકરણ $(ii)$ નો $a$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (x \times y) = a \times b$
$(a \cdot y)x - (a \cdot x)y = a \times b$
$(iii)$ અને $(iv)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(|a|^2 - 1)x - y = a \times b$ $(v)$
$(i)$ પરથી,$y = a - x$. આને $(v)$ માં મૂકતા:
$(|a|^2 - 1)x - (a - x) = a \times b$
$(|a|^2 - 1 + 1)x = a + (a \times b)$
$|a|^2 x = a + (a \times b)$
$x = \frac{a + (a \times b)}{|a|^2}$
તેથી $y = a - x = a - \frac{a + (a \times b)}{|a|^2} = \frac{(|a|^2 - 1)a - (a \times b)}{|a|^2}$
આમ,ગણતરી કરેલ કિંમતો આપેલ વિકલ્પો સાથે મેળ ખાતી નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ધારો કે $P(r)$ એ બિંદુઓ $A(a)$ અને $B(b)$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
તેથી,અંતર $PA = PB$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $|r - a|^2 = |r - b|^2$ થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(r - a) \cdot (r - a) = (r - b) \cdot (r - b)$ મળે છે.
$|r|^2 - 2(r \cdot a) + |a|^2 = |r|^2 - 2(r \cdot b) + |b|^2$.
$-2(r \cdot a) + 2(r \cdot b) = |b|^2 - |a|^2$.
$2r \cdot (b - a) = |b|^2 - |a|^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,આ બિંદુપથ એ રેખાખંડ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
ધારો કે $M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ નો સ્થાન સદિશ $\frac{1}{2}(a + b)$ છે.
કારણ કે $PM$ એ $AB$ ને લંબ છે,તેથી સદિશ $PM$ એ સદિશ $AB$ ને લંબ છે.
આમ,$(r - \frac{1}{2}(a + b)) \cdot (b - a) = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $[r - \frac{1}{2}(a + b)] \cdot (a - b) = 0$ મળે છે.

(A) સદિશો $a, b$ અને $a \times b$ અસમતલીય હોવાથી,આપણે $r$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ: $r = xa + yb + z(a \times b)$ જ્યાં $x, y, z$ અદિશ છે.
આપેલ સમીકરણ $r \times a = b$ માં $r$ ની કિંમત મૂકતા:
$b = (xa + yb + z(a \times b)) \times a$
સદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$b = x(a \times a) + y(b \times a) + z((a \times b) \times a)$
$a \times a = 0$ અને $b \times a = -(a \times b)$ હોવાથી:
$b = -y(a \times b) + z((a \cdot a)b - (a \cdot b)a)$
$a$ અને $b$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = 0$:
$b = -y(a \times b) + z(a \cdot a)b$
બંને બાજુ $b$ અને $(a \times b)$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$(a \times b)$ ના સહગુણક માટે,$-y = 0$,તેથી $y = 0$.
$b$ ના સહગુણક માટે,$z(a \cdot a) = 1$,તેથી $z = \frac{1}{a \cdot a}$.
આ કિંમતો $r$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$r = xa + 0b + \frac{1}{a \cdot a}(a \times b) = xa + \frac{1}{a \cdot a}(a \times b)$.

(C) આપેલ સદિશો $a = i + j$ અને $b = 2i - k$ છે. ધારો કે $r = xi + yj + zk$.
પ્રથમ રેખા $r \times a = b \times a$ માટે, $(r - b) \times a = 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $(r - b)$ એ $a$ ને સમાંતર છે.
$r - b = (x - 2)i + yj + (z + 1)k$.
$(r - b) \times a = 0$ હોવાથી, સદિશ ગુણાકાર:
$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ x-2 & y & z+1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} \right| = 0$
$-(z+1)i + (z+1)j + (x - 2 - y)k = 0$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા, $z + 1 = 0 \Rightarrow z = -1$ અને $x - y - 2 = 0 \Rightarrow x - y = 2$ મળે છે.
બીજી રેખા $r \times b = a \times b$ માટે, $(r - a) \times b = 0$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $(r - a)$ એ $b$ ને સમાંતર છે.
$r - a = (x - 1)i + (y - 1)j + zk$.
$(r - a) \times b = 0$ હોવાથી, સદિશ ગુણાકાર:
$\left| \begin{matrix} i & j & k \\ x-1 & y-1 & z \\ 2 & 0 & -1 \end{matrix} \right| = 0$
$-(y-1)i + (x - 1 + 2z)j - 2(y-1)k = 0$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા, $y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1$ અને $x + 2z - 1 = 0$ મળે છે.
$y = 1$ ને $x - y = 2$ માં મૂકતા, $x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$ મળે છે.
$z = -1$ ને $x + 2z = 1$ માં મૂકતા, $x + 2(-1) = 1 \Rightarrow x = 3$ મળે છે.
આમ, છેદબિંદુ $r = 3i + j - k$ છે.

(A) ચતુષ્ફલકના બે ફલક વચ્ચેનો ખૂણો એ તે ફલકોના લંબ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{OA}$ અને $\vec{OB}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને ફલક $OAB$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_1}$ શોધો:
$\vec{OA} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{OB} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને ફલક $ABC$ માટે લંબ સદિશ $\vec{n_2}$ શોધો:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
ફલકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{35}$,$|\vec{n_2}| = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{35}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(B) આપેલ છે કે $a$,$b$ અને $c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2(a \cdot b) = 2 - 2(a \cdot b)$.
તે જ રીતે,$|b - c|^2 = 2 - 2(b \cdot c)$ અને $|c - a|^2 = 2 - 2(c \cdot a)$.
આ ત્રણેય પદોનો સરવાળો કરતા:
$|a - b|^2 + |b - c|^2 + |c - a|^2 = 6 - 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
તેથી,$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = |a + b + c|^2 - 3$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$|a - b|^2 + |b - c|^2 + |c - a|^2 = 6 - (|a + b + c|^2 - 3) = 9 - |a + b + c|^2$.
કારણ કે $|a + b + c|^2 \ge 0$,તેથી આ પદાવલિની મહત્તમ કિંમત $9 - 0 = 9$ થાય.
આમ,આ પદાવલિ $9$ થી વધતી નથી.

(B) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે અને પરસ્પર લંબ છે,તેથી $|a| = 1, |b| = 1$ અને $a \cdot b = 0$.
સદિશ $c$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|c| = 1$.
સદિશ $c$ એ $a$ અને $b$ બંને સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,તેથી $c \cdot a = |c||a| \cos \theta = \cos \theta$ અને $c \cdot b = |c||b| \cos \theta = \cos \theta$.
આપેલ છે $c = \alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)$.
$a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા: $c \cdot a = \alpha (a \cdot a) + \beta (b \cdot a) + \gamma ((a \times b) \cdot a) = \alpha (1) + \beta (0) + 0 = \alpha$. તેથી,$\alpha = \cos \theta$.
$b$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા: $c \cdot b = \alpha (a \cdot b) + \beta (b \cdot b) + \gamma ((a \times b) \cdot b) = \alpha (0) + \beta (1) + 0 = \beta$. તેથી,$\beta = \cos \theta$.
$c$ એકમ સદિશ હોવાથી,$c \cdot c = 1$.
$c \cdot c = (\alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)) \cdot (\alpha a + \beta b + \gamma (a \times b)) = \alpha^2 |a|^2 + \beta^2 |b|^2 + \gamma^2 |a \times b|^2 = 1$.
$|a \times b| = |a||b| \sin 90^\circ = 1$ હોવાથી,આપણને $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 1$ મળે છે.
$\alpha = \beta = \cos \theta$ મૂકતા,આપણને $2 \cos^2 \theta + \gamma^2 = 1$ મળે છે.
તેથી,$\gamma^2 = 1 - 2 \cos^2 \theta = - (2 \cos^2 \theta - 1) = - \cos 2\theta$.

(B) ધારો કે $(a + b)$ અને $a$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_1$ છે,અને $(a + b)$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta_2$ છે.
કારણ કે $(a + b)$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\cos \theta_1 = \cos \theta_2$ થાય.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta_1 = \frac{(a + b) \cdot a}{|a + b||a|}$ અને $\cos \theta_2 = \frac{(a + b) \cdot b}{|a + b||b|}$.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{|a|^2 + a \cdot b}{|a + b||a|} = \frac{a \cdot b + |b|^2}{|a + b||b|}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{|a|^2 + a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot b + |b|^2}{|b|}$ મળે.
બંને બાજુ $|a||b|$ વડે ગુણતા,$|b|(|a|^2 + a \cdot b) = |a|(a \cdot b + |b|^2)$ મળે.
$|a|^2|b| + |b|(a \cdot b) = |a|(a \cdot b) + |a||b|^2$.
$|a|^2|b| - |a||b|^2 + |b|(a \cdot b) - |a|(a \cdot b) = 0$.
$|a||b|(|a| - |b|) - (a \cdot b)(|a| - |b|) = 0$.
$(|a| - |b|)(|a||b| - a \cdot b) = 0$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $(|a| - |b|)(|a||b| - |a||b| \cos \theta) = 0$.
$|a||b|(|a| - |b|)(1 - \cos \theta) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $|a| = |b|$ અથવા $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.

(D) આપણી પાસે $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = (a - 2b) - b = a - 3b$ છે.
આપણી પાસે $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2a + 3b) - a = a + 3b$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ $\overrightarrow{BD}$ અને $\overrightarrow{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી $\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{(a - 3b) \cdot (a + 3b)}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{|a|^2 - 9|b|^2}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|}$ થાય.
આપેલ છે કે $|a| = 3|b|$,તેથી $|a|^2 = 9|b|^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\cos \theta = \frac{9|b|^2 - 9|b|^2}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|} = 0$ મળે.
કારણ કે $\cos \theta = 0$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{V} = \overrightarrow{A} + t\overrightarrow{B}$.
$\overrightarrow{V} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$
$\overrightarrow{V} = (1 - t)\hat{i} + (2 + 2t)\hat{j} + (3 + t)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{V}$ એ $\overrightarrow{C} = 3\hat{i} + \hat{j}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\overrightarrow{V} \cdot \overrightarrow{C} = 0$
$3(1 - t) + 1(2 + 2t) = 0$
$3 - 3t + 2 + 2t = 0$
$5 - t = 0 \Rightarrow t = 5$.

(D) ધારો કે $r = \lambda b + \mu c$. અહીં $b = 4i + 3j$ હોવાથી,$|b| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.
$c$ એ $xy$-સમતલમાં $b$ ને લંબ હોવાથી,$c$ એ $3i - 4j$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ. ધારો કે $c = k(3i - 4j)$. $r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $2$ હોવાથી,આપણે $c$ ને એકમ સદિશ તરીકે લઈએ તો $c = \pm \frac{1}{5}(3i - 4j)$.
$r$ નો $b$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{r \cdot b}{|b|} = \lambda |b| = 5\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{5}$.
$r$ નો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{r \cdot c}{|c|} = \mu |c| = \mu = 2$.
તેથી,$r = \frac{1}{5}(4i + 3j) \pm 2 \cdot \frac{1}{5}(3i - 4j)$.
કિસ્સો $1$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j + 6i - 8j) = \frac{10i - 5j}{5} = 2i - j$.
કિસ્સો $2$: $r = \frac{1}{5}(4i + 3j - 6i + 8j) = \frac{-2i + 11j}{5} = -\frac{2}{5}i + \frac{11}{5}j$.

(A) અને $c$ ના સમતલમાં કોઈપણ સદિશ $r = b + tc$ તરીકે લખી શકાય છે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા,$r = (i + 2j - k) + t(i + j - 2k) = (1 + t)i + (2 + t)j - (1 + 2t)k$.
$r$ નો $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|r \cdot a|}{|a|} = \sqrt{2/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$r \cdot a = (1 + t)(2) + (2 + t)(-1) + (-1 - 2t)(1) = 2 + 2t - 2 - t - 1 - 2t = -t - 1$ ગણો.
વળી,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{|-t - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$|-t - 1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $-t - 1 = 2$ અથવા $-t - 1 = -2$.
જો $-t - 1 = 2$,તો $t = -3$. $t = -3$ ને $r$ માં મૂકતા,$r = -2i - j + 5k$ મળે છે.
જો $-t - 1 = -2$,તો $t = 1$. $t = 1$ ને $r$ માં મૂકતા,$r = 2i + 3j - 3k$ મળે છે.
તેથી,માંગેલ સદિશો $2i + 3j - 3k$ અને $-2i - j + 5k$ છે.

(B) આપેલ છે $a \times r = b + \lambda a$ અને $a \cdot r = 3.$
$a \times r = b + \lambda a$ ની બંને બાજુ $a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(a \times r) \cdot a = b \cdot a + \lambda (a \cdot a)$
કારણ કે $(a \times r) \cdot a = 0$,તેથી $0 = b \cdot a + \lambda |a|^2$.
$a = 2i + j - k \implies |a|^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 6$.
$b \cdot a = (-i - 2j + k) \cdot (2i + j - k) = -2 - 2 - 1 = -5$.
તેથી,$0 = -5 + \lambda(6) \implies \lambda = \frac{5}{6}$.
હવે,$a \times r = b + \frac{5}{6}a$.
બંને બાજુ $a$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા:
$a \times (a \times r) = a \times (b + \frac{5}{6}a) = a \times b + 0$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ સૂત્ર $a \times (a \times r) = (a \cdot r)a - (a \cdot a)r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3)a - 6r = a \times b$.
$a \times b = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = i(1-2) - j(2-1) + k(-4+1) = -i - j - 3k$.
$3(2i + j - k) - 6r = -i - j - 3k$.
$6i + 3j - 3k - 6r = -i - j - 3k$.
$6r = 7i + 4j \implies r = \frac{7}{6}i + \frac{2}{3}j$.

(A) ધારો કે $b = b_1 i + b_2 j + b_3 k$.
આપેલ છે કે $a \times b = j - k$,તેથી:
$j - k = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$
$j - k = i(b_3 - b_2) - j(b_3 - b_1) + k(b_2 - b_1)$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$b_3 - b_2 = 0 \Rightarrow b_3 = b_2$
$b_1 - b_3 = 1 \Rightarrow b_1 = b_3 + 1 = b_2 + 1$
$b_2 - b_1 = -1 \Rightarrow b_2 - (b_2 + 1) = -1$ (જે સુસંગત છે).
આપેલ છે કે $a \cdot b = 1$,તેથી:
$(i + j + k) \cdot (b_1 i + b_2 j + b_3 k) = 1$
$b_1 + b_2 + b_3 = 1$
$b_1 = b_2 + 1$ અને $b_3 = b_2$ મુકતા:
$(b_2 + 1) + b_2 + b_2 = 1$
$3b_2 + 1 = 1$
$3b_2 = 0 \Rightarrow b_2 = 0$
આમ,$b_3 = 0$ અને $b_1 = 0 + 1 = 1$.
તેથી,$b = 1i + 0j + 0k = i$.

(A) બળ સદિશ $\overrightarrow{F} = \overrightarrow{AB} = (3 - 1)i + (-4 - 2)j + (2 - (-3))k = 2i - 6j + 5k$ છે.
બિંદુ $M$ ની સાપેક્ષે બળ $\overrightarrow{F}$ નો ટોર્ક $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{F}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} = (1 - (-2))i + (2 - 4)j + (-3 - (-6))k = 3i - 2j + 3k$ શોધો.
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{MA} \times \overrightarrow{F} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & -2 & 3 \\ 2 & -6 & 5 \end{vmatrix}$ ની ગણતરી કરો.
$= i((-2)(5) - (3)(-6)) - j((3)(5) - (3)(2)) + k((3)(-6) - (-2)(2))$.
$= i(-10 + 18) - j(15 - 6) + k(-18 + 4)$.
$= 8i - 9j - 14k$.

(A) ધારો કે $b$ અને $c$ બે અસમરેખ એકમ સદિશો છે. તેઓ અસમરેખ હોવાથી,$b, c,$ અને $k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ એ $\mathbb{R}^3$ અવકાશ માટે એક ઓર્થોનોર્મલ આધાર બનાવે છે.
કોઈપણ સદિશ $a$ ને આ આધાર સદિશોના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k$
$k = \frac{b \times c}{|b \times c|}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a = (a \cdot b)b + (a \cdot c)c + \left(a \cdot \frac{b \times c}{|b \times c|}\right) \frac{b \times c}{|b \times c|}$
અહીં,$\frac{a \cdot (b \times c)}{|b \times c|} (b \times c) = (a \cdot k) (|b \times c| k) = (a \cdot k) (\sin \alpha) k$ થાય,જ્યાં $\alpha$ એ $b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$|b \times c| = \sin \alpha$ હોવાથી,આ પદ $(a \cdot k)k$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$(a \cdot b)b + (a \cdot c)c + (a \cdot k)k = a$.

(A) અને $b$ ની દિશામાં એકમ સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\hat{a} = \frac{a}{|a|} = \frac{7i - 4j - 4k}{9}$
$\hat{b} = \frac{b}{|b|} = \frac{-2i - j + 2k}{3} = \frac{-6i - 3j + 6k}{9}$
આંતરિક દ્વિભાજક સદિશ $\hat{a} + \hat{b} = \frac{1}{9}(i - 7j + 2k)$ ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે $c = \lambda(\hat{a} + \hat{b}) = \frac{\lambda}{9}(i - 7j + 2k)$.
આપેલ છે કે $|c| = 5\sqrt{6}$,તેથી $|c|^2 = 150$.
$|c|^2 = \frac{\lambda^2}{81}(1 + 49 + 4) = \frac{54\lambda^2}{81} = \frac{2\lambda^2}{3} = 150$.
તેથી,$\lambda^2 = 225$,એટલે કે $\lambda = 15$.
આમ,$c = \frac{15}{9}(i - 7j + 2k) = \frac{5}{3}(i - 7j + 2k)$.

(A) સદિશ $c$ એ $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $c = xa + yb$ લખી શકીએ,જ્યાં $x$ અને $y$ અદિશ છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$c = x(2i + j + k) + y(i + 2j - k) = (2x + y)i + (x + 2y)j + (x - y)k$.
આપેલ છે કે $c$ એ $a$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$a \cdot c = 0 \implies 2(2x + y) + 1(x + 2y) + 1(x - y) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$y = -2x$ ની કિંમત $c$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$c = (2x - 2x)i + (x - 4x)j + (x + 2x)k = -3xj + 3xk = 3x(-j + k)$.
$c$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|c| = 1$:
$|3x| \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = 1 \implies |3x| \sqrt{2} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{3\sqrt{2}}$.
તેથી,$c = 3(\pm \frac{1}{3\sqrt{2}})(-j + k) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{1}{\sqrt{2}}(-j + k)$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $r \times a = b \times a$ અને $r \times b = a \times b$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$r \times a + r \times b = b \times a + a \times b$
$r \times (a + b) = b \times a - b \times a = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $r$ એ $(a + b)$ ને સમાંતર છે.
આપેલ છે કે $a = i + j$ અને $b = 2i - k$,તેથી $a + b = (i + j) + (2i - k) = 3i + j - k$.
આમ,$r = \lambda(3i + j - k)$.
છેદબિંદુ માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે શું $r = a + b$ મૂળ સમીકરણોનું પાલન કરે છે.
જો $r = 3i + j - k$ લઈએ,તો $r \times a = (3i + j - k) \times (i + j) = 3(i \times i) + 3(i \times j) + (j \times i) + (j \times j) - (k \times i) - (k \times j) = 0 + 3k - k + 0 - j + i = i - j + 2k$.
તે જ રીતે $b \times a = (2i - k) \times (i + j) = 2(i \times i) + 2(i \times j) - (k \times i) - (k \times j) = 0 + 2k - j + i = i - j + 2k$.
આમ,$r = 3i + j - k$ એ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી છેદબિંદુ $3i + j - k$ છે.

(B) $O$ ના યામ $(0, 0, 0)$,$P$ ના યામ $(1, -2, 1)$ અને $Q$ ના યામ $(2, 3, 4)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિકગુણોત્તરો $(1-0, -2-0, 1-0) = (1, -2, 1)$ છે.
રેખા $OQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(2-0, 3-0, 4-0) = (2, 3, 4)$ છે.
જો બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તો તેઓ પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ થાય.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(1 \times 2) + (-2 \times 3) + (1 \times 4) = 2 - 6 + 4 = 0$.
અહીં ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ પરસ્પર લંબ છે,એટલે કે $OP \perp OQ$.

(B) સૌ પ્રથમ,અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો.
$AB = \sqrt{(7-5)^2 + (-4 - (-1))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$BC = \sqrt{(1-7)^2 + (-6 - (-4))^2 + (10-7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$CD = \sqrt{(-1-1)^2 + (-3 - (-6))^2 + (4-10)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$DA = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - (-3))^2 + (1-4)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી $(AB = BC = CD = DA = 7)$,ચતુષ્કોણ કાં તો ચોરસ છે અથવા સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે,ખૂણો $90^\circ$ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે પાસપાસેના સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર કરો.
$\overrightarrow{AB} = (2, -3, 6)$.
$\overrightarrow{BC} = (-6, -2, 3)$.
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(-6) + (-3)(-2) + (6)(3) = -12 + 6 + 18 = 12 \neq 0$.
ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય નથી,તેથી ખૂણો $90^\circ$ નથી. તેથી,$ABCD$ એ સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) સદિશ $\vec{PQ} = (4-3)\hat{i} + (6-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$\vec{PQ}$ નું માન $|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
સદિશ $\vec{RS} = (1 - (-1))\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-4)\hat{k} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
$\vec{RS}$ નો $\vec{PQ}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{RS} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{RS} \cdot \vec{PQ} = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(-2) = 2 - 4 - 2 = -4$ થાય.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{-4}{3}$ છે.

(C) ધારો કે બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $\vec{a} = (1, 1, 2)$ અને $\vec{b} = (\sqrt{3} - 1, -\sqrt{3} - 1, 4)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી:
$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 1(\sqrt{3} - 1) + 1(-\sqrt{3} - 1) + 2(4) = \sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} - 1 + 8 = 6$.
મેગ્નિટ્યુડ (માન) ની ગણતરી:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (-\sqrt{3} - 1)^2 + 4^2} = \sqrt{(3 + 1 - 2\sqrt{3}) + (3 + 1 + 2\sqrt{3}) + 16} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{6} \times 2\sqrt{6}} = \frac{6}{2 \times 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^o$ મળે છે.

(A) રેખાખંડ $AB$ ના દિક ગુણોત્તર $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$ છે.
રેખાખંડ $CD$ ના દિક ગુણોત્તર $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (3-1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)$ છે.
ધારો કે $AB$ ના દિક ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (1, 2, -2)$ અને $CD$ ના દિક ગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2) = (2, 3, 4)$ છે.
દિક સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર ગણતા: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (1)(2) + (2)(3) + (-2)(4) = 2 + 6 - 8 = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ છે.