$x$ ના કયા મૂલ્યો માટે સદિશો $\vec{a} = x\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય અને સદિશ $\vec{b}$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય?

જો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$,$|\vec{a}|=3$,$|\vec{b}|=5$,અને $|\vec{c}|=7$ હોય,તો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $P$ એ $ABC$ ની અંદરનું એક બિંદુ છે જેથી $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ થાય. $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળ અને $\triangle APC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.

સાબિત કરો કે જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{2}$ થાય છે. આ ઉપરાંત,જે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ અને $\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$ અને સદિશ $\vec{b}$ એવો છે કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ થાય. તો $|\vec{b}|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$,$|\vec{a}| = 3$,$|\vec{b}| = 5$ અને $|\vec{c}| = 7$ હોય,તો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.