Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $U = [2, -3, 4]$ અને $V = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$.
$UV = (2 \times 3) + (-3 \times 2) + (4 \times 1) = 6 - 6 + 4 = [4]$.
આપેલ છે કે $X = [0, 2, 3]$ અને $Y = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \end{bmatrix}$.
$XY = (0 \times 2) + (2 \times 2) + (3 \times 4) = 0 + 4 + 12 = [16]$.
તેથી,$UV + XY = [4] + [16] = [20]$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, 4, -1),$ $B(4, 5, 1),$ અને $C(3, 6, -3)$ છે.
બાજુઓના સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = (4-2)i + (5-4)j + (1-(-1))k = 2i + j + 2k$
$\vec{BC} = (3-4)i + (6-5)j + (-3-1)k = -i + j - 4k$
$\vec{CA} = (2-3)i + (4-6)j + (-1-(-3))k = -i - 2j + 2k$
બાજુઓના માન (magnitude) શોધતા:
$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$
અહીં $|\vec{AB}| = |\vec{CA}| = 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણની શરત ચકાસતા:
$|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$
$|\vec{BC}|^2 = (\sqrt{18})^2 = 18$
અહીં $|\vec{AB}|^2 + |\vec{CA}|^2 = |\vec{BC}|^2$ હોવાથી,તે પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પાલન કરે છે.
તેથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $a, b, c, d$ છે.
આપણને શરત $a + c = b + d$ આપેલી છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $a - b = d - c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે આ શરતને $\frac{a + c}{2} = \frac{b + d}{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ દર્શાવે છે કે વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ અને વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ સમાન છે.
ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે,તેથી આ ચતુષ્કોણ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(A) ધારો કે બે બળો $\vec{F_1}$ અને $\vec{F_2}$ છે.
આપેલ છે કે પરિણામી બળ $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ નું મૂલ્ય $P$ છે,અને એક બળ (ધારો કે $\vec{F_1}$) નું મૂલ્ય પણ $P$ છે.
તેથી,$|\vec{R}| = P$ અને $|\vec{F_1}| = P$.
વળી,પરિણામી બળ $\vec{F_1}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{R} \cdot \vec{F_1} = 0$.
કારણ કે $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$,તેથી $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1}$.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $|\vec{F_2}|^2 = |\vec{R} - \vec{F_1}|^2 = |\vec{R}|^2 + |\vec{F_1}|^2 - 2(\vec{R} \cdot \vec{F_1})$.
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા: $|\vec{F_2}|^2 = P^2 + P^2 - 2(0) = 2P^2$.
તેથી,$|\vec{F_2}| = \sqrt{2P^2} = P\sqrt{2}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(6, -2, 3)$,$B(2, 3, -6)$ અને $C(3, 6, -2)$ છે.
બાજુઓના સદિશો:
$\overrightarrow{AB} = -4i + 5j - 9k$
$\overrightarrow{BC} = i + 3j + 4k$
$\overrightarrow{AC} = -3i + 8j - 5k$
બાજુઓની લંબાઈના વર્ગ:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = 122$,$|\overrightarrow{BC}|^2 = 26$,$|\overrightarrow{AC}|^2 = 98$.
અહીં $AB^2 < BC^2 + AC^2$ હોવાથી ત્રિકોણ લઘુકોણ છે,પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા તે ગુરુકોણ ત્રિકોણ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A(1, 1, -1)$,$B(2, 3, 0)$,$C(3, 5, -2)$ અને $D(0, -1, 1)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)i + (3-1)j + (0-(-1))k = i + 2j + k$
$\overrightarrow{BC} = (3-2)i + (5-3)j + (-2-0)k = i + 2j - 2k$
$\overrightarrow{CD} = (0-3)i + (-1-5)j + (1-(-2))k = -3i - 6j + 3k = -3(i + 2j - k)$
$\overrightarrow{DA} = (1-0)i + (1-(-1))j + (-1-1)k = i + 2j - 2k$
સદિશોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA}$.
કારણ કે સામસામેની બાજુઓની એક જોડી ($\overrightarrow{BC}$ અને $\overrightarrow{DA}$) સમાન અને સમાંતર છે,અને બીજી જોડી ($\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CD}$) સમાંતર નથી (કારણ કે $\overrightarrow{AB} = i + 2j + k$ અને $\overrightarrow{CD} = -3(i + 2j - k)$),તેથી આ આકૃતિ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે.

(D) આપેલ છે કે $a + 2b$ એ $c$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $x$ માટે $a + 2b = xc$ થાય.
આપેલ છે કે $b + 3c$ એ $a$ સાથે સમરેખ છે,તેથી કોઈ અદિશ $y$ માટે $b + 3c = ya$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$a + 2b = xc$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$b = ya - 3c$.
$b$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $a + 2(ya - 3c) = xc$.
$a + 2ya - 6c = xc$.
$(1 + 2y)a = (x + 6)c$.
કારણ કે $a$ અને $c$ શૂન્યતર અને અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$1 + 2y = 0 \implies y = -\frac{1}{2}$.
$x + 6 = 0 \implies x = -6$.
$x = -6$ ને $a + 2b = xc$ માં મૂકતા,આપણને $a + 2b = -6c$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a + 2b + 6c = 0$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{AD}$.
આપણી પાસે $p = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}$.
આ કિંમત $p$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$p = \overrightarrow{AC} + (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}) + \overrightarrow{BC}$.
કારણ કે $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$,તેથી આપણને મળે છે:
$p = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$.
$\overrightarrow{BC} = \lambda \overrightarrow{AD}$ મૂકતા:
$p = \overrightarrow{AD} + \lambda \overrightarrow{AD} = (1 + \lambda) \overrightarrow{AD}$.
આપેલ છે કે $p = \mu \overrightarrow{AD}$,સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\mu = \lambda + 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4i + 7j + 8k$,$\vec{b} = 2i + 3j + 4k$,અને $\vec{c} = 2i + 5j + 7k$ છે.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને $AB:AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,આપણે બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2i - 4j - 4k$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2i - 2j - k$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3$.
ધારો કે $D$ એ બિંદુ છે જ્યાં ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક $BC$ ને મળે છે. ગુણોત્તર $BD:DC = |\vec{AB}|:|\vec{AC}| = 6:3 = 2:1$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d} = \frac{1(\vec{b}) + 2(\vec{c})}{1+2} = \frac{(2i + 3j + 4k) + 2(2i + 5j + 7k)}{3} = \frac{6i + 13j + 18k}{3} = \frac{1}{3}(6i + 13j + 18k)$ છે.

(D) ધારો કે જરૂરી એકમ સદિશ $c$ છે. $c$ એ $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તેને $c = \lambda a + \mu b$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
આપેલ સદિશો મૂકતા,$c = \lambda(i - j) + \mu(i + k) = (\lambda + \mu)i - \lambda j + \mu k$.
$c$ એ $a$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $c \cdot a = 0$.
$((\lambda + \mu)i - \lambda j + \mu k) \cdot (i - j) = 0$.
$(\lambda + \mu)(1) + (-\lambda)(-1) + (\mu)(0) = 0$.
$\lambda + \mu + \lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda + \mu = 0 \Rightarrow \mu = -2\lambda$.
$c$ ના સમીકરણમાં $\mu = -2\lambda$ મૂકતા:
$c = (\lambda - 2\lambda)i - \lambda j + (-2\lambda)k = -\lambda i - \lambda j - 2\lambda k = -\lambda(i + j + 2k)$.
આને એકમ સદિશ બનાવવા માટે,આપણે તેના માન વડે ભાગીએ: $|c| = |-\lambda| \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = |\lambda| \sqrt{6}$.
આમ,એકમ સદિશ $\pm \frac{i + j + 2k}{\sqrt{6}}$ છે.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પોમાં ન હોવાથી,સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2i + 3j - k$ અને $\vec{b} = -2i + 3j + 4k$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ $\vec{b} - \vec{a}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} = (-2 - 2)i + (3 - 3)j + (4 - (-1))k = -4i + 0j + 5k$.
અહીં સદિશ $\overrightarrow{AB}$ નો $j$-ઘટક ($y$-ઘટક) $0$ હોવાથી,આ સદિશ એવા સમતલમાં આવેલો છે જ્યાં $y$ અચળ છે,જે $xz-$ સમતલ (અથવા $zx-$ સમતલ) ને સમાંતર છે.
તેથી,રેખા $AB$ એ $zx-$ સમતલને સમાંતર છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot b = a \cdot c$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $a \cdot b - a \cdot c = 0$ મળે છે.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $a \cdot (b - c) = 0$ મળે છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવા માટે,કાં તો તેમાંથી એક સદિશ શૂન્ય સદિશ હોવો જોઈએ અથવા સદિશો એકબીજાને લંબ હોવા જોઈએ.
અહીં $a$ એ શૂન્યતર સદિશ હોવાથી,$a \cdot (b - c) = 0$ શરત સૂચવે છે કે કાં તો $(b - c) = 0$ (જેનો અર્થ છે $b = c$) અથવા $a$ એ $(b - c)$ ને લંબ છે (એટલે કે $a \perp (b - c)$).
તેથી,સાચું વિધાન $b = c$ અથવા $a \perp (b - c)$ છે.

(B) બે સદિશો $a$ અને $b$ નો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિરુદ્ધ દિશાના સદિશો (unlike vectors) એવા સદિશો છે જેની દિશા પરસ્પર વિરુદ્ધ હોય છે,એટલે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ}$ (અથવા $\pi$ રેડિયન) હોય છે.
કારણ કે $\cos(180^{\circ}) = -1$,તેથી:
$a \cdot b = |a| |b| (-1) = -|a| |b|$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$ થાય.
સમીકરણ $a + b + c = 0$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ મળે.
$|a| = |b| = |c| = 1$ કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ થાય.
તેથી,$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3$ થાય.
આમ,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમાન માન ધરાવતા પરસ્પર લંબ સદિશો છે,ધારો કે $|a| = |b| = |c| = k$,જ્યાં $k > 0$.
તેઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.
ધારો કે $a$ અને $a + b + c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{a \cdot (a + b + c)}{|a| |a + b + c|}$ છે.
પ્રથમ,અંશની ગણતરી કરો: $a \cdot (a + b + c) = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c = |a|^2 + 0 + 0 = k^2$.
ત્યારબાદ,$|a + b + c|$ નું માન શોધો: $|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = k^2 + k^2 + k^2 + 0 = 3k^2$.
આમ,$|a + b + c| = \sqrt{3}k$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{k^2}{k \cdot \sqrt{3}k} = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|a| = |b| = |c| = 1$ અને $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશોના સરવાળાના માનનો વર્ગ નીચે મુજબ મળે છે:
$|a + b + c|^2 = (a + b + c) \cdot (a + b + c)$
$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$|a + b + c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + 0 + 0)$
$|a + b + c|^2 = 1 + 1 + 1 + 0 = 3$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|a + b + c| = \sqrt{3}$

(C) આપેલ છે કે $a + b = c$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = |c|^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
વળી,આપણને $|a| + |b| = |c|$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(|a| + |b|)^2 = |c|^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| = |c|^2$.
$|c|^2$ માટેના બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b|$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $a \cdot b = |a||b|$ મળે છે.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,તેથી $|a||b| \cos \theta = |a||b|$ થાય.
જો $a$ અને $b$ શૂન્યતર સદિશો હોય,તો $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$.

(D) સદિશ $a$ ઉત્તર-પૂર્વ દિશામાં છે,જે $x$-અક્ષ (પૂર્વ) સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સદિશ $b$ ઉત્તર-પશ્ચિમ દિશામાં છે,જે $x$-અક્ષ સાથે $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સદિશ $a$ અને સદિશ $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 135^{\circ} - 45^{\circ} = 90^{\circ}$ છે.
આથી સદિશો પરસ્પર લંબ છે,તેથી $a \cdot b = 0$.
આપણે સૂત્ર $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં $|a| = 5$ અને $|b| = 5$ આપેલ છે,તેથી:
$|a - b|^2 = 5^2 + 5^2 - 2(0) = 25 + 25 = 50$.
તેથી,$|a - b| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\mathbf{a}$ અને $\mathbf{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\mathbf{a}| = 1$ અને $|\mathbf{b}| = 1$.
અદિશ ગુણાકાર $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
સદિશોના સરવાળાના માનનો વર્ગ લેતા:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
કિંમતો મૂકતા:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2 \cos \theta = 2 + 2 \cos \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}|^2 = 2(1 + \cos \theta) = 2(2 \cos^2 \frac{\theta}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| = 2 \cos \frac{\theta}{2}$.
તેથી,$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} |\mathbf{a} + \mathbf{b}|$.

(D) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$,તેથી આપણે લખી શકીએ $a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|a + b|^2 = |-c|^2$.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a + b) \cdot (a + b) = |c|^2$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
જ્યાં $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ અને $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$.
આપેલ કિંમતો $|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5$ મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 2(3)(4) \cos \theta = 5^2$
$9 + 16 + 24 \cos \theta = 25$
$25 + 24 \cos \theta = 25$
$24 \cos \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ અસમતા $|a + b| > |a - b|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|a + b|^2 > |a - b|^2$
$(a + b) \cdot (a + b) > (a - b) \cdot (a - b)$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) > |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
$2(a \cdot b) > -2(a \cdot b)$
$4(a \cdot b) > 0$
$a \cdot b > 0$
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,તેથી $|a||b| \cos \theta > 0$.
કારણ કે માન $|a|$ અને $|b|$ ધન છે,તેથી $\cos \theta > 0$.
આ સૂચવે છે કે $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ લઘુકોણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $a = b + c$ અને $b$ તથા $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
$a$ નો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$a \cdot a = (b + c) \cdot (b + c)$
ડોટ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$a^2 = b \cdot b + c \cdot c + 2(b \cdot c)$
$a^2 = b^2 + c^2 + 2|b||c| \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$
કારણ કે $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$ હોવાથી:
$a^2 = b^2 + c^2 + 2|b||c|(0)$
$a^2 = b^2 + c^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) બે સદિશો $a$ અને $b$ નો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે કે $a \cdot b = \cos \theta$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $|a| |b| \cos \theta = \cos \theta$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|a| |b| = 1$.
સદિશનું માન હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,અને આ વિશિષ્ટ સ્વરૂપમાં ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા સાચી ઠરવા માટે,બંને સદિશોના માન $1$ હોવા જોઈએ.
આમ,$|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
તેથી,$a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે.

(D) ધારો કે $\vec{a} = i + j + k$,$\vec{u} = 2i + 4j - 5k$,અને $\vec{v} = bi + 2j + 3k$.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{s} = \vec{u} + \vec{v} = (2+b)i + 6j - 2k$ છે.
$\vec{s}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{s} = \frac{(2+b)i + 6j - 2k}{\sqrt{(2+b)^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{(2+b)i + 6j - 2k}{\sqrt{b^2 + 4b + 44}}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\hat{s}$ નો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે:
$\vec{a} \cdot \hat{s} = 1 \Rightarrow \frac{(1)(2+b) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{b^2 + 4b + 44}} = 1$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $2 + b + 6 - 2 = b + 6$.
તેથી,$\frac{b+6}{\sqrt{b^2 + 4b + 44}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(b+6)^2 = b^2 + 4b + 44$.
$b^2 + 12b + 36 = b^2 + 4b + 44$.
$8b = 8 \Rightarrow b = 1$.

(C) પગલું $1$: સદિશો $\overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2},$ અને $\overrightarrow{F_3}$ નો સરવાળો શોધો.
$\Sigma \vec{F} = \overrightarrow{F_1} + \overrightarrow{F_2} + \overrightarrow{F_3} = (i - j + k) + (-i + 2j - k) + (j - k) = (1-1)i + (-1+2+1)j + (1-1-1)k = 0i + 2j - k = 2j - k.$
પગલું $2$: સદિશ $\overrightarrow{AB}$ શોધો.
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (6i + j - 3k) - (4i - 3j - 2k) = (6-4)i + (1 - (-3))j + (-3 - (-2))k = 2i + 4j - k.$
પગલું $3$: $\Sigma \vec{F}$ અને $\overrightarrow{AB}$ નો અદિશ (ડોટ) ગુણાકાર શોધો.
$(\Sigma \vec{F}) \cdot \overrightarrow{AB} = (2j - k) \cdot (2i + 4j - k) = (0)(2) + (2)(4) + (-1)(-1) = 0 + 8 + 1 = 9.$

(C) આપેલ છે કે $|a| = |b|$. ધારો કે $|a| = |b| = k$,જ્યાં $k > 0$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $-8 = k \cdot k \cdot \cos(120^\circ)$.
કારણ કે $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$,તેથી $-8 = k^2 \cdot (-\frac{1}{2})$.
બંને બાજુ $-2$ વડે ગુણતા,આપણને $k^2 = 16$ મળે છે.
માનાંક હંમેશા ધન હોય છે,તેથી $k = 4$.
આમ,$|a| = 4$.

(B) આપેલ છે: $|a| = 3$,$|b| = 4$ અને ખૂણો $\theta = 120^\circ$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$.
$a \cdot b = 3 \times 4 \times \cos(120^\circ) = 12 \times (-\frac{1}{2}) = -6$.
હવે,આપણે $|4a + 3b|^2 = (4a + 3b) \cdot (4a + 3b)$ ની ગણતરી કરીએ.
$|4a + 3b|^2 = 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24(a \cdot b)$.
$|4a + 3b|^2 = 16(3^2) + 9(4^2) + 24(-6)$.
$|4a + 3b|^2 = 16(9) + 9(16) - 144$.
$|4a + 3b|^2 = 144 + 144 - 144 = 144$.
વર્ગમૂળ લેતા,$|4a + 3b| = \sqrt{144} = 12$.

(D) ધારો કે જરૂરી સદિશ $d = d_1i + d_2j + d_3k$ છે,જ્યાં $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 51$ (આપેલ છે) .....$(i)$
કારણ કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $d$ તેમની સાથે સમાન ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે શરત મુજબ:
$\cos \theta = \frac{d \cdot a}{|d||a|} = \frac{d \cdot b}{|d||b|} = \frac{d \cdot c}{|d||c|}$
$|d| = \sqrt{51}$ અને $|a| = |b| = |c| = 1$ હોવાથી,$d \cdot a = d \cdot b = d \cdot c$ મળે.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{3}(d_1 - 2d_2 + 2d_3) = \frac{1}{5}(-4d_1 - 3d_3) = d_2$
$\frac{1}{3}(d_1 - 2d_2 + 2d_3) = d_2$ પરથી,$d_1 - 2d_2 + 2d_3 = 3d_2 \Rightarrow d_1 - 5d_2 + 2d_3 = 0$ મળે.
$\frac{1}{5}(-4d_1 - 3d_3) = d_2$ પરથી,$-4d_1 - 3d_3 = 5d_2 \Rightarrow 4d_1 + 5d_2 + 3d_3 = 0$ મળે.
આ સમીકરણોને ચોકડી ગુણાકારની રીતે ઉકેલતા:
$\frac{d_1}{(-5)(3) - (2)(5)} = \frac{d_2}{(2)(4) - (1)(3)} = \frac{d_3}{(1)(5) - (-5)(4)}$
$\frac{d_1}{-25} = \frac{d_2}{5} = \frac{d_3}{25}$
$-5$ વડે ભાગતા,$\frac{d_1}{5} = \frac{d_2}{-1} = \frac{d_3}{-5} = \lambda$ મળે.
તેથી,$d = \lambda(5i - j - 5k)$.
$|d|^2 = 51$ નો ઉપયોગ કરતા,$\lambda^2(25 + 1 + 25) = 51 \Rightarrow 51\lambda^2 = 51 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.
આમ,જરૂરી સદિશ $\pm(5i - j - 5k)$ છે.

(B) કારણ કે $a, b,$ અને $c$ સમતલીય છે,તેથી અદિશ $x, y, z$ (બધા શૂન્ય ન હોય તેવા) અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $xa + yb + zc = 0$ $(i)$.
$(i)$ નો $a$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,આપણને $x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$ મળે છે.
$(i)$ નો $b$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,આપણને $x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$ મળે છે.
કારણ કે $x, y, z$ બધા શૂન્ય નથી,તેથી સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ ની સિસ્ટમનો ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array} \right| = 0$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અદિશ ગુણાકારનું પરિણામ એક અદિશ સંખ્યા હોવાથી,એકમ સદિશ $\vec{\lambda}$ (જે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને લંબ છે) તે અદિશ ગુણાકારના સૂત્રમાં આવતો નથી.
તેથી,સાચું સૂત્ર $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે.

(C) ધારો કે સદિશ $r$ એ $p$ અને $q$ નું સુરેખ સંયોજન છે,તેથી $r = p + \lambda q$.
આપેલ છે $p = i - 2j + 3k$ અને $q = 3i + j + 2k$.
કારણ કે $r$ એ $q$ ને લંબ છે,તેથી $r \cdot q = 0$.
$r = p + \lambda q$ મૂકતા,આપણને $(p + \lambda q) \cdot q = 0$ મળે છે.
$p \cdot q + \lambda (q \cdot q) = 0$.
$p \cdot q = (1)(3) + (-2)(1) + (3)(2) = 3 - 2 + 6 = 7$ ગણો.
$q \cdot q = |q|^2 = 3^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$ ગણો.
આ કિંમતો મૂકતા,$7 + 14\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
હવે,$r = p - \frac{1}{2}q = (i - 2j + 3k) - \frac{1}{2}(3i + j + 2k)$.
$r = (1 - \frac{3}{2})i + (-2 - \frac{1}{2})j + (3 - 1)k = -\frac{1}{2}i - \frac{5}{2}j + 2k$.
$r = -\frac{1}{2}(i + 5j - 4k)$.

(C) ધારો કે ક્ષૈતિજ બળ $\vec{F_1} = P_1 \hat{i}$ છે અને નમેલું બળ $\vec{F_2}$ છે.
પરિણામી બળ $\vec{R}$ શિરોલંબ દિશામાં છે,તેથી $\vec{R} = P \hat{j}$.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$,તેથી $\vec{F_2} = \vec{R} - \vec{F_1} = -P_1 \hat{i} + P \hat{j}$.
$\vec{F_2}$ અને શિરોલંબ અક્ષ ($y$-અક્ષ) વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 60^\circ = \frac{\vec{F_2} \cdot \hat{j}}{|\vec{F_2}| |\hat{j}|}$.
$\frac{1}{2} = \frac{(-P_1 \hat{i} + P \hat{j}) \cdot \hat{j}}{\sqrt{(-P_1)^2 + P^2}} = \frac{P}{\sqrt{P_1^2 + P^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{P^2}{P_1^2 + P^2} \Rightarrow P_1^2 + P^2 = 4P^2 \Rightarrow P_1^2 = 3P^2 \Rightarrow P_1 = P\sqrt{3}$.
નમેલા બળનું મૂલ્ય $|\vec{F_2}| = \sqrt{P_1^2 + P^2} = \sqrt{3P^2 + P^2} = \sqrt{4P^2} = 2P$ છે.
આમ,બે બળો $P\sqrt{3}$ અને $2P$ છે.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $a \cdot b = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(a + b)^2 = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$.
કારણ કે $a \cdot b = b \cdot a = 0$,તેથી $(a + b)^2 = a^2 + b^2$.
તે જ રીતે,$(a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = a^2 + b^2$.
તેથી,$(a + b)^2 = (a - b)^2$.

(A) બે સદિશો $a$ અને $b$ નો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $a \cdot b = 0$,તેથી $|a||b| \cos \theta = 0$.
જો આપણે ધારીએ કે $a$ અને $b$ શૂન્યતર સદિશો છે,તો આનો અર્થ એ થાય કે $\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^\circ$.
તેથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ છે,જેને $a \perp b$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,આપણી પાસે છે $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
આપેલ કિંમતો $|a| = 3, |b| = 1, |c| = 4$ મૂકતા:
$3^2 + 1^2 + 4^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$9 + 1 + 16 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$26 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -26$.
તેથી,$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -13$.

(D) બાજુની લંબાઈ $a$ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,દરેક શિરોબિંદુ પરનો આંતરિક ખૂણો $120^\circ$ હોય છે.
સદિશો $\overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{AF}$ ને ધ્યાનમાં લો. આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ (અદિશ ગુણાકાર) આ મુજબ મળે છે: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} = |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AF}| \cos(120^\circ) = (a)(a) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}a^2$.
પદ $\overrightarrow{BC}^2$ એ સદિશ $\overrightarrow{BC}$ ના માનનો વર્ગ દર્શાવે છે,જે $|\overrightarrow{BC}|^2 = a^2$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF} + \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}^2 = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}(a^2) = 0$.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
તેથી $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$,$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b}$,$\overrightarrow{CD} = \vec{d} - \vec{c}$,$\overrightarrow{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,$\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c}$,અને $\overrightarrow{BD} = \vec{d} - \vec{b}$ થાય.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD}$
$= (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{b}) \cdot (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{d} - \vec{b})$
$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{c}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{a}) + (\vec{a} \cdot \vec{d} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b})$
પદોને ગોઠવતા:
$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d}) + (-\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b}) + (-\vec{a} \cdot \vec{d} + \vec{a} \cdot \vec{d}) + (\vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{d}) + (\vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b})$
$= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0$.

(A) ધારો કે સદિશ $a = xi + yj$ છે કારણ કે તે $i$ અને $j$ સાથે સમતલીય છે.
આપેલ છે કે $a$ એ $b = 4i - 3j + 5k$ ને લંબ છે, તેથી $a \cdot b = 0$.
$(xi + yj) \cdot (4i - 3j + 5k) = 4x - 3y = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $4x = 3y$, તેથી કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $x = 3\lambda$ અને $y = 4\lambda$.
આમ, $a = 3\lambda i + 4\lambda j$.
આપેલ છે કે $|a| = |b|$, આપણે $|b| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ ગણીએ છીએ.
વળી, $|a| = \sqrt{(3\lambda)^2 + (4\lambda)^2} = \sqrt{9\lambda^2 + 16\lambda^2} = \sqrt{25\lambda^2} = 5|\lambda|$.
માનને સરખાવતા: $5|\lambda| = 5\sqrt{2} \Rightarrow |\lambda| = \sqrt{2} \Rightarrow \lambda = \pm\sqrt{2}$.
$\lambda$ ની કિંમત $a$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, આપણને $a = \pm\sqrt{2}(3i + 4j)$ મળે છે.

(A) આપેલ શરત $|a - c| = |b - c|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a - c|^2 = |b - c|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a - c) \cdot (a - c) = (b - c) \cdot (b - c)$ મળે.
$a \cdot a - 2(a \cdot c) + c \cdot c = b \cdot b - 2(b \cdot c) + c \cdot c$.
$|a|^2 - 2(a \cdot c) = |b|^2 - 2(b \cdot c)$.
હવે,પદાવલિ $E = (b - a) \cdot \left( c - \frac{a + b}{2} \right)$ ધ્યાનમાં લો.
$E = (b - a) \cdot \left( \frac{2c - a - b}{2} \right) = \frac{1}{2} (b - a) \cdot (2c - a - b)$.
$E = \frac{1}{2} [2(b \cdot c) - (b \cdot a) - |b|^2 - 2(a \cdot c) + |a|^2 + (a \cdot b)]$.
$a \cdot b = b \cdot a$ હોવાથી,આ પદો ઉડી જશે.
$E = \frac{1}{2} [2(b \cdot c) - 2(a \cdot c) - |b|^2 + |a|^2]$.
આપણી શરૂઆતની શરત પરથી,$|a|^2 - |b|^2 = 2(a \cdot c) - 2(b \cdot c)$.
આ કિંમત $E$ માં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} [2(b \cdot c) - 2(a \cdot c) + (2(a \cdot c) - 2(b \cdot c))] = 0$.

(D) ધારો કે $u = (a \cdot b) c$ અને $v = (a \cdot c) b$.
$u$ અને $v$ બંને સદિશો છે કારણ કે $(a \cdot b)$ અને $(a \cdot c)$ અદિશ છે.
સદિશ $u$ એ $c$ ની દિશામાં છે અને સદિશ $v$ એ $b$ ની દિશામાં છે.
જેহেতু $b$ અને $c$ સ્વૈચ્છિક સદિશો છે,તેથી $u$ અને $v$ સમાન હોવા જરૂરી નથી,તે એક જ દિશામાં હોવા જરૂરી નથી,અને તે $a$ ની દિશામાં હોવા પણ જરૂરી નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સામાન્ય રીતે સાચું નથી.

(A) આપેલ સદિશો $a = i - j + 2k$,$b = -2i + 3j + 5k$,અને $c = 2i - 2j + 4k$ છે.
આપણે સદિશ $v = a - 2b + 3c$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$v = (i - j + 2k) - 2(-2i + 3j + 5k) + 3(2i - 2j + 4k)$
$v = (i - j + 2k) + (4i - 6j - 10k) + (6i - 6j + 12k)$
ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$x$-ઘટક: $1 + 4 + 6 = 11$
$y$-ઘટક: $-1 - 6 - 6 = -13$
$z$-ઘટક: $2 - 10 + 12 = 4$
તેથી,$v = 11i - 13j + 4k$.
હવે,એકમ સદિશ $i$ (જે $(1, 0, 0)$ છે) સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$(11i - 13j + 4k) \cdot i = 11(1) + (-13)(0) + (4)(0) = 11$.

(D) આપેલ છે કે $|a| = 3$,$|b| = 4$,અને $|c| = 5$.
વળી,$a + b + c = 0$.
સમીકરણ $a + b + c = 0$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|a + b + c|^2 = 0^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$9 + 16 + 25 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$50 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -50$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -25$.

(B) આપેલ છે કે $x$ અને $y$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|x| = 1$ અને $|y| = 1$.
ધારો કે $x$ અને $y$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x - y|^2 = (x - y) \cdot (x - y) = |x|^2 + |y|^2 - 2(x \cdot y)$.
કારણ કે $x \cdot y = |x||y| \cos \theta = 1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \cos \theta$,તેથી:
$|x - y|^2 = 1 + 1 - 2 \cos \theta = 2 - 2 \cos \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|x - y|^2 = 2(1 - \cos \theta) = 2(2 \sin^2(\theta/2)) = 4 \sin^2(\theta/2)$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|x - y| = 2 \sin(\theta/2)$ મળે.
તેથી,$\frac{1}{2}|x - y| = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(\theta/2) = \sin(\theta/2)$.

(A) ધારો કે $a = xi + yj + zk$.
આપેલ અદિશ ગુણાકારના સમીકરણો:
$a \cdot i = x$
$a \cdot (i + j) = x + y$
$a \cdot (i + j + k) = x + y + z$
પ્રશ્ન મુજબ, $x = x + y = x + y + z$ છે.
$x = x + y$ પરથી, આપણને $y = 0$ મળે છે.
$x + y = x + y + z$ પરથી, આપણને $z = 0$ મળે છે.
સદિશ $a$ આ શરતોનું પાલન કરે છે, અને જો આપણે $x = 1$ લઈએ, તો $a = 1i + 0j + 0k = i$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $|a| = |b|$.
આપણે અદિશ ગુણાકાર $(a + b) \cdot (a - b)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમના નિયમનું પાલન કરે છે $(a \cdot b = b \cdot a)$,તેથી $-a \cdot b$ અને $b \cdot a$ પદો એકબીજાને રદ કરશે.
આમ,$(a + b) \cdot (a - b) = a \cdot a - b \cdot b$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot a = |a|^2$ અને $b \cdot b = |b|^2$.
તેથી,$(a + b) \cdot (a - b) = |a|^2 - |b|^2$.
કારણ કે $|a| = |b|$,તેથી $|a|^2 = |b|^2$ થાય.
તેથી,$|a|^2 - |b|^2 = 0$.

(B) આપેલ છે કે $a + b + c = 0$.
બંને બાજુ સદિશનો પોતાની સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $(a + b + c) \cdot (a + b + c) = 0 \cdot 0 = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો $|a| = 1, |b| = 2, |c| = 3$ મૂકતા:
$(1)^2 + (2)^2 + (3)^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$1 + 4 + 9 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$14 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$.
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -14$.
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -7$.

(B) આપેલ છે કે $a + \lambda b$ એ $a - \lambda b$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$(a + \lambda b) \cdot (a - \lambda b) = 0$
ગુણધર્મ $(u+v) \cdot (u-v) = |u|^2 - |v|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a|^2 - \lambda^2 |b|^2 = 0$
$|a| = 3$ અને $|b| = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$3^2 - \lambda^2 (4^2) = 0$
$9 - 16\lambda^2 = 0$
$16\lambda^2 = 9$
$\lambda^2 = 9/16$
$\lambda = \pm 3/4$
આમ,$\lambda$ ની કિંમત $\pm 3/4$ છે. વિકલ્પોને જોતા,$3/4$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે: $|a| = 4, |b| = 4, |c| = 2$.
$a \perp (b + c)$ હોવાથી,$a \cdot (b + c) = 0 \Rightarrow a \cdot b + a \cdot c = 0$ $(i)$.
$b \perp (c + a)$ હોવાથી,$b \cdot (c + a) = 0 \Rightarrow b \cdot c + b \cdot a = 0$ $(ii)$.
$c \perp (a + b)$ હોવાથી,$c \cdot (a + b) = 0 \Rightarrow c \cdot a + c \cdot b = 0$ $(iii)$.
$(i), (ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે,$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કિંમતો મૂકતા: $|a + b + c|^2 = 4^2 + 4^2 + 2^2 + 2(0) = 16 + 16 + 4 = 36$.
તેથી,$|a + b + c| = \sqrt{36} = 6$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 3\,i + j + 2\,k$ અને $\vec{b} = 2\,i - 2\,j + 4\,k$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(2) + (1)(-2) + (2)(4) = 6 - 2 + 8 = 12$ છે.
માન (magnitudes) $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = \frac{12}{\sqrt{14} \cdot 2\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{84}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ મળે છે.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{3}{7}} = \sqrt{\frac{4}{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$ થાય.
તેથી,$\theta = \sin^{-1} \left( \frac{2}{\sqrt{7}} \right)$.