Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(A) ત્રિકોણની પરિમિતિ તેની બાજુઓના માનનો સરવાળો છે.
ધારો કે બાજુઓ $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = 4\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{c} = 7\hat{i} + \hat{j}$ છે.
બાજુ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
બાજુ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
બાજુ $\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{7^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
પરિમિતિ = $|\vec{a}| + |\vec{b}| + |\vec{c}| = 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 15\sqrt{2}$.
કારણ કે $15\sqrt{2} = \sqrt{225 \times 2} = \sqrt{450}$,તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ચોરસની બાજુ સદિશ $\vec{a} = 3i + 4j + 5k$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
બાજુનું માન $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની બાજુની લંબાઈના વર્ગ જેટલું હોય છે,જે $|\vec{a}|^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= (\sqrt{50})^2 = 50.$

(A) આપેલ સદિશ $a = 2i + 2j - k$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $a$ નું માન શોધો:
$|a| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આપણને સમીકરણ $|xa| = 1$ આપેલ છે.
માનાંકના ગુણધર્મ $|xa| = |x||a|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|x| \cdot |a| = 1$
$|x| \cdot 3 = 1$
$|x| = \frac{1}{3}$
તેથી,$x = \pm \frac{1}{3}$.

(C) સદિશ $\vec{v} = x\,i + y\,j$ એકમ સદિશ ત્યારે જ કહેવાય જો તેનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 1$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $x^2 + y^2 = 1$.
વિકલ્પ $A$ માટે: $(\cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $(\sin \theta)^2 + (\cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $(\sin 2\theta)^2 + (-\cos \theta)^2 = \sin^2 2\theta + \cos^2 \theta$. આ $\theta$ ના તમામ મૂલ્યો માટે $1$ ને સમાન નથી (દા.ત.,$\theta = \frac{\pi}{4}$ માટે,$\sin^2(\frac{\pi}{2}) + \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 1^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 + 0.5 = 1.5 \neq 1$).
વિકલ્પ $D$ માટે: $(\cos 2\theta)^2 + (-\sin 2\theta)^2 = \cos^2 2\theta + \sin^2 2\theta = 1$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ માં આપેલો સદિશ $\theta$ ના તમામ મૂલ્યો માટે એકમ સદિશ નથી.

(C) ધારો કે સદિશો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $a$ અને $b$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{a} = \frac{a}{|a|}$ અને $\hat{b} = \frac{b}{|b|}$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગતો સદિશ તેમના એકમ સદિશોના સરવાળા દ્વારા મળે છે,જે $\hat{a} + \hat{b} = \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|}$ છે.
આપેલ છે કે $a + b$ એ દુભાજક છે,તેથી તે $\hat{a} + \hat{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
આમ,$a + b = k \left( \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} \right)$ કોઈ અદિશ $k$ માટે.
$a$ અને $b$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $1 = \frac{k}{|a|}$ અને $1 = \frac{k}{|b|}$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $|a| = k$ અને $|b| = k$,તેથી $|a| = |b|$.
આમ,$a$ અને $b$ માન (magnitude) માં સમાન છે.

(B) આપેલ સદિશો $a = i + 2j + 2k$ અને $b = 3i + 6j + 2k$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ $b$ નું માન શોધો:
$|b| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7.$
ત્યારબાદ,$a$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a}$ શોધો:
$|a| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$
$\hat{a} = \frac{a}{|a|} = \frac{i + 2j + 2k}{3}.$
જરૂરી સદિશનું માન $|b|$ છે અને દિશા $\hat{a}$ છે,તેથી તે $|b|\hat{a}$ થશે:
$7 \times \left( \frac{i + 2j + 2k}{3} \right) = \frac{7}{3}(i + 2j + 2k).$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $p = 7i - 2j + 3k$ અને $q = 3i + j + 5k$ છે.
સૌ પ્રથમ,$2q = 2(3i + j + 5k) = 6i + 2j + 10k$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$p - 2q = (7i - 2j + 3k) - (6i + 2j + 10k)$ શોધો.
$p - 2q = (7 - 6)i + (-2 - 2)j + (3 - 10)k = i - 4j - 7k$.
તેનું માન $|p - 2q| = \sqrt{(1)^2 + (-4)^2 + (-7)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|p - 2q| = \sqrt{1 + 16 + 49} = \sqrt{66}$.

(C) આપેલ છે કે $a = i$ અને $|b| = 1$. $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $120^\circ$ છે.
કારણ કે $a$ એ $x$-અક્ષ પર છે,આપણે $b$ ને $b = \cos(120^\circ)i + \sin(120^\circ)j$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
ઘટકોની ગણતરી કરતા: $b = -\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j$.
હવે,સદિશ $a + b$ શોધો: $a + b = i + (-\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j) = \frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j$.
કારણ કે $|a+b| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$,તેથી સદિશ $\frac{1}{2}i + \frac{\sqrt{3}}{2}j$ એ પહેલેથી જ એકમ સદિશ છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 6i + 4j + 5k$,$\vec{B} = 4i + 5j + 6k$ અને $\vec{C} = 5i + 6j + 4k$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{BC}$ અને $\vec{CA}$ ના માન શોધીએ.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (4-6)i + (5-4)j + (6-5)k = -2i + j + k$.
લંબાઈ $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (5-4)i + (6-5)j + (4-6)k = i + j - 2k$.
લંબાઈ $BC = |\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (6-5)i + (4-6)j + (5-4)k = i - 2j + k$.
લંબાઈ $CA = |\vec{CA}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
અહીં $AB = BC = CA = \sqrt{6}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(5, 3, -3)$ અને $C(2, 5, 9)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ એ બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોના માન છે:
$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (3-1)^2 + (-3-1)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$BC = \sqrt{(2-5)^2 + (5-3)^2 + (9-(-3))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 4 + 144} = \sqrt{157}$.
$CA = \sqrt{(1-2)^2 + (1-5)^2 + (1-9)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ એ બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો છે:
પરિમિતિ $= AB + BC + CA = 6 + \sqrt{157} + 9 = 15 + \sqrt{157}$.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{OB} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$.
$\overrightarrow{AB} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}$
$\overrightarrow{AB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
હવે,માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (2)^2}$
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બળો $a, b$ અને $c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમને અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષો પર દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i}$,$\vec{b} = 10\hat{j}$,અને $\vec{c} = 11\hat{k}$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ થશે.
પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{(2)^2 + (10)^2 + (11)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{R}| = \sqrt{4 + 100 + 121} = \sqrt{225} = 15$.

(A) એકમ સદિશો $i, j, k$ એ ત્રિ-પરિમાણીય કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં અનુક્રમે $x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરના પ્રમાણિત આધાર સદિશો દર્શાવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આ સદિશો એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આ ગણમાંથી કોઈપણ બે અલગ સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે (દા.ત.,$i \cdot j = 0, j \cdot k = 0, k \cdot i = 0$).
જે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તેને લંબકોણીય (orthogonal) સદિશો કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$i, j, k$ સદિશોની સિસ્ટમ લંબકોણીય છે.

(D) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = i + j + k$,$\vec{b} = -i + j + k$,$\vec{c} = i - j + k$,અને $\vec{d} = i + j - k$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = (1-1+1+1)i + (1+1-1+1)j + (1+1+1-1)k = 2i + 2j + 2k$.
પરિણામી સદિશનું માન $|\vec{R}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ છે.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{|\vec{R}|}, \frac{y}{|\vec{R}|}, \frac{z}{|\vec{R}|}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$l = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,અને $n = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,દિકકોસાઇન $\left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ છે.

(A) સ્થાન સદિશો $\vec{OP} = 5i + 4j + ak$ અને $\vec{OQ} = -i + 2j - 2k$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (-1 - 5)i + (2 - 4)j + (-2 - a)k = -6i - 2j - (a + 2)k$ થાય.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $\vec{PQ}$ ના માન જેટલું છે,જે $7$ આપેલ છે.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{(-6)^2 + (-2)^2 + (-(a + 2))^2} = 7$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$36 + 4 + (a + 2)^2 = 49$.
$40 + (a + 2)^2 = 49$.
$(a + 2)^2 = 9$.
$a + 2 = \pm 3$.
કિસ્સો $1$: $a + 2 = 3 \Rightarrow a = 1$.
કિસ્સો $2$: $a + 2 = -3 \Rightarrow a = -5$.
આમ,$a$ ની કિંમતો $-5$ અને $1$ છે.

(A) શૂન્ય સદિશ એ એવો સદિશ છે જેનું માન $0$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,શૂન્ય સદિશની દિશા અનિશ્ચિત અથવા સ્વૈચ્છિક હોય છે.
તેથી,એવું કહી શકાય કે તેની પાસે કોઈપણ દિશા છે,કારણ કે તે અવકાશમાં કોઈ ચોક્કસ દિશામાં નિર્દેશ કરતું નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$,જ્યાં $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ એ $z$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $n = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$l^2 + m^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1 \implies l^2 + m^2 = \frac{1}{2} \dots (i)$.
આપેલ છે કે $\vec{a} + \hat{i} + \hat{j}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|(l+1)\hat{i} + (m+1)\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(l+1)^2 + (m+1)^2 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 1^2$.
$l^2 + 2l + 1 + m^2 + 2m + 1 + \frac{1}{2} = 1$.
$(l^2 + m^2) + 2(l+m) + 2.5 = 1$.
સમીકરણ $(i)$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2} + 2(l+m) + 2.5 = 1 \implies 2(l+m) = -2 \implies l+m = -1$.
કારણ કે $l^2 + m^2 = \frac{1}{2}$ અને $l+m = -1$,તેથી $(l+m)^2 = l^2 + m^2 + 2lm = 1 \implies \frac{1}{2} + 2lm = 1 \implies 2lm = \frac{1}{2} \implies lm = \frac{1}{4}$.
$l+m = -1$ અને $lm = \frac{1}{4}$ ઉકેલતા આપણને $l = m = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\vec{a} = -\frac{1}{2}\hat{i} - \frac{1}{2}\hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k}$.

(B) બળને એવા સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જે પદાર્થના કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર કાર્ય કરે છે.
બળની અસર તેના પ્રયોગ બિંદુ પર આધારિત હોવાથી,તેને સ્થાનિક સદિશ (અથવા બદ્ધ સદિશ) તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = i + 3j - 7k$ અને $\vec{OB} = 5i - 2j + 4k$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (5-1)i + (-2-3)j + (4 - (-7))k = 4i - 5j + 11k$ થાય.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2 + 11^2} = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$ છે.
$y$-અક્ષની દિશામાં દિકકોસાઇન એ સદિશના $j$ ઘટકને તેના માન વડે ભાગવાથી મળે છે.
$y$-અક્ષની દિશામાં દિકકોસાઇન $= \frac{-5}{\sqrt{162}}$.

(C) સદિશ $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ આપેલ છે.
દિક્કોસાઇન શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સદિશ $\vec{a}$ નું માન (magnitude) શોધીએ:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50}$.
ધન $x$-અક્ષની દિશામાં દિક્કોસાઇન એ $x$-ઘટક અને સદિશના માનનો ગુણોત્તર છે:
$\cos \alpha = \frac{a_x}{|\vec{a}|} = \frac{3}{\sqrt{50}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = 2i + 3j + 4k,$ $\overrightarrow{OB} = 3i + 4j + 2k,$ અને $\overrightarrow{OC} = 4i + 2j + 3k$ છે.
પ્રથમ,આપણે ત્રિકોણની બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (3-2)i + (4-3)j + (2-4)k = i + j - 2k.$
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (4-3)i + (2-4)j + (3-2)k = i - 2j + k.$
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC} = (2-4)i + (3-2)j + (4-3)k = -2i + j + k.$
હવે,આપણે બાજુઓની લંબાઈ શોધીએ:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}.$
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}.$
$|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}.$
અહીં $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = \sqrt{6}$ હોવાથી,ત્રણેય બાજુઓની લંબાઈ સમાન છે.
તેથી,આ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.

(B) ધારો કે $P, Q,$ અને $R$ એ સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$,$\vec{q} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$,અને $\vec{r} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$ ધરાવતા બિંદુઓ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $|\vec{q} - \vec{p}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$ છે.
$Q$ અને $R$ વચ્ચેનું અંતર $|\vec{r} - \vec{q}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$ છે.
$R$ અને $P$ વચ્ચેનું અંતર $|\vec{p} - \vec{r}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$ છે.
અહીં $|\vec{PQ}| = |\vec{QR}| = |\vec{RP}|$ હોવાથી,આ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $|a| = 3$,$|b| = 4$,અને $|a + b| = 5$.
સદિશોના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે નિત્યસમ છે:
$|a + b|^2 + |a - b|^2 = 2(|a|^2 + |b|^2)$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$5^2 + |a - b|^2 = 2(3^2 + 4^2)$
$25 + |a - b|^2 = 2(9 + 16)$
$25 + |a - b|^2 = 2(25)$
$25 + |a - b|^2 = 50$
$|a - b|^2 = 50 - 25 = 25$
$|a - b| = \sqrt{25} = 5$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે કોઈ અદિશ $x$ અને $y$ માટે $x(a + b) + y(a - b) = 0$ છે.
આને $(x + y)a + (x - y)b = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
કારણ કે $a$ અને $b$ અસમરેખ છે,તેથી તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + y = 0$ અને $x - y = 0$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2x = 0$ મળે છે,તેથી $x = 0$.
$x = 0$ ને $x + y = 0$ માં મૂકતા $y = 0$ મળે છે.
માત્ર ઉકેલ $x = 0$ અને $y = 0$ હોવાથી,સદિશો $a + b$ અને $a - b$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.

(B) ધારો કે સદિશ $\vec{A} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{A}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ થાય.
દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{|\vec{A}|}, \frac{y}{|\vec{A}|}, \frac{z}{|\vec{A}|}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}$ છે.
ત્રીજા પદનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે.
આમ,દિકકોસાઇન $\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ ના સ્થાન સદિશો $\overrightarrow{OA} = 2i - 9j - 4k$ અને $\overrightarrow{OB} = 6i - 3j + 8k$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{AB} = (6 - 2)i + (-3 - (-9))j + (8 - (-4))k$
$\overrightarrow{AB} = 4i + 6j + 12k$
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2}$ થાય.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(D) આપેલ છે કે બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = i + 3j - 7k$ અને $\vec{q} = 5i - 2j + 4k$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ}$ એ $\vec{q} - \vec{p}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{PQ} = (5 - 1)i + (-2 - 3)j + (4 - (-7))k$
$\overrightarrow{PQ} = 4i - 5j + 11k$
માન $|\overrightarrow{PQ}|$ ની ગણતરી $\sqrt{(4)^2 + (-5)^2 + (11)^2}$ મુજબ થાય છે.
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{16 + 25 + 121} = \sqrt{162}$.

(C) કોઈ સદિશ $\vec{v}$ એકમ સદિશ ત્યારે કહેવાય જો તેનું માન $1$ હોય,એટલે કે $|\vec{v}| = 1$.
અહીં આપેલ છે કે $m\vec{a}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|m\vec{a}| = 1$.
અદિશ ગુણાકારના માનાંકના ગુણધર્મ મુજબ,$|m\vec{a}| = |m| |\vec{a}|$.
તેથી,$|m| |\vec{a}| = 1$.
અહીં $m$ શૂન્યતર અદિશ હોવાથી,$|m| = \frac{1}{|\vec{a}|}$.
જો $m$ ધન હોય,તો $m = \frac{1}{|\vec{a}|}$.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચી શરત છે.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2i + j - k$,$\vec{b} = 3i - 2j + k$,અને $\vec{c} = i + 4j - 3k$ છે.
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (3-2)i + (-2-1)j + (1-(-1))k = i - 3j + 2k$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1-3)i + (4-(-2))j + (-3-1)k = -2i + 6j - 4k$.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $\vec{BC} = -2(i - 3j + 2k) = -2\vec{AB}$.
જેથી $\vec{BC}$ એ $\vec{AB}$ નો અદિશ ગુણાંક હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર છે.
તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$,અને $C$ સમરેખ છે.

(D) આપેલ છે કે $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 7j + 10k$,$\vec{b} = -i + 6j + 6k$,અને $\vec{c} = -4i + 9j + 6k$ છે.
પ્રથમ,આપણે બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -i - j - 4k$
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{18}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -3i + 3j$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4i + 2j - 4k$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$
અહીં $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{18}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.
વળી,$|\vec{AB}|^2 + |\vec{BC}|^2 = 18 + 18 = 36 = |\vec{AC}|^2$ થાય છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
તેથી,ત્રિકોણ કાટકોણ અને સમદ્વિબાજુ છે.

(B) ધારો કે બળો $\vec{F_1} = 6$ એ $\overrightarrow{AB}$ ની દિશામાં,$\vec{F_2} = 5$ એ $\overrightarrow{CA}$ ની દિશામાં અને $\vec{F_3} = 2\sqrt{2}$ એ $\overrightarrow{BC}$ ની દિશામાં છે.
$A$ ને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ લેતા,$\overrightarrow{AB}$ એ $x$-અક્ષ પર અને $\overrightarrow{AC}$ એ $y$-અક્ષ પર છે.
$\triangle ABC$ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$\angle B = \angle C = 45^\circ$.
સદિશ $\vec{F_1} = 6\hat{i}$.
સદિશ $\vec{F_2} = -5\hat{j}$ (કારણ કે તે $\overrightarrow{CA}$ ની દિશામાં છે).
સદિશ $\vec{F_3}$ એ $\overrightarrow{BC}$ ની દિશામાં છે. $\overrightarrow{BC}$ ની દિશા $x$-અક્ષ સાથે $135^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.
તેથી,$\vec{F_3} = 2\sqrt{2}(\cos 135^\circ \hat{i} + \sin 135^\circ \hat{j}) = -2\hat{i} + 2\hat{j}$.
પરિણામી બળ $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = (6-2)\hat{i} + (-5+2)\hat{j} = 4\hat{i} - 3\hat{j}$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|R| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

(B) ધારો કે નિયમિત ષટ્કોણનું કેન્દ્ર $O$ છે. નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્રથી શિરોબિંદુઓ સુધીના સદિશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OE} + \overrightarrow{OF} = \vec{0}$.
નિયમિત ષટ્કોણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AO}$ અને $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE} = 2\overrightarrow{AD}$ ના સંબંધોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે કે $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{AF} = 3\overrightarrow{AD}$.
તેથી,$\lambda = 3$.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ધારો કે $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$. તેથી $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$ અને $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = \vec{a}$ થાય.
$P$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{BP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
તેથી,$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.
$Q$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{DQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} = \frac{1}{2}\vec{a}$.
તેથી,$\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DQ} = \vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}$.
આ બંને સદિશોનો સરવાળો કરતા:
$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) + (\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{a}) = \frac{3}{2}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b} = \frac{3}{2}(\vec{a} + \vec{b})$.
કારણ કે $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$,તેથી:
$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \frac{3}{2}\overrightarrow{AC}$.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AB}$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ}$ મળે છે.
પદોની ગોઠવણી કરતા,$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PC}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{PQ} - \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{CQ}$,તેથી $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CQ}$ મળે છે.
ચતુષ્કોણ $ABQC$ માં સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર $(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CQ})$ હોવાથી,તે એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(D) ત્રિકોણના સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ $\triangle ADC$ માં,આપણી પાસે $\vec{AD} + \vec{DC} = \vec{AC}$ છે. આપેલ છે કે $\vec{AD} = b$ અને $\vec{DC} = v$,તેથી $\vec{AC} = b + v$.
ત્રિકોણ $\triangle ABD$ માં,$\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}$. આપેલ છે કે $\vec{AB} = a$ અને $\vec{BD} = w$,તેથી $a + w = b$,એટલે કે $w = b - a$.
આપેલ સમીકરણ $x - w = v$ પરથી,$x = v + w$.
આકૃતિ પરથી સદિશોની કિંમત મૂકતા,સાચો સદિશ સરવાળો $x = a + b + c$ મળે છે.

(A) સદિશ $\vec{r}$ એ બે અન-કોલિનિયર સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેને $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય.
એટલે કે,$\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b}$,જ્યાં $x$ અને $y$ અદિશ છે.
આમ,$\vec{a} + \vec{b}$ એ પણ એક સમતલીય સદિશ છે કારણ કે તે $x=1$ અને $y=1$ માટેનું રેખીય સંયોજન છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}$ થાય.
તેથી,$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\overrightarrow{BD} = (i + 2j + 3k) - (2i + 4j - 5k) = -i - 2j + 8k$.
$\overrightarrow{BD}$ નું માન $|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$ છે.
$\overrightarrow{BD}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|} = \frac{-i - 2j + 8k}{\sqrt{69}} = \frac{1}{\sqrt{69}}(-i - 2j + 8k)$ થાય.

(D) આપેલ સદિશો $a = 2i + 5j$ અને $b = 2i - j$ છે.
સૌ પ્રથમ,સરવાળો $a + b = (2i + 5j) + (2i - j) = 4i + 4j$ શોધો.
ત્યારબાદ,પરિણામી સદિશનું માન $|a + b| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ શોધો.
$a + b$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{a + b}{|a + b|} = \frac{4i + 4j}{4\sqrt{2}} = \frac{4(i + j)}{4\sqrt{2}} = \frac{i + j}{\sqrt{2}}$ દ્વારા મળે છે.

(A) ધારો કે ઉમેરવાનો સદિશ $b$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$a + b = i$.
આપેલ સદિશ $a = 3i + 4j - 2k$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$3i + 4j - 2k + b = i$
$b = i - (3i + 4j - 2k)$
$b = i - 3i - 4j + 2k$
$b = - 2i - 4j + 2k$
આમ,જરૂરી સદિશ $- 2i - 4j + 2k$ છે.

(C) પરિણામી સદિશ $R$ એ સદિશો $a$,$b$ અને $c$ ના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$R = a + b + c$
$R = (i + 2j + 3k) + (-i + 2j + k) + (3i + j)$
$R = (1 - 1 + 3)i + (2 + 2 + 1)j + (3 + 1 + 0)k$
$R = 3i + 5j + 4k$
હવે,પરિણામી સદિશનું માન $|R|$ શોધો:
$|R| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
પરિણામી સદિશની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{R} = \frac{R}{|R|}$ દ્વારા મળે છે:
$\hat{R} = \frac{3i + 5j + 4k}{5\sqrt{2}}$

(B) નિયમિત ષટ્કોણ $ABCDEF$ માં,આપણે સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને સદિશ $\overrightarrow{AE}$ ને દર્શાવી શકીએ છીએ.
માર્ગ $A \to C \to D \to E$ ધ્યાનમાં લો. આમ,$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DE}$.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,સામસામેની બાજુઓ સમાંતર અને સમાન મૂલ્યની હોય છે. તેથી,$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AF}$ અને $\overrightarrow{DE} = -\overrightarrow{AB}$ થાય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AB}$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $3\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}$
આપણે $3\overrightarrow{OD}$ ને ત્રણ ભાગમાં વિભાજિત કરીને પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$= \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC}$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{OX} + \overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY}$:
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{OA}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{OC}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે $-2a + 3b - c = xp + yq + zr$.
$p, q,$ અને $r$ ના પદો મૂકતા:
$-2a + 3b - c = x(2a - 3b) + y(a - 2b + c) + z(-3a + b + 2c)$
$-2a + 3b - c = (2x + y - 3z)a + (-3x - 2y + z)b + (y + 2z)c$.
$a, b,$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) 2x + y - 3z = -2$
$2) -3x - 2y + z = 3$
$3) y + 2z = -1$
$(3)$ પરથી,$y = -1 - 2z$.
$(1)$ અને $(2)$ માં કિંમત મૂકતા:
$2x + (-1 - 2z) - 3z = -2 \implies 2x - 5z = -1$
$-3x - 2(-1 - 2z) + z = 3 \implies -3x + 2 + 4z + z = 3 \implies -3x + 5z = 1$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(2x - 5z) + (-3x + 5z) = -1 + 1 \implies -x = 0 \implies x = 0$.
તેથી $5z = 1 \implies z = \frac{1}{5}$.
$y = -1 - 2(\frac{1}{5}) = -1 - \frac{2}{5} = -\frac{7}{5}$.
આમ,$-2a + 3b - c = 0p - \frac{7}{5}q + \frac{1}{5}r = \frac{-7q + r}{5}$.

(A) આપેલ સદિશો $a = 2i + j - 8k$ અને $b = i + 3j - 4k$ છે.
પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો $a + b$ શોધો:
$a + b = (2i + i) + (j + 3j) + (-8k - 4k) = 3i + 4j - 12k$.
હવે,પરિણામી સદિશનું માન $|a + b|$ શોધો:
$|a + b| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2 + (-12)^2}$
$|a + b| = \sqrt{9 + 16 + 144}$
$|a + b| = \sqrt{169}$
$|a + b| = 13$.
આમ,$a + b$ નું માન $13$ છે.

(B) આપેલ છે કે $A, B, C, D, E$ એ પાંચ સમતલીય બિંદુઓ છે.
આપણે સરવાળો શોધવાનો છે: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{CE}$.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$.
આપેલ પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$= (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AE}) + (\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BE}) + (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CE})$
દરેક જૂથ માટે ત્રિકોણનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$= \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{DE}$
$= 3\,\overrightarrow{DE}$.

(C) આપેલ સદિશો $a = 3i - 2j + k$,$b = 2i - 4j - 3k$,અને $c = -i + 2j + 2k$ છે.
$a + b + c$ શોધવા માટે,આપણે $i$,$j$,અને $k$ ના અનુરૂપ ઘટકોનો સરવાળો કરીએ છીએ:
$a + b + c = (3 + 2 - 1)i + (-2 - 4 + 2)j + (1 - 3 + 2)k$
$a + b + c = (4)i + (-4)j + (0)k$
$a + b + c = 4i - 4j$.

(B) પરિણામી બળ $R$ એ આપેલા તમામ સદિશોનો સરવાળો છે:
$R = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}) + (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{EB})$
સદિશ સરવાળાના ક્રમના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}) + (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}) + (\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB})$
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,જ્યાં $\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}$:
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{AB}$
આ કિંમતોને $R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$R = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AB}$.

(A) ધારો કે બે બળો $P$ અને $Q$ છે,જ્યાં $Q > P$ છે.
આપેલ છે કે બળોનો સરવાળો $P + Q = 18 \ N$ છે.
ધારો કે પરિણામી બળ $R = 12 \ N$ એ નાના બળ $P$ ને લંબ છે.
પરિણામી બળ $R$ અને બળ $P$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
પરિણામી બળની દિશાનું સૂત્ર $\tan \alpha = \frac{Q \sin \theta}{P + Q \cos \theta}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ બે બળો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પરિણામી બળ $P$ ને લંબ હોવાથી,$\tan 90^o = \infty$,જેનો અર્થ છે કે $P + Q \cos \theta = 0$,અથવા $\cos \theta = -\frac{P}{Q}$.
પરિણામી બળના મૂલ્ય માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{P}{Q}$ મૂકતા:
$12^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ(-\frac{P}{Q}) = P^2 + Q^2 - 2P^2 = Q^2 - P^2$.
$144 = (Q - P)(Q + P)$.
$Q + P = 18$ હોવાથી,$144 = (Q - P) \times 18$,તેથી $Q - P = 8$.
$Q + P = 18$ અને $Q - P = 8$ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2Q = 26 \Rightarrow Q = 13 \ N$.
સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2P = 10 \Rightarrow P = 5 \ N$.
આમ,બે બળોના મૂલ્યો $13 \ N$ અને $5 \ N$ છે.

(A) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = 2i + 4j - 5k$ અને $\vec{b} = i + 2j + 3k$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો સરવાળો છે:
$\vec{R} = \vec{a} + \vec{b} = (2+1)i + (4+2)j + (-5+3)k = 3i + 6j - 2k$.
પરિણામી સદિશનું માન $|\vec{R}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$\vec{R}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{R}$ એ $\hat{R} = \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|} = \frac{3i + 6j - 2k}{7} = \frac{1}{7}(3i + 6j - 2k)$ દ્વારા મળે છે.

(A) ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર એ બિંદુ છે જ્યાં ત્રણેય મધ્યગાઓ એકબીજાને છેદે છે.
જો શિરોબિંદુઓ $A, B,$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ હોય,તો મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ એ શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશોની સરેરાશ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.