Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $(\vec{a} + 3\vec{b}) \perp (7\vec{a} - 5\vec{b})$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (7\vec{a} - 5\vec{b}) = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 5\vec{a} \cdot \vec{b} + 21\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$
$7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$ ...... $(i)$
તે જ રીતે,$(\vec{a} - 5\vec{b}) \perp (7\vec{a} + 3\vec{b})$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a} - 5\vec{b}) \cdot (7\vec{a} + 3\vec{b}) = 0$
$7|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 35\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 32\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2 = 0$ ...... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી સમીકરણ $(ii)$ બાદ કરતા:
$(7|\vec{a}|^2 + 16\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2) - (7|\vec{a}|^2 - 32\vec{a} \cdot \vec{b} - 15|\vec{b}|^2) = 0$
$48\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ શૂન્યતર સદિશો છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \perp \vec{b}$.
તેથી,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(B) ધારો કે $\vec a$ અને $\vec b$,$\vec b$ અને $\vec c$,તથા $\vec c$ અને $\vec a$ વચ્ચેના ખૂણા અનુક્રમે $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ છે.
પ્રક્ષેપની લંબાઈઓ $p_1 = |\vec a| \cos \theta_1 = 2 \cos \theta_1$,$p_2 = |\vec b| \cos \theta_2 = 3 \cos \theta_2$,અને $p_3 = |\vec c| \cos \theta_3 = 9 \cos \theta_3$ છે.
આ લંબાઈઓ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$p_2^2 = p_1 p_3$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(3 \cos \theta_2)^2 = (2 \cos \theta_1)(9 \cos \theta_3)$.
$9 \cos^2 \theta_2 = 18 \cos \theta_1 \cos \theta_3$.
$\cos^2 \theta_2 = 2 \cos \theta_1 \cos \theta_3$.
અહીં $\theta_1 = \frac{5\pi}{12}$ અને $\theta_3 = \frac{\pi}{12}$ આપેલ છે.
$\cos^2 \theta_2 = 2 \cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) \cos \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
સૂત્ર $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta_2 = \cos \left(\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12}\right) + \cos \left(\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}\right)$.
$\cos^2 \theta_2 = \cos \left(\frac{6\pi}{12}\right) + \cos \left(\frac{4\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos \left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$\cos^2 \theta_2 = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
ખૂણો લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \theta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta_2 = \frac{\pi}{4}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ એકમ સદિશ $\hat{u}$ માટે,$|\hat{u}|^2 = 1$ થાય.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $|\hat{a}+\hat{b}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b})$.
તે જ રીતે,$|\hat{b}+\hat{c}|^2 = 2 + 2(\hat{b} \cdot \hat{c})$ અને $|\hat{c}+\hat{a}|^2 = 2 + 2(\hat{c} \cdot \hat{a})$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,$S = |\hat{a}+\hat{b}|^2 + |\hat{b}+\hat{c}|^2 + |\hat{c}+\hat{a}|^2 = 6 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a})$.
નિત્યસમ $|\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + |\hat{c}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a})$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $|\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}|^2 \geq 0$,તેથી $3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) \geq -3$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે $S \geq 6 - 3 = 3$.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) રેખાઓ છેદે તે માટે,$\lambda$ અને $\mu$ ની એવી કિંમતો હોવી જોઈએ કે જેથી રેખાઓ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ સમાન હોય.
પ્રથમ રેખા $\vec{r} = (2 + \lambda)\hat{i} + (1 - 2\lambda)\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
બીજી રેખા $\vec{r} = 1\hat{i} + (1 + \mu)\hat{j} + (-3 + 2\mu)\hat{k}$ છે.
ઘટકોને સરખાવતા:
$1) 2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1$
$2) 1 - 2\lambda = 1 + \mu$
$3) 1 = -3 + 2\mu$
સમીકરણ $(3)$ પરથી,$2\mu = 4 \Rightarrow \mu = 2$.
સમીકરણ $(2)$ સાથે સુસંગતતા તપાસતા:
$1 - 2(-1) = 1 + 2 \Rightarrow 1 + 2 = 3 \Rightarrow 3 = 3$. આ સુસંગત છે.
આમ,$\lambda = -1$ અને $\mu = 2$.
તેથી,$(\lambda + \mu) = -1 + 2 = 1$.

(D) અહીં આપણે સદિશો $\vec{u} = (3, 4, 12)$ અને $\vec{v} = (a, b, c)$ માટે કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતાનો ઉપયોગ કરીશું.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,$|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq |\vec{u}| |\vec{v}|$.
અહીં,$\vec{u} \cdot \vec{v} = 3a + 4b + 12c$.
સદિશ $\vec{u}$ નું માન $|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1} = 1$ છે.
તેથી,$3a + 4b + 12c \leq 13 \times 1 = 13$.
આમ,મહત્તમ શક્ય કિંમત $13$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
સદિશોના સરવાળાનું માન ધ્યાનમાં લો: $|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|^2 \ge 0$.
$|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + 2\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 + 1 + 1 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{a} \cdot \vec{c}) = 3 - 2(\frac{3}{2}) = 3 - 3 = 0$.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}|^2 = 0$ હોવાથી,$\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{b}|^2 = |\vec{a} + \vec{c}|^2 \implies 1 = |\vec{a}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{c} \implies 1 = 1 + 1 + 2\vec{a} \cdot \vec{c}$.
આમ,$2\vec{a} \cdot \vec{c} = -1$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{2}$.
હવે,આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{3}{2} + \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$.
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,જ્યાં $|\vec{a}| = a$ અને $|\vec{b}| = b$. $M$ એ $OB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
તેથી $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} = \frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $\overrightarrow{OL}$ એ $\frac{\vec{a}}{a} + \frac{\vec{b}}{b}$ ની દિશામાં છે. તેથી,$\overrightarrow{OL} = k(\frac{\vec{a}}{a} + \frac{\vec{b}}{b})$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{AM} \perp \overrightarrow{OL}$,તેથી $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OL} = 0$.
આ સમીકરણ ઉકેલતા અને $|\overrightarrow{AM}|:|\overrightarrow{OL}| = 1:2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos \theta = 4/5$ મળે છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ સદિશો દ્વારા દર્શાવેલ છે. $ABCD$ એ કાટકોણ સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $AB$ એ $BC$ ને લંબ છે અને $AD$ એ $BC$ ને સમાંતર છે,તેથી આપણે $B$ ને ઉગમબિંદુ $(0)$ પર લઈ શકીએ. ધારો કે $\vec{BA} = \vec{a}$ અને $\vec{BC} = \vec{c}$. $AD \parallel BC$ અને $AD:BC = 2:3$ હોવાથી,$\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{c}$ મળે. આમ,$\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD} = \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}$.
વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0$.
$(\vec{c} - \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}) = 0$.
$\vec{a} \perp \vec{c}$ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$. ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 - |\vec{a}|^2 = 0 \Rightarrow |\vec{a}|^2 = \frac{2}{3}|\vec{c}|^2$.
હવે,વિકર્ણોની લંબાઈનો ગુણોત્તર:
$\frac{|\vec{AC}|}{|\vec{BD}|} = \frac{|\vec{c} - \vec{a}|}{|\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c}|} = \frac{\sqrt{|\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2}}{\sqrt{|\vec{a}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{c}|^2}}$.
$|\vec{a}|^2 = \frac{2}{3}|\vec{c}|^2$ મૂકતા:
$= \frac{\sqrt{|\vec{c}|^2 + \frac{2}{3}|\vec{c}|^2}}{\sqrt{\frac{2}{3}|\vec{c}|^2 + \frac{4}{9}|\vec{c}|^2}} = \frac{\sqrt{\frac{5}{3}}}{\sqrt{\frac{10}{9}}} = \sqrt{\frac{5}{3} \times \frac{9}{10}} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3}:\sqrt{2}$ છે.

(A) સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
આ કિંમત આપેલા સમીકરણમાં મૂકતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} + (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} = (4 - 2x - \sin y)\vec{b} + (x^2 - 1)\vec{c}$.
પદોને ગોઠવતા: $(\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c} = (4 - 2x - \sin y)\vec{b} + (x^2 - 1)\vec{c}$.
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1$) $\vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 2x - \sin y$
$2$) $-\vec{a} \cdot \vec{b} = x^2 - 1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - x^2$.
આપેલ છે કે $(\vec{c} \cdot \vec{c})\vec{a} = \vec{c}$,બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $(\vec{c} \cdot \vec{c})(\vec{a} \cdot \vec{c}) = \vec{c} \cdot \vec{c}$.
$\vec{c} \neq 0$ હોવાથી,$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - x^2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$1 + (1 - x^2) = 4 - 2x - \sin y \Rightarrow 2 - x^2 = 4 - 2x - \sin y$.
ગોઠવતા: $x^2 - 2x + 2 = \sin y$. $\sin y \leq 1$ હોવાથી,$x^2 - 2x + 2 \leq 1 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 \leq 0 \Rightarrow (x - 1)^2 \leq 0$.
વર્ગ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $(x - 1)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\vec{a} + \vec{b} = \mu \vec{p}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} = \mu \vec{p} - \vec{b}$.
આપણે પદાવલિ $E = |(\vec{a} \cdot \vec{q}) \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{a}|$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v}) \vec{w}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$E = |(\vec{p} \times \vec{a}) \times \vec{q}|$.
$\vec{a} = \mu \vec{p} - \vec{b}$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = |(\vec{p} \times (\mu \vec{p} - \vec{b})) \times \vec{q}| = |(\mu (\vec{p} \times \vec{p}) - (\vec{p} \times \vec{b})) \times \vec{q}|$.
કારણ કે $\vec{p} \times \vec{p} = 0$,આ પદાવલિ સરળ બનીને:
$E = |-(\vec{p} \times \vec{b}) \times \vec{q}| = |(\vec{b} \times \vec{p}) \times \vec{q}|$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w}) \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w}) \vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = |(\vec{b} \cdot \vec{q}) \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{b}|$.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{q} = 0$ અને $|\vec{b}| = 1$,તેથી:
$E = |0 \cdot \vec{p} - (\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{b}| = |-(\vec{p} \cdot \vec{q}) \vec{b}| = |\vec{p} \cdot \vec{q}| \cdot |\vec{b}| = |\vec{p} \cdot \vec{q}| \cdot 1 = |\vec{p} \cdot \vec{q}|$.

(C) કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ ના સમતલમાં છે,આપણે લખી શકીએ $\vec{r} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{b} = \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
$\vec{r} = (\lambda + \mu)\hat{i} - (2\lambda + \mu)\hat{j} + (\lambda - \mu)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = -2$,તેથી $(\lambda + \mu) - (2\lambda + \mu) = -2$,જેનું સાદું રૂપ $-\lambda = -2$ એટલે કે $\lambda = 2$ થાય છે.
હવે,$\hat{i} - \hat{j}$ પર $\vec{r}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j})|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = 4\sqrt{2}$ છે.
$\vec{r} \cdot (\hat{i} - \hat{j}) = (\lambda + \mu) + (2\lambda + \mu) = 3\lambda + 2\mu$.
$\lambda = 2$ મૂકતા,આપણને $3(2) + 2\mu = 6 + 2\mu$ મળે છે.
તેથી,$\frac{|6 + 2\mu|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \Rightarrow |6 + 2\mu| = 8$.
કિસ્સો $1$: $6 + 2\mu = 8 \Rightarrow 2\mu = 2 \Rightarrow \mu = 1$.
ત્યારે $\vec{r} = (2+1)\hat{i} - (2(2)+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$.
$|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 25 + 1} = \sqrt{35}$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ સમતલીય છે,તેથી સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય: $\sin A + 2\sin 2B + 3\sin 3C = 4$.
કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા મુજબ,$(\sin A + 2\sin 2B + 3\sin 3C)^2 \le (1^2 + 2^2 + 3^2)(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$.
$4^2 \le (1 + 4 + 9)(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$.
$16 \le 14(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$.
$\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C \ge \frac{16}{14} = \frac{8}{7}$.
તેથી,$\frac{21}{8}(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C) \ge \frac{21}{8} \times \frac{8}{7} = 3$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 3\hat{j} - (\lambda^2 + 3\lambda)\hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $\vec{a}$ એ $\vec{c} - \lambda\vec{b}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{c} - \lambda\vec{b}) = 0$.
પ્રથમ,$\vec{c} - \lambda\vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{c} - \lambda\vec{b} = (\hat{i} + 3\hat{j} - (\lambda^2 + 3\lambda)\hat{k}) - \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$
$= (1 - \lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} + (2\lambda - \lambda^2 - 3\lambda)\hat{k}$
$= (1 - \lambda)\hat{i} + (3 - \lambda)\hat{j} - (\lambda^2 + \lambda)\hat{k}$.
હવે,$\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$2(1 - \lambda) - 1(3 - \lambda) + 1(-(\lambda^2 + \lambda)) = 0$
$2 - 2\lambda - 3 + \lambda - \lambda^2 - \lambda = 0$
$-\lambda^2 - 2\lambda - 1 = 0$
$\lambda^2 + 2\lambda + 1 = 0$
$(\lambda + 1)^2 = 0$
$\lambda = -1$.
અહીં $\lambda$ નું માત્ર એક જ મૂલ્ય મળે છે,તેથી ભિન્ન મૂલ્યોનો સરવાળો $-1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{c} + \vec{a}) = 0$,અને $\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0$.
આ સમીકરણોને વિસ્તૃત કરતા:
$(i)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$
(ii) $\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$
(iii) $\vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0
\Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.
હવે,સરવાળાના માનનો વર્ગ ગણતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપેલ માન $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5$ મૂકતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$.
તેથી,$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(B) કારણ કે $a, b, c$ એ $H.P.$ ના $p^{th}, q^{th}, r^{th}$ પદો છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે આ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
તેથી,$\frac{1}{a} = A + (p-1)D, \frac{1}{b} = A + (q-1)D, \frac{1}{c} = A + (r-1)D$.
આની બાદબાકી કરતા,આપણને $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = (p-q)D$,$\frac{1}{b} - \frac{1}{c} = (q-r)D$,અને $\frac{1}{c} - \frac{1}{a} = (r-p)D$ મળે છે.
આમ,$(q-r) = \frac{1/b - 1/c}{D} = \frac{c-b}{bcD}$,$(r-p) = \frac{a-c}{acD}$,અને $(p-q) = \frac{b-a}{abD}$.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (q-r)\frac{1}{a} + (r-p)\frac{1}{b} + (p-q)\frac{1}{c}$ ની ગણતરી કરો.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{c-b}{bcD} \cdot \frac{1}{a} + \frac{a-c}{acD} \cdot \frac{1}{b} + \frac{b-a}{abD} \cdot \frac{1}{c}$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{abcD} (c-b + a-c + b-a) = \frac{1}{abcD} (0) = 0$.
કારણ કે ડોટ ગુણાકાર $0$ છે,તેથી સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ લંબ છે.

(D) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,$\overrightarrow{OC} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$,અને $\overrightarrow{OD} = \vec{a} - 2\vec{b}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{BD}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} = (\vec{a} - 2\vec{b}) - \vec{b} = \vec{a} - 3\vec{b}$.
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA} = (2\vec{a} + 3\vec{b}) - \vec{a} = \vec{a} + 3\vec{b}$.
ધારો કે $\overrightarrow{BD}$ અને $\overrightarrow{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{BD}| |\overrightarrow{AC}|}$.
અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = (\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 9|\vec{b}|^2$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 3|\vec{b}|$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 9|\vec{b}|^2$.
આ કિંમત અદિશ ગુણાકારમાં મૂકતા: $\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 9|\vec{b}|^2 - 9|\vec{b}|^2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp (\vec{b} + \vec{c})$,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
તે જ રીતે,$\vec{b} \perp (\vec{c} + \vec{a}) \Rightarrow \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$.
અને $\vec{c} \perp (\vec{a} + \vec{b}) \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.
હવે,આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપેલ માન $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 4, |\vec{c}| = 5$ મૂકતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$.
તેથી,$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(D) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે. પદો નીચે મુજબ છે:
$a = A + (p - 1)D$
$b = A + (q - 1)D$
$c = A + (r - 1)D$
અદિશ ગુણાકાર $\vec x \cdot \vec y$ નીચે મુજબ છે:
$\vec x \cdot \vec y = (q - r)a + (r - p)b + (p - q)c$
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\vec x \cdot \vec y = (q - r)(A + (p - 1)D) + (r - p)(A + (q - 1)D) + (p - q)(A + (r - 1)D)$
$= A(q - r + r - p + p - q) + D[(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]$
$= A(0) + D[qp - q - rp + r + rq - r - pq + p + pr - p - qr + q]$
$= 0 + D[0] = 0$
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec x$ અને $\vec y$ લંબ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{b}$ અને $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 1$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 1$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 1$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $1 + 1 + 1 + 2(0 + \vec{b} \cdot \vec{c} + 0) = 1$.
$3 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 1$.
$2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = -2$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = -1$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta = -1$,અને $|\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$,તેથી $\cos \theta = -1$.
આથી,$\theta = \pi$.

(D) રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$L_1: \vec{r} = (2 + \lambda)\hat{i} + (1 - 2\lambda)\hat{j} + \hat{k}$
$L_2: \vec{r} = \hat{i} + (1 + \mu)\hat{j} + (-3 + 2\mu)\hat{k}$
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ ની એવી કિંમતો હોવી જોઈએ કે જેના માટે યામ સમાન હોય:
$2 + \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = -1$
$1 - 2\lambda = 1 + \mu$
$1 = -3 + 2\mu \Rightarrow 2\mu = 4 \Rightarrow \mu = 2$
બીજા સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મૂકતા: $1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$,અને $1 + \mu = 1 + 2 = 3$. બંને બાજુ સમાન હોવાથી,રેખાઓ છેદે છે.
આમ,$\lambda + \mu = -1 + 2 = 1$.

(B) આપેલ છે: $\vec{a} + 2\vec{b} + 2\vec{c} = \vec{0}$ અને $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\vec{a} + 2\vec{c} = -2\vec{b}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\vec{a} + 2\vec{c}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{c}) = (-2\vec{b}) \cdot (-2\vec{b})$.
$|\vec{a}|^2 + 4|\vec{c}|^2 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4|\vec{b}|^2$.
માનાંકની કિંમતો મૂકતા: $1 + 4(1) + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4(1)$.
$5 + 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 4 \Rightarrow 4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = -1 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{c} = -\frac{1}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{c}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{c})^2$.
$|\vec{a} \times \vec{c}|^2 = (1)(1) - (-\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}$ છે.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને તેની પાસેની બાજુઓના ગુણોત્તર $AB:AC$ માં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = 3$.
ગુણોત્તર $AB:AC = 6:3 = 2:1$.
$BC$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{D} = \frac{2\vec{c} + 1\vec{b}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3}$.
$\vec{D} = \frac{6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}(6\hat{i} + 13\hat{j} + 18\hat{k})$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
આપણી પાસે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ છે. બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta = |\vec{c}|$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta = \sqrt{2} \quad \dots (1)$
વળી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$.
$|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3 \Rightarrow \sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta = 3 \quad \dots (2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(\sqrt{3} |\vec{b}| \sin \theta)^2 + (\sqrt{3} |\vec{b}| \cos \theta)^2 = (\sqrt{2})^2 + 3^2$
$3 |\vec{b}|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2 + 9$
$3 |\vec{b}|^2 = 11$
$|\vec{b}|^2 = \frac{11}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = \sqrt{\frac{11}{3}}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k},$ $\vec{B} = -\hat{i} + 3\hat{j} + p\hat{k},$ અને $\vec{C} = 5\hat{i} + q\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
ત્રિકોણ $A$ આગળ કાટખૂણે હોવાથી,$\vec{AB} \perp \vec{AC}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0.$
સૌ પ્રથમ,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = -4\hat{i} + 2\hat{j} + (p + 1)\hat{k}.$
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = 2\hat{i} + (q - 1)\hat{j} - 3\hat{k}.$
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-4)(2) + (2)(q - 1) + (p + 1)(-3) = 0.$
$-8 + 2q - 2 - 3p - 3 = 0.$
$-3p + 2q - 13 = 0 \Rightarrow 3p - 2q + 13 = 0.$
$(p, q)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,રેખા $3x - 2y + 13 = 0$ મળે છે.
ઢાળ-આંતરછેદ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $2y = 3x + 13 \Rightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{13}{2}.$
ઢાળ $m = \frac{3}{2}$ છે. $m > 0$ હોવાથી,રેખા $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે લઘુકોણ બનાવે છે.

(C) ધારો કે $\vec{AB} = \vec{u}$ અને $\vec{AD} = \vec{v}$. તેથી $|\vec{u}| = a$ અને $|\vec{v}| = b$ છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{AC}| = c$,તેથી $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = c^2$ થાય.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2(\vec{u} \cdot \vec{v}) = c^2$ મળે.
માનાંકની કિંમતો મૂકતા,$a^2 + b^2 + 2(\vec{AB} \cdot \vec{AD}) = c^2$ મળે.
આથી,$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2)$ થાય.
આપણે $\overline{DA} \cdot \overline{AB}$ શોધવાનું છે.
$\overline{DA} = -\overline{AD}$ હોવાથી,$\overline{DA} \cdot \overline{AB} = -(\overline{AD} \cdot \overline{AB}) = -\frac{1}{2}(c^2 - a^2 - b^2) = \frac{1}{2}(a^2 + b^2 - c^2)$ થાય.

(B) ધારો કે $\vec{d} = \vec{b} + \lambda \vec{c}$.
તેથી $\vec{d} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (2+\lambda)\hat{j} - (1+2\lambda)\hat{k}$.
$\vec{a}$ પર $\vec{d}$ નો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec{d} \cdot \vec{a}|}{|\vec{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$\vec{d} \cdot \vec{a} = 2(1+\lambda) - 1(2+\lambda) + 1(-1-2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$ ગણો.
વળી,$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$|-\lambda - 1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $|\lambda + 1| = 2$.
આનાથી $\lambda + 1 = 2$ અથવા $\lambda + 1 = -2$ મળે છે,તેથી $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = -3$.
$\lambda = 1$ માટે,$\vec{d} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
$\lambda = -3$ માટે,$\vec{d} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.

(B) ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\hat{a} - \sqrt{3}\hat{b} + \hat{c} = \vec{0}.$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\hat{a} + \hat{c} = \sqrt{3}\hat{b}.$
બંને બાજુનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા:
$(\hat{a} + \hat{c}) \cdot (\hat{a} + \hat{c}) = (\sqrt{3}\hat{b}) \cdot (\sqrt{3}\hat{b}).$
વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{a} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} + \hat{c} \cdot \hat{c} = 3(\hat{b} \cdot \hat{b}).$
કારણ કે $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1, \hat{b} \cdot \hat{b} = 1, \hat{c} \cdot \hat{c} = 1.$
વળી,$\hat{a} \cdot \hat{c} = |\hat{a}||\hat{c}| \cos \theta = \cos \theta.$
આ કિંમતો મૂકતા:
$1 + 2\cos \theta + 1 = 3(1).$
$2 + 2\cos \theta = 3.$
$2\cos \theta = 1.$
$\cos \theta = \frac{1}{2}.$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}.$

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગે છે. તેથી,વિકર્ણ $DB$ નું મધ્યબિંદુ $M$ એ વિકર્ણ $AC$ નું પણ મધ્યબિંદુ થાય.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2} = \frac{(3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + (\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k})}{2} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ મળે.
સદિશ $\vec{OM}$ નો $\vec{OC}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ છે.
અહીં $\vec{OM} = 2\hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{OC} = \hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
તેથી,અદિશ ગુણાકાર $\vec{OM} \cdot \vec{OC} = (2)(1) + (-1)(-5) + (0)(-5) = 2 + 5 + 0 = 7$ થાય.
$\vec{OC}$ નું મૂલ્ય $|\vec{OC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}$ થાય.
આમ,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|} = \frac{7}{\sqrt{51}}$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
સમીકરણ $\vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} = 0$ પરથી,આપણને $\vec{a} \times \vec{c} = -\vec{b}$ મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ x & y & z \end{vmatrix} = \hat{i}(-z) - \hat{j}(z) + \hat{k}(y + x) = -z\hat{i} - z\hat{j} + (x + y)\hat{k}$.
આને $-\vec{b} = -(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$.
$-z = -1 \Rightarrow z = 1$ (સુસંગત).
$x + y = -1$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 4$,તેથી $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = x - y = 4$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$x + y = -1$
$x - y = 4$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
બંનેની બાદબાકી કરતા: $2y = -5 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$.
આમ,$\vec{c} = \frac{3}{2}\hat{i} - \frac{5}{2}\hat{j} + 1\hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (1)^2 = \frac{9}{4} + \frac{25}{4} + 1 = \frac{34}{4} + 1 = \frac{17}{2} + 1 = \frac{19}{2}$.

(D) $\vec{b}$ નો $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right)\vec{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે આ પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{a}$ છે,તેથી $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 1 + 2 = 4$.
હવે,$\vec{b} \cdot \vec{a} = (b_{1}\hat{i} + b_{2}\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}) = b_{1} + b_{2} + 2$.
બંનેને સરખાવતા,$b_{1} + b_{2} + 2 = 4$,તેથી $b_{1} + b_{2} = 2$ .....$(1)$.
આપેલ છે કે $(\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{c}$,તેથી $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} + \vec{b} = (1 + b_{1})\hat{i} + (1 + b_{2})\hat{j} + 2\sqrt{2}\hat{k}$.
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (1 + b_{1})(5) + (1 + b_{2})(1) + (2\sqrt{2})(\sqrt{2}) = 0$.
$5 + 5b_{1} + 1 + b_{2} + 4 = 0 \Rightarrow 5b_{1} + b_{2} = -10$ .....$(2)$.
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $4b_{1} = -12 \Rightarrow b_{1} = -3$.
$b_{1} = -3$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $-3 + b_{2} = 2 \Rightarrow b_{2} = 5$.
આમ,$\vec{b} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + \sqrt{2}\hat{k}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 25 + 2} = \sqrt{36} = 6$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} = 2\vec{a}$,તેથી $4\hat{i} + (3 - \lambda_{2})\hat{j} + 6\hat{k} = 2(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\lambda_{1}\hat{j} + 6\hat{k}$.
$\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $3 - \lambda_{2} = 2\lambda_{1}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{2} = 3 - 2\lambda_{1}$ ... $(i)$.
કારણ કે $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
$(2\hat{i} + \lambda_{1}\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 6\hat{j} + (\lambda_{3} - 1)\hat{k}) = 0$.
$2(3) + \lambda_{1}(6) + 3(\lambda_{3} - 1) = 0$.
$6 + 6\lambda_{1} + 3\lambda_{3} - 3 = 0$.
$3\lambda_{3} = -3 - 6\lambda_{1} \Rightarrow \lambda_{3} = -1 - 2\lambda_{1}$ ... $(ii)$.
આમ,ત્રિપુટી $(\lambda_{1}, 3 - 2\lambda_{1}, -1 - 2\lambda_{1})$ છે.
જો $\lambda_{1} = -\frac{1}{2}$ લઈએ,તો $\lambda_{2} = 3 - 2(-\frac{1}{2}) = 4$ અને $\lambda_{3} = -1 - 2(-\frac{1}{2}) = 0$ મળે છે.
તેથી,શક્ય કિંમત $(-\frac{1}{2}, 4, 0)$ છે.

(D) સ્થાન સદિશો $\vec{OA} = \sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}$ અને $\vec{OB} = \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}$ છે.
$OA$ અને $OB$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{u}_A = \frac{\sqrt{3} \hat{i} + \hat{j}}{2}$ અને $\hat{u}_B = \frac{\hat{i} + \sqrt{3} \hat{j}}{2}$ છે.
$\angle AOB$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક એ $\vec{u}_A + \vec{u}_B = \frac{(\sqrt{3}+1) \hat{i} + (1+\sqrt{3}) \hat{j}}{2}$ સદિશની દિશામાં છે,જે રેખા $y = x$ માં પરિણમે છે.
બિંદુ $C$ ના યામ $(\beta, 1 + \beta)$ છે.
રેખા $x - y = 0$ થી બિંદુ $C(x_0, y_0)$ નું અંતર $d = \frac{|x_0 - y_0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો આપણે $C$ ના યામ $(\beta, 1-\beta)$ લઈએ,તો અંતર $\frac{|\beta - (1-\beta)|}{\sqrt{2}} = \frac{|2\beta - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી $|2\beta - 1| = 3$,જેનો અર્થ છે કે $2\beta - 1 = 3$ અથવા $2\beta - 1 = -3$.
$\beta = 2$ અથવા $\beta = -1$.
કિંમતોનો સરવાળો $= 2 + (-1) = 1$.

(D) કારણ કે $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\overrightarrow{a}$ એ $\overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશોના સરવાળાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,એકમ સદિશો શોધો:
$\hat{b} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$
$\hat{c} = \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{\sqrt{18}} = \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}}$
આમ,$\overrightarrow{a} = \lambda (\hat{b} + \hat{c}) = \lambda \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}}{3 \sqrt{2}} \right) = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} [3(\hat{i} + \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k})] = \frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} (4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$.
આને $\overrightarrow{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણી પાસે $y$-ઘટક $2$ છે. તેથી,$\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} \times 2 = 2$,જે આપે છે $\frac{\lambda}{3 \sqrt{2}} = 1$.
તેથી,$\overrightarrow{a} = 4 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} = 4$. તેથી,$\overrightarrow{a} \cdot \hat{k} - 4 = 0$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P(1, -1, 3)$ અને $Q(2, -4, 11)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (2-1)\hat{i} + (-4 - (-1))\hat{j} + (11-3)\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 8\hat{k}$.
ધારો કે રેખા પરના બિંદુઓ $A(-1, 2, 3)$ અને $B(3, -2, 10)$ છે. સદિશ $\overrightarrow{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2-2)\hat{j} + (10-3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$.
$\overrightarrow{AB}$ નું માન $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$ છે.
$\overrightarrow{PQ}$ નો $\overrightarrow{AB}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\left| \frac{\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{AB} = (1)(4) + (-3)(-4) + (8)(7) = 4 + 12 + 56 = 72$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\left| \frac{72}{9} \right| = 8$ થાય.

(A) કાર્ય એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે,જેને $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા અદિશ મૂલ્ય આપે છે,તેથી કાર્યને માત્ર મૂલ્ય હોય છે અને કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી.
આથી,કાર્ય એ અદિશ રાશિ છે.

(A) શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$,અને $\vec{c} = 3\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (3-1)\hat{i} + (-4+3)\hat{j} + (-4+5)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (2-3)\hat{i} + (-1+4)\hat{j} + (1+4)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
હવે,આ બાજુઓના માનના વર્ગની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{AB}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\vec{BC}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
$|\vec{CA}|^2 = (-1)^2 + (3)^2 + (5)^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
અહીં નોંધો કે $|\vec{AB}|^2 = |\vec{BC}|^2 + |\vec{CA}|^2$ કારણ કે $41 = 6 + 35$.
પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,આ ત્રિકોણ એ શિરોબિંદુ $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(N/A) બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
પ્રથમ,આપણે ત્રિકોણની બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-3)\hat{i} + (-1+4)\hat{j} + (1+4)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1-2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (3-1)\hat{i} + (-4+3)\hat{j} + (-4+5)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
હવે,આપણે આ સદિશોના માનના વર્ગ શોધીએ:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$|\overrightarrow{BC}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\overrightarrow{CA}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
અહીં $|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\overrightarrow{BC}|^2$ હોવાથી,બે બાજુઓના વર્ગોનો સરવાળો ત્રીજી બાજુના વર્ગ જેટલો છે.
તેથી,પાયથાગોરસના પ્રમેયના પ્રતિપ મુજબ,$ABC$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 2$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $1 = (1)(2) \cos \theta$.
આથી $1 = 2 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$
ત્યારબાદ,માન $|\vec{a}|$ અને $|\vec{b}|$ શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}$
તેથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ થાય.

આપણે જાણીએ છીએ કે જો બે શૂન્યતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,તો તે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય છે.
પ્રથમ,$\vec{a}+\vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}+\vec{b}=(5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})+(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = 6 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$
ત્યારબાદ,$\vec{a}-\vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}-\vec{b}=(5 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k})-(\hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}) = 4 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k}$
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b})$ શોધો:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = (6 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) \cdot (4 \hat{i}-4 \hat{j}+2 \hat{k})$
$= (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2)$
$= 24 - 8 - 16$
$= 24 - 24 = 0$
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{a}-\vec{b}$ પરસ્પર લંબ છે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(2) + (2)(1) = 2 + 6 + 2 = 10$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન શોધો:
$|\vec{b}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
છેલ્લે,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય:
$\frac{10}{\sqrt{6}} = \frac{10 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{10\sqrt{6}}{6} = \frac{5}{3} \sqrt{6}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 8$ છે.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{x} \cdot \vec{x} + \vec{x} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{x} - \vec{a} \cdot \vec{a} = 8$.
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{x} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{x}$,જેથી આ પદો ઉડી જશે:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 8$.
$|\vec{a}| = 1$ મૂકતા:
$|\vec{x}|^2 - 1^2 = 8$.
$|\vec{x}|^2 - 1 = 8$.
$|\vec{x}|^2 = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,કારણ કે સદિશનું માન $|\vec{x}|$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે:
$|\vec{x}| = 3$.

(A) અસમતા $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ ને કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: જો $\vec{a} = \vec{0}$ અથવા $\vec{b} = \vec{0}$ હોય,તો $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = 0$ અને $|\vec{a}| |\vec{b}| = 0$ થાય. આમ,$0 \leq 0$ સત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $\vec{a} \neq \vec{0}$ અને $\vec{b} \neq \vec{0}$ હોય,તો આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ નિરપેક્ષ મૂલ્ય લેતા,આપણને $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$ મળે છે.
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,આપણી પાસે $|\cos \theta| \leq 1$ છે.
$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (જે ધન છે) વડે ગુણતા,આપણને $|\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ મળે છે.
તેથી,$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ હંમેશા સત્ય છે.

(B) આપેલ છે કે,
$|\vec{a}| = \sqrt{3}$,$|\vec{b}| = 2$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{6}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{6} = \sqrt{3} \times 2 \times \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$
$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ મળે.
આમ,સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.

(A) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + (-2)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{3^{2} + (-2)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કિંમતો મૂકતા: $10 = \sqrt{14} \cdot \sqrt{14} \cos \theta$.
$10 = 14 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{પ્રક્ષેપ} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ગણો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન ગણો:
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ થશે:
$\frac{0}{\sqrt{2}} = 0$.
આમ,સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $0$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = 7\hat{i} - \hat{j} + 8\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{પ્રક્ષેપ} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ગણો:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(7) + (3)(-1) + (7)(8) = 7 - 3 + 56 = 60$.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન ગણો:
$|\vec{b}| = \sqrt{7^{2} + (-1)^{2} + 8^{2}} = \sqrt{49 + 1 + 64} = \sqrt{114}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ:
$\frac{60}{\sqrt{114}}$ થાય.

(A) આપેલ છે: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})=8$ અને $|\vec{a}|=8|\vec{b}|.$
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} = 8$
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,તેથી:
$|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8$
સમીકરણમાં $|\vec{a}|=8|\vec{b}|$ મૂકતા:
$(8|\vec{b}|)^2 - |\vec{b}|^2 = 8$
$64|\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 = 8$
$63|\vec{b}|^2 = 8$
$|\vec{b}|^2 = \frac{8}{63}$
$|\vec{b}| = \sqrt{\frac{8}{63}} = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}$
હવે,$|\vec{a}|$ શોધો:
$|\vec{a}| = 8|\vec{b}| = 8 \times \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{7}} = \frac{16\sqrt{2}}{3\sqrt{7}}$

(A) $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b})$ નો ગુણાકાર મેળવવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b}) = 3 \vec{a} \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b}) - 5 \vec{b} \cdot (2 \vec{a}+7 \vec{b})$
$= (3 \vec{a} \cdot 2 \vec{a}) + (3 \vec{a} \cdot 7 \vec{b}) - (5 \vec{b} \cdot 2 \vec{a}) - (5 \vec{b} \cdot 7 \vec{b})$
ડોટ પ્રોડક્ટ ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$,અને $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^{2}$:
$= 6(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 21(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35(\vec{b} \cdot \vec{b})$
$= 6|\vec{a}|^{2} + (21-10)(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35|\vec{b}|^{2}$
$= 6|\vec{a}|^{2} + 11(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 35|\vec{b}|^{2}$

(A) ધારો કે સદિશોના માન $|\vec{a}| = |\vec{b}| = x$ છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$ અને ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} = x \cdot x \cdot \cos(60^{\circ})$
કારણ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી:
$\frac{1}{2} = x^2 \cdot \frac{1}{2}$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$1 = x^2$
વર્ગમૂળ લેતા (કારણ કે માન હંમેશા ધન હોય છે):
$x = 1$
તેથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$.