Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(D) કુલ બળ $\vec{F}$ એ આપેલા બળોનો સરવાળો છે:
$\vec{F} = (4\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 7\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાનનો તફાવત છે:
$\vec{d} = (5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ કુલ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (7\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (4\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40$ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}$,$\vec{B} = 2\vec{l} + \lambda\vec{m} - 4\vec{n}$ અને $\vec{C} = -7\vec{m} + 10\vec{n}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોય તે માટે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{AB} = k\vec{AC}$ થાય.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (2\vec{l} + \lambda\vec{m} - 4\vec{n}) - (\vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}) = \vec{l} + (\lambda + 2)\vec{m} - 7\vec{n}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-7\vec{m} + 10\vec{n}) - (\vec{l} - 2\vec{m} + 3\vec{n}) = -\vec{l} - 5\vec{m} + 7\vec{n}$.
$\vec{AB} = k\vec{AC}$ હોવાથી,$\vec{l} + (\lambda + 2)\vec{m} - 7\vec{n} = k(-\vec{l} - 5\vec{m} + 7\vec{n})$.
$\vec{l}, \vec{m}, \vec{n}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\vec{l}$ માટે: $1 = -k \implies k = -1$.
$\vec{n}$ માટે: $-7 = 7k \implies k = -1$.
$\vec{m}$ માટે: $\lambda + 2 = -5k$.
$\vec{m}$ ના સમીકરણમાં $k = -1$ મૂકતા:
$\lambda + 2 = -5(-1) = 5$.
$\lambda = 5 - 2 = 3$.

(B) આપેલ છે કે $(\bar{a} + 2\bar{b})$ અને $(5\bar{a} - 4\bar{b})$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (5\bar{a} - 4\bar{b}) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$:
$5(1)^2 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1)^2 = 0$
$5 + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8 = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}||\bar{b}|} = \frac{1/2}{1 \times 1} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^o$.

(B) ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (3\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$ છે.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{a}$ નો રેખા પરનો પ્રક્ષેપ એટલે કે $\vec{a}$ નો તેની દિશાના સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ,જેનું સૂત્ર $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(2) + (1)(3) = 1 + 2 + 3 = 6$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{6}{\sqrt{14}}$ થાય.

(C) થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}$ ના ડોટ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
ગાણિતિક રીતે,$W = \vec{F} \cdot \vec{r}$.
બે સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર હંમેશા અદિશ રાશિ આપે છે.
તેથી,થયેલું કાર્ય એક અદિશ રાશિ છે.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ ખોટું છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (2\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}) + (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = (6\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - (4\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ છે.
થયેલું કાર્ય $W$ એ પરિણામી બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k})$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(1) = 2 - 12 + 5 = -5$ એકમ.

(B) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ થાય.
આપેલ છે કે $(a + \lambda b)$ એ $(a - \lambda b)$ ને લંબ છે,તેથી:
$(a + \lambda b) \cdot (a - \lambda b) = 0$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $(u + v) \cdot (u - v) = |u|^2 - |v|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a|^2 - |\lambda b|^2 = 0$
$|a|^2 - \lambda^2 |b|^2 = 0$
આપેલ કિંમતો $|a| = 3$ અને $|b| = 4$ મૂકતા:
$3^2 - \lambda^2 (4^2) = 0$
$9 - 16\lambda^2 = 0$
$16\lambda^2 = 9$
$\lambda^2 = \frac{9}{16}$
$\lambda = \pm \frac{3}{4}$

(C) થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ નો અદિશ ગુણાકાર (Dot Product) છે.
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $\hat{i} \cdot \hat{i} = \hat{j} \cdot \hat{j} = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્યનો ગુણાકાર $0$ લેતા:
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$
$W = 6 - 2 + 5$
$W = 9$ એકમ.

(NONE) પરિણામી બળ $\vec{F}$ એ બે બળ સદિશોનો સરવાળો છે.
પ્રથમ,આપેલી દિશાઓમાં એકમ સદિશો શોધો:
$\hat{u}_1 = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3}$
$\hat{u}_2 = \frac{2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2}} = \frac{2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}}{7}$
હવે,બળ સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{F}_1 = 6 \hat{u}_1 = 2(-\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{F}_2 = 7 \hat{u}_2 = 1(2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$
પરિણામી બળ $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = (-2+2)\hat{i} + (-4-3)\hat{j} + (4-6)\hat{k} = 0\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{PQ} = (5-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (1 - (-3))\hat{k} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (0\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) = (0)(3) + (-7)(0) + (-2)(4) = -8$ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 3$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ હોવાથી,$1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1/2$ $(1)$.
હવે,આપેલ સમીકરણ $\vec{c} - \vec{a} - 2\vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b})$ લો.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા:
$(\vec{c} - \vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 3(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b}$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 3[\vec{a} \vec{b} \vec{b}]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{b}] = 0$ હોવાથી (કારણ કે બે સદિશો સમાન છે),આપણને મળે:
$\vec{c} \cdot \vec{b} - 1/2 - 2(1) = 0$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 1/2 + 2 = 5/2$.

(D) આપેલ સદિશો $a = i + 2j - 3k$ અને $b = 3i - j + 2k$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો અને તફાવત શોધો:
$a + b = (1+3)i + (2-1)j + (-3+2)k = 4i + j - k$
$a - b = (1-3)i + (2-(-1))j + (-3-2)k = -2i + 3j - 5k$
ધારો કે $u = a + b$ અને $v = a - b$. સદિશો $u$ અને $v$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકાર $u \cdot v = (4)(-2) + (1)(3) + (-1)(-5) = -8 + 3 + 5 = 0$ ગણો.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $u$ અને $v$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = 90^o$.

(A) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} - 2x\hat{j} - 3y\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 3x\hat{j} + 2y\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$
$(1)(1) + (-2x)(3x) + (-3y)(2y) = 0$
$1 - 6x^2 - 6y^2 = 0$
$6x^2 + 6y^2 = 1$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{6}$
આ સમીકરણ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા અને $\frac{1}{\sqrt{6}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેથી,બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ વર્તુળ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $2\theta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos(2\theta) = 2 - 2 \cos(2\theta)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos(2\theta) = 2 \sin^2(\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 2(1 - \cos(2\theta)) = 2(2 \sin^2(\theta)) = 4 \sin^2(\theta)$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{a} - \vec{b}| = 2|\sin(\theta)|$.
શરત $|\vec{a} - \vec{b}| < 1$ આપેલ હોવાથી,$2|\sin(\theta)| < 1$,જેનો અર્થ છે કે $|\sin(\theta)| < 1/2$.
$0 \le \theta \le \pi$ હોવાથી,$\sin(\theta)$ અ-ઋણ છે,તેથી $\sin(\theta) < 1/2$.
આ અસમતા $\theta \in [0, \pi/6) \cup (5\pi/6, \pi]$ માટે સાચી છે.

(C) ધારો કે એકમ સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. કારણ કે તે એકમ સદિશો છે,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 1 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta) = 4\cos^2(\frac{\theta}{2})$.
તેથી,$|\vec{a} + \vec{b}| = 2\cos(\frac{\theta}{2})$ (ધારી લઈએ કે $0 \le \theta \le \pi$ માટે $\cos(\frac{\theta}{2}) \ge 0$ છે).
તે જ રીતે,$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1 + 1 - 2\cos\theta = 2(1 - \cos\theta) = 4\sin^2(\frac{\theta}{2})$.
તેથી,$|\vec{a} - \vec{b}| = 2\sin(\frac{\theta}{2})$.
ધારો કે $f(\theta) = |\vec{a} + \vec{b}| + |\vec{a} - \vec{b}| = 2(\cos(\frac{\theta}{2}) + \sin(\frac{\theta}{2}))$.
નિત્યસમ $\cos x + \sin x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(\theta) = 2\sqrt{2}\sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})$ મળે.
$\sin(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4})$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ છે (જ્યારે $\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$).
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $2\sqrt{2} \times 1 = 2\sqrt{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
આપણે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો છે,તેથી $\vec{b} + \vec{c} = -\vec{a}$ લખીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = |-\vec{a}|^2$.
$|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $5^2 + 3^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 7^2$.
$25 + 9 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 49$.
$34 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 49$.
$2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 15 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} = \frac{15}{2}$.
ધારો કે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી $\cos \theta = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| |\vec{c}|} = \frac{15/2}{5 \times 3} = \frac{15/2}{15} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^o$ થાય.

(C) ધારો કે સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ $\vec{u} = 5\vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a} - 3\vec{b}$ છે.
સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{u} + \vec{v}$ અને $\vec{d_2} = \vec{u} - \vec{v}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{d_1} = (5\vec{a} + 2\vec{b}) + (\vec{a} - 3\vec{b}) = 6\vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{d_2} = (5\vec{a} + 2\vec{b}) - (\vec{a} - 3\vec{b}) = 4\vec{a} + 5\vec{b}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = 2\sqrt{2}$,$|\vec{b}| = 3$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
$|\vec{d_1}|^2 = |6\vec{a} - \vec{b}|^2 = 36|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 36(8) + 9 - 12(6) = 288 + 9 - 72 = 225$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{d_2}|^2 = |4\vec{a} + 5\vec{b}|^2 = 16|\vec{a}|^2 + 25|\vec{b}|^2 + 40(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 16(8) + 25(9) + 40(6) = 128 + 225 + 240 = 593$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{593}$.
અહીં $\sqrt{593} > 15$ હોવાથી,મોટા વિકર્ણની લંબાઈ $\sqrt{593}$ છે.

(C) બે સદિશો $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{a} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 6\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2)$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 12 - 6 - 2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
બંને બાજુ સદિશનો પોતાની સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 2, |\vec{c}| = 3$ મૂકતા:
$1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$1 + 4 + 9 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$14 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -14$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -7$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{u} = \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + a\hat{k}$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ છે.
અહીં $\theta = \pi/3$ છે,તેથી $\cos(\pi/3) = 1/2$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (0)(-1) + (1)(a) = 1 + a$.
સદિશોના માન $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + a^2} = \sqrt{2 + a^2}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{1 + a}{\sqrt{2} \sqrt{2 + a^2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} = \frac{(1 + a)^2}{2(2 + a^2)} \implies \frac{1}{2} = \frac{1 + 2a + a^2}{2 + a^2}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $2 + a^2 = 2(1 + 2a + a^2) = 2 + 4a + 2a^2$.
પદોને ગોઠવતા: $a^2 + 4a = 0 \implies a(a + 4) = 0$.
આમ,$a = 0$ અથવા $a = -4$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $a = 0$ છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $DB$ એકબીજાને બિંદુ $M$ પર દુભાગે છે.
તેથી,$M$ એ $AC$ નું પણ મધ્યબિંદુ છે.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OC}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{OA} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{OC} = \hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
$\vec{OM} = \frac{(3+1)\hat{i} + (3-5)\hat{j} + (5-5)\hat{k}}{2} = \frac{4\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}}{2} = 2\hat{i} - \hat{j}$.
$\vec{OM}$ નો $\vec{OC}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{OM} \cdot \vec{OC}}{|\vec{OC}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{OM} \cdot \vec{OC} = (2)(1) + (-1)(-5) + (0)(-5) = 2 + 5 + 0 = 7$.
$|\vec{OC}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25 + 25} = \sqrt{51}$.
આમ,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{7}{\sqrt{51}}$ છે.

(B) ની દિશામાં $a$ નો સદિશ ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{ઘટક} = \frac{(a \cdot b)b}{|b|^2}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b$ શોધો:
$a \cdot b = (4i + 6j) \cdot (3j + 4k) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 18$.
હવે,$b$ ના માનનો વર્ગ શોધો:
$|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ઘટક} = \frac{18}{25}(3j + 4k)$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશ $\vec{A} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{B} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{C} = 3\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો શોધો:
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = -\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,કાટખૂણો નક્કી કરવા માટે ડોટ ગુણાકાર ચકાસો:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(1) + (1)(2) + (2)(-2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
કારણ કે $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle A = 90^{\circ}$ થાય.

(B) બિંદુ $P$ (સ્થાન સદિશ $\vec{p}$) નું બિંદુ $A$ (સ્થાન સદિશ $\vec{a}$) માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાથી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર: $d = \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$,$\vec{p} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$,અને $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{p} - \vec{a} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b}$ શોધો:
$(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 - (-6)) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{b}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
અંતર $d = \frac{\sqrt{2989}}{\sqrt{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A = (k, 1, -1)$,$B = (2k, 0, 2)$ અને $C = (2 + 2k, k, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = B - A = (2k - k, 0 - 1, 2 - (-1)) = (k, -1, 3)$.
સદિશ $\vec{BC} = C - B = (2 + 2k - 2k, k - 0, 1 - 2) = (2, k, -1)$.
અહીં $AB \perp BC$ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ થાય.
$(k)(2) + (-1)(k) + (3)(-1) = 0$.
$2k - k - 3 = 0$.
$k - 3 = 0$.
તેથી,$k = 3$.

(A) સદિશ $\vec{AB} = (3-2, 5-3, -3-(-1)) = (1, 2, -2)$.
સદિશ $\vec{CD} = (3-1, 5-2, 7-3) = (2, 3, 4)$.
$\vec{AB}$ નો $\vec{CD}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CD}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1)(2) + (2)(3) + (-2)(4) = 2 + 6 - 8 = 0$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$AB$ નો $CD$ પરનો પ્રક્ષેપ $0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,અને $\vec{C} = a\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ છે.
$m\angle C = 90^\circ$ હોવાથી,સદિશો $\overrightarrow{CA}$ અને $\overrightarrow{CB}$ પરસ્પર લંબ હોવા જોઈએ,એટલે કે તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
પ્રથમ,$\overrightarrow{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (2-a)\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\overrightarrow{CB} = \vec{B} - \vec{C} = (1-a)\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$ મેળવો.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$ લેતા:
$((2-a)\hat{i} + 2\hat{j}) \cdot ((1-a)\hat{i} - 6\hat{k}) = 0$.
$(2-a)(1-a) + (2)(0) + (0)(-6) = 0$.
$(2-a)(1-a) = 0$.
આથી $a = 2$ અથવા $a = 1$ મળે છે.

(D) સદિશ $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$
$\begin{vmatrix} \alpha & 2 & \beta \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\alpha(1-0) - 2(1-0) + \beta(1-0) = 0 \Rightarrow \alpha - 2 + \beta = 0 \Rightarrow \alpha + \beta = 2 \dots (i)$
સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ની દિશાના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ:
$\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(1, 1, 0)}{\sqrt{2}}, \hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{(0, 1, 1)}{\sqrt{2}}$
$\vec{a} = k(\hat{b} + \hat{c}) = \frac{k}{\sqrt{2}}(1, 2, 1)$
$\vec{a} = (\alpha, 2, \beta)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{k}{\sqrt{2}} = 1$ મળે છે,તેથી $k = \sqrt{2}$.
આમ,$\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = \alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ માટે: $(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = \alpha - 1 + 2\beta = 0 \implies \alpha + 2\beta = 1$ (સમીકરણ $1$).
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ માટે: $(2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\alpha\hat{i} + \hat{j} + \beta\hat{k}) = 2\alpha + 4 + \beta = 0 \implies 2\alpha + \beta = -4$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ પરથી,$\beta = -4 - 2\alpha$. આ કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$\alpha + 2(-4 - 2\alpha) = 1 \implies \alpha - 8 - 4\alpha = 1 \implies -3\alpha = 9 \implies \alpha = -3$.
$\alpha = -3$ ને $\beta = -4 - 2\alpha$ માં મૂકતા: $\beta = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(\alpha, \beta) = (-3, 2)$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
સદિશો $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{d} = 5\vec{a} - 4\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 = 1$ અને $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 = 1$ હોવાથી,
$5(1) + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1) = 0$.
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 3 = 0$.
$6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) ધારો કે $E$ એ શિરોબિંદુ $B$ થી બાજુ $AD$ પરના લંબનો પગ છે. સદિશ $\vec{AE}$ એ $\vec{AB}$ નો $\vec{AD}$ પરનો પ્રક્ષેપ છે.
આમ,$\vec{AE} = \text{proj}_{\vec{p}} \vec{q} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p}$.
$\triangle ABE$ માં,સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,આપણી પાસે $\vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AE}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{q}$ અને $\vec{BE} = \vec{r}$,તેથી $\vec{q} + \vec{r} = \vec{AE}$.
તેથી,$\vec{r} = \vec{AE} - \vec{q}$.
$\vec{AE}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $\vec{r} = \left( \frac{\vec{q} \cdot \vec{p}}{\vec{p} \cdot \vec{p}} \right) \vec{p} - \vec{q}$ મળે છે.

(D) કારણ કે $\vec{u}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,આપણે લખી શકીએ $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{u} \perp \vec{a}$,તેથી $\vec{u} \cdot \vec{a} = 0$.
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \implies x|\vec{a}|^2 + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
$|\vec{a}|^2 = 2^2 + 3^2 + (-1)^2 = 14$ ગણો.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(0) + (3)(1) + (-1)(1) = 2$ ગણો.
તેથી,$14x + 2y = 0 \implies y = -7x$.
આમ,$\vec{u} = x\vec{a} - 7x\vec{b} = x(\vec{a} - 7\vec{b})$.
$\vec{a} - 7\vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - 7(\hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{u} \cdot \vec{b} = 24$,તેથી $x(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = 24$.
$(\vec{a} - 7\vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} - 7|\vec{b}|^2 = 2 - 7(2) = -12$.
તેથી,$x(-12) = 24 \implies x = -2$.
તેથી,$\vec{u} = -2(2\hat{i} - 4\hat{j} - 8\hat{k}) = -4\hat{i} + 8\hat{j} + 16\hat{k}$.
$|\vec{u}|^2 = (-4)^2 + 8^2 + 16^2 = 16 + 64 + 256 = 336$.

(C) આપેલ છે કે $|a| = 3, |b| = 4, |c| = 5$.
સદિશ $a$ અને $(b + c)$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot (b + c) = 0 \implies a \cdot b + a \cdot c = 0$ .....$(i)$
સદિશ $b$ અને $(c + a)$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$b \cdot (c + a) = 0 \implies b \cdot c + b \cdot a = 0$ .....$(ii)$
સદિશ $c$ અને $(a + b)$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$c \cdot (a + b) = 0 \implies c \cdot a + c \cdot b = 0$ .....$(iii)$
સમીકરણો $(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0 \implies a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = 0$.
હવે,$a + b + c$ નું માન નીચે મુજબ મળે:
$|a + b + c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$
$|a + b + c|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0)$
$|a + b + c|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|a + b + c| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની બાજુઓ બનાવતા બે સદિશો $u = 5a + 2b$ અને $v = a - 3b$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = u + v$ અને $d_2 = u - v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d_1 = (5a + 2b) + (a - 3b) = 6a - b$.
$d_2 = (5a + 2b) - (a - 3b) = 4a + 5b$.
આપણે તેમના માનનો વર્ગ ગણીએ:
$|d_1|^2 = |6a - b|^2 = 36|a|^2 + |b|^2 - 12(a \cdot b)$.
આપેલ છે કે $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$,અને $\theta = \frac{\pi}{4}$,તેથી $a \cdot b = |a||b|\cos(\frac{\pi}{4}) = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
$|d_1|^2 = 36(8) + 9 - 12(6) = 288 + 9 - 72 = 225$,તેથી $|d_1| = 15$.
$|d_2|^2 = |4a + 5b|^2 = 16|a|^2 + 25|b|^2 + 40(a \cdot b)$.
$|d_2|^2 = 16(8) + 25(9) + 40(6) = 128 + 225 + 240 = 593$.
$|d_2| = \sqrt{593}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\sqrt{593} > 15$,તેથી મોટો વિકર્ણ $\sqrt{593}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $|a| = |b| = |c| = 2$ અને કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ છે.
તેથી,$a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = |a||b| \cos 60^\circ = 2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ ધ્યાનમાં લો:
$(2a + 3b - 5c) \cdot (4a - 6b + 10c) = 8(a \cdot a) - 12(a \cdot b) + 20(a \cdot c) + 12(b \cdot a) - 18(b \cdot b) + 30(b \cdot c) - 20(c \cdot a) + 30(c \cdot b) - 50(c \cdot c)$.
કારણ કે $a \cdot b = b \cdot a$,$a \cdot c = c \cdot a$,અને $b \cdot c = c \cdot b$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ થશે:
$8|a|^2 - 18|b|^2 - 50|c|^2 + (-12 + 12)(a \cdot b) + (20 - 20)(a \cdot c) + (30 + 30)(b \cdot c)$.
$= 8(2)^2 - 18(2)^2 - 50(2)^2 + 60(b \cdot c)$.
$= 8(4) - 18(4) - 50(4) + 60(2)$.
$= 32 - 72 - 200 + 120$.
$= -120$.

(A) ધારો કે $c = (c_1, c_2, c_3).$ કારણ કે $|a| = |b| = |c|,$ તેથી $|c|^2 = |a|^2 = |b|^2 = 1^2 + 1^2 = 2.$ આમ,$c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 2.$
આપેલ છે કે સદિશો જોડીમાં સમાન ખૂણા $\varphi$ બનાવે છે,તેથી $\cos \varphi = \frac{a \cdot b}{|a||b|} = \frac{(i+j) \cdot (j+k)}{2} = \frac{1}{2}.$
સદિશ $a$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\varphi$ હોવાથી,$\frac{a \cdot c}{|a||c|} = \frac{1}{2} \implies \frac{c_1 + c_2}{2} = \frac{1}{2} \implies c_1 + c_2 = 1.$
તે જ રીતે,$b$ અને $c$ માટે,$\frac{b \cdot c}{|b||c|} = \frac{1}{2} \implies \frac{c_2 + c_3}{2} = \frac{1}{2} \implies c_2 + c_3 = 1.$
આના પરથી,$c_1 = 1 - c_2$ અને $c_3 = 1 - c_2.$
$c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 2$ માં કિંમત મૂકતા,$(1 - c_2)^2 + c_2^2 + (1 - c_2)^2 = 2.$
$1 - 2c_2 + c_2^2 + c_2^2 + 1 - 2c_2 + c_2^2 = 2 \implies 3c_2^2 - 4c_2 = 0.$
આથી $c_2(3c_2 - 4) = 0,$ એટલે કે $c_2 = 0$ અથવા $c_2 = \frac{4}{3}.$
જો $c_2 = 0,$ તો $c_1 = 1$ અને $c_3 = 1,$ જેથી $c = (1, 0, 1).$
જો $c_2 = \frac{4}{3},$ તો $c_1 = -\frac{1}{3}$ અને $c_3 = -\frac{1}{3},$ જેથી $c = (-\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{1}{3}).$
વિકલ્પમાં $(1, 0, 1)$ હોવાથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(A) $R$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\frac{3p + 2q}{5}$ અને $3p - 2q$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{OR} = \frac{3p + 2q}{5}$ અને $\overrightarrow{OS} = 3p - 2q.$
કારણ કે $\overrightarrow{OR} \perp \overrightarrow{OS},$ તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,તેથી $\overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = 0.$
$\left( \frac{3p + 2q}{5} \right) \cdot (3p - 2q) = 0$
$9|p|^2 - 6(p \cdot q) + 6(q \cdot p) - 4|q|^2 = 0$
$9|p|^2 - 4|q|^2 = 0$
$9|p|^2 = 4|q|^2$
આપેલ છે કે $|p| = p$ અને $|q| = q,$ તેથી આપણને $9p^2 = 4q^2$ મળે છે.

(D) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{u} = x\,i + y\,j$ છે. તે એકમ સદિશ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 1$ થાય.
સદિશ $\vec{a} = i + j$ સાથેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\vec{u} \cdot \vec{a} = |\vec{u}| |\vec{a}| \cos(45^{\circ})$.
$(x\,i + y\,j) \cdot (i + j) = (1)(\sqrt{1^2 + 1^2}) \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x + y = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
સદિશ $\vec{b} = 3i - 4j$ સાથેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,$\vec{u} \cdot \vec{b} = |\vec{u}| |\vec{b}| \cos(60^{\circ})$.
$(x\,i + y\,j) \cdot (3i - 4j) = (1)(\sqrt{3^2 + (-4)^2}) \frac{1}{2} \Rightarrow 3x - 4y = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2.5$.
આપણી પાસે સમીકરણો છે: $x + y = 1$ અને $3x - 4y = 2.5$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 1 - x$. બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $3x - 4(1 - x) = 2.5 \Rightarrow 3x - 4 + 4x = 2.5 \Rightarrow 7x = 6.5 \Rightarrow x = \frac{13}{14}$.
તેથી $y = 1 - \frac{13}{14} = \frac{1}{14}$.
એકમ સદિશની શરત ચકાસતા: $x^2 + y^2 = (\frac{13}{14})^2 + (\frac{1}{14})^2 = \frac{170}{196} \neq 1$.
આમ,આપેલ વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ શરતોનું પાલન કરતું નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = cxi - 6j + 3k$ અને $\vec{b} = xi + 2j + 2cxk$ છે।
સદિશો ગુરુકોણ બનાવે છે, તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ, એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (cx)(x) + (-6)(2) + (3)(2cx) = cx^2 - 12 + 6cx$.
આપણે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $cx^2 + 6cx - 12 < 0$ ની જરૂર છે।
દ્વિઘાત પદાવલિ $Ax^2 + Bx + C < 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $A < 0$ અને વિવેચક $D = B^2 - 4AC < 0$ હોવું જોઈએ।
અહીં, $A = c$, $B = 6c$, અને $C = -12$ છે।
શરત $1$: $c < 0$.
શરત $2$: $D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0
\Rightarrow 36c^2 + 48c < 0
\Rightarrow 12c(3c + 4) < 0$.
કારણ કે $c < 0$, આપણે $12c$ વડે ભાગતા (જે અસમતાની નિશાની બદલશે): $3c + 4 > 0
\Rightarrow 3c > -4
\Rightarrow c > -\frac{4}{3}$.
$c < 0$ અને $c > -\frac{4}{3}$ ને જોડતા, આપણને $-\frac{4}{3} < c < 0$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $b = 3j + 4k$ અને $a = i + j$.
કારણ કે $b_1$ એ $a$ ને સમાંતર છે,આપણે લખી શકીએ $b_1 = \lambda a = \lambda(i + j) = \lambda i + \lambda j$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $b = b_1 + b_2$,જ્યાં $b_2$ એ $a$ ને લંબ છે.
તેથી,$b_2 = b - b_1 = (0 - \lambda)i + (3 - \lambda)j + 4k = -\lambda i + (3 - \lambda)j + 4k$.
કારણ કે $b_2 \perp a$,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $b_2 \cdot a = 0$.
$(-\lambda i + (3 - \lambda)j + 4k) \cdot (i + j) = 0$.
$-\lambda + (3 - \lambda) = 0$.
$3 - 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
તેથી,$b_1 = \frac{3}{2}(i + j)$.

(C) આપેલ છે કે $|u| = 1, |v| = 2, |w| = 3$. $v \perp w$ હોવાથી,$v \cdot w = 0$ થાય.
$u$ ની દિશામાં $v$ નો પ્રક્ષેપ = $u$ ની દિશામાં $w$ નો પ્રક્ષેપ,તેથી $\frac{v \cdot u}{|u|} = \frac{w \cdot u}{|u|}$.
$|u| = 1$ હોવાથી,$v \cdot u = w \cdot u$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $(v - w) \cdot u = 0$.
આપણે $|u - v + w|$ શોધવું છે. ધારો કે $X = u - (v - w)$.
તેથી $|X|^2 = |u - (v - w)|^2 = |u|^2 + |v - w|^2 - 2u \cdot (v - w)$.
$u \cdot (v - w) = 0$ હોવાથી,$|X|^2 = |u|^2 + |v - w|^2$ મળે.
$|v - w|^2 = |v|^2 + |w|^2 - 2(v \cdot w) = 2^2 + 3^2 - 2(0) = 4 + 9 = 13$.
આમ,$|u - v + w|^2 = 1^2 + 13 = 14$.
તેથી,$|u - v + w| = \sqrt{14}$.

(C) દિશા $\vec{a} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ માં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{25 + 9 + 16}} = \frac{5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{5\sqrt{2}}$ છે.
દિશા $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ માં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}}{5\sqrt{2}}$ છે.
બળો $\vec{F_1} = 3\hat{a} = \frac{3(5\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{5\sqrt{2}}$ અને $\vec{F_2} = 2\hat{b} = \frac{2(3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})}{5\sqrt{2}}$ છે.
કુલ બળ $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = \frac{1}{5\sqrt{2}} [(15\hat{i} + 9\hat{j} + 12\hat{k}) + (6\hat{i} + 8\hat{j} - 10\hat{k})] = \frac{21\hat{i} + 17\hat{j} + 2\hat{k}}{5\sqrt{2}}$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = (3 - 1)\hat{i} + (3 - (-1))\hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \frac{1}{5\sqrt{2}} (21\hat{i} + 17\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
$W = \frac{1}{5\sqrt{2}} (21 \times 2 + 17 \times 4 + 2 \times 2) = \frac{42 + 68 + 4}{5\sqrt{2}} = \frac{114}{5\sqrt{2}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $W = \frac{114\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{57\sqrt{2}}{5}$ એકમ.

(D) આપેલ છે કે $|a \times b| = 4$ અને $|a \cdot b| = 2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a \times b| = |a| |b| \sin \theta = 4$ અને $|a \cdot b| = |a| |b| |\cos \theta| = 2$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરતા:
$|a|^2 |b|^2 \sin^2 \theta = 16$
$|a|^2 |b|^2 \cos^2 \theta = 4$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$|a|^2 |b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 16 + 4$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$|a|^2 |b|^2 = 20$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ એ સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ નું પરિકેન્દ્ર $O$ છે. ધારો કે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે અને $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે.
$O$ એ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R,$ જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
$s=1$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,પરિત્રિજ્યા $R = \frac{s}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
$P$ એ પરિવર્તુળ પર હોવાથી,$|\vec{r}| = R = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
આપણે $S = |\vec{r}-\vec{a}|^2 + |\vec{r}-\vec{b}|^2 + |\vec{r}-\vec{c}|^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = (\vec{r}-\vec{a}) \cdot (\vec{r}-\vec{a}) + (\vec{r}-\vec{b}) \cdot (\vec{r}-\vec{b}) + (\vec{r}-\vec{c}) \cdot (\vec{r}-\vec{c})$
$S = 3|\vec{r}|^2 + (|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2\vec{r} \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}).$
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}.$
વળી,$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = R^2 = \frac{1}{3}$ અને $|\vec{r}|^2 = R^2 = \frac{1}{3}.$
આ કિંમતો મૂકતા:
$S = 3(\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - 2\vec{r} \cdot \vec{0}$
$S = 1 + 1 - 0 = 2.$

(D) આપેલ છે કે $OACB$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે જ્યાં $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ અને $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ છે.
$AC$ એ $OB$ ને સમાંતર હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OB} = \vec{b}$ થાય.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $AC$ પર આવેલો છે. $M$ એ $AC$ પર હોવાથી,આપણે $\overrightarrow{OM} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ કોઈ અદિશ છે.
તેથી $\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB} = \vec{a} + \lambda \vec{b} - \vec{b} = \vec{a} + (\lambda - 1)\vec{b}$ થાય.
$BM \perp AC$ હોવાથી,$\overrightarrow{BM} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ થાય.
$(\vec{a} + (\lambda - 1)\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} + (\lambda - 1)|\vec{b}|^2 = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ અને $|\vec{b}| = 2$,તેથી $|\vec{b}|^2 = 4$.
$1 + (\lambda - 1)(4) = 0 \implies 4(\lambda - 1) = -1 \implies \lambda - 1 = -\frac{1}{4} \implies \lambda = \frac{3}{4}$.
હવે,$\overrightarrow{BM} = \vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.
$|\overrightarrow{BM}|^2 = |\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + \frac{1}{16}|\vec{b}|^2 - \frac{2}{4}(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
$|\overrightarrow{BM}|^2 = 4 + \frac{4}{16} - \frac{1}{2} = 4 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{16 + 1 - 2}{4} = \frac{15}{4}$.
તેથી,$|\overrightarrow{BM}| = \frac{\sqrt{15}}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec a \cdot (\vec b + \vec c) = 0$,$\vec b \cdot (\vec c + \vec a) = 0$,અને $\vec c \cdot (\vec a + \vec b) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે:
$(i) \quad \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c = 0$
$(ii) \quad \vec b \cdot \vec c + \vec b \cdot \vec a = 0$
$(iii) \quad \vec c \cdot \vec a + \vec c \cdot \vec b = 0$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a = 0$.
હવે,$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 + |\vec c|^2 + 2(\vec a \cdot \vec b + \vec b \cdot \vec c + \vec c \cdot \vec a)$.
આપેલ માન $|\vec a| = 3, |\vec b| = 4, |\vec c| = 5$ મૂકતા:
$|\vec a + \vec b + \vec c|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(0) = 9 + 16 + 25 = 50$.
તેથી,$|\vec a + \vec b + \vec c| = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$.

(B) આપણે $\{\vec{a}, \vec{b_1}, \vec{c_2}\}$ ગણની લંબતા ચકાસીએ.
પ્રથમ,$\vec{a} \cdot \vec{b_1} = \vec{a} \cdot \left( \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} \right) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} |\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b_1}$ પરસ્પર લંબ છે.
ત્યારબાદ,$\vec{a} \cdot \vec{c_2} = \vec{a} \cdot \left( \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1} \right) = \vec{a} \cdot \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} |\vec{a}|^2 - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2} (\vec{a} \cdot \vec{b_1}) = \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{c} \cdot \vec{a} - 0 = 0$.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{c_2}$ પરસ્પર લંબ છે.
છેલ્લે,$\vec{b_1} \cdot \vec{c_2} = \vec{b_1} \cdot \left( \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\vec{a} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2}\vec{b_1} \right) = \vec{b_1} \cdot \vec{c} - \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} (\vec{b_1} \cdot \vec{a}) - \frac{\vec{c} \cdot \vec{b_1}}{|\vec{b_1}|^2} |\vec{b_1}|^2 = \vec{b_1} \cdot \vec{c} - 0 - \vec{c} \cdot \vec{b_1} = 0$.
આમ,$\vec{b_1}$ અને $\vec{c_2}$ પરસ્પર લંબ છે.
બધી જોડીઓ લંબ હોવાથી,$\{\vec{a}, \vec{b_1}, \vec{c_2}\}$ એ પરસ્પર લંબ સદિશોનો સમૂહ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ એકમ સદિશો છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d})(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 1$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ એકમ સદિશો છે,$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d})$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{d}$ હોય.
આ સૂચવે છે કે સદિશો ચોક્કસ ગોઠવણીમાં સમતલીય છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,તેથી $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
જો $\vec{b}$ અને $\vec{d}$ સમાંતર હોત,તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ ની શરત સંતોષાતી નથી.
ભૂમિતિના વિશ્લેષણ દ્વારા,જો $\vec{b}$ અને $\vec{d}$ સમાંતર હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થઈ જાય છે,જે પરિણામનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,$\vec{b}$ અને $\vec{d}$ સમાંતર ન હોવા જોઈએ.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{d} \times \vec{b}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $(\vec{a} - \vec{d}) \times \vec{b} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} - \vec{d}$ એ $\vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{a} - \vec{d} = \lambda \vec{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આમ,$\vec{d} = \vec{a} - \lambda \vec{b}$.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા,આપણને મળે $\vec{d} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} - \lambda (\vec{b} \cdot \vec{c})$.
આપેલ છે કે $\vec{d} \cdot \vec{c} = 8$,$\vec{a} \cdot \vec{c} = (2)(1) + (3)(1) + (1)(1) = 6$,અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(1) = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા: $8 = 6 - \lambda(1) \Rightarrow \lambda = -2$.
તેથી,$\vec{d} = \vec{a} + 2\vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + 2(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = 4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
અંતે,$\vec{d} \cdot \vec{b} = (4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (4)(1) + (1)(-1) + (3)(1) = 4 - 1 + 3 = 6$.

(A) આપેલ છે કે $|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b}| = 2$ અને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta = 4 \sin \theta$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta = 4 \cos \theta$ છે.
આપેલ સમીકરણ $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \sqrt{2} |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $4 \sin \theta + 4 \cos \theta = \sqrt{2} (2)(2) = 4\sqrt{2}$ મળે છે.
$4$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ મળે છે.
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ વડે ગુણતા,$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta = 1$ મળે છે,જે $\sin(\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$ છે.
આમ,$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \sin \theta = (2)(2) \sin(\frac{\pi}{4}) = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ લંબ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ છે $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું સૂત્ર $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{w} \times \vec{z}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})(\vec{v} \cdot \vec{z}) - (\vec{u} \cdot \vec{z})(\vec{v} \cdot \vec{w})$ છે.
દરેક પદ માટે આ સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$1$. $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0 - (\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}))(1) = -(\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b}) = -(1 + 0) = -1$.
$2$. $(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{c} \cdot \vec{a}) - (\vec{b} \cdot \vec{a})(\vec{c} \cdot \vec{c}) = (\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}))(\vec{c} \cdot \vec{a}) - 0 = (\vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b})(\vec{c} \cdot \vec{a}) = (0 + 1)(\vec{c} \cdot \vec{a}) = \vec{c} \cdot \vec{a} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = 1 + 0 = 1$.
$3$. $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{c} \cdot \vec{a})(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{c} \cdot \vec{b})(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 0 - ((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b})(1) = -(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}) = -(0 + 1) = -1$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $-1 + 1 - 1 = -1$.