Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
કારણ કે $a - \sqrt{2}b$ એક એકમ સદિશ છે,તેનું માન $1$ છે,તેથી $|a - \sqrt{2}b| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|a - \sqrt{2}b|^2 = 1^2$.
ગુણધર્મ $|u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a|^2 + |\sqrt{2}b|^2 - 2(a \cdot \sqrt{2}b) = 1$.
$|a| = 1$ અને $|b| = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 2|b|^2 - 2\sqrt{2}(a \cdot b) = 1$.
$1 + 2(1) - 2\sqrt{2}(a \cdot b) = 1$.
$3 - 2\sqrt{2}(a \cdot b) = 1$.
$2\sqrt{2}(a \cdot b) = 2$.
$a \cdot b = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b|\cos\theta$,તેથી $1 \cdot 1 \cdot \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{4}$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(2) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $0 = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \cdot \cos \theta$.
કારણ કે $\sqrt{3} \cdot \sqrt{6} \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4i - 2j + 0k$,$\vec{b} = i + 4j - 3k$,અને $\vec{c} = -i + 5j + k$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ શોધીએ:
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)i + (-2-4)j + (0-(-3))k = 3i - 6j + 3k$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)i + (5-4)j + (1-(-3))k = -2i + j + 4k$
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\angle ABC = 90^\circ$ અથવા $\pi / 2$ રેડિયન.

(D) ધારો કે $\vec{a} = x\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}$.
શરત $1$: $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (x)(2x) + (-3)(x) + (-1)(-1) = 2x^2 - 3x + 1 > 0$.
$2x^2 - 3x + 1 > 0$ ઉકેલતા,આપણને $(2x - 1)(x - 1) > 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x < 1/2$ અથવા $x > 1$.
શરત $2$: $\vec{b}$ અને $y$-અક્ષ (એકમ સદિશ $\hat{j}$) વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ છે,તેથી $\vec{b} \cdot \hat{j} < 0$.
$\vec{b} \cdot \hat{j} = (2x\hat{i} + x\hat{j} - \hat{k}) \cdot (0\hat{i} + 1\hat{j} + 0\hat{k}) = x < 0$.
બંને શરતોને જોડતા: $x < 0$ અને ($x < 1/2$ અથવા $x > 1$).
છેદગણ $x < 0$ મળે છે.
કોઈપણ વિકલ્પ $x < 0$ સાથે મેળ ખાતો નથી,તેથી સાચો જવાબ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
વળી,$|a - b| = 1$.
$|a - b| = 1$ ની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a - b|^2 = 1^2$ મળે છે.
$|x|^2 = x \cdot x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(a - b) \cdot (a - b) = 1$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$a \cdot a - a \cdot b - b \cdot a + b \cdot b = 1$ મળે છે.
કારણ કે $a \cdot a = |a|^2 = 1$ અને $b \cdot b = |b|^2 = 1$,સમીકરણ $1 - 2(a \cdot b) + 1 = 1$ બને છે.
$2 - 2(a \cdot b) = 1$.
$2(a \cdot b) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કિંમતો મૂકતા,$1 \times 1 \times \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ અથવા $60^\circ$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે,$0 \le \theta \le \pi.$
કારણ કે માન $|\vec{a}|$ અને $|\vec{b}|$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b}$ નું ચિહ્ન $\cos \theta$ પર આધાર રાખે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} \ge 0$ માટે,આપણી પાસે $\cos \theta \ge 0$ હોવું જોઈએ.
અંતરાલ $0 \le \theta \le \pi$ માં,$\cos \theta \ge 0$ ત્યારે જ થાય જ્યારે $0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $a = i + 2j - 3k$ અને $b = 3i - j + 2k$ છે.
પ્રથમ,સરવાળા સદિશ $a + b$ ની ગણતરી કરો:
$a + b = (i + 3i) + (2j - j) + (-3k + 2k) = 4i + j - k.$
ત્યારબાદ,તફાવત સદિશ $a - b$ ની ગણતરી કરો:
$a - b = (i - 3i) + (2j - (-j)) + (-3k - 2k) = -2i + 3j - 5k.$
હવે,$(a + b)$ અને $(a - b)$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$(a + b) \cdot (a - b) = (4)(-2) + (1)(3) + (-1)(-5) = -8 + 3 + 5 = 0.$
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(B) સદિશો $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોવા માટે, તેમનો અદિશ ગુણાકાર ધન હોવો જોઈએ: $a \cdot b > 0$.
$(-3i + xj + k) \cdot (xi + 2xj + k) > 0$
$-3x + 2x^2 + 1 > 0$
$2x^2 - 3x + 1 > 0$
$(2x - 1)(x - 1) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $x < 1/2$ અથવા $x > 1$ હોય.
સદિશ $b = xi + 2xj + k$ અને $x$-અક્ષ (જે એકમ સદિશ $i$ દ્વારા દર્શાવાય છે) વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ ($\pi/2$ અને $\pi$ ની વચ્ચે) હોવા માટે, તેમનો અદિશ ગુણાકાર $b \cdot i$ ઋણ હોવો જોઈએ:
$b \cdot i < 0$
$(xi + 2xj + k) \cdot i < 0$
$x < 0$.
શરતો $x < 1/2$ અથવા $x > 1$ અને $x < 0$ ને જોડતા, આપણને $x < 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 2i + 6j + 3k$ અને $\vec{b} = 12i - 4j + 3k$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(12) + (6)(-4) + (3)(3) = 24 - 24 + 9 = 9$.
ત્યારબાદ,માન શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9} = \sqrt{169} = 13$.
આમ,$\cos \theta = \frac{9}{7 \times 13} = \frac{9}{91}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{9}{91}\right)$.

(D) ધારો કે $\vec{u} = i + 0j + k$ અને $\vec{v} = i - j + ak$.
અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$ છે.
અહીં,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(1) + (0)(-1) + (1)(a) = 1 + a$.
સદિશોના માન $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + a^2} = \sqrt{2 + a^2}$ છે.
આપેલ છે કે $\theta = \pi / 3$,તેથી $\cos(\pi / 3) = 1/2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1 + a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2 + a^2} \cdot (1/2)$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2(1 + a) = \sqrt{2(2 + a^2)}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4(1 + 2a + a^2) = 2(2 + a^2)$.
$4 + 8a + 4a^2 = 4 + 2a^2$.
$2a^2 + 8a = 0$.
$2a(a + 4) = 0$.
આમ,$a = 0$ અથવા $a = -4$.
વિકલ્પો તપાસતા,$a = 0$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ છે કે,$a + b + c = 0 \Rightarrow a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = |-c|^2$ મળે.
$|u|^2 = u \cdot u$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ મળે.
અહીં $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,તેથી $|a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| \cos \theta = |c|^2$.
આપેલ કિંમતો $|a| = 3, |b| = 5, |c| = 7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^\circ$.

(D) આપેલ છે કે $a, b,$ અને $c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1.$
આપેલ શરત $a + b - c = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a + b = c.$
બંને બાજુઓનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા:
$(a + b) \cdot (a + b) = c \cdot c$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \cdot a + b \cdot b + 2(a \cdot b) = |c|^2$
કારણ કે $a \cdot a = |a|^2 = 1,$ $b \cdot b = |b|^2 = 1,$ અને $c \cdot c = |c|^2 = 1,$
$1 + 1 + 2|a||b|\cos \theta = 1,$
જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$2 + 2(1)(1)\cos \theta = 1$
$2\cos \theta = 1 - 2$
$2\cos \theta = -1$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(A) ધારો કે $a = 2i + 3j + k$ અને $b = 2i - j - k$.
બે સદિશો $a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b$ શોધો:
$a \cdot b = (2)(2) + (3)(-1) + (1)(-1) = 4 - 3 - 1 = 0$.
હવે,માન $|a|$ અને $|b|$ શોધો:
$|a| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
$|b| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ ના કોસાઇન માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
અંતે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$\cos \theta = \frac{4}{3 \times 7} = \frac{4}{21}$.

(B) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
કારણ કે $(a + 2b)$ અને $(5a - 4b)$ પરસ્પર લંબ છે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(a + 2b) \cdot (5a - 4b) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$5(a \cdot a) - 4(a \cdot b) + 10(b \cdot a) - 8(b \cdot b) = 0$
કારણ કે $a \cdot a = |a|^2 = 1$ અને $b \cdot b = |b|^2 = 1$,અને $a \cdot b = b \cdot a$:
$5(1) + 6(a \cdot b) - 8(1) = 0$
$5 + 6(a \cdot b) - 8 = 0$
$6(a \cdot b) - 3 = 0$
$6(a \cdot b) = 3$
$a \cdot b = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
સૂત્ર $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = 60^o$.

(A) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2|a||b|\cos\theta$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(1)(1)\cos\theta = 2 - 2\cos\theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos\theta = 2\sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|a - b|^2 = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને મળે છે $|a - b| = 2\sin(\theta/2)$.
તેથી,$\sin(\theta/2) = \frac{1}{2}|a - b|$.

(A) આપેલ સદિશો $a = (1, 1, 4)$ અને $b = (1, -1, 4)$ છે.
પ્રથમ,$a + b$ ની ગણતરી કરો:
$a + b = (1+1, 1-1, 4+4) = (2, 0, 8)$.
ત્યારબાદ,$a - b$ ની ગણતરી કરો:
$a - b = (1-1, 1-(-1), 4-4) = (0, 2, 0)$.
હવે,$(a + b)$ અને $(a - b)$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો:
$(a + b) \cdot (a - b) = (2)(0) + (0)(2) + (8)(0) = 0 + 0 + 0 = 0$.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,તે સદિશો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^o$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|a + b| = |a - b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a + b|^2 = |a - b|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a + b) \cdot (a + b) = (a - b) \cdot (a - b)$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$a \cdot a + 2(a \cdot b) + b \cdot b = a \cdot a - 2(a \cdot b) + b \cdot b$ મળે.
બંને બાજુથી $a \cdot a + b \cdot b$ બાદ કરતા,$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$ મળે.
આનો અર્થ એ થાય કે $4(a \cdot b) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot b = 0$.
બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{u} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2)(2) + (a)(-1) + (1)(-1) = 0$
$4 - a - 1 = 0$
$3 - a = 0$
$a = 3.$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $a = 2i + 2j + 3k$,$b = -i + 2j + k$ અને $c = 3i + j$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $a + tb$ ની ગણતરી કરો:
$a + tb = (2i + 2j + 3k) + t(-i + 2j + k) = (2 - t)i + (2 + 2t)j + (3 + t)k$.
કારણ કે $a + tb$ એ $c$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a + tb) \cdot c = 0$.
ઘટકોને મૂકતા:
$((2 - t)i + (2 + 2t)j + (3 + t)k) \cdot (3i + j + 0k) = 0$.
$3(2 - t) + 1(2 + 2t) + 0(3 + t) = 0$.
$6 - 3t + 2 + 2t = 0$.
$8 - t = 0$.
$t = 8$.

(C) બે સદિશો $\vec{a} = a_1i + a_2j + a_3k$ અને $\vec{b} = b_1i + b_2j + b_3k$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2i + j - k$ અને $\vec{b} = i - 4j + \lambda k$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-4) + (-1)(\lambda) = 0$.
$2 - 4 - \lambda = 0$.
$-2 - \lambda = 0$.
$\lambda = -2$.

(B) બે સદિશો $\vec{A} = A_1\,i + A_2\,j + A_3\,k$ અને $\vec{B} = B_1\,i + B_2\,j + B_3\,k$ લંબ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{A} = 2\,i + 3\,j - 4\,k$ અને $\vec{B} = a\,i + b\,j + c\,k$ છે.
લંબ હોવાની શરત $(2)(a) + (3)(b) + (-4)(c) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2a + 3b - 4c = 0$ થાય છે.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $2(4) + 3(4) - 4(5) = 8 + 12 - 20 = 20 - 20 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,વિકલ્પ $(b)$ માં આપેલ કિંમતો માટે સદિશો લંબ છે.

(B) $xy$-સમતલમાં જરૂરી એકમ સદિશ $\vec{r} = xi + yj$ ધારો.
$\vec{r}$ એકમ સદિશ હોવાથી, $x^2 + y^2 = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{r}$ એ $\vec{a} = 4i - 3j + k$ ને લંબ છે, તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(xi + yj) \cdot (4i - 3j + k) = 0$
$4x - 3y = 0 \Rightarrow 4x = 3y \Rightarrow x = \frac{3}{4}y$.
$x = \frac{3}{4}y$ ને $x^2 + y^2 = 1$ માં મૂકતા:
$(\frac{3}{4}y)^2 + y^2 = 1$
$\frac{9}{16}y^2 + y^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{16}y^2 = 1$
$y^2 = \frac{16}{25} \Rightarrow y = \pm \frac{4}{5}$.
જો $y = \frac{4}{5}$ હોય, તો $x = \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{3}{5}$ મળે.
આમ, સદિશ $\frac{3}{5}i + \frac{4}{5}j = \frac{1}{5}(3i + 4j)$ થાય.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c} = \vec{0}$ છે.
સમીકરણની બંને બાજુએ $\vec{a}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર (dot product) લેતા:
$(l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c}) \cdot \vec{a} = \vec{0} \cdot \vec{a}$
$l(\vec{a} \cdot \vec{a}) + m(\vec{b} \cdot \vec{a}) + n(\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0,$ અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0.$
આમ,$l|\vec{a}|^2 + 0 + 0 = 0.$
જેহেতু $\vec{a}$ એ શૂન્યેતર સદિશ છે,$|\vec{a}|^2 \neq 0,$ જે સૂચવે છે કે $l = 0.$
તે જ રીતે,અનુક્રમે $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા,આપણને $m = 0$ અને $n = 0$ મળે છે.
તેથી,$l = m = n = 0.$

(A) બે સદિશો $\vec{u} = a\,i - 2j + 3k$ અને $\vec{v} = 3i + 6j - 5k$ પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(a)(3) + (-2)(6) + (3)(-5) = 0$.
$3a - 12 - 15 = 0$.
$3a - 27 = 0$.
$3a = 27$.
$a = 9$.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
ધારો કે $\vec{a} = 2\lambda \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\lambda)(0) + (1)(2) + (-1)(1) = 0 + 2 - 1 = 1$.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $1$ મળે છે,જે $\lambda$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $0$ થતો નથી,તેથી $\lambda$ ની એવી કોઈ કિંમત નથી જેના માટે આ સદિશો પરસ્પર લંબ હોય.

(C) બે સદિશો $\vec{A} = ai + bj + ck$ અને $\vec{B} = pi + qj + rk$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય।
અદિશ ગુણાકાર આ મુજબ મળે છે: $\vec{A} \cdot \vec{B} = (ai + bj + ck) \cdot (pi + qj + rk)$
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા, આપણને મળે છે $\vec{A} \cdot \vec{B} = a(p) + b(q) + c(r) = ap + bq + cr$
કારણ કે સદિશો લંબ છે, તેથી $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$
તેથી, $ap + bq + cr = 0$.

(C) બે સદિશો $a$ અને $b$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,એટલે કે $a \cdot b = 0$.
આપેલ છે કે $a = 2i + 4j + 2k$ અને $b = 8i - 3j + \lambda k$.
અદિશ ગુણાકાર નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$a \cdot b = (2)(8) + (4)(-3) + (2)(\lambda) = 0$
$16 - 12 + 2\lambda = 0$
$4 + 2\lambda = 0$
$2\lambda = -4$
$\lambda = -2$
તેથી,$\lambda$ ની કિંમત $-2$ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{u} = a\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{v} = -\hat{i} + 5\hat{j} + a\hat{k}$ પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(a)(-1) + (2)(5) + (3)(a) = 0$
$-a + 10 + 3a = 0$
$2a + 10 = 0$
$2a = -10$
$a = -5$
તેથી,સાચો જવાબ $a = -5$ છે.

(A) બે સદિશો લંબ હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય.
ધારો કે $\vec{u} = ai + 6j - k$ અને $\vec{v} = 7i - 3j + 17k$.
કારણ કે $\vec{u} \perp \vec{v}$,તેથી $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
$(ai + 6j - k) \cdot (7i - 3j + 17k) = 0$
$(a)(7) + (6)(-3) + (-1)(17) = 0$
$7a - 18 - 17 = 0$
$7a - 35 = 0$
$7a = 35$
$a = 5$.

(C) બે સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + m\hat{j} + 2\hat{k}$ કાટખૂણે છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એકબીજાને લંબ છે.
લંબ સદિશો માટે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + m\hat{j} + 2\hat{k}) = 0$
$(4)(3) + (1)(m) + (-1)(2) = 0$
$12 + m - 2 = 0$
$10 + m = 0$
$m = -10$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = 3i + \lambda j + k$ અને $\vec{b} = 2i - j + 8k$ છે.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(3i + \lambda j + k) \cdot (2i - j + 8k) = 0$.
અનુરૂપ ઘટકોનો ગુણાકાર કરીને અદિશ ગુણાકાર મેળવતા:
$(3)(2) + (\lambda)(-1) + (1)(8) = 0$.
$6 - \lambda + 8 = 0$.
$14 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 14$.

(D) સદિશ $a$ ની દિશામાં સદિશ $b$ નો પ્રક્ષેપ (ઘટક) શોધવાનું સૂત્ર છે: $\text{proj}_a b = (b \cdot \hat{a})\hat{a}$.
અહીં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{a}{|a|}$ હોવાથી,આપણે સૂત્રમાં કિંમત મૂકીએ:
$\text{proj}_a b = \left( b \cdot \frac{a}{|a|} \right) \frac{a}{|a|}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{(b \cdot a)a}{|a|^2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a|^2 = a \cdot a$,તેથી અભિવ્યક્તિ $\frac{(a \cdot b)a}{a \cdot a}$ થાય છે.

(B) સદિશ $a$ નો $b$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{proj}_{b} a = \frac{(a \cdot b)b}{|b|^2}$ છે.
આપેલ છે કે $a = 4i + 6j$ અને $b = 3j + 4k$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $a \cdot b = (4i + 6j) \cdot (0i + 3j + 4k) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 0 + 18 + 0 = 18$ ગણો.
ત્યારબાદ,$b$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{proj}_{b} a = \frac{18}{25}(3j + 4k)$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\vec{a} = \vec{i} + \vec{j}$ અને $\vec{b} = \vec{j} + \vec{k}$.
સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\left( \vec{a} \cdot \hat{b} \right) \hat{b}$ છે,જ્યાં $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$.
પ્રથમ,$\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$\hat{b} = \frac{\vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \hat{b} = (\vec{i} + \vec{j}) \cdot \left( \frac{\vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} (\vec{i} \cdot \vec{j} + \vec{i} \cdot \vec{k} + \vec{j} \cdot \vec{j} + \vec{j} \cdot \vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{2}} (0 + 0 + 1 + 0) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
અંતે,ઘટક $\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{\vec{j} + \vec{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\vec{j} + \vec{k}}{2}$ થાય.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(2) + (-2)(3) = 2 + 6 - 6 = 2$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{2}{\sqrt{14}}$ થશે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{b}$ નો સદિશ $\vec{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}}{\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|}} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$,તેથી $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,તેથી $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,જરૂરી ગુણોત્તર $\frac{7}{3}$ છે.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ એ $\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો અદિશ ઘટક છે.
ગાણિતિક રીતે,આ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\hat{b}$ એ $\vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,જ્યાં $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$.
પ્રક્ષેપ = $\vec{a} \cdot \hat{b} = \vec{a} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) સદિશ $b$ નો સદિશ $a$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{a \cdot b}{|a|}$ છે.
આપેલ સદિશો $a = 2i + j + 2k$ અને $b = 5i - 3j + k$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = (2)(5) + (1)(-3) + (2)(1) = 10 - 3 + 2 = 9$ ગણો.
ત્યારબાદ,સદિશ $a$ નું માન $|a| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ ગણો.
છેલ્લે,પ્રક્ષેપ $\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{9}{3} = 3$ થાય છે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (-2)(-4) + (1)(7) = 4 + 8 + 7 = 19$ મેળવો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન (magnitude) શોધો:
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 16 + 49} = \sqrt{81} = 9$.
આમ,માંગેલ પ્રક્ષેપ $\frac{19}{9}$ થાય છે.

(A) સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} = (4i - 3j - 2k) - (6i + j - 3k) = (4-6)i + (-3-1)j + (-2+3)k = -2i - 4j + k$.
થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર $\vec{d}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (i - 3j + 5k) \cdot (-2i - 4j + k)$.
$W = (1 \times -2) + (-3 \times -4) + (5 \times 1) = -2 + 12 + 5 = 15 \text{ units}$.

(A) થયેલું કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\overrightarrow{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d} = \vec{r_2} - \vec{r_1}$ શોધો.
$\overrightarrow{d} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (2-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
હવે,કાર્ય $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}$ ની ગણતરી કરો.
$W = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$.
$W = (1)(1) + (2)(-2) + (3)(2) = 1 - 4 + 6 = 3$.
આમ,થયેલું કાર્ય $3$ એકમ છે.

(A) બળ સદિશ $F = 2i - 3j + 2k$ આપેલ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ $r_1 = 3i + 4j + 5k$ અને અંતિમ સ્થાન સદિશ $r_2 = 1i + 2j + 3k$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $d = r_2 - r_1 = (1 - 3)i + (2 - 4)j + (3 - 5)k = -2i - 2j - 2k$ મળે છે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતરનો અદિશ ગુણાકાર છે: $W = F \cdot d$.
$W = (2i - 3j + 2k) \cdot (-2i - 2j - 2k) = (2 \times -2) + (-3 \times -2) + (2 \times -2) = -4 + 6 - 4 = -2$.
કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = |-2| = 2$ $unit$ થાય છે.

(C) પરિણામી બળ $\vec{F}$ એ વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\vec{F} = (3i + 2j + 5k) + (2i + j - 3k) = (3+2)i + (2+1)j + (5-3)k = 5i + 3j + 2k$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\vec{d} = (4i - 3j + 7k) - (2i - j - 3k) = (4-2)i + (-3 - (-1))j + (7 - (-3))k = 2i - 2j + 10k$.
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5i + 3j + 2k) \cdot (2i - 2j + 10k)$
$W = (5 \times 2) + (3 \times -2) + (2 \times 10)$
$W = 10 - 6 + 20 = 24 \, \text{units}$.

(D) પરિણામી બળ $\vec{F}$ એ બે બળોનો સરવાળો છે:
$\vec{F} = (3i + 2j - 3k) + (2i + 4j + 2k) = 5i + 6j - k$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\vec{d} = (5i + 4j + 2k) - (i + 2j + k) = 4i + 2j + k$.
કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) છે:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (5i + 6j - k) \cdot (4i + 2j + k)$.
$W = (5 \times 4) + (6 \times 2) + (-1 \times 1) = 20 + 12 - 1 = 31 \text{ units}$.

(C) કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ ના અદિશ ગુણાકાર (dot product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
$\vec{F} = 2i - j - k$
$\vec{d} = 3i + 2j - 5k$
$W = \vec{F} \cdot \vec{d}$
$W = (2i - j - k) \cdot (3i + 2j - 5k)$
$W = (2 \times 3) + (-1 \times 2) + (-1 \times -5)$
$W = 6 - 2 + 5$
$W = 9 \text{ એકમ}$.

(B) થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ અને સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ નો અદિશ ગુણાકાર છે.
પ્રથમ,$2i - 2j + k$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો:
$\hat{u} = \frac{2i - 2j + k}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{2i - 2j + k}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{2i - 2j + k}{3}$.
બળ સદિશ $\vec{F}$ એ માન અને એકમ સદિશનો ગુણાકાર છે:
$\vec{F} = 5 \times \left( \frac{2i - 2j + k}{3} \right) = \frac{5}{3}(2i - 2j + k)$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ અંતિમ અને પ્રારંભિક સ્થાન વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\vec{d} = (5i + 3j + 7k) - (i + 2j + 3k) = 4i + j + 4k$.
થયેલ કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$:
$W = \frac{5}{3}(2i - 2j + k) \cdot (4i + j + 4k)$
$W = \frac{5}{3} \times [(2 \times 4) + (-2 \times 1) + (1 \times 4)]$
$W = \frac{5}{3} \times [8 - 2 + 4] = \frac{5}{3} \times 10 = \frac{50}{3}$ એકમ.

(C) પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ એ વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = (4i + j - 3k) + (3i + j - k) = (4+3)i + (1+1)j + (-3-1)k = 7i + 2j - 4k$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d}$ એ અંતિમ સ્થાન સદિશ અને પ્રારંભિક સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\overrightarrow{d} = (5i + 4j + k) - (i + 2j + 3k) = (5-1)i + (4-2)j + (1-3)k = 4i + 2j - 2k$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો ડોટ ગુણાકાર છે:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (7i + 2j - 4k) \cdot (4i + 2j - 2k)$.
$W = (7 \times 4) + (2 \times 2) + (-4 \times -2) = 28 + 4 + 8 = 40 \text{ units}$.

(A) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\vec{a} = xi - j + k$ અને $\vec{b} = 2i - j + 5k$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x)(2) + (-1)(-1) + (1)(5) = 2x + 1 + 5 = 2x + 6$.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30}$ છે.
આપેલ છે કે અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{30}}$ છે, તેથી $\frac{2x + 6}{\sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{30}}$.
અંશને સરખાવતા, આપણને $2x + 6 = 1$ મળે છે.
$2x = 1 - 6 = -5$.
તેથી, $x = \frac{-5}{2}$.