Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(C) આપેલ નિશ્ચાયક એ બે સદિશ ગુણાકારોના અદિશ ગુણાકાર માટેની લેગ્રાન્જ ઓળખ છે,જે $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{d}) = 0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(2)(3) + (3)(2) + (-1)(\lambda) = 0$.
$6 + 6 - \lambda = 0$.
$12 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 12$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{b} = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\vec{c} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$.
સદિશોનો સરવાળો $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
$\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2+6^2+(-2)^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i}+6 \hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}}$ છે.
$\vec{a}$ અને $\hat{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે:
$\vec{a} \cdot \hat{v} = 1$
$\frac{(1)(2+\lambda) + (1)(6) + (1)(-2)}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\frac{\lambda+6}{\sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}} = 1$
$\lambda+6 = \sqrt{\lambda^2+4 \lambda+44}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\lambda+6)^2 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$\lambda^2+12 \lambda+36 = \lambda^2+4 \lambda+44$
$8 \lambda = 8$
$\lambda = 1$.

(C) ધારો કે $\bar{s} = \bar{b} + \bar{c} = (2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\bar{s}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{s} = \frac{\bar{s}}{|\bar{s}|} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{(2+\lambda)^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}}$.
આપેલ શરત મુજબ $\bar{a} \cdot \hat{s} = 1$ હોવાથી:
$(\hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}) \cdot \left( \frac{(2+\lambda) \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} \right) = 1$.
અંશમાં અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\frac{(2+\lambda) - 4 + 2}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
$\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda + 12}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda^2 = \lambda^2 + 4\lambda + 12$.
$4\lambda = -12$.
$\lambda = -3$.

(D) આપેલ છે કે $(\overline{a}-\overline{d}) \cdot(\overline{b}-\overline{c})=0$ અને $(\overline{b}-\overline{d}) \cdot(\overline{c}-\overline{a})=0$.
આને સદિશોના સ્વરૂપમાં $\overline{AD} \cdot \overline{BC} = 0$ અને $\overline{BD} \cdot \overline{CA} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આનો અર્થ એ છે કે $\overline{AD} \perp \overline{BC}$ અને $\overline{BD} \perp \overline{CA}$.
જેથી $D$ એ $\triangle ABC$ ના વેધ $AD$ અને $BD$ નું છેદબિંદુ હોવાથી,$D$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{3}\right)$.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$.
પ્રથમ,$\vec{a}$ ના માનનો વર્ગ શોધો:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો:
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકો:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3 - 14 = -11$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ થાય.
આપણને સમીકરણ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ મળે.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે.
માનાંકની કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ થાય.
આથી $3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$ થાય.
આમ,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -3/2$ મળે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ મૂકતા:
$3^2 + 4^2 + 2^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9 + 16 + 4 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$.

(A) આપણને આપેલા સદિશો: $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\lambda \vec{b} + \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\lambda \vec{b} + \vec{c} = \lambda (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + (\hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$
$= (\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\lambda \vec{b} + \vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{a} \cdot (\lambda \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}) = 0$
$2(\lambda + 1) - 1(\lambda + 3) + 1(-2 \lambda - 1) = 0$
$2 \lambda + 2 - \lambda - 3 - 2 \lambda - 1 = 0$
$-\lambda - 2 = 0$
$\lambda = -2$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{x}| = 1$,$|\vec{y}| = 1$,અને $|\vec{x} + \vec{y}| = 1$.
$|\vec{x} + \vec{y}| = 1$ સમીકરણનો વર્ગ કરતા,આપણને $|\vec{x} + \vec{y}|^2 = 1^2$ મળે છે.
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$ મળે છે.
$2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = -1$,તેથી $\vec{x} \cdot \vec{y} = -\frac{1}{2}$.
હવે,આપણે $|\vec{x} - \vec{y}|$ શોધવાનું છે.
$|\vec{x} - \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા: $|\vec{x} - \vec{y}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\vec{x} - \vec{y}| = \sqrt{3}$.

(A) પાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{a} = (2, -2, 1)$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
આપેલ છે કે $\vec{b} = 2|\vec{a}|$,તેથી $|\vec{b}| = 2 \times 3 = 6$.
બાજુઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ છે.
હવે,આ કિંમતોને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકો:
$\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
આમ,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $9$ ચોરસ એકમ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
ડોટ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ અને $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$,અને ડોટ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે $(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a})$,તેથી આપણને મળે છે:
$|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$.
બંને બાજુથી $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2$ બાદ કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
કારણ કે $\vec{a} \neq \vec{0}$ અને $\vec{b} \neq \vec{0}$,બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય જો અને તો જ તેઓ એકબીજાને લંબ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે એકમ સદિશોના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
વળી,$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot (-\hat{j}) = -1$.
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.
$\hat{j} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + (-1) + 1 + 0 = 1$.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (-1)(1) = 1 - 1 - 1 = -1$ થાય.
તેમના માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$.
ગુણધર્મ $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}(x)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\theta = \pi - \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (2)(3) + (1)(2) = 2 + 6 + 2 = 10$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું માન (magnitude) $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 9 + 4} = \sqrt{17}$ શોધો.
આમ,પ્રક્ષેપ $\frac{10}{\sqrt{17}}$ મળે છે.

(B) બે સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = (6)(4) + (2)(-4) + (-8)(2) = 24 - 8 - 16 = 0$ ગણો.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
બંને બાજુ માન લેતા,આપણને $|\vec{a} \cdot \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\cos \theta|$ મળે છે.
કોસાઇન વિધેયનો વિસ્તાર $[-1, 1]$ હોવાથી,નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|\cos \theta|$ એ $0 \leq |\cos \theta| \leq 1$ નું પાલન કરે છે.
$|\vec{a}| |\vec{b}|$ (જે અ-ઋણ છે) વડે ગુણતા,આપણને $0 \leq |\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}|$ મળે છે.
તેથી,$|\vec{a}| |\vec{b}| \geq |\vec{a} \cdot \vec{b}|$. આને કોશી-શ્વાર્ટઝ અસમતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=5$ મૂકતા:
$2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$4 + 9 + 25 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$38 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -38$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -19$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ: $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 15$.
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 15$.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 15$.
$|\vec{x}|^2 = 16$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{x}| = 4$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર: $\left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (-2)(-2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ શોધો: $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\text{પ્રક્ષેપ સદિશ} = \frac{10}{14} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{5}{7} (3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{15}{7}\hat{i} - \frac{10}{7}\hat{j} + \frac{5}{7}\hat{k}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકારના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ:
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{i} \cdot (\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
$= (\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
કારણ કે એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ થાય છે:
$= 1 - 1 + 1 = 1$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) = 1 - 1 + 1 = 1$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,સાચો જવાબ $\cos^{-1}(1/3)$ છે,જે વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ $(\vec{x}-\vec{a}) \cdot (\vec{x}+\vec{a}) = 8$ છે.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $(A-B) \cdot (A+B) = |A|^2 - |B|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{x}|^2 - |\vec{a}|^2 = 8$.
કારણ કે $|\vec{a}| = 1$,તેથી $|\vec{a}|^2 = 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{x}|^2 - 1 = 8$.
$|\vec{x}|^2 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{x}| = 3$ (કારણ કે માન હંમેશા અ-ઋણ હોય છે).
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{a}-\vec{b}$ એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|\vec{a}| = 1$,$|\vec{b}| = 1$ અને $|\vec{a}-\vec{b}| = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}-\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $1^2 = 1^2 + 1^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$.
$1 = 1 + 1 - 2(1)(1) \cos \theta$.
$1 = 2 - 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1$.
$\cos \theta = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(B) આપણને આપેલ છે કે સદિશ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = 1$ છે અને સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = 2$ છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ આપેલ છે.
બે સદિશોના અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૂત્રમાં આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$1 = (1)(2) \cos \theta$
$1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ (અથવા $60^{\circ}$) થાય.

(C) ધારો કે $\vec{u} = (a, 2)$ અને $\vec{v} = (a, -2)$.
આપેલ છે કે $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
અદિશ ગુણાકારનું સૂત્ર $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$ છે.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (a)(a) + (2)(-2) = a^2 - 4$.
$|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + (-2)^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $a^2 - 4 = \sqrt{a^2 + 4} \cdot \sqrt{a^2 + 4} \cdot \cos(\frac{\pi}{3})$.
$a^2 - 4 = (a^2 + 4) \cdot \frac{1}{2}$.
$2(a^2 - 4) = a^2 + 4$.
$2a^2 - 8 = a^2 + 4$.
$a^2 = 12$.
$a = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}$.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(1) + (2)(2) + (-1)(2) = -1 + 4 - 2 = 1$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\vec{b}$ નું મૂલ્ય $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ શોધો.
આમ,પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $\frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $1/3$ ન હોવાથી,જો $\vec{b}$ નું મૂલ્ય $\sqrt{6}$ લેવામાં આવે તો જવાબ $1/\sqrt{6}$ મળે,તેથી વિકલ્પ $B$ સાચો ગણાય.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
વળી,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin \theta = \sin \theta$,તેથી $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = \sin^2 \theta$.
હવે,પદાવલિ $\left|\frac{\bar{a} \cdot \bar{a}}{\bar{a} \cdot \bar{b}} \cdot \frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{\bar{b} \cdot \bar{b}}\right| = \left|\frac{1}{\cos \theta} \cdot \frac{\cos \theta}{1}\right| = 1$.
આમ,કુલ પદાવલિ $1 + \sin^2 \theta$ થાય છે. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1 - \cos 2\theta$ છે.

(A) $m \angle A$ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ ને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\vec{AB} = B - A = (2 - 3, 3 - (-1)) = (-1, 4)$.
$\vec{AC} = C - A = (5 - 3, 1 - (-1)) = (2, 2)$.
બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(2) + (4)(2) = -2 + 8 = 6$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
$\cos A = \frac{6}{\sqrt{17} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{34}}$.
તેથી,$m \angle A = \cos^{-1} \frac{3}{\sqrt{34}}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
આપણને $|\vec{b}| = 5$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{6}$ આપેલ છે.
બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3 \times 5 \times \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{1}{2} = \frac{15}{4}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેથી $|\vec{a}|^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{7}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 7$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 7$ મળે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$ કિંમત મૂકતા:
$14 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{b}|^2 = 7$.
$14 - |\vec{b}|^2 = 7$.
$|\vec{b}|^2 = 7$.
તેથી,$|\vec{b}| = \sqrt{7}$.

(C) ધારો કે $1$ એકમ બાજુવાળો એક ઘન છે. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શિરોબિંદુઓને $3D$ યામ પદ્ધતિમાં લો.
ધારો કે બે વિકર્ણો $\vec{OA}$ અને $\vec{BC}$ છે.
યામ બિંદુઓ $O(0,0,0)$,$A(1,1,1)$,$B(1,0,0)$,અને $C(0,1,1)$ છે.
સદિશ $\vec{OA} = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.
સદિશ $\vec{BC} = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.
બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{OA} \cdot \vec{BC} = (1)(-1) + (1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 + 1 = 1$.
$|\vec{OA}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ થાય.
આપણને સમીકરણ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}|^2 = 1, |\vec{b}|^2 = 1, |\vec{c}|^2 = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$1 + 1 + 1 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(C) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા સદિશ $\vec{v}$ ને $\vec{v} = m\vec{a} + n\vec{b}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ સદિશો મૂકતા: $\vec{v} = m(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + n(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (m+n)\hat{i} + (m-n)\hat{j} + (m+n)\hat{k}$.
$\vec{v}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{v} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\vec{v} \cdot \vec{c} = (m+n)(1) + (m-n)(-1) + (m+n)(-1) = m+n - m+n - m-n = n-m$.
માનાંક $|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{n-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies n-m = 1$,એટલે કે $n = m+1$.
$n = m+1$ ને $\vec{v}$ માં મૂકતા: $\vec{v} = (2m+1)\hat{i} - \hat{j} + (2m+1)\hat{k}$.
જો $m=1$ લઈએ,તો $\vec{v} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ મળે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2\hat{i} + \lambda\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (\lambda)(2) + (1)(3) = 0$
$2 + 2\lambda + 3 = 0$
$5 + 2\lambda = 0$
$2\lambda = -5$
$\lambda = -\frac{5}{2}$

(A) આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ અને ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે.
બે સદિશોના સરવાળાના માનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \frac{\pi}{3}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2}$
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$
કારણ કે $\sqrt{3} \approx 1.732$,જે $1$ કરતા વધારે છે,તેથી $|\vec{a} + \vec{b}|$ નું મૂલ્ય $1$ કરતા વધારે છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha=\hat{i}-3 \hat{j}$ અને $\beta=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$.
કારણ કે $\beta_1$ એ $\alpha$ ને સમાંતર છે,આપણે લખી શકીએ $\beta_1 = \lambda \alpha = \lambda(\hat{i}-3 \hat{j}) = \lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}$.
આપણી પાસે $\beta = \beta_1 + \beta_2$ છે,તેથી $\beta_2 = \beta - \beta_1 = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) - (\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}$.
કારણ કે $\beta_2$ એ $\alpha$ ને લંબ છે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\beta_2 \cdot \alpha = 0$.
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+3\lambda)\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j}) = 0$.
$(1-\lambda)(1) + (2+3\lambda)(-3) + (-1)(0) = 0$.
$1 - \lambda - 6 - 9\lambda = 0$.
$-5 - 10\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\beta_1 = -\frac{1}{2}(\hat{i} - 3\hat{j}) = -\frac{1}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,કોઈ પણ વિકલ્પ ગણતરી કરેલ પરિણામ સાથે મેળ ખાતો નથી.

(B) ધારો કે સદિશ $a$ યામ અક્ષો સાથે સમાન લઘુકોણ $\alpha$ બનાવે છે.
દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$ હોવાથી,$l^2 + m^2 + n^2 = 1$ સંબંધ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$3 \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,સદિશ $a$ ના દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે,તેથી આપણે $a = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ લઈ શકીએ.
સદિશ $b$ નો સદિશ $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{b \cdot a}{|a|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $b \cdot a = (5\hat{i} + 7\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5(1) + 7(1) - 1(1) = 5 + 7 - 1 = 11$.
સદિશ $a$ નું માન $|a| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{11}{\sqrt{3}}$ થાય છે.

(A) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}=\mu \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
સદિશો લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(\mu) + (\lambda)(1) + (2)(-1) = 0$
$\mu + \lambda - 2 = 0 \Rightarrow \lambda + \mu = 2 \Rightarrow \mu = 2 - \lambda$ (સમીકરણ $1$)
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = |\vec{b}|$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$
$1^2 + \lambda^2 + 2^2 = \mu^2 + 1^2 + (-1)^2$
$1 + \lambda^2 + 4 = \mu^2 + 1 + 1$
$\lambda^2 + 3 = \mu^2$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માં $\mu = 2 - \lambda$ મૂકતા:
$\lambda^2 + 3 = (2 - \lambda)^2$
$\lambda^2 + 3 = 4 - 4\lambda + \lambda^2$
$3 = 4 - 4\lambda$
$4\lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{4}$
હવે,$\mu = 2 - \lambda$ નો ઉપયોગ કરીને $\mu$ શોધો:
$\mu = 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$
આમ,$(\lambda, \mu) = \left(\frac{1}{4}, \frac{7}{4}\right)$.

(A) આપેલ છે કે,$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
$\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,તેનું માન $1$ છે,તેથી $|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\sqrt{3}\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1^2$.
$|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ મૂકતા:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$.
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$.
આપણે તેને $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બંને બાજુઓનો પોતાની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = (-\vec{c}) \cdot (-\vec{c})$.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે દરેક સદિશ બાકીના બેના સરવાળાને લંબ છે:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ $(1)$
$\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ $(2)$
$\vec{c} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0$ $(3)$
સમીકરણો $(1), (2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
હવે,માનનો વર્ગ ધ્યાનમાં લેતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
આપેલ કિંમતો અને ડોટ પ્રોડક્ટનો સરવાળો મૂકતા:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = 9 + 16 + 25 = 50$
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
વળી,$a + b + c = 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(a + b) \cdot (a + b) = (-c) \cdot (-c)$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1^2$.
$2 + 2(a \cdot b) = 1$.
$2(a \cdot b) = -1$,તેથી $a \cdot b = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,તેથી $1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશો $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta = -|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$.
ધારો કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ શૂન્યતર સદિશો છે,તેથી આપણે બંને બાજુને $|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$ વડે ભાગી શકીએ છીએ.
આનાથી $\cos \theta = -1$ મળે છે.
$\theta$ ની જે કિંમત માટે $\cos \theta = -1$ થાય તે $\theta = 180^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$|a+b| = |a-b|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|a+b|^2 = |a-b|^2$
$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
$2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$
$4(a \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $a$ અને $b$ એકબીજાને લંબ છે.
તેથી,$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{a} + \lambda\vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a} + \lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
પ્રથમ,$\vec{a} + \lambda\vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} + \lambda\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}$
હવે,$\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((1 + \lambda)\hat{i} + (2 - \lambda)\hat{j} + (1 + 4\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$(1 + \lambda)(1) + (2 - \lambda)(1) + (1 + 4\lambda)(1) = 0$
$1 + \lambda + 2 - \lambda + 1 + 4\lambda = 0$
$4 + 4\lambda = 0$
$4\lambda = -4$
$\lambda = -1$

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
$a+b$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|a+b| = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ મળે.
ગુણધર્મ $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 + 2(a \cdot b) = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2(a \cdot b) = -1$,અથવા $a \cdot b = -\frac{1}{2}$.
$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$ હોવાથી,$1 \times 1 \times \cos \theta = -\frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 144$ અને $|a| = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a \times b| = |a||b| \sin \theta$ અને $|a \cdot b| = |a||b| \cos \theta$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$|a|^2|b|^2 \sin^2 \theta + |a|^2|b|^2 \cos^2 \theta = 144$
$|a|^2|b|^2 (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 144$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$|a|^2|b|^2 = 144$
અહીં $|a| = 4$ આપેલ છે,તેથી $|a|^2 = 16$.
$16 \times |b|^2 = 144$
$|b|^2 = \frac{144}{16} = 9$
$|b| = \sqrt{9} = 3$.

(D) આપેલ સમીકરણ $|a+b|=|a-b|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a+b|^2 = |a-b|^2$ મળે છે.
ગુણધર્મ $|x|^2 = x \cdot x$ નો ઉપયોગ કરતા,$(a+b) \cdot (a+b) = (a-b) \cdot (a-b)$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $a \cdot a + b \cdot b + 2(a \cdot b) = a \cdot a + b \cdot b - 2(a \cdot b)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2(a \cdot b) = -2(a \cdot b)$,જેનો અર્થ છે કે $4(a \cdot b) = 0$.
તેથી,$a \cdot b = 0$.
બે શૂન્યતર સદિશોનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોય તો જ તેઓ પરસ્પર લંબ હોય છે,તેથી $a$ અને $b$ લંબ છે.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Component} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (0)(1) + (0)(2) = 1$ ગણો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ નું માન શોધો: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\hat{i}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$ મળે છે.