Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}$,$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
પ્રથમ,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
હવે,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ લેતા:
$(1)(p) + (-1)(1) + (2)(q) = p - 1 + 2q = 0 \implies p + 2q = 1$ ... $(i)$
ત્યારબાદ,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ લેતા:
$(2)(p) + (4)(1) + (1)(q) = 2p + 4 + q = 0 \implies 2p + q = -4$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$q = -4 - 2p$. આ કિંમતને $(i)$ માં મૂકતા:
$p + 2(-4 - 2p) = 1$
$p - 8 - 4p = 1$
$-3p = 9 \implies p = -3$.
$p = -3$ ની કિંમત $q = -4 - 2p$ માં મૂકતા:
$q = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(p, q) = (-3, 2)$.

(B) ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $(5 \overline{a} + 4 \overline{b})$ અને $(\overline{a} - 2 \overline{b})$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$(5 \overline{a} + 4 \overline{b}) \cdot (\overline{a} - 2 \overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 10(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 4(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 - 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ કિંમતો મૂકતા,$5(1)^2 - 6(1)(1)\cos \theta - 8(1)^2 = 0$.
$5 - 6 \cos \theta - 8 = 0$
$-6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$ મળે.

(B) ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\overline{c} = \overline{a} + 2\overline{b}$ અને $\overline{d} = 5\overline{a} - 4\overline{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$
$(\overline{a} + 2\overline{b}) \cdot (5\overline{a} - 4\overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 10(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 + 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
અહીં $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ મૂકતા:
$5(1) + 6 \cos \theta - 8(1) = 0$
$6 \cos \theta - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $\overline{u} = 3 \overline{a} + 5 \overline{b}$ અને $\overline{v} = 5 \overline{a} + 3 \overline{b}$.
$\overline{u} = 3(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 5(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (3+10)\hat{i} + (-6+15)\hat{j} + (9-5)\hat{k} = 13 \hat{i} + 9 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$\overline{v} = 5(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (5+6)\hat{i} + (-10+9)\hat{j} + (15-3)\hat{k} = 11 \hat{i} - \hat{j} + 12 \hat{k}$.
$\overline{u}$ અને $\overline{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{|\overline{u}| |\overline{v}|}$.
$\overline{u} \cdot \overline{v} = (13)(11) + (9)(-1) + (4)(12) = 143 - 9 + 48 = 182$.
$|\overline{u}| = \sqrt{13^2 + 9^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 81 + 16} = \sqrt{266}$.
$|\overline{v}| = \sqrt{11^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{121 + 1 + 144} = \sqrt{266}$.
$\cos \theta = \frac{182}{\sqrt{266} \cdot \sqrt{266}} = \frac{182}{266} = \frac{13}{19}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{19}\right)$.

(C) ધારો કે $\bar{r}$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ના સમતલમાં આવેલો સદિશ છે. તેથી,$\bar{r} = \bar{a} + m\bar{b}$ કોઈ અદિશ $m$ માટે.
$\bar{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + m(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (1+m)\hat{i} + (2-m)\hat{j} + (1+m)\hat{k}$.
$\bar{r}$ નો $\bar{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{r} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ ગણો.
હવે,$\bar{r} \cdot \bar{c} = (1+m)(1) + (2-m)(1) + (1+m)(-1) = 1+m + 2-m - 1-m = 2-m$.
તેથી,$\frac{2-m}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 2-m = 1 \Rightarrow m = 1$.
$m=1$ ને $\bar{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\bar{r} = (1+1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1+1)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
જો આપણે પ્રક્ષેપને $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ તરીકે લઈએ,તો $2-m = -1 \Rightarrow m = 3$.
$m=3$ માટે,$\bar{r} = (1+3)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (1+3)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ શોધીએ:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4-(-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\overline{AB}$ નો $\overline{CD}$ પરનો સદિશ પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{સદિશ પ્રક્ષેપ} = (\overline{AB} \cdot \hat{CD}) \hat{CD} = (\overline{AB} \cdot \overline{CD}) \frac{\overline{CD}}{|\overline{CD}|^2}$
અદિશ ગુણાકાર $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
માનનું વર્ગ $|\overline{CD}|^2$ ની ગણતરી કરો:
$|\overline{CD}|^2 = 3^2 + (-6)^2 + 2^2 = 9 + 36 + 4 = 49$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{સદિશ પ્રક્ષેપ} = (-1) \frac{3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}}{49} = -\frac{1}{49}(3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k})$

(C) ધારો કે $\overline{d} = \overline{a} + \lambda \overline{b}$.
$\overline{d} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$
$\overline{d} = (2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}$.
અહીં $\overline{d}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$.
$(\hat{i} + 3 \hat{j}) \cdot [(2 + 2\lambda) \hat{i} + (3 + \lambda) \hat{j} + (2 - \lambda) \hat{k}] = 0$.
$1(2 + 2\lambda) + 3(3 + \lambda) + 0(2 - \lambda) = 0$.
$2 + 2\lambda + 9 + 3\lambda = 0$.
$5\lambda + 11 = 0$.
$\lambda = -\frac{11}{5}$.

(B) ધારો કે $\vec{a}$ એ $A(-2,0,3)$ અને $B(1,4,2)$ ને જોડતો સદિશ છે.
$\vec{a} = (1 - (-2))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{b}$ એ $6, -2, 3$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખા પરનો સદિશ છે,તેથી $\vec{b} = 6\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(6) + (4)(-2) + (-1)(3) = 18 - 8 - 3 = 7$.
$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{7}{7} = 1$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
કારણ કે $(\bar{a}+2 \bar{b})$ અને $(5 \bar{a}-4 \bar{b})$ એકબીજાને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot (5 \bar{a}-4 \bar{b}) = 0$
$5|\bar{a}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 8|\bar{b}|^2 = 0$
$|\bar{a}|^2 = 1$ અને $|\bar{b}|^2 = 1$ મૂકતા:
$5(1) + 6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 8(1) = 0$
$6(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 3 = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta$,તેથી:
$1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \frac{\pi}{3}$

(D) આપેલ છે કે $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b} \times \overline{a} \implies (\overline{r} - \overline{b}) \times \overline{a} = \overline{0}$. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $k_1$ માટે $(\overline{r} - \overline{b}) = k_1 \overline{a}$.
તે જ રીતે,$\overline{r} \times \overline{b} = \overline{a} \times \overline{b} \implies (\overline{r} - \overline{a}) \times \overline{b} = \overline{0}$. આનો અર્થ એ છે કે કોઈ અદિશ $k_2$ માટે $(\overline{r} - \overline{a}) = k_2 \overline{b}$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\overline{r} = \overline{b} + k_1 \overline{a} = (2\hat{j} - \hat{k}) + k_1(\hat{i} + \hat{j}) = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\overline{r} = \overline{a} + k_2 \overline{b} = (\hat{i} + \hat{j}) + k_2(2\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} + (1+2k_2)\hat{j} - k_2\hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$k_1 = 1$
$2+k_1 = 1+2k_2 \implies 2+1 = 1+2k_2 \implies 2k_2 = 2 \implies k_2 = 1$
$-1 = -k_2 \implies k_2 = 1$.
$k_1=1$ ને $\overline{r} = k_1\hat{i} + (2+k_1)\hat{j} - \hat{k}$ માં મૂકતા,આપણને $\overline{r} = \hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $|\overline{r}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
તેથી,$\frac{\overline{r}}{|\overline{r}|} = \frac{\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{11}}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a} \cdot(\overline{b}+\overline{c})+\overline{b} \cdot(\overline{c}+\overline{a})+\overline{c} \cdot(\overline{a}+\overline{b})=0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
સદિશનો અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{b} \cdot \overline{a}$,વગેરે.
આમ,$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
આપેલ કિંમતો $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=8, |\overline{c}|=4$ અને ઉપર મેળવેલ પરિણામ મૂકતા:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1^2 + 8^2 + 4^2 + 2(0) = 1 + 64 + 16 = 81$.
તેથી,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{81} = 9$.

(A) આપણને પદાવલિ $E = |(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b})|^2+4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{a}) + (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{b} \times \bar{b})$.
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને ગુણધર્મ $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times(\bar{a}+\bar{b}) = (\bar{a} \times \bar{b}) - (-(\bar{a} \times \bar{b})) = 2(\bar{a} \times \bar{b})$.
હવે,આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = |2(\bar{a} \times \bar{b})|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 4(\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
$4$ સામાન્ય લેતા:
$E = 4(|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2)$.
લેગ્રાન્જના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
તેથી,$E = 4 |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
આપેલ છે કે $|\bar{a}|=4$ અને $|\bar{b}|=3$:
$E = 4 \times (4)^2 \times (3)^2 = 4 \times 16 \times 9 = 576$.

(B) ધારો કે $\overline{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overline{r} \times \overline{a} = \overline{b}$,તેથી:
$\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
$(4y - 3z) \hat{i} - (4x - 2z) \hat{j} + (3x - 2y) \hat{k} = \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$4y - 3z = 1$ $(1)$
$4x - 2z = 2 \Rightarrow 2x - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 1$ $(2)$
$3x - 2y = 1 \Rightarrow 2y = 3x - 1 \Rightarrow y = \frac{3x - 1}{2}$ $(3)$
આપેલ છે કે $\overline{r} \cdot \overline{c} = 3$,તેથી $x + y - z = 3$ $(4)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(4)$ માં મૂકતા:
$x + \frac{3x - 1}{2} - (2x - 1) = 3$
$2x + 3x - 1 - 4x + 2 = 6$
$x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5$
$x=5$ ને $(2)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$z = 2(5) - 1 = 9$
$y = \frac{3(5) - 1}{2} = 7$
આમ,$\overline{r} = 5 \hat{i} + 7 \hat{j} + 9 \hat{k}$
$|\overline{r}| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{25 + 49 + 81} = \sqrt{155}$

(B) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણ: $\overline{a} + 2\overline{c} = -2\overline{b}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\overline{a} + 2\overline{c}|^2 = |-2\overline{b}|^2$
$|\overline{a}|^2 + 4|\overline{c}|^2 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4|\overline{b}|^2$
કારણ કે $|\overline{a}| = |\overline{b}| = |\overline{c}| = 1$,તેથી:
$1 + 4(1) + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4(1)$
$5 + 4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4$
$4(\overline{a} \cdot \overline{c}) = -1$
$\overline{a} \cdot \overline{c} = -\frac{1}{4}$
કારણ કે $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \theta = \cos \theta$,તેથી $\cos \theta = -\frac{1}{4}$.
ત્યારબાદ $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
અંતે,$|\overline{a} \times \overline{c}| = |\overline{a}||\overline{c}| \sin \theta = (1)(1) \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(a \vec{b} + b \vec{a}) \cdot (a \vec{b} - b \vec{a})$ છે.
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= (a \vec{b}) \cdot (a \vec{b}) - (a \vec{b}) \cdot (b \vec{a}) + (b \vec{a}) \cdot (a \vec{b}) - (b \vec{a}) \cdot (b \vec{a})$
$= a^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - ab (\vec{b} \cdot \vec{a}) + ab (\vec{a} \cdot \vec{b}) - b^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,જેથી વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$= a^2 |\vec{b}|^2 - b^2 |\vec{a}|^2$
જો $a = |\vec{a}|$ અને $b = |\vec{b}|$ હોય,તો:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2 = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
આમ,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{26}}$ (ધારો કે $\theta$ લઘુકોણ છે).
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times \frac{1}{\sqrt{26}} = 7$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2\lambda^2 \hat{i} + 4\lambda \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 7\hat{i} - 2\hat{j} + \lambda \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\lambda^2)(7) + (4\lambda)(-2) + (1)(\lambda) < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 8\lambda + \lambda < 0$
$\Rightarrow 14\lambda^2 - 7\lambda < 0$
$\Rightarrow 7\lambda(2\lambda - 1) < 0$
આ અસમતાને ઉકેલવા માટે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુઓ $\lambda = 0$ અને $\lambda = \frac{1}{2}$ મેળવીએ છીએ.
અંતરાલોની ચકાસણી કરતા,પદાવલિ $7\lambda(2\lambda - 1)$ એ $\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ માટે ઋણ છે.
આમ,$\lambda$ ની કિંમતો $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ માં રહેલી છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
આપણને $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|=1$ આપેલ છે. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = 1^2$
$|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2+2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 1$
કારણ કે $\bar{b} \perp \bar{c}$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
વળી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \alpha = \cos \alpha$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}||\bar{c}| \cos \beta = \cos \beta$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$1+1+1+2(\cos \alpha + 0 + \cos \beta) = 1$
$3 + 2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = 1 - 3$
$2(\cos \alpha + \cos \beta) = -2$
$\cos \alpha + \cos \beta = -1$

(B) $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં રહેલા કોઈપણ સદિશ $\vec{V}$ ને આ રીતે લખી શકાય: $\vec{V} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$.
$\vec{V} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + \lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}$.
$\vec{V}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
અહીં $\vec{c} = \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ હોવાથી,$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\frac{\vec{V} \cdot \vec{c}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \vec{V} \cdot \vec{c} = 1$.
$((1+\lambda)\hat{i} + (1-\lambda)\hat{j} + (1+\lambda)\hat{k}) \cdot (\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) = 1$.
$(1+\lambda) - (1-\lambda) - (1+\lambda) = 1$.
$1 + \lambda - 1 + \lambda - 1 - \lambda = 1$.
$\lambda - 1 = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ ની કિંમત $\vec{V}$ માં મૂકતા:
$\vec{V} = (1+2)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1+2)\hat{k} = 3\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{a}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{b} \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{0}$.
તેથી,$\vec{c} - \vec{a} = \lambda \vec{b}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે,તેથી $\vec{c} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$.
આપેલ છે કે $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$,તેથી $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-1)(-2) + (1)(1) = 1 + 2 + 1 = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $6 + \lambda(4) = 0 \Rightarrow 4\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{b})$.
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (-1)^2 + (1)^2 = 3$.
$\vec{c} \cdot \vec{b} = 4 + (-\frac{3}{2})(3) = 4 - \frac{9}{2} = -\frac{1}{2}$.

(B) સદિશ $\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,આપણે $\vec{r} = t\vec{a} + u\vec{b}$ લખી શકીએ,જ્યાં $t$ અને $u$ અદિશ છે.
$\vec{r} = t(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) + u(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (t+u)\hat{i} + (t-u)\hat{j} + (t+u)\hat{k} \dots (i)$
આપેલ છે કે $\vec{r}$ નો $\vec{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે,તેથી $\frac{\vec{r} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
$\vec{r} \cdot \vec{c} = (t+u)(1) + (t-u)(-1) + (t+u)(-1) = t+u - t+u - t-u = u-t$.
તેથી,$\frac{u-t}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow u-t = 1 \Rightarrow u = t+1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $u = t+1$ મૂકતા:
$\vec{r} = (t + t + 1)\hat{i} + (t - (t + 1))\hat{j} + (t + t + 1)\hat{k}$
$\vec{r} = (2t+1)\hat{i} - \hat{j} + (2t+1)\hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b} = \lambda \vec{c} \quad \dots(i)$ અને $\vec{b}+\vec{c} = \mu \vec{a} \quad \dots(ii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,આપણને મળે $\vec{a}-\vec{c} = \lambda \vec{c} - \mu \vec{a}$.
પદોને ગોઠવતા,$(1+\mu)\vec{a} = (1+\lambda)\vec{c}$.
બે સદિશો સમરેખ હોવાથી,ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ છે,તેથી $\vec{b} = k\vec{a}$.
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=\sqrt{2}$ આપેલ હોવાથી,$|k\vec{a}| = |\vec{a}| \Rightarrow |k|=1$,તેથી $k=1$ અથવા $k=-1$.
જો $k=1$ હોય,તો $\vec{b}=\vec{a}$,તેથી $\vec{a}+\vec{a} = 2\vec{a}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી $\vec{c} = \pm \vec{a}$.
જો $\vec{c} = -\vec{a}$ હોય,તો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{a}+\vec{a}-\vec{a} = \vec{a} \neq 0$. જોકે,સમરેખતાની શરતો પરથી $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ મળે છે.
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ હોવાથી,$0 = 2+2+2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -6$.
આમ,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -3$.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{2}$,$|\vec{b}| = \sqrt{2}$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{-1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(C) આપેલ છે: $|\vec{a}| = \sqrt{26}$,$|\vec{b}| = 7$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $35 = \sqrt{26} \times 7 \times \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{35}{7 \sqrt{26}} = \frac{5}{\sqrt{26}}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{5}{\sqrt{26}})^2 = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26}$.
તેથી,$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{26} \times 7 \times (\pm \frac{1}{\sqrt{26}}) = \pm 7$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે $\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2$,જેનો અર્થ થાય છે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$ મૂકતા:
$3^2+5^2+2|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = 7^2$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$9+25+2(3)(5) \cos \theta = 49$.
$34+30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49-34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})=(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$,તેથી $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \times \vec{b} = -\vec{b} \times (2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે $\vec{a} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) + \vec{b} \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\vec{a}+\vec{b}) \times(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = \vec{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\vec{a}+\vec{b})$ એ $(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $\vec{a}+\vec{b} = \lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
બંને બાજુ માન લેતા,$|\vec{a}+\vec{b}| = |\lambda| \sqrt{2^2+3^2+4^2} = |\lambda| \sqrt{4+9+16} = |\lambda| \sqrt{29}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{29}$,તેથી $|\lambda| \sqrt{29} = \sqrt{29}$,જે આપે છે $\lambda = \pm 1$.
આમ,$\vec{a}+\vec{b} = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$.
હવે,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = \pm(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(-7 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$.
$= \pm((2)(-7) + (3)(2) + (4)(3)) = \pm(-14 + 6 + 12) = \pm 4$.
તેથી,એક શક્ય કિંમત $4$ છે.

(C) આપેલ છે કે $(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\vec{a}+\lambda \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$
સૌ પ્રથમ,$(\vec{a}+\lambda \vec{b})$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a}+\lambda \vec{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$
હવે,$\vec{c} = 3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2-\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(3+\lambda) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
વળી,$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{0}|^2$
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = 1, |\vec{c}| = 1$ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$
$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$

(C) આપેલ શરત: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OR} + \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OS}$.
પ્રથમ સમાનતા ધ્યાનમાં લો: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} + \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} \cdot \overrightarrow{OS}$.
સામાન્ય સદિશોને બહાર કાઢતા: $\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = \overrightarrow{OS} \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR})$.
આનો અર્થ એ છે કે: $(\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS}) \cdot (\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR}) = 0$.
કારણ કે $\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS} = \overrightarrow{SP}$ અને $\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{RQ}$,તેથી આપણને $\overrightarrow{SP} \cdot \overrightarrow{RQ} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{PS} \perp \overrightarrow{QR}$.
તે જ રીતે,સમાનતાના અન્ય ભાગોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણને $\overrightarrow{QS} \perp \overrightarrow{PR}$ અને $\overrightarrow{RS} \perp \overrightarrow{PQ}$ મળે છે.
જેથી $S$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ના વેધનું છેદબિંદુ છે,તેથી $S$ એ લંબકેન્દ્ર છે.

(A) આપણને આપેલ છે કે $|\vec{a}|=5$,$|\vec{b}|=13$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}|=25$.
સૂત્ર $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$25 = 5 \times 13 \sin \theta$
$25 = 65 \sin \theta$
$\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,ખૂણો $\theta$ બીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\cos \theta$ ઋણ હોય છે.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ છે:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \times 13 \times (-\frac{12}{13}) = -60$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overline{PQ}$ અને $\overline{AB}$ શોધીએ:
$\overline{PQ} = (3 - (-2)) \hat{i} + (2 - 1) \hat{j} + (5 - 3) \hat{k} = 5 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$\overline{AB} = (7 - 4) \hat{i} + (-5 - (-3)) \hat{j} + (-1 - 5) \hat{k} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k}$
$\overline{PQ}$ નો $\overline{AB}$ પરનો સદિશ પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{સદિશ પ્રક્ષેપ} = \frac{(\overline{PQ} \cdot \overline{AB}) \overline{AB}}{|\overline{AB}|^2}$
અદિશ ગુણાકાર $\overline{PQ} \cdot \overline{AB}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{PQ} \cdot \overline{AB} = (5)(3) + (1)(-2) + (2)(-6) = 15 - 2 - 12 = 1$
માનાંકનો વર્ગ $|\overline{AB}|^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\overline{AB}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 9 + 4 + 36 = 49$
આમ,સદિશ પ્રક્ષેપ:
$\frac{1}{49}(3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 6 \hat{k})$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a}$ એ $\bar{b}+\bar{c}$ ને લંબ છે,$\bar{b}$ એ $\bar{c}+\bar{a}$ ને લંબ છે,અને $\bar{c}$ એ $\bar{a}+\bar{b}$ ને લંબ છે.
તેથી,આપણી પાસે છે:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \quad (1)$
$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0 \quad (2)$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0 \quad (3)$
સમીકરણો $(1), (2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
હવે,સરવાળાના માનનો વર્ગ ધ્યાનમાં લો:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
આપેલ કિંમતો $|\bar{a}|=2, |\bar{b}|=3, |\bar{c}|=4$ અને ડોટ પ્રોડક્ટના સરવાળા માટે $0$ મૂકતા:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
આમ,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,અને $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે:
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ . . . $(1)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$ . . . $(2)$
$\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ . . . $(3)$
સમીકરણો $(1)$,$(2)$,અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
આપેલ કિંમતો $|\bar{a}| = 5, |\bar{b}| = 4, |\bar{c}| = 3$ અને ડોટ ગુણાકારનો સરવાળો $0$ મૂકતા:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = (5)^2 + (4)^2 + (3)^2 + 0 = 25 + 16 + 9 = 50$.

(A) આપેલ સદિશો $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,અને $\bar{c}=-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ શોધીએ:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) = (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$.
ઘટકોને મૂકતા:
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (-3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}) = 0$.
$(2-\lambda)(-3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(2) = 0$.
$-6 + 3\lambda + 2 + 2\lambda + 6 + 2\lambda = 0$.
$7\lambda + 2 = 0$.
$7\lambda = -2$.
$\lambda = -\frac{2}{7}$.

(C) આપણને નિત્યસમ $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$ આપેલ છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = 144$,તેથી $|\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 = 144$ થાય.
અહીં $|\bar{a}| = 4$ હોવાથી,$|\bar{a}|^2 = 16$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $16 |\bar{b}|^2 = 144$ મળે છે.
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,$|\bar{b}|^2 = \frac{144}{16} = 9$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\bar{b}| = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta = 25$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$(5)(13) \sin \theta = 25$.
તેથી,$65 \sin \theta = 25$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{25}{65} = \frac{5}{13}$.
કારણ કે $\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi$,$\theta$ બીજા ચરણમાં છે જ્યાં $\cos \theta$ ઋણ હોય છે.
$\cos \theta = -\sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = -\sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\overline{a} \cdot \overline{b} = (5)(13) \left(-\frac{12}{13}\right) = -60$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,અને $\bar{c}=\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$.
પ્રથમ,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})$
$= (1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((1+3 \lambda) \hat{i} + (2-\lambda) \hat{j} + (-3+2 \lambda) \hat{k}) \cdot (\hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}) = 0$
$(1+3 \lambda)(1) + (2-\lambda)(3) + (-3+2 \lambda)(1) = 0$
$1 + 3 \lambda + 6 - 3 \lambda - 3 + 2 \lambda = 0$
$4 + 2 \lambda = 0$
$2 \lambda = -4$
$\lambda = -2$.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$.
આને આપણે $\overline{a}+\overline{b}=-\overline{c}$ તરીકે લખી શકીએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |-\overline{c}|^2$,જેનો અર્થ છે કે $|\overline{a}+\overline{b}|^2 = |\overline{c}|^2$.
ડાબી બાજુને ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $|\overline{u}+\overline{v}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + 2|\overline{u}||\overline{v}| \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરતા:
$|\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = |\overline{c}|^2$.
આપેલ કિંમતો $|\overline{a}|=3, |\overline{b}|=5, |\overline{c}|=7$ મૂકતા:
$3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta = 7^2$.
$9 + 25 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(D) બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય તો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
આપેલ છે કે $(\vec{a}+k \vec{b}) \perp (\vec{a}-k \vec{b})$,તેથી:
$(\vec{a}+k \vec{b}) \cdot (\vec{a}-k \vec{b}) = 0$
$|\vec{a}|^2 - k^2 |\vec{b}|^2 = 0$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=4$ અને $|\vec{b}|=5$ મૂકતા:
$(4)^2 - k^2 (5)^2 = 0$
$16 - 25k^2 = 0$
$25k^2 = 16$
$k^2 = \frac{16}{25}$
$k = \pm \frac{4}{5}$

(C) આપેલ છે કે $\hat{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\hat{a}| = 1$ થાય.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$( \bar{x} - \hat{a} ) \cdot ( \bar{x} + \hat{a} ) = |\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2$.
આપેલ કિંમત મૂકતા: $|\bar{x}|^2 - |\hat{a}|^2 = 8$.
કારણ કે $|\hat{a}| = 1$,તેથી $|\bar{x}|^2 - 1^2 = 8$.
$|\bar{x}|^2 - 1 = 8$.
$|\bar{x}|^2 = 9$.
સદિશનું માન હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$|\bar{x}| = 3$ મળે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\lambda\vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $(\vec{a}+\lambda\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$.
પ્રથમ,$\vec{a}+\lambda\vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a}+\lambda\vec{b} = (\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = (1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}$.
હવે,$\vec{c} = 3\hat{i}+\hat{j}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((1-\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (3+\lambda)\hat{k}) \cdot (3\hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$(1-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$.
$3 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$5 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 5$.

(C) સદિશ $\bar{a}$ નો સદિશ $\bar{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-2)(-1) + (1)(1) = 2 + 2 + 1 = 5$ ગણો.
ત્યારબાદ,સદિશ $\bar{b}$ નું માન $|\bar{b}| = \sqrt{(2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ ગણો.
આમ,પ્રક્ષેપ $\frac{5}{\sqrt{6}}$ થાય છે.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a}=2 \lambda^2 \hat{i}+4 \lambda \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{b}=7 \hat{i}-2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$ છે.
સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \theta = \frac{\bar{a} \cdot \bar{b}}{|\bar{a}| |\bar{b}|}$.
અહીં $|\bar{a}| > 0$ અને $|\bar{b}| > 0$ હોવાથી,$\cos \theta < 0$ માટે $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$ થવું જોઈએ.
અદિશ ગુણાકાર કરતા: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2 \lambda^2)(7) + (4 \lambda)(-2) + (1)(\lambda) = 14 \lambda^2 - 8 \lambda + \lambda = 14 \lambda^2 - 7 \lambda$.
હવે,$14 \lambda^2 - 7 \lambda < 0$.
$7 \lambda (2 \lambda - 1) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $\lambda$ એ $0$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે હોય.
તેથી,$\lambda \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i}-2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i}+5\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપણે $\angle ABC$ શોધવાનો છે,જે સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
સૌ પ્રથમ,$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ મેળવો.
હવે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$ શોધો.
અહીં $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ નો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આ સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle ABC = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મ $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) \cdot \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{B} \times \overrightarrow{C})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overrightarrow{a} \times \hat{j}) \cdot (2 \hat{j} - 3 \hat{k}) = \overrightarrow{a} \cdot \{\hat{j} \times (2 \hat{j} - 3 \hat{k})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(\hat{j} \times \hat{j}) - 3(\hat{j} \times \hat{k})\}$
કારણ કે $\hat{j} \times \hat{j} = 0$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ છે:
$= \overrightarrow{a} \cdot \{2(0) - 3(\hat{i})\}$
$= \overrightarrow{a} \cdot (-3 \hat{i})$
$= -3(\overrightarrow{a} \cdot \hat{i})$
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 4$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$= -3(4) = -12$

(C) પરિણામી બળ $\overrightarrow{F}$ એ વ્યક્તિગત બળોનો સરવાળો છે:
$\overrightarrow{F} = (2 \hat{i}-5 \hat{j}+6 \hat{k}) + (-\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) = \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$
સ્થાનાંતર સદિશ $\overrightarrow{d}$ એ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\overrightarrow{d} = (6 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}) - (4 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}) = 2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$
થયેલ કાર્ય $W$ એ બળ અને સ્થાનાંતર સદિશનો અદિશ ગુણાકાર છે:
$W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = (\hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k})$
$W = (1)(2) + (-3)(4) + (5)(-1) = 2 - 12 - 5 = -15 \text{ unit}$

(D) આપેલ છે,$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$
$\therefore \overrightarrow{c}=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|\overrightarrow{c}|^2 = (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$
કારણ કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$|\overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}| \cos \theta$
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$
$49 = 34 + 30 \cos \theta$
$15 = 30 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.