Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(D) સદિશ $\overline{a}$ ની દિશામાં સદિશ $\overline{b}$ નો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{પ્રક્ષેપ} = \frac{\overline{a} \cdot \overline{b}}{|\overline{a}|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b} = (2)(1) + (3)(-1) + (-4)(-1) = 2 - 3 + 4 = 3$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\overline{a}$ નું માન શોધો: $|\overline{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{3}{\sqrt{29}}$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\overline{c}=\lambda(\overline{a} \times \overline{b})$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ અને $\overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|=1$ આપેલ હોવાથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 1$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2+2(\overline{a} \cdot \overline{b}+\overline{b} \cdot \overline{c}+\overline{c} \cdot \overline{a}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા $|\overline{a}|^2 = \frac{1}{3}$,$|\overline{b}|^2 = \frac{1}{2}$,$|\overline{c}|^2 = \frac{1}{6}$ અને $\overline{c}$ સાથેના ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ લેતા:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 0 + 0 = 1$.
$\frac{2+3+1}{6} + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta = 1$.
$1 + 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \theta = 1$.
$2(\frac{1}{\sqrt{6}}) \cos \theta = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{v}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{w}$ નો $\overline{u}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
કારણ કે $|\overline{u}|=1$,પ્રક્ષેપનું સૂત્ર $\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$ એ $\overline{v} \cdot \overline{u}$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u} \Rightarrow (\overline{v} - \overline{w}) \cdot \overline{u} = 0 \dots (i)$.
વળી,$\overline{v}$ અને $\overline{w}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $\overline{v} \cdot \overline{w} = 0 \dots (ii)$.
આપણે $|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2$ શોધવાનું છે.
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |-\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$.
કિંમતો $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$ મૂકતા અને $(i)$ તથા $(ii)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$.
કારણ કે $\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$,પદ $2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) = 0$ થાય.
તેથી,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
આમ,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c}) \implies \vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \quad (i)$
$\vec{b} \perp (\vec{c}+\vec{a}) \implies \vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \quad (ii)$
$\vec{c} \perp (\vec{a}+\vec{b}) \implies \vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \quad (iii)$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \quad (iv)$
હવે,$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ ની લંબાઈ નીચે મુજબ મળે:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})}$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=5$ અને $(iv)$ પરથી મળતું પરિણામ મૂકતા:
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{3^2+4^2+5^2 + 2(0)}$
$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}| = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4\hat{i} - 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ખૂણો $\angle ABC$ એ સદિશો $\vec{BA}$ અને $\vec{BC}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (0-(-3))\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (-1-1)\hat{i} + (5-4)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -2\hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(-2) + (-6)(1) + (3)(4) = -6 - 6 + 12 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,સદિશો લંબ છે.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|=0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}|^2 = 0^2$ મળે.
નિત્યસમ $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{w}|^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
આપેલ કિંમતો $|\vec{u}|=3, |\vec{v}|=4, |\vec{w}|=5$ મૂકતા:
$3^2+4^2+5^2+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$9+16+25+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$50+2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = 0$.
$2(\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}) = -50$.
$\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u} = -25$.
પ્રશ્ન મુજબ માનાંક લેતા:
$|\vec{u} \cdot \vec{v}+\vec{v} \cdot \vec{w}+\vec{w} \cdot \vec{u}| = |-25| = 25$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}=\overline{0}$,તેથી $\overline{c}=-(\overline{a}+\overline{b})$.
ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $|\overline{c}|^2 = |-(\overline{a}+\overline{b})|^2 = |\overline{a}+\overline{b}|^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b})$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ: $|\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + 2|\overline{a}||\overline{b}| \cos \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $7^2 = 3^2 + 5^2 + 2(3)(5) \cos \theta$.
$49 = 9 + 25 + 30 \cos \theta$.
$49 = 34 + 30 \cos \theta$.
$15 = 30 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a} = 3 \hat{j}$,$\vec{b} = 4 \hat{k}$ અને $\vec{c} = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ નું $AB : AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
સૌ પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = |\vec{b} - \vec{a}| = |4 \hat{k} - 3 \hat{j}| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
$AC = |\vec{c} - \vec{a}| = |(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 3 \hat{j}| = |4 \hat{k}| = 4$.
આમ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક $BC$ નું $5 : 4$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,$BC$ પરના બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{d}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{d} = \frac{m \vec{c} + n \vec{b}}{m + n} = \frac{5(3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 4(4 \hat{k})}{5 + 4}$.
$\vec{d} = \frac{15 \hat{j} + 20 \hat{k} + 16 \hat{k}}{9} = \frac{15 \hat{j} + 36 \hat{k}}{9}$.
$\vec{d} = \frac{15}{9} \hat{j} + \frac{36}{9} \hat{k} = \frac{5}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 \bar{a}-\bar{b}+2 \bar{c}-4 \bar{d}=\overline{0}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3 \bar{a}+2 \bar{c}=\bar{b}+4 \bar{d}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,$\frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{5}=\frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{5}$ મળે.
ધારો કે $\bar{r} = \frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{3+2} = \frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{1+4}$.
આ સદિશ $\bar{r}$ એવા બિંદુને દર્શાવે છે જે રેખાખંડ $AC$ પર (જે તેને $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે) અને રેખાખંડ $BD$ પર (જે તેને $4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે) આવેલું છે.
આમ,$\bar{r}$ એ $AC$ અને $BD$ ના છેદબિંદુનો સ્થાન સદિશ છે.

(B) ધારો કે $H$ નો સ્થાન સદિશ ઉગમબિંદુ $\vec{0}$ છે.
તો શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $a \vec{AH} + b \vec{BH} + c \vec{CH} = \vec{0}$ છે.
અહીં $H$ ઉગમબિંદુ હોવાથી,$\vec{AH} = \vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$,$\vec{BH} = -\vec{b}$,અને $\vec{CH} = -\vec{c}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a(-\vec{a}) + b(-\vec{b}) + c(-\vec{c}) = \vec{0}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c} = \vec{0}$.
જોકે,અંતઃકેન્દ્ર $I$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{i}$ ની વ્યાખ્યા $\vec{i} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a+b+c}$ છે.
જો $H$ એ અંતઃકેન્દ્ર હોય,તો $a(\vec{A}-\vec{H}) + b(\vec{B}-\vec{H}) + c(\vec{C}-\vec{H}) = \vec{0}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(a+b+c)\vec{H} = a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}$ મળે,જે અંતઃકેન્દ્રની વ્યાખ્યા છે.
તેથી,$H$ એ $\triangle ABC$ નું અંતઃકેન્દ્ર છે.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4 \hat{\imath} + 7 \hat{\jmath} + 8 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 2 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 7 \hat{k}$ છે.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $D$ એ બિંદુ છે જ્યાં $\angle A$ નો દ્વિભાજક $BC$ ને મળે છે. તો $D$ એ $BC$ ને $AB : AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 4\hat{\jmath} - 4\hat{k}$.
$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 1\hat{k}$.
$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
ગુણોત્તર $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{d} = \frac{AC \cdot \vec{b} + AB \cdot \vec{c}}{AC + AB} = \frac{3(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}) + 6(2\hat{\imath} + 5\hat{\jmath} + 7\hat{k})}{3 + 6} = \frac{18\hat{\imath} + 39\hat{\jmath} + 54\hat{k}}{9} = 2\hat{\imath} + \frac{13}{3}\hat{\jmath} + 6\hat{k} = \frac{1}{3}(6\hat{\imath} + 13\hat{\jmath} + 18\hat{k})$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્ર $(G)$,લંબકેન્દ્ર $(H)$ અને પરિકેન્દ્ર $(P)$ સમરેખ હોય છે,જે આઈલર રેખા બનાવે છે.
$G$ એ રેખાખંડ $PH$ ને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{g}$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{g} = \frac{1 \cdot \vec{h} + 2 \cdot \vec{p}}{1 + 2}$
$\vec{g} = \frac{\vec{h} + 2\vec{p}}{3}$
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા:
$3\vec{g} = \vec{h} + 2\vec{p}$
પદોને $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2\vec{p} + 1\vec{h} - 3\vec{g} = 0$
આને $x\vec{p} + y\vec{h} + z\vec{g} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$,$y = 1$,અને $z = -3$ મળે છે.
આમ,$(x, y, z) = (2, 1, -3)$.

(A) ધારો કે છેદબિંદુ $AB$ ને $\lambda : 1$ અને $CD$ ને $\mu : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$AB$ પરના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{\lambda(-4 \vec{c}) + 1(6 \vec{a}-4 \vec{b}+4 \vec{c})}{\lambda+1} = \frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1}$ છે.
$CD$ પરના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \frac{\mu(\vec{a}+2 \vec{b}-5 \vec{c}) + 1(-\vec{a}-2 \vec{b}-3 \vec{c})}{\mu+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$ છે.
$\vec{r}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{6 \vec{a}-4 \vec{b} + (4-4 \lambda) \vec{c}}{\lambda+1} = \frac{(\mu-1) \vec{a} + (2 \mu-2) \vec{b} + (-5 \mu-3) \vec{c}}{\mu+1}$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{6}{\lambda+1} = \frac{\mu-1}{\mu+1}$ અને $\frac{-4}{\lambda+1} = \frac{2 \mu-2}{\mu+1}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{6}{-4} = \frac{\mu-1}{2(\mu-1)} \Rightarrow -\frac{3}{2} = \frac{1}{2}$,જે સૂચવે છે કે $\mu=1$.
$\mu=1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા,છેદબિંદુ $B$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$a+b+c=0$ અને $|a|=5, |b|=3, |c|=7$.
$a+b+c=0$ હોવાથી,$a+b=-c$ લખી શકાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = |-c|^2$ મળે.
આથી,$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$ થાય.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(5)^2 + (3)^2 + 2(5)(3) \cos \theta = (7)^2$.
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 49 - 34 = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ અથવા $\theta = \frac{\pi}{3}$ રેડિયન મળે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $S$ પર છે. શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે જેથી $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ થાય.
લંબકેન્દ્ર $O^{\prime}$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o^{\prime}} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ છે.
અંતઃકેન્દ્ર $O$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o} = \frac{a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c}}{a+b+c}$ છે.
આપણે $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = (\vec{a} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{b} - \vec{o^{\prime}}) + (\vec{c} - \vec{o^{\prime}})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o^{\prime}} = \vec{o^{\prime}} - 3\vec{o^{\prime}} = -2\vec{o^{\prime}}$.
ત્રિકોણ ભૂમિતિમાં આ એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે જ્યાં $\vec{O^{\prime}A} + \vec{O^{\prime}B} + \vec{O^{\prime}C} = 2\vec{O^{\prime}S}$,જ્યાં $S$ એ પરિકેન્દ્ર છે. આપેલા વિકલ્પો અને ત્રિકોણમાં સદિશ સંબંધોના સંદર્ભમાં,સાચું પદ $2\vec{O^{\prime}O}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\overline{u}$ ની દિશામાં $\overline{v}$ નો પ્રક્ષેપ = $\overline{u}$ ની દિશામાં $\overline{w}$ નો પ્રક્ષેપ.
તેથી,$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$.
$|\overline{u}|=1$ હોવાથી,$\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$ મળે,એટલે કે $(\overline{v}-\overline{w}) \cdot \overline{u} = 0$.
વળી,$\overline{v} \perp \overline{w}$ હોવાથી,$\overline{v} \cdot \overline{w} = 0$.
હવે,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}) \cdot (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w})$.
વિસ્તરણ કરતા:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$.
કિંમતો મુકતા:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$.
$\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$ હોવાથી,તે પદ શૂન્ય થશે.
તેથી,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
આમ,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}| = \sqrt{14}$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$.
તફાવત સદિશનું માન ધ્યાનમાં લો:
$|\bar{a} - \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 - 2(1)(1)\cos \theta = 2 - 2\cos \theta = 2(1 - \cos \theta) = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)$.
આમ,$|\bar{a} - \bar{b}| = 2\sin(\theta/2)$.
તે જ રીતે,સરવાળા સદિશ માટે:
$|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos \theta = 2 + 2\cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 2(2\cos^2(\theta/2)) = 4\cos^2(\theta/2)$.
આમ,$|\bar{a} + \bar{b}| = 2\cos(\theta/2)$.
હવે,બંને માનનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|} = \frac{2\sin(\theta/2)}{2\cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$.
તેથી,$\tan(\theta/2) = \frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|}$.

(C) ધારો કે $\bar{d} = \bar{b} + \bar{c}$. $\bar{a}$ નો $\bar{d}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\bar{d}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|} = 2 \times \frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$.
$\bar{a} \cdot \bar{d} = \bar{d} \cdot \bar{a}$ હોવાથી,આપણે આ પદને દૂર કરી શકીએ છીએ (ધારીને કે $\bar{a} \cdot \bar{d} \neq 0$),જે $\frac{1}{|\bar{d}|} = \frac{2}{|\bar{a}|}$ તરફ દોરી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે $|\bar{a}| = 2|\bar{d}|$.
હવે,$|\bar{d}|^2 = |\bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2|\bar{b}||\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{4})$ ની ગણતરી કરો.
$|\bar{d}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 4^2 + 2(2 \sqrt{2})(4) \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 + 16 + 16 = 40$.
આમ,$|\bar{d}| = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$.
અંતે,$|\bar{a}| = 2|\bar{d}| = 2(2 \sqrt{10}) = 4 \sqrt{10}$.

(C) ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $a = |\overline{BC}| = 8$,$b = |\overline{CA}| = 7$,અને $c = |\overline{AB}| = 10$ છે.
આપણે $\overline{AC}$ પર $\overline{AB}$ નો પ્રક્ષેપ શોધવાનો છે.
$\triangle ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$.
કિંમતો મૂકતા,$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos(A)$.
$64 = 49 + 100 - 140 \cos(A)$.
$64 = 149 - 140 \cos(A)$.
$140 \cos(A) = 149 - 64 = 85$.
$\cos(A) = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}$.
$\overline{AC}$ પર સદિશ $\overline{AB}$ નો પ્રક્ષેપ $|\overline{AB}| \cos(A)$ દ્વારા મળે છે.
પ્રક્ષેપ $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}$ એકમ.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ થાય.
આપણને સમીકરણ $|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{3}$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 3$ મળે.
ગુણધર્મ $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 3$ મળે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ મળે.
$|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{b}| = 1$ કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
આમ,$\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(A) બે સદિશો $\bar{p}$ અને $\bar{q}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\bar{p} \cdot \bar{q} < 0$.
આપેલ છે કે $\bar{p} = m \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\bar{q} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2m \hat{k}$.
તેથી,$\bar{p} \cdot \bar{q} = (m)(1) + (-6)(2) + (3)(2m) = m - 12 + 6m = 7m - 12$.
ખૂણો ગુરુકોણ હોવા માટે,$7m - 12 < 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $7m < 12$ અથવા $m < \frac{12}{7}$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$,અને $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
સદિશ $\bar{d}$ એ $\bar{a}+\bar{b}$ અને $2\bar{b}-\bar{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,$\bar{d} = x(\bar{a}+\bar{b}) + y(2\bar{b}-\bar{c}) = x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}$.
$\bar{d} \cdot \bar{a} = 1$ આપેલ હોવાથી:
$(x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot \bar{a} = x|\bar{a}|^2 + (x+2y)(\bar{b} \cdot \bar{a}) - y(\bar{c} \cdot \bar{a}) = x(1) + 0 - 0 = x$.
તેથી,$x = 1$.
હવે,$\bar{d} = \bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}$.
$|\bar{d}|^2 = \bar{d} \cdot \bar{d} = (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c})$.
$|\bar{d}|^2 = |\bar{a}|^2 + (1+2y)^2|\bar{b}|^2 + y^2|\bar{c}|^2 + 2(1+2y)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2y(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2y(1+2y)(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
કિંમતો મૂકતા:
$|\bar{d}|^2 = 1 + (1+4y+4y^2)(4) + y^2(1) + 0 - 0 - 2y(1+2y)(1)$.
$|\bar{d}|^2 = 1 + 4 + 16y + 16y^2 + y^2 - 2y - 4y^2$.
$|\bar{d}|^2 = 13y^2 + 14y + 5$.

(A) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 5$,$|\bar{b}| = 12$,અને $|\bar{c}| = 13$.
દરેક સદિશ બાકીના બેના સરવાળાને લંબ હોવાથી:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{b} \cdot (\bar{a} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$
આ સમીકરણો પરથી સાબિત થાય છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$,અને $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
હવે,માનનો વર્ગ લેતા:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 5^2 + 12^2 + 13^2 + 2(0 + 0 + 0)$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 25 + 144 + 169 = 338$
તેથી,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{338}$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{m} \times \overline{q} = \overline{r} \times \overline{q}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(\overline{m} - \overline{r}) \times \overline{q} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\overline{m} - \overline{r})$ એ $\overline{q}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\overline{m} - \overline{r} = t \overline{q}$ કોઈ અદિશ $t$ માટે,જે આપે છે $\overline{m} = \overline{r} + t \overline{q}$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા: $\overline{m} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}$.
આપણને આપેલ છે કે $\overline{m} \cdot \overline{p} = 0$,જ્યાં $\overline{p} = 2 \hat{i} + \hat{k}$.
તેથી,$((4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{k}) = 0$.
$2(4+t) + 0(-3+t) + 1(7+t) = 0$.
$8 + 2t + 7 + t = 0 \implies 3t + 15 = 0 \implies t = -5$.
$\overline{m}$ ના સમીકરણમાં $t = -5$ મૂકતા:
$\overline{m} = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k} = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{q} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{r} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{s} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે બે પાસપાસેની બાજુઓ $PQ$ અને $QR$ ની લંબાઈ ગણીએ.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}$.
બાજુ $PQ$ ની લંબાઈ $|\vec{PQ}| = |2\hat{i}| = 2$ છે.
સદિશ $\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = -2\hat{j}$.
બાજુ $QR$ ની લંબાઈ $|\vec{QR}| = |-2\hat{j}| = 2$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ તેની પાસપાસેની બાજુઓની લંબાઈના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = |\vec{PQ}| \times |\vec{QR}| = 2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\bar{0}$.
સરવાળાનો તેની સાથે જ ડોટ ગુણાકાર લેતા: $(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = \bar{0} \cdot \bar{0} = 0$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
વર્ગોની ગણતરી કરતા: $9 + 16 + 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$50 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = -50$.
તેથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -25$.

(D) વિકર્ણો $\vec{d_1}$ અને $\vec{d_2}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{d_1} = 3 \hat{i} + \lambda \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ શોધીએ:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \lambda & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(-6 - \lambda) = (3\lambda + 4) \hat{i} - 7 \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(3\lambda + 4)^2 + (-7)^2 + (-(6 + \lambda))^2} = \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101}$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{1}{2} \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101} = \frac{\sqrt{117}}{2}$,તેથી $10\lambda^2 + 36\lambda + 101 = 117$.
$10\lambda^2 + 36\lambda - 16 = 0 \implies 5\lambda^2 + 18\lambda - 8 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(5\lambda - 2)(\lambda + 4) = 0$.
તેથી,$\lambda = -4$ અથવા $\lambda = 0.4$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\lambda = -4$ સાચો જવાબ છે.

(B) $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વળી,$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$ છે,જ્યાં $h$ એ શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલો વેધ છે.
ક્ષેત્રફળ માટેના બંને સૂત્રોને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}| = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{|\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|}{|\bar{c} - \bar{b}|}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $y = \log_7 x$. $x > 0$ હોવાથી,$y$ એ $(-\infty, \infty)$ માં કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે.
સદિશો $\overline{a} = (cy) \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\overline{b} = y \hat{i} + (3cy) \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
સદિશો ગુરુકોણ બનાવે તે માટે તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ: $\overline{a} \cdot \overline{b} < 0$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (cy)(y) + (2)(3cy) + (3)(-4) < 0$
$cy^2 + 6cy - 12 < 0$.
આ દ્વિઘાત પદાવલિ $y$ માટે હંમેશા ઋણ રહે તે માટે,$y^2$ નો સહગુણક ઋણ $(c < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D$ ઋણ હોવો જોઈએ.
$D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0$
$36c^2 + 48c < 0$
$12c(3c + 4) < 0$.
બીજ $c = 0$ અને $c = -4/3$ છે. અસમતા $c \in (-4/3, 0)$ માટે સાચી છે.
આમ,$c \in (-4/3, 0)$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{a}|=5$ અને $|\overline{b}|=3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 \sqrt{5} = 5 \times 3 \times \sin \theta$.
$5 \sqrt{5} = 15 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
આમ,$\cos \theta = \pm \frac{2}{3}$.
$\theta$ એ ગુરુકોણ હોવાથી,$\cos \theta$ ઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $\cos \theta = -\frac{2}{3}$.
હવે,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = 5 \times 3 \times (-\frac{2}{3}) = 15 \times (-\frac{2}{3}) = -10$.

(C) આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 2, |\bar{b}| = 3, |\bar{c}| = 4$.
કારણ કે $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$.
કારણ કે $\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$.
કારણ કે $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$,તેથી $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$,એટલે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$.
હવે,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
તેથી,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$.

(A) બે સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ગુરુકોણ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$ હોય.
આપેલ છે કે $\bar{a} = 2x^2 \hat{i} + 4x \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2x^2)(7) + (4x)(-2) + (1)(x) = 14x^2 - 8x + x = 14x^2 - 7x$.
ખૂણો ગુરુકોણ હોવા માટે,આપણે $14x^2 - 7x < 0$ ની જરૂર છે.
$7$ વડે ભાગતા,આપણને $2x^2 - x < 0$ મળે છે,જે $x(2x - 1) < 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x(2x - 1) = 0$ ના બીજ $x = 0$ અને $x = \frac{1}{2}$ છે.
અંતરાલો તપાસતા,અસમતા $x(2x - 1) < 0$ એ $0 < x < \frac{1}{2}$ માટે સાચી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{b}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\bar{c}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ,તેથી $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a}$,અથવા $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$.
વળી,$\bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$.
આપણે $|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}|$ શોધવાનું છે.
ધારો કે $\bar{v} = \bar{a} + \bar{b} - \bar{c}$. તો $|\bar{v}|^2 = |\bar{a} + (\bar{b} - \bar{c})|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b} - \bar{c}|^2 + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} - \bar{c})$.
કારણ કે $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$,તેથી છેલ્લું પદ $0$ થશે.
$|\bar{b} - \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2\bar{b} \cdot \bar{c} = 4^2 + 4^2 - 0 = 32$.
આમ,$|\bar{v}|^2 = |\bar{a}|^2 + 32 = 2^2 + 32 = 4 + 32 = 36$.
તેથી,$|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c}+\bar{a}) = 0$,અને $\bar{c} \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$,અને $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$.
ધારો કે $x = \bar{a} \cdot \bar{b}$,$y = \bar{b} \cdot \bar{c}$,અને $z = \bar{c} \cdot \bar{a}$.
તેથી $x+z=0$,$y+x=0$,અને $z+y=0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $x=y=z=0$ મળે છે.
હવે,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 = 2^2 = 4$.
$|\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 6^2 = 36$.
$|\bar{c}+\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 = 4^2 = 16$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2) = 4 + 36 + 16 = 56$,તેથી $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 28$.
હવે $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 28 + 0 = 28$.
તેથી,$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

(B) ધારો કે $\vec{u} = \overline{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\vec{v} = \overline{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
પ્રથમ,માન ગણો: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$ અને $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{-2 + 20 + 22}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.
તેથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \frac{\sqrt{17}}{9}$.
જ્યારે $\vec{v}$ ને $\alpha$ ખૂણે ફેરવીને $\vec{v}'$ બનાવવામાં આવે છે જેથી $\vec{v}' \perp \vec{u}$,ત્યારે $\vec{v}'$ અને $\vec{u}$ વચ્ચેનો નવો ખૂણો $90^\circ$ થાય છે.
આમ,$\alpha = |\theta - 90^\circ|$,તેથી $\cos \alpha = \sin \theta = \frac{\sqrt{17}}{9}$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = Cx \hat{i} - 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + 2Cx \hat{k}$ છે.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(Cx)(x) + (-6)(2) + (-3)(2Cx) < 0$.
$Cx^2 - 12 - 6Cx < 0$.
$Cx^2 - 6Cx - 12 < 0$.
બધા જ વાસ્તવિક $x$ માટે આ દ્વિઘાત પદાવલિ ઋણ રહે તે માટે,$x^2$ નો સહગુણક ઋણ $(C < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D$ ઋણ $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
$D = (-6C)^2 - 4(C)(-12) = 36C^2 + 48C < 0$.
$12$ વડે ભાગતા: $3C^2 + 4C < 0$.
$C(3C + 4) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $-\frac{4}{3} < C < 0$ હોય.
આમ,$C$ ની કિંમત $(-\frac{4}{3}, 0)$ અંતરાલમાં હોઈ શકે.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$,$\bar{b}=(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$,અને $\bar{c}=(3 \hat{i}+\hat{j})$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ ની ગણતરી કરો:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+1 \hat{j}+0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(D) આપેલ સદિશો $\bar{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{c}=m\hat{i}+\hat{j}+n\hat{k}$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ અને $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ થાય.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ માટે:
$(1)(m) + (-1)(1) + (2)(n) = 0$
$m - 1 + 2n = 0$
$m + 2n = 1$ ... $(i)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ માટે:
$(2)(m) + (4)(1) + (1)(n) = 0$
$2m + n = -4$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4m + 2n = -8$ ... $(iii)$ મળે.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4m + 2n) - (m + 2n) = -8 - 1$
$3m = -9 \implies m = -3$.
$m = -3$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-3 + 2n = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$.
આમ,$(m, n) = (-3, 2)$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{R} \times \overline{B} = \overline{C} \times \overline{B}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(\overline{R} - \overline{C}) \times \overline{B} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\overline{R} - \overline{C})$ એ $\overline{B}$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overline{R} - \overline{C} = k\overline{B}$.
તેથી,$\overline{R} = \overline{C} + k\overline{B}$.
આપેલ છે કે $\overline{R} \cdot \overline{A} = 0$,તેથી $\overline{R}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\overline{C} + k\overline{B}) \cdot \overline{A} = 0
\Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + k(\overline{B} \cdot \overline{A}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overline{A} \cdot \overline{C} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) = 2(4) + 0(-3) + 1(7) = 8 + 7 = 15$.
$\overline{A} \cdot \overline{B} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 0(1) + 1(1) = 2 + 1 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$15 + k(3) = 0
\Rightarrow 3k = -15
\Rightarrow k = -5$.
હવે,$\overline{R}$ શોધીએ:
$\overline{R} = \overline{C} - 5\overline{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})
= (4-5)\hat{i} + (-3-5)\hat{j} + (7-5)\hat{k}
= -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.

(C) આપેલ છે: $|\vec{a}| = \sqrt{27}$,$|\vec{b}| = 7$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{35}{\sqrt{27} \times 7} = \frac{5}{\sqrt{27}}$.
હવે,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$.
તેથી,$\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{27}}$ (ધારો કે $\theta$ લઘુકોણ છે).
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = \sqrt{27} \times 7 \times \sqrt{\frac{2}{27}} = 7 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે: $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
પ્રથમ,$\overline{a}$ નું માન શોધો:
$|\overline{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધો:
$\overline{a} \times \overline{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ છે.
આપેલ છે કે $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|=3$ અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $|\overline{u} \times \overline{v}| = |\overline{u}||\overline{v}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 = 3 \times |\overline{c}| \times \sin 30^{\circ} \Rightarrow 3 = 3 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} \Rightarrow |\overline{c}| = 2$.
હવે,શરત $|\overline{c}-\overline{a}|=3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{c}-\overline{a}|^2 = 9 \Rightarrow |\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $2^2 + 3^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 4 + 9 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$13 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{c} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \neq 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \cdot \overline{p} = \overline{a} \cdot \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
તે જ રીતે,$\overline{b} \cdot \overline{q} = \overline{b} \cdot \frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
અને $\overline{c} \cdot \overline{r} = \overline{c} \cdot \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{c} \overline{a} \overline{b}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \overline{a} \cdot \overline{p} + \overline{b} \cdot \overline{q} + \overline{c} \cdot \overline{r} = 2(1) + 1 + 1 = 4$.

(B) આપેલ છે કે,$\bar{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $(2 \bar{a}+\bar{b})$ અને $(\bar{a}+2 \bar{b})$ ની ગણતરી કરો:
$2 \bar{a}+\bar{b} = 2(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$.
$\bar{a}+2 \bar{b} = (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 5 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$.
હવે,તેમના માન (magnitudes) શોધો:
$|2 \bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{4^2+(-1)^2+5^2} = \sqrt{42}$.
$|\bar{a}+2 \bar{b}| = \sqrt{5^2+4^2+1^2} = \sqrt{42}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ (અદિશ ગુણાકાર) શોધો:
$(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b}) = (4)(5) + (-1)(4) + (5)(1) = 20 - 4 + 5 = 21$.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})}{|2 \bar{a}+\bar{b}| |\bar{a}+2 \bar{b}|}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\bar{c}=\hat{a}+2 \hat{b}$ અને $\bar{d}=5 \hat{a}-4 \hat{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\bar{c} \cdot \bar{d} = 0$
$(\hat{a}+2 \hat{b}) \cdot (5 \hat{a}-4 \hat{b}) = 0$
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
અહીં $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી $|\hat{a}|=1$ અને $|\hat{b}|=1$,અને $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$.
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

(B) પાસપાસેની બાજુઓ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\overline{a} \times \overline{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધીએ:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\alpha & 1 \\ 1 & \alpha & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3\alpha - \alpha) - \hat{j}(9 - 1) + \hat{k}(3\alpha + \alpha) = -4\alpha \hat{i} - 8 \hat{j} + 4\alpha \hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{(-4\alpha)^2 + (-8)^2 + (4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $8\sqrt{3}$ આપેલ હોવાથી,$\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$.
$32\alpha^2 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b} = (3\hat{i} - \alpha\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \alpha\hat{j} + 3\hat{k}) = 3(1) - \alpha(\alpha) + 1(3) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$.
$\alpha^2 = 4$ મૂકતા,આપણને $\overline{a} \cdot \overline{b} = 6 - 4 = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{a}| = 2, |\overline{b}| = 3, |\overline{c}| = 4$.
કારણ કે $\overline{a} \perp (\overline{b}+\overline{c})$,તેથી $\overline{a} \cdot (\overline{b}+\overline{c}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
કારણ કે $\overline{b} \perp (\overline{c}+\overline{a})$,તેથી $\overline{b} \cdot (\overline{c}+\overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} = 0$.
કારણ કે $\overline{c} \perp (\overline{a}+\overline{b})$,તેથી $\overline{c} \cdot (\overline{a}+\overline{b}) = 0 \Rightarrow \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$.
હવે,સરવાળાના માનનો વર્ગ ધ્યાનમાં લો:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
તેથી,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{29}$.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{A}|=3, |\overline{B}|=4, |\overline{C}|=5$.
કારણ કે $\overline{A} \perp (\overline{B}+\overline{C})$,તેથી $\overline{A} \cdot (\overline{B}+\overline{C}) = 0 \Rightarrow \overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot \overline{C} = 0$.
કારણ કે $\overline{B} \perp (\overline{C}+\overline{A})$,તેથી $\overline{B} \cdot (\overline{C}+\overline{A}) = 0 \Rightarrow \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot \overline{A} = 0$.
કારણ કે $\overline{C} \perp (\overline{A}+\overline{B})$,તેથી $\overline{C} \cdot (\overline{A}+\overline{B}) = 0 \Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + \overline{C} \cdot \overline{B} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A}) = 0$ મળે છે.
હવે,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = |\overline{A}|^2 + |\overline{B}|^2 + |\overline{C}|^2 + 2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A})$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0 = 9 + 16 + 25 = 50$.
તેથી,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}| = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0), A(\bar{a}+2\bar{b}), B(\bar{a}-2\bar{b})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{OA} = \bar{a}+2\bar{b}$ અને $\vec{OB} = \bar{a}-2\bar{b}$.
$\vec{OA} \times \vec{OB} = (\bar{a}+2\bar{b}) \times (\bar{a}-2\bar{b})$
$= \bar{a} \times \bar{a} - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) - 4(\bar{b} \times \bar{b})$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= 0 - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 0 = -4(\bar{a} \times \bar{b})$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(\bar{a} \times \bar{b})| = 2 |\bar{a} \times \bar{b}|$.
કારણ કે $\bar{a} \perp \bar{b}$,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 6 = 12 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(D) આપેલ શરત મુજબ,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(\overline{b}+\lambda \overline{a}) \cdot \overline{c} = 0$.
પ્રથમ,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{b}+\lambda \overline{a} = (-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}$.
હવે,$\overline{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$3(-1+2\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(1+3\lambda) = 0$.
$-3 + 6\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$8\lambda - 1 = 0$.
$8\lambda = 1$.
$\lambda = \frac{1}{8}$.

(A) સદિશો $\overline{a}$,$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ અને $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ માટે:
$(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$\lambda - 1 + 2\mu = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1 \quad ...(i)$
$\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$ માટે:
$(2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$2\lambda + 4 + \mu = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4\lambda + 2\mu = -8 \quad ...(iii)$ મળે.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4\lambda + 2\mu) - (\lambda + 2\mu) = -8 - 1$
$3\lambda = -9 \implies \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-3 + 2\mu = 1
2\mu = 4
\mu = 2$.
આમ,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$.