Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(NONE) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = |a| |b| \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|a|=2$,$|b|=3$,અને $\theta = 120^{\circ}$.
$a \cdot b = (2)(3) \cos 120^{\circ} = 6 \times (-1/2) = -3$.
હવે,આપણે $\left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$ નું માન શોધવાનું છે.
ધારો કે $X = \left|\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right|$. તો $X^2 = \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right) \cdot \left(\frac{a}{2} - \frac{b}{3}\right)$.
$X^2 = \frac{1}{4}|a|^2 + \frac{1}{9}|b|^2 - 2 \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) (a \cdot b)$.
$X^2 = \frac{1}{4}(4) + \frac{1}{9}(9) - \frac{1}{3}(-3)$.
$X^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$X = \sqrt{3}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$ થાય છે.
આપેલ છે કે $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 36$ અને $|a| = 3$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$|a|^2 |b|^2 = 36$
$(3)^2 |b|^2 = 36$
$9 |b|^2 = 36$
$|b|^2 = \frac{36}{9} = 4$
$|b| = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$|b|$ ની કિંમત $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$a \cdot b = 0$ અને $(a + b)$ એ $a$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
બે સદિશો વચ્ચેના ખૂણાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 60^{\circ} = \frac{(a + b) \cdot a}{|a + b||a|}$
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{a \cdot a + b \cdot a}{|a + b||a|}$
કારણ કે $a \cdot b = 0$,તેથી $b \cdot a = 0$ થાય.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|a|^2}{|a + b||a|} = \frac{|a|}{|a + b|}$
$\Rightarrow |a + b| = 2|a|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|a + b|^2 = 4|a|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 4|a|^2$
$a \cdot b = 0$ હોવાથી:
$|a|^2 + |b|^2 = 4|a|^2$
$|b|^2 = 3|a|^2$
$|b| = \sqrt{3}|a|$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,લેગ્રાન્જની નિત્યસમ મુજબ $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ થાય છે.
અહીં $|\vec{a}| = 16$ અને $|\vec{b}| = 4$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\sqrt{|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} + |\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}} = \sqrt{|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}}$
$= |\vec{a}| |\vec{b}|$
$= (16) \times (4)$
$= 64$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે.
$\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = -2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
આ કિંમત પ્રક્ષેપના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta}{|\vec{b}|} = -2$
$|\vec{a}| \cos \theta = -2$
$\theta = \frac{2\pi}{3}$ મૂકતા:
$|\vec{a}| \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right) = -2$
$|\vec{a}| \left(-\frac{1}{2}\right) = -2$
$|\vec{a}| = (-2) \times (-2)$
$|\vec{a}| = 4$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=144$ અને $|\vec{a}|=4$.
આપણે સદિશો માટે લેગ્રાન્જની ઓળખ જાણીએ છીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \sin^{2} \theta + |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} \cos^{2} \theta$.
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2} (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta) = |\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$144 = (4)^{2} |\vec{b}|^{2}$.
$144 = 16 |\vec{b}|^{2}$.
$|\vec{b}|^{2} = \frac{144}{16} = 9$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|\vec{b}| = 3$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આપણે અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરવાની છે:
$(3\bar{a} + 2\bar{b}) \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) = 3\bar{a} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b}) + 2\bar{b} \cdot (5\bar{a} - 6\bar{b})$
$= 15(\bar{a} \cdot \bar{a}) - 18(\bar{a} \cdot \bar{b}) + 10(\bar{b} \cdot \bar{a}) - 12(\bar{b} \cdot \bar{b})$
$= 15|\bar{a}|^2 - 18(0) + 10(0) - 12|\bar{b}|^2$
$= 15(1)^2 - 12(1)^2$
$= 15 - 12 = 3$.

(D) આપેલ છે કે,$ 2 \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર $ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta $ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $ \theta $ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$ 2 (|\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta) = |\vec{a}| |\vec{b}| $.
બંને બાજુને $ |\vec{a}| |\vec{b}| $ વડે ભાગતા (શૂન્યતર સદિશો ધારીને):
$ 2 \cos \theta = 1 $.
$ \cos \theta = \frac{1}{2} $.
કારણ કે $ \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} $,તેથી ખૂણો $ \theta = 60^{\circ} $ થાય.

(C) આપેલ છે કે $a \perp b$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = 0$ થાય.
કારણ કે $(a+b) \perp (a+mb)$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(a+b) \cdot (a+mb) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \cdot a + m(a \cdot b) + (b \cdot a) + m(b \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$ અને $b \cdot a = 0$ મૂકતા:
$|a|^{2} + m(0) + 0 + m|b|^{2} = 0$
$|a|^{2} + m|b|^{2} = 0$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m|b|^{2} = -|a|^{2}$
$m = -\frac{|a|^{2}}{|b|^{2}}$

(B) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|a| = |b| = |c| = 1 \dots (i) $
આપણને સમીકરણ $a+b+c = 0$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|a+b+c|^2 = |0|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2}$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે સદિશો $a$ અને $b$ માટે,$(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = |a|^{2} |b|^{2} \sin^{2} \theta + |a|^{2} |b|^{2} \cos^{2} \theta$ થાય છે.
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી આ સમીકરણ $|a|^{2} |b|^{2}$ માં પરિણમે છે.
આપેલ સમીકરણ $(a \times b)^{2} + (a \cdot b)^{2} = 144$ પરથી,આપણને $|a|^{2} |b|^{2} = 144$ મળે છે.
અહીં $|a| = 4$ આપેલ છે,તેથી $|a|^{2} = 16$ મૂકતા:
$16 |b|^{2} = 144$.
બંને બાજુ $16$ વડે ભાગતા,આપણને $|b|^{2} = 9$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$|b| = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$.
આપેલ છે $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \cdot (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) = 0$.
$|\overrightarrow{a}|^2+|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$1+1+1+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
$3+2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}) = 0 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}+\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = -3/2$.
સદિશો સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી કોઈપણ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \times 1 \times \cos(120^{\circ}) = -1/2$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$3(-1/2)+2(-1/2)+(-1/2) = -3/2 - 2/2 - 1/2 = -6/2 = -3$.

(C) આપેલ છે કે $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ એ અનુક્રમે $x, y, z$-અક્ષોની ધન દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(a)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i} \times(\hat{j}+\hat{k}) + \hat{j} \times(\hat{k}+\hat{i}) + \hat{k} \times(\hat{i}+\hat{j})$
$= (\hat{k} - \hat{j}) + (\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{i}) = \vec{0}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(b)$ $\sum \hat{i} \times(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \times \hat{i} + \hat{j} \times \hat{j} + \hat{k} \times \hat{k} = \vec{0} + \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}$. આ વિધાન સાચું છે.
$(c)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k} = 1 + 1 + 1 = 3$. આ વિધાન ખોટું છે કારણ કે તે $\vec{0}$ નથી.
$(d)$ $\sum \hat{i} \cdot(\hat{j}+\hat{k}) = (\hat{i} \cdot \hat{j} + \hat{i} \cdot \hat{k}) + (\hat{j} \cdot \hat{k} + \hat{j} \cdot \hat{i}) + (\hat{k} \cdot \hat{i} + \hat{k} \cdot \hat{j}) = 0 + 0 + 0 = 0$. આ વિધાન સાચું છે.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,તેથી $a_{1} = 1$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,તેથી $a_{1} + a_{2} = 1$. $a_{1} = 1$ મૂકતા,આપણને $1 + a_{2} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a_{2} = 0$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$,તેથી $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 1$. $a_{1} = 1$ અને $a_{2} = 0$ મૂકતા,આપણને $1 + 0 + a_{3} = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a_{3} = 0$.
તેથી,$\overrightarrow{a} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k} = \hat{i}$.

(C) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{a} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\overrightarrow{b} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{a}$ નો સદિશ $\overrightarrow{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$ શોધો:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (3)(2) + (-1)(3) + (5)(1) = 6 - 3 + 5 = 8$.
હવે,સદિશ $\overrightarrow{b}$ નું માન શોધો:
$|\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^{2} + 3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.
તેથી,માંગેલ પ્રક્ષેપ $\frac{8}{\sqrt{14}}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે સદિશો $OA$ અને $OB$ ના માન $|OA| = 5$ અને $|OB| = 6$ છે.
બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \angle BOA = 60^{\circ}$ છે.
બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (ડોટ પ્રોડક્ટ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $OA \cdot OB = |OA| |OB| \cos \theta$.
આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$OA \cdot OB = 5 \times 6 \times \cos 60^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$OA \cdot OB = 30 \times \frac{1}{2} = 15$.
આમ,$OA \cdot OB$ ની કિંમત $15$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|a-b|^2 = (a-b) \cdot (a-b) = |a|^2 - 2(a \cdot b) + |b|^2$.
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,તેથી $|a-b|^2 = 1^2 - 2(1)(1) \cos \theta + 1^2 = 2 - 2 \cos \theta$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $|a-b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|a-b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$ મળે છે.
તેથી,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{|a-b|}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $|a+b|^{2}+|a \cdot b|^{2}=144$ અને $|a|=6$.
અહીં આપેલ સમીકરણ $|a|^{2}|b|^{2} = 144$ ના સ્વરૂપમાં છે તેમ માનતા,
$|6|^{2}|b|^{2} = 144$.
$36|b|^{2} = 144$.
$|b|^{2} = \frac{144}{36} = 4$.
તેથી,$|b| = 2$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
આપણને આપેલ છે કે $\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}$ પણ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $|\sqrt{3}\vec{a}-\vec{b}|^2 = 1^2$.
ગુણધર્મ $|\vec{u}-\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2(\vec{u} \cdot \vec{v})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\sqrt{3}(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 1$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ મૂકતા:
$3(1)^2 + (1)^2 - 2\sqrt{3}(1)(1)\cos \theta = 1$.
$3 + 1 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$4 - 2\sqrt{3}\cos \theta = 1$.
$2\sqrt{3}\cos \theta = 3$.
$\cos \theta = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$\theta = 30^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે ચતુષ્કોણ $ABCD$ માટે,$AB=a$,$BC=b$,$AD=b-a$.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$BM = \frac{b}{2}$.
$DM$ પરના બિંદુ $N$ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા જ્યાં $DN = \frac{4}{5} DM$,આપણને $DN:NM = 4:1$ મળે છે.
સદિશ નિરૂપણનો ઉપયોગ કરતા,$N$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{N} = \frac{1 \cdot \vec{D} + 4 \cdot \vec{M}}{5}$ છે.
$5$ વડે ગુણતા,$5\vec{N} = \vec{D} + 4\vec{M}$ મળે.
$\vec{M} = \vec{B} + \frac{1}{2}\vec{BC} = \vec{B} + \frac{b}{2}$ અને $\vec{D} = \vec{A} + (b-a)$ હોવાથી,આપણે આ કિંમતો મૂકીએ છીએ.
$5\vec{AN} = 4\vec{AM} + \vec{AD} = 4(a + \frac{b}{2}) + (b-a) = 4a + 2b + b - a = 3(a+b) = 3AC$.
આમ,$5 AN = 3 AC$.

(D) કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને તેની પાસપાસેની બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે,એટલે કે $c:b$ ગુણોત્તરમાં,જ્યાં $c = |AB|$ અને $b = |AC|$.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = |(2-4)\hat{i} + (3-7)\hat{j} + (4-8)\hat{k}| = |-2\hat{i} - 4\hat{j} - 4\hat{k}| = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6$.
$AC = |(2-4)\hat{i} + (5-7)\hat{j} + (7-8)\hat{k}| = |-2\hat{i} - 2\hat{j} - 1\hat{k}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$.
આમ,ગુણોત્તર $6:3 = 2:1$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $BC$ ને $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુ $D$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{D} = \frac{2\vec{C} + 1\vec{B}}{2+1} = \frac{2(2\hat{i} + 5\hat{j} + 7\hat{k}) + 1(2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})}{3} = 2\hat{i} + \frac{13}{3}\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{OB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,માન શોધો:
$|\vec{OA}| = 3$ અને $|\vec{OB}| = 6$.
આંતરિક ખૂણાના દ્વિભાજક સદિશ $\vec{OP} = \frac{|\vec{OB}|\vec{OA} + |\vec{OA}|\vec{OB}}{|\vec{OA}| + |\vec{OB}|} = \frac{6\vec{OA} + 3\vec{OB}}{9} = \frac{2\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$.
$\vec{OP} = 2\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
$k^2 = |\vec{OP}|^2 = 2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2 = \frac{136}{9}$.
તેથી,$9k^2 = 136$.

(D) બિંદુ $P$ ના સ્થાન સદિશ $\bar{x}$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$1$) $\bar{x} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{a} \cdot \bar{b} \implies (\bar{x} - \bar{a}) \cdot (\bar{c} - \bar{b}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{AP}$ એ બાજુ $BC$ ને લંબ છે.
$2$) $\bar{x} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = \bar{a} \cdot \bar{b} - \bar{b} \cdot \bar{c} \implies (\bar{x} - \bar{b}) \cdot (\bar{a} - \bar{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{BP}$ એ બાજુ $AC$ ને લંબ છે.
જેহেতু $P$ એવું બિંદુ છે કે $\vec{AP} \perp BC$ અને $\vec{BP} \perp AC$,તેથી $P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના વેધનું છેદબિંદુ છે.
તેથી,$P$ એ ત્રિકોણ $ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,3,5)$,$B(-1,3,2)$,અને $C(3,5,-2)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = B - A = (-3, 0, -3)$.
$\vec{BC} = C - B = (4, 2, -4)$.
$\vec{CA} = A - C = (-1, -2, 7)$.
માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો:
$|\vec{AB}| = 3\sqrt{2}$,$|\vec{BC}| = 6$,$|\vec{CA}| = 3\sqrt{6}$.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AB}|^2 + |\vec{AC}|^2 - |\vec{BC}|^2}{2|\vec{AB}||\vec{AC}|}$.
અહીં $\vec{AC} = (1, 2, -7)$,તેથી $|\vec{AC}| = 3\sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{18 + 54 - 36}{2(3\sqrt{2})(3\sqrt{6})} = \frac{36}{36\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી $\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તે જ રીતે,$\cos \beta = \frac{18 + 36 - 54}{2(3\sqrt{2})(6)} = 0$.
તેથી $\beta = 90^\circ$ અને $\sin^2 \beta = 1$.
$\gamma = 90^\circ - \alpha$ હોવાથી,$\sin^2 \gamma = \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
સરવાળો $= \frac{2}{3} + 1 + \frac{1}{3} = 2$.

(B) ધારો કે લંબકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\bar{h}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ત્રિકોણ માટે,મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ લંબકેન્દ્ર $H$ અને પરિકેન્દ્ર $P$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\bar{g} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3}$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{g} = \frac{1(\bar{h}) + 2(\bar{p})}{1+2} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$.
$\bar{g}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{3} = \frac{\bar{h} + 2\bar{p}}{3}$.
$\bar{h} + 2\bar{p} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
આપેલ છે કે $\bar{p} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}$,આ કિંમત સમીકરણમાં મુકતા:
$\bar{h} + 2\left(\frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{4}\right) = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} + \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \bar{a}+\bar{b}+\bar{c}$.
$\bar{h} = (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) - \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2} = \frac{\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}}{2}$.

(B) સૌ પ્રથમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો શોધો.
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 7^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 49 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
$|\vec{b}| = \sqrt{12^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.
એકમ સદિશો $\hat{a} = \frac{4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}}{9}$ અને $\hat{b} = \frac{12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}}{13}$ છે.
આંતરિક ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો સદિશ $\vec{v} = \lambda(\hat{a} + \hat{b})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{13(4 \hat{i} + 7 \hat{j} - 4 \hat{k}) + 9(12 \hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k})}{117} = \frac{(52 + 108) \hat{i} + (91 - 27) \hat{j} + (-52 + 36) \hat{k}}{117} = \frac{160 \hat{i} + 64 \hat{j} - 16 \hat{k}}{117} = \frac{16}{117}(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$.
ધારો કે $\vec{c} = k(10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k})$. તેનું માન $|\vec{c}| = |k| \sqrt{10^2 + 4^2 + (-1)^2} = |k| \sqrt{100 + 16 + 1} = |k| \sqrt{117} = |k| \sqrt{9 \times 13} = 3|k| \sqrt{13}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{c}| = 3 \sqrt{13}$,તેથી $3|k| \sqrt{13} = 3 \sqrt{13}$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1$.
આમ,$\vec{c} = 10 \hat{i} + 4 \hat{j} - \hat{k}$.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ અને $\theta = \frac{\pi}{3}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$.
ધારો કે પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{p} = 2\vec{a} + 3\vec{b}$ અને $\vec{q} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{p} + \vec{q} = 3\vec{a} + 2\vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{p} - \vec{q} = \vec{a} + 4\vec{b}$ છે.
લંબાઈનો વર્ગ ગણો:
$|\vec{d_1}|^2 = |3\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = 9|\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 9(4) + 4(9) + 12(3) = 108$.
$|\vec{d_1}| = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.
$|\vec{d_2}|^2 = |\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 16|\vec{b}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 4 + 144 + 24 = 172$.
$|\vec{d_2}| = \sqrt{172} = 2\sqrt{43}$.
સરખામણી કરતા,ટૂંકો વિકર્ણ $6\sqrt{3}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{A} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ એ શિરોબિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ છે.
ધારો કે $\vec{G}_{BCD} = \frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3} = -\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k}$ એ ત્રિકોણ $BCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ ના મધ્યકેન્દ્ર $\vec{G}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\vec{G} = \frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}$
આને આપણે આ રીતે લખી શકીએ:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3(\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3})] = \frac{1}{4} [\vec{A} + 3 \vec{G}_{BCD}]$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{G} = \frac{1}{4} [(7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}) + 3(-\hat{i}+4 \hat{j}-3 \hat{k})]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [7 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k} - 3 \hat{i} + 12 \hat{j} - 9 \hat{k}]$
$\vec{G} = \frac{1}{4} [4 \hat{i} + 8 \hat{j} - 4 \hat{k}]$
$\vec{G} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\vec{p} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(2) + (3)(-4) + (13)(3) = 2 - 12 + 39 = 29$ ગણો.
ત્યારબાદ,માનનો વર્ગ $|\vec{b}|^2 = (2)^2 + (-4)^2 + (3)^2 = 4 + 16 + 9 = 29$ ગણો.
તેથી,$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ ની દિશામાં ઘટક $\vec{p} = \left( \frac{29}{29} \right) \vec{b} = \vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ થાય.
$\vec{b}$ ને લંબ $\vec{a}$ નો ઘટક $\vec{x} = \vec{a} - \vec{p} = \vec{a} - \vec{b}$ છે.
$\vec{x} = (\hat{i} + 3\hat{j} + 13\hat{k}) - (2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}) = (1-2)\hat{i} + (3+4)\hat{j} + (13-3)\hat{k} = -\hat{i} + 7\hat{j} + 10\hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,$|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 5$ અને $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = 4 \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$(4 \sqrt{3})^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(0 + 0 + |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \theta)$.
$48 = 4 + 9 + 25 + 2(5)(2) \cos \theta$.
$48 = 38 + 20 \cos \theta$.
$10 = 20 \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(B) $\triangle ABC$ માં,$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b} \dots (i)$
$\triangle ADC$ માં,$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$. આપેલ છે કે $\overrightarrow{DA} = \vec{a} - \vec{b}$,તેથી $\overrightarrow{AD} = -(\vec{a} - \vec{b}) = \vec{b} - \vec{a}$.
આમ,$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AD} = (\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{b} - \vec{a}) = 2\vec{a}$.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\overrightarrow{BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \frac{\vec{b}}{2}$.
$\triangle BDM$ માં,$\overrightarrow{DM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BD}$. કારણ કે $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \vec{b} - 2\vec{a}$,તેથી $\overrightarrow{DM} = \frac{\vec{b}}{2} - (\vec{b} - 2\vec{a}) = 2\vec{a} - \frac{\vec{b}}{2} = \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{DX} = \frac{4}{5}\overrightarrow{DM} = \frac{4}{5} \left( \frac{4\vec{a} - \vec{b}}{2} \right) = \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5}$.
હવે,$\overrightarrow{AX} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DX} = (\vec{b} - \vec{a}) + \frac{8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{5\vec{b} - 5\vec{a} + 8\vec{a} - 2\vec{b}}{5} = \frac{3\vec{a} + 3\vec{b}}{5} = \frac{3}{5}(\vec{a} + \vec{b})$.
કારણ કે $\overrightarrow{AX} = \frac{3}{5}\overrightarrow{AC}$,તેથી સદિશો $\overrightarrow{AX}$ અને $\overrightarrow{AC}$ સમાંતર છે અને સામાન્ય બિંદુ $A$ ધરાવે છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, X$ અને $C$ સમરેખ છે.

(B) ધારો કે $a, 2a, 3a$ માન ધરાવતા સદિશો ઉગમબિંદુ $O$ પર મળતા ઘનના ત્રણ પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણો પર છે.
ધારો કે ઘનની ધાર યામ અક્ષો પર છે. ત્રણ પાસપાસેના ફલકોના વિકર્ણોને $(\hat{i}+\hat{j})$,$(\hat{j}+\hat{k})$,અને $(\hat{k}+\hat{i})$ દિશાના સદિશો તરીકે દર્શાવી શકાય.
આ દિશાઓને પ્રમાણિત કરતા,સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{v_1} = a \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_2} = 2a \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$,$\vec{v_3} = 3a \frac{\hat{k}+\hat{i}}{\sqrt{2}}$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$ છે:
$\vec{R} = \frac{a}{\sqrt{2}} [(\hat{i}+\hat{j}) + 2(\hat{j}+\hat{k}) + 3(\hat{k}+\hat{i})] = \frac{a}{\sqrt{2}} (4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k})$.
માન $|\vec{R}|$ નીચે મુજબ છે:
$|\vec{R}| = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{4^2 + 3^2 + 5^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{16 + 9 + 25} = \frac{a}{\sqrt{2}} \sqrt{50} = \frac{a}{\sqrt{2}} (5\sqrt{2}) = 5a$.

(D) ધારો કે $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{0}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ હોવાથી,$\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ થાય.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{M} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{N} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.
હવે,$\overline{AM} + \overline{AN} = \vec{M} + \vec{N} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.
$= \frac{\vec{b} + \vec{d} + 2\vec{c}}{2}$.
$\vec{b} + \vec{d} = \vec{c}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$= \frac{\vec{c} + 2\vec{c}}{2} = \frac{3\vec{c}}{2} = \frac{3}{2} \overline{AC}$.

(B) ધારો કે $A, B, C,$ અને $D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c},$ અને $\vec{d}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{BC} = \lambda \vec{AD}$,તેથી $\vec{c} - \vec{b} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) \dots (i)$.
આપણને $\vec{x} = \vec{AC} + \vec{BD}$ આપેલ છે.
સ્થાન સદિશો મૂકતા,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{b})$.
પદોને ગોઠવતા,$\vec{x} = (\vec{c} - \vec{b}) + (\vec{d} - \vec{a})$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\vec{x} = \lambda(\vec{d} - \vec{a}) + 1(\vec{d} - \vec{a})$.
આમ,$\vec{x} = (\lambda + 1)(\vec{d} - \vec{a})$.
કારણ કે $\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a}$,તેથી $\vec{x} = (\lambda + 1) \vec{AD}$.
આને $\vec{x} = p \vec{AD}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $p = \lambda + 1$ મળે છે.

(B) કારણ કે $D$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $\vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AB}$ થાય.
$\triangle CAD$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB}$ મળે.
હવે,આપણે અદિશ ગુણાકાર $\vec{CA} \cdot \vec{CD}$ શોધીએ:
$\vec{CA} \cdot \vec{CD} = \vec{CA} \cdot (\vec{CA} + \frac{1}{2} \vec{AB})$
$= |\vec{CA}|^2 + \frac{1}{2} (\vec{CA} \cdot \vec{AB})$
$= b^2 + \frac{1}{2} |\vec{CA}| |\vec{AB}| \cos(\pi - A)$
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \cos A$
$\triangle ABC$ માં કોસાઇન નિયમ મુજબ,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$= b^2 - \frac{1}{2} bc \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right)$
$= b^2 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4}$
$= \frac{4b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{4}$
$= \frac{1}{4}(a^2 + 3b^2 - c^2)$.

(B) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $p = 5a + 2b$ અને $q = a - 3b$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $d_1 = p + q$ અને $d_2 = p - q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d_1 = (5a + 2b) + (a - 3b) = 6a - b$
$d_2 = (5a + 2b) - (a - 3b) = 4a + 5b$
આપેલ છે કે $|a| = 2\sqrt{2}$,$|b| = 3$,અને $a$ તથા $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે,તેથી $a \cdot b = |a||b| \cos 45^{\circ} = (2\sqrt{2})(3)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 6$.
હવે,પ્રથમ વિકર્ણની લંબાઈ:
$|d_1| = |6a - b| = \sqrt{(6a - b) \cdot (6a - b)} = \sqrt{36|a|^2 + |b|^2 - 12(a \cdot b)}$
$|d_1| = \sqrt{36(8) + 9 - 12(6)} = \sqrt{288 + 9 - 72} = \sqrt{225} = 15$.
હવે,બીજા વિકર્ણની લંબાઈ:
$|d_2| = |4a + 5b| = \sqrt{(4a + 5b) \cdot (4a + 5b)} = \sqrt{16|a|^2 + 25|b|^2 + 40(a \cdot b)}$
$|d_2| = \sqrt{16(8) + 25(9) + 40(6)} = \sqrt{128 + 225 + 240} = \sqrt{593}$.
આમ,વિકર્ણોની લંબાઈ $15$ અને $\sqrt{593}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\overline{e_1}$ અને $\overline{e_2}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overline{e_1}| = 1$ અને $|\overline{e_2}| = 1$.
આપેલ છે કે $|\overline{e_1} + \overline{e_2}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overline{e_1} + \overline{e_2}|^2 = 3$.
$(\overline{e_1} + \overline{e_2}) \cdot (\overline{e_1} + \overline{e_2}) = 3$.
$|\overline{e_1}|^2 + |\overline{e_2}|^2 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$.
$1 + 1 + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 3$.
$2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) = 1 \implies \overline{e_1} \cdot \overline{e_2} = \frac{1}{2}$.
હવે,આપણે $(2 \overline{e_1} - 5 \overline{e_2}) \cdot (3 \overline{e_1} + \overline{e_2})$ નો ડોટ ગુણાકાર શોધીએ:
$= 6(\overline{e_1} \cdot \overline{e_1}) + 2(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 15(\overline{e_2} \cdot \overline{e_1}) - 5(\overline{e_2} \cdot \overline{e_2})$.
$= 6|\overline{e_1}|^2 - 13(\overline{e_1} \cdot \overline{e_2}) - 5|\overline{e_2}|^2$.
$= 6(1) - 13(\frac{1}{2}) - 5(1)$.
$= 6 - 6.5 - 5 = -5.5 = -\frac{11}{2}$.

(B) આપેલ છે કે,$\vec{a}=\frac{3}{2} \hat{k}$ અને $\vec{b}=\frac{2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}}{2} = \hat{i}+\hat{j}-\frac{1}{2} \hat{k}$.
પ્રથમ,$\vec{a}+\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}) \hat{k} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{a}-\vec{b} = -\hat{i}-\hat{j}+(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}) \hat{k} = -\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ મેળવો.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{v} = \vec{a}-\vec{b}$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(2) = -1 - 1 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.

(A) બિંદુઓ $u$ અને $v$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $(2, 1)$ અને $(3, -5)$ આપેલા છે.
બિંદુઓ $(x_1, y_1) = (2, 1)$ અને $(x_2, y_2) = (3, -5)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 1 = \frac{-5 - 1}{3 - 2}(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6(x - 2) \Rightarrow y - 1 = -6x + 12 \Rightarrow 6x + y = 13$.
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા બિંદુઓ સમીકરણ $6x + y = 13$ નું સમાધાન કરે છે:
$P\left(\frac{5}{2}, -2\right)$ માટે: $6\left(\frac{5}{2}\right) + (-2) = 15 - 2 = 13$. (સમાધાન કરે છે)
$Q\left(\frac{7}{3}, -1\right)$ માટે: $6\left(\frac{7}{3}\right) + (-1) = 14 - 1 = 13$. (સમાધાન કરે છે)
$R\left(\frac{9}{4}, 0\right)$ માટે: $6\left(\frac{9}{4}\right) + 0 = \frac{27}{2} = 13.5 \neq 13$. (સમાધાન કરતું નથી)
આમ,માત્ર બિંદુઓ $P$ અને $Q$ રેખા પર આવેલા છે.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
$|a - b|^2$ પદને ધ્યાનમાં લો:
$|a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$
કારણ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta = 1 \times 1 \times \cos \theta = \cos \theta$,તેથી:
$|a - b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2 - 2 \cos \theta$
$|a - b|^2 = 2(1 - \cos \theta)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|a - b|^2 = 2(2 \sin^2 \frac{\theta}{2})$
$|a - b|^2 = 4 \sin^2 \frac{\theta}{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|a - b| = 2 \sin \frac{\theta}{2}$
તેથી,$\sin \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} |a - b|$.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
વળી,$a+2b$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+2b| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+2b|^2 = 1^2 = 1$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$|a|^2 + 4|b|^2 + 4(a \cdot b) = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 4(1)^2 + 4|a||b| \cos \theta = 1$.
$1 + 4 + 4 \cos \theta = 1$.
$5 + 4 \cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $4 \cos \theta = -4$,તેથી $\cos \theta = -1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = \pi$.
હવે,આપણે $\sin \theta + \cos^3 \theta + \tan^5 \theta$ પદાવલિની કિંમત મેળવીએ.
$\theta = \pi$ મૂકતા: $\sin \pi + \cos^3 \pi + \tan^5 \pi = 0 + (-1)^3 + 0 = -1$.

(D) આપેલ છે કે $a$,$b$,અને $c$ શૂન્યતર સદિશો છે અને તેમાંથી કોઈ પણ બે સમરેખ નથી.
સદિશ $a + 2b$ એ $c$ સાથે સમરેખ હોવાથી,$a + 2b = m c$ થાય,જ્યાં $m$ કોઈ શૂન્યતર અદિશ છે $(i)$.
સદિશ $b + 3c$ એ $a$ સાથે સમરેખ હોવાથી,$b + 3c = n a$ થાય,જ્યાં $n$ કોઈ શૂન્યતર અદિશ છે $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$b = n a - 3c$ મળે.
આ કિંમતને $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 2(n a - 3c) = m c$
$a + 2n a - 6c = m c$
$(1 + 2n) a = (m + 6) c$
અહીં $a$ અને $c$ અસમરેખ હોવાથી,તેમના સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ:
$1 + 2n = 0 \Rightarrow n = -\frac{1}{2}$
$m + 6 = 0 \Rightarrow m = -6$
$m = -6$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 2b = -6c$
$a + 2b + 6c = 0$.

(B) આપેલ છે કે $|u+v|=|u-v|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$|u+v|^2 = |u-v|^2$
$(u+v) \cdot (u+v) = (u-v) \cdot (u-v)$
$|u|^2 + |v|^2 + 2(u \cdot v) = |u|^2 + |v|^2 - 2(u \cdot v)$
$2(u \cdot v) = -2(u \cdot v)$
$4(u \cdot v) = 0$
$u \cdot v = 0$
બે શૂન્યતર સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી,સદિશો $u$ અને $v$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$ થાય.
વળી,$a+b$ પણ એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+b| = 1$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a+b|^2 = 1^2 = 1$ મળે.
ગુણધર્મ $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1$
$1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$
$2 + 2(a \cdot b) = 1$
$2(a \cdot b) = -1$
$a \cdot b = -\frac{1}{2}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે:
$(1)(1) \cos \theta = -\frac{1}{2}$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $p$ એ $a$ અને $b$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો એકમ સદિશ છે. કારણ કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,સદિશ $a+b$ એ $a$ અને $b$ ના ખૂણાના દ્વિભાજક પર આવેલો છે.
તેથી,$p = \lambda(a+b)$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
કારણ કે $p$ એકમ સદિશ છે,$|p| = 1$.
$|p|^2 = \lambda^2 |a+b|^2 = 1$.
$|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 4 \cos^2 (\theta / 2)$.
તેથી,$\lambda^2 (4 \cos^2 (\theta / 2)) = 1$.
$\lambda = \frac{1}{2 \cos (\theta / 2)}$.
તેથી,$p = \frac{a+b}{2 \cos (\theta / 2)}$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{v} = \vec{b} + \vec{c} = (\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 6^2 + (-2)^2}} = \frac{(\lambda + 2) \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}}$.
$\vec{a}$ અને $\hat{u}$ નો અદિશ ગુણાકાર $1$ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \hat{u} = 1$.
$\frac{(\lambda + 2)(1) + (6)(1) + (-2)(1)}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 2 + 6 - 2}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\frac{\lambda + 6}{\sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}} = 1$.
$\lambda + 6 = \sqrt{(\lambda + 2)^2 + 40}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\lambda + 6)^2 = (\lambda + 2)^2 + 40$.
$\lambda^2 + 12\lambda + 36 = \lambda^2 + 4\lambda + 4 + 40$.
$12\lambda + 36 = 4\lambda + 44$.
$8\lambda = 8$.
$\lambda = 1$.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $A$ પર છે. તેથી $\vec{A} = 0$,$\vec{B} = u$,અને $\vec{C} = v$.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{D} = \frac{u+v}{2}$ છે.
$\triangle ABD$ માં,ધારો કે $M$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે. શિરોબિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $BM$ છે.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{D}}{2} = \frac{0 + \frac{u+v}{2}}{2} = \frac{u+v}{4}$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{BM} = \vec{M} - \vec{B} = \frac{u+v}{4} - u = \frac{u+v-4u}{4} = \frac{v-3u}{4}$.
મધ્યગાની લંબાઈ $|\overrightarrow{BM}| = |\frac{v-3u}{4}| = \frac{|v-3u|}{4}$ થાય.

(A) ધારો કે જરૂરી સદિશ $d$ એ $b$ અને $c$ ના સમતલમાં છે. તેથી,કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે $d = b + \lambda c$ થાય.
આપેલ સદિશો મૂકતા:
$d = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 + \lambda)\hat{j} - (1 + 2\lambda)\hat{k}$.
$d$ નો $a$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|d \cdot a|}{|a|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,$a \cdot d$ ની ગણતરી કરો:
$a \cdot d = 2(1 + \lambda) - 1(2 + \lambda) + 1(-1 - 2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$.
આગળ,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$|-\lambda - 1| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $-\lambda - 1 = 2$ અથવા $-\lambda - 1 = -2$.
જો $-\lambda - 1 = 2$ હોય,તો $\lambda = -3$.
$d$ માં $\lambda = -3$ મૂકતા:
$d = (1 - 3)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} - (1 - 6)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
આ વિકલ્પ $A$ સાથે સુસંગત છે.

(B) $A(a+2b-5c)$ અને $B(-a-2b-3c)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = A + \lambda_1(B-A)$ છે.
$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(-2a-4b+2c) = (a+2b-5c) + \lambda_1'(a+2b-c)$ જ્યાં $\lambda_1' = -2\lambda_1$.
સરળતા માટે,$r = (a+2b-5c) + \lambda_1(a+2b-c)$ $(i)$ લો.
$C(-4c)$ અને $D(6a-4b+4c)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $r = C + \lambda_2(D-C)$ છે.
$r = -4c + \lambda_2(6a-4b+8c) = -4c + 2\lambda_2(3a-2b+4c)$ (ii).
છેદબિંદુ માટે $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$(1+\lambda_1)a + (2+2\lambda_1)b + (-5-\lambda_1)c = (6\lambda_2)a + (-4\lambda_2)b + (-4+8\lambda_2)c$.
$a, b, c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1+\lambda_1 = 6\lambda_2$,$2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,$-5-\lambda_1 = -4+8\lambda_2$.
પ્રથમ બે સમીકરણો પરથી: $2(1+\lambda_1) = 2+2\lambda_1 = -4\lambda_2$,તેથી $2(6\lambda_2) = -4\lambda_2 \implies 16\lambda_2 = 0 \implies \lambda_2 = 0$.
તેથી $\lambda_1 = -1$. છેદબિંદુ $r = -4c + 0 = -4c$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,$\mu = -3$ માટે,વિકલ્પ $B$ આપે છે $r = (3a+6b-c) - 3(a+2b+c) = 3a+6b-c-3a-6b-3c = -4c$. આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલી રેખા છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે $P, Q, R$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ છે.
$M$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{m} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$ છે.
$C$ એ $PM$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{\vec{p} + \vec{m}}{2} = \frac{\vec{p} + \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}}{2} = \frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4}$ છે.
રેખા $QC$ એ $Q$ અને $C$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $QC$ નું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{q} + t(\vec{c} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{4} - \vec{q}) = \vec{q} + t(\frac{2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}}{4})$ છે.
રેખા $PR$ એ $P$ અને $R$ માંથી પસાર થાય છે. રેખા $PR$ નું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{p} + s(\vec{r} - \vec{p}) = (1-s)\vec{p} + s\vec{r}$ છે.
છેદબિંદુ $N$ માટે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ ના સહગુણકો સરખાવતા,આપણને $t = \frac{4}{3}$ અને $s = \frac{1}{3}$ મળે છે.
આમ,$\vec{n} = (1 - \frac{1}{3})\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{r} = \frac{2\vec{p} + \vec{r}}{3}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$N$ એ $QC$ નું $t : (1-t) = \frac{4}{3} : (1 - \frac{4}{3}) = 4 : -1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
તેથી,$\overrightarrow{QN} = 4\overrightarrow{QC}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{|\overrightarrow{QN}|}{|\overrightarrow{CN}|} = 4$.