Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $|a|=|b|=|c|=\lambda$.
$a, b, c$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$ થાય.
હવે,$|a+b+c|^2 = (a+b+c) \cdot (a+b+c) = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$.
કિંમતો મૂકતા,$|a+b+c|^2 = \lambda^2 + \lambda^2 + \lambda^2 + 2(0) = 3\lambda^2$.
તેથી,$|a+b+c| = \sqrt{3}\lambda$.
ધારો કે $a$ અને $a+b+c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તો,$\cos \theta = \frac{a \cdot (a+b+c)}{|a| |a+b+c|} = \frac{a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c}{|a| |a+b+c|} = \frac{|a|^2 + 0 + 0}{|a| |a+b+c|} = \frac{\lambda^2}{\lambda \cdot \sqrt{3}\lambda} = \frac{\lambda^2}{\sqrt{3}\lambda^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) સદિશ $m$ એ $(2 \hat{i}+\hat{j})$ અને $(\hat{j}-\hat{k})$ સાથે એક જ સમતલમાં છે.
તેથી,$m = x(2 \hat{i}+\hat{j}) + y(\hat{j}-\hat{k}) = 2x \hat{i} + (x+y) \hat{j} - y \hat{k}$.
કારણ કે $m$ એ $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી:
$2x - (x+y) - y = 0 \Rightarrow x - 2y = 0 \Rightarrow x = 2y$.
$x = 2y$ ને $m$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$m = 2(2y) \hat{i} + (2y+y) \hat{j} - y \hat{k} = 4y \hat{i} + 3y \hat{j} - y \hat{k}$.
$m$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,$|m| = 1$:
$\sqrt{(4y)^2 + (3y)^2 + (-y)^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{16y^2 + 9y^2 + y^2} = 1 \Rightarrow \sqrt{26y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}$.
આમ,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$.
ઉગમબિંદુથી સમતલ $r \cdot m = a \cdot m$ પરના લંબની લંબાઈ $|a \cdot m|$ છે.
$|a \cdot m| = |(\hat{i}-\hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{\sqrt{26}}(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})| = \frac{1}{\sqrt{26}} |(1)(4) + (0)(3) + (-1)(-1)| = \frac{1}{\sqrt{26}} |4+1| = \frac{5}{\sqrt{26}}$ એકમ.

(B) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A = 2a+3b-c$,$B = 3a+4b-2c$,$C = a-2b+3c$,અને $D = a-6b+6c$ છે.
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $r = A + t(B-A)$ છે,જ્યાં $t \in R$.
$r = (2a+3b-c) + t((3a+4b-2c) - (2a+3b-c))$
$r = (2a+3b-c) + t(a+b-c) = (2+t)a + (3+t)b + (-1-t)c$ ... $(i)$
$C$ અને $D$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $r = C + s(D-C)$ છે,જ્યાં $s \in R$.
$r = (a-2b+3c) + s((a-6b+6c) - (a-2b+3c))$
$r = (a-2b+3c) + s(0a-4b+3c) = (1)a + (-2-4s)b + (3+3s)c$ ... (ii)
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,આપણે $a, b, c$ ના સહગુણકોને સરખાવીએ છીએ કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે:
$a$ માટે: $2+t = 1 \Rightarrow t = -1$.
$b$ માટે: $3+t = -2-4s \Rightarrow 3-1 = -2-4s \Rightarrow 2 = -2-4s \Rightarrow 4s = -4 \Rightarrow s = -1$.
$c$ માટે ચકાસણી: $-1-t = 3+3s \Rightarrow -1-(-1) = 3+3(-1) \Rightarrow 0 = 0$. આ સુસંગત છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $t = -1$ મૂકતા:
$r = (2-1)a + (3-1)b + (-1-(-1))c = a + 2b + 0c = a+2b$.
આમ,છેદબિંદુ $a+2b$ છે.

(C) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = 1$ અને $|b| = 1$.
કારણ કે $a+b$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|a+b| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|a+b|^2 = 1^2 = 1$ મળે છે.
નિત્યસમ $|a+b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 + 1 + 2(a \cdot b) = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2(a \cdot b) = -1$,તેથી $a \cdot b = -1/2$.
હવે,આપણે $|a-b|^2$ શોધવાની જરૂર છે.
નિત્યસમ $|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીતી કિંમતો મૂકીએ:
$|a-b|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-1/2) = 1 + 1 + 1 = 3$.

(B) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$.
કારણ કે $\vec{a} \perp (\vec{b}+\vec{c})$,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = 0$,જે સૂચવે છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \dots (i)$.
તે જ રીતે,$\vec{b} \cdot (\vec{c}+\vec{a}) = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{a} = 0 \dots (ii)$.
અને $\vec{c} \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{a} + \vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \dots (iii)$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0, \vec{b} \cdot \vec{c} = 0, \text{ અને } \vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ મળે છે.
હવે,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
કિંમતો મૂકતા,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 2(0 + 0 + 0) = 9 + 25 + 49 = 83$.
અંતે,$\sqrt{|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 - 2} = \sqrt{83 - 2} = \sqrt{81} = 9$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ એ પરિકેન્દ્ર $S$ છે. તો શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$,જ્યાં $R$ એ પરિત્રિજ્યા છે.
લંબકેન્દ્ર $O$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
સ્થાન સદિશોના સંદર્ભમાં,આ $(\vec{a} - \vec{o}) + (\vec{b} - \vec{o}) + (\vec{c} - \vec{o})$ છે.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{o}$.
કારણ કે $\vec{o} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,આપણે આને પદાવલિમાં મૂકીએ છીએ:
$= \vec{o} - 3\vec{o} = -2\vec{o}$.
કારણ કે ઉગમબિંદુ $S$ છે,$\vec{o}$ એ સદિશ $\vec{SO}$ છે.
આમ,$\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = -2\vec{SO} = 2\vec{OS}$.

(D) આપેલ છે: $|a|=3, |b|=4$ અને ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|4a+3b|^2 = (4a+3b) \cdot (4a+3b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24(a \cdot b)$.
$= 16|a|^2 + 9|b|^2 + 24|a||b| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $16(3)^2 + 9(4)^2 + 24(3)(4) \cos(120^{\circ})$.
$= 16(9) + 9(16) + 288 \times (-1/2)$.
$= 144 + 144 - 144 = 144$.
તેથી,$|4a+3b| = \sqrt{144} = 12$.

(B) આપેલ છે કે $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = |\hat{b}| = |\hat{c}| = 1$.
આપેલ છે કે $\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ સદિશનો તેની સાથે જ ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$(\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) \cdot (\hat{a}+\hat{b}+\hat{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0} = 0$.
ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\hat{a} \cdot \hat{a} + \hat{b} \cdot \hat{b} + \hat{c} \cdot \hat{c} + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$.
કારણ કે $|\hat{a}|^2 = \hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,તેથી:
$1 + 1 + 1 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$.
$3 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = 0$.
$2(\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a}) = -3$.
તેથી,$\hat{a} \cdot \hat{b} + \hat{b} \cdot \hat{c} + \hat{c} \cdot \hat{a} = -\frac{3}{2}$.

(A) આપેલ શરત છે: $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ ...$(i)$
અહીં $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ થાય.
ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$\vec{a}+\vec{b}=-\vec{c}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\vec{a}+\vec{b})^2 = (-\vec{c})^2$.
વિસ્તરણ કરતા: $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = |\vec{c}|^2$.
કિંમતો મૂકતા: $1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta = 1^2$.
$1 + 1 + 2 \cos \theta = 1$.
$2 + 2 \cos \theta = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$.

(C) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}-2\hat{j}-6\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3\hat{i}-4\hat{j}-4\hat{k}) - (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$ છે.
હવે,$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1+4+36} = \sqrt{41}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+9+25} = \sqrt{35}$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (-1)(1) + (-2)(-3) + (-6)(-5) = -1 + 6 + 30 = 35$.
$\cos A = \frac{35}{\sqrt{41} \sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{41}}$.
તેથી,$\cos^2 A = \frac{35}{41}$.

(D) ધારો કે $\overrightarrow{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \hat{i} = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a_1 = 1$.
આગળ,$\overrightarrow{a} \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{j}) = 1$.
આનાથી $2a_1 + a_2 = 1$ મળે છે. $a_1 = 1$ મૂકતા,$2(1) + a_2 = 1$,તેથી $a_2 = -1$.
છેલ્લે,$\overrightarrow{a} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$,તેથી $(a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}) = 1$.
આનાથી $a_1 + a_2 + 3a_3 = 1$ મળે છે. $a_1 = 1$ અને $a_2 = -1$ મૂકતા,$1 - 1 + 3a_3 = 1$,તેથી $3a_3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a_3 = \frac{1}{3}$.
આમ,$\overrightarrow{a} = \hat{i} - \hat{j} + \frac{1}{3} \hat{k} = \frac{1}{3}(3 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k})$.

(C) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = \lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}$.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
ઘટકોને મૂકતા:
$(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (\lambda\hat{i} - 4\hat{j} + \hat{k}) = 0$
અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$(1)(\lambda) + (3)(-4) + (4)(1) = 0$
$\lambda - 12 + 4 = 0$
$\lambda - 8 = 0$
$\lambda = 8$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(3, -4, -4)$ છે.
બાજુઓના સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$
$a = |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
$b = |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$
કાટકોણ ત્રિકોણની શરત $(a^2 + b^2 = c^2)$ તપાસતા:
$a^2 + b^2 = 6 + 35 = 41$
$c^2 = 41$
આમ,$a^2 + b^2 = c^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $|\bar{a}-\bar{b}|^2+|\bar{b}-\bar{c}|^2+|\bar{c}-\bar{a}|^2=15$.
આ $(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{b}|^2+|\bar{c}|^2-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (|\bar{c}|^2+|\bar{a}|^2-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$ બને છે.
એકમ સદિશના મૂલ્યો મૂકતા: $(1+1-2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1-2\bar{b} \cdot \bar{c}) + (1+1-2\bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$.
$6 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 15$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -\frac{9}{2}$.
હવે,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 1 + 1 + 1 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
અગાઉના પગલા પરથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = -\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}$.
આ કિંમત મૂકતા: $|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 = 3 - 2(-\frac{9}{2} - \bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 3 + 9 + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) + 2(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12 + 4(\bar{b} \cdot \bar{c})$.
તેથી,$|\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}|^2 - 4(\bar{b} \cdot \bar{c}) = 12$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1, |\bar{c}|=1$.
કારણ કે $\bar{a} \perp \bar{b}$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$.
આપેલ છે કે $(\bar{a}-\bar{c}) \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{c} \cdot \bar{b} - |\bar{c}|^2 = 0$.
કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ અને $|\bar{c}|^2 = 1$,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$.
આપેલ છે $\bar{c} = l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})$.
$\bar{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\bar{c} \cdot \bar{a} = l(\bar{a} \cdot \bar{a}) + m(\bar{b} \cdot \bar{a}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a} = l(1) + m(0) + 0 = l$.
$\bar{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા: $\bar{c} \cdot \bar{b} = l(\bar{a} \cdot \bar{b}) + m(\bar{b} \cdot \bar{b}) + n(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{b} = l(0) + m(1) + 0 = m$.
આ કિંમતોને $\bar{a} \cdot \bar{c} - \bar{b} \cdot \bar{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $l - m = 1$ મળે છે.
વળી,$|\bar{c}|^2 = 1 \implies (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) \cdot (l\bar{a} + m\bar{b} + n(\bar{a} \times \bar{b})) = 1$.
કારણ કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}$ પરસ્પર લંબ છે,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}|\sin(90^{\circ}) = 1$.
તેથી,$l^2 + m^2 + n^2(1)^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 = 1 - l^2 - m^2$.

(D) $\angle BAC$ શોધવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ વચ્ચેનો ખૂણો શોધવો પડશે.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = B - A = (5-0, 0-4, 12-(-3)) = (5, -4, 15)$
$\vec{AC} = C - A = (7-0, 24-4, 0-(-3)) = (7, 20, 3)$
ત્યારબાદ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ શોધો:
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (5)(7) + (-4)(20) + (15)(3) = 35 - 80 + 45 = 0$
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\angle BAC = 90^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = 4\bar{i} + 3\bar{j}$. $\bar{b}$ એ $XOY$-સમતલમાં $\bar{a}$ ને લંબ હોવાથી,$\bar{b}$ એ $3\bar{i} - 4\bar{j}$ અથવા $-3\bar{i} + 4\bar{j}$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ. ધારો કે $\bar{b} = 3\bar{i} - 4\bar{j}$.
ધારો કે $\bar{c} = x\bar{i} + y\bar{j}$.
$\bar{c}$ નો $\bar{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = 1$ છે,તેથી $\frac{4x + 3y}{5} = 1 \implies 4x + 3y = 5$.
$\bar{c}$ નો $\bar{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{c} \cdot \bar{b}}{|\bar{b}|} = 2$ છે,તેથી $\frac{3x - 4y}{5} = 2 \implies 3x - 4y = 10$.
સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા: $16x + 12y = 20$ અને $9x - 12y = 30$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $25x = 50 \implies x = 2$.
$x = 2$ ને $4x + 3y = 5$ માં મુકતા: $8 + 3y = 5 \implies 3y = -3 \implies y = -1$.
આમ,$\bar{c} = 2\bar{i} - \bar{j}$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) ઋણ હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (cx)(x) + (-6)(2) + (3)(2cx) = cx^2 - 12 + 6cx$.
આપણે તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે $cx^2 + 6cx - 12 < 0$ ની જરૂર છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C < 0$ તમામ $x$ માટે સાચું હોય તે માટે $x^2$ નો સહગુણક ઋણ $(A < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક (discriminant) ઋણ $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
અહીં,$A = c$,$B = 6c$,અને $C = -12$.
શરત $1$: $c < 0$.
શરત $2$: $D = B^2 - 4AC = (6c)^2 - 4(c)(-12) = 36c^2 + 48c < 0$.
$12c(3c + 4) < 0$.
બીજ $c = 0$ અને $c = -4/3$ છે.
અસમતા સાચી રહે તે માટે,$c$ એ બીજની વચ્ચે હોવું જોઈએ: $-4/3 < c < 0$.
આમ,$c$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સમૂહ $\left(-\frac{4}{3}, 0\right)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{f}, \vec{g},$ અને $\vec{h}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે.
તેથી,$\vec{f} \cdot \vec{g} = \vec{g} \cdot \vec{h} = \vec{f} \cdot \vec{h} = 0$.
ધારો કે $|\vec{f}| = |\vec{g}| = |\vec{h}| = k$.
હવે,ધારો કે $\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}$ અને $\vec{h}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી,$(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| |\vec{h}| \cos \theta$.
કારણ કે $\vec{f} \cdot \vec{h} = 0$ અને $\vec{g} \cdot \vec{h} = 0$,આપણને મળે છે $(\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}) \cdot \vec{h} = |\vec{h}|^2 = k^2$.
વળી,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}|^2 = |\vec{f}|^2 + |\vec{g}|^2 + |\vec{h}|^2 + 2(\vec{f} \cdot \vec{g} + \vec{g} \cdot \vec{h} + \vec{h} \cdot \vec{f}) = k^2 + k^2 + k^2 = 3k^2$.
તેથી,$|\vec{f}+\vec{g}+\vec{h}| = \sqrt{3}k$.
આ કિંમતોને ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રમાં મૂકતા: $k^2 = (\sqrt{3}k)(k) \cos \theta$.
$\cos \theta = \frac{k^2}{\sqrt{3}k^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
કારણ કે $\vec{c}$ અને $\vec{d}$ પરસ્પર લંબ છે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.
$\vec{c}$ અને $\vec{d}$ ની કિંમતો મૂકતા: $(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $5|\vec{a}|^2 - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8|\vec{b}|^2 = 0$.
$|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$ મૂકતા: $5(1)^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(1)^2 = 0$.
$5 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 = 0 \Rightarrow 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ: $|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$.
$(1)(1) \cos \theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{AB} = 3 \overrightarrow{AM}$ અને $\overrightarrow{AN} = K \overrightarrow{AC}$.
કારણ કે $\overrightarrow{BN} \perp \overrightarrow{CM}$,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\overrightarrow{BN} \cdot \overrightarrow{CM} = 0$.
આપણે લખી શકીએ કે $\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AB} = K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ અને $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$.
હવે,$(K \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) \cdot (\frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{K}{3} (\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB}) - K |\overrightarrow{AC}|^2 - \frac{1}{3} |\overrightarrow{AB}|^2 + (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}) = 0$.
$ABC$ એ $a$ બાજુવાળો સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = a$ અને $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2 \cos(60^{\circ}) = \frac{a^2}{2}$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{K}{3} (\frac{a^2}{2}) - K a^2 - \frac{1}{3} a^2 + \frac{a^2}{2} = 0$.
$\frac{K a^2}{6} - K a^2 = \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{2}$.
$-\frac{5K a^2}{6} = -\frac{a^2}{6}$.
$K = \frac{1}{5}$.

(D) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} - 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d}_1 = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d}_2 = \vec{a} - \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{d}_1 = (2+1)\hat{i} + (4+2)\hat{j} + (-5+3)\hat{k} = 3 \hat{i} + 6 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{d}_2 = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (-5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$.
ધારો કે વિકર્ણો $\vec{d}_1$ અને $\vec{d}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2|}{||\vec{d}_1|| ||\vec{d}_2||}$ છે.
$\vec{d}_1 \cdot \vec{d}_2 = (3)(1) + (6)(2) + (-2)(-8) = 3 + 12 + 16 = 31$.
$||\vec{d}_1|| = \sqrt{3^2 + 6^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
$||\vec{d}_2|| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 4 + 64} = \sqrt{69}$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{31}{7 \sqrt{69}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{31}{7 \sqrt{69}}\right)$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{f} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{g} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$\vec{f}$ નો $\vec{g}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર $\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \left( \frac{\vec{f} \cdot \vec{g}}{|\vec{g}|^2} \right) \vec{g}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{f} \cdot \vec{g} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(3) = 2 - 1 + 3 = 4$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{g}$ ના માનનો વર્ગ $|\vec{g}|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$ મેળવો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{proj}_{\vec{g}} \vec{f} = \frac{4}{14} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}) = \frac{2}{7} (2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{OP} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OQ} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
$\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\cos \theta = \frac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| |\vec{OQ}|}$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (0)(4) + (1)(-2) + (2)(1) = 0 - 2 + 2 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,તેથી સદિશો પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(B) $\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ સદિશ શોધવાનું સૂત્ર $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (3)(-2) + (3)(1) = 2 - 6 + 3 = -1$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{b}$ ના માનનો વર્ગ $|\vec{b}|^2 = (1)^2 + (-2)^2 + (1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ મેળવો.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{-1}{6} (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = \frac{1}{6} (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.

(B) બે સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{u} = 2 \vec{a}$ અને $\vec{v} = \frac{\vec{b}}{2}$ છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{(2 \vec{a}) \cdot (\frac{\vec{b}}{2})}{|2 \vec{a}| |\frac{\vec{b}}{2}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-4)(\sqrt{2}) + (2)(-\sqrt{2}) + (4)(0) = -4 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = -6 \sqrt{2}$ ગણો.
ત્યારબાદ,માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{-6 \sqrt{2}}{6 \times 2} = \frac{-6 \sqrt{2}}{12} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,$\theta = 135^{\circ}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $\vec{a} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આપેલ છે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ અને $\cos \theta = \frac{4}{21}$.
સૂત્ર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ મુજબ,$4 = 7 \cdot |\vec{b}| \cdot \frac{4}{21}$.
$4 = |\vec{b}| \cdot \frac{4}{3} \Rightarrow |\vec{b}| = 3$.
વિકલ્પ $(d)$ ચકાસતા: $\vec{a} + \vec{b} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} + 8 \hat{k}$.

(B) ધારો કે $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}) + t(6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (2 + 6t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (-2 - 3t)\hat{k}$.
માન $|\vec{c}|$ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$|\vec{c}|^2$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $f(t) = |\vec{c}|^2 = (2 + 6t)^2 + (-1 + 2t)^2 + (-2 - 3t)^2$.
$f(t) = (4 + 24t + 36t^2) + (1 - 4t + 4t^2) + (4 + 12t + 9t^2) = 49t^2 + 32t + 9$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$f'(t) = 98t + 32 = 0$.
$t = -\frac{32}{98} = -\frac{16}{49}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,જો પ્રશ્નનો હેતુ પ્રક્ષેપ અથવા ચોક્કસ અદિશ ગુણાકારને ન્યૂનતમ કરવાનો હોય,તો સામાન્ય રીતે $t = -\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$ મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 16$ અને $|\vec{b}|^2 = 49$ ગણતા,$t = -\frac{16}{49}$ મળે છે. જો સદિશ $\vec{b}$ માં ભૂલ હોય અને તે $4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ હોય,તો $t = -\frac{1}{4}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\vec{a}| = 1$ અને $|\vec{b}| = 1$.
આપેલ છે કે $|\vec{a} - \vec{b}| = 1$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1$ મળે.
$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.
$1 + 1 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,જે સૂચવે છે કે $2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}$.
હવે,$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 1 + 2 \times \frac{1}{2} = 3$.
આમ,$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ મળે,તેથી $2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
અંતે,$2|\vec{a} + \vec{b}| \cos \frac{\theta}{2} = 2 \times \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$.

(A) આપેલ છે કે $(3 \vec{a}-5 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a}+\vec{b}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$6|\vec{a}|^2 + 3\vec{a} \cdot \vec{b} - 10\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $6|\vec{a}|^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} \dots (i)$.
વળી,$(\vec{a}+4 \vec{b}) \cdot (\vec{b}-\vec{a}) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\vec{a} \cdot \vec{b} - |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $-|\vec{a}|^2 - 3\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 0$ થાય છે.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3} \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,$\frac{6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{b}|^2}{7} = \frac{4|\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2}{3}$.
$18|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 = 28|\vec{b}|^2 - 7|\vec{a}|^2$,તેથી $25|\vec{a}|^2 = 43|\vec{b}|^2$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{\frac{43}{25}} |\vec{b}| = \frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|$.
$|\vec{a}|^2 = \frac{43}{25} |\vec{b}|^2$ ને $(ii)$ માં મૂકતા,$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{4|\vec{b}|^2 - \frac{43}{25}|\vec{b}|^2}{3} = \frac{100-43}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{57}{75} |\vec{b}|^2 = \frac{19}{25} |\vec{b}|^2$.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$,આપણને મળે છે $\cos \theta = \frac{\frac{19}{25} |\vec{b}|^2}{(\frac{\sqrt{43}}{5} |\vec{b}|) |\vec{b}|} = \frac{19}{25} \cdot \frac{5}{\sqrt{43}} = \frac{19}{5\sqrt{43}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{5\sqrt{43}}\right)$.

(C) ધારો કે $\vec{a'}, \vec{b'}, \vec{c'}$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $A', B', C'$ ના સ્થાન સદિશો છે.
સામેની બાજુઓને સમાંતર રેખાઓ શિરોબિંદુઓમાંથી દોરવામાં આવતી હોવાથી,$A$ એ $B'C'$ નું મધ્યબિંદુ છે,$B$ એ $A'C'$ નું મધ્યબિંદુ છે,અને $C$ એ $A'B'$ નું મધ્યબિંદુ છે.
મધ્યબિંદુ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{a} = \frac{\vec{b'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{b'} + \vec{c'} = 2\vec{a}$
$\vec{b} = \frac{\vec{a'} + \vec{c'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{c'} = 2\vec{b}$
$\vec{c} = \frac{\vec{a'} + \vec{b'}}{2} \implies \vec{a'} + \vec{b'} = 2\vec{c}$
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}) = 2(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
$\Delta A'B'C'$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G' = \frac{\vec{a'} + \vec{b'} + \vec{c'}}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\vec{b}+\vec{c}=-\vec{a}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{b}+\vec{c}) = (-\vec{a}) \cdot (-\vec{a})$ મળે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = |\vec{a}|^2$ થાય.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $5^2 + 3^2 + 2(5)(3) \cos \theta = 7^2$.
$25 + 9 + 30 \cos \theta = 49$.
$34 + 30 \cos \theta = 49$.
$30 \cos \theta = 15$.
$\cos \theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^{\circ}$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
જેহেতু $a$ એ $b$ અને $c$ ને સમાવતા સમતલને લંબ છે,તેથી $a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$.
$b$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $b \cdot c = |b||c| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
હવે,$|a+b+c|^2 = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a)$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા: $|a+b+c|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(0 + \frac{1}{2} + 0)$.
$|a+b+c|^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$.
તેથી,$|a+b+c| = \sqrt{4} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$.
આનું વિસ્તરણ કરતા $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ મળે.
આપેલ મૂલ્યો $|\vec{a}|=1, |\vec{b}|=3, |\vec{c}|=4$ મૂકતા:
$(1)^2+(3)^2+(4)^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$1+9+16+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$26+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) = -26$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a} = -13$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}$,$\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-7 \hat{k}$ અને $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર પરથી,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$1) \vec{r} \cdot \vec{a} = 2x + 3y + z = 9$
$2) \vec{r} \cdot \vec{b} = 4x + y = 7$
$3) \vec{r} \cdot \vec{c} = x - 3y - 7z = 6$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 7 - 4x$.
$y$ ની કિંમત $(1)$ અને $(3)$ માં મૂકતા:
$(1) \Rightarrow 2x + 3(7 - 4x) + z = 9 \Rightarrow 2x + 21 - 12x + z = 9 \Rightarrow -10x + z = -12 \Rightarrow z = 10x - 12$
$(3) \Rightarrow x - 3(7 - 4x) - 7(10x - 12) = 6$
$x - 21 + 12x - 70x + 84 = 6$
$-57x + 63 = 6$
$-57x = -57 \Rightarrow x = 1$
હવે,$y$ અને $z$ શોધીએ:
$y = 7 - 4(1) = 3$
$z = 10(1) - 12 = -2$
આમ,$(x, y, z) = (1, 3, -2)$.

(C) ધારો કે પરિવર્તિત વર્તુળનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $O$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ને સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = R$.
આપેલ છે કે $(AB)^2 + (CD)^2 = 4R^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(AB)^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}$ અને $(CD)^2 = |\vec{d} - \vec{c}|^2 = 2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(2R^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (2R^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$.
$4R^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 4R^2$.
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d}) = 0$.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{c} \cdot \vec{d} = 0$.

(D) આપેલ છે કે $|\vec{a}|=13, |\vec{b}|=5$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}=60$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $60 = 13 \times 5 \times \cos \theta = 65 \cos \theta$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{60}{65} = \frac{12}{13}$.
હવે,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$.
આમ,$\sin \theta = \frac{5}{13}$.
આપણે એ પણ જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
કિંમતો મૂકતા: $|\vec{a} \times \vec{b}| = 13 \times 5 \times \frac{5}{13} = 25$.

(C) ધારો કે $\vec{u} = \sqrt{P^2-4} \hat{i} + P \hat{j} + \sqrt{P^2+4} \hat{k}$ અને $\vec{v} = \tan A \hat{i} + \tan B \hat{j} + \tan C \hat{k}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec{u} \cdot \vec{v} = \sqrt{P^2-4} \tan A + P \tan B + \sqrt{P^2+4} \tan C = 6P$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,$\vec{u}$ નું માન શોધો:
$|\vec{u}| = \sqrt{(\sqrt{P^2-4})^2 + P^2 + (\sqrt{P^2+4})^2} = \sqrt{P^2-4 + P^2 + P^2+4} = \sqrt{3P^2} = \sqrt{3} |P|$.
તેથી,$|\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta = \sqrt{3} |P| \sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} \cos \theta = 6P$.
$|P| \geq 2$ હોવાથી,$\sqrt{\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C} = \frac{6P}{\sqrt{3} P \cos \theta} = 2\sqrt{3} \sec \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\tan^2 A + \tan^2 B + \tan^2 C = (2\sqrt{3})^2 \sec^2 \theta = 12 \sec^2 \theta$.
$\sec^2 \theta \geq 1$ હોવાથી,ન્યૂનતમ કિંમત $12(1) = 12$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $a \times b = 2(a \times c)$,તેથી આપણે લખી શકીએ $a \times (b - 2c) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(b - 2c)$ એ $a$ ને સમાંતર છે.
$b - 2c = \lambda a$ હોવાથી,આપણે તેનું માનનો વર્ગ શોધીએ:
$|b - 2c|^2 = |b|^2 + 4|c|^2 - 4(b \cdot c)$.
અહીં $|b| = 4$,$|c| = 1$,અને $b$ તથા $c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{4}\right)$ છે,તેથી $b \cdot c = |b||c| \cos \theta = 4 \times 1 \times \frac{1}{4} = 1$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$|b - 2c|^2 = 4^2 + 4(1)^2 - 4(1) = 16 + 4 - 4 = 16$.
$b - 2c = \lambda a$ હોવાથી,$|\lambda a|^2 = 16$,જેનો અર્થ છે $\lambda^2 |a|^2 = 16$.
$|a| = 1$ હોવાથી,$\lambda^2 = 16$,તેથી $\lambda = \pm 4$.
આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $4$ છે.

(D) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$(\lambda \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \cdot (2 \lambda \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}) = 0$
$2 \lambda^2 + 3 \lambda + 5 = 0$
આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે,વિવેચક $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(5) = 9 - 40 = -31$ મળે છે.
અહીં $D < 0$ હોવાથી,$\lambda$ ની કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $\phi$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\bar{b} = \sqrt{2} \hat{i} + 3 \sqrt{2} \hat{j} + 4 \hat{k}$.
અહીં $|\bar{b}| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (3 \sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{2 + 18 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos(45^{\circ})$.
$\bar{a} \cdot \bar{b} = a_1(\sqrt{2}) + a_2(3 \sqrt{2}) + a_3(4) = \sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3$.
તેથી,$\sqrt{2}(a_1 + 3a_2) + 4a_3 = |\bar{a}| \cdot 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} |\bar{a}|$.
ગોઠવતા,આપણને મળે $\sqrt{2}(a_1 + 3a_2 - 3|\bar{a}|) + 4a_3 = 0$.
$a_1, a_2, a_3$ અને $|\bar{a}|$ સંમેય હોવાથી,સમીકરણ સંતોષવા માટે અસંમેય ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ અને સંમેય ભાગ પણ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$4a_3 = 0 \Rightarrow a_3 = 0$.
$a_3 = 0$ હોવાથી,સદિશ $\bar{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j}$ એ $XY$-સમતલમાં આવેલું છે.

(A) આપેલ છે: $a = 4 \hat{i} + 6 \hat{j}$ અને $b = 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$a$ નો $b$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $c = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $a \cdot b = (4 \hat{i} + 6 \hat{j}) \cdot (3 \hat{j} + 4 \hat{k}) = (4 \times 0) + (6 \times 3) + (0 \times 4) = 18$ શોધો.
ત્યારબાદ,$|b|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ શોધો.
આમ,$c = \left( \frac{18}{25} \right) b$.
હવે,માન $|c| = \left| \frac{18}{25} \right| |b| = \frac{18}{25} \times \sqrt{3^2 + 4^2} = \frac{18}{25} \times 5 = \frac{18}{5}$ શોધો.
તેથી,$c = \frac{18}{25} b$ અને $|c| = \frac{18}{5}$ થાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$(\vec{a}+t \vec{b}) \cdot (\vec{a}-t \vec{b}) = 0$
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a}|^2 - t(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t(\vec{b} \cdot \vec{a}) - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
અદિશ ગુણાકાર ક્રમનો નિયમ પાળે છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$,પરિણામે વચ્ચેના પદો ઉડી જશે:
$|\vec{a}|^2 - t^2|\vec{b}|^2 = 0$
આપેલ કિંમતો $|\vec{a}|=2$ અને $|\vec{b}|=3$ મૂકતા:
$2^2 - t^2(3^2) = 0$
$4 - 9t^2 = 0$
$9t^2 = 4$
$t^2 = \frac{4}{9}$
$t = \pm \frac{2}{3}$
અહીં $t$ એ ધન અદિશ હોવાથી,$t = \frac{2}{3}$ મળે છે.