Mix Examples of Relation and Function Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $2{e^{\left| x \right|}}{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = 1$ છે.
આને $2{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = \frac{1}{{{e^{\left| x \right|}}}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે,જે $2{\tan ^{ - 1}}\left| x \right| = {e^{ - \left| x \right|}}$ ને સમાન છે.
ધારો કે $f(x) = 2{\tan ^{ - 1}}\left| x \right|$ અને $g(x) = {e^{ - \left| x \right|}}$ છે.
બંને વિધેયો $f(x)$ અને $g(x)$ યુગ્મ વિધેયો છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
$x \ge 0$ માટે,$f(x) = 2{\tan ^{ - 1}}x$ એ $f(0) = 0$ થી શરૂ થતું અને $x \to \infty$ થાય ત્યારે $\pi$ ની નજીક જતું ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$x \ge 0$ માટે,$g(x) = {e^{ - x}}$ એ $g(0) = 1$ થી શરૂ થતું અને $x \to \infty$ થાય ત્યારે $0$ ની નજીક જતું ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
કારણ કે $x > 0$ માટે $f(x)$ વધતું વિધેય છે અને $g(x)$ ઘટતું વિધેય છે,અને $f(0) < g(0)$ ($0 < 1$ હોવાથી) જ્યારે $\lim_{x \to \infty} f(x) > \lim_{x \to \infty} g(x)$ ($\pi > 0$ હોવાથી),તેથી $x > 0$ માટે બરાબર એક છેદબિંદુ હોવું જોઈએ.
સંમિતિને કારણે,$x < 0$ માટે પણ બરાબર એક છેદબિંદુ હશે.
આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

(C) $f(x)$ યુગ્મ વિધેય હોવા માટે,$f(x) = f(-x)$ થવું જોઈએ.
$f(-x) = -Ax^3 + Bx - \tan x \cdot \text{sgn}(x)$.
$f(x) = f(-x)$ માટે $2Ax^3 - 2Bx = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $A = 0$ અને $B = 0$.
$A = 0 \Rightarrow \sin \alpha = \frac{1}{2}$.
$B = 0 \Rightarrow \tan \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\alpha \in [-\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ માટે,સામાન્ય ઉકેલ $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ અને $\alpha = -\frac{7\pi}{6}$ મળે છે.
આમ,કુલ $2$ મૂલ્યો મળે છે.

(D) વિધેય $g(x) = ||x + 2| - 3|$ છે.
સાપેક્ષ ન્યૂનતમ અને મહત્તમ શોધવા માટે,આપણે $g(x)$ ના આલેખનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ.
આંતરિક વિધેય $f(x) = |x + 2| - 3$ એ $x = -2$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત $-3$ ધરાવે છે.
માનાંક વિધેય $g(x) = |f(x)|$ એ $f(x)$ ના ઋણ ભાગને $x$-અક્ષની સાપેક્ષે પ્રતિબિંબિત કરે છે.
આમ,$g(x)$ ને $x = -5$ અને $x = 1$ આગળ સાપેક્ષ ન્યૂનતમ કિંમત $0$ મળે છે. તેથી $a = 2$.
$x = -2$ આગળ સાપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $3$ મળે છે. તેથી $b = 1$.
$g(x)$ ના શૂન્યો $|x + 2| - 3 = 0$ ઉકેલવાથી મળે છે,જે $x = 1$ અને $x = -5$ છે.
શૂન્યોનો ગુણાકાર $c = 1 \times (-5) = -5$ છે.
હવે,$(a + 2b - c) = 2 + 2(1) - (-5) = 2 + 2 + 5 = 9$.

(C) આપેલ છે કે $f'(x) > 0$,તેથી $f(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આપેલ છે કે $g'(x) < 0$,તેથી $g(x)$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
ધારો કે $u = |x| - 1$ અને $v = |x| + 1$. સ્પષ્ટ છે કે $u < v$.
$f$ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(u) < f(v)$.
$g$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,$g(f(u)) > g(f(v))$,જેનો અર્થ છે કે $g(f(|x| - 1)) > g(f(|x| + 1))$. આમ વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$f$ વધતું વિધેય હોવાથી,$f(f(u)) < f(f(v))$,જેનો અર્થ છે કે $f(f(|x| - 1)) < f(f(|x| + 1))$. આમ વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$g$ ઘટતું વિધેય હોવાથી,$g(u) > g(v)$. ફરીથી $g$ લાગુ પાડતા (જે ઘટતું વિધેય છે),$g(g(u)) < g(g(v))$.
તેથી,$g(g(|x| - 1)) < g(g(|x| + 1))$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે સુસંગત છે.

(D) દરેક વિકલ્પનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$1$. $\sqrt{x^2} = |x|$ માટે,વર્ગમૂળની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sqrt{x^2}$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે અને તે $x$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે. આ સાચું છે.
$2$. $x^{x+1} = x \cdot x^x$ માટે,ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$x^1 \cdot x^x = x^{1+x} = x^{x+1}$. આ સાચું છે.
$3$. $\frac{|x|}{x}$ માટે,જો $x > 0$ હોય,તો $|x| = x$,તેથી $\frac{x}{x} = 1$. જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,તેથી $\frac{-x}{x} = -1$. આ સાચું છે.
આમ,બધા જ વિધાનો સાચા હોવાથી,જવાબ $D$ છે.

(A) આપણને $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$ આપેલ છે.
$x > 0$ હોવાથી,$\sqrt{x^2 + x} > 0$ થાય. વળી,$\alpha \in (0, \pi/2)$ માટે $\tan^2 \alpha > 0$ થાય.
બે ધન પદો $a$ અને $b$ માટે સમાંતર મધ્યક-ગુણોત્તર મધ્યક $(AM \geq GM)$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ અથવા $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ મળે.
ધારો કે $a = \sqrt{x^2 + x}$ અને $b = \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$.
તેથી $f(x) = a + b \geq 2\sqrt{a \cdot b}$.
$f(x) \geq 2\sqrt{\sqrt{x^2 + x} \cdot \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}}$.
$f(x) \geq 2\sqrt{\tan^2 \alpha}$.
$\alpha \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\tan \alpha > 0$ થાય,તેથી $\sqrt{\tan^2 \alpha} = \tan \alpha$.
આમ,$f(x) \geq 2 \tan \alpha$.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2}$ છે.
પ્રથમ,$f(-x)$ ની ગણતરી કરીને સંમિતતા તપાસો:
$f(-x) = - \frac{|-x|^3 + |-x|}{1 + (-x)^2} = - \frac{|x|^3 + |x|}{1 + x^2} = f(x)$.
કારણ કે $f(-x) = f(x)$,આ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે આલેખ $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
આગળ,$f(x)$ ની નિશાની તપાસો:
કોઈપણ $x \in R$ માટે,$|x| \ge 0$ અને $x^2 \ge 0$,તેથી $|x|^3 + |x| \ge 0$ અને $1 + x^2 > 0$.
અપૂર્ણાંકની આગળ ઋણ નિશાની હોવાથી,તમામ $x \in R$ માટે $f(x) \le 0$ થાય છે.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $f(x) \le 0$ છે,વિધેયનો આલેખ ક્યારેય પ્રથમ કે બીજા ચરણમાં (જ્યાં $y > 0$ હોય છે) પ્રવેશતો નથી.
વિધેય તમામ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને $f(x) \le 0$ હોવાથી,આલેખ સંપૂર્ણપણે ત્રીજા અને ચોથા ચરણમાં આવેલો છે.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(x, g(x))$ અને $C$ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,બાજુની લંબાઈ $a$ એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$a = \sqrt{(x-0)^2 + (g(x)-0)^2} = \sqrt{x^2 + g(x)^2}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ આપેલ હોવાથી,આપણી પાસે $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2 = 1$.
$a^2$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $x^2 + g(x)^2 = 1$ મળે છે.
$g(x)$ માટે ઉકેલતા,આપણને $g(x)^2 = 1 - x^2$ મળે છે.
તેથી,$g(x) = \pm \sqrt{1 - x^2}$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \sin x + \tan x + \operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10)$.
પ્રથમ,પદ $x^2 - 6x + 10$ નું વિશ્લેષણ કરો. આને $(x-3)^2 + 1$ તરીકે લખી શકાય.
દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $(x-3)^2 \ge 0$ હોવાથી,$(x-3)^2 + 1 \ge 1$ થાય.
સાઇનમ વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ હંમેશા ધન હોવાથી,દરેક $x \in \mathbb{R}$ માટે $\operatorname{sgn}(x^2 - 6x + 10) = 1$ થાય.
આમ,વિધેય $f(x) = \sin x + \tan x + 1$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
$\sin x$ નું આવર્તમાન $2\pi$ છે અને $\tan x$ નું આવર્તમાન $\pi$ છે.
આવર્તી વિધેયોના સરવાળાનું મૂળભૂત આવર્તમાન તેમના વ્યક્તિગત આવર્તમાનોનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ છે.
$\text{LCM}(2\pi, \pi) = 2\pi$.
તેથી,વિધેય $2\pi$ આવર્તમાન ધરાવતું આવર્તી વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = -1 + |x - 2|$ અને $g(x) = 1 - |x|$.
આપણે $fog(x) = f(g(x))$ માટે અસતત બિંદુઓ શોધવાના છે.
$fog(x) = f(1 - |x|) = -1 + |(1 - |x|) - 2|$
$= -1 + |- |x| - 1|$
$= -1 + |-(|x| + 1)|$
કારણ કે $|-a| = |a|$,તેથી $|-(|x| + 1)| = ||x| + 1|$.
કારણ કે $|x| \ge 0$,તેથી $|x| + 1$ હંમેશા ધન છે,તેથી $||x| + 1| = |x| + 1$.
આમ,$fog(x) = -1 + |x| + 1 = |x|$.
વિધેય $y = |x|$ એ પ્રમાણિત માનાંક વિધેય છે,જે તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x \in \mathbb{R}$ માટે સતત છે.
તેથી,એવું કોઈ બિંદુ નથી જ્યાં $fog$ અસતત હોય.
તેથી,$fog$ જ્યાં અસતત હોય તેવા તમામ બિંદુઓનો ગણ ખાલી ગણ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
વિધેયમાં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{2x}{1+x^2}$ મૂકતા:
$f\left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \log_e \left( \frac{1 - \frac{2x}{1+x^2}}{1 + \frac{2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1+x^2-2x}{1+x^2+2x} \right)$
$= \log_e \left( \frac{(1-x)^2}{(1+x)^2} \right)$
$= \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)^2$
$= 2 \log_e \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$
$= 2f(x)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વિધેય $f(x)$ ને યુગ્મ વિધેય $f_1(x)$ અને અયુગ્મ વિધેય $f_2(x)$ ના સરવાળા તરીકે નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$f_1(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} = \frac{a^x + a^{-x}}{2}$
$f_2(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} = \frac{a^x - a^{-x}}{2}$
હવે,આપણે $f_1(x + y) + f_1(x - y)$ ની ગણતરી કરીએ:
$f_1(x + y) + f_1(x - y) = \frac{a^{x+y} + a^{-(x+y)}}{2} + \frac{a^{x-y} + a^{-(x-y)}}{2}$
$= \frac{1}{2} [a^x a^y + a^{-x} a^{-y} + a^x a^{-y} + a^{-x} a^y]$
$= \frac{1}{2} [a^x(a^y + a^{-y}) + a^{-x}(a^y + a^{-y})]$
$= \frac{1}{2} (a^x + a^{-x})(a^y + a^{-y})$
$= 2 \left( \frac{a^x + a^{-x}}{2} \right) \left( \frac{a^y + a^{-y}}{2} \right)$
$= 2 f_1(x) f_1(y)$

(D) આપેલ છે કે $f(x) = x^2$ અને $S = [0, 4]$.
પ્રથમ,$g(S) = \{x \in R : x^2 \in [0, 4]\} = \{x \in R : x^2 \leq 4\} = [-2, 2]$ શોધો.
હવે,$f(g(S)) = f([-2, 2]) = [0, 4] = S$ ની ગણતરી કરો.
$f(S) = f([0, 4]) = [0, 16]$ ની ગણતરી કરો.
વિકલ્પ $A$ તપાસો: $f(g(S)) = [0, 4]$ અને $f(S) = [0, 16]$,તેથી $f(g(S)) \neq f(S)$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $B$ તપાસો: $f(g(S)) = [0, 4] = S$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $C$ તપાસો: $g(f(S)) = g([0, 16]) = \{x \in R : x^2 \in [0, 16]\} = [-4, 4]$. કારણ કે $[-4, 4] \neq [0, 4]$,તેથી $g(f(S)) \neq S$. આ વિધાન સાચું છે.
વિકલ્પ $D$ તપાસો: $g(f(S)) = [-4, 4]$ અને $g(S) = [-2, 2]$. આમ,$g(f(S)) \neq g(S)$. તેથી,વિધાન $g(f(S)) = g(S)$ સાચું નથી.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x^{2}$ અને $g(x) = 2x + 1$.
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = x^{2} + 2x + 1$.
$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = x^{2} - (2x + 1) = x^{2} - 2x - 1$.
$(fg)(x) = f(x) \cdot g(x) = x^{2}(2x + 1) = 2x^{3} + x^{2}$.
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^{2}}{2x + 1}$,જ્યાં $g(x) \neq 0$,એટલે કે $2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}$.

આપેલ છે કે $f(x) = \sqrt{x}$ અને $g(x) = x$,જ્યાં $x \ge 0$.
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = \sqrt{x} + x$.
$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = \sqrt{x} - x$.
$(fg)(x) = f(x) \cdot g(x) = \sqrt{x} \cdot x = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^1 = x^{\frac{3}{2}}$.
$(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x}}{x} = x^{\frac{1}{2} - 1} = x^{-\frac{1}{2}}$,જ્યાં $x > 0$.

બે વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન કહેવાય જો તમામ $a \in A$ માટે $f(a) = g(a)$ હોય.
$x = -1$ માટે:
$f(-1) = (-1)^{2} - (-1) = 1 + 1 = 2$
$g(-1) = 2\left|-1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left|-\frac{3}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
તેથી,$f(-1) = g(-1)$.
$x = 0$ માટે:
$f(0) = (0)^{2} - 0 = 0$
$g(0) = 2\left|0 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
તેથી,$f(0) = g(0)$.
$x = 1$ માટે:
$f(1) = (1)^{2} - 1 = 0$
$g(1) = 2\left|1 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
તેથી,$f(1) = g(1)$.
$x = 2$ માટે:
$f(2) = (2)^{2} - 2 = 4 - 2 = 2$
$g(2) = 2\left|2 - \frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2$
તેથી,$f(2) = g(2)$.
આમ,તમામ $a \in A$ માટે $f(a) = g(a)$ હોવાથી,વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન છે.

$f, g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = x + 1$ અને $g(x) = 2x - 3$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = (x + 1) + (2x - 3) = 3x - 2$.
$(f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x + 1) - (2x - 3) = x + 1 - 2x + 3 = -x + 4$.
$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$,જ્યાં $g(x) \neq 0$.
$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x + 1}{2x - 3}$,જ્યાં $2x - 3 \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $x \neq \frac{3}{2}$.

(B) ગણ $C$ એવા તમામ વિધેયો $f: A \rightarrow B$ નો બનેલો છે જેમાં $2 \in f(A)$ હોય અને $f$ એક-એક વિધેય ન હોય.
$A$ થી $B$ પરના કુલ વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય તેની ગણતરી આ મુજબ છે: (કુલ વિધેયો) - (વિધેયો જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય).
કુલ વિધેયો = $4^3 = 64$.
વિધેયો જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય = $3^3 = 27$.
તેથી,વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય = $64 - 27 = 37$.
હવે,આપણે $37$ માંથી એવા એક-એક વિધેયોની સંખ્યા બાદ કરીશું જેમાં $2 \in f(A)$ હોય.
$A$ થી $B$ પરના એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$ છે.
આ $24$ એક-એક વિધેયોમાંથી કેટલા વિધેયોના વિસ્તારમાં $2$ નો સમાવેશ થાય છે?
કુલ એક-એક વિધેયો = $24$.
એક-એક વિધેયો જેમાં $2 \notin f(A)$ હોય = $^3P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
તેથી,એક-એક વિધેયો જેમાં $2 \in f(A)$ હોય = $24 - 6 = 18$.
તેથી,એવા વિધેયોની સંખ્યા જે એક-એક નથી અને $2 \in f(A)$ હોય તે $37 - 18 = 19$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $af(x)+\alpha f\left(\frac{1}{x}\right)=bx+\frac{\beta}{x} \quad .....(1)$
સમીકરણ $(1)$ માં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા:
$af\left(\frac{1}{x}\right)+\alpha f(x)=b\left(\frac{1}{x}\right)+\beta x \quad .....(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(a+\alpha)f(x)+(a+\alpha)f\left(\frac{1}{x}\right) = bx+\frac{\beta}{x}+\frac{b}{x}+\beta x$
$(a+\alpha)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = (b+\beta)x + (b+\beta)\frac{1}{x}$
$(a+\alpha)\left[f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = (b+\beta)\left(x+\frac{1}{x}\right)$
હવે,પદાવલિની કિંમત શોધવા માટે ગોઠવણી કરતા:
$\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}} = \frac{b+\beta}{a+\alpha}$
આપેલ છે કે $a+\alpha=1$ અને $b+\beta=2$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)}{x+\frac{1}{x}} = \frac{2}{1} = 2$

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{5^{x}}{5^{x} + \sqrt{5}}$.
નોંધો કે $f(1-x) = \frac{5^{1-x}}{5^{1-x} + \sqrt{5}} = \frac{5/5^{x}}{5/5^{x} + \sqrt{5}} = \frac{5}{5 + \sqrt{5} \cdot 5^{x}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} + 5^{x}}$.
આમ,$f(x) + f(1-x) = \frac{5^{x} + \sqrt{5}}{5^{x} + \sqrt{5}} = 1$.
શ્રેણીમાં $x = \frac{1}{20}$ થી $x = \frac{39}{20}$ સુધીના $39$ પદો છે.
$f(x) + f(1-x) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$f\left(\frac{k}{20}\right) + f\left(\frac{20-k}{20}\right) = 1$.
$k=1$ થી $19$ સુધીનો સરવાળો કરતા,આપણને $19$ જોડી મળે છે જેનો સરવાળો $1$ થાય છે,અને વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{20}{20}\right) = f(1) = \frac{5}{5+\sqrt{5}}$ છે.
સરવાળો $= 19 + f(1) = 19 + \frac{5}{5+\sqrt{5}} = 19 + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1} = \frac{20\sqrt{5}+19}{\sqrt{5}+1}$.

(A) આપેલ છે કે $f(k) = \begin{cases} k+1, & \text{જો } k \text{ એકી હોય} \\ k, & \text{જો } k \text{ બેકી હોય} \end{cases}$.
આપણને શરત $g(f(k)) = f(k)$ દરેક $k \in A$ માટે આપેલ છે.
જો $k$ બેકી હોય,તો $f(k) = k$. તેથી,$g(f(k)) = g(k) = f(k) = k$. આમ,બધા બેકી $k \in \{2, 4, 6, 8, 10\}$ માટે $g(k) = k$ થાય.
જો $k$ એકી હોય,તો $f(k) = k+1$. તેથી,$g(f(k)) = g(k+1) = f(k) = k+1$. કારણ કે $k+1$ હંમેશા બેકી સંખ્યા છે,આ સાબિત કરે છે કે $g$ એ બેકી સંખ્યાઓને પોતાની સાથે જ સાંકળે છે,જે આપણે પહેલેથી જ સ્થાપિત કર્યું છે.
એકી $k \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$ માટે,શરત $g(f(k)) = f(k)$ એ $g(k)$ ની કિંમત પર કોઈ પ્રતિબંધ મૂકતી નથી.
કારણ કે $g: A \rightarrow A$,દરેક $5$ એકી કિંમતો માટે,$g(k)$ એ $A$ ના કોઈપણ $10$ ઘટકોમાંથી હોઈ શકે છે.
તેથી,આવા વિધેયો $g$ ની કુલ સંખ્યા $10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{5}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ દરેક $m, n \in S$ માટે જ્યાં $m \cdot n \in S$.
$1$. $m=1$ લેતા,$f(n) = f(1) \cdot f(n)$,જે સૂચવે છે કે $f(1) = 1$.
$2$. $f(2), f(3), f(5), f(7)$ ની કિંમતો વિધેય નક્કી કરે છે કારણ કે $f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2)^2$ અને $f(6) = f(2 \cdot 3) = f(2) \cdot f(3)$.
$3$. કિસ્સો $1$: $f(2) = 1$. તો $f(4) = 1^2 = 1$ અને $f(6) = 1 \cdot f(3) = f(3)$.
$f(3)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો),$f(5)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો),અને $f(7)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો).
વિધેયોની સંખ્યા = $1 \times 1 \times 7 \times 1 \times 7 \times 7 = 343$.
$4$. કિસ્સો $2$: $f(2) = 2$. તો $f(4) = 2^2 = 4 \in S$ (માન્ય) અને $f(6) = 2 \cdot f(3)$.
$f(6) \in S$ માટે,$2 \cdot f(3) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.
$f(3)$ માટે શક્ય કિંમતો $1, 2, 3$ છે (કારણ કે $2 \cdot 1=2, 2 \cdot 2=4, 2 \cdot 3=6$,જે બધી $S$ માં છે).
$f(5)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો),$f(7)$ એ $S$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે ($7$ વિકલ્પો).
વિધેયોની સંખ્યા = $1 \times 3 \times 7 \times 7 = 147$.
$5$. કિસ્સો $3$: $f(2) = 3$. તો $f(4) = 3^2 = 9 \notin S$ (અમાન્ય).
કુલ વિધેયોની સંખ્યા = $343 + 147 = 490$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \log_{e}(x^{2}+1) - e^{-x} + 1$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = \frac{2x}{x^{2}+1} + e^{-x}$.
બધા $x \in R$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી,$f$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
આપેલ છે $g(x) = \frac{1-2e^{2x}}{e^{x}} = e^{-x} - 2e^{x}$.
વિકલન કરતા,$g'(x) = -e^{-x} - 2e^{x} < 0$ બધા $x \in R$ માટે.
તેથી,$g$ એ ચુસ્ત ઘટતું વિધેય છે.
અસમતા $f(g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3})) > f(g(\alpha-\frac{5}{3}))$ આપેલ છે.
$f$ વધતું હોવાથી,$g(\frac{(\alpha-1)^{2}}{3}) > g(\alpha-\frac{5}{3})$.
$g$ ઘટતું હોવાથી,$\frac{(\alpha-1)^{2}}{3} < \alpha - \frac{5}{3}$.
સાદુરૂપ આપતા,$(\alpha-1)^{2} < 3\alpha - 5$.
$\alpha^{2} - 5\alpha + 6 < 0$.
$(\alpha-2)(\alpha-3) < 0$.
તેથી,$\alpha \in (2, 3)$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e^{2(1-x)}}{e^{2(1-x)} + e}$ ધ્યાનમાં લો.
બીજા પદના અંશ અને છેદને $e^{2x}$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{2e^{2-2x} \cdot e^{2x}}{e^{2-2x} \cdot e^{2x} + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e^2}{e^2 + e^{2x+1}} = \frac{2e^2}{e^2 + e \cdot e^{2x}} = \frac{2e}{e + e^{2x}}$ મળે છે.
આમ,$f(x) + f(1-x) = \frac{2e^{2x}}{e^{2x} + e} + \frac{2e}{e^{2x} + e} = \frac{2(e^{2x} + e)}{e^{2x} + e} = 2$.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{99} f\left(\frac{k}{100}\right)$ છે.
પદોની જોડી બનાવતા $f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(1 - \frac{k}{100}\right) = f\left(\frac{k}{100}\right) + f\left(\frac{100-k}{100}\right) = 2$.
આવી $49$ જોડીઓ છે ($k=1$ થી $49$ માટે) અને વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{50}{100}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2e^{2(1/2)}}{e^{2(1/2)} + e} = \frac{2e}{e + e} = 1$.
તેથી,$S = 49 \times 2 + 1 = 98 + 1 = 99$.

(B) $(f \circ g)(x)$ માટે અસતતતાના બિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે તે બિંદુઓ તપાસીએ છીએ જ્યાં $g(x)$ અસતત છે,જ્યાં $f(u)$ અસતત છે (જ્યાં $u = g(x)$),અને જ્યાં $g(x)$ ની કિંમત તે બિંદુ જેટલી થાય છે જ્યાં $f$ અસતત છે.
$1$. $g(x)$ એ $x=0$ પર અસતત છે કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} g(x) = 1$ અને $g(0) = 0$. તેથી,$x=0$ એ $(f \circ g)$ માટે અસતતતાનું બિંદુ છે.
$2$. $f(u)$ એ $u=0$ પર અસતત છે.
$3$. આપણે $g(x) = 0$ તપાસીએ છીએ. $x \geq 0$ માટે,$(x-1)^2 - 1 = 0 \implies x=0$ અથવા $x=2$.
$4$. $x=2$ પર: $\lim_{x \to 2^+} (f \circ g)(x) = 1$ અને $\lim_{x \to 2^-} (f \circ g)(x) = 0$. તેથી,$x=2$ એ અસતતતાનું બિંદુ છે.
$5$. $x=0$ પર: $\lim_{x \to 0^-} (f \circ g)(x) = 0$ અને $\lim_{x \to 0^+} (f \circ g)(x) = 1$. તેથી,$x=0$ એ અસતતતાનું બિંદુ છે.
આમ,વિધેય $x=0$ અને $x=2$ પર અસતત છે. કુલ બે બિંદુઓ છે.

(A) ધારો કે $S = \{1, 2, 3, 4\}$. શરત $f(a, b) = f(b, a) \geq a$ સૂચવે છે કે:
$a=4$ માટે,$f(4, b) = f(b, 4) \geq 4$. સહપ્રદેશ $S$ હોવાથી,બધા $b \in S$ માટે $f(4, b) = 4$ થાય.
$a=3$ માટે,$f(3, b) = f(b, 3) \geq 3$. તેથી $f(3, 3) \in \{3, 4\}$ અને $f(3, 4) = f(4, 3) = 4$.
$a=2$ માટે,$f(2, b) = f(b, 2) \geq 2$. તેથી $f(2, 2) \in \{2, 3, 4\}$,$f(2, 3) = f(3, 2) \in \{3, 4\}$,અને $f(2, 4) = f(4, 2) = 4$.
$a=1$ માટે,$f(1, b) = f(b, 1) \geq 1$. તેથી $f(1, 1) \in \{1, 2, 3, 4\}$,$f(1, 2) = f(2, 1) \in \{2, 3, 4\}$,$f(1, 3) = f(3, 1) \in \{3, 4\}$,અને $f(1, 4) = f(4, 1) = 4$.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,વિસ્તાર $\{1, 2, 3, 4\}$ હોવો જોઈએ.
ગણતરી કરતા,વ્યાપ્ત વિધેયોની કુલ સંખ્યા $37$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A = \{x, y\}$. ગણ $A \times A = \{(x, x), (x, y), (y, x), (y, y)\}$ થાય.
$A$ પરના કુલ સંબંધોની સંખ્યા $2^{|A \times A|} = 2^4 = 16$ છે.
કોઈ સંબંધ $R$ સંમિત અને પરંપરિત હોય તો તે $A$ ના કોઈ ઉપગણ $S$ પર સામ્ય સંબંધ (equivalence relation) હોવો જોઈએ.
આવા સંબંધો નીચે મુજબ છે:
$1$. ખાલી સંબંધ: $\phi$
$2$. સંબંધ: $\{(x, x)\}$
$3$. સંબંધ: $\{(y, y)\}$
$4$. સંબંધ: $\{(x, x), (y, y)\}$
$5$. સંબંધ: $\{(x, x), (y, y), (x, y), (y, x)\}$
આમ,કુલ $5$ સંબંધો મળે છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{5}{16}$ થાય.

(D) આપેલ છે $f(x)=(c+1) x^{2}+(1-c^{2}) x+2 k$ $(1)$
આપેલ છે $f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$ તમામ $x, y \in R$ માટે.
$x=0, y=0$ મૂકતા,આપણને $f(0)=f(0)+f(0)-0 \Rightarrow f(0)=0$ મળે છે.
કારણ કે $f(0)=2k$,તેથી $2k=0 \Rightarrow k=0$.
હવે,$f(x+y)=f(x)+f(y)-x y$.
$y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $f'(x+y)=f'(y)-x$ મળે છે.
$y=0$ મૂકતા,$f'(x)=f'(0)-x$.
સંકલન કરતા,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x+C$.
કારણ કે $f(0)=0$,તેથી $C=0$.
આમ,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}+f'(0) x$.
$(1)$ સાથે સરખાવતા,$c+1=-\frac{1}{2} \Rightarrow c=-\frac{3}{2}$.
વળી,$f'(0)=1-c^{2}=1-(-\frac{3}{2})^{2}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$.
તેથી,$f(x)=-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x$.
આપણે $|2 \sum_{x=1}^{20} f(x)| = |2 \sum_{x=1}^{20} (-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{5}{4} x)| = |-\sum_{x=1}^{20} x^{2} - \frac{5}{2} \sum_{x=1}^{20} x|$ શોધવાનું છે.
$n=20$ માટે $\sum_{x=1}^{n} x^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{x=1}^{n} x = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{x=1}^{20} x^{2} = \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2870$.
$\sum_{x=1}^{20} x = \frac{20 \times 21}{2} = 210$.
મૂલ્ય $= |-(2870) - \frac{5}{2}(210)| = |-(2870 + 525)| = |-3395| = 3395$.

(B) ધારો કે પ્રદેશ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને સહ-પ્રદેશ $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$f(1) + f(2) = f(3)$ હોવાથી,$f(3)$ ની કિંમત ઓછામાં ઓછી $1 + 1 = 2$ હોવી જોઈએ. વળી,$f(3) \in B$ હોવાથી,$f(3) \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે.
દરેક $f(3)$ ની કિંમત માટે,$f(4)$ એ $B$ ના કોઈપણ $6$ ઘટકોમાંથી હોઈ શકે છે.
કિસ્સો $1$: $f(3) = 2$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 1)$ છે. કુલ $= 1 \times 6 = 6$ વિધેયો.
કિસ્સો $2$: $f(3) = 3$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 2), (2, 1)$ છે. કુલ $= 2 \times 6 = 12$ વિધેયો.
કિસ્સો $3$: $f(3) = 4$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 3), (3, 1), (2, 2)$ છે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$ વિધેયો.
કિસ્સો $4$: $f(3) = 5$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)$ છે. કુલ $= 4 \times 6 = 24$ વિધેયો.
કિસ્સો $5$: $f(3) = 6$. શક્ય જોડીઓ $(f(1), f(2))$ એ $(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)$ છે. કુલ $= 5 \times 6 = 30$ વિધેયો.
વિધેયોની કુલ સંખ્યા $= 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \alpha x^5 + \beta x^3 + \gamma x$ જ્યાં $\alpha, \beta, \gamma > 0$. $f'(x) = 5\alpha x^4 + 3\beta x^2 + \gamma > 0$ હોવાથી,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે અને તેનું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$g(f(x)) = x$ હોવાથી,$f(g(y)) = y$ થાય.
આપણે $f(g(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(g(y)) = y$ હોવાથી,આ પદ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(a_i)$ માં પરિણમે છે.
સમાંતર શ્રેણીનો મધ્યક શૂન્ય હોવાથી,$\sum_{i=1}^{n} a_i = 0$ થાય.
$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય હોવાથી,$\sum_{i=1}^{n} f(a_i) = 0$ થાય.
તેથી,અંતિમ જવાબ $0$ છે.

(C) આપેલ છે $f(\theta) = \sin(\cos \theta)$.
$f'(\theta) = -\cos(\cos \theta) \cdot \sin \theta$.
$\theta \in [0, \pi]$ માટે $\cos(\cos \theta) > 0$ અને $\sin \theta \geq 0$ હોવાથી,$f'(\theta) \leq 0$ થાય.
તેથી,$f(\theta)$ એ ઘટતું વિધેય છે.
$a = f(0) = \sin(1)$ અને $b = f(\pi) = \sin(-1) = -\sin(1)$.
આપેલ છે $g(\theta) = \cos(\sin \theta)$.
$g'(\theta) = -\sin(\sin \theta) \cdot \cos \theta$.
$\theta \in [0, \pi/2)$ માટે,$\cos \theta > 0$ અને $\sin(\sin \theta) > 0$ હોવાથી,$g'(\theta) < 0$ (ઘટતું).
$\theta \in (\pi/2, \pi]$ માટે,$\cos \theta < 0$ અને $\sin(\sin \theta) > 0$ હોવાથી,$g'(\theta) > 0$ (વધતું).
$c = \max\{g(0), g(\pi)\} = \cos(0) = 1$.
$d = g(\pi/2) = \cos(1)$.
$0 < 1 < \pi/2$ હોવાથી,$\sin(1) < 1$ અને $\cos(1) > 0$ મળે.
કિંમતો સરખાવતા: $b = -\sin(1) \approx -0.84$,$d = \cos(1) \approx 0.54$,$a = \sin(1) \approx 0.84$,$c = 1$.
આમ,$b < d < a < c$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એ $-1 < f(0) < f(1) < 1$ શરત ધરાવતું એક-એક અને સતત વિધેય છે.
$f$ એ $[0,1]$ પર સતત અને એક-એક હોવાથી,તે ચુસ્તપણે વધતું વિધેય હોવું જોઈએ.
$f$ નો વિસ્તાર $[f(0), f(1)]$ છે,જે $(-1, 1)$ નો ઉપગણ છે.
આપણે એવા વિધેયો $g:[-1,1] \rightarrow [0,1]$ શોધવાના છે કે જેથી તમામ $x \in [0,1]$ માટે $(g \circ f)(x) = x$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈપણ $y \in [f(0), f(1)]$ માટે,$g(y) = f^{-1}(y)$ થાય.
જોકે,$y \in [-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ માટે,વિધેય $g(y)$ એ $[0, 1]$ માં કોઈપણ કિંમત ધારણ કરી શકે છે કારણ કે આ કિંમતો માટે $g$ પર કોઈ પ્રતિબંધ નથી.
ગણ $[-1, 1] \setminus [f(0), f(1)]$ ખાલી નથી અને તેમાં અનંત બિંદુઓ છે,તેથી આપણે આ ગણ માટે $g(y)$ ને અનંત રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ.
તેથી,આવા અનંત વિધેયો $g$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(C) આપેલ છે કે $P(\sin^2 x) = P(\cos^2 x)$ જ્યાં $x \in [0, \pi/2)$.
ધારો કે $t = \sin^2 x$. તો $\cos^2 x = 1 - t$. $x \in [0, \pi/2)$ હોવાથી,$t \in [0, 1)$.
આમ,તમામ $t \in [0, 1)$ માટે $P(t) = P(1 - t)$ થાય. $P$ એ બહુપદી હોવાથી,તમામ $t \in \mathbb{R}$ માટે $P(t) = P(1 - t)$ થશે.
ધારો કે $u = t - 1/2$. તો $t = u + 1/2$ અને $1 - t = 1/2 - u$.
શરત $P(u + 1/2) = P(1/2 - u)$ બને છે.
ધારો કે $Q(u) = P(u + 1/2)$. તો $Q(u) = Q(-u)$,જેનો અર્થ છે કે $Q(u)$ એ $u$ નું યુગ્મ વિધેય છે.
$Q(u)$ એ યુગ્મ બહુપદી હોવાથી,તેને $u^2$ ની બહુપદી તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$u = x - 1/2$ મૂકતા,આપણને $P(x) = Q(x - 1/2)$ મળે છે,જે $(x - 1/2)^2$ માં બહુપદી છે,અથવા સમાન રીતે $(2x - 1)^2$ માં બહુપદી છે. આ વિધાન $II$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
$Q(u)$ એ યુગ્મ બહુપદી હોવાથી,તેની ઘાત યુગ્મ હોવી જોઈએ. આમ,$P(x)$ એ યુગ્મ ઘાતવાળી બહુપદી હોવી જોઈએ. આ વિધાન $III$ ની પુષ્ટિ કરે છે.
વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે $P(x) = P(1-x)$ નો અર્થ એ નથી કે $P(x) = P(-x)$ (દા.ત.,$P(x) = x(1-x)$ શરતનું પાલન કરે છે પણ તે યુગ્મ નથી).
તેથી,માત્ર $II$ અને $III$ સાચા છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{8} \sin(2 \pi x)$,$x \in [0, 1]$ માટે.
આલેખ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x \in (0, 1/2)$ માટે $f(x) > x$,$x \in (1/2, 1)$ માટે $f(x) < x$,અને $x = 0, 1/2, 1$ માટે $f(x) = x$ છે.
$x \in (0, 1/2)$ માટે,શ્રેણી $f_n(x)$ ચુસ્ત રીતે વધતી જાય છે અને $1/2$ થી ઉપર સીમિત છે,તેથી $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$.
$x \in (1/2, 1)$ માટે,શ્રેણી $f_n(x)$ ચુસ્ત રીતે ઘટતી જાય છે અને $1/2$ થી નીચે સીમિત છે,તેથી $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = 1/2$.
$x = 0$ માટે,બધા $n$ માટે $f_n(0) = 0$,તેથી લક્ષ $0$ છે.
$x = 1$ માટે,બધા $n$ માટે $f_n(1) = 1$,તેથી લક્ષ $1$ છે.
$x = 1/2$ માટે,બધા $n$ માટે $f_n(1/2) = 1/2$,તેથી લક્ષ $1/2$ છે.
આમ,બધા $x \in (0, 1)$ માટે લક્ષ $1/2$ છે. આવા અનંત $x$ હોવાથી,વિધાન $II$ સાચું છે.
વિધાન $I$ અને $III$ ખોટા છે કારણ કે લક્ષ માત્ર $x=0$ પર $0$ અને $x=1$ પર $1$ છે.
વિધાન $IV$ ખોટું છે કારણ કે બધા $x \in [0, 1]$ માટે લક્ષનું અસ્તિત્વ છે.
તેથી,માત્ર વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = [x] \sin(\pi x)$.
$1$. વિકલનીયતા: $f(x)$ એ સ્ટેપ ફંક્શન અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો ગુણાકાર છે. તે તમામ પૂર્ણાંકો $n \in \mathbb{Z}$ (સિવાય કે $n=0$) પર અસતત છે. વિકલનીયતા માટે સતત હોવું જરૂરી છે,તેથી $f(x)$ એ $\mathbb{R}$ પર વિકલનીય નથી.
$2$. સંમિતિ: $f(-x) = [-x] \sin(-\pi x) = -[-x] \sin(\pi x)$. $x \notin \mathbb{Z}$ માટે $[-x] = -[x] - 1$ હોવાથી,$f(-x) = ([x] + 1) \sin(\pi x) \neq f(x)$. તેથી,તે $x=0$ ની સાપેક્ષ સંમિત નથી.
$3$. સંકલન: $\int_{-3}^{3} [x] \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} \int_{k}^{k+1} k \sin(\pi x) \, dx = \sum_{k=-3}^{2} k \left[ -\frac{\cos(\pi x)}{\pi} \right]_{k}^{k+1} = \sum_{k=-3}^{2} \frac{k}{\pi} ((-1)^k - (-1)^{k+1}) = \sum_{k=-3}^{2} \frac{2k(-1)^k}{\pi} = \frac{2}{\pi} [3 - 2 + 1 - 0 - 1 + 2] = \frac{6}{\pi} \neq 0$.
$4$. ઉકેલો: કોઈપણ $\alpha$ માટે,વિધેય $f(x)$ એ $[x]$ દ્વારા નક્કી થતી કિંમતો વચ્ચે દોલન કરે છે. $\sin(\pi x)$ આવર્તિત હોવાથી અને $[x]$ પૂર્ણાંક કિંમતો લેતું હોવાથી,વિધેય $f(x)$ અનંત વખત $\alpha$ કિંમત ધારણ કરશે. તેથી,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) \leq 100$ અને $f(1/2) = 100$,તેથી $x = 1/2$ એ $f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત છે.
બહુપદી $f(x)$ માટે,જો તે ઉપરની તરફ સીમિત હોય તો તેનો અગ્ર સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ.
વિધાન $(A)$ સાચું છે કારણ કે જો અગ્ર સહગુણક ધન હોય,તો $x \to \infty$ માટે $f(x) \to \infty$ થાય.
વિધાન $(C)$ હંમેશા સાચું હોવું જરૂરી નથી કારણ કે $f(x)$ અન્ય કોઈ બિંદુએ પણ $100$ કિંમત ધારણ કરી શકે છે (દા.ત. $f(x) = -(x-1/2)^2(x-k)^2 + 100$). તેથી,$x \neq 1/2$ માટે $f(x) = 100$ શક્ય છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$.
પ્રથમ,તપાસો કે શું $f$ એક-એક છે: $f(0) = 1$ અને $f(1) = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 = 1$. કારણ કે $f(0) = f(1)$,તેથી $f$ એક-એક નથી.
હવે,તપાસો કે શું $f$ માત્ર ધન કિંમતો ધારણ કરે છે:
કિસ્સો $1$: જો $x \leq 0$ હોય,તો $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$. અહીં $x^{12} \geq 0$,$-x^9 \geq 0$,$x^4 \geq 0$,અને $-x \geq 0$ હોવાથી,$f(x) \geq 1 > 0$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x > 1$ હોય,તો $f(x) = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$. $x > 1$ હોવાથી,$x^3 - 1 > 0$ થાય,તેથી $f(x) > 1 > 0$ મળે છે.
કિસ્સો $3$: જો $0 < x < 1$ હોય,તો $f(x) = (1 - x) + x^4(1 - x^5) + x^{12}$. $0 < x < 1$ હોવાથી,$1 - x > 0$,$1 - x^5 > 0$,અને $x^{12} > 0$ થાય,તેથી $f(x) > 0$ મળે છે.
આમ,તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે $f(x) > 0$ હોવાથી,$f$ ને કોઈ વાસ્તવિક બીજ નથી. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે $a = (n+1)^{1/3}$ અને $b = n^{1/3}$.
તેથી $f_n = a - b = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = \frac{1}{(n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3}}$.
કારણ કે $n < n+1$,આપણી પાસે $n^{2/3} < (n+1)^{2/3}$ છે.
આમ,$3n^{2/3} < (n+1)^{2/3} + (n+1)^{1/3}n^{1/3} + n^{2/3} < 3(n+1)^{2/3}$.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને $\frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n < \frac{1}{3n^{2/3}}$ મળે છે.
$n$ ને $n+1$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{1}{3(n+2)^{2/3}} < f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}}$ મળે છે.
આ અસમતાઓ જોડતા,આપણી પાસે બધા $n \in N$ માટે $f_{n+1} < \frac{1}{3(n+1)^{2/3}} < f_n$ છે.
તેથી,$A = N$.

(B) ધારો કે $n$ પ્રક્રિયાઓ પછી પાત્ર $J_1$ માં પ્રવાહી $X, Y, Z$ નો જથ્થો $x_n, y_n, z_n$ છે.
શરૂઆતમાં,$J_1$ માં $100 \, ml$ $X$,$J_2$ માં $100 \, ml$ $Y$,અને $J_3$ માં $100 \, ml$ $Z$ છે.
એક પ્રક્રિયા પછી,$J_1$ ની રચના બદલાય છે કારણ કે પ્રવાહી બહાર કાઢવામાં આવે છે અને પાછું લાવવામાં આવે છે.
$n=4$ પ્રક્રિયાઓ પછી,$X$ નો જથ્થો સૌથી વધુ રહે છે કારણ કે તે $J_1$ માં શરૂ થયો હતો અને માત્ર આંશિક રીતે દૂર કરવામાં આવ્યો હતો અને આંશિક રીતે પાછો લાવવામાં આવ્યો હતો.
$J_1$ માં $Z$ નો જથ્થો વધે છે કારણ કે તે દરેક પ્રક્રિયાના ત્રીજા પગલામાં $J_3$ માંથી $J_1$ માં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
$J_1$ માં $Y$ નો જથ્થો સૌથી ઓછો છે કારણ કે તે $J_1$ સુધી પહોંચતા પહેલા $J_2$ અને $J_3$ માંથી પસાર થવો પડે છે.
આમ,$J_1$ માં જથ્થો $x > z > y$ સંબંધ સંતોષે છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
$f(x) + f(1-x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4^{1-x}}{4^{1-x} + 2}$ ધ્યાનમાં લો.
$= \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{2 + 4^x} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
આમ,$f(x) + f(1-x) = 1$.
આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{2022} f\left(\frac{k}{2023}\right)$ છે.
અહીં કુલ $2022$ પદો છે,તેથી આપણે તેમને $f\left(\frac{k}{2023}\right) + f\left(1 - \frac{k}{2023}\right) = 1$ તરીકે જોડી શકીએ છીએ.
આવી જોડીઓની સંખ્યા $\frac{2022}{2} = 1011$ છે.
તેથી,સરવાળો $1011 \times 1 = 1011$ થાય.

(B) ધારો કે $h(x) = (fog)(x)$.
આપેલ છે કે $h^{-1}(x) = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$.
$h(x)$ શોધવા માટે,ધારો કે $y = \left(\frac{x-7}{2}\right)^{1/3}$. તેથી $y^3 = \frac{x-7}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2y^3 + 7$. આમ,$h(x) = 2x^3 + 7$.
આપણી પાસે $(fog)(x) = f(g(x)) = a(x^b + c) - 3 = ax^b + ac - 3$ છે.
$ax^b + ac - 3 = 2x^3 + 7$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $a=2$,$b=3$,અને $ac-3=7$ મળે છે,તેથી $ac=10$. $a=2$ હોવાથી,$c=5$ મળે.
હવે,$(fog)(ac) = (fog)(10) = 2(10)^3 + 7 = 2000 + 7 = 2007$.
આગળ,$(gof)(x) = g(f(x)) = g(ax-3) = (ax-3)^b + c = (2x-3)^3 + 5$.
તેથી $(gof)(b) = (gof)(3) = (2(3)-3)^3 + 5 = (3)^3 + 5 = 27 + 5 = 32$.
અંતે,$(fog)(ac) + (gof)(b) = 2007 + 32 = 2039$.

(D) $x \geq 2$ માટે આપેલ છે કે,સરવાળો $S_x = \sum_{k=1}^{x} k f(k) = x(x+1) f(x)$.
$x+1$ માટે,$S_{x+1} = S_x + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
સમીકરણમાં $S_x = x(x+1) f(x)$ મૂકતા:
$x(x+1) f(x) + (x+1) f(x+1) = (x+1)(x+2) f(x+1)$.
$(x+1)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \geq 2$):
$x f(x) + f(x+1) = (x+2) f(x+1)$.
$x f(x) = (x+1) f(x+1)$.
આ સૂચવે છે કે $n \geq 2$ માટે $n f(n)$ અચળ છે.
$x=2$ માટે,$f(1) + 2 f(2) = 2(3) f(2) \Rightarrow 1 + 2 f(2) = 6 f(2) \Rightarrow 4 f(2) = 1 \Rightarrow f(2) = \frac{1}{4}$.
આમ,બધા $n \geq 2$ માટે $n f(n) = 2 f(2) = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$n \geq 2$ માટે $f(n) = \frac{1}{2n}$.
તેથી,$f(2022) = \frac{1}{2 \times 2022} = \frac{1}{4044}$ અને $f(2028) = \frac{1}{2 \times 2028} = \frac{1}{4056}$.
અંતે,$\frac{1}{f(2022)} + \frac{1}{f(2028)} = 4044 + 4056 = 8100$.

(A) આપણે $\lim_{x \rightarrow 1} g(h(x-1))$ શોધવાનું છે. ધારો કે $t = x-1$. જેમ $x \rightarrow 1$,તેમ $t \rightarrow 0$. તેથી,આપણે $\lim_{t \rightarrow 0} g(h(t))$ ની ગણતરી કરીશું.
$h(t) = 2[t] - f(t)$.
$t \rightarrow 0^-$ માટે,$[t] = -1$ અને $f(t) = \frac{t}{|t|} = -1$. તેથી,$h(t) = 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1$.
તેથી,$\lim_{t \rightarrow 0^-} g(h(t)) = g(-1) = 1$.
$t \rightarrow 0^+$ માટે,$[t] = 0$ અને $f(t) = \frac{t}{|t|} = 1$. તેથી,$h(t) = 2(0) - 1 = -1$.
તેથી,$\lim_{t \rightarrow 0^+} g(h(t)) = g(-1) = 1$.
ડાબી બાજુની લક્ષ અને જમણી બાજુની લક્ષ સમાન હોવાથી,લક્ષનું મૂલ્ય $1$ છે.

(B) આપેલ છે $A = \{1, 2, 3, 5, 8, 9\}$. શરત છે $f(m \cdot n) = f(m) \cdot f(n)$ જ્યારે $m, n, m \cdot n \in A$.
$1$. $m=1, n=1$ માટે: $f(1) = f(1) \cdot f(1) \implies f(1) = 1$ (કારણ કે $f(1) \in A$ અને $f(1) \neq 0$).
$2$. $m=3, n=3$ માટે: $f(9) = f(3) \cdot f(3) = (f(3))^2$. $f(9) \in A$ હોવાથી,$(f(3))^2$ એ $A$ માં હોવું જોઈએ. $f(3)$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ (કારણ કે $1^2=1 \in A$) અથવા $3$ (કારણ કે $3^2=9 \in A$) છે.
$3$. $f(2), f(5), f(8)$ માટે કોઈ વધારાની શરતો નથી,તેથી તે $A$ ના કોઈપણ $6$ ઘટકો લઈ શકે છે.
કુલ વિધેયો = ($f(3)$ માટેની પસંદગીઓ) $\times$ ($f(2)$ માટેની પસંદગીઓ) $\times$ ($f(5)$ માટેની પસંદગીઓ) $\times$ ($f(8)$ માટેની પસંદગીઓ)
$= 2 \times 6 \times 6 \times 6 = 432$.

(B) સંબંધ $R$ એ ગણ $A \times B$ પર વ્યાખ્યાયિત છે. $A \times B$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $|A| \times |B| = 5 \times 5 = 25$ છે.
$R$ નો એક ઘટક એ $A \times B$ માંથી લીધેલ ઘટકોની ક્રમયુક્ત જોડ છે,જેમ કે $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$,જેથી $a_1 \leq b_2$ અને $b_1 \leq a_2$ થાય.
ધારો કે $S_1 = \{(a_1, b_2) \in A \times B : a_1 \leq b_2\}$.
$a_1 = 1$ માટે,$b_2 \in \{2, 4, 5, 8, 10\}$ ($5$ વિકલ્પો).
$a_1 = 3$ માટે,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ વિકલ્પો).
$a_1 = 4$ માટે,$b_2 \in \{4, 5, 8, 10\}$ ($4$ વિકલ્પો).
$a_1 = 6$ માટે,$b_2 \in \{8, 10\}$ ($2$ વિકલ્પો).
$a_1 = 9$ માટે,$b_2 \in \{10\}$ ($1$ વિકલ્પ).
$a_1 \leq b_2$ માટે કુલ રીતો $5 + 4 + 4 + 2 + 1 = 16$ છે.
ધારો કે $S_2 = \{(b_1, a_2) \in B \times A : b_1 \leq a_2\}$.
$b_1 = 2$ માટે,$a_2 \in \{3, 4, 6, 9\}$ ($4$ વિકલ્પો).
$b_1 = 4$ માટે,$a_2 \in \{4, 6, 9\}$ ($3$ વિકલ્પો).
$b_1 = 5$ માટે,$a_2 \in \{6, 9\}$ ($2$ વિકલ્પો).
$b_1 = 8$ માટે,$a_2 \in \{9\}$ ($1$ વિકલ્પ).
$b_1 = 10$ માટે,$a_2 \in \emptyset$ ($0$ વિકલ્પો).
$b_1 \leq a_2$ માટે કુલ રીતો $4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10$ છે.
$R$ માં ઘટકોની સંખ્યા એ દરેક શરતને સંતોષતી રીતોનો ગુણાકાર છે: $16 \times 10 = 160$.

(A) આપેલ શરત $f(1) + f(2) = f(4) - 1$ ને $f(1) + f(2) + 1 = f(4)$ તરીકે લખી શકાય.
સહપ્રદેશ $B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ હોવાથી,$f(4)$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે.
તેથી,$f(1) + f(2) + 1 \leq 6$,જેનો અર્થ છે કે $f(1) + f(2) \leq 5$.
આપણે $f(1)$ અને $f(2)$ માટે શક્ય કિંમતો તપાસીએ જ્યાં $f(1), f(2) \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$:
કિસ્સો $(i)$: જો $f(1) = 1$,તો $f(2) \in \{1, 2, 3, 4\}$,કુલ $4$ જોડી.
કિસ્સો $(ii)$: જો $f(1) = 2$,તો $f(2) \in \{1, 2, 3\}$,કુલ $3$ જોડી.
કિસ્સો $(iii)$: જો $f(1) = 3$,તો $f(2) \in \{1, 2\}$,કુલ $2$ જોડી.
કિસ્સો $(iv)$: જો $f(1) = 4$,તો $f(2) = 1$,કુલ $1$ જોડી.
$(f(1), f(2))$ માટે કુલ જોડીઓ $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ છે.
દરેક જોડી માટે,$f(4)$ એ $f(1) + f(2) + 1$ તરીકે અનન્ય રીતે નક્કી થાય છે.
$f(3)$ અને $f(5)$ એ $B$ માંથી કોઈપણ કિંમત લઈ શકે છે ($6$ ઘટકો),તેથી $f(3)$ અને $f(5)$ પસંદ કરવાની $6 \times 6 = 36$ રીતો છે.
વિધેયોની કુલ સંખ્યા $= 10 \times 6 \times 6 = 360$.

(B) ધારો કે $f(x) = x|x-1| + |x+2|$. સમીકરણ $f(x) = -a$ છે.
અમે અંતરાલોને ધ્યાનમાં લઈને $f(x)$ વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
કિસ્સો $1$: $x < -2$ માટે,$f(x) = -x^2 - 2$. જેમ $x \to -\infty$,$f(x) \to -\infty$. $x = -2$ પર,$f(-2) = -6$.
કિસ્સો $2$: $-2 \le x < 1$ માટે,$f(x) = -x^2 + 2x + 2$. $x = -2$ પર,$f(-2) = -6$. $x = 1$ પર,$f(1) = 3$.
કિસ્સો $3$: $x \ge 1$ માટે,$f(x) = x^2 + 2$. $x = 1$ પર,$f(1) = 3$. જેમ $x \to \infty$,$f(x) \to \infty$.
વિધેય $f(x)$ તેના પ્રદેશ પર ચુસ્ત રીતે વધતું વિધેય છે. $f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે.
સમીકરણ $f(x) = -a$ ને બરાબર એક વાસ્તવિક ઉકેલ મળે તે માટે,$-a$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત હોઈ શકે છે. તેથી,$a \in (-\infty, \infty)$.

(D) આપેલ છે $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$ અંતરાલ $[\frac{1}{2}, 1]$ પર.
પ્રથમ,વિકલન મેળવો: $f'(x) = 12\sqrt{2}x^2 - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}(4x^2 - 1)$.
$x \in [\frac{1}{2}, 1]$ માટે,$4x^2 \geq 1$,તેથી $f'(x) \geq 0$. આમ,$f(x)$ વધતું વિધેય છે.
અંતિમ બિંદુઓ તપાસો: $f(\frac{1}{2}) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{8}) - 3\sqrt{2}(\frac{1}{2}) - 1 = -\sqrt{2} - 1 < 0$.
$f(1) = 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 1 = \sqrt{2} - 1 > 0$.
$f(\frac{1}{2}) < 0$ અને $f(1) > 0$ હોવાથી,ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ મુજબ,$[\frac{1}{2}, 1]$ માં બરાબર એક શૂન્ય છે. તેથી,$(I)$ સાચું છે.
$(II)$ માટે,$f(x) = 0$ લો: $\sqrt{2}(4x^3 - 3x) = 1 \Rightarrow 4x^3 - 3x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
ધારો કે $x = \cos \theta$. તો $\cos(3\theta) = \cos(\frac{\pi}{4})$.
$3\theta = \frac{\pi}{4} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{12}$.
આમ,$x = \cos \frac{\pi}{12}$ એ ઉકેલ છે. તેથી,$(II)$ સાચું છે.
તેથી,$(I)$ અને $(II)$ બંને સાચા છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = e^{x^3-3x+1}$ જ્યાં $x \in (-\infty, -1]$.
વિકલન કરતા: $f'(x) = e^{x^3-3x+1} \cdot (3x^2-3) = 3e^{x^3-3x+1}(x-1)(x+1)$.
$x \in (-\infty, -1]$ માટે,$x+1 \leq 0$ અને $x-1 < 0$,તેથી $(x-1)(x+1) \geq 0$.
આમ,$f'(x) \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $f(x)$ એ $(-\infty, -1]$ પર વધતું વિધેય છે.
વિધેય $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(a, b]$ છે.
$a = \lim_{x \to -\infty} f(x) = e^{-\infty} = 0$.
$b = f(-1) = e^{(-1)^3 - 3(-1) + 1} = e^{-1+3+1} = e^3$.
તેથી,$a=0$ અને $b=e^3$.
બિંદુ $P$ એ $(2b+4, a+2) = (2e^3+4, 0+2) = (2e^3+4, 2)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું રેખા $Ax+By+C=0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,રેખા $x + e^{-3}y - 4 = 0$ છે,તેથી $A=1, B=e^{-3}, C=-4$.
$d = \frac{|1(2e^3+4) + e^{-3}(2) - 4|}{\sqrt{1^2 + (e^{-3})^2}} = \frac{|2e^3+4+2e^{-3}-4|}{\sqrt{1+e^{-6}}} = \frac{2e^3+2e^{-3}}{\sqrt{1+e^{-6}}}$.
$d = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\sqrt{\frac{e^6+1}{e^6}}} = \frac{2e^{-3}(e^6+1)}{\frac{\sqrt{e^6+1}}{e^3}} = 2\sqrt{e^6+1}$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \begin{cases} x-1, & x \text{ બેકી છે} \\ 2x, & x \text{ એકી છે} \end{cases}$.
આપણને $f(f(f(a))) = 21$ આપેલ છે.
કિસ્સો $1$: જો $a$ બેકી હોય,તો $f(a) = a-1$ (જે એકી છે). પછી $f(f(a)) = 2(a-1) = 2a-2$ (જે બેકી છે). પછી $f(f(f(a))) = (2a-2)-1 = 2a-3$. $2a-3 = 21$ લેતા,આપણને $2a = 24$ મળે છે,તેથી $a = 12$.
કિસ્સો $2$: જો $a$ એકી હોય,તો $f(a) = 2a$ (જે બેકી છે). પછી $f(f(a)) = 2a-1$ (જે એકી છે). પછી $f(f(f(a))) = 2(2a-1) = 4a-2$. $4a-2 = 21$ લેતા,$4a = 23$ મળે છે,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
આમ,$a = 12$.
હવે,આપણે $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \left( \frac{|x|^3}{12} - \left[ \frac{x}{12} \right] \right)$ ની ગણતરી કરીએ.
જેમ $x \rightarrow 12^{-}$,$x$ એ $12$ થી થોડું નાનું છે,તેથી $\frac{x}{12}$ એ $1$ થી થોડું નાનું છે,જેનો અર્થ છે કે $\left[ \frac{x}{12} \right] = 0$.
તેથી,લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 12^{-}} \frac{x^3}{12} - 0 = \frac{12^3}{12} = 12^2 = 144$ થાય છે.