Mix Examples of Relation and Function Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $S = (0,1) \cup (1,2) \cup (3,4)$ અને $T = \{0, 1, 2, 3\}$.
$(A)$ $S$ એ અનંત ગણ હોવાથી અને $T$ માં $4$ ઘટકો હોવાથી,$S$ થી $T$ પરના કુલ $4^{|S|}$ વિધેયો મળે. $|S|$ અનંત હોવાથી,અસંખ્ય વિધેયો શક્ય છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $S$ ના દરેક જોડાયેલા ઘટક માટે સતત વિધેયનું પ્રતિબિંબ પણ જોડાયેલું હોવું જોઈએ. $T$ એ વિક્ષિપ્ત ગણ હોવાથી,વિધેય દરેક ઘટક પર અચળ હોવું જોઈએ. $T$ સીમિત હોવાથી,આવા વિધેયોની સંખ્યા સીમિત છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ $S$ થી $T$ પરનું સતત વિધેય $S$ ના દરેક જોડાયેલા ઘટક પર અચળ હોવું જોઈએ. $S$ ના $3$ ઘટકો છે અને દરેક માટે $4$ પસંદગીઓ છે,તેથી કુલ $4 \times 4 \times 4 = 64$ વિધેયો મળે. $64 \le 120$ હોવાથી,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $S$ ના દરેક ઘટક પર સતત વિધેય અચળ હોય છે,અને અચળ વિધેય વિકલનીય હોય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(A)$,$(C)$ અને $(D)$ છે.

(A) વિકલ્પ $[A]$ માટે,ધારો કે $g(x) = e^x - \int_0^x f(t) \sin t \, dt$. કારણ કે $f(t) \in (0,1)$ અને $\sin t \in [0,1]$ છે,તેથી સંકલન $\int_0^x f(t) \sin t \, dt < x$ થાય. આમ $g(x) > e^x - x$. $e^x - x > 0$ હોવાથી,$g(x)$ ક્યારેય શૂન્ય ન થઈ શકે.
વિકલ્પ $[B]$ માટે,ધારો કે $h(x) = x^9 - f(x)$. $f(x) \in (0,1)$ હોવાથી,$h(0) = -f(0) < 0$ અને $h(1) = 1 - f(1) > 0$. Intermediate Value Theorem $(IVT)$ મુજબ,કોઈ $c \in (0,1)$ મળે કે જેથી $h(c) = 0$ થાય.
વિકલ્પ $[C]$ માટે,ધારો કે $k(x) = f(x) + \int_0^{\pi/2} f(t) \sin t \, dt$. $f(x) > 0$ અને સંકલન ધન હોવાથી,$k(x) > 0$ થાય. તેથી તે શૂન્ય ન થઈ શકે.
વિકલ્પ $[D]$ માટે,ધારો કે $m(x) = x - \int_0^{\pi/2 - x} f(t) \cos t \, dt$. $m(0) < 0$ અને $m(1) > 0$ હોવાથી,$IVT$ મુજબ કોઈ $c \in (0,1)$ મળે કે જેથી $m(c) = 0$ થાય.

(C, B) $f(x) = \sin(\pi \cos x)$ માટે,$f(x) = 0 \implies \pi \cos x = n\pi \implies \cos x = n$. $n \in \mathbb{Z}$ અને $|\cos x| \le 1$ હોવાથી,$n \in \{-1, 0, 1\}$. તેથી $x = n\pi$ અથવા $x = n\pi \pm \frac{\pi}{2}$,જે $x = \frac{k\pi}{2}$ $(k \in \mathbb{N})$ માં સરળ બને છે. $X = \{\frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{N}\}$. આ $\frac{\pi}{2}$ ના સામાન્ય તફાવત સાથેની સમાંતર શ્રેણી છે. તેથી $(I) \to (Q)$.
$f'(x) = \cos(\pi \cos x) \cdot (-\pi \sin x) = 0$ માટે. કાં તો $\sin x = 0 \implies x = n\pi$ અથવા $\cos(\pi \cos x) = 0 \implies \pi \cos x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \cos x = \pm \frac{1}{2}$. $Y = \{n\pi, n\pi \pm \frac{\pi}{3}\}$. આ સમાંતર શ્રેણી નથી. $Y$ માં $\{\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi\}$ નો સમાવેશ થાય છે. તેથી $(II) \to (R), (T)$.
$g(x) = \cos(2\pi \sin x) = 0 \implies 2\pi \sin x = (2n+1)\frac{\pi}{2} \implies \sin x = \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$. આ સમાંતર શ્રેણી નથી. તેથી $(III) \to (R)$.
$g'(x) = -\sin(2\pi \sin x) \cdot (2\pi \cos x) = 0$ માટે. કાં તો $\cos x = 0 \implies x = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ અથવા $\sin(2\pi \sin x) = 0 \implies 2\pi \sin x = n\pi \implies \sin x = \frac{n}{2}$. તેથી $\sin x \in \{0, \pm \frac{1}{2}, \pm 1\}$. $W$ માં $\{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}\}$ નો સમાવેશ થાય છે. તેથી $(IV) \to (S)$.
મેચિંગ: પ્રશ્ન $(1)$ માટે સાચો વિકલ્પ $(4)$ છે અને પ્રશ્ન $(2)$ માટે સાચો વિકલ્પ $(2)$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \pi x - \frac{\pi}{4}$. $x \in [0, 2]$ હોવાથી,$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$.
તેથી $2\pi x = 2\theta + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin(2\pi x) = \cos(2\theta)$.
વળી $3\pi x + \frac{\pi}{4} = 3(\theta + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3\theta + \pi$,તેથી $\sin(3\pi x + \frac{\pi}{4}) = \sin(3\theta + \pi) = -\sin(3\theta)$.
અસમતા $f(x) \geq 0$ એ $(3 - \cos(2\theta)) \sin \theta - (-\sin(3\theta)) \geq 0$ બને છે.
$(3 - (1 - 2\sin^2 \theta)) \sin \theta + \sin(3\theta) \geq 0$.
$(2 + 2\sin^2 \theta) \sin \theta + (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) \geq 0$.
$2\sin \theta + 2\sin^3 \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \geq 0$.
$5\sin \theta - 2\sin^3 \theta \geq 0 \Rightarrow \sin \theta (5 - 2\sin^2 \theta) \geq 0$.
બધી $\theta$ માટે $5 - 2\sin^2 \theta > 0$ હોવાથી,$\sin \theta \geq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\theta \in [0, \pi]$.
$0 \leq \pi x - \frac{\pi}{4} \leq \pi$ $\Rightarrow \frac{\pi}{4} \leq \pi x \leq \frac{5\pi}{4}$ $\Rightarrow x \in [\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$.
તેથી,$\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{5}{4}$,તેથી $\beta - \alpha = 1$.

(A) ગુણધર્મ $f(x) + f(1-x) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $39$ પદોનો સરવાળો છે,જેમાં વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$19$ જોડીઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી કુલ સરવાળો $19 + f\left(\frac{1}{2}\right)$ થશે.
આમ,$19 + f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 19$.

(AB) આપેલ છે કે $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta} = \frac{2}{1+\cos 2 \theta}$.
આ કિંમતને $f(\cos 4 \theta)$ ના પદમાં મૂકતા:
$f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2 - \frac{2}{1+\cos 2 \theta}} = \frac{2(1+\cos 2 \theta)}{2(1+\cos 2 \theta) - 2} = \frac{1+\cos 2 \theta}{\cos 2 \theta} = 1 + \frac{1}{\cos 2 \theta}$.
હવે,ધારો કે $\cos 4 \theta = \frac{1}{3}$.
નિત્યસમ $\cos 4 \theta = 2 \cos^2 2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $2 \cos^2 2 \theta - 1 = \frac{1}{3} \Rightarrow 2 \cos^2 2 \theta = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos^2 2 \theta = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\cos 2 \theta = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$.
આ કિંમતને $f(\cos 4 \theta)$ ના પદમાં મૂકતા:
$f\left(\frac{1}{3}\right) = 1 + \frac{1}{\pm \sqrt{2/3}} = 1 \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$.
તેથી,શક્ય કિંમતો $1+\sqrt{\frac{3}{2}}$ અને $1-\sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.

(A, C) પગલું $1$: અયુગ્મ/યુગ્મ વિધેય માટે તપાસો.
$f(-x) = (\log(\sec(-x) + \tan(-x)))^3 = (\log(\sec x - \tan x))^3$.
કારણ કે $\sec x - \tan x = \frac{1}{\sec x + \tan x}$,તેથી $\log(\sec x - \tan x) = \log((\sec x + \tan x)^{-1}) = -\log(\sec x + \tan x)$.
આમ,$f(-x) = (-\log(\sec x + \tan x))^3 = -(\log(\sec x + \tan x))^3 = -f(x)$.
તેથી,$f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે.
પગલું $2$: એક-એક વિધેય માટે તપાસો.
$f'(x) = 3(\log(\sec x + \tan x))^2 \cdot \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x) = 3(\log(\sec x + \tan x))^2 \cdot \sec x$.
$x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માટે $\sec x > 0$ હોવાથી અને $(\log(\sec x + \tan x))^2 \ge 0$ હોવાથી,$f'(x) \ge 0$ છે. વિધેય ચુસ્ત વધતું હોવાથી,તે એક-એક વિધેય છે.
પગલું $3$: વ્યાપ્ત વિધેય માટે તપાસો.
જેમ $x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-$,તેમ $\sec x + \tan x \rightarrow \infty$,તેથી $f(x) \rightarrow \infty$.
જેમ $x \rightarrow -\frac{\pi}{2}^+$,તેમ $\sec x + \tan x \rightarrow 0^+$,તેથી $\log(\sec x + \tan x) \rightarrow -\infty$,અને $f(x) \rightarrow -\infty$.
વિસ્તાર $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$ હોવાથી,વિધેય વ્યાપ્ત છે.
નિષ્કર્ષ: $f(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(D) $1$. $f_4(x)$ નું વિશ્લેષણ:
$f_2(f_1(x)) = (f_1(x))^2 = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$
$f_4(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} - 1 & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ આગળ,$f_4(0) = e^0 - 1 = 0$. $\lim_{x \to 0^-} f_4(x) = 0$. તેથી $f_4$ સતત છે. તે અનેક-એક છે (દા.ત.,$f_4(-1) = 1, f_4(\frac{1}{2}\ln 2) = 1$). વિસ્તાર $[0, \infty)$ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત છે. આમ $P \to 1$.
$2$. $f_3(x)$ નું વિશ્લેષણ:
$f_3(x) = \begin{cases} \sin x & x < 0 \\ x & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ આગળ,$f_3(0) = 0$. $\lim_{x \to 0^-} \sin x = 0$. સતત છે. $f_3'(0^-) = \cos(0) = 1$,$f_3'(0^+) = 1$. વિકલનીય છે. તે અનેક-એક છે (દા.ત.,$f_3(-\pi) = 0, f_3(0) = 0$). આમ $Q \to 3$.
$3$. $f_2 \circ f_1(x)$ નું વિશ્લેષણ:
$(f_2 \circ f_1)(x) = \begin{cases} x^2 & x < 0 \\ e^{2x} & x \geq 0 \end{cases}$
$x=0$ આગળ,$LHL = 0, RHL = 1$. અસતત છે. આમ $R \to 2$.
$4$. $[0, \infty)$ પર $f_2(x) = x^2$ નું વિશ્લેષણ:
તે ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી એક-એક છે. સતત છે. આમ $S \to 4$.
મેળવણી: $P-1, Q-3, R-2, S-4$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) પ્રથમ,વિધેયોનું વિશ્લેષણ કરો:
$f(x) = \begin{cases} x|x| \sin(1/x), & x \neq 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}$
$g(x) = \begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$
$g(1/2-x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq 1/2-x \leq 1/2 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases} = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$
આમ,$g(x) + g(1/2-x) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$
$(P)$ જો $a=0, b=1, c=0, d=0$ હોય,તો $h(x) = g(x) + g(1/2-x)$. વિસ્તાર $\{0, 1\}$ છે. જે $(5)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(Q)$ જો $a=1, b=0, c=0, d=0$ હોય,તો $h(x) = f(x)$. $f(x)$ એ $x=0$ પર વિકલનીય છે કારણ કે $\lim_{x \to 0} \frac{x|x| \sin(1/x) - 0}{x} = \lim_{x \to 0} |x| \sin(1/x) = 0$. જે $(3)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(R)$ જો $a=0, b=0, c=1, d=0$ હોય,તો $h(x) = x - g(x) = \begin{cases} x - (1-2x) = 3x-1, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ x, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. આ વિધેય વ્યાપ્ત છે. જે $(2)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$(S)$ જો $a=0, b=0, c=0, d=1$ હોય,તો $h(x) = g(x) = \begin{cases} 1-2x, & 0 \leq x \leq 1/2 \\ 0, & \text{અન્યથા} \end{cases}$. વિસ્તાર $[0, 1]$ છે. જે $(4)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$(P) \to (5), (Q) \to (3), (R) \to (2), (S) \to (4)$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{(x^{2023} + 2024x + 2025)}{e^{\pi x}(x^2 - x + 3)} (\sin x + 2)$.
બધા $x \in R$ માટે $e^{\pi x} > 0$ છે અને $x^2 - x + 3$ નો વિવેચક $D = 1 - 12 = -11 < 0$ હોવાથી,$x^2 - x + 3$ હંમેશા ધન છે.
વળી,$-1 \leq \sin x \leq 1$,તેથી $(\sin x + 2) \geq 1$,જેનો અર્થ છે કે $(\sin x + 2)$ ક્યારેય શૂન્ય થતું નથી.
આમ,$f(x) = 0$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $x^{2023} + 2024x + 2025 = 0$ હોય.
ધારો કે $\phi(x) = x^{2023} + 2024x + 2025$.
તો $\phi'(x) = 2023x^{2022} + 2024$. કારણ કે $x^{2022} \geq 0$,તેથી બધા $x \in R$ માટે $\phi'(x) > 0$ છે.
તેથી,$\phi(x)$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
$\phi(x)$ સતત અને ચુસ્ત વધતું વિધેય હોવાથી,તે $R$ માં દરેક કિંમત માત્ર એક જ વાર ધારણ કરે છે.
તેથી,$\phi(x) = 0$ નો માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ છે.
આમ,$f(x) = 0$ ના ઉકેલોની સંખ્યા $1$ છે.

(A) પ્રથમ,આપણે એવી જોડીઓ $(a, b)$ ની સંખ્યા શોધીએ કે જેથી $a, b \in S$ અને $|a-b| \geq 2$ થાય.
દરેક $a \in S$ માટે,શક્ય $b$ મૂલ્યોની સંખ્યા:
- જો $a=1$,$b \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ મૂલ્યો)
- જો $a=2$,$b \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ મૂલ્યો)
- જો $a=3$,$b \in \{1, 5, 6\}$ ($3$ મૂલ્યો)
- જો $a=4$,$b \in \{1, 2, 6\}$ ($3$ મૂલ્યો)
- જો $a=5$,$b \in \{1, 2, 3\}$ ($3$ મૂલ્યો)
- જો $a=6$,$b \in \{1, 2, 3, 4\}$ ($4$ મૂલ્યો)
આવી જોડીઓની કુલ સંખ્યા $4+3+3+3+3+4 = 20$ છે.
$R$ માં આ $20$ જોડીઓમાંથી બરાબર $6$ ઘટકો હોવા જોઈએ,તેથી $n(X) = {}^{20}C_{6}$,એટલે કે $m = 20$.
$n(Y)$ માટે,$R$ નો વિસ્તાર એક જ ઘટક ધરાવે છે,એટલે કે $R$ માંની તમામ $6$ જોડીઓ $(a, b)$ માટે $b$ સમાન હોવો જોઈએ. જોકે,કોઈપણ નિશ્ચિત $b$ માટે,એવા મહત્તમ $5$ મૂલ્યો $a$ ના મળે કે જેથી $|a-b| \geq 2$. તેથી,$n(Y) = 0$.
$n(Z)$ માટે,$R$ એ વિધેય છે,એટલે કે દરેક $a \in S$ માટે,બરાબર એક $b$ મળે કે જેથી $(a, b) \in R$ અને $|a-b| \geq 2$. દરેક $a$ માટે પસંદગીઓની સંખ્યા અનુક્રમે $4, 3, 3, 3, 3, 4$ છે. તેથી,$n(Z) = 4 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 4 = 1296 = 36^{2}$.
તેથી,$n(Y) + n(Z) = 0 + 36^{2} = 36^{2}$,તેથી $|k| = 36$.

(B) ગણ $A$ થી ગણ $B$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $|B|^{|A|} = 4^4 = 256$ છે.
એક-એક (one-one) વિધેયોની સંખ્યા $4! = 24$ છે.
અનેક-એક (many-one) વિધેયોની સંખ્યા $\text{કુલ} - \text{એક-એક} = 256 - 24 = 232$ છે.
હવે,આપણે એવા અનેક-એક વિધેયો શોધવા છે જેમાં $1 \in f(A)$ હોય.
આ સંખ્યા = $(\text{કુલ અનેક-એક વિધેયો}) - (\text{જેમાં } 1 \notin f(A) \text{ હોય તેવા અનેક-એક વિધેયો})$.
જો $1 \notin f(A)$ હોય,તો વિધેયનો વિસ્તાર $\{4, 9, 16\}$ નો ઉપગણ હોય.
$A$ થી $\{4, 9, 16\}$ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $3^4 = 81$ છે.
આ $81$ વિધેયોમાં એક-એક વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે (કારણ કે $|A| > |\{4, 9, 16\}|$).
આમ,આ તમામ $81$ વિધેયો અનેક-એક છે.
તેથી,$1 \in f(A)$ હોય તેવા અનેક-એક વિધેયોની સંખ્યા $232 - 81 = 151$ છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{2^{x+2} + 16}{2^{2x+1} + 2^{x+4} + 32} = \frac{2}{2^x + 4}$.
$f(4-x) = \frac{2^x}{2(2^x + 4)}$ મળે છે.
તેથી $f(x) + f(4-x) = \frac{1}{2}$.
કુલ $59$ પદો છે,જેમાં $29$ જોડીઓનો સરવાળો $\frac{1}{2}$ થાય છે અને મધ્યમ પદ $f(2) = \frac{1}{4}$ છે.
સરવાળો $S = 29 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{59}{4}$.
માટે $8 \cdot S = 8 \cdot \frac{59}{4} = 118$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}}$.
$f(1-x) = \frac{2^{1-x}}{2^{1-x} + \sqrt{2}} = \frac{2/2^x}{2/2^x + \sqrt{2}} = \frac{2}{2 + \sqrt{2} \cdot 2^x} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 2^x}$ મેળવીએ.
આમ,$f(x) + f(1-x) = \frac{2^x}{2^x + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = \frac{2^x + \sqrt{2}}{2^x + \sqrt{2}} = 1$.
આપણે $S = \sum_{k=1}^{81} f\left(\frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{1}{82}\right) + f\left(\frac{2}{82}\right) + \dots + f\left(\frac{81}{82}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદોની જોડી બનાવતા $f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(1 - \frac{k}{82}\right) = f\left(\frac{k}{82}\right) + f\left(\frac{82-k}{82}\right) = 1$.
અહીં $40$ જોડીઓ છે ($k=1$ થી $40$ માટે) અને વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{41}{82}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2^{1/2}}{2^{1/2} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = 40 \times 1 + \frac{1}{2} = \frac{81}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $S = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$.
સંબંધ $\log_e y = x \log_e \left(\frac{2}{5}\right)$ પરથી,આપણને મળે છે $\log_e y = \log_e \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)$.
આનો અર્થ એ છે કે $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$.
કારણ કે $x \in S$,$R$ નો વિસ્તાર એ $x = 0, 1, 2, \dots$ માટે $y = \left(\frac{2}{5}\right)^x$ કિંમતોનો સમૂહ છે.
વિસ્તાર $= \left\{ \left(\frac{2}{5}\right)^0, \left(\frac{2}{5}\right)^1, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\} = \left\{ 1, \frac{2}{5}, \left(\frac{2}{5}\right)^2, \dots \right\}$.
આ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{5}$ છે.
વિસ્તારના ઘટકોનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y)=f(x)f(y)$ અને $f(x)>0$,તેથી વિધેય $f(x)=k^x$ સ્વરૂપનું છે.
$f(a_{31})=64 f(a_{25})$ હોવાથી,$k^{a+30d}=64 k^{a+24d}$,જ્યાં $a$ પ્રથમ પદ અને $d$ સામાન્ય તફાવત છે.
આથી $k^{6d}=64$,એટલે કે $k^d=2$.
સરવાળો $\sum_{i=1}^{50} f(a_i) = k^a \frac{(k^d)^{50}-1}{k^d-1} = k^a(2^{50}-1)$.
આપેલ છે કે $k^a(2^{50}-1) = 3(2^{25}+1)$,તેથી $k^a = \frac{3}{2^{25}-1}$.
હવે $\sum_{i=6}^{30} f(a_i) = k^{a+5d} \frac{(k^d)^{25}-1}{k^d-1} = k^a (k^d)^5 (2^{25}-1)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{2^{25}-1} \cdot 2^5 \cdot (2^{25}-1) = 3 \cdot 32 = 96$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$.
આપણે $f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x)$ માં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{2x}{1+x^2}$ મૂકતા:
$f\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) = \log_{e}\left(\frac{1-\frac{2x}{1+x^2}}{1+\frac{2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{\frac{1+x^2-2x}{1+x^2}}{\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}}\right)$
$= \log_{e}\left(\frac{(1-x)^2}{(1+x)^2}\right)$
$= \log_{e}\left(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^2\right)$
$= 2\log_{e}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$
$= 2f(x)$.

(A) વિધેય $f(x) = \sec \left[ \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) \right]$ યુગ્મ છે કે અયુગ્મ તે નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(-x)$ ની કિંમત મેળવીએ.
પ્રથમ,અંદરના વિધેય $g(x) = \log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$ ને ધ્યાનમાં લો.
$g(-x) = \log \left( -x + \sqrt{1 + (-x)^2} \right) = \log \left( \sqrt{1 + x^2} - x \right)$.
અંશ અને છેદને $\left( \sqrt{1 + x^2} + x \right)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$g(-x) = \log \left( \frac{(\sqrt{1 + x^2} - x)(\sqrt{1 + x^2} + x)}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1 + x^2 - x^2}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = \log \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2} + x} \right) = -\log \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right) = -g(x)$.
આમ,$g(x)$ એ અયુગ્મ વિધેય છે,તેથી $f(-x) = \sec(g(-x)) = \sec(-g(x))$.
કારણ કે $\sec(\theta)$ એ યુગ્મ વિધેય છે,$\sec(-g(x)) = \sec(g(x)) = f(x)$.
તેથી,$f(-x) = f(x)$,જેનો અર્થ છે કે આ વિધેય યુગ્મ વિધેય છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \cos(\log x)$.
આપણે $f(x^2) \cdot f(y^2) - \frac{1}{2} \left[ f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) + f(x^2 y^2) \right]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,પદોની ગણતરી કરીએ:
$f(x^2) = \cos(\log x^2) = \cos(2 \log x)$
$f(y^2) = \cos(\log y^2) = \cos(2 \log y)$
$f\left(\frac{x^2}{y^2}\right) = \cos(\log \frac{x^2}{y^2}) = \cos(2 \log x - 2 \log y)$
$f(x^2 y^2) = \cos(\log x^2 y^2) = \cos(2 \log x + 2 \log y)$
ધારો કે $A = 2 \log x$ અને $B = 2 \log y$.
પદાવલિ $\cos A \cdot \cos B - \frac{1}{2} [\cos(A - B) + \cos(A + B)]$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos A \cos B - \frac{1}{2} [2 \cos A \cos B] = \cos A \cos B - \cos A \cos B = 0$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \cos(\log x)$.
આપણે પદાવલિ $E = f(x) \cdot f(y) - \frac{1}{2} \left( f\left(\frac{x}{y}\right) + f(xy) \right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
વિધેયની વ્યાખ્યા મૂકતા:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( \cos(\log(x/y)) + \cos(\log(xy)) \right)$.
લઘુગણકના ગુણધર્મો $\log(x/y) = \log x - \log y$ અને $\log(xy) = \log x + \log y$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( \cos(\log x - \log y) + \cos(\log x + \log y) \right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) + \cos(A + B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = \log x$ અને $B = \log y$:
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \frac{1}{2} \left( 2 \cos(\log x) \cos(\log y) \right)$.
$E = \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) - \cos(\log x) \cdot \cos(\log y) = 0$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=3[x]+5\{x+1\}$.
$x=-1.32$ માટે,$[x]=[-1.32]=-2$ થાય.
વળી,$x+1=-1.32+1=-0.32$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\{x+1\} = (x+1) - [x+1] = -0.32 - [-0.32] = -0.32 - (-1) = 0.68$.
હવે,વિધેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$f(-1.32) = 3(-2) + 5(0.68)$
$f(-1.32) = -6 + 3.4 = -2.6$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$x = [x] + \{x\}$,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે અને $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે.
$x = -1.4$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક $[x] = [-1.4] = -2$ થાય.
તેથી,અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\} = x - [x] = -1.4 - (-2) = 0.6$ થાય.
આપેલ વિધેય $f(x) = 2\{x\} + 5x$ છે.
વિધેયમાં $x = -1.4$ અને $\{x\} = 0.6$ મૂકતા:
$f(-1.4) = 2(0.6) + 5(-1.4)$
$f(-1.4) = 1.2 - 7.0$
$f(-1.4) = -5.8$.

(D) આપેલ છે કે $f(x)=\frac{2^{x}+2^{-x}}{2}$.
હવે,$f(x+y)=\frac{2^{x+y}+2^{-(x+y)}}{2}$ અને $f(x-y)=\frac{2^{x-y}+2^{-(x-y)}}{2}$.
તેથી,$f(x+y) \cdot f(x-y) = \frac{2^{x+y}+2^{-x-y}}{2} \cdot \frac{2^{x-y}+2^{-x+y}}{2}$.
$= \frac{1}{4} [2^{x+y} \cdot 2^{x-y} + 2^{x+y} \cdot 2^{-x+y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{x-y} + 2^{-x-y} \cdot 2^{-x+y}]$.
$= \frac{1}{4} [2^{2x} + 2^{2y} + 2^{-2y} + 2^{-2x}]$.
$= \frac{1}{4} [(2^{2x} + 2^{-2x}) + (2^{2y} + 2^{-2y})]$.
$= \frac{1}{2} [\frac{2^{2x} + 2^{-2x}}{2} + \frac{2^{2y} + 2^{-2y}}{2}]$.
$= \frac{1}{2} [f(2x) + f(2y)]$.

(C) ધારો કે $ A $ એ $ n = 6 $ ઘટકો ધરાવતો ગણ છે.
$ A $ થી $ A $ પરના કુલ વિધેયોની સંખ્યા $ n^{n} = 6^{6} $ છે.
જો વિધેય એક-એક અને વ્યાપ્ત (bijection) હોય,તો તેની સંખ્યા $ n ! = 6 ! $ થાય.
જે વિધેયો એક-એક અને વ્યાપ્ત નથી,તેમની સંખ્યા શોધવા માટે કુલ વિધેયોમાંથી એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા બાદ કરવી પડે.
તેથી,માંગેલ વિધેયોની સંખ્યા $ 6^{6} - 6 ! $ છે.

(C) આપેલ છે $f(x) = x^2+2x+2 = (x+1)^2+1$. $f(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $a = 1$ છે.
આપેલ છે $g(x) = -(x^2-2x+1) = -(x-1)^2$. $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $b = 0$ છે.
ધારો કે $y = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2+2x+2}{-x^2+2x-1}$.
$y(-x^2+2x-1) = x^2+2x+2$
$-yx^2+2xy-y = x^2+2x+2$
$(1+y)x^2 + (2-2y)x + (2+y) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$:
$(2-2y)^2 - 4(1+y)(2+y) \geq 0$
$4(1-y)^2 - 4(y^2+3y+2) \geq 0$
$1-2y+y^2 - y^2-3y-2 \geq 0$
$-5y-1 \geq 0 \implies y \leq -\frac{1}{5}$.
અંતિમ કિંમત $c = -\frac{1}{5}$ છે.
આમ,$a+2b+5c+4 = 1 + 2(0) + 5(-\frac{1}{5}) + 4 = 1 - 1 + 4 = 4$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} 1+\frac{2x}{k}, & 0 \leq x < 1 \\ kx, & 1 \leq x < 2 \end{cases}$ છે,જ્યાં $k>0$.
આપણને આપેલ છે કે $\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x)$.
ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$ ગણતા:
$\lim_{x \rightarrow 1^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{-}} (1+\frac{2x}{k}) = 1+\frac{2}{k}$.
જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$ ગણતા:
$\lim_{x \rightarrow 1^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 1^{+}} (kx) = k$.
બંને લક્ષોને સરખાવતા:
$1+\frac{2}{k} = k$
$k$ વડે ગુણતા:
$k+2 = k^2$
$k^2 - k - 2 = 0$
અવયવ પાડતા:
$(k-2)(k+1) = 0$.
કારણ કે $k>0$,તેથી $k=2$.
તેથી,$k^2 = 2^2 = 4$.

(D) આપેલ સમીકરણ $3[2x - 2] + 1 = 2[2x - 1] - 1$ છે.
ગુણધર્મ $[t - m] = [t] - m$ નો ઉપયોગ કરતા,$[2x - 2] = [2x] - 2$ મળે.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $3([2x] - 2) + 1 = 2([2x] - 1) - 1$.
$3[2x] - 6 + 1 = 2[2x] - 2 - 1$.
$3[2x] - 5 = 2[2x] - 3$.
$[2x] = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \le 2x < 3$,તેથી $1 \le x < 1.5$.
હવે,$k = 2[2x - 1] - 1 = 2([2x] - 1) - 1 = 2(2 - 1) - 1 = 2(1) - 1 = 1$.
તેથી $f(x) = [k + 5x] = [1 + 5x]$.
$1 \le x < 1.5$ હોવાથી,$5 \le 5x < 7.5$ મળે.
$1$ ઉમેરતા,$6 \le 1 + 5x < 8.5$ મળે.
$[1 + 5x]$ માટે શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $\{6, 7, 8\}$ છે.

(A) ધારો કે $f(x) = y$. કારણ કે $f: R \rightarrow [-1, 1]$ વ્યાપ્ત છે,$y$ એ $[-1, 1]$ માંની તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
આપેલ છે કે $\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{y}{2} \sqrt{4 - y^2}$.
ધારો કે $y = 2 \sin \theta$. કારણ કે $y \in [-1, 1]$,$\sin \theta \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$,તેથી $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$.
તેથી $\frac{y}{2} \sqrt{4 - y^2} = \sin \theta \sqrt{4 - 4 \sin^2 \theta} = \sin \theta \sqrt{4 \cos^2 \theta} = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2 \theta)$.
આમ,$\sin \left(g(x) - \frac{\pi}{3}\right) = \sin(2 \theta)$.
કારણ કે $\theta \in \left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$,$2 \theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$.
તેથી,$g(x) - \frac{\pi}{3} = 2 \theta \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$.
$g(x) \in \left[-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right] = \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$.
$g$ વ્યાપ્ત હોવાથી,સહપ્રદેશ $A = \left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ છે.

(D) બે વિધેયો $f$ અને $g$ સમાન ત્યારે જ કહેવાય જો:
$(i)$ $f$ નો પ્રદેશ અને $g$ નો પ્રદેશ સમાન હોય.
(ii) $f$ નો સહપ્રદેશ અને $g$ નો સહપ્રદેશ સમાન હોય (સામાન્ય રીતે ગર્ભિત).
(iii) તેમના સામાન્ય પ્રદેશમાં રહેલા દરેક $x$ માટે $f(x) = g(x)$ હોય.
વ્યાખ્યા મુજબ,વિધેયોની સમાનતા માટે પ્રદેશ સમાન હોવા જોઈએ અને તે પ્રદેશના દરેક $x$ માટે વિધેયના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ,તેથી આપેલી ત્રણેય શરતો જરૂરી છે.

(A) જો $f$ એ $R$ થી $R$ પરનું યુગ્મ વિધેય હોય,તો $f(0)$ ની કિંમત $0$ જ હોવી જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો વિધેય $f(x)$ યુગ્મ હોય,તો $f(-x)=f(x)$ થાય.
ધારો કે $f(x)=\cos x$,તો $f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$.
આમ,$f(x)=\cos x$ એ યુગ્મ વિધેય છે.
પરંતુ,$f(0)=\cos 0=1 \neq 0$.
તેથી,આપેલ વિધાન ખોટું છે.
$(b)$ $f: R \rightarrow R$,$f(x)=x-[x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x=[x]+\{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,તેથી $f(x)=\{x\}$.
$\{x\}$ એ આવર્તી વિધેય હોવાથી,$f(x)$ પણ આવર્તી વિધેય છે.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.
$(c)$ જો $f: R \rightarrow R$ એ અયુગ્મ વિધેય હોય,તો $f(0)=0$.
અયુગ્મ વિધેય માટે $f(-x)=-f(x)$ થાય.
$x=0$ મૂકતા,$f(0)=-f(0)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2f(0)=0$,એટલે કે $f(0)=0$.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.
$(d)$ ગણ $\{1,2,3,4,5,6\}$ થી $\{1,2\}$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $62$ છે.
ધારો કે $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ અને $B=\{1,2\}$,તેથી $n(A)=6$ અને $n(B)=2$.
$m$ ઘટકોવાળા ગણથી $n$ ઘટકોવાળા ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $n^m - \binom{n}{1}(n-1)^m + \binom{n}{2}(n-2)^m - \dots$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=2$ અને $m=6$ માટે,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^6 - \binom{2}{1}(1)^6 = 64 - 2 = 62$ થાય.
તેથી,આપેલ વિધાન સાચું છે.

(C) પગલું $1$: $A$ નું વિશ્લેષણ કરો. ધારો કે $f(x) = \frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4$. $f(-x)$ તપાસો,જે $f(x)$ મળે છે,તેથી $A$ એ યુગ્મ વિધેય છે $(II)$.
પગલું $2$: $B$ નું વિશ્લેષણ કરો. $x > 0$ માટે,આ વિધેય અયુગ્મ કે યુગ્મ નથી $(I)$.
પગલું $3$: $C$ નું વિશ્લેષણ કરો. $3 < x < 5$ માટે,$|x-2| = x-2$,$|x-3| = x-3$,$|x-5| = 5-x$. તેથી $f(x) = x$,જે તદેવ વિધેય છે $(IV)$.
પગલું $4$: $D$ નું વિશ્લેષણ કરો. આ વિધેય અયુગ્મ કે યુગ્મ નથી $(I)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ છે કે $g(x) = 1 + x - [x]$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $\{x\} = x - [x]$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$g(x) = 1 + \{x\}$.
કારણ કે $0 \le \{x\} < 1$,તેથી $1 \le g(x) < 2$ થાય.
કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે,$g(x)$ હંમેશા $0$ કરતા મોટું હોય છે.
હવે,વિધેય $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે તમામ $x$ માટે $g(x) > 0$ છે,આપણે $f$ વિધેય માટે $x > 0$ ની શરતનો ઉપયોગ કરીને $f(g(x))$ ની કિંમત શોધીએ છીએ.
તેથી,તમામ $x$ માટે $f(g(x)) = 1$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $f(a) = \log \left| \frac{1-a}{1+a} \right|$.
આપણે $f\left( \frac{2a}{1+a^2} \right) > 0$ ઉકેલવા માંગીએ છીએ.
$x = \frac{2a}{1+a^2}$ મૂકતા,આપણને મળે $\log \left| \frac{1 - \frac{2a}{1+a^2}}{1 + \frac{2a}{1+a^2}} \right| > 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\left| \frac{1+a^2-2a}{1+a^2+2a} \right| > 1$,જેનું સાદું રૂપ $\left| \frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} \right| > 1$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(1-a)^2}{(1+a)^2} > 1 \Rightarrow (1-a)^2 > (1+a)^2$.
$1 - 2a + a^2 > 1 + 2a + a^2$.
$-2a > 2a \Rightarrow 4a < 0 \Rightarrow a < 0$.
ઉપરાંત,આપણે પ્રદેશની શરતો $a \neq \pm 1$ અને $\frac{2a}{1+a^2} \neq \pm 1$ સંતોષવી જોઈએ.
$a < 0$ માટે,$a \neq -1$ ની શરત બાકાત રાખવી પડે.
આમ,ઉકેલ $a \in (-\infty, 0) - \{-1\}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \\ x-1, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$ છે.
આપણે એવા $x$ નો ગણ શોધવો છે કે જેના માટે $x \leq 0$ અને $f(|x|) = x$ થાય.
કારણ કે $x \leq 0$,તેથી $|x| = -x$ થાય. જો $x \in [-2, 0]$ હોય,તો $|x| \in [0, 2]$ થાય.
$0 < |x| \leq 2$ માટે,$f(|x|) = |x| - 1 = -x - 1$ થાય.
$f(|x|) = x$ લેતા,આપણને $-x - 1 = x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x = -1$,તેથી $x = -\frac{1}{2}$.
શરત $x \leq 0$ ચકાસતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $x = -\frac{1}{2}$ આ શરતનું પાલન કરે છે.
જો $x = 0$ હોય,તો $f(|0|) = f(0) = -1$ થાય. પરંતુ $x = 0$ છે,તેથી $f(0) \neq 0$.
આમ,માંગેલ ગણ $\{-\frac{1}{2}\}$ છે.

(D) શાંત ગણ $S$ માટે,વિધેય $f: S \rightarrow S$ એ શાંત ગણથી તે જ ગણ પરનું પ્રતિચિત્રણ છે.
જો $f$ એક-એક હોય,તો તે વ્યાપ્ત પણ હોવું જ જોઈએ (શાંત ગણ માટેના પીજનહોલ સિદ્ધાંત મુજબ),અને તેનાથી ઉલટું પણ સાચું છે.
કારણ કે $f$ એ બિન-તત્સમ વિધેય છે,તે તત્સમ સિવાયનું કોઈ ક્રમચય (એક-એક અને વ્યાપ્ત) હોઈ શકે છે,અથવા તે એક-એક કે વ્યાપ્ત ન પણ હોય.
પ્રશ્નમાં $f$ એ બિન-તત્સમ વિધેય છે તે સિવાય કોઈ ગુણધર્મો આપેલા નથી,તેથી તેનો ચોક્કસ પ્રકાર નક્કી કરવો અશક્ય છે.
તેથી,તે એક-એક,વ્યાપ્ત,એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે તેમાંથી કંઈ નથી તે નક્કી કરવા માટે માહિતી અપૂરતી છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે,$n(G) = 3$ અને $n(A) = 4$.
$(A)$ $G \times G$ થી $G$ પરના વિધેયોની કુલ સંખ્યા $n(G)^{n(G \times G)} = 3^{(3 \times 3)} = 3^9 = 19683$ છે. $G \times G$ થી $G$ પરના એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે (કારણ કે $n(G \times G) = 9 \neq n(G) = 3$). તેથી,અ-એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $19683 - 0 = 19683$ છે. તેથી,$A \rightarrow V$.
$(B)$ $A$ થી $A$ પરના એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $n(A)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ છે. તેથી,$B \rightarrow I$.
$(C)$ $G$ થી $G \times A$ પરના વિધેયોની સંખ્યા $n(G \times A)^{n(G)} = (3 \times 4)^3 = 12^3 = 1728$ છે. તેથી,$C \rightarrow III$.
$(D)$ $A$ થી $A \times A$ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $0$ છે કારણ કે $n(A) = 4$ અને $n(A \times A) = 16$. $n(A) < n(A \times A)$ હોવાથી,કોઈ વ્યાપ્ત વિધેય શક્ય નથી. તેથી,$D \rightarrow II$.
આમ,સાચી જોડ $A-V, B-I, C-III, D-II$ છે.

(D) આપેલ છે: $f(x) = x + \frac{1}{x}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(f(x))^2 = (x + \frac{1}{x})^2$
$(f(x))^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x}$
$(f(x))^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2$
હવે,$f(x^2) = x^2 + \frac{1}{x^2}$ અને $f(1) = 1 + \frac{1}{1} = 2$ લો.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(f(x))^2 = f(x^2) + f(1)$

(C) આપેલ છે,$f(x) = \frac{4^x}{4^x + 2}$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $f(1 - x) = \frac{4^{1 - x}}{4^{1 - x} + 2} = \frac{4/4^x}{4/4^x + 2} = \frac{4}{4 + 2 \cdot 4^x} = \frac{2}{2 + 4^x}$.
વળી,$f(x) + f(1 - x) = \frac{4^x}{4^x + 2} + \frac{2}{4^x + 2} = \frac{4^x + 2}{4^x + 2} = 1$.
તેથી,$f(1 - x) = 1 - f(x)$.
આપણે $S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + f(\frac{3}{4})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
કારણ કે $f(\frac{1}{4}) + f(1 - \frac{1}{4}) = f(\frac{1}{4}) + f(\frac{3}{4}) = 1$,આપણે $f(\frac{3}{4}) = 1 - f(\frac{1}{4})$ મૂકી શકીએ.
આમ,$S = f(\frac{1}{4}) + 2 f(\frac{1}{2}) + (1 - f(\frac{1}{4})) = 1 + 2 f(\frac{1}{2})$.
હવે,$f(\frac{1}{2}) = \frac{4^{1/2}}{4^{1/2} + 2} = \frac{2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ની ગણતરી કરીએ.
આ કિંમત મૂકતા,$S = 1 + 2(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{2020^x}{2020^x + \sqrt{2020}}$.
નોંધો કે $f(1-x) = \frac{2020^{1-x}}{2020^{1-x} + \sqrt{2020}} = \frac{2020}{2020 + \sqrt{2020} \cdot 2020^x} = \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2020} + 2020^x}$.
આમ,$f(x) + f(1-x) = \frac{2020^x + \sqrt{2020}}{2020^x + \sqrt{2020}} = 1$.
આપણે $S = \sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right) = 2 \sum_{r=1}^{4039} f\left(\frac{r}{4040}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદો $f\left(\frac{r}{4040}\right)$ અને $f\left(\frac{4040-r}{4040}\right)$ ને જોડતા,આપણને $f\left(\frac{r}{4040}\right) + f\left(1 - \frac{r}{4040}\right) = 1$ મળે છે.
$r=1$ થી $2019$ સુધી આવી $2019$ જોડીઓ છે,અને વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{2020}{4040}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{2020}}{\sqrt{2020} + \sqrt{2020}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sum_{r=1}^{4039} f\left(\frac{r}{4040}\right) = 2019 \times 1 + \frac{1}{2} = 2019.5$.
માટે,$S = 2 \times 2019.5 = 4039$.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = x + \frac{1}{x}$.
આપણે $f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,$f^2(x) = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ ગણો.
ત્યારબાદ,$f^4(x) = (f^2(x))^2 = (x^2 + 2 + \frac{1}{x^2})^2 = (x^2)^2 + 2^2 + (\frac{1}{x^2})^2 + 2(x^2)(2) + 2(x^2)(\frac{1}{x^2}) + 2(2)(\frac{1}{x^2}) = x^4 + 4 + \frac{1}{x^4} + 4x^2 + 2 + \frac{4}{x^2} = x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}$ ગણો.
હવે,$f(x^4) = x^4 + \frac{1}{x^4}$ ગણો.
વળી,$4f^2(x) = 4(x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}) = 4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$f^4(x) - f(x^4) - 4f^2(x) = (x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4}) - (x^4 + \frac{1}{x^4}) - (4x^2 + 8 + \frac{4}{x^2})$.
$= x^4 + 4x^2 + 6 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^4} - x^4 - \frac{1}{x^4} - 4x^2 - 8 - \frac{4}{x^2}$.
$= 6 - 8 = -2$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = 2x + 3$.
સમીકરણ $f(x^2) - 2f(\frac{x}{2}) - 1 = 0$ માં વિધેયની કિંમત મૂકતા:
$(2x^2 + 3) - 2(2(\frac{x}{2}) + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2(x + 3) - 1 = 0$
$2x^2 + 3 - 2x - 6 - 1 = 0$
$2x^2 - 2x - 4 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$x^2 - x - 2 = 0$
$(x - 2)(x + 1) = 0$
તેથી,બીજ $\alpha = 2$ અને $\beta = -1$ છે.
માટે,$\alpha^2 + \beta^2 = (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$.

(C) સંબંધને બે ગણના કાર્તેઝિયન ગુણાકાર $A \times B$ ના ઉપગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિધેય એ સંબંધનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જેમાં પ્રદેશના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં માત્ર એક જ પ્રતિબિંબ હોય છે.
તેથી,દરેક વિધેય એ સંબંધ છે,પરંતુ દરેક સંબંધ એ વિધેય નથી.
આમ,વિધાન $(ii)$ સાચું છે,જ્યારે $(i)$ અને $(iii)$ ખોટા છે.

(A) આપેલ વિધેયો $f(x) = |x|$ અને $g(x) = |x| + a$ છે,જ્યાં $a > 0$.
$0 \leq x \leq b$ માટે,પ્રદેશ $g(x) \leq y \leq f(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,આ પ્રદેશ $x=0$,$x=b$,$y=|x|$ અને $y=|x|+a$ રેખાઓ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = x$ અને $g(x) = x + a$ થાય.
આથી,પ્રદેશ $x=0$,$x=b$,$y=x$ અને $y=x+a$ રેખાઓ વચ્ચે આવેલો છે.
અહીં $y-x=0$ અને $y-x=a$ એ સમાંતર રેખાઓ છે,અને $x=0$ તથા $x=b$ પણ સમાંતર રેખાઓ છે.
તેથી,આ પ્રદેશ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x - f(x) = 19[\frac{x}{19}] - 90[\frac{f(x)}{90}]$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $x - 19[\frac{x}{19}] = f(x) - 90[\frac{f(x)}{90}]$ મળે છે.
આ $x \pmod{19} = f(x) \pmod{90}$ ને સમાન છે.
ધારો કે $x = 1990$. તો $1990 = 19 \times 104 + 14$,તેથી $1990 \equiv 14 \pmod{19}$.
આમ,$f(1990) \equiv 14 \pmod{90}$.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે $f(1990) = 90k + 14$.
આપણને આપેલ છે કે $1990 < f(1990) < 2100$.
$f(1990) = 90k + 14$ મૂકતા,આપણને $1990 < 90k + 14 < 2100$ મળે છે.
$1976 < 90k < 2086$.
$90$ વડે ભાગતા,આપણને $21.95 < k < 23.17$ મળે છે.
$k$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $k = 22$ અથવા $k = 23$.
જો $k = 22$ હોય,તો $f(1990) = 90(22) + 14 = 1980 + 14 = 1994$.
જો $k = 23$ હોય,તો $f(1990) = 90(23) + 14 = 2070 + 14 = 2084$.
બંને કિંમતો શરત $1990 < f(1990) < 2100$ નું પાલન કરે છે.
આમ,$f(1990)$ માટે $2$ શક્ય કિંમતો છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\}$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક $I$ માટે $[n + I] = [n] + I$ હોવાથી,આપણને મળે છે $f(x) = \{x + [\frac{x}{1+x^2}]\} = \{x\} + [\frac{x}{1+x^2}] - [\{x\} + [\frac{x}{1+x^2}]] = \{x\}$.
આમ,$f(x) = \{x\} = x - [x]$.
હવે,$f(\sqrt{2}) = \{\sqrt{2}\} = \sqrt{2} - [\sqrt{2}] = 1.414 - 1 = 0.414$ ની ગણતરી કરો.
ત્યારબાદ,$f(-\sqrt{3}) = \{-\sqrt{3}\} = -\sqrt{3} - [-\sqrt{3}] = -1.732 - (-2) = -1.732 + 2 = 0.268$ ની ગણતરી કરો.
તેથી,$f(\sqrt{2}) + f(-\sqrt{3}) = 0.414 + 0.268 = 0.682$.

(A) $A)$ $\cos ^2 x$ નો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$\Rightarrow 1+\cos ^2 x \in [1, 2]$.
$\Rightarrow [1+\cos ^2 x] \in \{1, 2\}$.
$\Rightarrow \sec ^{-1}[1+\cos ^2 x] \in \{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\}$. તેથી,$A-V$.
$B)$ આપેલ છે $f(x+\frac{1}{x}) = x^2+\frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2$.
ધારો કે $t = x+\frac{1}{x}$. વિધેય $f(t) = t^2-2$ માટે પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $R$ છે. તેથી,$B-IV$.
$C)$ $f(x+y) = f(x)+f(y)$ એ કોશીનું વિધેયાત્મક સમીકરણ છે,તેથી $f(x) = kx$.
$f(1) = 5$ આપેલ હોવાથી,$k(1) = 5 \Rightarrow k = 5$.
તેથી $f(x) = 5x$,જે અયુગ્મ વિધેય છે કારણ કે $f(-x) = 5(-x) = -f(x)$. તેથી,$C-I$.
$D)$ $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x + \sin ^{-1}(1-x) = 0$.
$x=0$ માટે: $\sin ^{-1}(0) - \cos ^{-1}(0) + \sin ^{-1}(1) = 0 - \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0$. (સાચું)
$x=\frac{1}{2}$ માટે: $\sin ^{-1}(\frac{1}{2}) - \cos ^{-1}(\frac{1}{2}) + \sin ^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = 0$. (સાચું)
તેથી,$D-II$.

(B) પ્રદેશ નક્કી કરો અને લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરો:
પ્રથમ,નોંધો કે વિધેય $\cosh^{-1} x$ ફક્ત $x \geq 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે. તેથી,આપણી પાસે $x \geq 1$ હોવું જોઈએ.
અમે પ્રતિ હાઇપરબોલિક વિધેયોની લઘુગણકીય વ્યાખ્યાઓનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$e^{\cosh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 - 1}$
$e^{\sinh^{-1} x} = x + \sqrt{x^2 + 1}$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકો અને સાદું રૂપ આપો:
આ પદોને મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{2} + (x + \sqrt{x^2 - 1}) - (x + \sqrt{x^2 + 1}) = 0$
$x$ પદો ઉડી જશે,જેથી બાકી રહે:
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} - \sqrt{x^2 + 1} = 0$
$\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{x^2 + 1}$
$x$ માટે ઉકેલો:
વર્ગમૂળ દૂર કરવા માટે સમીકરણની બંને બાજુ વર્ગ કરો:
$(\sqrt{2} + \sqrt{x^2 - 1})^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2$
$2 + (x^2 - 1) + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
$x^2 + 1 + 2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = x^2 + 1$
બંને બાજુથી $x^2 + 1$ બાદ કરતા:
$2\sqrt{2}\sqrt{x^2 - 1} = 0$
$\sqrt{x^2 - 1} = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$
કારણ કે પ્રદેશ $x \geq 1$ ની માંગ કરે છે,તેથી માત્ર એક જ માન્ય ઉકેલ $x = 1$ છે. આમ,$1$ ઉકેલ મળે છે.

(D) $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$. $\sinh(-x) = -\sinh x$ હોવાથી,તે $\mathbb{R}$ વિસ્તાર ધરાવતું અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$A-IV$.
$(B)$ $\text{sech } x = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$. $\text{sech}(-x) = \text{sech } x$ હોવાથી,તે યુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$B-III$.
$(C)$ $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$. $\tanh(-x) = -\tanh x$ હોવાથી,તે $(-1, 1)$ વિસ્તાર ધરાવતું અયુગ્મ વિધેય છે. તેથી,$C-V$.
$(D)$ $\text{cosech}^{-1} x = \ln\left(\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1+x^2}}{|x|}\right)$. તેનો પ્રદેશ $x \neq 0$ છે અને તે યુગ્મ કે અયુગ્મ નથી. તેથી,$D-II$.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-III, C-V, D-II$ છે.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = \begin{cases} x + 4, & x < -4 \\ 3x + 2, & -4 \leq x < 4 \\ x - 4, & x \geq 4 \end{cases}$
$(A) f(-5) + f(-4) = (-5 + 4) + (3(-4) + 2) = -1 + (-12 + 2) = -1 - 10 = -11$. તેથી,$(A) \rightarrow (iii)$.
$(B) f(|f(-8)|) = f(|-8 + 4|) = f(|-4|) = f(4) = 4 - 4 = 0$. તેથી,$(B) \rightarrow (vi)$.
$(C) f(f(-7) + f(3)) = f((-7 + 4) + (3(3) + 2)) = f(-3 + 11) = f(8) = 8 - 4 = 4$. તેથી,$(C) \rightarrow (ii)$.
$(D) f(f(f(f(0)))) + 1$. પ્રથમ,$f(0) = 3(0) + 2 = 2$. પછી $f(f(0)) = f(2) = 3(2) + 2 = 8$. પછી $f(f(f(0))) = f(8) = 8 - 4 = 4$. પછી $f(f(f(f(0)))) = f(4) = 4 - 4 = 0$. અંતે,$0 + 1 = 1$. તેથી,$(D) \rightarrow (v)$.
સાચું જોડાણ $(A)-(iii), (B)-(vi), (C)-(ii), (D)-(v)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ મળે છે.
આપણને સંબંધ $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ આપેલ છે.
જમણી બાજુએ $f(x)$ નું પદ મૂકતા:
$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} \right)$
$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} \right)$
$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} \right) = 2f(x)$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $f(x) = k \cdot 2f(x)$.
$x \in (-10, 10)$ માટે $f(x) \neq 0$ હોવાથી,$1 = 2k$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.5$.