Mix Examples of Relation and Function Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $e^{f(x)}=\frac{10+x}{10-x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને $f(x)=\log \left(\frac{10+x}{10-x}\right)$ મળે છે.
આપણને સંબંધ $f(x)=k f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right)$ આપેલ છે.
જમણી બાજુએ $f(x)$ નું પદ મૂકતા:
$f\left(\frac{200 x}{100+x^2}\right) = \log \left( \frac{10 + \frac{200x}{100+x^2}}{10 - \frac{200x}{100+x^2}} \right)$
$= \log \left( \frac{10(100+x^2) + 200x}{10(100+x^2) - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{1000 + 10x^2 + 200x}{1000 + 10x^2 - 200x} \right)$
$= \log \left( \frac{10(x^2 + 20x + 100)}{10(x^2 - 20x + 100)} \right)$
$= \log \left( \frac{(x+10)^2}{(10-x)^2} \right)$
$= 2 \log \left( \frac{10+x}{10-x} \right) = 2f(x)$.
આ કિંમતને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $f(x) = k \cdot 2f(x)$.
$x \in (-10, 10)$ માટે $f(x) \neq 0$ હોવાથી,$1 = 2k$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $k = 0.5$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = |x|$ અને $g(x) = [x]$.
આપણે $x \in R$ નો એવો ગણ શોધવાનો છે કે જેથી $g(f(x)) \leq f(g(x))$ થાય.
વિધેયોની કિંમત મૂકતા,આપણને $[|x|] \leq |[x]|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \geq 0$ હોય,તો $|x| = x$ અને $[x] \geq 0$ થાય. અસમતા $[x] \leq |[x]|$ બને છે. કારણ કે $[x]$ એ પૂર્ણાંક છે અને $[x] \geq 0$ છે,તેથી $|[x]| = [x]$ થાય. આમ,$[x] \leq [x]$,જે તમામ $x \geq 0$ માટે સત્ય છે.
કિસ્સો $2$: જો $x < 0$ હોય,તો ધારો કે $x = -n - f$,જ્યાં $n \geq 0$ પૂર્ણાંક છે અને $0 \leq f < 1$ છે. જો $f=0$ હોય,તો $x = -n$ (પૂર્ણાંક),તેથી $[|x|] = [n] = n$ અને $|[x]| = |-n| = n$ થાય. તેથી $n \leq n$ સત્ય છે.
જો $0 < f < 1$ હોય,તો $x = -(n+f)$. $|x| = n+f$,તેથી $[|x|] = [n+f] = n$ થાય. વળી $[x] = [-(n+f)] = -(n+1)$. તેથી $|[x]| = |-(n+1)| = n+1$ થાય. અસમતા $n \leq n+1$ બને છે,જે સત્ય છે.
આમ,અસમતા તમામ $x \in R$ માટે સત્ય હોવાથી,ઉકેલ ગણ $R$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \begin{cases} -1, & -2 \leq x \leq 0 \\ x - 1, & 0 < x \leq 2 \end{cases}$ છે.
આપણે $x$ ની એવી કિંમતોનો ગણ શોધવાનો છે કે જેથી $x \leq 0$ અને $f(|x|) = x$ થાય.
કારણ કે $x \leq 0$,તેથી $|x| = -x$ થાય.
આ કિંમતને $f(|x|) = x$ શરતમાં મૂકતા,આપણને $f(-x) = x$ મળે છે.
કારણ કે $x \leq 0$,તેથી $-x \geq 0$ થાય.
જો $-x = 0$,તો $x = 0$. શરત તપાસતા: $f(|0|) = f(0) = -1$. પરંતુ $x = 0$,તેથી $-1 \neq 0$.
જો $-x > 0$,તો $-x$ એ અંતરાલ $(0, 2]$ માં આવે છે.
વિધેયની વ્યાખ્યા $f(t) = t - 1$ નો ઉપયોગ $t \in (0, 2]$ માટે કરતા,આપણને $f(-x) = (-x) - 1$ મળે છે.
આને $x$ સાથે સરખાવતા,$-x - 1 = x$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા: $2x = -1$,જે આપણને $x = -\frac{1}{2}$ આપે છે.
કારણ કે $-\frac{1}{2} \leq 0$,આ કિંમત માન્ય છે.
આમ,ગણ $\{-\frac{1}{2}\}$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = x^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$A$. $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે,જો $A = B = R^{+}$.
$A = R^{+}$ માટે,$f(x) = x^2$ એ ચુસ્ત વધતું વિધેય છે,તેથી તે એક-એક છે. $B = R^{+}$ હોવાથી,દરેક $y \in R^{+}$ માટે,$x = \sqrt{y} \in R^{+}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(x) = y$,તેથી તે વ્યાપ્ત છે. આમ,$A \rightarrow 4$.
$B$. $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી,જો $A = R^{+}, B = R$.
$A = R^{+}$ માટે,$f(x) = x^2$ એક-એક છે. $B = R$ હોવાથી,વિસ્તાર $R^{+}$ છે,જે $B$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી. આમ,$B \rightarrow 1$.
$C$. $f$ વ્યાપ્ત છે પણ એક-એક નથી,જો $A = R, B = R^{+}$.
$A = R$ માટે,$f(1) = 1$ અને $f(-1) = 1$,તેથી તે એક-એક નથી. $B = R^{+}$ હોવાથી,દરેક $y \in R^{+}$ માટે,$x = \pm \sqrt{y} \in R$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $f(x) = y$,તેથી તે વ્યાપ્ત છે. આમ,$C \rightarrow 3$.
$D$. $f$ એક-એક પણ નથી અને વ્યાપ્ત પણ નથી,જો $A = B = R$.
$A = R$ માટે,$f(1) = f(-1) = 1$,તેથી તે એક-એક નથી. $B = R$ હોવાથી,વિસ્તાર $R^{+}$ છે,જે $B$ નો ઉચિત ઉપગણ છે,તેથી તે વ્યાપ્ત નથી. આમ,$D \rightarrow 2$.
તેથી,સાચી જોડ $A \rightarrow 4, B \rightarrow 1, C \rightarrow 3, D \rightarrow 2$ છે.

(A) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{a x^{10} + b x^8 + c x^6 + d x^4 + e x^2 + 12 x + 15}{x}$.
દરેક પદને $x$ વડે ભાગતા:
$f(x) = a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x + 12 + \frac{15}{x}$.
હવે,$f(-x)$ ધ્યાનમાં લો:
$f(-x) = a(-x)^9 + b(-x)^7 + c(-x)^5 + d(-x)^3 + e(-x) + 12 + \frac{15}{-x}$
$f(-x) = -(a x^9 + b x^7 + c x^5 + d x^3 + e x) + 12 - \frac{15}{x}$.
$f(x)$ અને $f(-x)$ નો સરવાળો કરતા:
$f(x) + f(-x) = 12 + 12 = 24$.
$x = 4$ માટે:
$f(4) + f(-4) = 24$.
$f(4) = -4$ આપેલ હોવાથી:
$-4 + f(-4) = 24$
$f(-4) = 28$.

(D) અહીં $X = \{0, 1, 2\}$ અને $Y = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ છે. આપણે એવા અચળ ન હોય તેવા વિધેયો $f: X \to Y$ શોધવાના છે કે જેથી $f(0) \leq f(1) \leq f(2)$ થાય.
વિધેય અચળ ન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે $f(0) = f(1) = f(2)$ વાળા કિસ્સાને બાદ કરીશું.
બિન-ઘટતા વિધેયોની કુલ સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r} = \binom{8+3-1}{3} = \binom{10}{3} = 120$ છે.
અહીં $8$ અચળ વિધેયો છે જ્યાં $f(0) = f(1) = f(2) = k$ થાય.
તેથી,અચળ ન હોય તેવા બિન-ઘટતા વિધેયોની સંખ્યા $120 - 8 = 112$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કિસ્સાઓનો સરવાળો:
કિસ્સો $I$: $f(0) < f(1) < f(2)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{3} = 56$.
કિસ્સો $II$: $f(0) = f(1) < f(2)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = 28$.
કિસ્સો $III$: $f(0) < f(1) = f(2)$. રીતોની સંખ્યા = $\binom{8}{2} = 28$.
કુલ = $56 + 28 + 28 = 112$.

(D) વિધેય $f(n)$ એ $n$ ના તમામ ધન ભાજકોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
$n = 2^k \cdot 3^1$ સંખ્યા માટે,ભાજકો એ $2^k$ ના ભાજકો અને $3^1$ ના ભાજકોનો ગુણાકાર છે.
$2^k$ ના ભાજકોનો સરવાળો $(1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^k) = \frac{2^{k+1}-1}{2-1} = 2^{k+1}-1$ છે.
$3^1$ ના ભાજકોનો સરવાળો $(1 + 3) = 4$ છે.
$f$ એ પરસ્પર અવિભાજ્ય અવયવો માટે ગુણાકાર વિધેય હોવાથી,$f(2^k \cdot 3) = f(2^k) \cdot f(3)$.
આમ,$f(2^k \cdot 3) = (2^{k+1}-1) \cdot 4 = 4(2^{k+1}-1)$.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}}$.
$e^x$ અને $2e^{-x}$ માટે $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{e^x + 2e^{-x}}{2} \geq \sqrt{e^x \cdot 2e^{-x}} = \sqrt{2}$.
તેથી,$e^x + 2e^{-x} \geq 2\sqrt{2}$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{e^x + 2e^{-x}} \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
$e^x + 2e^{-x} > 0$ હોવાથી,$0 < f(x) \leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
આમ,કારણ $(R)$ સાચું છે.
$\frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.3535$ અને $\frac{1}{3} \approx 0.3333$ હોવાથી,$\frac{1}{3} < \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
વિધેય સતત હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય મુજબ,કોઈક $c \in R$ માટે $f(c) = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે અને $(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in f^{-1}(A - B)$ જો અને માત્ર જો $f(x) \in A - B$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $f(x) \in A$ અને $f(x) \notin B$.
આ $x \in f^{-1}(A)$ અને $x \notin f^{-1}(B)$ ને સમતુલ્ય છે.
તેથી,$x \in f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$.
આ બંને દિશામાં સાચું હોવાથી,$f^{-1}(A - B) = f^{-1}(A) - f^{-1}(B)$ મળે છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = x \left( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \right)$ છે,જ્યાં $x > 1$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$f(x) = x \left( \frac{(x+1) + (x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = x \left( \frac{2x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x} \right)$
$f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 1} + 1$
$f(x) = \frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} + 1$
અહીં $x > 1$ હોવાથી,$x^2 > 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $0 < \frac{1}{x^2} < 1$.
તેથી,$0 < 1 - \frac{1}{x^2} < 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{1 - \frac{1}{x^2}} > 1$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,$\frac{2}{1 - \frac{1}{x^2}} > 2$ મળે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$f(x) > 2 + 1 = 3$ મળે.
આમ,$f(x) > 3$.

(C, D) વિધેય $f(x)$ યુગ્મ છે જો $f(-x) = f(x)$ અને અયુગ્મ છે જો $f(-x) = -f(x)$.
$(a)$ $f(x) = x^{3} \sin x$. તો $f(-x) = (-x)^{3} \sin(-x) = (-x^{3})(-\sin x) = x^{3} \sin x = f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ છે.
$(b)$ $f(x) = x^{2} \cos x$. તો $f(-x) = (-x)^{2} \cos(-x) = x^{2} \cos x = f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ છે.
$(c)$ $f(x) = e^{x} x^{3} \sin x$. તો $f(-x) = e^{-x} (-x)^{3} \sin(-x) = e^{-x} x^{3} \sin x \neq f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ નથી.
$(d)$ $f(x) = x - [x]$. તો $f(-x) = -x - [-x]$. કારણ કે $[-x] = -[x] - 1$ (જ્યારે $x$ પૂર્ણાંક ન હોય),$f(-x) = -x - (-[x] - 1) = -x + [x] + 1 = 1 - (x - [x]) = 1 - f(x) \neq f(x)$. આમ,$f(x)$ યુગ્મ નથી.
તેથી,વિકલ્પો $(c)$ અને $(d)$ યુગ્મ વિધેયો નથી.

(B) આપેલ છે $f(x) = [x]^2 - ([x] + 3) - 3 = [x]^2 - [x] - 6$.
અવયવ પાડતા,$f(x) = ([x] - 3)([x] + 2)$.
$(1)$ $f(x) > 0$ માટે,$[x] > 3$ અથવા $[x] < -2$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [4, \infty)$ અથવા $x \in (-\infty, -2)$. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$(2)$ $f(x) < 0$ માટે,$-2 < [x] < 3$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $[x] \in \{-1, 0, 1, 2\}$.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [-1, 3)$. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$(3)$ સંકલન ગણતા: $\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$[x] = 0$,તેથી $f(x) = 0^2 - 0 - 6 = -6$.
$x \in [1, 2)$ માટે,$[x] = 1$,તેથી $f(x) = 1^2 - 1 - 6 = -6$.
તેથી,$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 (-6) dx + \int_1^2 (-6) dx = -6 - 6 = -12$. વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.
$(4)$ $f(x) = 0$ માટે,$[x] = 3$ અથવા $[x] = -2$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in [3, 4)$ અથવા $x \in [-2, -1)$,જેમાં અસંખ્ય કિંમતો છે. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.

(A) પ્રથમ,આપણે ગણ $A$ ના ઘટકો શોધીએ:
$|(|x - 3| - 3)| \leq 1 \implies -1 \leq |x - 3| - 3 \leq 1$
$2 \leq |x - 3| \leq 4$
આનો અર્થ એ છે કે $2 \leq x - 3 \leq 4$ અથવા $-4 \leq x - 3 \leq -2$
$5 \leq x \leq 7$ અથવા $-1 \leq x \leq 1$
$x \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$A = \{-1, 0, 1, 5, 6, 7\}$. $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 6$ છે.
હવે,આપણે ગણ $B$ ના ઘટકો શોધીએ:
$\frac{(x - 2)(x - 4)}{x - 1} \log_{e}(|x - 2|) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $(x - 2)(x - 4) = 0$ અથવા $\log_{e}(|x - 2|) = 0$.
જો $(x - 2)(x - 4) = 0$ હોય,તો $x = 2$ અથવા $x = 4$. $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$ હોવાથી,આપણે $x = 4$ સ્વીકારીએ છીએ.
જો $\log_{e}(|x - 2|) = 0$ હોય,તો $|x - 2| = 1$,તેથી $x - 2 = 1$ અથવા $x - 2 = -1$.
આનાથી $x = 3$ અથવા $x = 1$ મળે છે. $x \in \mathbb{R} - \{1, 2\}$ હોવાથી,આપણે $x = 3$ સ્વીકારીએ છીએ.
આમ,$B = \{3, 4\}$,અને $B$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(B) = 2$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણથી $m$ ઘટકો ધરાવતા ગણ પરના વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $m^n - \binom{m}{1}(m-1)^n + \binom{m}{2}(m-2)^n - \dots$ દ્વારા મળે છે.
$n = 6$ અને $m = 2$ માટે,વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$ થાય.

(D) ધારો કે $S = A \times B = \{(1,2), (1,3), (1,8), (4,2), (4,3), (4,8), (7,2), (7,3), (7,8)\}$.
સંબંધ $R$ એ $S \times S$ પર વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $|S| = 9$,તેથી $|S \times S| = 81$.
આપણે એવી જોડીઓ $((a_1, b_1), (a_2, b_2))$ શોધવાની છે કે જેથી $(a_1 + a_2)$ એ $(b_1 + b_2)$ ને ભાગે.
$a_1, a_2 \in \{1, 4, 7\}$ અને $b_1, b_2 \in \{2, 3, 8\}$ ના સંયોજનો તપાસતા:
$1$. જો $a_1+a_2=2$ (એટલે કે $a_1=1, a_2=1$),તો $b_1+b_2$ બેકી સંખ્યા હોવી જોઈએ. શક્ય $(b_1, b_2)$ જોડીઓ $(2,2), (2,8), (3,3), (8,2), (8,8)$ છે. ($5$ જોડીઓ)
$2$. જો $a_1+a_2=8$ (એટલે કે $(1,7), (7,1), (4,4)$),તો $b_1+b_2$ એ $8$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
- $(1,7)$ માટે,$b_1+b_2$ એ $8$ અથવા $16$ હોઈ શકે. જોડીઓ: $(2,8), (8,2), (8,8)$. ($3$ જોડીઓ)
- $(7,1)$ માટે,$b_1+b_2$ એ $8$ અથવા $16$ હોઈ શકે. જોડીઓ: $(2,8), (8,2), (8,8)$. ($3$ જોડીઓ)
- $(4,4)$ માટે,$b_1+b_2$ એ $8$ અથવા $16$ હોઈ શકે. જોડીઓ: $(2,8), (8,2), (8,8)$. ($3$ જોડીઓ)
$3$. જો $a_1+a_2=14$ (એટલે કે $(7,7)$),તો $b_1+b_2$ એ $14$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. કોઈ જોડીનો સરવાળો $14$ થતો નથી. ($0$ જોડીઓ)
$4$. જો $a_1+a_2=5$ (એટલે કે $(1,4), (4,1)$),તો $b_1+b_2$ એ $5$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. જોડીઓ: $(2,3), (3,2)$. ($2$ જોડીઓ દરેક,કુલ $4$ જોડીઓ)
$5$. જો $a_1+a_2=11$ (એટલે કે $(4,7), (7,4)$),તો $b_1+b_2$ એ $11$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. કોઈ જોડીનો સરવાળો $11$ થતો નથી. ($0$ જોડીઓ)
કુલ સરવાળો: $5 + 3 + 3 + 3 + 4 = 18$.

(A) સંબંધ $R$ એ $A \times A$ પર વ્યાખ્યાયિત છે જ્યાં $A = \{2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
શરત $(x, y) R (z, w) \iff x|z$ અને $y \le w$ છે,જ્યાં $(x, y), (z, w) \in A \times A$.
આવા ક્રમયુક્ત જોડીઓની કુલ સંખ્યા $(\sum_{x \in A} \sum_{z \in A, x|z} 1) \times (\sum_{y \in A} \sum_{w \in A, y \le w} 1)$ દ્વારા મળે છે.
$x|z$ માટે:
જો $x=2$,તો $z \in \{2, 4, 6\}$ ($3$ કિંમતો).
જો $x=3$,તો $z \in \{3, 6\}$ ($2$ કિંમતો).
જો $x=4$,તો $z \in \{4\}$ ($1$ કિંમત).
જો $x=5$,તો $z \in \{5\}$ ($1$ કિંમત).
જો $x=6$,તો $z \in \{6\}$ ($1$ કિંમત).
$(x, z)$ માટે કુલ જોડીઓ $3+2+1+1+1 = 8$ છે.
$y \le w$ માટે:
જો $y=2$,તો $w \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ કિંમતો).
જો $y=3$,તો $w \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ કિંમતો).
જો $y=4$,તો $w \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ કિંમતો).
જો $y=5$,તો $w \in \{5, 6\}$ ($2$ કિંમતો).
જો $y=6$,તો $w \in \{6\}$ ($1$ કિંમત).
$(y, w)$ માટે કુલ જોડીઓ $5+4+3+2+1 = 15$ છે.
$R$ માં કુલ ઘટકો $= 8 \times 15 = 120$ છે.