Domain and Range Questions in Gujarati

(C) પ્રદેશ $A$ માટે,આપણે $|x| - x^2 > 0$ ની જરૂર છે.
$|x|^2 = x^2$ હોવાથી,આ $|x| - |x|^2 > 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે $|x|(1 - |x|) > 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $0 < |x| < 1$,તેથી $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$. આમ,$A = (-1, 0) \cup (0, 1)$.
વિસ્તાર $B$ માટે,ધારો કે $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - x^2}}$.
જેમ $x \to 0$,$|x| - x^2 \to 0^+$,તેથી $y \to \infty$.
જેમ $|x| \to 1$,$|x| - x^2 \to 0^+$,તેથી $y \to \infty$.
$|x| - x^2$ ની મહત્તમ કિંમત $|x| = 1/2$ પર મળે છે,જે $1/2 - 1/4 = 1/4$ આપે છે.
છેદની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ (બાકાત) અને મહત્તમ કિંમત $1/4$ છે.
તેથી,$\sqrt{|x| - x^2} \in (0, 1/2]$.
તેથી,$y \in [2, \infty)$,એટલે કે $B = [2, \infty)$.
અંતે,$A \cup B = ((-1, 0) \cup (0, 1)) \cup [2, \infty)$.

(D) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,બંને ભાગો વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ.
પ્રથમ,$\cos^{-1} \left( \frac{1 + x^2}{2 x} \right)$ ધ્યાનમાં લો. આ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જો $-1 \leq \frac{1 + x^2}{2 x} \leq 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\left| \frac{1 + x^2}{2 x} \right| \leq 1$,જેનો અર્થ છે $|1 + x^2| \leq |2x|$.
કારણ કે $1 + x^2 \geq 2|x|$ માત્ર ત્યારે જ સાચું છે જ્યારે $|x| = 1$ હોય,તેથી $x = 1$ અથવા $x = -1$ મળે.
હવે,પ્રથમ ભાગ $\sqrt{\cos(\sin x)}$ તપાસો.
$x = 1$ માટે,$\cos(\sin 1) > 0$ કારણ કે $\sin 1 \approx 0.84$ રેડિયન,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.
$x = -1$ માટે,$\cos(\sin(-1)) = \cos(-\sin 1) = \cos(\sin 1) > 0$.
આમ,બંને શરતો માત્ર $x = 1$ અને $x = -1$ માટે સંતોષાય છે,તેથી પ્રદેશ $\{-1, 1\}$ છે.

(C) આપેલ વિધેય: $f(x) = \sqrt[3]{\frac{x-2}{2x^2-7x+5}} + \log(x^2-x-2)$.
પ્રદેશ માટે:
$1$. ઘનમૂળ માટે છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $2x^2-7x+5 \neq 0$ $\Rightarrow (2x-5)(x-1) \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 1, x \neq \frac{5}{2}$.
$2$. લઘુગણક માટે: $x^2-x-2 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0$. આ અસમતા $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ માટે સાચી છે.
આ શરતોને જોડતા,આપણને મળે છે: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ જ્યાં $x \neq 1$ અને $x \neq \frac{5}{2}$.
અહીં $1$ એ અંતરાલ $(-\infty, -1) \cup (2, \infty)$ માં નથી,તેથી માત્ર $\frac{5}{2}$ ને બાદ કરતા,પ્રદેશ $(-\infty, -1) \cup (2, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, \infty)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x - |x||}}$.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $|x - |x|| > 0$.
જો $x \ge 0$ હોય,તો $|x| = x$,તેથી $|x - x| = 0$,જે $> 0$ નથી.
જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,તેથી $|x - (-x)| = |2x| = -2x$. કારણ કે $x < 0$,તેથી $-2x > 0$.
આમ,પ્રદેશ $A = (-\infty, 0)$.
$x \in (-\infty, 0)$ માટે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{-2x}}$. જેમ $x$ એ $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે,તેમ $-2x$ એ $(0, \infty)$ માં બદલાય છે,અને $\sqrt{-2x}$ એ $(0, \infty)$ માં બદલાય છે.
તેથી,વિસ્તાર $B = (0, \infty)$.
અંતે,$A \cap B = (-\infty, 0) \cap (0, \infty) = \phi$.

(D) વિધેય $f(x)=\sin ^{-1}(x^2-1)-3 \log _3(3^x-2)$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે બંને પદો વ્યાખ્યાયિત હોય.
$\sin ^{-1}(x^2-1)$ માટે,$-1 \leq x^2-1 \leq 1$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $0 \leq x^2 \leq 2$,તેથી $x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$\log _3(3^x-2)$ માટે,$3^x-2 > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $3^x > 2$,તેથી $x > \log _3 2$.
$f(x)$ નો પ્રદેશ છે: $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (\log _3 2, \infty) = (\log _3 2, \sqrt{2}]$.
વિધેય $x \in (-\infty, \log _3 2] \cup (\sqrt{2}, \infty)$ માટે વ્યાખ્યાયિત નથી.
આને $(-\infty, a] \cup (b, \infty)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \log _3 2$ અને $b = \sqrt{2}$ મળે છે.
તેથી,$3^a + b^2 = 3^{\log _3 2} + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.

(D) વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. અંશમાં વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\log_{10}\left(\frac{x}{x-2}\right) \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{x}{x-2} \geq 10^0$,તેથી $\frac{x}{x-2} \geq 1$.
$\frac{x}{x-2} - 1 \geq 0$ $\Rightarrow \frac{x - (x-2)}{x-2} \geq 0$ $\Rightarrow \frac{2}{x-2} > 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $x-2 > 0$,એટલે કે $x > 2$.
$2$. છેદમાં વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ: $[x]^2 - 5[x] + 6 > 0$.
$([x]-2)([x]-3) > 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $[x] < 2$ અથવા $[x] > 3$.
જો $[x] < 2$,તો $x < 2$. જો $[x] > 3$,તો $x \geq 4$.
$3$. શરતો $x > 2$ અને ($x < 2$ અથવા $x \geq 4$) ને જોડતા,આપણને $x \in [4, \infty)$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-x}{x-[x]}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
અંશ $\sqrt{|x|-x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$|x|-x \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $|x| \geq x$. આ તમામ $x \in R$ માટે સાચું છે.
છેદ $\sqrt{x-[x]}$ વ્યાખ્યાયિત અને શૂન્યતર હોવા માટે,$x-[x] > 0$ હોવું જોઈએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x-[x] = \{x\}$,જ્યાં $\{x\}$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ છે.
શરત $\{x\} > 0$ એ તમામ $x \notin Z$ (પૂર્ણાંકો સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ) માટે સાચી છે.
જો $x \in Z$ હોય,તો $\{x\} = 0$ થાય,જે છેદને શૂન્ય બનાવે છે અને વિધેય અવ્યાખ્યાયિત બને છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $R-Z$ છે.

(A) સંચય ${ }^{n} C_{r}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$n \geq r \geq 0$ અને $n, r \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$ હોવું જોઈએ.
અહીં,$n = 16-x$ અને $r = 2x-1$.
$1$) $r \geq 0 \implies 2x-1 \geq 0 \implies x \geq \frac{1}{2}$.
$2$) $n \geq r \implies 16-x \geq 2x-1 \implies 17 \geq 3x \implies x \leq \frac{17}{3} \approx 5.66$.
$3$) $n \geq 0 \implies 16-x \geq 0 \implies x \leq 16$.
આ શરતોને જોડતા,આપણને $\frac{1}{2} \leq x \leq 5.66$ મળે છે.
$n$ અને $r$ અઋણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી $x$ એવો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ કે જેથી $2x-1$ અઋણ પૂર્ણાંક થાય અને $16-x \geq 2x-1$ થાય.
અંતરાલ $[0.5, 5.66]$ માં $x$ ની શક્ય પૂર્ણાંક કિંમતો $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ છે.

(A) આપેલ છે: $f(x) = \frac{\sqrt{6x^2+5x-6}}{\sqrt{4-x}-\sqrt{x+4}}$
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$(1)$ અંશ વાસ્તવિક હોવો જોઈએ: $6x^2+5x-6 \geq 0$
$(3x-2)(2x+3) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$
$(2)$ છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\sqrt{4-x} - \sqrt{x+4} \neq 0$
$4-x \neq x+4$ $\Rightarrow 2x \neq 0$ $\Rightarrow x \neq 0$
$(3)$ વર્ગમૂળ પદો વ્યાખ્યાયિત હોવા જોઈએ:
$4-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$
$x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$
આ શરતોને જોડતા: $x \in [-4, 4] \cap ((-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)) \cap \{x \neq 0\}$
કારણ કે $0$ એ $(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$ અંતરાલમાં નથી,તેથી $x \neq 0$ શરત આપોઆપ સંતોષાય છે.
આમ,પ્રદેશ $[-4, -\frac{3}{2}] \cup [\frac{2}{3}, 4]$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અઋણ હોવી જોઈએ:
$\frac{2x^2 - 7x + 5}{3x^2 - 5x - 2} \geq 0$
અંશ અને છેદના અવયવો પાડતા:
અંશ: $(2x - 5)(x - 1)$
છેદ: $(3x + 1)(x - 2)$
તેથી,અસમતા $\frac{(2x - 5)(x - 1)}{(3x + 1)(x - 2)} \geq 0$ થાય.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = -\frac{1}{3}, 1, 2, \frac{5}{2}$ છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પ્રદેશ $\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup [1, 2) \cup \left[\frac{5}{2}, \infty\right)$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{[x]-x}{x-[x]}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ $x \in R$ માટે,ધારો કે $x = [x] + \{x\}$,જ્યાં $0 \leq \{x\} < 1$.
તેથી $x - [x] = \{x\}$.
જો $x \notin Z$ હોય,તો $\{x\} \neq 0$,તેથી આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$f(x) = \sqrt{\frac{-\{x\}}{\{x\}}} = \sqrt{-1} = i$.
$i$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા નથી,તેથી કોઈપણ $x \notin Z$ માટે $f(x)$ વાસ્તવિક નથી.
જો $x \in Z$ હોય,તો $[x] = x$,જે છેદને $x - [x] = 0$ બનાવે છે.
શૂન્ય વડે ભાગાકાર અવ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $x \in Z$ માટે $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમતો નથી જેના માટે $f(x)$ વાસ્તવિક હોય.
આવા મૂલ્યોનો ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે $a^x + a^y = a$.
$f: A \rightarrow A$ હોવાથી,પ્રદેશ અને વિસ્તાર બંને $A$ છે.
$y$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$a^y > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $a - a^x > 0$,તેથી $a^x < a$.
$a > 1$ હોવાથી,બંને બાજુ $\log_a$ લેતા $x < 1$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 1)$ છે.
વિસ્તાર પણ $A$ હોવો જોઈએ,તેથી $y = \log_a(a - a^x)$.
જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $a^x \rightarrow 0$,તેથી $y \rightarrow \log_a(a) = 1$.
જ્યારે $x \rightarrow 1^-$,ત્યારે $a^x \rightarrow a^-$,તેથી $a - a^x \rightarrow 0^+$,જેનો અર્થ છે $y \rightarrow -\infty$.
આમ,વિસ્તાર $(-\infty, 1)$ છે.
તેથી,$A = (-\infty, 1)$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{1}{2} - \tan \left(\frac{\pi x}{2}\right)$ જેનો પ્રદેશ $(-1, 1)$ છે અને $g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$.
$(f + g)$ નો પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ અને $g(x)$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ લેવો પડે.
$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$-1$ વડે ગુણતા,$4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ મળે.
અવયવ પાડતા,$(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$.
આ અસમતા $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ માટે સાચી છે.
$(f + g)$ નો પ્રદેશ $(-1, 1)$ અને $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ નો છેદગણ છે.
છેદગણ $= (-1, 1) \cap \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right] = \left[-\frac{1}{2}, 1\right)$.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$.
વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
આ અસમતા તમામ ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે સાચી છે,એટલે કે $x < 0$.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, 0)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sec^{-1}(3x - 4) + \tanh^{-1}\left(\frac{x + 3}{5}\right)$ છે.
$\sec^{-1}(3x - 4)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$|3x - 4| \geq 1$ હોવું જોઈએ.
આથી $3x - 4 \leq -1$ અથવા $3x - 4 \geq 1$.
$3x \leq 3 \Rightarrow x \leq 1$ અને $3x \geq 5 \Rightarrow x \geq \frac{5}{3}$.
તેથી,પ્રથમ ભાગનો પ્રદેશ $x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$ છે.
$\tanh^{-1}\left(\frac{x + 3}{5}\right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$-1 < \frac{x + 3}{5} < 1$ હોવું જોઈએ.
$-5 < x + 3 < 5$.
$-8 < x < 2$.
$x \in (-\infty, 1] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$ અને $x \in (-8, 2)$ નો છેદ લેતા:
$x \in (-8, 1] \cup [\frac{5}{3}, 2)$.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log_{10}\left(\frac{5x - x^2}{4}\right)}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\log_{10}\left(\frac{5x - x^2}{4}\right) \geq 0$
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{5x - x^2}{4} \geq 10^0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{5x - x^2}{4} \geq 1$ થાય છે.
$4$ વડે ગુણતા,આપણને $5x - x^2 \geq 4$ અથવા $x^2 - 5x + 4 \leq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા,$(x - 1)(x - 4) \leq 0$ મળે છે.
આ અસમતા $x \in [1, 4]$ માટે સાચી છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[1, 4]$ છે.

(B) $f(x)=\frac{x-[x]}{\sqrt{|x|-x}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ શૂન્યતર હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ:
$|x|-x > 0 \Rightarrow |x| > x$.
આ અસમતા તમામ $x < 0$ માટે સાચી છે. તેથી,$A = (-\infty, 0)$.
$g(x)=\frac{x-[x]}{\sqrt{|x|+x}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ શૂન્યતર હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ:
$|x|+x > 0 \Rightarrow |x| > -x$.
આ અસમતા તમામ $x > 0$ માટે સાચી છે. તેથી,$B = (0, \infty)$.
કારણ કે $A = (-\infty, 0)$ અને $B = (0, \infty)$,તેમનો છેદ ખાલી ગણ છે:
$A \cap B = \phi$.

(C) આપેલ વિધેય $f:[-3,2] \rightarrow [0, \sqrt[3]{x}]$ છે,જ્યાં $f(n) = \begin{cases} 2+\sqrt[3]{n}, & -3 \leq n \leq -1 \\ n^{2/3}, & -1 < n \leq 2 \end{cases}$.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવા માટે,તેનો વિસ્તાર સહપ્રદેશ $[0, \sqrt[3]{x}]$ જેટલો હોવો જોઈએ.
સીમાબિંદુઓ પર વિધેયની કિંમત તપાસતા:
$-3 \leq n \leq -1$ માટે,$f(n)$ એ $f(-3) = 2 + \sqrt[3]{-3}$ થી $f(-1) = 1$ સુધી વધે છે.
$-1 < n \leq 2$ માટે,$f(n) = n^{2/3}$. $n = 0$ પર $f(0) = 0$ અને $n = 2$ પર $f(2) = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$ મળે છે.
વિધેય વ્યાપ્ત હોવાથી,વિધેયની મહત્તમ કિંમત સહપ્રદેશની ઉપરની સીમા જેટલી હોવી જોઈએ.
મહત્તમ કિંમત $\max(1, \sqrt[3]{4}) = \sqrt[3]{4}$ છે.
તેથી,$\sqrt[3]{x} = \sqrt[3]{4}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 4$.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{x-[x]}{\log(x^2-x)} \geq 0$.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log(x^2-x) \neq 0 \Rightarrow x^2-x \neq 1$.
$3$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x^2-x > 0$.
$x-[x] = \{x\} \geq 0$ હોવાથી,$\log(x^2-x) > 0$ થવું જોઈએ.
આથી $x^2-x > 1$ અથવા $x^2-x-1 > 0$.
$x^2-x-1 = 0$ ના ઉકેલ $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.
તેથી,પ્રદેશ $R \setminus \left[\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અનૃણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. છેદની શરત: $[x] + 2 \neq 0 \Rightarrow [x] \neq -2$. આનો અર્થ છે કે $x \notin [-2, -1)$.
$2$. અસમતાની શરત: $\frac{4-x^2}{[x]+2} \geq 0$.
કિસ્સો $I$: જો $[x] + 2 > 0$,તો $[x] > -2$,જેનો અર્થ છે $x \geq -1$.
ત્યારે $4 - x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq 4$ $\Rightarrow x \in [-2, 2]$.
$x \geq -1$ અને $x \in [-2, 2]$ ને જોડતા,આપણને $x \in [-1, 2]$ મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $[x] + 2 < 0$,તો $[x] < -2$,જેનો અર્થ છે $x < -2$.
ત્યારે $4 - x^2 \leq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 4$ $\Rightarrow x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
$x < -2$ અને $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ ને જોડતા,આપણને $x \in (-\infty, -2)$ મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -2) \cup [-1, 2]$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_4\left(\frac{x}{4}\right)\right] + \sqrt{17x - x^2 - 16}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
પ્રથમ,$\sin^{-1}(u)$ માટે,$u \in [-1, 1]$ હોવું જોઈએ:
$-1 \leq \log_4\left(\frac{x}{4}\right) \leq 1$
$4^{-1} \leq \frac{x}{4} \leq 4^1$
$\frac{1}{4} \leq \frac{x}{4} \leq 4$
$1 \leq x \leq 16$
બીજું,વર્ગમૂળ $\sqrt{17x - x^2 - 16}$ માટે,$17x - x^2 - 16 \geq 0$ હોવું જોઈએ:
$x^2 - 17x + 16 \leq 0$
$(x - 16)(x - 1) \leq 0$
$1 \leq x \leq 16$
બંને શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $[1, 16]$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
અવયવ પાડતા:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જો $[x] > 2$ અથવા $[x] < -1$ હોય.
જો $[x] > 2$ હોય,તો ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $3$ મળે,તેથી $x \geq 3$.
જો $[x] < -1$ હોય,તો મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $-2$ મળે,તેથી $x < -1$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log_a(x - [x])}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ અને લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત હોવો જોઈએ.
$1$. પદ $(x - [x])$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે,જેને $\{x\}$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. $\{x\}$ માટે $0 \leq \{x\} < 1$ હોવાથી,અને $\log_a(\{x\})$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,આપણી પાસે $\{x\} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x \notin Z$.
$2$. વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\log_a(\{x\}) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$3$. જો $a > 1$ હોય,તો $\{x\} \geq a^0 = 1$. પરંતુ $\{x\} < 1$ હોવાથી,આ શક્ય નથી.
$4$. જો $0 < a < 1$ હોય,તો $\log_a(\{x\}) \geq 0 \implies \{x\} \leq a^0 = 1$. જે $x \notin Z$ માટે હંમેશા સાચું છે.
$5$. આમ,$x \in R - Z$ અને $a \in (0, 1)$.

(B) વિધેય $f(x) = \log \left[(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9}\right]$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જો લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોય:
$(2.5)^{3-x^2} - (0.4)^{x+9} > 0$
$\Rightarrow (2.5)^{3-x^2} > (0.4)^{x+9}$
અહીં $0.4 = (2.5)^{-1}$ હોવાથી:
$(2.5)^{3-x^2} > (2.5)^{-(x+9)}$
આધાર $2.5 > 1$ હોવાથી,ઘાતાંકો માટે:
$3 - x^2 > -x - 9$
$x^2 - x - 12 < 0$
$(x - 4)(x + 3) < 0$
આથી $x \in (-3, 4)$ મળે.

(B) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $[-1, 1]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધેય $g(x) = f(5x + 4)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો ચલ $(5x + 4)$ એ $f$ ના પ્રદેશ $[-1, 1]$ માં હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે અસમતા મેળવીએ છીએ:
$-1 \leq 5x + 4 \leq 1$
દરેક પદમાંથી $4$ બાદ કરતા:
$-1 - 4 \leq 5x \leq 1 - 4$
$-5 \leq 5x \leq -3$
દરેક પદને $5$ વડે ભાગતા:
$-1 \leq x \leq -\frac{3}{5}$
આમ,વિધેય $g(x)$ એ $[-1, -\frac{3}{5}]$ અંતરાલ પર વ્યાખ્યાયિત છે.

(D) ધારો કે $y = f(x) = \frac{2+x}{2-x}$.
$y(2-x) = 2+x$
$2y - xy = 2 + x$
$2y - 2 = x + xy$
$2(y-1) = x(1+y)$
$x = \frac{2(y-1)}{y+1}$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે છેદ $y+1 \neq 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y \neq -1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $R - \{-1\}$ છે.

(B) $f(x)$ વાસ્તવિક વિધેય હોવા માટે,પ્રદેશ $x+1 \ge 0$ એટલે કે $x \ge -1$ હોવો જોઈએ.
જેમ $x$ એ $-1$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે,તેમ $\sqrt{x+1}$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે.
પરિણામે,છેદ $\sqrt{x+1}+4$ એ $4$ થી $\infty$ સુધી બદલાય છે.
આમ,ટેન્જેન્ટ વિધેયનો તર્ક $\theta = \frac{\pi}{\sqrt{x+1}+4}$ એ $0$ થી $\frac{\pi}{4}$ સુધી બદલાય છે.
ટેન્જેન્ટ વિધેય $[0, \frac{\pi}{4}]$ અંતરાલમાં વધતું વિધેય હોવાથી,$f(x) = \tan(\theta)$ નો વિસ્તાર $[\tan(0), \tan(\frac{\pi}{4})]$ એટલે કે $[0, 1]$ થાય છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ મળે છે.
$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.
$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1) = 0$.
$f$ વ્યાપ્ત વિધેય હોવા માટે,$x$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણને દરેક $y$ માટે વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
તેથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(a(y-1)) \geq 0$.
$(y+1)^2 - 4a(y-1)^2 \geq 0$.
$y^2 + 2y + 1 - 4a(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.
$(1-4a)y^2 + (2+8a)y + (1-4a) \geq 0$.
આ દરેક $y$ માટે સાચું હોવા માટે,$y^2$ નો સહગુણક ધન હોવો જોઈએ,એટલે કે $1-4a > 0 \Rightarrow a < 1/4$.
વળી,$y$ માંના આ દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $\leq 0$ હોવો જોઈએ.
$(2+8a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$4(1+4a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.
$(1+4a-1+4a)(1+4a+1-4a) \leq 0$.
$(8a)(2) \leq 0$ $\Rightarrow 16a \leq 0$ $\Rightarrow a \leq 0$.
$a < 1/4$ અને $a \leq 0$ ને જોડતા,આપણને $a \in (-\infty, 0]$ મળે છે.

(A) ધારો કે $g(x) = 5 + 4x - x^2$.
આને $g(x) = 9 - (x - 2)^2$ તરીકે લખી શકાય.
$(x - 2)^2 \geq 0$ હોવાથી,$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $9$ છે.
લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $g(x) > 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $g(x) \in (0, 9]$.
$f(x) = \log_3(g(x))$ હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $(\log_3(0^+), \log_3(9)]$ એટલે કે $(-\infty, 2]$ થશે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 4x + 5$ એ પ્રદેશ $[2, \infty)$ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
પ્રદેશ $x \in [2, \infty)$ હોવાથી,$(x - 2)^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે (જ્યારે $x = 2$ હોય).
જેમ $x \rightarrow \infty$,તેમ $(x - 2)^2 \rightarrow \infty$.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0 + 1, \infty) = [1, \infty)$ છે.

(B) ધારો કે $g(x) = x^4 - 2x^2 + 3 = (x^2 - 1)^2 + 2$.
$(x^2 - 1)^2 \geq 0$ હોવાથી,$g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ (જ્યારે $x^2 = 1$) અને મહત્તમ કિંમત $\infty$ છે.
તેથી,$g(x)$ નો વિસ્તાર $[2, \infty)$ છે.
હવે,$f(x) = \log_{0.5}(g(x)) = \log_{1/2}(g(x)) = -\log_2(g(x))$.
$g(x) \in [2, \infty)$ હોવાથી,$\log_2(g(x)) \in [\log_2 2, \log_2 \infty) = [1, \infty)$ મળે.
$-1$ વડે ગુણતા,$-\log_2(g(x)) \in (-\infty, -1]$ મળે.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1]$ છે.

(B) ધારો કે $g(x) = -x^2-6x-5$. આ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે.
$g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $-\frac{D}{4a}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $D = b^2-4ac = (-6)^2 - 4(-1)(-5) = 36 - 20 = 16$.
મહત્તમ કિંમત $-\frac{16}{4(-1)} = 4$ છે.
આમ,$g(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 4]$ છે.
વિધેય $f(x) = -\sqrt{g(x)}$ હોવાથી,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અ-ઋણ હોવી જોઈએ,તેથી $g(x) \in [0, 4]$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{g(x)} \in [0, 2]$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $f(x) \in [-2, 0]$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{x - |x|}$ છે.
જ્યારે $x \geq 0$ હોય,ત્યારે $|x| = x$ થાય,તેથી છેદ $x - |x| = 0$ થાય. આમ,$x \geq 0$ માટે વિધેય અવ્યાખ્યાયિત છે.
જ્યારે $x < 0$ હોય,ત્યારે $|x| = -x$ થાય,તેથી છેદ $x - (-x) = 2x$ થાય.
તેથી,$x < 0$ માટે $f(x) = \frac{1}{2x}$ થાય.
જેમ $x$ ની કિંમત $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે,તેમ $2x$ ની કિંમત $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે.
પરિણામે,$\frac{1}{2x}$ ની કિંમત $(-\infty, 0)$ માં બદલાય છે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $(-\infty, 0)$ છે.

(B) વિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે ત્રણ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:
$1$. $x < -1$ માટે,$f(x) = 2x - 3$. જેમ $x \to -1^-$,$f(x) \to 2(-1) - 3 = -5$. કારણ કે $x < -1$,$f(x) < -5$. તેથી,આ ભાગ માટેનો વિસ્તાર $(-\infty, -5)$ છે.
$2$. $-1 \leq x \leq 1$ માટે,$f(x) = 1 - x^2$. ન્યૂનતમ કિંમત $x = -1$ અથવા $x = 1$ પર મળે છે,જે $1 - (1)^2 = 0$ છે. મહત્તમ કિંમત $x = 0$ પર મળે છે,જે $1 - 0 = 1$ છે. તેથી,આ ભાગ માટેનો વિસ્તાર $[0, 1]$ છે.
$3$. $x > 1$ માટે,$f(x) = 3x^2 + 2$. જેમ $x \to 1^+$,$f(x) \to 3(1)^2 + 2 = 5$. કારણ કે $x > 1$,$f(x) > 5$. તેથી,આ ભાગ માટેનો વિસ્તાર $(5, \infty)$ છે.
આ બધાને જોડતા,કુલ વિસ્તાર $(-\infty, -5) \cup [0, 1] \cup (5, \infty)$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2+[x]-2}}$.
વિધેય $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$[x]^2+[x]-2 > 0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $[x] = t$. તો $t^2+t-2 > 0$,જેનું અવયવીકરણ $(t+2)(t-1) > 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ કે $t < -2$ અથવા $t > 1$.
કારણ કે $t = [x]$ એક પૂર્ણાંક છે,$[x] \in \{\dots, -4, -3\} \cup \{2, 3, 4, \dots\}$.
કિસ્સો $1$: જો $[x] \geq 2$,તો $[x]^2+[x]-2$ ની કિંમતો $4, 10, 18, \dots$ મળે છે.
વિધેયની કિંમતો $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ એટલે કે $(0, \frac{1}{2}]$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $[x] \leq -3$,તો $[x]^2+[x]-2$ ની કિંમતો $4, 10, \dots$ મળે છે.
વિધેયની કિંમતો $\frac{1}{\sqrt{4}}, \frac{1}{\sqrt{10}}, \dots$ એટલે કે $(0, \frac{1}{2}]$ મળે છે.
બંને કિસ્સાઓને જોડતા,વિસ્તાર $(0, \frac{1}{2}]$ મળે છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$ છે.
પ્રદેશ $D$ માટે,$\frac{1-x^2}{1+x^2} \geq 0$ હોવું જોઈએ. દરેક વાસ્તવિક $x$ માટે $1+x^2 > 0$ હોવાથી,$1-x^2 \geq 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \leq 1$,તેથી $x \in [-1, 1]$. આમ,$D = [-1, 1]$.
વિસ્તાર $G$ માટે,ધારો કે $y = \sqrt{\frac{1-x^2}{1+x^2}}$. $x \in [-1, 1]$ હોવાથી,$1-x^2$ ની કિંમત $0$ થી $1$ ની વચ્ચે અને $1+x^2$ ની કિંમત $1$ થી $2$ ની વચ્ચે હોય છે. તેથી,$\frac{1-x^2}{1+x^2}$ ની કિંમત $0$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય છે. વર્ગમૂળ લેતા,$y \in [0, 1]$. આમ,$G = [0, 1]$.
અંતે,$D \cap G = [-1, 1] \cap [0, 1] = [0, 1]$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = |x-2| + |x-3|$ છે.
આપણે ત્રણ અંતરાલોમાં વિધેયનું વિશ્લેષણ કરીએ: $x \leq 2$,$2 < x < 3$,અને $x \geq 3$.
$x \leq 2$ માટે,$f(x) = -(x-2) - (x-3) = -2x + 5$. $x \leq 2$ હોવાથી,$f(x) \geq 1$ મળે.
$2 < x < 3$ માટે,$f(x) = (x-2) - (x-3) = 1$.
$x \geq 3$ માટે,$f(x) = (x-2) + (x-3) = 2x - 5$. $x \geq 3$ હોવાથી,$f(x) \geq 1$ મળે.
આમ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે અને તે $1$ થી મોટી તમામ કિંમતો ધારણ કરે છે.
તેથી,વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) પદ $x-[x]$ એ $x$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ દર્શાવે છે,જેને $\{x\}$ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$x$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,અપૂર્ણાંક ભાગ $\{x\}$ એ અંતરાલ $[0, 1)$ માં હોય છે.
જોકે,છેદ $\sqrt{x-[x]}$ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $x-[x] \neq 0$.
તેથી,$x-[x] \in (0, 1)$.
જેમ $x-[x]$ ની કિંમત $0$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ ની કિંમત $\infty$ તરફ જાય છે.
જેમ $x-[x]$ ની કિંમત $1$ ની નજીક પહોંચે છે,તેમ $\frac{1}{\sqrt{x-[x]}}$ ની કિંમત $1$ તરફ જાય છે.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય: $y(x) = \cos x - 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x$ નો પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ છે,તેથી $y(x)$ નો પ્રદેશ $R$ છે.
કોઈપણ $x \in R$ માટે,$-1 \leq \cos x \leq 1$ થાય.
અસમતાના દરેક પદમાંથી $3$ બાદ કરતા:
$-1 - 3 \leq \cos x - 3 \leq 1 - 3$
$-4 \leq y(x) \leq -2$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[-4, -2]$ છે.
તેથી,પ્રદેશ $R$ છે અને વિસ્તાર $[-4, -2]$ છે.

(B) વિધેય $y(x) = f(x) = \begin{cases} \frac{5x}{(x-3)(x+3)}, & x \neq -1 \\ -1, & x = -1 \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$f: A \rightarrow B$ વિધેય સુવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$A$ એ વિધેયનો પ્રદેશ હોવો જોઈએ.
પદાવલિ $\frac{5x}{(x-3)(x+3)}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત છે સિવાય કે જ્યાં છેદ શૂન્ય થાય.
છેદને શૂન્ય લેતા: $(x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3$ અથવા $x = -3$.
$x = -1$ આગળ,વિધેય સ્પષ્ટપણે $y(-1) = -1$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જે એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
તેથી,પ્રદેશ $A$ માં $3$ અને $-3$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
આમ,$A = R \setminus \{-3, 3\}$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = -3x - 3$ છે.
પ્રદેશ શોધવા માટે,આપણે $f(x)$ ને વિસ્તારના દરેક ઘટક સાથે સરખાવીએ:
$(i)$ $f(x) = 3$ માટે: $3 = -3x - 3$ $\Rightarrow 6 = -3x$ $\Rightarrow x = -2$.
(ii) $f(x) = -6$ માટે: $-6 = -3x - 3$ $\Rightarrow -3 = -3x$ $\Rightarrow x = 1$.
(iii) $f(x) = -9$ માટે: $-9 = -3x - 3$ $\Rightarrow -6 = -3x$ $\Rightarrow x = 2$.
(iv) $f(x) = -18$ માટે: $-18 = -3x - 3$ $\Rightarrow -15 = -3x$ $\Rightarrow x = 5$.
આમ,$f$ નો પ્રદેશ $\{-2, 1, 2, 5\}$ છે.
આથી,$-1$ એ $f$ ના પ્રદેશમાં નથી.

(C) પદાવલિ $\frac{2x-1}{x^3+4x^2+3x}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,સિવાય કે જ્યાં છેદ શૂન્ય હોય.
છેદને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$x^3+4x^2+3x = 0$
$x(x^2+4x+3) = 0$
$x(x+1)(x+3) = 0$
આમ,પદાવલિ $x = 0$,$x = -1$,અને $x = -3$ માટે અવ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,ગણ $R - \{0, -1, -3\}$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{2 - \cos 3x}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $x \in R$ માટે,$-1 \leq \cos 3x \leq 1$.
$-1$ વડે ગુણતા,$-1 \leq -\cos 3x \leq 1$.
બધી બાજુ $2$ ઉમેરતા,$2 - 1 \leq 2 - \cos 3x \leq 2 + 1$,જે $1 \leq 2 - \cos 3x \leq 3$ થાય છે.
વ્યસ્ત લેતા,અસમતાની નિશાની બદલાય છે: $\frac{1}{3} \leq \frac{1}{2 - \cos 3x} \leq \frac{1}{1}$.
આમ,$\frac{1}{3} \leq f(x) \leq 1$.
તેથી,$f$ નો વિસ્તાર $[1/3, 1]$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = [2x] - 2[x]$ તમામ $x \in R$ માટે.
કિસ્સો $1$: જો $x$ પૂર્ણાંક હોય,ધારો કે $x = n$ જ્યાં $n \in Z$.
તો $f(n) = [2n] - 2[n] = 2n - 2n = 0$.
કિસ્સો $2$: જો $x$ પૂર્ણાંક ન હોય,ધારો કે $x = n + f$ જ્યાં $n \in Z$ અને $0 < f < 1$.
તો $f(x) = [2(n + f)] - 2[n + f] = [2n + 2f] - 2n = 2n + [2f] - 2n = [2f]$.
કારણ કે $0 < f < 1$,આપણી પાસે $0 < 2f < 2$ છે.
જો $0 < f < 0.5$,તો $[2f] = 0$.
જો $0.5 \leq f < 1$,તો $[2f] = 1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $\{0, 1\}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{4}$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,તેથી:
$0 \leq \frac{\sin^2 2x}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$-1$ વડે ગુણીને $1$ ઉમેરતા:
$1 - 0 \geq 1 - \frac{\sin^2 2x}{4} \geq 1 - \frac{1}{4}$.
$1 \geq f(x) \geq \frac{3}{4}$.
આમ,વિસ્તાર $f(R) = \left[\frac{3}{4}, 1\right]$ છે.