Domain and Range Questions in Gujarati

(B) વિધેય $f(x) = \frac{x+2}{9-x^{2}}$ એ છેદ શૂન્ય ન હોય ત્યાં સુધી વ્યાખ્યાયિત છે.
છેદને શૂન્ય લેતા: $9 - x^{2} = 0$.
આથી $x^{2} = 9$,એટલે કે $x = \pm 3$.
આમ,વિધેય $x = 3$ અને $x = -3$ આગળ વ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $\{-3, 3\}$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,જે $R - \{-3, 3\}$ તરીકે લખાય છે.

(C) વિધેય $f(y) = \frac{\cos^{-1}(y-5)}{\sqrt{25-y^2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. $\cos^{-1}$ નો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ,તેથી $-1 \leq y-5 \leq 1$. બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા $4 \leq y \leq 6$ મળે છે.
$2$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ,તેથી $25-y^2 > 0$,જેનો અર્થ છે $y^2 < 25$,અથવા $-5 < y < 5$.
$3$. બંને શરતોનો છેદ લેતા: $y \in [4, 6]$ અને $y \in (-5, 5)$.
$4$. છેદ $4 \leq y < 5$ મળે છે,જેને અંતરાલ $[4, 5)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,પ્રદેશ $[4, 5)$ છે.

(C) $f(x) = \sqrt{x}$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણમાં વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ.
તેથી,$x \geq 0$.
પ્રદેશ એ તમામ અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,જેને $[0, \infty)$ અથવા $R^{+} \cup \{0\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ સંબંધ $R = \{(x, y) : y = x + \frac{6}{x}, x, y \in N, x < 6\}$ છે.
દરેક $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ માટે તપાસીએ કે $y$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(N)$ છે કે નહીં:
$x = 1$ માટે,$y = 1 + \frac{6}{1} = 7 \in N$.
$x = 2$ માટે,$y = 2 + \frac{6}{2} = 2 + 3 = 5 \in N$.
$x = 3$ માટે,$y = 3 + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \in N$.
$x = 4$ માટે,$y = 4 + \frac{6}{4} = 4 + 1.5 = 5.5 \notin N$.
$x = 5$ માટે,$y = 5 + \frac{6}{5} = 5 + 1.2 = 6.2 \notin N$.
આમ,સંબંધ $R = \{(1, 7), (2, 5), (3, 5)\}$ છે.
પ્રદેશ એ પ્રથમ ઘટકોનો ગણ છે: $\{1, 2, 3\}$.
વિસ્તાર એ બીજા ઘટકોનો ગણ છે: $\{5, 7\}$.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{x-2}{3-x}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{x-2}{3-x} \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે અંશ અને છેદના ચિહ્નો વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ અથવા અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ચોક્કસ રીતે,$x-2 \geq 0$ અને $3-x > 0$.
$x-2 \geq 0$ પરથી,આપણને $x \geq 2$ મળે છે.
$3-x > 0$ પરથી,આપણને $x < 3$ મળે છે.
આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $2 \leq x < 3$ મળે છે.
આમ,$f(x)$ નો પ્રદેશ $[2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $y = \frac{x^2+x+2}{x^2+x+1}$.
$y(x^2+x+1) = x^2+x+2$
$(y-1)x^2 + (y-1)x + (y-2) = 0$.
$x \in R$ માટે,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (y-1)^2 - 4(y-1)(y-2) \geq 0$.
$(y-1)(-3y+7) \geq 0$.
$(y-1)(3y-7) \leq 0$.
આમ,$1 < y \leq \frac{7}{3}$.
અહીં $x^2+x+1 > 0$ હોવાથી,$y$ ક્યારેય $1$ થઈ શકતું નથી.
તેથી,વિસ્તાર $\left(1, \frac{7}{3}\right]$ છે.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2}{x^2+1}$.
$y(x^2+1) = x^2$
$yx^2 + y = x^2$
$x^2(y-1) = -y$
$x^2 = \frac{y}{1-y}$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે,$x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{y}{1-y} \geq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $y(1-y) \geq 0$ અને $y \neq 1$.
અસમતા $y(y-1) \leq 0$ ઉકેલતા,આપણને $0 \leq y < 1$ મળે છે.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $[0, 1)$ છે.

(C) આપેલ ગણ $A = \{10, 11, 12, 14, 26\}$ છે.
દરેક ઘટક માટે અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ:
$10 = 2 \times 5$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $5$ છે.
$11 = 11$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $11$ છે.
$12 = 2^2 \times 3$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $3$ છે.
$14 = 2 \times 7$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $7$ છે.
$26 = 2 \times 13$,તેથી સૌથી મોટો અવિભાજ્ય અવયવ $13$ છે.
આમ,$f$ નો વિસ્તાર $\{3, 5, 7, 11, 13\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = 3 + 2^x + 4^x$ છે.
બધા $x \in \mathbb{R}$ માટે $2^x > 0$ હોવાથી,$4^x = (2^x)^2 > 0$ થાય.
ધારો કે $t = 2^x$,જ્યાં $t \in (0, \infty)$.
તેથી વિધેય $g(t) = 3 + t + t^2$ બને છે.
$t > 0$ હોવાથી,જેમ $t \to 0^+$ તેમ $t + t^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે.
જેમ $t \to \infty$ તેમ $t + t^2 \to \infty$ થાય છે.
તેથી,$t > 0$ માટે $t + t^2$ નો વિસ્તાર $(0, \infty)$ છે.
આ વિસ્તારમાં $3$ ઉમેરતા,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(3 + 0, 3 + \infty) = (3, \infty)$ મળે છે.

(D) ધારો કે $y = \frac{x-3}{5-x}$.
$y(5-x) = x-3$
$5y - xy = x - 3$
$5y + 3 = x + xy$
$5y + 3 = x(1+y)$
$x = \frac{5y+3}{1+y}$.
$x$ વ્યાખ્યાયિત થાય તે માટે છેદ $1+y \neq 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y \neq -1$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $R - \{-1\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ છે.
પ્રદેશ $R-\{2\}$ હોવાથી,$x \neq 2$ માટે આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપી શકીએ:
$f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$.
જેમ $x$ એ $2$ સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે,તેમ $x+2$ ની કિંમત $2+2 = 4$ સિવાયની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત હોઈ શકે.
તેથી,વિધેયનો વિસ્તાર $R-\{4\}$ છે.

(A) વિધેય $f(x)$ વ્યાપ્ત હોવા માટે,સહપ્રદેશ $A$ એ $f(x)$ ના વિસ્તાર (range) જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $y = \frac{x^2}{1-x^2}$.
$x^2$ માટે પદ ગોઠવતા,$y(1-x^2) = x^2$ મળે,જેનો અર્થ છે $y - yx^2 = x^2$,તેથી $y = x^2(1+y)$.
આમ,$x^2 = \frac{y}{1+y}$.
કારણ કે $x^2 \geq 0$ અને $x \neq \pm 1$,તેથી $\frac{y}{1+y} \geq 0$ હોવું જોઈએ અને $x^2 \neq 1$ (જેનો અર્થ છે $\frac{y}{1+y} \neq 1$,જે હંમેશા સાચું છે).
અસમતા $\frac{y}{1+y} \geq 0$ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $y \in (-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ હોય.
તેથી,$f(x)$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1) \cup [0, \infty)$ છે,જેને $R - [-1, 0)$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,$A = R - [-1, 0)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $[x]^{2} - 5[x] + 6 = 0$.
ધારો કે $t = [x]$. તો સમીકરણ $t^{2} - 5t + 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t - 3)(t - 2) = 0$.
આથી $t = 2$ અથવા $t = 3$ મળે છે.
તેથી,$[x] = 2$ અથવા $[x] = 3$.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ:
જો $[x] = 2$ હોય,તો $x \in [2, 3)$.
જો $[x] = 3$ હોય,તો $x \in [3, 4)$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $[x]^2-5[x]+6=0$
ધારો કે $[x] = a$.
તેથી સમીકરણ $a^2 - 5a + 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(a-2)(a-3) = 0$.
આથી $a = 2$ અથવા $a = 3$ મળે છે.
$[x] = a$ પાછું મૂકતા,આપણને $[x] = 2$ અથવા $[x] = 3$ મળે છે.
મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ:
જો $[x] = 2$ હોય,તો $x \in [2, 3)$.
જો $[x] = 3$ હોય,તો $x \in [3, 4)$.
આ અંતરાલોને જોડતા,આપણને $x \in [2, 3) \cup [3, 4) = [2, 4)$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = x^2 - 4x + 5$ છે,જેનો પ્રદેશ $(2, \infty)$ છે.
આપણે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને વિધેયને ફરીથી લખી શકીએ:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
અહીં પ્રદેશ $x \in (2, \infty)$ હોવાથી,$x > 2$ થાય.
બંને બાજુ $2$ બાદ કરતા,$x - 2 > 0$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 2)^2 > 0$ મળે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$(x - 2)^2 + 1 > 1$ મળે.
તેથી,$f(x) > 1$ થાય.
આમ,વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $(1, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\cos x}$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે $\cos x \geq 0$ હોય.
અંતરાલ $[0, 2\pi]$ માં,$\cos x$ પ્રથમ ચરણ $[0, \frac{\pi}{2}]$ અને ચોથા ચરણ $[\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ માં અ-ઋણ છે.
આમ,$n=0$ માટે પ્રદેશ $[0, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x + 5$ છે જેનો પ્રદેશ $[2, \infty)$ છે.
પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીને આપણે વિધેયને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$f(x) = (x^{2} - 4x + 4) + 1$
$f(x) = (x - 2)^{2} + 1$
અહીં પ્રદેશ $x \in [2, \infty)$ હોવાથી,$x - 2 \geq 0$ થાય.
તેથી,$(x - 2)^{2} \geq 0$ થાય.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$(x - 2)^{2} + 1 \geq 1$ મળે.
આમ,$f(x) \geq 1$.
તેથી,વિધેય $f$ નો વિસ્તાર $[1, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x - 2)(x - 5)}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ.
$\Rightarrow (x - 2)(x - 5) > 0$
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 2$ અને $x = 5$ છે.
અંતરાલો $(-\infty, 2)$,$(2, 5)$,અને $(5, \infty)$ ચકાસતા:
$x < 2$ માટે,$(x - 2)(x - 5) > 0$.
$2 < x < 5$ માટે,$(x - 2)(x - 5) < 0$.
$x > 5$ માટે,$(x - 2)(x - 5) > 0$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\log_{10}(1-x)} + \sqrt{x+2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ: $x + 2 \geq 0 \implies x \geq -2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $1 - x > 0 \implies x < 1$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log_{10}(1-x) \neq 0 \implies 1 - x \neq 10^0 \implies 1 - x \neq 1 \implies x \neq 0$.
આ શરતોને જોડતા: $x \geq -2$,$x < 1$,અને $x \neq 0$.
આમ,પ્રદેશ $x \in [-2, 0) \cup (0, 1)$ છે.

(D) આપેલ વિધેય,$f(x) = \frac{x}{1-|x|}$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1 - |x| \neq 0$
$|x| \neq 1$
$x \neq 1$ અને $x \neq -1$.
તેથી,પ્રદેશ એ $1$ અને $-1$ સિવાયની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,જેને $R - \{-1, 1\}$ તરીકે લખાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{[x]^2 - [x] - 6}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ:
$[x]^2 - [x] - 6 > 0$
અવયવ પાડતા:
$([x] - 3)([x] + 2) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી પડે જ્યારે:
$[x] > 3$ અથવા $[x] < -2$
જો $[x] > 3$ હોય,તો $[x]$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $4$ થાય,જેનો અર્થ છે $x \geq 4$,એટલે કે $x \in [4, \infty)$.
જો $[x] < -2$ હોય,તો $[x]$ ની મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $-3$ થાય,જેનો અર્થ છે $x < -2$,એટલે કે $x \in (-\infty, -2)$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -2) \cup [4, \infty)$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{x^{2}-7x+12}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ:
$x^{2}-7x+12 \geq 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$(x-4)(x-3) \geq 0$
અસમતા માટે સાઇન સ્કીમ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ જ્યારે $x \leq 3$ અથવા $x \geq 4$ હોય ત્યારે અ-ઋણ રહે છે.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, 3] \cup [4, \infty)$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin [x]$ માટે $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ અને $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$x$ માટેનો અંતરાલ $(-0.785, 0.785)$ છે.
$x \in [0, 0.785)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $[x] = 0$ થાય. તેથી,$f(x) = \sin(0) = 0$.
$x \in (-0.785, 0)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $[x] = -1$ થાય. તેથી,$f(x) = \sin(-1) = -\sin(1)$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, -\sin 1\}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \frac{1}{x}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
કોઈપણ વિધેય પ્રદેશ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,$R$ ના દરેક ઘટકનું સહ-પ્રદેશમાં પ્રતિબિંબ હોવું જરૂરી છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે પદ $f(0) = \frac{1}{0}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ $R$ માં અવ્યાખ્યાયિત છે.
કારણ કે $0 \in R$ છે અને $f(0)$ નું અસ્તિત્વ નથી,તેથી વિધેય $f$ એ પ્રદેશ $R$ પર સુવ્યાખ્યાયિત નથી.
તેથી,$f$ વ્યાખ્યાયિત નથી.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અઋણ હોવી જોઈએ:
$9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3$.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $x \in [-3, 3]$ છે.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $f(0) = \sqrt{9 - 0} = 3$.
જ્યારે $x = \pm 3$ હોય,ત્યારે $f(\pm 3) = \sqrt{9 - 9} = 0$.
વર્ગમૂળ વિધેય હંમેશા અઋણ કિંમતો આપે છે,તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $0$ અને મહત્તમ કિંમત $3$ છે.
તેથી,વિધેયનો વિસ્તાર $[0, 3]$ છે.

(A) $(f + g)$ નો પ્રદેશ એ $f(x)$ અને $g(x)$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ છે.
$f(x) = \frac{1}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{\pi x}{2}\right)$ માટે,આપેલ પ્રદેશ $-1 < x < 1$ છે.
$g(x) = \sqrt{3 + 4x - 4x^2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$3 + 4x - 4x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $4x^2 - 4x - 3 \leq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(2x + 1)(2x - 3) \leq 0$.
આ અસમતા $x \in \left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ માટે સાચી છે.
$(f + g)$ નો પ્રદેશ એ $(-1, 1)$ અને $\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$ નો છેદગણ છે.
છેદગણ: $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.

(C) ધારો કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. આપેલ સમીકરણ $f(x) + f(1/x) = f(x)f(1/x)$ છે,જેને $(f(x) - 1)(f(1/x) - 1) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $g(x) = f(x) - 1$. તો $g(x)g(1/x) = 1$.
$f(x)$ દ્વિઘાત બહુપદી હોવાથી,$g(x)$ પણ દ્વિઘાત બહુપદી છે.
$f(-1) = 0$ આપેલ હોવાથી,$g(-1) = -1$ મળે.
આ શરતો પરથી $f(x) = 1 - x^2$ મળે છે.
તેથી $f(x) = 1 - x^2$ નો વિસ્તાર $(-\infty, 1]$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right) - \log_{10}(4-x)$ છે.
લઘુગણકીય વિધેય $\log_{10}(4-x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ:
$4 - x > 0 \implies x < 4$.
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\cos^{-1}\left(\frac{x-3}{2}\right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો આર્ગ્યુમેન્ટ $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવો જોઈએ:
$-1 \leq \frac{x-3}{2} \leq 1$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $-2 \leq x - 3 \leq 2$ મળે છે.
દરેક પદમાં $3$ ઉમેરતા,$1 \leq x \leq 5$ મળે છે.
$f(x)$ નો પ્રદેશ એ બંને શરતોનો છેદગણ છે:
$x < 4$ અને $1 \leq x \leq 5$.
તેથી,પ્રદેશ $x \in [1, 4)$ છે.

(D) $f(x)$ વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય હોવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $\frac{[x]-1}{[x]^2-[x]-6} \ge 0$.
ધારો કે $n = [x]$. તો $\frac{n-1}{n^2-n-6} \ge 0$,જે $\frac{n-1}{(n-3)(n+2)} \ge 0$ માં પરિણમે છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,અસમતા $n \in (-2, 1] \cup (3, \infty)$ માટે સાચી છે.
$n$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી $(n = [x])$,$n$ માટે શક્ય મૂલ્યો $\{-1, 0, 1, 4, 5, 6, \dots\}$ છે.
જો $n = -1$,તો $-1 \le x < 0$.
જો $n = 0$,તો $0 \le x < 1$.
જો $n = 1$,તો $1 \le x < 2$.
આ બધાને જોડતા,આપણને $[-1, 2)$ મળે છે.
જો $n \ge 4$,તો $x \ge 4$.
આમ,પ્રદેશ $[-1, 2) \cup [4, \infty)$ છે.

(C) $f(x) = \log(x^2 - 1) + x \operatorname{coth}^{-1} x$ વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોવો જોઈએ: $x^2 - 1 > 0$,જેનો અર્થ છે $x^2 > 1$,તેથી $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
$2$. વ્યસ્ત હાયપરબોલિક કોટેન્જન્ટ વિધેય $\operatorname{coth}^{-1} x$ એ $|x| > 1$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.
બંને શરતોને જોડતા,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ મળે છે,જેને $R - [-1, 1]$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{|x|-2}{|x|-3}}$ સુવ્યાખ્યાયિત હોવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિ અ-ઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{|x|-2}{|x|-3} \geq 0$ અને $|x|-3 \neq 0$.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ બને છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $t=2$ અને $t=3$ છે.
$t$ માટેના અંતરાલો તપાસતા:
$1$) જો $0 \leq t < 2$,તો $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
$2$) જો $2 \leq t < 3$,તો $\frac{t-2}{t-3} \leq 0$.
$3$) જો $t > 3$,તો $\frac{t-2}{t-3} > 0$.
આમ,$t$ માટેનો ઉકેલ $0 \leq t \leq 2$ અથવા $t > 3$ છે.
$|x| = t$ પાછું મૂકતા,આપણને $0 \leq |x| \leq 2$ અથવા $|x| > 3$ મળે છે.
$|x| \leq 2 \implies x \in [-2, 2]$.
$|x| > 3 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \sqrt{\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right)} + \sin^{-1}(x^2-2)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ઋણ ન હોવી જોઈએ: $\log_e\left(\frac{1}{(x-2)^2}\right) \ge 0$.
આનો અર્થ છે કે $\frac{1}{(x-2)^2} \ge 1$,તેથી $(x-2)^2 \le 1$,એટલે કે $|x-2| \le 1$,જે $1 \le x \le 3$ આપે છે. $x \neq 2$ હોવાથી,પ્રદેશ $[1, 2) \cup (2, 3]$ છે.
$2$. $\sin^{-1}$ ની અંદરની કિંમત $[-1, 1]$ માં હોવી જોઈએ: $-1 \le x^2-2 \le 1$.
આનો અર્થ છે કે $1 \le x^2 \le 3$,તેથી $x \in [-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}]$.
$3$. બંને શરતોનો છેદ લેતા: $[1, 2) \cup (2, 3] \cap ([-\sqrt{3}, -1] \cup [1, \sqrt{3}])$.
પરિણામે $[1, \sqrt{3}]$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{3}{4-x^2} + \log_{10}(x^3-x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $4-x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 4 \implies x \neq \pm 2$.
$2$. લઘુગણકનો આધાર ધન હોવો જોઈએ: $x^3-x > 0$.
અવયવ પાડતા: $x(x^2-1) > 0 \implies x(x-1)(x+1) > 0$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ $x = -1, 0, 1$ માટે વેવી કર્વ મેથડનો ઉપયોગ કરતા:
અસમતા $x(x-1)(x+1) > 0$ એ $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ માટે સાચી છે.
બંને શરતોને જોડતા: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$ અને $x \neq \pm 2$.
$x \neq 2$ અને $x \neq -2$ હોવાથી,આપણે $(1, \infty)$ અંતરાલમાંથી $2$ ને બાદ કરીશું.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-1, 0) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ છે,$f(x) = \frac{1}{\sqrt{\log_{0.5}(2x - 3)}} + \sqrt{4 - 9x^2}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,નીચેની શરતોનું પાલન થવું જોઈએ:
$1. \log_{0.5}(2x - 3) > 0$ $\Rightarrow 2x - 3 < 1$ $\Rightarrow x < 2$.
$2. 2x - 3 > 0 \Rightarrow x > \frac{3}{2}$.
$3. 4 - 9x^2 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \leq \frac{4}{9}$ $\Rightarrow -\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
આ શરતોને જોડતા: $(x < 2) \cap (x > \frac{3}{2}) \cap (-\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{2}{3})$.
કોઈપણ $x$ એવી કિંમત નથી જે $x > \frac{3}{2}$ અને $x \leq \frac{2}{3}$ બંનેનું પાલન કરે,તેથી પ્રદેશ ખાલી ગણ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \sqrt{2+x} + \sqrt{3-x}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ હોવી જોઈએ. \\ $2+x \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$ \\ $3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$ \\ આ બંને શરતોને જોડતા,આપણને $-2 \leq x \leq 3$ મળે છે. \\ તેથી,પ્રદેશ $x \in [-2, 3]$ છે.

(D) વિધેય $f(x) = \log_2 \log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. $\log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 10 > 0$. અહીં વિવેચક $D = -15 < 0$ હોવાથી આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય છે.
$2$. $\log_3 \log_5(x^2 - 5x + 11) > 0$ $\Rightarrow \log_5(x^2 - 5x + 11) > 3^0 = 1$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 11 > 5^1 = 5$ $\Rightarrow x^2 - 5x + 6 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 2)(x - 3) > 0$.
આથી ઉકેલ $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(A) વિધેય $f(x) = \sqrt{9 - \sqrt{x^2 - 144}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિઓ અઋણ હોવી જોઈએ:
$1$. $x^2 - 144 \geq 0$ $\Rightarrow x^2 \geq 144$ $\Rightarrow |x| \geq 12$.
$2$. $9 - \sqrt{x^2 - 144} \geq 0 \Rightarrow 9 \geq \sqrt{x^2 - 144}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$81 \geq x^2 - 144$ $\Rightarrow x^2 \leq 225$ $\Rightarrow |x| \leq 15$.
બંને શરતોને જોડતા,આપણને $12 \leq |x| \leq 15$ મળે છે.
આથી $x \in [-15, -12] \cup [12, 15]$.

(B) આપેલ સમીકરણ $2^x+2^y=2$ છે.
કોઈપણ વાસ્તવિક $y$ માટે $2^y > 0$ હોવાથી,$2-2^x > 0$ થવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $2^x < 2$.
બંને બાજુ $2$ આધારિત લઘુગણક લેતા,આપણને $x < 1$ મળે છે.
તેથી,વિધેયનો પ્રદેશ $x \in (-\infty, 1)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ અને $g(x)=\ln (1-x)$.
$(f+g)(x)$ નો પ્રદેશ એ $f(x)$ અને $g(x)$ ના પ્રદેશોનો છેદગણ છે.
$f(x)=\sqrt{2-x^2}$ માટે,$2-x^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x^2 \leq 2$. તેથી,$x \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. એટલે કે,$D_1 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.
$g(x)=\ln (1-x)$ માટે,$1-x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $x < 1$. તેથી,$D_2 = (-\infty, 1)$.
$(f+g)(x)$ નો પ્રદેશ $D_1 \cap D_2 = [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \cap (-\infty, 1) = [-\sqrt{2}, 1)$ થશે.

(B) પદાવલિ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,નીચેની શરતો સંતોષાવી જોઈએ:
$1$. વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અ-ઋણ હોવી જોઈએ: $|x|^2 - 2|x| - 8 \geq 0$.
ધારો કે $|x| = t$,તો $t^2 - 2t - 8 \geq 0 \Rightarrow (t-4)(t+2) \geq 0$.
$t = |x| \geq 0$ હોવાથી,$t \geq 4$ મળે,એટલે કે $|x| \geq 4$,તેથી $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
$2$. લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ: $2 - x - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 + x - 2 < 0$.
$(x+2)(x-1) < 0 \Rightarrow x \in (-2, 1)$.
$3$. છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ: $\log(2 - x - x^2) \neq 0$ $\Rightarrow 2 - x - x^2 \neq 1$ $\Rightarrow x^2 + x - 1 \neq 0$.
$x \neq \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
શરતોને જોડતા: $x \in ((-\infty, -4] \cup [4, \infty)) \cap (-2, 1)$.
આ ગણો વચ્ચે કોઈ છેદગણ ન હોવાથી,ઉકેલ ખાલી ગણ $\phi$ છે.

(A) $f(x) = \sin \log \left( \frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} \right)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,લઘુગણકનો આર્ગ્યુમેન્ટ ધન હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,વર્ગમૂળ $\sqrt{4-x^2}$ ત્યારે જ વ્યાખ્યાયિત થાય જ્યારે $4-x^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે $x \in [-2, 2]$.
બીજું,લઘુગણકની અંદરની પદાવલિ ધન હોવી જોઈએ: $\frac{\sqrt{4-x^2}}{1-x} > 0$.
કારણ કે $\sqrt{4-x^2} \geq 0$,તેથી $1-x > 0$ (એટલે કે $x < 1$) અને $\sqrt{4-x^2} \neq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$x < 1$ અને $x \neq \pm 2$.
$x \in [-2, 2]$ અને $x < 1$ તથા $x \neq \pm 2$ ને જોડતા,આપણને $x \in (-2, 1)$ મળે છે.

(D) વિધેય $f(x) = \frac{\log_2(x+3)}{\sqrt{x^2+3x+2}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે:
$1$. લઘુગણકનો પ્રદેશ ધન હોવો જોઈએ: $x+3 > 0 \implies x > -3$.
$2$. છેદમાં વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ: $x^2+3x+2 > 0$.
અવયવ પાડતા: $(x+2)(x+1) > 0$.
આ અસમતા $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ માટે સાચી છે.
$x > -3$ અને $x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)$ નો છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$x \in (-3, -2) \cup (-1, \infty)$.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{2-x} + \sqrt{1+x}}{\sqrt{x+3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિઓ અઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. $\sqrt{2-x}$ માટે,$2-x \geq 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x \leq 2$.
$2$. $\sqrt{1+x}$ માટે,$1+x \geq 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x \geq -1$.
$3$. છેદમાં $\sqrt{x+3}$ માટે,$x+3 > 0$ જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે $x > -3$.
આ શરતોને જોડતા: $x \leq 2$,$x \geq -1$,અને $x > -3$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ $[-1, 2]$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\sqrt{\log _{0.5}(x-3)}}{\sqrt{x-1}}$ છે.
અંશમાં વર્ગમૂળ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\log _{0.5}(x-3) \geq 0$ હોવું જોઈએ.
અહીં આધાર $0.5 < 1$ હોવાથી,અસમતા ઉલટાય છે: $x-3 \leq (0.5)^0$,જે $x-3 \leq 1$ આપે છે,તેથી $x \leq 4$.
વળી,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $x-3 > 0$ હોવું જોઈએ,જે $x > 3$ સૂચવે છે.
છેદ વ્યાખ્યાયિત અને શૂન્યતર હોવા માટે $x-1 > 0$ હોવું જોઈએ,જે $x > 1$ સૂચવે છે.
બધી શરતોનો છેદ લેતા: $(x \leq 4) \cap (x > 3) \cap (x > 1)$,આપણને $3 < x \leq 4$ મળે છે.
આમ,પ્રદેશ $(3, 4]$ છે.

(B) $f/g$ નો પ્રદેશ એવા તમામ $x$ નો ગણ છે જેના માટે $f(x)$ વ્યાખ્યાયિત છે,$g(x)$ વ્યાખ્યાયિત છે અને $g(x) \neq 0$ છે.
$f(x) = \sqrt{\frac{x+1}{x+3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{x+1}{x+3} \geq 0$ હોવું જોઈએ. આ $x \in (-\infty, -3) \cup [-1, \infty)$ માટે સાચું છે.
$g(x) = \sqrt{\frac{2-x}{x+3}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે અને $g(x) \neq 0$ હોવા માટે,$\frac{2-x}{x+3} > 0$ હોવું જોઈએ. $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{x-2}{x+3} < 0$ મળે છે,જે $x \in (-3, 2)$ માટે સાચું છે.
$f/g$ નો પ્રદેશ આ બે ગણનો છેદગણ છે: $((-\infty, -3) \cup [-1, \infty)) \cap (-3, 2) = [-1, 2)$.

(D) આપેલ છે,$f(x) = \sqrt{\frac{2-|x|}{3-|x|}}$.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$\frac{2-|x|}{3-|x|} \geq 0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $\frac{2-t}{3-t} \geq 0$ બને છે,જે $\frac{t-2}{t-3} \geq 0$ ને સમાન છે.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$t \geq 0$ માટે $t$ નો ઉકેલ $t \in [0, 2] \cup (3, \infty)$ મળે છે.
હવે,$t = |x|$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $I$: $0 \leq |x| \leq 2 \Rightarrow x \in [-2, 2]$.
કિસ્સો $II$: $|x| > 3 \Rightarrow x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -3) \cup [-2, 2] \cup (3, \infty)$ મળે છે.

(C) વિધેય $f(x) = \frac{-5}{4x^2+1} + \sqrt{x^2-4}$ છે.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,છેદ $4x^2+1$ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ અને વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ.
દરેક $x \in R$ માટે $4x^2+1 \geq 1$ હોવાથી,છેદ ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી.
વર્ગમૂળ માટે,આપણે $x^2 - 4 \geq 0$ ની જરૂર છે.
$x^2 \geq 4$
$|x| \geq 2$
આનો અર્થ એ છે કે $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
તેથી,પ્રદેશ $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \sqrt{\frac{1-|x|}{2-|x|}}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત અઋણ હોવી જોઈએ અને છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$1$. $\frac{1-|x|}{2-|x|} \geq 0$
$2$. $2-|x| \neq 0 \implies |x| \neq 2 \implies x \neq \pm 2$
ધારો કે $t = |x|$,જ્યાં $t \geq 0$. અસમતા $\frac{1-t}{2-t} \geq 0$ બને છે.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા: $\frac{t-1}{t-2} \geq 0$.
વેવી કર્વ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,$t \geq 0$ માટે $t$ નો ઉકેલ $t \in [0, 1] \cup (2, \infty)$ મળે છે.
હવે,$t = |x|$ પાછું મૂકતા:
કિસ્સો $I$: $0 \leq |x| \leq 1 \implies x \in [-1, 1]$.
કિસ્સો $II$: $|x| > 2 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
આમ,પ્રદેશ $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, 1] \cup (2, \infty)$ છે.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{1}{\sqrt{|x|-x}}$ છે.
$f(x)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની કિંમત શૂન્ય કરતા મોટી હોવી જોઈએ:
$|x| - x > 0$
$|x| > x$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \geq 0$ માટે $|x| = x$,તેથી $x > x$ શક્ય નથી.
$x < 0$ માટે $|x| = -x$,તેથી $-x > x$,જેનો અર્થ છે કે $-2x > 0$,એટલે કે $x < 0$.
આમ,વિધેય તમામ $x \in (-\infty, 0)$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે.
તેથી,$f(x)$ નો પ્રદેશ $(-\infty, 0)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = ([x]^2 - [x] - 2)^{-1/2}$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિ ધન હોવી જોઈએ:
$[x]^2 - [x] - 2 > 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$([x] - 2)([x] + 1) > 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $[x] < -1$ અથવા $[x] > 2$ હોય.
કિસ્સો $1$: જો $[x] < -1$,તો $x < -1$.
કિસ્સો $2$: જો $[x] > 2$,તો $[x] \geq 3$,જેનો અર્થ છે કે $x \geq 3$.
આ બંનેને જોડતા,પ્રદેશ $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ મળે છે.
જેને $R - [-1, 3)$ તરીકે લખી શકાય.