Probability distribution Questions in Hindi

(C) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$0.07 + 0.2 + 0.3 + k + 0.07 + 0.04 + 0.02 = 1$
$0.7 + k = 1 \implies k = 0.3$
अब,हम माध्य $E(X) = \sum x_i p_i$ और $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$ की गणना करते हैं।

$x_i$	$p_i$	$x_i p_i$	$x_i^2 p_i$
$5$	$0.07$	$0.35$	$1.75$
$6$	$0.2$	$1.2$	$7.2$
$7$	$0.3$	$2.1$	$14.7$
$8$	$0.3$	$2.4$	$19.2$
$9$	$0.07$	$0.63$	$5.67$
$10$	$0.04$	$0.4$	$4$
$11$	$0.02$	$0.22$	$2.42$
कुल	$1$	$7.3$	$55.04$

माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = 7.3$
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 55.04$
प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 55.04 - (7.3)^2 = 55.04 - 53.29 = 1.75$

(D) एक पासे में $6$ फलक होते हैं। फलकों पर लिखी संख्याएँ $1, 1, 1, 2, 2, 5$ हैं।
$1$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=1) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
$2$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
$5$ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=5) = \frac{1}{6}$ है।
माध्य (अपेक्षित मान) $E(X) = \sum p_i x_i$ द्वारा दिया जाता है।
माध्य $= (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{3}) + (5 \times \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

$x_i$	$p_i x_i$
$1$	$1/2$
$2$	$2/3$
$5$	$5/6$
कुल	$2$

(A) चूंकि $f(x)$ एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} K(x-x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1$
$K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
अब,हम $P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 6(x-x^2) dx$ की गणना करते हैं।
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$
$= 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3 \left( \frac{1}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{8} \right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(A) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum p_i x_i = \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = \frac{1}{n} (1 + 2 + 3 + \dots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum p_i x_i^2 = \frac{1^2}{n} + \frac{2^2}{n} + \frac{3^2}{n} + \dots + \frac{n^2}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X^2) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
$X$ का प्रसरण $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$\operatorname{Var}(X) = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left( \frac{n+1}{2} \right)^2$.
$\operatorname{Var}(X) = \frac{2n^2 + 3n + 1}{6} - \frac{n^2 + 2n + 1}{4}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $12$ लेने पर:
$\operatorname{Var}(X) = \frac{2(2n^2 + 3n + 1) - 3(n^2 + 2n + 1)}{12} = \frac{4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}$.

(B) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{{}^{5}C_{x}}{2^{5}}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ की गणना करनी है।
$P(X=0) = \frac{{}^{5}C_{0}}{2^{5}} = \frac{1}{32}$
$P(X=1) = \frac{{}^{5}C_{1}}{2^{5}} = \frac{5}{32}$
$P(X=2) = \frac{{}^{5}C_{2}}{2^{5}} = \frac{10}{32}$
इन मानों को जोड़ने पर: $P(X \leq 2) = \frac{1+5+10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{{}^{5}C_{3} + {}^{5}C_{4} + {}^{5}C_{5}}{2^{5}} = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ और $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ है।

(A) प्रायिकता घनत्व फलन के लिए,वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{0}^{4} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{4} \frac{k}{\sqrt{x}} dx = 1$
$k [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = 1$
$k [2(2) - 0] = 1 \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
अब,हम $P(1 < X < 4)$ की गणना करते हैं:
$P(1 < X < 4) = \int_{1}^{4} \frac{1/4}{\sqrt{x}} dx$
$= \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{1}^{4}$
$= \frac{1}{2} [\sqrt{4} - \sqrt{1}]$
$= \frac{1}{2} [2 - 1] = \frac{1}{2}$

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$k + 0 + 2k + 5k + k + 3k = 1$।
$12k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{12}$।
हमें $P(X \geq 4)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
$P(X \geq 4) = 5k + k + 3k = 9k$।
$k$ का मान रखने पर,हमें $P(X \geq 4) = 9 \times \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रायिकता द्रव्यमान फलन के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$.
हरों $(3, 4, 2, 2)$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{12k + 4k + 3k + 6k + 6k}{12} = 1$.
अंशों को जोड़ने पर: $\frac{31k}{12} = 1$.
$k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{12}{31}$.

(C) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$-1 < x < 2$ के लिए,हमारे पास है:
$F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{t^3}{3} dt$
$F(x) = \frac{1}{3} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{-1}^{x}$
$F(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right)$
$F(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \right)$
$F(x) = \frac{1}{12} (x^4 - 1)$

(A) दिया गया p.d.f. $f(x) = \frac{1}{2}$ है,जहाँ $0 < x < 2$ है।
सबसे पहले,हम $a = P(X < \frac{1}{2})$ की गणना करते हैं:
$a = \int_{0}^{1/2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4}$.
इसके बाद,हम $b = P(X > \frac{3}{2})$ की गणना करते हैं:
$b = \int_{3/2}^{2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{3/2}^{2} = \frac{1}{2} (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
$a$ और $b$ की तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{4}$ और $b = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

(C) संचयी वितरण फलन (c.d.f.) $F(x) = P(X \leq x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ दिया गया है।
हमें प्रायिकता $P[X > 1]$ ज्ञात करनी है।
संचयी वितरण फलन के गुणधर्म के अनुसार,$P(X > x) = 1 - P(X \leq x) = 1 - F(x)$ होता है।
इसलिए,$P[X > 1] = 1 - F(1)$.
दिए गए फलन में $x = 1$ रखने पर: $F(1) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$।
अतः,$P[X > 1] = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k + 2k + 4k + 2k + k = 1$.
$10k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{10}$.
हमें $P(X \leq 2)$ ज्ञात करना है,जो $P(0) + P(1) + P(2)$ है।
$P(X \leq 2) = k + 2k + 4k = 7k$.
$k$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.

(D) चूंकि $f(x)$ एक प्रायिकता घनत्व फलन है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए:
$\int_{-2}^{2} k(4 - x^2) dx = 1$
चूंकि फलन सम है,हमारे पास $2k \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 1$ है।
$2k [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 1$
$2k (8 - \frac{8}{3}) = 1 \Rightarrow 2k(\frac{16}{3}) = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{32}$.
अब,हम $P[-1 < X < 1]$ की गणना करते हैं:
$P[-1 < X < 1] = \int_{-1}^{1} \frac{3}{32}(4 - x^2) dx = 2 \times \frac{3}{32} \int_{0}^{1} (4 - x^2) dx$
$= \frac{6}{32} [4x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{3}{16} (4 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{16} \times \frac{11}{3} = \frac{11}{16}$.

(B) प्रायिकता $P(|X| < 2)$ का मान $P(-2 < X < 2)$ के बराबर है।
दिए गए p.d.f. $f(x) = \frac{x+2}{18}$ का अंतराल $(-2, 2)$ पर समाकलन करने पर:
$P(-2 < X < 2) = \int_{-2}^{2} \frac{x+2}{18} dx$
$= \frac{1}{18} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{2}$
$= \frac{1}{18} \left[ (\frac{2^2}{2} + 2(2)) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)) \right]$
$= \frac{1}{18} \left[ (2 + 4) - (2 - 4) \right]$
$= \frac{1}{18} [6 - (-2)]$
$= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

(C) प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X) = 1$.
दिया गया है $P(X) = k \binom{4}{x}$ जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, 4$.
प्रत्येक प्रायिकता की गणना करने पर:
$P(X=0) = k \binom{4}{0} = k \times 1 = k$
$P(X=1) = k \binom{4}{1} = k \times 4 = 4k$
$P(X=2) = k \binom{4}{2} = k \times 6 = 6k$
$P(X=3) = k \binom{4}{3} = k \times 4 = 4k$
$P(X=4) = k \binom{4}{4} = k \times 1 = k$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$k + 4k + 6k + 4k + k = 1$
$16k = 1$
$k = \frac{1}{16}$

(D) माध्य $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i P_i = (-2)(0.2) + (-1)(0.3) + (0)(0.1) + (1)(0.15) + (2)(0.25)$
$E(X) = -0.4 - 0.3 + 0 + 0.15 + 0.5 = -0.05$
इसके बाद,हम $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = (-2)^2(0.2) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0.1) + (1)^2(0.15) + (2)^2(0.25)$
$E(X^2) = (4)(0.2) + (1)(0.3) + 0 + (1)(0.15) + (4)(0.25)$
$E(X^2) = 0.8 + 0.3 + 0.15 + 1.0 = 2.25$
प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = 2.25 - (-0.05)^2$
$Var(X) = 2.25 - 0.0025 = 2.2475$

(C) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{5}{x}}{2^5}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
प्रायिकताओं की गणना करने पर:
$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$,$P(X=1) = \frac{\binom{5}{1}}{32} = \frac{5}{32}$,$P(X=2) = \frac{\binom{5}{2}}{32} = \frac{10}{32}$,$P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{32} = \frac{10}{32}$,$P(X=4) = \frac{\binom{5}{4}}{32} = \frac{5}{32}$,$P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$.
अब विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A$. $P(X \leq 1) = P(0) + P(1) = \frac{1+5}{32} = \frac{6}{32}$ और $P(X \geq 4) = P(4) + P(5) = \frac{5+1}{32} = \frac{6}{32}$. अतः,$P(X \leq 1) = P(X \geq 4)$ सत्य है।
$B$. $P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = \frac{1+5+10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$. $P(X \geq 4) = \frac{6}{32} = 0.1875$. चूँकि $0.5 \geq 0.1875$,यह सत्य है।
$C$. $P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1+5+10+10}{32} = \frac{26}{32} = 0.8125$. $P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$. चूँकि $0.8125 \leq 0.5$ असत्य है,इसलिए विकल्प $C$ सत्य नहीं है।
$D$. $P(X \leq 2) = \frac{16}{32} = 0.5$ और $P(X \geq 3) = \frac{16}{32} = 0.5$. अतः,$P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ सत्य है।

(C) हमें प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{x+2}{18}$ दिया गया है,जहाँ $-2 < x < 4$ है।
हमें $P[|x| < 1]$ ज्ञात करना है।
शर्त $|x| < 1$ का अर्थ $-1 < x < 1$ है।
अतः,$P[|x| < 1] = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{x+2}{18} \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$P = \frac{1}{18} \int_{-1}^{1} (x+2) \, dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{1}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{1}{18} \left[ (\frac{1}{2} + 2) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) \right]$.
$P = \frac{1}{18} \left[ (\frac{1}{2} + 2) - (\frac{1}{2} - 2) \right]$.
$P = \frac{1}{18} [ \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} + 2 ] = \frac{1}{18} [4] = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब एक पासे को फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
किसी भी संख्या $x \in S$ को प्राप्त करने की प्रायिकता $P(x) = \frac{1}{6}$ है।
प्रत्याशा $E(X)$ का सूत्र $E(X) = \sum x \cdot P(x)$ है।
$E(X) = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6})$.
$E(X) = \frac{1}{6} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$.
$E(X) = \frac{1}{6} \times 21 = 3.5$.

(C) $P(X \leq 2)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रायिकता घनत्व फलन $f(x)$ का $0$ से $2$ की सीमाओं के बीच समाकलन करेंगे।
$P(X \leq 2) = \int_{0}^{2} f(x) \, dx$
$P(X \leq 2) = \int_{0}^{2} \frac{x}{8} \, dx$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

(B) मानक विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य $\mu = E(X)$ और प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करेंगे।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$x_i$	$p_i$	$p_i x_i$	$p_i x_i^2$
$0$	$q^2$	$0$	$0$
$1$	$2pq$	$2pq$	$2pq$
$2$	$p^2$	$2p^2$	$4p^2$
कुल	$1$	$2pq + 2p^2$	$2pq + 4p^2$

माध्य $\mu = E(X) = \sum p_i x_i = 2pq + 2p^2 = 2p(q+p)$.
चूंकि $p+q=1$,इसलिए $\mu = 2p(1) = 2p$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = (2pq + 4p^2) - (2p)^2 = 2pq + 4p^2 - 4p^2 = 2pq$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{2pq}$.

(B) एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P[X=x]$ संचयी वितरण फलन $F(x)$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है:
$P[X=x] = F(x) - F(x^-)$
जहाँ $F(x^-)$ मान $x$ से ठीक पहले के मान पर संचयी वितरण फलन का मान है।
इस मामले में,हम $P[X=3]$ ज्ञात करना चाहते हैं।
तालिका को देखने पर,$3$ से ठीक पहले $X$ का मान $1$ है।
इसलिए,$P[X=3] = F(3) - F(1)$.
तालिका से:
$F(3) = 0.75$
$F(1) = 0.65$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P[X=3] = 0.75 - 0.65 = 0.10$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हमें $F(1.5) - F(-0.5) = P(X \leq 1.5) - P(X \leq -0.5)$ की गणना करनी है।
एक असतत यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)$ होता है।
इसलिए,$P(X \leq 1.5) = P(X = -1.5) + P(X = -0.5) + P(X = 0.5) + P(X = 1.5) = 0.05 + 0.2 + 0.15 + 0.25 = 0.65$ है।
और $P(X \leq -0.5) = P(X = -1.5) + P(X = -0.5) = 0.05 + 0.2 = 0.25$ है।
अतः,$F(1.5) - F(-0.5) = 0.65 - 0.25 = 0.4$ है।
वैकल्पिक रूप से,$F(1.5) - F(-0.5) = P(-0.5 < X \leq 1.5) = P(X = 0.5) + P(X = 1.5) = 0.15 + 0.25 = 0.4$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(A) संचयी वितरण फलन $F(x)$ प्रायिकता घनत्व फलन $f(x)$ का समाकल है।
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} 3(1 - 2t^2) dt$.
समाकलन करने पर:
$F(x) = 3 \left[ t - \frac{2t^3}{3} \right]_{0}^{x} = 3 \left( x - \frac{2x^3}{3} \right)$.
दिए गए रूप $F(x) = k(x - \frac{2x^3}{k}) = kx - 2x^3$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$k + 3k + 3k + k = 1$,जिसका अर्थ है $8k = 1$,इसलिए $k = \frac{1}{8}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$।
वर्ग का अपेक्षित मान,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$।
$Var(X) = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$।

(A) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$0 < x < 4$ के लिए,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} dt$.
$F(x) = \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{1}{16} (x^2 - 0) = \frac{x^2}{16}$.
अब,$F(x)$ के व्यंजक में $x = 0.5$ रखने पर:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = \frac{1/4}{16} = \frac{1}{64}$.

(A) यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ का उपयोग करते हैं।

$x_{i}$	$p(x_{i})$	$p_{i} x_{i}$	$p_{i} x_{i}^{2}$
$0$	$\frac{1}{5}$	$0$	$0$
$1$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$
$2$	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{8}{5}$

सबसे पहले,माध्य $E(X) = \sum p_{i} x_{i} = 0 + \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$E(X^2) = \sum p_{i} x_{i}^{2} = 0 + \frac{2}{5} + \frac{8}{5} = \frac{10}{5} = 2$ ज्ञात करें।
अब,प्रसरण की गणना करें: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2 - (\frac{6}{5})^2 = 2 - \frac{36}{25} = \frac{50 - 36}{25} = \frac{14}{25}$।

(A) यादृच्छिक चर $X$ के लिए दिया गया p.d.f.: $f(x) = \begin{cases} 3(1 - 2x^2), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$
प्रायिकता की गणना इस प्रकार की जाती है: $P\left(\frac{1}{4} < X < \frac{1}{3}\right) = \int_{1/4}^{1/3} 3(1 - 2x^2) \, dx$
$= 3 \left[ x - \frac{2}{3}x^3 \right]_{1/4}^{1/3}$
$= 3 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{27} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{64} \right) \right]$
$= 3 \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{81} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{96} \right) \right]$
$= 3 \left[ \frac{27-2}{81} - \frac{24-1}{96} \right] = 3 \left[ \frac{25}{81} - \frac{23}{96} \right]$
$= 3 \left[ \frac{25 \times 32 - 23 \times 27}{2592} \right] = 3 \left[ \frac{800 - 621}{2592} \right]$
$= 3 \times \frac{179}{2592} = \frac{179}{864}$

(A) यादृच्छिक चर $x$ का p.d.f. $f(x) = \frac{1}{4a}$ दिया गया है,जहाँ $0 < x < 4a$ है।
हमें समीकरण $P(x < \frac{3a}{2}) = k P(x > \frac{5a}{2})$ दिया गया है।
बाएँ पक्ष की गणना करने पर: $P(x < \frac{3a}{2}) = \int_{0}^{\frac{3a}{2}} \frac{1}{4a} dx = \frac{1}{4a} [x]_{0}^{\frac{3a}{2}} = \frac{1}{4a} \times \frac{3a}{2} = \frac{3}{8}$.
दाएँ पक्ष की गणना करने पर: $P(x > \frac{5a}{2}) = \int_{\frac{5a}{2}}^{4a} \frac{1}{4a} dx = \frac{1}{4a} [x]_{\frac{5a}{2}}^{4a} = \frac{1}{4a} (4a - \frac{5a}{2}) = \frac{1}{4a} \times \frac{3a}{2} = \frac{3}{8}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{8} = k \times \frac{3}{8}$.
अतः,$k = 1$.

(A) प्रायिकता $P(a \leq x \leq b)$ को $F(b) - F(a)$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है $F(x) = \frac{x-25}{10}$।
हमें $P(27 \leq x \leq 33) = F(33) - F(27)$ ज्ञात करना है।
$F(33) = \frac{33-25}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$।
$F(27) = \frac{27-25}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$।
अतः,$P(27 \leq x \leq 33) = 0.8 - 0.2 = 0.6 = \frac{3}{5}$।

(A) किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = K + 3K + 5K + 7K + 8K + K = 1$
$25K = 1 \implies K = \frac{1}{25}$
हमें $P(2 \leq X < 5)$ ज्ञात करना है,जिसमें $X = 2, 3, 4$ के मान शामिल हैं।
$P(2 \leq X < 5) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$
$= 3K + 5K + 7K = 15K$
$K = \frac{1}{25}$ रखने पर:
$= 15 \times \frac{1}{25} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$

(D) जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ है।
माना $n(H)$ चितों की संख्या है और $n(T)$ पटों की संख्या है। $X = |n(H) - n(T)|$.
$HHH$ के लिए: $n(H)=3, n(T)=0, X=|3-0|=3$.
$HHT$ के लिए: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$HTH$ के लिए: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$HTT$ के लिए: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$THH$ के लिए: $n(H)=2, n(T)=1, X=|2-1|=1$.
$THT$ के लिए: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$TTH$ के लिए: $n(H)=1, n(T)=2, X=|1-2|=1$.
$TTT$ के लिए: $n(H)=0, n(T)=3, X=|0-3|=3$.
$X=1$ वाले परिणाम $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH\}$ हैं।
ऐसे कुल $6$ परिणाम हैं।
अतः,$P(X=1) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(B) पासा फेंकने के संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ हैं। हम प्रत्येक परिणाम के लिए धनात्मक भाजकों की संख्या इस प्रकार निर्धारित करते हैं:

परिणाम	धनात्मक भाजक	भाजकों की संख्या $(X)$
$1$	$1$	$1$
$2$	$1, 2$	$2$
$3$	$1, 3$	$2$
$4$	$1, 2, 4$	$3$
$5$	$1, 5$	$2$
$6$	$1, 2, 3, 6$	$4$

यादृच्छिक चर $X$ द्वारा लिए गए मानों का समूह परिसर है। तालिका से,मान $\{1, 2, 3, 4\}$ हैं। अतः,$X$ का परिसर $\{1, 2, 3, 4\}$ है।

(A) प्रायिकता $P(3 < X \leq 5)$ का मान $F(5) - F(3)$ द्वारा प्राप्त होता है।
दी गई तालिका से:
$F(5) = 0.85$
$F(3) = 0.48$
अतः,$P(3 < X \leq 5) = F(5) - F(3) = 0.85 - 0.48 = 0.37$।

(D) $x$ : खराब पेन की संख्या।
बॉक्स से दो पेन लिए जाते हैं।
इसलिए,$x$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
$P(x=0) = \frac{{}^4C_2}{{}^6C_2} = \frac{6}{15}$
$P(x=1) = \frac{{}^2C_1 \times {}^4C_1}{{}^6C_2} = \frac{8}{15}$
$P(x=2) = \frac{{}^2C_2}{{}^6C_2} = \frac{1}{15}$

$x_i$	$P(x_i)$	$x_i P(x_i)$	$x_i^2 P(x_i)$
$0$	$\frac{6}{15}$	$0$	$0$
$1$	$\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{8}{15}$
$2$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{4}{15}$

$E(x) = \sum x_i P(x_i) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$
$E(x^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 0 + \frac{8}{15} + \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
$\text{प्रसरण}(x) = E(x^2) - [E(x)]^2 = \frac{4}{5} - (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{5} - \frac{4}{9} = \frac{36-20}{45} = \frac{16}{45}$
$\text{मानक विचलन} = \sqrt{\text{प्रसरण}(x)} = \sqrt{\frac{16}{45}} = \frac{4}{3 \sqrt{5}}$

(C) संचयी प्रायिकता वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x)$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$x = 0$ के लिए,हमारे पास $F(0) = P(X \leq 0)$ है।
दी गई प्रायिकता वितरण तालिका से:
$P(X \leq 0) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 0)$
$P(X \leq 0) = 0.2 + 0.5 + 0.15 = 0.85$.
वैकल्पिक रूप से,हम जानते हैं कि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $P(X \leq 0) + P(X > 0) = 1$.
अतः,$F(0) = P(X \leq 0) = 1 - P(X > 0)$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{1}{5}$ दिया गया है जहाँ $0 \leq x \leq 5$ और अन्यथा $0$ है।
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि प्रतीक्षा समय $X$,$4$ मिनट से अधिक न हो,जो $P(X \leq 4)$ है।
इसकी गणना प्रायिकता घनत्व फलन का $0$ से $4$ तक समाकलन करके की जाती है:
$P(X \leq 4) = \int_{0}^{4} f(x) \, dx$
$P(X \leq 4) = \int_{0}^{4} \frac{1}{5} \, dx$
$P(X \leq 4) = \left[ \frac{x}{5} \right]_{0}^{4}$
$P(X \leq 4) = \frac{4}{5} - \frac{0}{5} = \frac{4}{5} = 0.8$
अतः,प्रायिकता $0.8$ है।

(C) जब दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ होती है।
माना $X$ चितों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
प्रायिकताएँ इस प्रकार हैं:
$P(X=0) = P(TT) = \frac{1}{4}$
$P(X=1) = P(HT, TH) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(X=2) = P(HH) = \frac{1}{4}$
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
वैकल्पिक रूप से,चूंकि यह द्विपद बंटन का पालन करता है जहाँ $n=2$ और $p=\frac{1}{2}$,इसलिए $E(X) = np = 2 \times \frac{1}{2} = 1$.

(B) दिया गया है,$E = \{x \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5, 7\}$.
$P(E) = P(2) + P(3) + P(5) + P(7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
दिया गया है,$F = \{x < 4\} = \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(1) + P(2) + P(3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
सर्वनिष्ठ घटना $E \cap F = \{x \text{ अभाज्य है और } x < 4\} = \{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(2) + P(3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
सूत्र $P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$ का उपयोग करने पर:
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(C) अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i P(x_i)$
$E(X) = (-2)(0.1) + (-1)(0.2) + (0)(0.2) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.05)$
$E(X) = -0.2 - 0.2 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.35$
वर्ग का अपेक्षित मान $E(X^2)$ है:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.2) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.05)$
$E(X^2) = (4)(0.1) + (1)(0.2) + 0 + (1)(0.3) + (4)(0.15) + (9)(0.05)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.45 = 1.95$
प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार है:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = 1.95 - (0.35)^2$
$Var(X) = 1.95 - 0.1225 = 1.8275$

(C) यादृच्छिक चर $X$ के मान $x_i \in \{0, 1, 2\}$ हैं।
दिया गया माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1.2$ है।
मान रखने पर: $(0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2)) = 1.2$।
चूंकि $P(X=0) = 0.3$ है,इसलिए: $0 + P(X=1) + 2P(X=2) = 1.2 \implies P(X=1) + 2P(X=2) = 1.2$ (समीकरण $1$)।
साथ ही,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$।
$0.3 + P(X=1) + P(X=2) = 1 \implies P(X=1) + P(X=2) = 0.7$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ घटाने पर: $(P(X=1) + 2P(X=2)) - (P(X=1) + P(X=2)) = 1.2 - 0.7$।
$P(X=2) = 0.5$।
$P(X=2) = 0.5$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $P(X=1) + 0.5 = 0.7 \implies P(X=1) = 0.2$।

(B) $X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $x_i$ | $p_i$ | $x_i p_i$ | $x_i^2 p_i$ |
|---|---|---|---|
| $0$ | $0.4$ | $0$ | $0$ |
| $1$ | $0.6$ | $0.6$ | $0.6$ |
| कुल | | $0.6$ | $0.6$ |
हम जानते हैं कि $\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
तालिका से,$E(X) = \sum x_i p_i = 0.6$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = 0.6$.
अतः,$\text{Var}(X) = 0.6 - (0.6)^2 = 0.6 - 0.36 = 0.24$.

(A) अपेक्षित दैनिक मांग (माध्य) $E(X) = \Sigma P_i x_i$ द्वारा दी जाती है।
$E(X) = (5 \times 0.07) + (6 \times 0.2) + (7 \times 0.3) + (8 \times 0.3) + (9 \times 0.07) + (10 \times 0.06)$
$E(X) = 0.35 + 1.2 + 2.1 + 2.4 + 0.63 + 0.6 = 7.28$.
प्रसरण $Var(X) = \Sigma P_i x_i^2 - (E(X))^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\Sigma P_i x_i^2$ की गणना करें:
$\Sigma P_i x_i^2 = (25 \times 0.07) + (36 \times 0.2) + (49 \times 0.3) + (64 \times 0.3) + (81 \times 0.07) + (100 \times 0.06)$
$\Sigma P_i x_i^2 = 1.75 + 7.2 + 14.7 + 19.2 + 5.67 + 6.0 = 54.52$.
अब,प्रसरण की गणना करें:
$Var(X) = 54.52 - (7.28)^2$
$Var(X) = 54.52 - 52.9984 \approx 1.52$.
अतः,अपेक्षित मांग $7.28$ है और प्रसरण $1.52$ है।

(D) अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
दिए गए मान:
$x_1 = 1, P(x_1) = \frac{1}{10} \implies x_1^2 P(x_1) = 1^2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
$x_2 = 2, P(x_2) = \frac{1}{5} \implies x_2^2 P(x_2) = 2^2 \times \frac{1}{5} = 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = \frac{8}{10}$
$x_3 = 3, P(x_3) = \frac{3}{10} \implies x_3^2 P(x_3) = 3^2 \times \frac{3}{10} = 9 \times \frac{3}{10} = \frac{27}{10}$
$x_4 = 4, P(x_4) = \frac{2}{5} \implies x_4^2 P(x_4) = 4^2 \times \frac{2}{5} = 16 \times \frac{2}{5} = \frac{32}{5} = \frac{64}{10}$
इन मानों का योग करने पर:
$E(X^2) = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = \frac{100}{10} = 10$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=1}^{4} P(x) = 1$.
दिया गया है $P(x) = \frac{c}{3} \binom{4}{x}$,इसलिए:
$\frac{c}{3} [\binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4}] = 1$.
हम जानते हैं कि $\sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} = 2^n$.
इसलिए,$\binom{4}{0} + \binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 2^4 = 16$.
चूँकि $\binom{4}{0} = 1$,इसलिए $\binom{4}{1} + \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 16 - 1 = 15$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{c}{3} \times 15 = 1$.
$5c = 1$.
$c = \frac{1}{5}$.

(D) प्रायिकता बंटन के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{4} P(x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{4} C \binom{4}{x} = 1$.
$C \sum_{x=0}^{4} \binom{4}{x} = 1$.
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ होता है।
$n = 4$ के लिए,$\sum_{x=0}^{4} \binom{4}{x} = 2^4 = 16$.
इसलिए,$C \times 16 = 1$.
$C = \frac{1}{16}$.

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X) = 1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.3 + k + 2k + 2k = 1$
$0.3 + 5k = 1$
$5k = 1 - 0.3$
$5k = 0.7$
$k = \frac{0.7}{5}$
$k = 0.14$

(A) हम जानते हैं कि किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum P(x) = 1$।
तालिका से दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.2 + k + k + 2k = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$0.2 + 4k = 1$
दोनों पक्षों से $0.2$ घटाने पर:
$4k = 1 - 0.2$
$4k = 0.8$
$4$ से विभाजित करने पर:
$k = \frac{0.8}{4} = 0.2$
अतः,$k$ का मान $0.2$ है।

(B) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। इसलिए,$\frac{25}{36} + k + \frac{1}{36} = 1 \Rightarrow k + \frac{26}{36} = 1 \Rightarrow k = 1 - \frac{13}{18} = \frac{5}{18}$.
यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E(X) = \frac{1}{3}$,अतः:
$E(X) = 0 \times \frac{25}{36} + 1 \times k + 2 \times \frac{1}{36} = k + \frac{2}{36} = k + \frac{1}{18}$.
चूंकि $E(X) = \frac{1}{3}$,हमारे पास $k + \frac{1}{18} = \frac{1}{3} \Rightarrow k = \frac{1}{3} - \frac{1}{18} = \frac{6-1}{18} = \frac{5}{18}$ है।
$X$ का प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ की गणना करें:
$E(X^2) = 0^2 \times \frac{25}{36} + 1^2 \times k + 2^2 \times \frac{1}{36} = 0 + k + \frac{4}{36} = k + \frac{1}{9}$.
$k = \frac{5}{18}$ रखने पर:
$E(X^2) = \frac{5}{18} + \frac{1}{9} = \frac{5+2}{18} = \frac{7}{18}$.
अब,$Var(X) = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$।