Probability distribution Questions in Hindi

(A) दिया गया है कि तीन सिक्के उछाले जाते हैं।
प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{TTT, TTH, THT, HTT, HHT, HTH, THH, HHH\}$
अतः,$n(S) = 8$ है।
माना $X$ चित्तों की संख्या को दर्शाता है।
तब $X$ का मान $0, 1, 2, 3$ हो सकता है।
$X$ का प्रायिकता बंटन है:
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X)$ | $1/8$ | $3/8$ | $3/8$ | $1/8$ |
माध्य $\mu$ को $\Sigma X_i P(X_i)$ द्वारा ज्ञात किया जाता है:
$\mu = 0 \times \left(\frac{1}{8}\right) + 1 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 2 \times \left(\frac{3}{8}\right) + 3 \times \left(\frac{1}{8}\right)$
$\mu = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8}$
$\mu = \frac{12}{8} = 1.5$

(C) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\Sigma P(X) = 1$.
$(k-1) + 3k + k + 3k + 3k^2 + k^2 + (k^2+k) = 1$
समान पदों को जोड़ने पर:
$5k^2 + 9k - 1 = 1$
$5k^2 + 9k - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$5k^2 + 10k - k - 2 = 0$
$5k(k+2) - 1(k+2) = 0$
$(5k-1)(k+2) = 0$
इससे $k = \frac{1}{5}$ या $k = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $k$ धनात्मक होना चाहिए। $k = -2$ के लिए,$P(X=1) = -3$ होता है,जो संभव नहीं है।
अतः,$k = \frac{1}{5}$।

(B) प्रायिकता वितरण का माध्य $(\mu) = \sum x_{i} P_{i}$ द्वारा दिया जाता है।
$\mu = (0 \times \frac{25}{36}) + (1 \times \frac{5}{18}) + (2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{2}{36} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$.
प्रसरण $(\sigma^2) = \sum x_{i}^2 P_{i} - \mu^2$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$\sum x_{i}^2 P_{i} = (0^2 \times \frac{25}{36}) + (1^2 \times \frac{5}{18}) + (2^2 \times \frac{1}{36}) = 0 + \frac{10}{36} + \frac{4}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$.
अब,$\sigma^2 = \frac{7}{18} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{7}{18} - \frac{1}{9} = \frac{7-2}{18} = \frac{5}{18}$.
अतः,मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\frac{5}{18}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{5}{2}}$.
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

(C) दिया गया है कि पॉइसन चर $X$ का माध्य $\lambda = 1$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!} = \frac{e^{-1}}{r!}$ है।
हमें $\sum_{r=0}^{\infty} |r-1| P(X=r)$ की गणना करनी है।
$\sum_{r=0}^{\infty} |r-1| \frac{e^{-1}}{r!} = e^{-1} [ 1 + 0 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots ] = \frac{2}{e}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) इकाई माध्य वाले पॉइसन वितरण के लिए,$\bar{x} = 1$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-1}}{x!}$ है।
हमें $\sum_{x=0}^{\infty} |x-1| \frac{e^{-1}}{x!}$ की गणना करनी है।
$= \frac{1}{e} \left[ |0-1| \frac{1}{0!} + |1-1| \frac{1}{1!} + |2-1| \frac{1}{2!} + |3-1| \frac{1}{3!} + \dots \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + 0 + \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \dots \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + \sum_{x=2}^{\infty} \frac{x-1}{x!} \right] = \frac{1}{e} \left[ 1 + \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{(x-1)!} - \sum_{x=2}^{\infty} \frac{1}{x!} \right]$
$= \frac{1}{e} \left[ 1 + (e-1) - (e-1-1) \right] = \frac{1}{e} [1 + e - 1 - e + 2] = \frac{2}{e}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^r}{r!}$ है।
दिया गया समीकरण $2 P(X=1) = 5 P(X=5) + 2 P(X=3)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर: $2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^1}{1!} = 5 \frac{e^{-\lambda} \lambda^5}{5!} + 2 \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$.
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर:
$2\lambda = \frac{5 \lambda^5}{120} + \frac{2 \lambda^3}{6}$.
$2\lambda = \frac{\lambda^5}{24} + \frac{\lambda^3}{3}$.
$\lambda$ से विभाजित करने पर:
$2 = \frac{\lambda^4}{24} + \frac{\lambda^2}{3}$.
$24$ से गुणा करने पर: $48 = \lambda^4 + 8\lambda^2$.
$\lambda^4 + 8\lambda^2 - 48 = 0$.
माना $u = \lambda^2$,तो $u^2 + 8u - 48 = 0$.
$(u + 12)(u - 4) = 0$.
चूंकि $\lambda^2$ धनात्मक होना चाहिए,$u = 4$,इसलिए $\lambda^2 = 4$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$.
पॉइसन वितरण का मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\lambda}$ है।
अतः,$\sigma = \sqrt{2}$.

(B) हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के लिए प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
$\sum_{k=0}^{5} P(X=k) = 1$
$a \left( \frac{0+1}{2^0} + \frac{1+1}{2^1} + \frac{2+1}{2^2} + \frac{3+1}{2^3} + \frac{4+1}{2^4} + \frac{5+1}{2^5} \right) = 1$
$a \left( 1 + 1 + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{5}{16} + \frac{6}{32} \right) = 1$
$a \left( \frac{15}{4} \right) = 1 \Rightarrow a = \frac{4}{15}$.
$X$ के लिए अभाज्य मान $\{2, 3, 5\}$ हैं।
$P(X \in \{2, 3, 5\}) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$= a \left( \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \frac{6}{32} \right) = a \left( \frac{23}{16} \right)$
$= \frac{4}{15} \times \frac{23}{16} = \frac{23}{60}$.

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\sum P(X=x_i) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X=x) \ge 0$,$k$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $k = \frac{1}{10}$.
अब,हमें $P(0 < X < 6) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(0 < X < 6) = k + 2k + 2k + 3k + k^2 = 8k + k^2$.
$k = \frac{1}{10}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P(0 < X < 6) = 8\left(\frac{1}{10}\right) + \left(\frac{1}{10}\right)^2 = \frac{8}{10} + \frac{1}{100} = \frac{80+1}{100} = \frac{81}{100} = \left(\frac{9}{10}\right)^2$.

(B) दिया गया है कि $X$ और $Y$ स्वतंत्र असतत यादृच्छिक चर हैं।
द्विपद वितरण $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रसरण $Var(X) = npq$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 1 - p$ है।
यहाँ,$n = 16$ और $p = 0.25$ है,इसलिए $q = 1 - 0.25 = 0.75$ है।
अतः,$Var(X) = 16 \times 0.25 \times 0.75 = 4 \times 0.75 = 3$.
पॉइसन वितरण $Y \sim P(\lambda)$ के लिए,प्रसरण $Var(Y) = \lambda$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda = 2$ है,इसलिए $Var(Y) = 2$.
प्रसरणों का योग $Var(X) + Var(Y) = 3 + 2 = 5$ है।

(C) पॉइसन वितरण के लिए,माध्य $\lambda$ प्रसरण के बराबर होता है। दिया गया है कि प्रसरण $= 2$,इसलिए $\lambda = 2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ है।
हमें $P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2}$.
$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2}$.
$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = \frac{4e^{-2}}{2} = 2e^{-2}$.
योग $= e^{-2} + 2e^{-2} + 2e^{-2} = 5e^{-2} = \frac{5}{e^2}$.
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - \frac{5}{e^2} = \frac{e^2 - 5}{e^2}$.

(C) दुर्घटनाओं की संख्या पॉइसन वितरण (Poisson distribution) का पालन करती है,जहाँ पैरामीटर $\lambda = 5$ है।
पॉइसन वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ है।
हमें अधिकतम एक दुर्घटना होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ है।
$x = 0$ के लिए,$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = \frac{e^{-5} \times 1}{1} = e^{-5}$।
$x = 1$ के लिए,$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = \frac{e^{-5} \times 5}{1} = 5e^{-5}$।
अतः,$P(X \le 1) = e^{-5} + 5e^{-5} = 6e^{-5} = \frac{6}{e^5}$।

(D) मान लीजिए $X_1, X_2, X_3, X_4$ क्रमशः $1, 2, 5, 10$ रुपये के सिक्कों के मूल्य हैं।
मान लीजिए $I_k$ एक सूचक यादृच्छिक चर है,जहाँ यदि $k$-वां सिक्का चित दर्शाता है तो $I_k = 1$ और यदि पट दर्शाता है तो $I_k = 0$ है।
प्रत्येक सिक्के के लिए चित आने की प्रायिकता $P(I_k = 1) = \frac{1}{2}$ है।
प्रत्येक सूचक चर का अपेक्षित मान $E[I_k] = 1 \times \frac{1}{2} + 0 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
चित दर्शाने वाले सिक्कों के मूल्यों का कुल योग $S = 1 \cdot I_1 + 2 \cdot I_2 + 5 \cdot I_3 + 10 \cdot I_4$ है।
अपेक्षा की रैखिकता (linearity of expectation) के अनुसार,$E[S] = 1 \cdot E[I_1] + 2 \cdot E[I_2] + 5 \cdot E[I_3] + 10 \cdot E[I_4]$।
$E[S] = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 5 \times \frac{1}{2} + 10 \times \frac{1}{2}$।
$E[S] = \frac{1+2+5+10}{2} = \frac{18}{2} = 9$।

(C) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ होती है। कुल परिणामों की संख्या $4$ है।
मान लीजिए $X$ पुरस्कार राशि का यादृच्छिक चर है।
संभावित परिणाम इस प्रकार हैं:
$1$. दो चित $(HH)$: $P(X = 2) = 1/4$. पुरस्कार = $Rs. 2$.
$2$. एक चित ($HT$ या $TH$): $P(X = 1) = 2/4 = 1/2$. पुरस्कार = $Rs. 1$.
$3$. कोई चित नहीं $(TT)$: $P(X = -3) = 1/4$. पुरस्कार = $-Rs. 3$ (हानि)।
माध्य (अपेक्षित मान) $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i p_i$
$E(X) = (2 \times 1/4) + (1 \times 1/2) + (-3 \times 1/4)$
$E(X) = 2/4 + 1/2 - 3/4$
$E(X) = 1/2 + 1/2 - 3/4 = 1 - 3/4 = 1/4$.
अतः,पुरस्कार राशि का माध्य $1/4$ है।

(A) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\lambda$ प्रति दिन दुर्घटनाओं की औसत संख्या है।
यह दिया गया है कि $50$ दिनों में $10$ दुर्घटनाएं होती हैं,इसलिए प्रति दिन दुर्घटनाओं की औसत संख्या $\lambda = \frac{10}{50} = 0.2$ है।
हमें एक दिन में तीन या अधिक दुर्घटनाएं होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 3)$ है।
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + \dots$
इसे $\lambda = 0.2$ के साथ $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k !}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही व्यंजक $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{e^{-0.2} (0.2)^k}{k !}$ है।

(D) दिया गया है: $n = 300$,$p = 0.01$.
माना $m$ दोषपूर्ण वस्तुओं की औसत संख्या है।
$m = n \times p = 300 \times 0.01 = 3$.
चूंकि $n$ बड़ा है और $p$ छोटा है,हम पॉइसन वितरण का उपयोग करेंगे,जहाँ पैरामीटर $m = 3$ है।
$X$ दोषपूर्ण वस्तुओं की प्रायिकता $P(X = k) = \frac{e^{-m} m^k}{k!}$ द्वारा दी जाती है।
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि दोषपूर्ण वस्तुओं की संख्या अधिकतम एक हो,अर्थात $P(X \leq 1)$।
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$P(X = 0) = \frac{e^{-3} 3^0}{0!} = \frac{e^{-3} \times 1}{1} = \frac{1}{e^3}$.
$P(X = 1) = \frac{e^{-3} 3^1}{1!} = \frac{3}{e^3}$.
अतः,$P(X \leq 1) = \frac{1}{e^3} + \frac{3}{e^3} = \frac{4}{e^3}$.

(C) दिया गया है कि $P(X=x)=k\left(\frac{3}{8}\right)^X$ जहाँ $x=1, 2, 3, \ldots$ एक प्रायिकता वितरण फलन है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $k \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{3}{8}\right)^x = 1$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{3}{8}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{3}{8}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$k \left( \frac{3/8}{1-3/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3/8}{5/8} \right) = 1$.
$k \left( \frac{3}{5} \right) = 1$.
इसलिए,$k = \frac{5}{3}$.

(B) एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(x) = 1$.
दिया गया है $P(x) = c\left(\frac{2}{3}\right)^x$ जहाँ $x = 1, 2, 3, \ldots$.
अतः,$\sum_{x=1}^{\infty} c\left(\frac{2}{3}\right)^x = 1$.
$c \left[ \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
कोष्ठक के अंदर का व्यंजक एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{3}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{3}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$c \left[ \frac{2/3}{1 - 2/3} \right] = 1$.
$c \left[ \frac{2/3}{1/3} \right] = 1$.
$c(2) = 1$.
$c = \frac{1}{2}$.

(D) यादृच्छिक चर $X$ मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ लेता है,जहाँ प्रत्येक के लिए प्रायिकता $P(X=x_i) = \frac{1}{6}$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{1+4+9+16+25+36}{6} = \frac{91}{6}$.
$Var(X) = \frac{91}{6} - (\frac{7}{2})^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12}$.
अतः,माध्य $\frac{7}{2}$ है और प्रसरण $\frac{35}{12}$ है।

(A) दिया गया है कि पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda = 6$ है।
पॉइसन वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X \geq 3)$ ज्ञात करना है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$।
मान रखने पर:
$P(X=0) = \frac{e^{-6} 6^0}{0!} = e^{-6}$।
$P(X=1) = \frac{e^{-6} 6^1}{1!} = 6e^{-6}$।
$P(X=2) = \frac{e^{-6} 6^2}{2!} = \frac{36e^{-6}}{2} = 18e^{-6}$।
अतः,$P(X \geq 3) = 1 - [e^{-6} + 6e^{-6} + 18e^{-6}] = 1 - 25e^{-6} = 1 - \frac{25}{e^6}$।

(C) पॉइसन वितरण के लिए,प्रसरण $\lambda$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ,$\lambda = 3$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(x=n) = \frac{\lambda^n \cdot e^{-\lambda}}{n!}$ है।
हमें $P(1 < x < 4) = P(x=2) + P(x=3)$ ज्ञात करना है।
$P(x=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$।
$P(x=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27 \cdot e^{-3}}{6} = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2}$।
अतः,$P(1 < x < 4) = \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} + \frac{9 \cdot e^{-3}}{2} = 9 \cdot e^{-3}$।

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^{2x+1}}{(2x+1)!} = 1$.
मान लीजिए $n = 2x+1$ है। जैसे-जैसे $x$,$0$ से $\infty$ तक जाता है,$n$ विषम मान $1, 3, 5, \ldots$ लेता है।
अतः,$k \sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = 1$.
$\sinh(z)$ के लिए टेलर श्रेणी का विस्तार $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{z^n}{n!} = \sinh(z)$ है।
यहाँ,$z = 2$ है,इसलिए $\sum_{n=1, 3, 5, \ldots}^{\infty} \frac{2^n}{n!} = \sinh(2)$.
इस प्रकार,$k \sinh(2) = 1$.
$k = \frac{1}{\sinh(2)} = \text{cosech } 2$.

(A) प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$\alpha + \alpha + \alpha + \beta + \beta + 0.3 = 1 \implies 3\alpha + 2\beta = 0.7$ (समीकरण $1$).
माध्य $\mu = \sum x_i P(x_i) = 4.2$ दिया गया है:
$1(\alpha) + 2(\alpha) + 3(\alpha) + 4(\beta) + 5(\beta) + 6(0.3) = 4.2$
$6\alpha + 9\beta + 1.8 = 4.2 \implies 6\alpha + 9\beta = 2.4 \implies 2\alpha + 3\beta = 0.8$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर:
समीकरण $1$ को $2$ से गुणा करने पर: $6\alpha + 4\beta = 1.4$.
समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर: $6\alpha + 9\beta = 2.4$.
घटाने पर: $5\beta = 1.0 \implies \beta = 0.2$.
$\beta = 0.2$ को समीकरण $1$ में रखने पर: $3\alpha + 2(0.2) = 0.7 \implies 3\alpha = 0.3 \implies \alpha = 0.1$.
हमें $\sigma^2 + \mu^2$ ज्ञात करना है। चूंकि $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$,इसलिए $\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 1^2(0.1) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.2) + 5^2(0.2) + 6^2(0.3)$
$E(X^2) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 3.2 + 5.0 + 10.8 = 20.4$.

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_i) = 3K + 5K + 3k^2 + (4k^2 + k) + 3k^2 = 1$
$10k^2 + 9K - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X = x_i) \geq 0$,इसलिए $k > 0$ होना चाहिए,अतः $k = \frac{1}{10}$।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X \leq 2) = 3K + 5K + 3k^2 = 8K + 3k^2$।
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$P(X \leq 2) = 8(\frac{1}{10}) + 3(\frac{1}{10})^2 = \frac{8}{10} + \frac{3}{100} = \frac{80 + 3}{100} = \frac{83}{100}$।

(B) प्रायिकताओं का योग $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$ होता है।
दिया गया है $P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+c}}$,अतः $\frac{1}{2^c} \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) \left(\frac{1}{2}\right)^k = 1$.
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} (3k+1) x^k$ जहाँ $x = \frac{1}{2}$.
$S = 3 \sum_{k=0}^{\infty} k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 3 \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}$.
$x = \frac{1}{2}$ रखने पर: $S = 3 \frac{1/2}{(1/2)^2} + \frac{1}{1/2} = 3(2) + 2 = 8$.
अतः,$\frac{1}{2^c} (8) = 1 \implies 2^3 = 2^c \implies c = 3$.
हमें $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$ ज्ञात करना है।
$P(X=k) = \frac{3k+1}{2^{k+3}}$.
$P(X=0) = \frac{1}{8}, P(X=1) = \frac{4}{16} = \frac{2}{8}, P(X=2) = \frac{7}{32}, P(X=3) = \frac{10}{64} = \frac{5}{32}$.
योग $= \frac{4}{32} + \frac{8}{32} + \frac{7}{32} + \frac{5}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.
चूंकि $c=3$,विकल्प $\frac{c}{4} = \frac{3}{4}$ विकल्प $B$ से मेल खाता है।

(A) चरण $1$: $E(X) = \Sigma x P(X=x)$ की गणना करें।
$E(X) = (-1)(\frac{1}{3}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{6}) + (2)(\frac{1}{3}) = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{3} = \frac{-2+1+4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
चरण $2$: $E(X^2) = \Sigma x^2 P(X=x)$ की गणना करें।
$E(X^2) = (-1)^2(\frac{1}{3}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{6}) + (2)^2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{4}{3} = \frac{2+1+8}{6} = \frac{11}{6}$.
चरण $3$: $\operatorname{var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करें।
$\operatorname{var}(X) = \frac{11}{6} - (\frac{1}{2})^2 = \frac{11}{6} - \frac{1}{4} = \frac{22-3}{12} = \frac{19}{12}$.
चरण $4$: $6 \Sigma(x^2) P(X=x) - \operatorname{var}(X)$ की गणना करें।
$6 E(X^2) - \operatorname{var}(X) = 6(\frac{11}{6}) - \frac{19}{12} = 11 - \frac{19}{12} = \frac{132-19}{12} = \frac{113}{12}$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$k^3 + (2k^3 + k) + (4k - 10k^2) + (4k - 1) = 1$.
समीकरण को सरल करने पर: $3k^3 - 10k^2 + 9k - 2 = 0$.
मानों की जाँच करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $k = \frac{1}{3}$ एक मूल है: $3(\frac{1}{27}) - 10(\frac{1}{9}) + 9(\frac{1}{3}) - 2 = \frac{1}{9} - \frac{10}{9} + 3 - 2 = -1 + 1 = 0$.
प्रायिकताएँ हैं: $P(-1) = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$,$P(0) = 2(\frac{1}{27}) + \frac{1}{3} = \frac{11}{27}$,$P(1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{12-10}{9} = \frac{2}{9} = \frac{6}{27}$,$P(2) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3} = \frac{9}{27}$.
योग की जाँच: $\frac{1+11+6+9}{27} = \frac{27}{27} = 1$.
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-1)(\frac{1}{27}) + (0)(\frac{11}{27}) + (1)(\frac{6}{27}) + (2)(\frac{9}{27}) = \frac{-1 + 0 + 6 + 18}{27} = \frac{23}{27}$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X = x_{i}) = 1$
$\frac{k^2}{3} + k^2 + \frac{2k^2}{3} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$
$\frac{k^2 + 3k^2 + 2k^2}{3} + k = 1$
$\frac{6k^2}{3} + k = 1$
$2k^2 + k - 1 = 0$
$(2k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि प्रायिकताएं धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $k = 1/2$.
माध्य $E(X) = \sum x_{i} P(X = x_{i})$
$E(X) = (-2) \cdot \frac{k^2}{3} + (-1) \cdot k^2 + (0) \cdot \frac{2k^2}{3} + (1) \cdot \frac{k}{2} + (2) \cdot \frac{k}{2}$
$E(X) = -\frac{5k^2}{3} + \frac{3k}{2}$
$k = 1/2$ रखने पर:
$E(X) = -\frac{5(1/4)}{3} + \frac{3(1/2)}{2} = -\frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} = 1/3$.

(A) यादृच्छिक चर $X$ समुच्चय $\{1, 2, \ldots, n\}$ पर असतत समान वितरण का पालन करता है।
माध्य $E[X]$ इस प्रकार है:
$E[X] = \sum_{k=1}^{n} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$.
$X^2$ का अपेक्षित मान इस प्रकार है:
$E[X^2] = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.
प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार है:
$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$.
$\frac{n+1}{2}$ को कॉमन लेने पर:
$Var(X) = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{n+1}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n-1}{6} = \frac{n^2-1}{12}$.

(D) $5$ के माध्य $\lambda = 5$ वाले पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर:
$P(X = 0) = \frac{e^{-5} 5^0}{0!} = e^{-5}$
$P(X = 1) = \frac{e^{-5} 5^1}{1!} = 5e^{-5}$
$P(X = 2) = \frac{e^{-5} 5^2}{2!} = \frac{25}{2}e^{-5}$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(X < 3) = e^{-5} \left( 1 + 5 + \frac{25}{2} \right) = e^{-5} \left( 6 + 12.5 \right) = 18.5 e^{-5} = \frac{37}{2} e^{-5}$.

(B) माना $X$ निकाले गए राजाओं की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
कुल पत्ते = $52$। राजाओं की संख्या = $4$। गैर-राजा पत्तों की संख्या = $48$।
हम $2$ पत्ते निकालते हैं। $X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ हैं।
$P(X=0) = \frac{{}^{48}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$।
$P(X=1) = \frac{{}^{4}C_1 \times {}^{48}C_1}{{}^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$।
$P(X=2) = \frac{{}^{4}C_2}{{}^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$।
$E(X) = 0 + \frac{32}{221} + 2 \times \frac{1}{221} = \frac{32+2}{221} = \frac{34}{221} = \frac{2}{13}$।

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = \frac{1}{10} + (K + \frac{2}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{3}{10}) + (K + \frac{4}{10}) + (K + \frac{2}{10}) = 1$
$\Rightarrow 5K + \frac{15}{10} = 1$
$\Rightarrow 5K + 1.5 = 1$
$\Rightarrow 5K = -0.5$
$\Rightarrow K = -0.1 = -\frac{1}{10}$
अब,तालिका में $K = -\frac{1}{10}$ रखने पर:
$x = -2$ के लिए,$P = \frac{1}{10}$
$x = -1$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
$x = 0$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 1$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{2}{10}$
$x = 2$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3}{10}$
$x = 3$ के लिए,$P = -\frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{1}{10}$
माध्य $\mu = \sum x P(x) = (-2)(\frac{1}{10}) + (-1)(\frac{1}{10}) + (0)(\frac{2}{10}) + (1)(\frac{2}{10}) + (2)(\frac{3}{10}) + (3)(\frac{1}{10})$
$\mu = \frac{-2 - 1 + 0 + 2 + 6 + 3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

(B) माना $X$ निकाली गई लाल गेंदों की संख्या है। गेंदों की कुल संख्या $3 + 5 = 8$ है। हम $8$ में से $3$ गेंदें निकालते हैं,इसलिए कुल तरीके ${}^8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ हैं।
यादृच्छिक चर $X$ के मान $0, 1, 2, 3$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{{}^5 C_0 \times {}^3 C_3}{56} = \frac{1 \times 1}{56} = \frac{1}{56}$
$P(X=1) = \frac{{}^5 C_1 \times {}^3 C_2}{56} = \frac{5 \times 3}{56} = \frac{15}{56}$
$P(X=2) = \frac{{}^5 C_2 \times {}^3 C_1}{56} = \frac{10 \times 3}{56} = \frac{30}{56}$
$P(X=3) = \frac{{}^5 C_3 \times {}^3 C_0}{56} = \frac{10 \times 1}{56} = \frac{10}{56}$
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{1}{56} + 1 \times \frac{15}{56} + 2 \times \frac{30}{56} + 3 \times \frac{10}{56} = \frac{0 + 15 + 60 + 30}{56} = \frac{105}{56} = \frac{15}{8}$.

(D) दिया गया है कि $P(X=k) = k^2 P$ जहाँ $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ है।
चूँकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए:
$\sum_{k=1}^6 P(X=k) = 1$
$P(1^2) + P(2^2) + P(3^2) + P(4^2) + P(5^2) + P(6^2) = 1$
$P(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = 1$
$91P = 1 \Rightarrow P = \frac{1}{91}$.
$X$ का माध्य $E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot P(X=k)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = \sum_{k=1}^6 k \cdot (k^2 P) = P \sum_{k=1}^6 k^3$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3)$.
$E(X) = \frac{1}{91} (1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216) = \frac{441}{91}$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 1$
$0.05 + 0.1 + 2K + 0 + 0.3 + K + 0.1 = 1$
$0.55 + 3K = 1 \Rightarrow 3K = 0.45 \Rightarrow K = 0.15$.
अब,वितरण इस प्रकार है:

$X$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X)$	$0.05$	$0.1$	$0.3$	$0$	$0.3$	$0.15$	$0.1$

माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i) = (-3)(0.05) + (-2)(0.1) + (-1)(0.3) + (0)(0) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.1)$
$\mu = -0.15 - 0.2 - 0.3 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.25$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - (0.25)^2$.
$E(X^2) = (-3)^2(0.05) + (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.1)$
$E(X^2) = 9(0.05) + 4(0.1) + 1(0.3) + 0 + 1(0.3) + 4(0.15) + 9(0.1)$
$E(X^2) = 0.45 + 0.4 + 0.3 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.9 = 2.95$.
प्रसरण $= 2.95 - (0.25)^2 = 2.95 - 0.0625 = 2.8875$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\Sigma P(X=x) = 1$
$2k + 4k + 3k + k = 1$
$10k = 1$
$k = \frac{1}{10}$

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$
$3C^3 + (4C - 10C^2) + (5C - 1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $(C - 1)$ एक गुणनखंड है। बहुपद को विभाजित करने पर,हमें $(C - 1)(3C^2 - 7C + 2) = 0$ प्राप्त होता है।
आगे गुणनखंड करने पर: $(C - 1)(3C - 1)(C - 2) = 0$।
अतः,$C$ के संभावित मान $1, \frac{1}{3}, 2$ हैं।
हमें यह जाँच करनी होगी कि क्या ये मान $0$ और $1$ के बीच प्रायिकता देते हैं:
यदि $C = 2$ है,तो $P(X=2) = 5(2) - 1 = 9$,जो $1$ से अधिक है। इसलिए $C \neq 2$।
यदि $C = 1$ है,तो $P(X=1) = 4(1) - 10(1)^2 = -6$,जो $0$ से कम है। इसलिए $C \neq 1$।
यदि $C = \frac{1}{3}$ है,तो $P(X=0) = 3(\frac{1}{27}) = \frac{1}{9}$,$P(X=1) = 4(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{9}) = \frac{2}{9}$,और $P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{2}{3}$।
चूंकि सभी प्रायिकताएं $0$ और $1$ के बीच हैं और उनका योग $1$ है,इसलिए सही मान $C = \frac{1}{3}$ है।

(C) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य (अपेक्षित मान) सूत्र $E(X) = \sum x_i P(X=x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया प्रायिकता वितरण:
$P(X=-2) = \frac{1}{6}$
$P(X=-1) = \frac{1}{6}$
$P(X=0) = \frac{1}{3}$
$P(X=1) = \frac{1}{6}$
$P(X=2) = \frac{1}{6}$
माध्य की गणना:
$E(X) = (-2) \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{1}{6} + 0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6}$
$E(X) = -\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + 0 + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}$
$E(X) = \frac{-2 - 1 + 0 + 1 + 2}{6} = \frac{0}{6} = 0$
अतः,$X$ का माध्य $0$ है।

(B) हम जानते हैं कि एक वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$.
दिया गया है $P(X=k) = \frac{(k+1)c}{2^k}$,इसलिए $c \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1$.
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k+1}{2^k} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{4} + \frac{4}{8} + \ldots$.
तब $\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $S - \frac{1}{2}S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = \frac{1}{1 - 1/2} = 2$.
अतः,$\frac{1}{2}S = 2$,जिसका अर्थ है $S = 4$.
चूंकि $c \cdot S = 1$,हमें $4c = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $c = \frac{1}{4}$.
अब,$P(X \geq 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$.
$P(X=0) = \frac{(0+1)c}{2^0} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=1) = \frac{(1+1)c}{2^1} = c = \frac{1}{4}$.
$P(X=2) = \frac{(2+1)c}{2^2} = \frac{3c}{4} = \frac{3}{16}$.
$P(X \geq 3) = 1 - [\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}] = 1 - [\frac{4+4+3}{16}] = 1 - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$.

(B) पॉइसन वितरण के लिए,माध्य और प्रसरण समान होते हैं।
दिया गया है कि माध्य $= l$ और प्रसरण $= m$,इसलिए $l = m$ है।
$l + m = 8$ दिया गया है,$l = m$ रखने पर $2l = 8$ प्राप्त होता है,अतः $l = 4$ और $m = 4$ है।
हमें $e^4[1 - P(X > 2)]$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $1 - P(X > 2) = P(X \leq 2)$,इसलिए:
$e^4[P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]$।
पॉइसन प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\lambda = 4$:
$P(X = 0) = \frac{e^{-4} \times 4^0}{0!} = e^{-4}$।
$P(X = 1) = \frac{e^{-4} \times 4^1}{1!} = 4e^{-4}$।
$P(X = 2) = \frac{e^{-4} \times 4^2}{2!} = \frac{16e^{-4}}{2} = 8e^{-4}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(X \leq 2) = e^{-4}(1 + 4 + 8) = 13e^{-4}$।
अंततः,$e^4 \times 13e^{-4} = 13$।

(C) कुल पृष्ठों की संख्या $600$ है और कुल त्रुटियों की संख्या $40$ है।
प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या,जिसे $\lambda$ द्वारा दर्शाया गया है,$\lambda = \frac{40}{600} = \frac{1}{15}$ है।
प्रति पृष्ठ त्रुटियों की संख्या $\lambda = \frac{1}{15}$ पैरामीटर के साथ पॉइसन वितरण का पालन करती है।
एक पृष्ठ में कोई त्रुटि न होने की प्रायिकता $P(X=0) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} = e^{-1/15}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि हम यादृच्छिक रूप से $10$ पृष्ठ चुन रहे हैं,इसलिए सभी $10$ पृष्ठों में कोई त्रुटि न होने की प्रायिकता $(P(X=0))^{10} = (e^{-1/15})^{10} = e^{-10/15} = e^{-2/3}$ है।

(B) पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{\lambda^k \cdot e^{-\lambda}}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\lambda = 3$ दिया गया है,हमें $P(|X-3| < 2)$ ज्ञात करना है।
असमिका $|X-3| < 2$ का अर्थ है $-2 < X-3 < 2$,जो सरल होकर $1 < X < 5$ हो जाता है।
चूंकि $X$ एक असतत यादृच्छिक चर है जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान लेता है,इसलिए $X$ के संभावित मान $2, 3, 4$ हैं।
अतः,$P(|X-3| < 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$।
सूत्र में मान रखने पर:
$P(X=2) = \frac{3^2 \cdot e^{-3}}{2!} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=3) = \frac{3^3 \cdot e^{-3}}{3!} = \frac{27}{6} e^{-3} = \frac{9}{2} e^{-3}$
$P(X=4) = \frac{3^4 \cdot e^{-3}}{4!} = \frac{81}{24} e^{-3} = \frac{27}{8} e^{-3}$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(|X-3| < 2) = e^{-3} \left( \frac{9}{2} + \frac{9}{2} + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( 9 + \frac{27}{8} \right) = e^{-3} \left( \frac{72+27}{8} \right) = \frac{99}{8 e^3}$।

(C) एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रत्याशित मान $E(X)$,सूत्र $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ का उपयोग करके निकाला जाता है।
यहाँ $X$ के मान $10, 20, 30, 40$ हैं और उनकी संबंधित प्रायिकताएँ $0.3, 0.3, 0.2, 0.2$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E(X) = (10 \times 0.3) + (20 \times 0.3) + (30 \times 0.2) + (40 \times 0.2)$
$E(X) = 3 + 6 + 6 + 8$
$E(X) = 23$
अतः,$X$ का प्रत्याशित मान $23$ है।

(D) दी गई प्रायिकता वितरण तालिका:

$X = x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X = x)$	$K$	$K + \frac{1}{7}$	$2K$	$\frac{2}{5}$

चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है:
$K + (K + \frac{1}{7}) + 2K + \frac{2}{5} = 1$
$4K + \frac{5 + 14}{35} = 1$
$4K + \frac{19}{35} = 1$
$4K = 1 - \frac{19}{35} = \frac{16}{35}$
$K = \frac{4}{35}$
अब,$K$ का मान तालिका में रखने पर:
$P(X=0) = \frac{4}{35}$
$P(X=1) = \frac{4}{35} + \frac{5}{35} = \frac{9}{35}$
$P(X=2) = 2 \times \frac{4}{35} = \frac{8}{35}$
$P(X=3) = \frac{2}{5} = \frac{14}{35}$
माध्य $\mu = E(X) = \sum x_i P(x_i)$:
$\mu = 0 \times \frac{4}{35} + 1 \times \frac{9}{35} + 2 \times \frac{8}{35} + 3 \times \frac{14}{35}$
$\mu = 0 + \frac{9}{35} + \frac{16}{35} + \frac{42}{35}$
$\mu = \frac{67}{35}$

(C) हम जानते हैं कि किसी भी प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $P(X=x) = \frac{c^x}{x!}$ जहाँ $x = 1, 2, 3, \ldots$ है।
अतः,$\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1$.
हम जानते हैं कि चरघातांकी फलन का टेलर श्रेणी विस्तार $e^c = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = 1 + \frac{c}{1!} + \frac{c^2}{2!} + \frac{c^3}{3!} + \ldots$ होता है।
इस प्रकार,$\sum_{x=1}^{\infty} \frac{c^x}{x!} = e^c - 1$.
इसे $1$ के बराबर रखने पर: $e^c - 1 = 1$.
$e^c = 2$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $c = \ln(2)$.

(B) दिया गया है कि $X$ एक पॉइसन वितरण है जिसका प्राचल $\lambda$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ है,जहाँ $x = 0, 1, 2, \dots$ है।
दिया गया समीकरण: $3 P(X=4) = \frac{1}{2} P(X=2) + P(X=0)$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $3 \frac{e^{-\lambda} \lambda^4}{4!} = \frac{1}{2} \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} + \frac{e^{-\lambda} \lambda^0}{0!}$.
दोनों पक्षों को $e^{-\lambda}$ से विभाजित करने पर: $\frac{3 \lambda^4}{24} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
सरल करने पर: $\frac{\lambda^4}{8} = \frac{\lambda^2}{4} + 1$.
$8$ से गुणा करने पर: $\lambda^4 = 2 \lambda^2 + 8$,जिससे $\lambda^4 - 2 \lambda^2 - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $u = \lambda^2$. तब $u^2 - 2u - 8 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(u - 4)(u + 2) = 0$.
इससे $u = 4$ या $u = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda^2 = u$ और $\lambda^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $\lambda^2 = 4$,जिसका अर्थ है $\lambda = 2$ (क्योंकि $\lambda > 0$)।
पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda$ होता है,इसलिए माध्य $2$ है।

(D) दिया गया है कि पॉइसन वितरण का माध्य $\lambda = \frac{1}{3}$ है।
पॉइसन वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
$k=1$ के लिए,$P(X=1) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^1}{1!} = \frac{1}{3} e^{-1/3}$।
$k=2$ के लिए,$P(X=2) = \frac{e^{-1/3} (1/3)^2}{2!} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} e^{-1/3} = \frac{1}{18} e^{-1/3}$।
अब,अनुपात $P(X=1) : P(X=2) = \frac{\frac{1}{3} e^{-1/3}}{\frac{1}{18} e^{-1/3}} = \frac{1/3}{1/18} = \frac{18}{3} = 6$।
अतः,अनुपात $6 : 1$ है।

(C) दिया गया है,$P(X=x) = K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x$.
चूँकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum_{x=0}^{\infty} K(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$
$K \left[ 1 + 2\left(\frac{1}{5}\right) + 3\left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{5}\right)^3 + \ldots \right] = 1$.
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = (1-r)^{-2}$ है,जहाँ $r = \frac{1}{5}$.
अतः,$K(1 - \frac{1}{5})^{-2} = 1$.
$K(\frac{4}{5})^{-2} = 1 \Rightarrow K(\frac{5}{4})^2 = 1$.
$K(\frac{25}{16}) = 1 \Rightarrow K = \frac{16}{25}$.
अब,$P(X=0) = K(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = K(1)(1) = K$.
इसलिए,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $X$ एक पॉइसन चर है।
दिया गया है कि $P(X=2) = P(X=3)$।
सूत्र $P(X=r) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^r}{r!}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^3}{3!}$
$\Rightarrow \frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
$\Rightarrow \lambda = \frac{6}{2} = 3$।
अब,$P(X=4)$ की गणना करते हैं:
$P(X=4) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^4}{4!} = \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!}$।
अंत में,$e^3 P(X=4)$ ज्ञात करते हैं:
$e^3 P(X=4) = e^3 \cdot \frac{e^{-3} \cdot 3^4}{4!} = \frac{3^4}{4!} = \frac{81}{24} = \frac{27}{8} = \left(\frac{3}{2}\right)^3$।

(C) दिया गया प्रायिकता वितरण फलन $P(X=x)=K\left(\frac{2}{5}\right)^x$ है,जहाँ $x=1, 2, 3, \ldots$ है।
हम जानते हैं कि एक वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए फलन को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $K \sum_{x=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^x = 1$.
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = \frac{2}{5}$ और सार्व अनुपात $r = \frac{2}{5}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$K \left( \frac{2/5}{1 - 2/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2/5}{3/5} \right) = 1$.
$K \left( \frac{2}{3} \right) = 1$.
अतः,$K = \frac{3}{2}$.

(A) तीन सिक्कों को उछालने के लिए प्रतिदर्श समष्टि $S$ इस प्रकार है:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$.
कुल परिणामों की संख्या $n(S) = 8$ है।
$X$ चितों की संख्या को दर्शाने वाला एक यादृच्छिक चर है।
हमें $P(X = 2)$ ज्ञात करना है,जो कि ठीक दो चित प्राप्त करने की प्रायिकता है।
ठीक दो चित वाले परिणाम $\{HHT, HTH, THH\}$ हैं।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(X = 2) = 3$ है।
इसलिए,$P(X = 2) = \frac{n(X = 2)}{n(S)} = \frac{3}{8}$.