Binomial distribution Questions in Gujarati

(A) પાસાને વારંવાર ફેંકવો એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ પાસાના $7$ ફેંકમાં $5$ મળવાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં $5$ મળવાની સંભાવના,$p = \frac{1}{6}$.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
સ્પષ્ટ છે કે,$X$ એ $n = 7$ અને $p = \frac{1}{6}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^{n}C_{x} \cdot q^{n-x} \cdot p^{x} = ^{7}C_{x} \cdot (\frac{5}{6})^{7-x} \cdot (\frac{1}{6})^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે બરાબર $2$ વાર $5$ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X = 2)$.
$P(X = 2) = ^{7}C_{2} \cdot (\frac{5}{6})^{7-2} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$.
$= \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \cdot (\frac{5}{6})^{5} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$.
$= 21 \cdot \frac{5^5}{6^5} \cdot \frac{1}{6^2} = 21 \cdot \frac{5^5}{6^7}$.

(A) પાસાને વારંવાર ફેંકવો એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $6$ ફેંકમાં છગ્ગો આવવાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં છગ્ગો આવવાની સંભાવના,$p = \frac{1}{6}$.
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
સ્પષ્ટ છે કે,$X$ એ $n = 6$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ અનુસરે છે.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x} = ^{6}C_{x} \left(\frac{5}{6}\right)^{6-x} \left(\frac{1}{6}\right)^{x}$.
$P(\text{વધુમાં વધુ } 2 \text{ છગ્ગા}) = P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$.
$P(X = 0) = ^{6}C_{0} \left(\frac{5}{6}\right)^{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^{6}$.
$P(X = 1) = ^{6}C_{1} \left(\frac{5}{6}\right)^{5} \left(\frac{1}{6}\right) = 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{5} = \left(\frac{5}{6}\right)^{5}$.
$P(X = 2) = ^{6}C_{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} = 15 \cdot \frac{1}{36} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{15}{36} \left(\frac{5}{6}\right)^{4} = \frac{5}{12} \left(\frac{5}{6}\right)^{4}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X \leq 2) = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \left(\frac{5}{6}\right)^{2} + \left(\frac{5}{6}\right) + \frac{5}{12} \right]$.
$= \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{25}{36} + \frac{30}{36} + \frac{15}{36} \right] = \left(\frac{5}{6}\right)^{4} \left[ \frac{70}{36} \right]$.
$= \frac{35}{18} \left(\frac{5}{6}\right)^{4}$.

(B) યાદચ્છિક નમૂનામાં વસ્તુઓની વારંવારની પસંદગી એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $12$ વસ્તુઓના યાદચ્છિક નમૂનામાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n=12$ અને $p=10 \% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $P(X=9) = ^{12}C_{9} \left(\frac{1}{10}\right)^{9} \left(\frac{9}{10}\right)^{12-9}$.
$P(X=9) = ^{12}C_{3} \left(\frac{1}{10}\right)^{9} \left(\frac{9}{10}\right)^{3}$.
કારણ કે $^{12}C_{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$,તેથી:
$P(X=9) = 220 \times \frac{1}{10^{9}} \times \frac{9^{3}}{10^{3}} = 220 \times \frac{9^{3}}{10^{12}} = \frac{22 \times 9^{3}}{10^{11}}$.

(D) બોક્સમાંથી બલ્બની પસંદગીને બર્નુલી ટ્રાયલ્સ તરીકે ગણી શકાય. ધારો કે $X$ એ $5$ બલ્બના નમૂનામાં ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે.
ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
તેથી,ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
અહીં નમૂનાનું કદ $n = 5$ છે,તેથી આપણે તેને દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ તરીકે લઈ શકીએ,જ્યાં $n = 5$ અને $p = \frac{1}{10}$ છે.
સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = ^{n}C_{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x} = ^{5}C_{x} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{x} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5-x}$ છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે એક પણ બલ્બ ખામીયુક્ત નથી,એટલે કે $P(X = 0)$.
$P(X = 0) = ^{5}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5-0}$.
$P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{5} = \left(\frac{9}{10}\right)^{5}$.
સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) તરવૈયા હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓની પસંદગી દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે. ધારો કે $X$ એ $n=5$ વિદ્યાર્થીઓમાંથી તરવૈયા હોય તેવા વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા છે.
વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના $q = \frac{1}{5}$ છે.
વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ છે.
સંભાવના વિતરણ $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n=5$ અને $x=4$ માટે,આપણને મળે છે:
$P(X=4) = ^{5}C_{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{4} \left(\frac{1}{5}\right)^{5-4} = ^{5}C_{4} \left(\frac{4}{5}\right)^{4} \left(\frac{1}{5}\right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,મધ્યકનું સૂત્ર $\mu = np$ છે.
આપેલ વિતરણ $B\left(4, \frac{1}{3}\right)$ માટે,આપણી પાસે છે:
$n = 4$
$p = \frac{1}{3}$
તેથી,મધ્યક $\mu$ છે:
$\mu = n \times p = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

(C) ધારો કે શૂટર $n$ વખત ફાયર કરે છે. આ $n$ ફાયર એ $n$ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
દરેક પ્રયત્નમાં,લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $p = \frac{3}{4}$ છે અને લક્ષ્યને ન ભેદવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ છે.
લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર ભેદવાની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$P(X = 0)$ એ $n$ પ્રયત્નોમાં એકપણ વાર લક્ષ્ય ન ભેદવાની સંભાવના છે,જે $q^n = (\frac{1}{4})^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X \geq 1) > 0.99$.
તેથી,$1 - (\frac{1}{4})^n > 0.99$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - 0.99 > (\frac{1}{4})^n$,જેનો અર્થ થાય છે $0.01 > (\frac{1}{4})^n$.
આ $\frac{1}{100} > \frac{1}{4^n}$ અથવા $4^n > 100$ ને સમાન છે.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n = 3$ માટે,$4^3 = 64 < 100$.
$n = 4$ માટે,$4^4 = 256 > 100$.
આમ,શૂટરે ઓછામાં ઓછી $4$ વખત ફાયર કરવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $n = 10$ ના નમૂનામાં જમણેરી લોકોની સંખ્યા $X$ છે.
વ્યક્તિના જમણેરી હોવાની સંભાવના $p = 0.9$ છે,અને ડાબેરી હોવાની સંભાવના $q = 1 - 0.9 = 0.1$ છે.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(10, 0.9)$ ને અનુસરે છે.
વધુમાં વધુ $6$ લોકો જમણેરી હોય તેની સંભાવના $P(X \le 6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સંભાવના દળ વિધેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(X = r) = {^{n}C_r} p^r q^{n-r}$.
તેથી,$P(X \le 6) = \sum_{r=0}^{6} {^{10}C_r} (0.9)^r (0.1)^{10-r}$.

(A) પાત્રમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 25$.
$'X'$ નિશાની ધરાવતા દડા $= 10$.
$'Y'$ નિશાની ધરાવતા દડા $= 15$.
$'X'$ નિશાની ધરાવતો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ છે.
દરેક પસંદગી પછી દડો પાછો મૂકવામાં આવતો હોવાથી,આ પ્રયત્નો સ્વતંત્ર બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
આપણે $n = 6$ દડા પસંદ કરીએ છીએ.
ધારો કે $X$ એ $'X'$ નિશાની ધરાવતા દડાઓની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{2}{5}$ છે.
બધા $6$ દડા પર $'X'$ નિશાની હોય તેની સંભાવના $P(X = 6)$ છે.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $q = 1 - p = \frac{3}{5}$:
$P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{2}{5}\right)^{6} \left(\frac{3}{5}\right)^{0} = 1 \times \left(\frac{2}{5}\right)^{6} \times 1 = \left(\frac{2}{5}\right)^{6}$.

(NONE) પાત્રમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 25$.
$'X'$ નિશાની વાળા દડા $= 10$.
$'Y'$ નિશાની વાળા દડા $= 15$.
ધારો કે $p$ એ $'Y'$ નિશાની વાળો દડો કાઢવાની સંભાવના છે.
$p = P(\text{દડા પર } 'Y' \text{ \text{નિશાની}}) = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
ધારો કે $q$ એ $'X'$ નિશાની વાળો દડો કાઢવાની સંભાવના છે.
$q = P(\text{દડા પર } 'X' \text{ \text{નિશાની}}) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
$6$ દડા બદલી સાથે કાઢવામાં આવે છે,તેથી પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
ધારો કે $Z$ એ $'Y'$ નિશાની વાળા દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $Z$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{3}{5}$.
સંભાવના $P(Z = z) = ^nC_z p^z q^{n-z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(Z \leq 2) = P(Z = 0) + P(Z = 1) + P(Z = 2)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(Z = 0) = ^6C_0 (\frac{3}{5})^0 (\frac{2}{5})^6 = \frac{64}{15625}$.
$P(Z = 1) = ^6C_1 (\frac{3}{5})^1 (\frac{2}{5})^5 = \frac{576}{15625}$.
$P(Z = 2) = ^6C_2 (\frac{3}{5})^2 (\frac{2}{5})^4 = \frac{2160}{15625}$.
$P(Z \leq 2) = \frac{64 + 576 + 2160}{15625} = \frac{2800}{15625} = \frac{112}{625}$.

(A) પાત્રમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 25$.
$'X'$ નિશાની ધરાવતા દડાની સંખ્યા $= 10$.
$'Y'$ નિશાની ધરાવતા દડાની સંખ્યા $= 15$.
ધારો કે $p$ એ $'X'$ નિશાની વાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના છે અને $q$ એ $'Y'$ નિશાની વાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના છે.
$p = P(\text{નિશાની } 'X') = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
$q = P(\text{નિશાની } 'Y') = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
પુનરાવર્તન સાથે $6$ દડા પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી આ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $Z$ એ $'Y'$ નિશાની વાળા દડાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે.
$Z$ એ $n = 6$ અને સફળતાની સંભાવના $q = \frac{3}{5}$ (કારણ કે આપણે $'Y'$ નિશાની શોધી રહ્યા છીએ) સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછી એક $'Y'$ નિશાની મળે તેની સંભાવના $P(Z \geq 1) = 1 - P(Z = 0)$ છે.
$P(Z = 0) = ^{6}C_{0} \cdot p^{6} \cdot q^{0} = 1 \cdot (\frac{2}{5})^6 \cdot 1 = (\frac{2}{5})^6$.
તેથી,$P(Z \geq 1) = 1 - (\frac{2}{5})^6$.

(A) પાત્રમાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 25$.
$'X'$ નિશાનીવાળા દડા $= 10$.
$'Y'$ નિશાનીવાળા દડા $= 15$.
$'X'$ નિશાનીવાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
$'Y'$ નિશાનીવાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $q = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$.
અહીં $6$ દડા પાછા મૂકીને પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$.
$'X'$ અને $'Y'$ નિશાનીવાળા દડાની સંખ્યા સમાન હોવી જોઈએ,એટલે કે $3$ દડા $'X'$ નિશાનીવાળા અને $3$ દડા $'Y'$ નિશાનીવાળા હોવા જોઈએ.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(Z = k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(Z = 3) = ^{6}C_{3} \times (\frac{2}{5})^{3} \times (\frac{3}{5})^{3}$.
$P(Z = 3) = 20 \times \frac{8}{125} \times \frac{27}{125}$.
$P(Z = 3) = \frac{20 \times 216}{15625} = \frac{4320}{15625} = \frac{864}{3125}$.

(B) ધારો કે $p$ એ અવરોધ પાર કરવાની સંભાવના છે અને $q$ એ અવરોધ પાડી નાખવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $p = \frac{5}{6}$,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
ધારો કે $X$ એ પાડી નાખેલા અવરોધોની સંખ્યા છે. અહીં $n = 10$ અવરોધો છે,તેથી $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, q)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 10$ અને $q = \frac{1}{6}$ એ સફળતાની સંભાવના છે (અવરોધ પાડી નાખવો).
$2$ કરતા ઓછા અવરોધો પાડી નાખવાની સંભાવના $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ છે.
$P(X = x) = ^{10}C_x q^x p^{10-x}$.
$P(X = 0) = ^{10}C_0 (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^{10} = (\frac{5}{6})^{10}$.
$P(X = 1) = ^{10}C_1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^9 = 10 \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^9 = \frac{10}{6} \times (\frac{5}{6})^9 = \frac{5}{3} \times (\frac{5}{6})^9$.
$P(X < 2) = (\frac{5}{6})^{10} + \frac{5}{3} \times (\frac{5}{6})^9 = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5}{6} + \frac{5}{3}] = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5+10}{6}] = (\frac{5}{6})^9 [\frac{15}{6}] = (\frac{5}{6})^9 [\frac{5}{2}] = \frac{5^{10}}{2 \times 6^9}$.

(A) પાસાના એક ફેંકમાં છગ્ગો મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે,અને છગ્ગો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{5}{6}$ છે.
ત્રીજો છગ્ગો બરાબર $6^{th}$ ફેંક પર આવે તે માટે,પ્રથમ $5$ ફેંકમાં બરાબર $2$ છગ્ગા આવવા જોઈએ અને $6^{th}$ ફેંકમાં છગ્ગો આવવો જોઈએ.
પ્રથમ $5$ ફેંકમાં બરાબર $2$ છગ્ગા મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=5$ અને $k=2$ છે.
$P(\text{5 ફેંકમાં 2 છગ્ગા}) = ^{5}C_{2} \left(\frac{1}{6}\right)^{2} \left(\frac{5}{6}\right)^{3} = 10 \times \frac{1}{36} \times \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}$.
$6^{th}$ ફેંકમાં છગ્ગો આવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $P = \left(\frac{1250}{7776}\right) \times \frac{1}{6} = \frac{1250}{46656} = \frac{625}{23328}$ છે.

(A) ધારો કે સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q$ છે. આપેલ છે કે પ્રયોગ નિષ્ફળ જાય તેના કરતા બમણી વાર સફળ થાય છે,તેથી $p = 2q$. $p + q = 1$ હોવાથી,આપણને $2q + q = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
$n = 6$ પ્રયત્નો માટે,સફળતાની સંખ્યા $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p) = B(6, \frac{2}{3})$ ને અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછી $4$ સફળતાની સંભાવના $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ છે.
સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=4) = \binom{6}{4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$.
$P(X=5) = \binom{6}{5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$.
$P(X=6) = \binom{6}{6} (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \geq 4) = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729}$.

(C) ધારો કે માણસ સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળે છે. આ $n$ ઉછાળાઓ $n$ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $(p) = \frac{1}{2}$ છે.
$p = \frac{1}{2}, q = \frac{1}{2}$.
તેથી,$P(X = x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x} = ^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^{x} (\frac{1}{2})^{n-x} = ^{n}C_{x} (\frac{1}{2})^{n}$.
આપેલ છે કે $P(\text{ઓછામાં ઓછી એક છાપ}) > \frac{90}{100}$.
$P(X \geq 1) > 0.9$.
$1 - P(X = 0) > 0.9$.
$1 - ^{n}C_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{n} > 0.9$.
$^{n}C_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{n} < 0.1$.
$\frac{1}{2^{n}} < 0.1$.
$2^{n} > \frac{1}{0.1} = 10$.
કારણ કે $2^{3} = 8$ અને $2^{4} = 16$ છે,તેથી $2^{n} > 10$ નું સમાધાન કરતી $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.
આમ,માણસે સિક્કાને $4$ કે તેથી વધુ વખત ઉછાળવો જોઈએ.

(A) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
$6$ માંથી $4$ પ્રશ્નો સાચા પસંદ કરવાના પ્રકારો ${}^{6}C_{4}$ છે.
દરેક $4$ સાચા પ્રશ્નો માટે,સાચો જવાબ પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બાકીના $2$ પ્રશ્નો $(6 - 4 = 2)$ માટે,ઉમેદવારે ખોટો જવાબ પસંદ કરવો પડશે. $4$ વિકલ્પોમાંથી $1$ સાચો હોવાથી,દરેક પ્રશ્ન માટે $3$ ખોટા વિકલ્પો છે.
આમ,કુલ રીતો = ${}^{6}C_{4} \times (1)^4 \times (3)^2$.
${}^{6}C_{4} = 15$.
કુલ રીતો = $15 \times 1 \times 9 = 135$.

(B) ધારો કે $n$ એ ગોળીબારની સંખ્યા છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના $p = \frac{1}{10}$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
બધા $n$ પ્રયત્નોમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q^n = \left(\frac{9}{10}\right)^n$ છે.
લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર વીંધવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા ચૂકી જવાની}) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\frac{1}{4}$ કરતા વધારે છે:
$1 - \left(\frac{9}{10}\right)^n > \frac{1}{4}$
$\Rightarrow \frac{3}{4} > \left(\frac{9}{10}\right)^n$.
$n = 1$ માટે: $\left(\frac{9}{10}\right)^1 = 0.9 > 0.75$ (ખોટું).
$n = 2$ માટે: $\left(\frac{9}{10}\right)^2 = 0.81 > 0.75$ (ખોટું).
$n = 3$ માટે: $\left(\frac{9}{10}\right)^3 = 0.729 < 0.75$ (સાચું).
આમ,જરૂરી ગોળીબારની ન્યૂનતમ સંખ્યા $3$ છે.

(A) ધારો કે $n$ એ ફેંકવામાં આવેલા બોમ્બની સંખ્યા છે. બોમ્બ લક્ષ્યને અથડાય તેની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે,અને ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
જો ઓછામાં ઓછા $2$ હિટ મળે તો લક્ષ્ય નષ્ટ થાય છે. ધારો કે $X$ એ હિટની સંખ્યા છે. આપણે $P(X \geq 2) \geq 0.99$ ઇચ્છીએ છીએ.
આ $1 - P(X < 2) \geq 0.99$ ને સમાન છે,જેનો અર્થ છે $1 - [P(X=0) + P(X=1)] \geq 0.99$.
દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરતા,$P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^k q^{n-k}$.
$1 - [{}^{n}C_{0} (\frac{1}{2})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{1}{2})^n] \geq 0.99$
$1 - \frac{1 + n}{2^n} \geq 0.99$
$\frac{1 + n}{2^n} \leq 0.01 = \frac{1}{100}$
$2^n \geq 100(n + 1)$.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n=10$ માટે: $2^{10} = 1024$,$100(11) = 1100$. $1024 \geq 1100$ ખોટું છે.
$n=11$ માટે: $2^{11} = 2048$,$100(12) = 1200$. $2048 \geq 1200$ સાચું છે.
આમ,જરૂરી બોમ્બની ન્યૂનતમ સંખ્યા $11$ છે.

(A) ધારો કે $4$ પાસાઓના એક ફેંકમાં $3$ અથવા $5$ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા $X$ છે. એક પાસા માટે સફળતાની સંભાવના ( $3$ અથવા $5$ મેળવવી) $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ છે.
અહીં $n = 4$ પાસાઓ હોવાથી,સફળતાની સંખ્યા $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(4, \frac{1}{3})$ ને અનુસરે છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે ઓછામાં ઓછા બે પાસા પર $3$ અથવા $5$ આવે,જે $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \ge 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{81 - 48}{81} = \frac{33}{81}$.
આ પ્રયોગ $N = 27$ વખત કરવામાં આવે છે. અપેક્ષિત સંખ્યા $E = N \times P(X \ge 2) = 27 \times \frac{33}{81} = \frac{33}{3} = 11$ છે.

(A) $n=5$ પ્રયત્નો સાથેના દ્વિપદી વિતરણમાં,$k$ સફળતાની સંભાવના $P(X=k) = {}^{5}C_{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p+q=1$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = {}^{5}C_{1} \cdot p \cdot q^{4} = 5pq^{4} = 0.4096$.
આપેલ છે કે $P(X=2) = {}^{5}C_{2} \cdot p^{2} \cdot q^{3} = 10p^{2}q^{3} = 0.2048$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{10p^{2}q^{3}}{5pq^{4}} = \frac{0.2048}{0.4096} \Rightarrow \frac{2p}{q} = 0.5 \Rightarrow q = 4p$.
$p+q=1$ હોવાથી,$p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p = \frac{1}{5} = 0.2$ અને $q = \frac{4}{5} = 0.8$ મળે.
હવે,બરાબર $3$ સફળતાની સંભાવના $P(X=3) = {}^{5}C_{3} \cdot p^{3} \cdot q^{2}$ છે.
$P(X=3) = 10 \cdot (\frac{1}{5})^{3} \cdot (\frac{4}{5})^{2} = 10 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(D) ધારો કે પાસાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે અને બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
એકી સંખ્યા $2$ વખત મળે તેની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા મળે છે: $P(X=2) = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{n-2} = {}^{n}C_{2} (\frac{1}{2})^{n}$.
બેકી સંખ્યા $3$ વખત મળે તેની સંભાવના એ એકી સંખ્યા $(n-3)$ વખત મળે તેની સંભાવના જેટલી છે: $P(Y=3) = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{n-3} = {}^{n}C_{3} (\frac{1}{2})^{n}$.
આપેલ છે કે $P(X=2) = P(Y=3)$,તેથી ${}^{n}C_{2} = {}^{n}C_{3}$.
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 + 3 = n$,એટલે કે $n = 5$.
આપણે એકી સંખ્યા એકી વખત મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)$ છે.
$P(X=1) + P(X=3) + P(X=5) = {}^{5}C_{1} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{3} (\frac{1}{2})^{5} + {}^{5}C_{5} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{2^{5}} (5 + 10 + 1) = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,છાપ મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ અને કાંટો મળવાની સંભાવના $q = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત ઉછાળતા $r$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r} = {}^{n}C_{r} (\frac{1}{2})^{n}$.
આપેલ છે કે $P(X=7) = P(X=9)$,તેથી:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^{n} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^{n}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
ગુણધર્મ ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x+y=n$ (જ્યારે $x \neq y$) નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $n = 7 + 9 = 16$ મળે છે.
હવે,આપણે $2$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X=2)$ છે:
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16}$
$P(X=2) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} \times \frac{1}{2^{16}}$
$P(X=2) = 8 \times 15 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{15}{2^{3} \times 2^{13}} = \frac{15}{2^{13}}$.

(C) ધારો કે વ્યક્તિ $A$ ને મળતી છાપની સંખ્યા $X$ છે અને વ્યક્તિ $B$ ને મળતી છાપની સંખ્યા $Y$ છે. બંને $X$ અને $Y$ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=3, p=1/2)$ ને અનુસરે છે.
$3$ સિક્કા ઉછાળતા $k$ છાપ મળવાની સંભાવના $P(X=k) = \binom{3}{k} (1/2)^3 = \binom{3}{k} / 8$ છે.
આપણે $P(X=Y) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=2) + P(X=3, Y=3)$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$A$ અને $B$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(X=k, Y=k) = P(X=k) \times P(Y=k) = [P(X=k)]^2$.
$P(X=0) = 1/8 \implies P(X=0, Y=0) = 1/64$.
$P(X=1) = 3/8 \implies P(X=1, Y=1) = 9/64$.
$P(X=2) = 3/8 \implies P(X=2, Y=2) = 9/64$.
$P(X=3) = 1/8 \implies P(X=3, Y=3) = 1/64$.
કુલ સંભાવના $= 1/64 + 9/64 + 9/64 + 1/64 = 20/64 = 5/16$.

(C) $9$ અલગ-અલગ દડાઓને $4$ બોક્સમાં વહેંચવાની કુલ રીતો $4^{9}$ છે.
$B_{3}$ બોક્સ માટે $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો ${}^{9}C_{3}$ છે.
બાકીના $6$ દડાઓને અન્ય $3$ બોક્સ $(B_{1}, B_{2}, B_{4})$ માં $3^{6}$ રીતે વહેંચી શકાય છે.
તેથી,$B_{3}$ માં બરાબર $3$ દડા હોય તેની સંભાવના $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ છે.
આને $P = \frac{{}^{9}C_{3} \cdot 3^{6}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$ તરીકે લખી શકાય.
આપણે $k \left(\frac{3}{4}\right)^{9}$ સ્વરૂપમાં જોઈએ છીએ,તેથી $P = k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}}$ લખીએ.
બંને પદોને સરખાવતા: $k \cdot \frac{3^{9}}{4^{9}} = \frac{84 \cdot 3^{6}}{4^{9}}$.
$k = \frac{84 \cdot 3^{6}}{3^{9}} = \frac{84}{27} = \frac{28}{9} \approx 3.11$.
$k = \frac{28}{9} \approx 3.11$ માટે વિકલ્પો તપાસતા:
$|x-3| < 1 \Rightarrow 2 < x < 4$. $3.11$ આ અંતરાલમાં આવે છે,તેથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) એક સિક્કાને ઉછાળતા છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = \frac{1}{2}$ છે.
$n$ વખત સિક્કો ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(X=0) = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
આપેલ છે કે $P(X \geq 1) \geq 0.9$,તેથી:
$1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq 0.9$
અસમતાને ફરીથી ગોઠવતા:
$1 - 0.9 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$0.1 \geq \left(\frac{1}{2}\right)^n$
$\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$
$2^n \geq 10$
$n$ માટે કિંમતો તપાસતા:
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ માટે,$2^4 = 16 \geq 10$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ સાચા જવાબોની સંખ્યા છે. વિદ્યાર્થી અનુમાન લગાવતો હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=8, p=1/2)$ ને અનુસરે છે.
આપણે $n$ ની એવી ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે કે જેથી $P(X \geq n) < \frac{1}{2}$ થાય.
$P(X \geq n) = \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} (\frac{1}{2})^{r} (\frac{1}{2})^{8-r} = \frac{1}{2^{8}} \sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < \frac{1}{2}$.
$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} < 2^{7} = 128$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{r=0}^{8} {}^{8}C_{r} = 2^{8} = 256$.
તેથી,$\sum_{r=n}^{8} {}^{8}C_{r} = 256 - \sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} < 128$.
$\sum_{r=0}^{n-1} {}^{8}C_{r} > 128$.
$n=5$ માટે,$\sum_{r=0}^{4} {}^{8}C_{r} = {}^{8}C_{0} + {}^{8}C_{1} + {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} = 1 + 8 + 28 + 56 + 70 = 163$.
કારણ કે $163 > 128$,તેથી $n=5$ માટે શરત સંતોષાય છે.
$n=4$ માટે,$\sum_{r=0}^{3} {}^{8}C_{r} = 1 + 8 + 28 + 56 = 93$,જે $128$ કરતા વધારે નથી.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(D) ધારો કે $S_1$ એ $4$ પ્રશ્નોનો સમૂહ છે જેની સફળતાની સંભાવના $p_1 = \frac{3}{4}$ છે અને $S_2$ એ $6$ પ્રશ્નોનો સમૂહ છે જેની સફળતાની સંભાવના $p_2 = \frac{1}{4}$ છે.
બરાબર $8$ પ્રશ્નો સાચા મેળવવા માટે,આપણે નીચેના કિસ્સાઓ $(x, y)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં $x$ એ $S_1$ માંથી સાચા જવાબોની સંખ્યા છે અને $y$ એ $S_2$ માંથી સાચા જવાબોની સંખ્યા છે,જેથી $x+y=8$:
કિસ્સો $1$: $x=4, y=4$. સંભાવના $= \binom{4}{4} (\frac{3}{4})^4 (\frac{1}{4})^0 \times \binom{6}{4} (\frac{1}{4})^4 (\frac{3}{4})^2 = \frac{10935}{4^{10}}$.
કિસ્સો $2$: $x=3, y=5$. સંભાવના $= \binom{4}{3} (\frac{3}{4})^3 (\frac{1}{4})^1 \times \binom{6}{5} (\frac{1}{4})^5 (\frac{3}{4})^1 = \frac{1944}{4^{10}}$.
કિસ્સો $3$: $x=2, y=6$. સંભાવના $= \binom{4}{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^2 \times \binom{6}{6} (\frac{1}{4})^6 (\frac{3}{4})^0 = \frac{54}{4^{10}}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{10935 + 1944 + 54}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$.
આપેલ છે કે $\frac{27k}{4^{10}} = \frac{12933}{4^{10}}$,તેથી $27k = 12933 \Rightarrow k = 479$.

(A) આપેલ છે કે $n = 33$,ધારો કે સફળતાની સંભાવના $p$ છે અને $q = 1 - p$.
આપેલ છે કે $3P(X=0) = P(X=1)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 \cdot {}^{33}C_{0} p^{0} q^{33} = {}^{33}C_{1} p^{1} q^{32}$
$3q = 33p \implies q = 11p$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p + 11p = 1 \implies 12p = 1 \implies p = \frac{1}{12}$ અને $q = \frac{11}{12}$.
તેથી,$\frac{q}{p} = 11$.
હવે,પદ $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} - \frac{P(X=16)}{P(X=17)}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\frac{P(X=k)}{P(X=n-k)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{n-2k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પ્રથમ પદ માટે: $\frac{P(X=15)}{P(X=18)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{18-15} = \left(\frac{q}{p}\right)^3 = 11^3 = 1331$.
બીજા પદ માટે: $\frac{P(X=16)}{P(X=17)} = \left(\frac{q}{p}\right)^{17-16} = \left(\frac{q}{p}\right)^1 = 11$.
તેથી,કિંમત $1331 - 11 = 1320$ થાય.

(D) ધારો કે $P(H) = x$ અને $P(T) = 1 - x$.
આપેલ છે કે $P(4H, 1T) = P(5H)$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,${}^{5}C_{4} x^{4}(1-x)^{1} = {}^{5}C_{5} x^{5}$.
$5(1-x) = x$.
$5 - 5x = x \implies 6x = 5 \implies x = \frac{5}{6}$.
આમ,$P(H) = \frac{5}{6}$ અને $P(T) = \frac{1}{6}$.
આપણે $P(\text{વધુમાં વધુ } 2H) = P(0H) + P(1H) + P(2H)$ શોધવાનું છે.
$P(0H) = {}^{5}C_{0} (\frac{5}{6})^{0} (\frac{1}{6})^{5} = \frac{1}{6^{5}}$.
$P(1H) = {}^{5}C_{1} (\frac{5}{6})^{1} (\frac{1}{6})^{4} = 5 \times \frac{5}{6^{5}} = \frac{25}{6^{5}}$.
$P(2H) = {}^{5}C_{2} (\frac{5}{6})^{2} (\frac{1}{6})^{3} = 10 \times \frac{25}{6^{5}} = \frac{250}{6^{5}}$.
સરવાળો કરતા,$P(\text{વધુમાં વધુ } 2H) = \frac{1 + 25 + 250}{6^{5}} = \frac{276}{6^{5}}$.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{276}{6^{5}} = \frac{46 \times 6}{6^{5}} = \frac{46}{6^{4}}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ $n = 7$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ અનુસરે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરત $P(X=3) = 5P(X=4)$ આપેલ છે:
${}^{7}C_{3} p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times {}^{7}C_{4} p^{4} (1-p)^{3}$.
કારણ કે ${}^{7}C_{3} = {}^{7}C_{4} = 35$,આપણે સમીકરણને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$35 p^{3} (1-p)^{4} = 5 \times 35 p^{4} (1-p)^{3}$.
બંને બાજુ $35 p^{3} (1-p)^{3}$ વડે ભાગતા (ધારી લો કે $p \neq 0, 1$):
$(1-p) = 5p$.
$1 = 6p \Rightarrow p = \frac{1}{6}$.
તેથી,$q = 1 - p = \frac{5}{6}$.
મધ્યક $= np = 7 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.
વિચરણ $= npq = 7 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$.
મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો $= \frac{7}{6} + \frac{35}{36} = \frac{42 + 35}{36} = \frac{77}{36}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $p+q=1$.
આપેલ છે કે $np + npq = 24$ અને $(np)(npq) = 128$.
ધારો કે $A = np$ અને $B = npq$. તેથી $A+B=24$ અને $AB=128$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 24t + 128 = 0$ ના બીજ $t = 8$ અને $t = 16$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $np = 16$ અને $npq = 8$. તેથી $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,એટલે કે $p = \frac{1}{2}$. આમ $n(\frac{1}{2}) = 16 \implies n = 32$.
કિસ્સો $2$: $np = 8$ અને $npq = 16$. તેથી $q = \frac{16}{8} = 2$,જે શક્ય નથી કારણ કે $q \leq 1$.
તેથી,$n=32, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$.
એક અથવા બે સફળતાની સંભાવના $P(X=1) + P(X=2) = {}^{32}C_1 (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{31} + {}^{32}C_2 (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{30}$ છે.
$= 32 \cdot (\frac{1}{2})^{32} + \frac{32 \cdot 31}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{32} = (32 + 496) \cdot \frac{1}{2^{32}} = 528 \cdot \frac{1}{2^{32}} = \frac{33 \cdot 16}{2^{32}} = \frac{33}{2^{28}}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = \frac{4}{3}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
$np = 4$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k} = {}^{6}C_{k} (\frac{2}{3})^{k} (\frac{1}{3})^{6-k}$ છે.
આપણે $54 P(X \leq 2) = 54 [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X=0) = {}^{6}C_{0} (\frac{2}{3})^{0} (\frac{1}{3})^{6} = 1 \times 1 \times \frac{1}{729} = \frac{1}{729}$.
$P(X=1) = {}^{6}C_{1} (\frac{2}{3})^{1} (\frac{1}{3})^{5} = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{243} = \frac{12}{729}$.
$P(X=2) = {}^{6}C_{2} (\frac{2}{3})^{2} (\frac{1}{3})^{4} = 15 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{81} = \frac{60}{729}$.
આનો સરવાળો કરતા,$P(X \leq 2) = \frac{1 + 12 + 60}{729} = \frac{73}{729}$.
અંતે,$54 P(X \leq 2) = 54 \times \frac{73}{729} = \frac{2 \times 73}{27} = \frac{146}{27}$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = \alpha$ અને વિચરણ $npq = \frac{\alpha}{3}$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{\alpha/3}{\alpha} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
આપેલ છે કે $P(X=1) = \frac{4}{243}$,આપણે સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
${}^{n}C_{1} (\frac{2}{3})^{1} (\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{4}{243} \implies n \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{4}{243} \implies \frac{2n}{3^{n}} = \frac{4}{243} \implies \frac{n}{3^{n}} = \frac{2}{243}$.
$3^{5} = 243$ હોવાથી,$n=6$ મળે છે.
હવે,આપણે $P(X=4 \text{ અથવા } 5) = P(X=4) + P(X=5)$ ની ગણતરી કરીએ.
$P(X=4) = {}^{6}C_{4} (\frac{2}{3})^{4} (\frac{1}{3})^{2} = 15 \cdot \frac{16}{81} \cdot \frac{1}{9} = \frac{240}{729} = \frac{80}{243}$.
$P(X=5) = {}^{6}C_{5} (\frac{2}{3})^{5} (\frac{1}{3})^{1} = 6 \cdot \frac{32}{243} \cdot \frac{1}{3} = \frac{192}{729} = \frac{64}{243}$.
$P(X=4 \text{ અથવા } 5) = \frac{80}{243} + \frac{64}{243} = \frac{144}{243} = \frac{16}{27}$.

(B) ધારો કે $\mu = np$ એ મધ્યક છે અને $\sigma^2 = npq$ એ દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ નું વિચરણ છે.
આપેલ છે કે $\mu + \sigma^2 = 24$ અને $\mu \sigma^2 = 128$.
ધારો કે $x = \mu$ અને $y = \sigma^2$. તો $x + y = 24$ અને $xy = 128$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - 24t + 128 = 0$ ના બીજ $t = 16$ અને $t = 8$ મળે છે.
કારણ કે $\mu > \sigma^2$ (કારણ કે $q < 1$),તેથી $\mu = 16$ અને $\sigma^2 = 8$.
આમ,$np = 16$ અને $npq = 8$. આ બંનેનો ભાગાકાર કરતા $q = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = \frac{1}{2}$.
તેથી $n \times \frac{1}{2} = 16$,એટલે કે $n = 32$.
આપણે $P(X > n - 3) = P(X > 29) = P(X = 30) + P(X = 31) + P(X = 32)$ શોધવાનું છે.
$P(X = r) = {}^{n}C_r p^r q^{n-r} = {}^{32}C_r (\frac{1}{2})^r (\frac{1}{2})^{32-r} = \frac{{}^{32}C_r}{2^{32}}$.
તેથી,$P(X > 29) = \frac{{}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32}}{2^{32}} = \frac{k}{2^{32}}$.
આમ,$k = {}^{32}C_{30} + {}^{32}C_{31} + {}^{32}C_{32} = {}^{32}C_2 + {}^{32}C_1 + {}^{32}C_0$.
$k = \frac{32 \times 31}{2} + 32 + 1 = 496 + 32 + 1 = 529$.

(D) ધારો કે મધ્યક $m = np$ અને વિચરણ $v = npq$ છે,જ્યાં $p + q = 1$.
આપેલ છે કે,સરવાળો $m + v = 82.5 = \frac{165}{2}$ અને ગુણાકાર $mv = 1350$.
$m$ અને $v$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (m+v)x + mv = 0$ ના બીજ હોવાથી:
$x^2 - \frac{165}{2}x + 1350 = 0$
$2x^2 - 165x + 2700 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$x = \frac{165 \pm \sqrt{165^2 - 4(2)(2700)}}{4} = \frac{165 \pm \sqrt{5625}}{4} = \frac{165 \pm 75}{4}$
તેથી,$x_1 = 60$ અને $x_2 = 22.5$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે $m > v$ હોવાથી,$m = 60$ અને $v = 22.5$.
હવે,$v = mq \implies 22.5 = 60q \implies q = \frac{3}{8}$.
તેથી $p = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$.
અંતે,$m = np \implies 60 = n \times \frac{5}{8} \implies n = 96$.

(D) ધારો કે $p = \frac{1}{4}$ એ લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p = \frac{3}{4}$ એ લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના છે.
શૂટર બરાબર $6$ ગોળીઓ ચલાવે અને $3$ વખત લક્ષ્યને વીંધે તે માટે,$6^{th}$ ગોળી એ $3^{rd}$ સફળ હિટ હોવી જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $5$ શોટમાં,શૂટરે બરાબર $2$ વખત લક્ષ્યને વીંધ્યું હોવું જોઈએ અને $3$ વખત ચૂકી જવું જોઈએ.
આ ઘટનાની સંભાવના નેગેટિવ બાયનોમિયલ ડિસ્ટ્રિબ્યુશનના તર્ક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \binom{5}{2} p^2 q^3 \times p = \binom{5}{2} p^3 q^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$P = 10 \times \left(\frac{1}{4}\right)^3 \times \left(\frac{3}{4}\right)^3 = 10 \times \frac{1}{64} \times \frac{27}{64} = \frac{270}{4096}$.
દશાંશ મૂલ્યની ગણતરી કરતા:
$P = \frac{270}{4096} \approx 0.0659179$.
આ મૂલ્ય $(0.0658, 0.0660)$ અંતરાલમાં આવે છે.

(A) ઘટના $E_1$ માટે,છ સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે. કોઈ પણ પાસો છ ન દર્શાવે તેની સંભાવના $(\frac{5}{6})^6$ છે. તેથી,$p_1 = 1 - (\frac{5}{6})^6 = 1 - 0.3349 = 0.6651$.
ઘટના $E_2$ માટે,બાર સમતોલ પાસા ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે $X$ એ છ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=12, p=\frac{1}{6})$ ને અનુસરે છે.
$p_2 = P(X \geq 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
$P(X=0) = (\frac{5}{6})^{12} \approx 0.1122$.
$P(X=1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^{11} = 12 \times \frac{1}{6} \times 0.1346 \approx 0.2692$.
$p_2 = 1 - (0.1122 + 0.2692) = 1 - 0.3814 = 0.6186$.
આમ $0.6651 > 0.6186$ હોવાથી,$p_1 > p_2$ મળે છે.

(D) ધારો કે $X_i$ એ $i$-મા પ્રયત્નમાં બોક્સ $B_1$ માં ઉમેરવામાં આવેલા દડાઓની સંખ્યા છે.
દરેક પ્રયત્નમાં,$D_1$ પર $j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $D_2$ પર $k \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ મળે છે.
જો $k=1$ હોય તો બોક્સ $B_1$ માં $j$ દડા ઉમેરવામાં આવે છે,અને જો $k \neq 1$ હોય તો $0$ દડા ઉમેરવામાં આવે છે.
$n$ પ્રયત્નો પછી $B_1$ માં વધુમાં વધુ એક દડો હોય તે માટે,કાં તો બધા $n$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે,અથવા એક પ્રયત્નમાં બરાબર એક દડો અને બાકીના $n-1$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે.
કિસ્સો $1$: બધા $n$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે દરેક પ્રયત્નમાં $k \neq 1$ હોય. તેની સંભાવના $(\frac{5}{6})^n$ છે.
કિસ્સો $2$: એક પ્રયત્નમાં બરાબર એક દડો અને બાકીનામાં શૂન્ય દડા ઉમેરવામાં આવે. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે એક પ્રયત્નમાં $j=1$ અને $k=1$ હોય (સંભાવના $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$),અને બાકીના $n-1$ પ્રયત્નોમાં $k \neq 1$ હોય (સંભાવના $(\frac{5}{6})^{n-1}$).
જે પ્રયત્નમાં દડો ઉમેરવામાં આવે છે તેના માટે $n$ પસંદગીઓ હોવાથી,સંભાવના $n \times \frac{1}{36} \times (\frac{5}{6})^{n-1} = n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$ છે.
કુલ સંભાવના = $(\frac{5}{6})^n + n \times \frac{5^{n-1}}{6^{n-1}} \times \frac{1}{6^2}$.

(B) ધારો કે $H$ એ છાપની સંખ્યા છે અને $T$ એ કાંટાની સંખ્યા છે. સિક્કો $10$ વખત ઉછાળવામાં આવતો હોવાથી,$H + T = 10$ થાય.
કુલ સ્કોર $S = 1 \times H + 2 \times T = H + 2(10 - H) = 20 - H$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $K$ ની એવી સૌથી મોટી કિંમત શોધવી છે કે જેથી $P(S \geq K) > \frac{1}{2}$ થાય.
$S = 20 - H$ મૂકતા,આપણને $P(20 - H \geq K) = P(H \leq 20 - K) > \frac{1}{2}$ મળે છે.
ધારો કે $m = 20 - K$. આપણે $P(H \leq m) > \frac{1}{2}$ ની જરૂર છે.
$H$ નું સંભાવના વિતરણ $n = 10$ અને $p = \frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી (binomial) છે.
$P(H \leq m) = \frac{1}{2^{10}} \sum_{i=0}^{m} \binom{10}{i}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{i=0}^{10} \binom{10}{i} = 2^{10} = 1024$. વિતરણ સંમિત હોવાથી,$P(H \leq 4) = \sum_{i=0}^{4} \binom{10}{i} / 1024 = (1 + 10 + 45 + 120 + 210) / 1024 = 386 / 1024 < \frac{1}{2}$ થાય.
$P(H \leq 5) = (386 + \binom{10}{5}) / 1024 = (386 + 252) / 1024 = 638 / 1024 > \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,$m$ ની સૌથી મોટી કિંમત $5$ છે.
$m = 20 - K$ હોવાથી,$5 = 20 - K$,જે આપણને $K = 15$ આપે છે.

(D) કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
દરેક પ્રશ્નમાં $4$ વિકલ્પો છે,જેનો અર્થ છે કે $1$ સાચો વિકલ્પ અને $3$ ખોટા વિકલ્પો છે.
વિદ્યાર્થીએ $8$ માંથી બરાબર $5$ સાચા જવાબો પસંદ કરવાના છે.
$5$ પ્રશ્નો સાચા હોય તે રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{8}{5}$ દ્વારા મળે છે.
$5$ સાચા પ્રશ્નો માટે,સાચો વિકલ્પ પસંદ કરવાની માત્ર $1$ રીત છે.
બાકીના $8 - 5 = 3$ ખોટા પ્રશ્નો માટે,દરેકને $3$ અલગ અલગ રીતે જવાબ આપી શકાય છે (કારણ કે $4$ વિકલ્પો છે અને $1$ સાચો છે,તેથી $4 - 1 = 3$ ખોટા છે).
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $\binom{8}{5} \times (1)^5 \times (3)^3$ છે.
ગણતરી કરતા: $\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
કુલ રીતો $= 56 \times 1 \times 27 = 1512$.

(B) પાસાની બાજુઓ $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ છે. ગુણાકાર ધન ત્યારે જ થાય જો કોઈ પણ પરિણામ $0$ ન હોય અને ઋણ પરિણામોની સંખ્યા બેકી હોય.
$P(\text{ધન}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$P(\text{ઋણ}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$,$P(0) = \frac{1}{6}$.
કેસ $1$: $0$ ઋણ,$5$ ધન: $\binom{5}{0} (\frac{1}{2})^5 = \frac{81}{2592}$.
કેસ $2$: $2$ ઋણ,$3$ ધન: $\binom{5}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{1}{2})^3 = \frac{360}{2592}$.
કેસ $3$: $4$ ઋણ,$1$ ધન: $\binom{5}{4} (\frac{1}{3})^4 (\frac{1}{2})^1 = \frac{80}{2592}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{81 + 360 + 80}{2592} = \frac{521}{2592}$.

(B) કુલ દડા = $6$. બદલી સાથે દડા કાઢવામાં આવતા હોવાથી,$k$ દડા કાઢવા માટેના કુલ પરિણામો $6^k$ છે.
$p$ માટે: બે દડા કાઢવામાં આવે છે. બંને સમાન રંગના છે. રંગ માટે $6$ વિકલ્પો છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે. આમ,$p = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$q$ માટે: ચાર દડા કાઢવામાં આવે છે. બરાબર ત્રણ દડા સમાન રંગના છે.
પગલું $1$: $3$ વાર આવતો રંગ પસંદ કરો ($6$ રીતો).
પગલું $2$: $4$ પ્રયત્નોમાં આ $3$ દડાનું સ્થાન પસંદ કરો ($^4C_3 = 4$ રીતો).
પગલું $3$: બાકીના $1$ દડાનો રંગ પસંદ કરો ($5$ રીતો).
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા = $6 \times 4 \times 5 = 120$.
આમ,$q = \frac{120}{6^4} = \frac{120}{1296} = \frac{5}{54}$.
ગુણોત્તર $p : q = \frac{1}{6} : \frac{5}{54} = \frac{9}{54} : \frac{5}{54} = 9 : 5$.
અહીં $m = 9$ અને $n = 5$ છે,જે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$m + n = 9 + 5 = 14$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણનો સરવાળો $5$ છે: $np + npq = 5 \Rightarrow np(1+q) = 5$.
આપેલ છે કે મધ્યક અને વિચરણનો ગુણાકાર $6$ છે: $np \cdot npq = 6 \Rightarrow n^2p^2q = 6$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$np = \frac{5}{1+q}$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{5}{1+q})^2 \cdot q = 6 \Rightarrow 25q = 6(1+q)^2$.
$25q = 6(1 + 2q + q^2) \Rightarrow 6q^2 + 12q + 6 = 25q$.
$6q^2 - 13q + 6 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $6q^2 - 9q - 4q + 6 = 0 \Rightarrow 3q(2q-3) - 2(2q-3) = 0$.
$(3q-2)(2q-3) = 0$. કારણ કે $q < 1$,તેથી $q = \frac{2}{3}$.
તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
$np(1+q) = 5$ નો ઉપયોગ કરતા: $n(\frac{1}{3})(1 + \frac{2}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{1}{3})(\frac{5}{3}) = 5 \Rightarrow n(\frac{5}{9}) = 5 \Rightarrow n = 9$.
અંતે,$6(n+p-q) = 6(9 + \frac{1}{3} - \frac{2}{3}) = 6(9 - \frac{1}{3}) = 54 - 2 = 52$.

(B) બે પાસા ફેંકતી વખતે કુલ પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $5$ મળે તેવા પરિણામો $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$ છે,જે $4$ પરિણામો છે.
સફળતાની સંભાવના $p = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = r) = {}^nC_r p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 5$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછી } 4 \text{ સફળતા}) = P(X = 4) + P(X = 5)$.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \times (\frac{1}{9})^4 \times (\frac{8}{9})^1 = 5 \times \frac{1}{9^4} \times \frac{8}{9} = \frac{40}{9^5} = \frac{40}{3^{10}}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \times (\frac{1}{9})^5 \times (\frac{8}{9})^0 = 1 \times \frac{1}{9^5} = \frac{1}{3^{10}}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{40}{3^{10}} + \frac{1}{3^{10}} = \frac{41}{3^{10}} = \frac{41 \times 3}{3^{11}} = \frac{123}{3^{11}}$.
આને $\frac{k}{3^{11}}$ સાથે સરખાવતા,$k = 123$ મળે છે.

(D) ધારો કે એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $P(\text{એકી } 7 \text{ વખત}) = P(\text{એકી } 9 \text{ વખત})$.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^{n}C_{7} (\frac{1}{2})^7 (\frac{1}{2})^{n-7} = {}^{n}C_{9} (\frac{1}{2})^9 (\frac{1}{2})^{n-9}$
${}^{n}C_{7} = {}^{n}C_{9}$
તેથી $n = 7+9 = 16$.
હવે,$16$ વખત પાસો ઉછાળતા બેકી સંખ્યા બે વાર મળવાની સંભાવના:
$P(\text{બેકી } 2 \text{ વખત}) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}} = \frac{60}{2^{15}}$.
તેથી $k = 60$.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે,મધ્યક $np$ છે અને વિચરણ $npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે $np - npq = 1$,તેથી $np(1-q) = 1$,જેનો અર્થ છે કે $np^2 = 1$.
આપેલ છે કે $2 P(X=2) = 3 P(X=1)$,દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \binom{n}{2} p^2 q^{n-2} = 3 \binom{n}{1} p^1 q^{n-1}$
$2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} p^2 q^{n-2} = 3n p q^{n-1}$
$(n-1) p = 3q$
$q = 1-p$ હોવાથી,$(n-1)p = 3(1-p) \Rightarrow np - p = 3 - 3p \Rightarrow np + 2p = 3$.
$np^2 = 1$ પરથી,$n = \frac{1}{p^2}$ મળે. આ કિંમત $np + 2p = 3$ માં મૂકતા:
$\frac{1}{p^2} \cdot p + 2p = 3 \Rightarrow \frac{1}{p} + 2p = 3 \Rightarrow 2p^2 - 3p + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(2p-1)(p-1) = 0$. $p < 1$ હોવાથી,$p = \frac{1}{2}$ મળે.
તેથી $n = \frac{1}{(1/2)^2} = 4$.
આપણે $n^2 P(X > 1) = 16(1 - (P(X=0) + P(X=1)))$ શોધવાનું છે.
$P(X=0) = \binom{4}{0} (1/2)^4 = 1/16$.
$P(X=1) = \binom{4}{1} (1/2)^1 (1/2)^3 = 4/16 = 1/4$.
$P(X > 1) = 1 - (1/16 + 4/16) = 1 - 5/16 = 11/16$.
આમ,$n^2 P(X > 1) = 16 \times \frac{11}{16} = 11$.

(A) ધારો કે કાંટો મળવાની સંભાવના $P(T) = p$ છે. તો છાપ મળવાની સંભાવના $P(H) = 2p$ થાય.
$P(H) + P(T) = 1$ હોવાથી,$2p + p = 1$,એટલે કે $3p = 1$,તેથી $p = \frac{1}{3}$.
આમ,$P(T) = \frac{1}{3}$ અને $P(H) = \frac{2}{3}$.
આપણે $3$ પ્રયત્નોમાં $2$ કાંટા અને $1$ છાપ મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે.
$2$ કાંટા અને $1$ છાપ ગોઠવવાની રીતો $\binom{3}{1} = 3$ છે (જેમ કે $TTH, THT, HTT$).
દરેક ગોઠવણી માટેની સંભાવના $P(T) \times P(T) \times P(H) = \left(\frac{1}{3}\right)^2 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$ છે.
તેથી,કુલ સંભાવના $3 \times \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$ થાય.

(C) $P(W) = \frac{1}{3}, P(L) = \frac{2}{3}$. ધારો કે $x$ એ જીતેલી મેચોની સંખ્યા છે અને $y$ એ હારેલી મેચોની સંખ્યા છે. આપેલ છે કે $x+y=10$ અને $|x-y| \leq 2$.
કિસ્સો $I$: $|x-y|=0 \Rightarrow x=y$. $x+y=10$ હોવાથી,$x=5, y=5$ મળે. સંભાવના $P(x=5) = {}^{10}C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^5 = {}^{10}C_5 \frac{2^5}{3^{10}}$ છે.
કિસ્સો $II$: $|x-y|=1$. $x+y=10$ હોવાથી,$x-y = \pm 1$ નો અર્થ છે કે $2x = 11$ અથવા $2x = 9$,જેનો કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. તેથી,$P(|x-y|=1) = 0$.
કિસ્સો $III$: $|x-y|=2$. આનો અર્થ છે કે $x-y=2$ અથવા $x-y=-2$.
જો $x-y=2$ અને $x+y=10$,તો $x=6, y=4$.
જો $x-y=-2$ અને $x+y=10$,તો $x=4, y=6$.
$P(|x-y|=2) = P(x=6) + P(x=4) = {}^{10}C_6 (\frac{1}{3})^6 (\frac{2}{3})^4 + {}^{10}C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^6 = {}^{10}C_6 \frac{2^4}{3^{10}} + {}^{10}C_4 \frac{2^6}{3^{10}}$.
કુલ સંભાવના $p = P(|x-y|=0) + P(|x-y|=2) = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3^{10}}$.
$3^9 p = \frac{{}^{10}C_5 2^5 + {}^{10}C_6 2^4 + {}^{10}C_4 2^6}{3} = \frac{252 \times 32 + 210 \times 16 + 210 \times 64}{3} = \frac{8064 + 3360 + 13440}{3} = \frac{24864}{3} = 8288$.

(B) $C_1$ માટે,$P(H) = \frac{2}{3}$. છાપની સંખ્યા $\alpha$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(2, \frac{2}{3})$ ને અનુસરે છે.
$P(\alpha = 0) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$P(\alpha = 1) = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\alpha = 2) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$C_2$ માટે,$P(H) = \frac{1}{3}$. છાપની સંખ્યા $\beta$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(2, \frac{1}{3})$ ને અનુસરે છે.
$P(\beta = 0) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 1) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$x^2 - \alpha x + \beta = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય જો વિવેચક $D = \alpha^2 - 4\beta = 0$ થાય,એટલે કે $\alpha^2 = 4\beta$.
આ શરત સંતોષતી શક્ય જોડીઓ $(\alpha, \beta)$ એ $(0, 0)$ અને $(2, 1)$ છે.
સંભાવના $= P(\alpha=0)P(\beta=0) + P(\alpha=2)P(\beta=1)$
$= (\frac{1}{9} \times \frac{4}{9}) + (\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}) = \frac{4}{81} + \frac{16}{81} = \frac{20}{81}$.