Binomial distribution Questions in Gujarati

(A) આપેલ આવૃત્તિઓ $(q + p)^n$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણના પદો છે.
મધ્યક $\bar{x}$ નું સૂત્ર $\bar{x} = \frac{\sum_{r=0}^{n} r f_r}{\sum_{r=0}^{n} f_r}$ છે.
અહીં,$f_r = {^nC_r} q^{n-r} p^r$.
છેદ $\sum_{r=0}^{n} {^nC_r} q^{n-r} p^r = (q + p)^n = 1^n = 1$ થાય.
અંશ $\sum_{r=0}^{n} r {^nC_r} q^{n-r} p^r$ છે.
$r {^nC_r} = n {^{n-1}C_{r-1}}$ હોવાથી,અંશ $\sum_{r=1}^{n} n {^{n-1}C_{r-1}} q^{(n-1)-(r-1)} p^r$ થાય.
$= np \sum_{r=1}^{n} {^{n-1}C_{r-1}} q^{(n-1)-(r-1)} p^{r-1}$.
ધારો કે $k = r-1$,તો સરવાળો $np \sum_{k=0}^{n-1} {^{n-1}C_k} q^{(n-1)-k} p^k = np(q + p)^{n-1} = np(1)^{n-1} = np$ થાય.
આમ,મધ્યક $\frac{np}{1} = np$ છે.

(D) નિષ્પક્ષ સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળતા $k$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા મળે છે: $P(X = k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X = 4), P(X = 5)$ અને $P(X = 6)$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $A.P.$ માં હોય.
આમ,$\frac{1}{P(X = 4)}, \frac{1}{P(X = 5)}, \frac{1}{P(X = 6)}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી $\frac{2}{P(X = 5)} = \frac{1}{P(X = 4)} + \frac{1}{P(X = 6)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{\binom{n}{5}} = \frac{1}{\binom{n}{4}} + \frac{1}{\binom{n}{6}}$.
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે: $\frac{2 \times 5!(n-5)!}{n!} = \frac{4!(n-4)!}{n!} + \frac{6!(n-6)!}{n!}$.
$\frac{n!}{4!(n-6)!}$ વડે ગુણતા: $2 \times 5 \times (n-5) = (n-4)(n-5) + 6 \times 5$.
$10n - 50 = n^2 - 9n + 20 + 30$.
$n^2 - 19n + 100 = 0$.
વિવેચક $D = (-19)^2 - 4(1)(100) = 361 - 400 = -39$.
$D < 0$ હોવાથી,$n$ માટે કોઈ વાસ્તવિક પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) દ્વિપદી વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X = k) = {}^nC_k p^k (1 - p)^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{P(X = r)}{P(X = n - r)}$ આપેલ છે.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{P(X = r)}{P(X = n - r)} = \frac{{}^nC_r p^r (1 - p)^{n-r}}{{}^nC_{n-r} p^{n-r} (1 - p)^r}$.
કારણ કે ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$,દ્વિપદી સહગુણકો ઉડી જશે:
$\frac{P(X = r)}{P(X = n - r)} = \frac{p^r (1 - p)^{n-r}}{p^{n-r} (1 - p)^r} = \left( \frac{1 - p}{p} \right)^{n - 2r}$.
આ પદ $n$ અને $r$ થી સ્વતંત્ર રહે તે માટે,આધાર $1$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{1 - p}{p} = 1 \implies 1 - p = p \implies 2p = 1 \implies p = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $n = 11$ એ કુલ ડગલાંની સંખ્યા છે. ધારો કે $F$ એ આગળના ડગલાં અને $B$ એ પાછળના ડગલાં છે. આપણી પાસે $F + B = 11$ છે.
શરૂઆતના બિંદુથી એક ડગલું દૂર રહેવા માટે,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $F - B = 1$ અથવા $F - B = -1$ હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $F - B = 1$. $F + B = 11$ અને $F - B = 1$ નો સરવાળો કરતા $2F = 12$ મળે છે,તેથી $F = 6$ અને $B = 5$.
સંભાવના $P(F=6) = ^{11}C_6 (0.4)^6 (0.6)^5$ છે.
કિસ્સો $2$: $F - B = -1$. $F + B = 11$ અને $F - B = -1$ નો સરવાળો કરતા $2F = 10$ મળે છે,તેથી $F = 5$ અને $B = 6$.
સંભાવના $P(F=5) = ^{11}C_5 (0.4)^5 (0.6)^6$ છે.
કારણ કે $^{11}C_6 = ^{11}C_5$,કુલ સંભાવના $P = ^{11}C_6 (0.4)^6 (0.6)^5 + ^{11}C_6 (0.4)^5 (0.6)^6$ છે.
$P = ^{11}C_6 (0.4)^5 (0.6)^5 (0.4 + 0.6) = ^{11}C_6 (0.24)^5 (1) = ^{11}C_6 (0.24)^5$.

(D) ધારો કે $n$ એ ફેંકવામાં આવેલા બોમ્બની સંખ્યા છે. ધારો કે $X$ એ પુલને અથડાતા બોમ્બની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $p = 1/2$ છે.
જો ઓછામાં ઓછા $2$ હિટ મળે તો પુલ નાશ પામે છે,એટલે કે $X \geq 2$.
આપણે $P(X \geq 2) > 0.9$ ઇચ્છીએ છીએ.
આ $1 - P(X < 2) > 0.9$ ને સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે $P(X < 2) < 0.1$.
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = \binom{n}{0} (1/2)^n + \binom{n}{1} (1/2)^{n-1} (1/2) = (1/2)^n + n(1/2)^n = \frac{n+1}{2^n}$.
તેથી,આપણે $\frac{n+1}{2^n} < 0.1$ અથવા $10(n+1) < 2^n$ ની જરૂર છે.
$n$ માટે કિંમતો ચકાસતા:
$n=7$ માટે: $10(7+1) = 80$ અને $2^7 = 128$. $80 < 128$ હોવાથી,આ શરત સંતોષાય છે.
$n=6$ માટે: $10(6+1) = 70$ અને $2^6 = 64$. $70 < 64$ ખોટું છે.
આમ,ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક $n=7$ છે. જોકે,આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$8$ એ સૌથી નાનો વિકલ્પ છે જે શરત સંતોષે છે.

(A) $10$ મા ઉછાળ પર ચોથો છગ્ગો મેળવવા માટે,પ્રથમ $9$ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છગ્ગા અને $10$ મા ઉછાળ પર છગ્ગો આવવો જોઈએ.
એક ઉછાળમાં છગ્ગો આવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{6}$ છે,અને છગ્ગો ન આવવાની સંભાવના $q = \frac{5}{6}$ છે.
પ્રથમ $9$ ઉછાળમાં બરાબર $3$ છગ્ગા મેળવવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=3) = ^{9}C_{3} \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^6$.
$10$ મા ઉછાળ પર છગ્ગો આવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના: $P = [^{9}C_{3} \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^6] \times \frac{1}{6} = \frac{84 \times 5^6}{6^{10}}$.

(D) આપેલ છે કે $X \sim B(10, 1/2)$ અને $Y \sim B(8, 1/2)$. $X$ અને $Y$ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(X+Y=2)$ ની ગણતરી નીચે મુજબ કરી શકાય:
$P(X+Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=1) + P(X=2, Y=0)$
$= \left( \binom{10}{0} (1/2)^{10} \times \binom{8}{2} (1/2)^8 \right) + \left( \binom{10}{1} (1/2)^{10} \times \binom{8}{1} (1/2)^8 \right) + \left( \binom{10}{2} (1/2)^{10} \times \binom{8}{0} (1/2)^8 \right)$
$= \frac{1}{2^{18}} \left( 1 \times 28 + 10 \times 8 + 45 \times 1 \right)$
$= \frac{28 + 80 + 45}{2^{18}} = \frac{153}{2^{18}} = \frac{153}{4^9}$

(D) ધારો કે $n$ એ પ્રયત્નોની સંખ્યા છે,$p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $np = 4$ અને વિચરણ $npq = \frac{4}{3}$.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{4/3}{4} = \frac{1}{3}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ મળે.
$np = 4$ માં $p$ ની કિંમત મૂકતા,$n \times \frac{2}{3} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $n = 6$.
ઓછામાં ઓછી બે સફળતાની સંભાવના $P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ છે.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = \binom{6}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^6 = 1 \times 1 \times \frac{1}{729} = \frac{1}{729}$.
$P(X = 1) = \binom{6}{1} (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^5 = 6 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{243} = \frac{36}{729}$.
તેથી,$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{1}{729} + \frac{36}{729}) = 1 - \frac{37}{729} = \frac{692}{729}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 2$,તેથી $n = 4$ મળે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k} = {^4C_k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = {^4C_k} (\frac{1}{2})^4$ છે.
આપણે $P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = {^4C_0} (\frac{1}{2})^4 = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
$P(X = 1) = {^4C_1} (\frac{1}{2})^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - (\frac{1}{16} + \frac{4}{16}) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,તેથી $n = 4$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{4}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{4-k} = \binom{4}{k} \frac{1}{16}$ છે.
આપણે $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \frac{1}{16} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$.
$P(X = 3) = \binom{4}{3} \frac{1}{16} = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} \frac{1}{16} = 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X > 1) = \frac{6}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$.

(B) દરેક પ્રયત્નમાં,ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે. કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
બધા છાપ $(HHH)$ અથવા બધા કાંટા $(TTT)$ માટેના પરિણામો $2$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં બધા છાપ અથવા બધા કાંટા મળવાની સંભાવના $p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ છે.
બધા છાપ અથવા બધા કાંટા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે આ ઘટના $3^{rd}$ પ્રયત્નમાં બીજી વખત બને. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $2$ પ્રયત્નોમાં,ઘટના બરાબર એકવાર થવી જોઈએ,અને $3^{rd}$ પ્રયત્નમાં,તે થવી જોઈએ.
સંભાવના નીચે મુજબ છે: $P = (2 \text{ પ્રયત્નોમાં } 1 \text{ સફળતાની સંભાવના}) \times (3^{rd} \text{ પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના})$.
$P = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 \times p = 2 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$.

(B) જ્યારે સિક્કાને $8$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^8 = 256$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ અને ઓછામાં ઓછો એક કાંટો મેળવવાની ઘટના એ બધી છાપ અથવા બધા કાંટા મેળવવાની ઘટનાની પૂરક ઘટના છે.
$P(\text{બધી છાપ}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$.
$P(\text{બધા કાંટા}) = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$.
બધી છાપ અથવા બધા કાંટા મેળવવાની સંભાવના $P(\text{બધી છાપ}) + P(\text{બધા કાંટા}) = \frac{1}{256} + \frac{1}{256} = \frac{2}{256} = \frac{1}{128}$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$ છે.

(D) ધારો કે $p(F) = q$ અને $p(S) = p$. આપેલ છે કે $p = 2q$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$2q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
આ દ્વિપદી વિતરણ છે જ્યાં $n = 6$,$p = \frac{2}{3}$,અને $q = \frac{1}{3}$.
ઓછામાં ઓછી $5$ સફળતાની સંભાવના $P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 5) = {^6C_5} \left(\frac{2}{3}\right)^5 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$.
$P(X = 6) = {^6C_6} \left(\frac{2}{3}\right)^6 \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$.
તેથી,$P(X \geq 5) = \frac{192}{729} + \frac{64}{729} = \frac{256}{729}$.

(B) આપેલ છે કે $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,જેનું સંભાવના વિધેય $P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $P(X = 2) = P(X = 3)$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $^{n}C_{2} p^{2} (1-p)^{n-2} = ^{n}C_{3} p^{3} (1-p)^{n-3}$.
બંને બાજુ $p^{2} (1-p)^{n-3}$ વડે ભાગતા: $^{n}C_{2} (1-p) = ^{n}C_{3} p$.
ક્રમચય-સંચયના સૂત્ર મુજબ: $\frac{n!}{2!(n-2)!} (1-p) = \frac{n!}{3!(n-3)!} p$.
સાદુરૂપ આપતા: $\frac{1}{2} (1-p) = \frac{1}{3(n-2)} (n-2) p$ એટલે કે $\frac{1-p}{2} = \frac{(n-2)p}{6}$.
તેથી,$3(1-p) = (n-2)p$.
$3 - 3p = np - 2p$.
$np = 3 - p$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ હોવાથી,$E(X) = 3 - p$ મળે.

(A) ધારો કે લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવના $p = \frac{2}{5}$ છે.
તેથી લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ છે.
$k$ પ્રયત્નોમાં લક્ષ્યને ઓછામાં ઓછી એક વાર વીંધવાની સંભાવના $1 - P(\text{શૂન્ય વખત વીંધવું}) = 1 - q^k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\frac{7}{10}$ કરતા વધારે છે:
$1 - (\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10}$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$-(\frac{3}{5})^k > \frac{7}{10} - 1$
$-(\frac{3}{5})^k > -\frac{3}{10}$
$-1$ વડે ગુણતા (અને અસમતાની નિશાની બદલતા):
$(\frac{3}{5})^k < \frac{3}{10}$
$k=1$ માટે: $(\frac{3}{5})^1 = 0.6$,જે $0.3$ કરતા નાનું નથી.
$k=2$ માટે: $(\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25} = 0.36$,જે $0.3$ કરતા નાનું નથી.
$k=3$ માટે: $(\frac{3}{5})^3 = \frac{27}{125} = 0.216$,જે $0.3$ કરતા નાનું છે.
આમ,$k$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $3$ છે.

(D) કુલ પત્તાંની સંખ્યા $52$ છે અને એક્કાની સંખ્યા $4$ છે.
પત્તાં બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,એક પ્રયત્નમાં એક્કો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે અને એક્કો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$.
$P(X = 1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X = 2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
તેથી,$P(X = 1) + P(X = 2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(C) ધારો કે $n$ એ સ્વતંત્ર શોટ્સની સંખ્યા છે.
એક શોટમાં લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
એક શોટમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
બધા $n$ શોટ્સમાં લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવના $q^n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર લક્ષ્યને ભેદવાની સંભાવના $1 - P(\text{બધા ચૂકી જવાની}) = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$ છે.
આપણને આપેલ છે કે આ સંભાવના $\frac{5}{6}$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ:
$1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n > \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < 1 - \frac{5}{6}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n < \frac{1}{6}$
હવે,આપણે $n$ માટે કિંમતો તપાસીએ:
$n = 3$ માટે: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0.296 > 0.166$
$n = 4$ માટે: $\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} \approx 0.197 > 0.166$
$n = 5$ માટે: $\left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{32}{243} \approx 0.131 < 0.166$
આમ,જરૂરી ન્યૂનતમ શોટ્સની સંખ્યા $n = 5$ છે.

(B) કુલ દડાની સંખ્યા $30 + 10 = 40$ છે.
સફેદ દડો નીકળવાની સંભાવના $p = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$ છે.
લાલ દડો નીકળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{4}$ છે.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 16$ છે.
દડા પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવતા હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
$X$ નો મધ્યક $E(X) = np = 16 \times \frac{3}{4} = 12$ છે.
$X$ નું પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{16 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4}} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\text{mean}}{\text{standard deviation}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ થાય.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે.
ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળે તેની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે (બધી કાંટા મળે) તેની સંભાવના $(\frac{1}{2})^n$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $P(\text{at least one head}) \ge 90\%$,જેનો અર્થ છે $1 - (\frac{1}{2})^n \ge 0.9$.
$1 - 0.9 \ge (\frac{1}{2})^n$
$0.1 \ge \frac{1}{2^n}$
$\frac{1}{10} \ge \frac{1}{2^n}$
$2^n \ge 10$.
$n=3$ માટે,$2^3 = 8 < 10$.
$n=4$ માટે,$2^4 = 16 \ge 10$.
આમ,જરૂરી સિક્કા ઉછાળવાની ન્યૂનતમ સંખ્યા $4$ છે.

(C) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P(\text{at least one head}) = 1 - P(\text{no head})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સિક્કો નિષ્પક્ષ હોવાથી,$n$ વખત ઉછાળતા એક પણ છાપ ન મળે તેની સંભાવના $\left(\frac{1}{2}\right)^n$ છે.
આપણે ઇચ્છીએ છીએ કે $1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n > \frac{99}{100}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 - \frac{99}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$,એટલે કે $\frac{1}{100} > \left(\frac{1}{2}\right)^n$.
આ $2^n > 100$ ને સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^6 = 64$ અને $2^7 = 128$.
તેથી,$128 > 100$ હોવાથી,$n$ ની ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક કિંમત $7$ છે.

(C) ધારો કે કુલ સમસ્યાઓની સંખ્યા $n = 50$ છે.
સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવના $p = \frac{4}{5}$ છે.
સમસ્યા ન ઉકેલવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{5}$ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે ઉમેદવાર બે કરતા ઓછી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં અસમર્થ છે,જેનો અર્થ છે કે ન ઉકેલાયેલી સમસ્યાઓની સંખ્યા $(X)$ $0$ અથવા $1$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = ^{n}C_{k} q^{k} p^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = ^{50}C_{0} \left( \frac{1}{5} \right)^{0} \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{50} = \left( \frac{4}{5} \right)^{50}$
$P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left( \frac{1}{5} \right)^{1} \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 50 \cdot \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49} = 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(X < 2) = \left( \frac{4}{5} \right)^{50} + 10 \cdot \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4}{5} + 10 \right)$
$= \left( \frac{4}{5} \right)^{49} \left( \frac{4 + 50}{5} \right)$
$= \frac{54}{5} \left( \frac{4}{5} \right)^{49}$

(C) ધારો કે $X$ એ બંધ મશીનોની સંખ્યા છે. $X$ એ $n = 5$ અને $p = \frac{1}{4}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$r$ મશીનો બંધ હોવાની સંભાવના $P(X = r) = ^{5}C_{r} (\frac{1}{4})^{r} (\frac{3}{4})^{5-r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ મશીનો બંધ હોય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ છે.
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (\frac{1}{4})^{0} (\frac{3}{4})^{5} = (\frac{3}{4})^{5}$.
$P(X=1) = ^{5}C_{1} (\frac{1}{4})^{1} (\frac{3}{4})^{4} = 5 \times \frac{1}{4} \times (\frac{3}{4})^{4} = \frac{15}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
$P(X=2) = ^{5}C_{2} (\frac{1}{4})^{2} (\frac{3}{4})^{3} = 10 \times \frac{1}{16} \times (\frac{3}{4})^{3} = \frac{10}{16} (\frac{3}{4})^{3}$.
સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = (\frac{9}{16} + \frac{15}{16} + \frac{10}{16}) (\frac{3}{4})^{3} = \frac{34}{16} (\frac{3}{4})^{3} = \frac{17}{8} (\frac{3}{4})^{3}$.
આને $(\frac{3}{4})^{3} k$ સાથે સરખાવતા,$k = \frac{17}{8}$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $X$ એ બદલી સાથે બે ખેંચાણમાં મળતા એક્કાની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ માટે શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ છે.
એક ખેંચાણમાં એક્કો મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
એક્કો ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
ખેંચાણ સ્વતંત્ર હોવાથી (બદલી સાથે),આપણે દ્વિપદી વિતરણ $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ જ્યાં $n=2$:
$P(X=0) = \binom{2}{0} (\frac{1}{13})^0 (\frac{12}{13})^2 = 1 \times 1 \times \frac{144}{169} = \frac{144}{169}$
$P(X=1) = \binom{2}{1} (\frac{1}{13})^1 (\frac{12}{13})^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X=2) = \binom{2}{2} (\frac{1}{13})^2 (\frac{12}{13})^0 = 1 \times \frac{1}{169} \times 1 = \frac{1}{169}$
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$P(X)$
$0$	$\frac{144}{169}$
$1$	$\frac{24}{169}$
$2$	$\frac{1}{169}$

(N/A) ઉકેલ: ધારો કે $X$ એ ડબલેટ્સની સંખ્યા દર્શાવે છે. શક્ય ડબલેટ્સ $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે.
સ્પષ્ટપણે,$X$ ની કિંમત $0, 1, 2,$ અથવા $3$ હોઈ શકે છે.
ડબલેટ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
ડબલેટ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n=3$:
$P(X=0) = \binom{3}{0} (\frac{1}{6})^0 (\frac{5}{6})^3 = 1 \times 1 \times \frac{125}{216} = \frac{125}{216}$.
$P(X=1) = \binom{3}{1} (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216}$.
$P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^1 = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216}$.
$P(X=3) = \binom{3}{3} (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6})^0 = 1 \times \frac{1}{216} \times 1 = \frac{1}{216}$.
આમ,જરૂરી સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X$	$P(X)$
$0$	$\frac{125}{216}$
$1$	$\frac{75}{216}$
$2$	$\frac{15}{216}$
$3$	$\frac{1}{216}$

ચકાસણી: $\sum P(X) = \frac{125+75+15+1}{216} = \frac{216}{216} = 1$.

આપેલ છે કે $30$ બલ્બમાંથી $6$ ખામીયુક્ત છે.
$\Rightarrow$ ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના,$p = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$.
$\Rightarrow$ ખામી રહિત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
બદલી સાથે $4$ બલ્બ પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 4$ અને $p = \frac{1}{5}$.
$X$ ખામીયુક્ત બલ્બની સંભાવના $P(X = k) = ^{4}C_{k} \cdot (p)^{k} \cdot (q)^{4-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X=0) = ^{4}C_{0} \cdot (\frac{1}{5})^{0} \cdot (\frac{4}{5})^{4} = \frac{256}{625}$.
$P(X=1) = ^{4}C_{1} \cdot (\frac{1}{5})^{1} \cdot (\frac{4}{5})^{3} = \frac{256}{625}$.
$P(X=2) = ^{4}C_{2} \cdot (\frac{1}{5})^{2} \cdot (\frac{4}{5})^{2} = \frac{96}{625}$.
$P(X=3) = ^{4}C_{3} \cdot (\frac{1}{5})^{3} \cdot (\frac{4}{5})^{1} = \frac{16}{625}$.
$P(X=4) = ^{4}C_{4} \cdot (\frac{1}{5})^{4} \cdot (\frac{4}{5})^{0} = \frac{1}{625}$.

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(X)$	$\frac{256}{625}$	$\frac{256}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{16}{625}$	$\frac{1}{625}$

(A) પ્રયત્નોની શ્રેણીને બર્નુલી પ્રયત્નો કહેવામાં આવે છે જો તે નીચેની શરતો સંતોષે:
$1$. પ્રયત્નોની સંખ્યા નિશ્ચિત હોય.
$2$. દરેક પ્રયત્નમાં માત્ર બે જ પરિણામો (સફળતા અથવા નિષ્ફળતા) હોય.
$3$. દરેક પ્રયત્ન માટે સફળતાની સંભાવના અચળ રહે.
આ પ્રશ્નમાં:
$1$. પ્રયત્નોની સંખ્યા $6$ છે,જે નિશ્ચિત છે.
$2$. દરેક પ્રયત્નમાં કાં તો લાલ દડો (સફળતા) મળે અથવા કાળો દડો (નિષ્ફળતા) મળે.
$3$. કારણ કે દરેક વખતે દડો પાછો મૂકવામાં આવે છે,તેથી કુલ દડાની સંખ્યા $7 + 9 = 16$ અચળ રહે છે.
તેથી,દરેક પ્રયત્નમાં લાલ દડો મળવાની સંભાવના $p = \frac{7}{16}$ છે,જે તમામ $6$ પ્રયત્નો માટે સમાન રહે છે.
બધી શરતો સંતોષાતી હોવાથી,આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો છે.

(N/A) બર્નુલી પ્રયત્નો થવા માટે,બે શરતો સંતોષાવી જોઈએ: $(i)$ પ્રયત્નો સ્વતંત્ર હોવા જોઈએ,અને (ii) દરેક પ્રયત્ન માટે સફળતાની સંભાવના અચળ રહેવી જોઈએ.
આ પ્રયોગમાં,દડાઓને પાછા મૂક્યા વગર કાઢવામાં આવે છે.
ધારો કે $S$ એ લાલ દડો કાઢવાની ઘટના (સફળતા) છે.
પ્રથમ પ્રયત્નમાં,સફળતાની સંભાવના $P(S_1) = \frac{7}{16}$ છે.
બીજા પ્રયત્નમાં,જો પ્રથમ દડો લાલ હોય,તો સફળતાની સંભાવના $P(S_2|S_1) = \frac{6}{15}$ થાય છે. જો પ્રથમ દડો કાળો હોય,તો સંભાવના $P(S_2|S_1^c) = \frac{7}{15}$ થાય છે.
જેમ કે સફળતાની સંભાવના અગાઉના પ્રયત્નોના પરિણામ પર આધાર રાખે છે,તેથી પ્રયત્નો સ્વતંત્ર નથી અને સફળતાની સંભાવના અચળ નથી.
તેથી,આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો નથી.

(A) સિક્કાને વારંવાર ઉછાળવો એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $10$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n=10$ અને $p=\frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots, n$.
અહીં,$n=10$,$p=\frac{1}{2}$,અને $q=1-p=\frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$P(X=x) = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10-x} (\frac{1}{2})^{x} = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10}$.
બરાબર છ છાપ માટે,આપણે $x=6$ લઈએ છીએ:
$P(X=6) = ^{10}C_{6} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10!}{6! \times 4!} \times \frac{1}{1024}$.
$P(X=6) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{1}{1024} = 210 \times \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

(A) સિક્કાને વારંવાર ઉછાળવો એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $10$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં મળતી છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n=10$ અને $p=\frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, \dots, 10$.
અહીં,$n=10$,$p=\frac{1}{2}$,અને $q=1-p=\frac{1}{2}$.
તેથી,$P(X=x) = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10-x} (\frac{1}{2})^{x} = ^{10}C_{x} (\frac{1}{2})^{10}$.
આપણે $P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ શોધવાનું છે.
$P(X \geq 6) = [^{10}C_{6} + ^{10}C_{7} + ^{10}C_{8} + ^{10}C_{9} + ^{10}C_{10}] \times (\frac{1}{2})^{10}$.
સંચયની ગણતરી કરતા:
$^{10}C_{6} = 210$,$^{10}C_{7} = 120$,$^{10}C_{8} = 45$,$^{10}C_{9} = 10$,$^{10}C_{10} = 1$.
સરવાળો $= 210 + 120 + 45 + 10 + 1 = 386$.
$P(X \geq 6) = \frac{386}{1024} = \frac{193}{512}$.

(A) સિક્કાના વારંવાર ઉછાળવા એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $10$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n=10$ અને $p=\frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = ^{10}C_x (\frac{1}{2})^{10}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $P(X \leq 6) = 1 - P(X > 6) = 1 - [P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)]$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X=7) = ^{10}C_7 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{120}{1024}$.
$P(X=8) = ^{10}C_8 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{45}{1024}$.
$P(X=9) = ^{10}C_9 (\frac{1}{2})^{10} = \frac{10}{1024}$.
$P(X=10) = ^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$.
સરવાળો $= \frac{120+45+10+1}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}$.
તેથી,$P(X \leq 6) = 1 - \frac{11}{64} = \frac{53}{64}$.

(A) ધારો કે $X$ એ કાઢવામાં આવેલા $10$ ઈંડામાં ખામીયુક્ત ઈંડાની સંખ્યા છે.
કારણ કે પસંદગી બદલી સાથે (with replacement) કરવામાં આવે છે,તેથી આ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
અહીં,$n = 10$ અને ખામીયુક્ત ઈંડાની સંભાવના $p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$ છે.
તેથી,ખામી વગરના ઈંડાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછા એક ખામીયુક્ત ઈંડાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,$P(X = k) = ^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$.
તેથી,$P(X = 0) = ^{10}C_{0} (\frac{1}{10})^{0} (\frac{9}{10})^{10} = 1 \times 1 \times (\frac{9}{10})^{10} = (\frac{9}{10})^{10}$.
આમ,$P(X \geq 1) = 1 - (\frac{9}{10})^{10}$.

(A) પાસાને વારંવાર ફેંકવાની પ્રક્રિયા એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $n=6$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સફળતાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
$X$ એ $n=6$ અને $p=\frac{1}{2}$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $5$ સફળતાઓની સંભાવના શોધવી છે,એટલે કે $P(X=5)$.
$P(X=5) = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{6-5}$.
$P(X=5) = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 6 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{6}$.
$P(X=5) = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$.

(A) પાસાને વારંવાર ફેંકવાની પ્રક્રિયા એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $6$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સફળતાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$X$ એ $n = 6$ અને $p = \frac{1}{2}$ પ્રાચલો સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P(X = x) = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6}$.
આપણે ઓછામાં ઓછી $5$ સફળતાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 5) = P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
$P(X = 5) = ^{6}C_{5} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 6 \times \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.
$P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 1 \times \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.
$P(X \geq 5) = \frac{6}{64} + \frac{1}{64} = \frac{7}{64}$.

(A) પાસાને વારંવાર ફેંકવાની ક્રિયા એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $6$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સફળતાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{1}{2}$ છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6-x} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = ^{6}C_{x} \left(\frac{1}{2}\right)^{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે વધુમાં વધુ $5$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \leq 5)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \leq 5) = 1 - P(X > 5) = 1 - P(X = 6)$.
$P(X = 6) = ^{6}C_{6} \left(\frac{1}{2}\right)^{6} = 1 \cdot \frac{1}{64} = \frac{1}{64}$.
તેથી,$P(X \leq 5) = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$.

(A) પાસાની જોડીને વારંવાર ફેંકવી એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ બે પાસાને એકસાથે $4$ વખત ફેંકવાના પ્રયોગમાં ડબલેટ મળવાની સંખ્યા દર્શાવે છે.
પાસાની જોડીના એક ફેંકમાં ડબલેટ મળવાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n = 4$,$p = \frac{1}{6}$ અને $q = \frac{5}{6}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ ધરાવે છે.
$x$ સફળતાની સંભાવના $P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = 2$ માટે:
$P(X = 2) = ^{4}C_{2} \cdot (\frac{5}{6})^{4-2} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$
$P(X = 2) = 6 \cdot (\frac{5}{6})^{2} \cdot (\frac{1}{6})^{2}$
$P(X = 2) = 6 \cdot \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{36}$
$P(X = 2) = 6 \cdot \frac{25}{1296} = \frac{25}{216}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $10$ વસ્તુઓના નમૂનામાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. વસ્તુઓ મોટા જથ્થામાંથી લેવામાં આવતી હોવાથી,આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
અહીં $p = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ અને $q = 1 - p = \frac{19}{20}$ છે.
$X$ એ $n = 10$ અને $p = \frac{1}{20}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^{10}C_{x} \left(\frac{19}{20}\right)^{10-x} \left(\frac{1}{20}\right)^{x}$ છે.
આપણે $P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાનું છે.
$P(X = 0) = ^{10}C_{0} \left(\frac{19}{20}\right)^{10} \left(\frac{1}{20}\right)^{0} = \left(\frac{19}{20}\right)^{10}$.
$P(X = 1) = ^{10}C_{1} \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left(\frac{1}{20}\right)^{1} = 10 \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9}$.
$P(X \leq 1) = \left(\frac{19}{20}\right)^{10} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9} = \left(\frac{19}{20}\right)^{9} \left[ \frac{19}{20} + \frac{10}{20} \right] = \left(\frac{29}{20}\right) \cdot \left(\frac{19}{20}\right)^{9}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા પાંચ પત્તામાં કાળીના પત્તાની સંખ્યા દર્શાવે છે. પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
$52$ પત્તાના સારી રીતે ચીપેલા ડેકમાં $13$ કાળીના પત્તા હોય છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
$X$ એ $n = 5$ અને $p = \frac{1}{4}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ છે.
આપણે પાંચેય પત્તા કાળીના હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X = 5)$ છે.
$P(X = 5) = ^{5}C_{5} \left(\frac{3}{4}\right)^{5-5} \left(\frac{1}{4}\right)^{5}$.
$P(X = 5) = 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{0} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{5}$.
$P(X = 5) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{1}{1024}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખેંચાયેલા પાંચ પત્તામાં કાળીના પત્તાની સંખ્યા દર્શાવે છે. પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ પ્રયોગો બર્નુલી પ્રયોગો છે.
$52$ પત્તાના સારી રીતે ચીપેલા ડેકમાં $13$ કાળીના પત્તા હોય છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં કાળીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના $p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ છે.
કાળીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
અહીં,$n = 5$ અને $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^{n}C_{x} \cdot q^{n-x} \cdot p^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે શોધવાનું છે કે બરાબર $3$ પત્તા કાળીના હોય,એટલે કે $P(X = 3)$.
$P(X = 3) = ^{5}C_{3} \cdot (\frac{3}{4})^{5-3} \cdot (\frac{1}{4})^{3}$.
$P(X = 3) = 10 \cdot (\frac{3}{4})^{2} \cdot (\frac{1}{4})^{3}$.
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{64}$.
$P(X = 3) = 10 \cdot \frac{9}{1024} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{512}$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખેંચેલા પાંચ પત્તામાં ફુલ્લી (spade) ના પત્તાની સંખ્યા દર્શાવે છે. પત્તા ખેંચવાની પ્રક્રિયા બદલી સાથે (with replacement) હોવાથી,આ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
$52$ પત્તાના સારી રીતે ચીપેલા ડેકમાં $13$ ફુલ્લીના પત્તા હોય છે.
ફુલ્લીનું પત્તું ખેંચવાની સંભાવના,$p = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$.
ફુલ્લીનું પત્તું ન ખેંચવાની સંભાવના,$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
$X$ એ $n = 5$ અને $p = \frac{1}{4}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ છે,જ્યાં $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
આપણે કોઈ પણ પત્તું ફુલ્લી ન હોય તેની સંભાવના શોધવી છે,એટલે કે $P(X = 0)$.
$P(X = 0) = ^{5}C_{0} \cdot (\frac{3}{4})^{5-0} \cdot (\frac{1}{4})^{0}$.
$P(X = 0) = 1 \cdot (\frac{3}{4})^{5} \cdot 1 = \frac{243}{1024}$.
આમ,કોઈ પણ પત્તું ફુલ્લી ન હોય તેની સંભાવના $\frac{243}{1024}$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ $n=5$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં $150$ દિવસના ઉપયોગ પછી ફ્યુઝ થતા બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
અહીં સફળતાની સંભાવના (બલ્બ ફ્યુઝ થવો) $p=0.05$ આપેલ છે.
તેથી,નિષ્ફળતાની સંભાવના (બલ્બ ફ્યુઝ ન થવો) $q=1-p=1-0.05=0.95$ છે.
$X$ એ $n=5$ અને $p=0.05$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x=0, 1, 2, ..., 5$.
આપણે એ સંભાવના શોધવાની છે કે એક પણ બલ્બ ફ્યુઝ ન થાય,જે $P(X=0)$ ને અનુરૂપ છે.
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (0.95)^{5-0} (0.05)^{0}$.
કારણ કે $^{5}C_{0} = 1$ અને $(0.05)^{0} = 1$,તેથી:
$P(X=0) = 1 \times (0.95)^{5} \times 1 = (0.95)^{5}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $5$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં $150$ દિવસના ઉપયોગ પછી ફ્યુઝ થઈ જતા બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
અહીં $p = 0.05$ આપેલ છે.
$\therefore q = 1 - p = 1 - 0.05 = 0.95$.
$X$ એ $n = 5$ અને $p = 0.05$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ અનુસરે છે.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$,જ્યાં $x = 0, 1, 2, ..., 5$.
$= ^{5}C_{x} (0.95)^{5-x} \cdot (0.05)^{x}$.
$P(\text{એકથી વધુ નહીં}) = P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
$= ^{5}C_{0} \times (0.95)^{5} \cdot (0.05)^{0} + ^{5}C_{1} (0.95)^{4} \cdot (0.05)^{1}$.
$= 1 \times (0.95)^{5} + 5 \times (0.95)^{4} \times 0.05$.
$= (0.95)^{5} + 0.25 \times (0.95)^{4}$.
$= (0.95)^{4} \times [0.95 + 0.25]$.
$= (0.95)^{4} \times 1.2$.

(B) ધારો કે $X$ એ $150$ દિવસ પછી ફ્યુઝ થતા બલ્બની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = 0.05$.
અહીં,$q = 1 - p = 0.95$.
સંભાવના વિધેય $P(X = x) = ^nC_x q^{n-x} p^x = ^5C_x (0.95)^{5-x} (0.05)^x$ છે.
આપણે એક કરતાં વધુ બલ્બ ફ્યુઝ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X > 1)$.
$P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
$P(X = 0) = ^5C_0 (0.95)^5 (0.05)^0 = (0.95)^5$.
$P(X = 1) = ^5C_1 (0.95)^4 (0.05)^1 = 5 \times (0.95)^4 \times 0.05 = 0.25 \times (0.95)^4$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - [(0.95)^5 + 0.25(0.95)^4]$.
સાદું રૂપ આપતા,$P(X > 1) = 1 - (0.95)^4 [0.95 + 0.25] = 1 - 1.2(0.95)^4$.

(A) ધારો કે $X$ એ $n=5$ પ્રયત્નોના પ્રયોગમાં $150$ દિવસના ઉપયોગ પછી ફ્યુઝ થતા બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ બર્નુલી પ્રયત્નો છે.
આપેલ છે કે બલ્બ ફ્યુઝ થવાની સંભાવના $p=0.05$ છે.
તેથી,બલ્બ ફ્યુઝ ન થવાની સંભાવના $q=1-p=1-0.05=0.95$ છે.
$X$ એ $n=5$ અને $p=0.05$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x=0, 1, 2, 3, 4, 5$.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક બલ્બ ફ્યુઝ થાય તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 1)$ છે.
$P(X \geq 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X=0)$.
$x=0$ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = ^{5}C_{0} (0.95)^{5-0} (0.05)^{0} = 1 \times (0.95)^{5} \times 1 = (0.95)^{5}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - (0.95)^{5}$.

(A) ધારો કે $X$ એ કાઢવામાં આવેલા $4$ દડાઓમાંથી $0$ અંક ધરાવતા દડાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે.
દડાઓ પુરવણી સહિત કાઢવામાં આવતા હોવાથી,આ પ્રયોગો બર્નુલી પ્રયોગો છે.
$X$ એ $n=4$ અને સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{10}$ ($0$ અંક વાળો દડો મળવો) સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
$x$ સફળતાની સંભાવના $P(X=x) = ^{n}C_{x} \cdot p^{x} \cdot q^{n-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે એ સંભાવના શોધવી છે કે એક પણ દડા પર $0$ અંક ન હોય,એટલે કે $P(X=0)$.
$P(X=0) = ^{4}C_{0} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{4-0}$.
$P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot \left(\frac{9}{10}\right)^{4} = \left(\frac{9}{10}\right)^{4}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $20$ પ્રશ્નોમાંથી સાચા જવાબ આપેલા પ્રશ્નોની સંખ્યા દર્શાવે છે. સિક્કાના વારંવાર ઉછાળા એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. કારણ કે વિદ્યાર્થી સિક્કાના ઉછાળાના આધારે રેન્ડમલી જવાબ આપે છે,તેથી કોઈપણ પ્રશ્નનો સાચો જવાબ આપવાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે.
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$X$ એ $n = 20$ અને $p = \frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$\therefore P(X = x) = {}^{20}C_{x} (\frac{1}{2})^{x} (\frac{1}{2})^{20-x} = {}^{20}C_{x} (\frac{1}{2})^{20}$.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની જરૂર છે કે વિદ્યાર્થી ઓછામાં ઓછા $12$ પ્રશ્નોના સાચા જવાબ આપે,જે $P(X \geq 12)$ છે.
$P(X \geq 12) = P(X = 12) + P(X = 13) + \dots + P(X = 20)$.
$P(X \geq 12) = \sum_{x=12}^{20} {}^{20}C_{x} (\frac{1}{2})^{20} = \frac{1}{2^{20}} \sum_{x=12}^{20} {}^{20}C_{x}$.

(C) $X$ એ એક યાદચ્છિક ચલ છે જે દ્વિપદી વિતરણ $B(6, 1/2)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$n = 6$ અને $p = 1/2$ છે.
તેથી,$q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^nC_x q^{n-x} p^x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $P(X=x) = ^6C_x (1/2)^{6-x} (1/2)^x = ^6C_x (1/2)^6$ મળે છે.
કારણ કે $(1/2)^6$ અચળ છે,$P(X=x)$ ત્યારે મહત્તમ થશે જ્યારે $^6C_x$ મહત્તમ હોય.
$^6C_x$ ની કિંમતોની ગણતરી:
$^6C_0 = ^6C_6 = 6! / (0! 6!) = 1$
$^6C_1 = ^6C_5 = 6! / (1! 5!) = 6$
$^6C_2 = ^6C_4 = 6! / (2! 4!) = 15$
$^6C_3 = 6! / (3! 3!) = 20$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,$^6C_3 = 20$ એ મહત્તમ કિંમત છે.
તેથી,$P(X=3)$ એ મહત્તમ સંભાવના છે,જે દર્શાવે છે કે $X=3$ એ સૌથી વધુ સંભવિત પરિણામ છે.

(A) બહુવિકલ્પ પ્રશ્નોમાં સાચા જવાબોનું વારંવાર અનુમાન લગાવવું એ બર્નુલી પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ $n=5$ પ્રશ્નોના સમૂહમાં અનુમાન દ્વારા મેળવેલા સાચા જવાબોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સાચો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,ખોટા જવાબની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$X$ એ $n=5$ અને $p=\frac{1}{3}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
સંભાવના માસ ફંક્શન $P(X=x) = ^{5}C_{x} \cdot (\frac{1}{3})^{x} \cdot (\frac{2}{3})^{5-x}$ છે.
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5)$ છે.
$P(X=4) = ^{5}C_{4} \cdot (\frac{1}{3})^{4} \cdot (\frac{2}{3})^{1} = 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X=5) = ^{5}C_{5} \cdot (\frac{1}{3})^{5} \cdot (\frac{2}{3})^{0} = 1 \cdot \frac{1}{243} \cdot 1 = \frac{1}{243}$.
આમ,$P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $50$ લોટરીમાં જીતેલા ઇનામોની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો છે. સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n = 50$ અને $p = \frac{1}{100}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x} = ^{50}C_{x} (\frac{99}{100})^{50-x} \cdot (\frac{1}{100})^{x}$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછી એક વાર જીતવું}) = P(X \geq 1)$.
$= 1 - P(X < 1)$.
$= 1 - P(X = 0)$.
$= 1 - ^{50}C_{0} (\frac{99}{100})^{50}$.
$= 1 - 1 \cdot (\frac{99}{100})^{50}$.
$= 1 - (\frac{99}{100})^{50}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $50$ લોટરીમાં જીતેલા ઇનામોની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો છે. સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n=50$ અને $p=\frac{1}{100}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
સંભાવના વિધેય $P(X=x) = ^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x} = ^{50}C_{x} \left(\frac{1}{100}\right)^{x} \left(\frac{99}{100}\right)^{50-x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે બરાબર એક વાર જીતવાની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X=1)$ છે.
$P(X=1) = ^{50}C_{1} \left(\frac{1}{100}\right)^{1} \left(\frac{99}{100}\right)^{50-1}$.
$P(X=1) = 50 \times \frac{1}{100} \times \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.
$P(X=1) = \frac{50}{100} \times \left(\frac{99}{100}\right)^{49} = \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $50$ લોટરીમાં જીતેલા ઇનામોની સંખ્યા દર્શાવે છે. આ પ્રયત્નો બર્નુલી પ્રયત્નો છે. સ્પષ્ટપણે,$X$ એ $n = 50$ અને $p = \frac{1}{100}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ ધરાવે છે.
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$.
$\therefore P(X = x) = ^{n}C_{x} q^{n-x} p^{x} = ^{50}C_{x} \left(\frac{99}{100}\right)^{50-x} \left(\frac{1}{100}\right)^{x}$.
$P(\text{ઓછામાં ઓછી બે વાર}) = P(X \geq 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
$P(X = 0) = ^{50}C_{0} \left(\frac{99}{100}\right)^{50} \left(\frac{1}{100}\right)^{0} = \left(\frac{99}{100}\right)^{50}$.
$P(X = 1) = ^{50}C_{1} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left(\frac{1}{100}\right)^{1} = 50 \cdot \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.
$P(X \geq 2) = 1 - \left[ \left(\frac{99}{100}\right)^{50} + \frac{1}{2} \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \right]$.
$= 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99}{100} + \frac{1}{2} \right] = 1 - \left(\frac{99}{100}\right)^{49} \left[ \frac{99 + 50}{100} \right] = 1 - \left(\frac{149}{100}\right) \left(\frac{99}{100}\right)^{49}$.