Binomial distribution Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $X$ એ સફળ હિટની સંખ્યા છે,જ્યાં $X \sim B(n, p)$ અને $p = 0.75 = \frac{3}{4}$ તથા $q = 1 - p = 0.25 = \frac{1}{4}$ છે.
લક્ષ્યને નષ્ટ કરવા માટે ઓછામાં ઓછા $3$ સફળ હિટની જરૂર છે,તેથી $P(X \geq 3) \geq 0.95$.
આ $1 - P(X < 3) \geq 0.95$ ને સમાન છે,અથવા $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \leq 0.05$.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} (\frac{3}{4})^r (\frac{1}{4})^{n-r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: ${}^{n}C_{0} (\frac{1}{4})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4}) (\frac{1}{4})^{n-1} + {}^{n}C_{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^{n-2} \leq 0.05$.
$\frac{1}{4^n} [1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2}] \leq 0.05$.
$1 + 3n + 4.5n^2 - 4.5n \leq 0.05 \times 4^n$.
$4.5n^2 - 1.5n + 1 \leq 0.05 \times 4^n$.
$n=5$ માટે: $4.5(25) - 1.5(5) + 1 = 112.5 - 7.5 + 1 = 106 \leq 0.05(1024) = 51.2$ (ખોટું).
$n=6$ માટે: $4.5(36) - 1.5(6) + 1 = 162 - 9 + 1 = 154 \leq 0.05(4096) = 204.8$ (સાચું).
આમ,જરૂરી મિસાઇલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(D) બિસ્મથનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $(T_{1/2})$ $= 5 \text{ દિવસ}$ છે.
શરૂઆતનું દળ $(N_0)$ $= 1000 \text{ mg}$.
કુલ સમય $(t)$ $= 30 \text{ દિવસ}$.
અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $(n)$ $= \frac{t}{T_{1/2}} = \frac{30}{5} = 6$.
બાકી રહેલું દળ $(N)$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $N = N_0 \times (\frac{1}{2})^n$ છે.
$N = 1000 \times (\frac{1}{2})^6$.
$N = 1000 \times \frac{1}{64}$.
$N = 15.625 \text{ mg}$.

(C) ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં દસ (ten) ખેંચવાની સંભાવના છે. $52$ પત્તાના પેકમાં $4$ દસ હોવાથી,$p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
દસ ન ખેંચવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,દસની સંખ્યા $X$ એ $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E(X) = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,દસની સંખ્યાનો મધ્યક $E(X) = 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$ છે.

(D) કુલ સફરજનની સંખ્યા $N = 100$ છે. ખામીયુક્ત સફરજનની સંખ્યા $M = 10$ છે અને સારી સફરજનની સંખ્યા $N - M = 90$ છે.
આપણે $n = 6$ સફરજનનો નમૂનો પસંદ કરીએ છીએ. આપણે $k = 3$ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના શોધવી છે.
આ હાઇપરજ્યોમેટ્રિક વિતરણને અનુસરે છે:
$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k} \binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
બાયનોમિયલ અંદાજ $(p = 0.1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 3) = \binom{6}{3} (0.1)^3 (0.9)^3 = 20 \times 0.001 \times 0.729 = 0.01458$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે આગળનું ડગલું સફળતા $(p = 0.4)$ છે અને પાછળનું ડગલું નિષ્ફળતા $(q = 0.6)$ છે.
$11$ ડગલાં પછી શરૂઆતના બિંદુથી એક ડગલું દૂર રહેવા માટે,આગળના ડગલાં $(n_f)$ અને પાછળના ડગલાં $(n_b)$ માટે $n_f - n_b = 1$ અથવા $n_b - n_f = 1$ હોવું જોઈએ.
$n_f + n_b = 11$ હોવાથી,શક્ય કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $n_f = 6$ અને $n_b = 5$.
કિસ્સો $2$: $n_f = 5$ અને $n_b = 6$.
જરૂરી સંભાવના $P = { }^{11} C_6 p^6 q^5 + { }^{11} C_5 p^5 q^6$ છે.
${ }^{11} C_6 = { }^{11} C_5$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = { }^{11} C_6 (p^6 q^5 + p^5 q^6) = { }^{11} C_6 p^5 q^5 (p + q)$.
$p + q = 0.4 + 0.6 = 1$ આપેલ છે,તેથી:
$P = { }^{11} C_6 (0.4)^5 (0.6)^5 (1) = { }^{11} C_6 (0.24)^5$.

(B) ધારો કે $p$ એ બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ એકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના છે.
ધારો કે યાદચ્છિક ચલ $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n = 5$ છે.
આપેલ છે કે $P(X = 3) = 2 P(X = 2)$.
દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર $P(X = k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^5 C_3 p^3 q^2 = 2 \times { }^5 C_2 p^2 q^3$.
કારણ કે ${ }^5 C_3 = 10$ અને ${ }^5 C_2 = 10$,તેથી $10 p^3 q^2 = 20 p^2 q^3$.
બંને બાજુને $10 p^2 q^2$ વડે ભાગતા (ધારીને કે $p, q \neq 0$),આપણને $p = 2q$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 2q$ મૂકતા $3q = 1$ મળે,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
$5$ ફેંકમાં કોઈ પણ બેકી સંખ્યા ન મળે તેની સંભાવના $P(X = 0) = { }^5 C_0 p^0 q^5 = q^5 = (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{243}$ છે.
$5$ ફેંકના $6804$ સેટમાં,કોઈ પણ બેકી સંખ્યા ન મળે તેની અપેક્ષિત સંખ્યા $6804 \times \frac{1}{243} = 28$ છે.

(C) ધારો કે $X$ એ ઉમેદવાર ઉકેલવામાં અસમર્થ હોય તેવી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે. સમસ્યા ઉકેલવામાં અસમર્થ હોવાની સંભાવના $p = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$ છે.
સમસ્યા ઉકેલી શકવાની સંભાવના $q = \frac{4}{5}$ છે.
અહીં $n = 50$ સમસ્યાઓ છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે $2$ કરતા ઓછી સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં અસમર્થ છે,એટલે કે $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^{50}C_{0} \left(\frac{1}{5}\right)^{0} \left(\frac{4}{5}\right)^{50} = \left(\frac{4}{5}\right)^{50}$.
$P(X = 1) = {}^{50}C_{1} \left(\frac{1}{5}\right)^{1} \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 50 \times \frac{1}{5} \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = 10 \times \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$.
$P(X < 2) = \left(\frac{4}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} + 10 \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4}{5} + 10\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \left(\frac{4 + 50}{5}\right) \left(\frac{4}{5}\right)^{49} = \frac{54}{5} \left(\frac{4}{5}\right)^{49}$.

(A) ધારો કે $X$ એ બે ખેંચાયેલા પત્તાંમાં રાણીઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. બદલી સાથે ખેંચતા,દરેક પ્રયત્ન સ્વતંત્ર છે.
એક પ્રયત્નમાં રાણી મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાણી ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ મુજબ:
$P(X = 0) = ^2C_0 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X = 1) = ^2C_1 \times (\frac{1}{13}) \times (\frac{12}{13}) = \frac{24}{169}$
$P(X = 2) = ^2C_2 \times (\frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને $p = 0.1$ (અથવા $\frac{1}{10}$),તેથી $q = 1 - p = 0.9$ (અથવા $\frac{9}{10}$).
આપણે $P(X \ge 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ શોધવાની જરૂર છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=3) = {}^5C_3 \cdot (\frac{1}{10})^3 \cdot (\frac{9}{10})^2 = 10 \cdot \frac{1}{1000} \cdot \frac{81}{100} = \frac{810}{100000} = 0.00810$
$P(X=4) = {}^5C_4 \cdot (\frac{1}{10})^4 \cdot (\frac{9}{10})^1 = 5 \cdot \frac{1}{10000} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{100000} = 0.00045$
$P(X=5) = {}^5C_5 \cdot (\frac{1}{10})^5 \cdot (\frac{9}{10})^0 = 1 \cdot \frac{1}{100000} \cdot 1 = \frac{1}{100000} = 0.00001$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો: $0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856$.

(B) ધારો કે ખામીયુક્ત બલ્બ પસંદ કરવાની સંભાવના $p$ છે. આપેલ છે $p = \frac{10}{100} = 0.1$ અને $q = 1 - p = 0.9$.
આપણે $n = 5$ બલ્બ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે.
આપણે $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ શોધવાની જરૂર છે.
દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 0) = {}^5C_0 (0.1)^0 (0.9)^5 = 1 \times 1 \times (0.9)^5 = 0.59049$.
$P(X = 1) = {}^5C_1 (0.1)^1 (0.9)^4 = 5 \times 0.1 \times 0.6561 = 0.5 \times 0.6561 = 0.32805$.
તેથી,$P(X \le 1) = 0.59049 + 0.32805 = 0.91854$.

(D) ધારો કે $p$ એ કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 25\% = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $q$ એ કેસ ન ઉકેલાવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = \frac{3}{4}$.
$n = 6$ પ્રયત્નો માટે,આપણે દ્વિપદી વિતરણ સૂત્ર $P(X=r) = {^nC_r} p^r q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપણને ઓછામાં ઓછા $5$ કેસ ઉકેલાવાની સંભાવના જોઈએ છે,જે $P(X \ge 5) = P(X=5) + P(X=6)$ છે.
$P(X=5) = {^6C_5} \left(\frac{1}{4}\right)^5 \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 6 \times \frac{1}{1024} \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4096}$.
$P(X=6) = {^6C_6} \left(\frac{1}{4}\right)^6 \left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{4096} \times 1 = \frac{1}{4096}$.
તેથી,$P(X \ge 5) = \frac{18}{4096} + \frac{1}{4096} = \frac{19}{4096}$.

(C) ધારો કે કુલ પ્રશ્નોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
દરેક પ્રશ્નમાં $3$ વિકલ્પો છે અને માત્ર $1$ સાચો છે,તેથી સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ અને નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$.
તેથી,$P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(A) ધારો કે $X$ એ $4$ પાસાઓના એક ફેંકમાં $3$ અથવા $5$ દર્શાવતા પાસાઓની સંખ્યા છે. એક પાસા પર $3$ અથવા $5$ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$3$ અથવા $5$ ન મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n=4, p=1/3)$ ને અનુસરે છે.
ઓછામાં ઓછા બે પાસા પર $3$ અથવા $5$ આવે તેની સંભાવના $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ છે.
$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X=1) = { }^4 C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$.
આ પ્રયોગ $27$ વખત કરવામાં આવે છે. તેથી અપેક્ષિત સંખ્યા $E = n \times P = 27 \times \frac{11}{27} = 11$ છે.

(C) $10$ થી $99$ સુધીની બે અંકની કુલ સંખ્યાઓ $99 - 10 + 1 = 90$ છે.
ઘટના $E$ ત્યારે ઉદભવે છે જ્યારે બે અંકોનો ગુણાકાર $18$ થાય. શક્ય સંખ્યાઓ $\{29, 36, 63, 92\}$ છે.
તેથી,એક પ્રયત્નમાં ઘટના $E$ ઉદભવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{90}$ છે.
ઘટના $E$ ન ઉદભવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{4}{90} = \frac{86}{90}$ છે.
અહીં $n = 4$ સંખ્યાઓ પુનરાવર્તન સાથે પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી આપણે દ્વિપદી વિતરણ $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે ઘટના $E$ ઓછામાં ઓછી $3$ વાર ઉદભવે તેની સંભાવના શોધવાની છે,એટલે કે $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$.
$P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right)^1 = 4 \times \frac{4^3}{90^3} \times \frac{86}{90} = \frac{22016}{90^4}$.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} \left(\frac{4}{90}\right)^4 \left(\frac{86}{90}\right)^0 = 1 \times \frac{4^4}{90^4} \times 1 = \frac{256}{90^4}$.
$P(X \geq 3) = \frac{22016 + 256}{90^4} = \frac{22272}{90^4}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $P(X \geq 3) = 4 \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right) + \left(\frac{4}{90}\right)^4 = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(4 \times \frac{86}{90} + \frac{4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{344 + 4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{348}{90}\right) = \frac{348}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \times \frac{4}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \left(\frac{4}{90}\right)^4$.

(A) ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$p$ એ બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના છે:
$p = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$
બલ્બ મોટા જથ્થામાંથી પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,આપણે દ્વિપદી વિતરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$P(X = r) = { }^5 C_r \left(\frac{1}{10}\right)^r \left(\frac{9}{10}\right)^{5-r}, r = 0, 1, \dots, 5$
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે દુકાનને વધુમાં વધુ એક ખામીયુક્ત બલ્બ મળે,એટલે કે $P(X \leq 1)$:
$P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$
$P(X = 0) = { }^5 C_0 \left(\frac{1}{10}\right)^0 \left(\frac{9}{10}\right)^5 = \left(\frac{9}{10}\right)^5$
$P(X = 1) = { }^5 C_1 \left(\frac{1}{10}\right)^1 \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 5 \times \frac{1}{10} \times \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4$
$P(X \leq 1) = \left(\frac{9}{10}\right)^5 + \frac{1}{2} \left(\frac{9}{10}\right)^4 = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9}{10} + \frac{1}{2} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left[ \frac{9+5}{10} \right] = \left(\frac{9}{10}\right)^4 \left( \frac{14}{10} \right) = \frac{7}{5} \left(\frac{9}{10}\right)^4$

(C) ધારો કે $n = 5$ એ ખરીદેલી લોટરીની ટિકિટોની સંખ્યા છે.
ધારો કે $p$ એ એક ટિકિટ પર ઇનામ જીતવાની સંભાવના છે,તેથી $p = \frac{1}{4}$.
ધારો કે $q$ એ એક ટિકિટ પર ઇનામ ન જીતવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
આપણે ઓછામાં ઓછું એક ઇનામ જીતવાની સંભાવના શોધવી છે,જે $P(X \ge 1)$ છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
$5$ પ્રયત્નોમાં શૂન્ય ઇનામ જીતવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = \binom{5}{0} (\frac{1}{4})^0 (\frac{3}{4})^5 = 1 \times 1 \times \frac{243}{1024} = \frac{243}{1024}$.
તેથી,$P(X \ge 1) = 1 - \frac{243}{1024} = \frac{1024 - 243}{1024} = \frac{781}{1024}$.

(D) અહીં $5$ પ્રશ્નો છે અને દરેક પ્રશ્નના $3$ વિકલ્પો છે જેમાંથી એક સાચો છે.
કોઈપણ પ્રશ્ન માટે સાચો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{1}{3}$ છે.
ખોટો જવાબ મેળવવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક સાચો જવાબ મળે તેની સંભાવના શોધવાની છે.
$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સાચો}) = 1 - P(\text{એક પણ સાચો નહીં})$.
$5$ પ્રશ્નોમાંથી એક પણ પ્રશ્નનો જવાબ સાચો ન હોય તેની સંભાવના $P(X=0) = {}^{5}C_{0} \times p^{0} \times q^{5}$ દ્વારા મળે છે.
$P(X=0) = 1 \times 1 \times (\frac{2}{3})^{5} = \frac{32}{243}$.
તેથી,$P(\text{ઓછામાં ઓછો એક સાચો}) = 1 - \frac{32}{243} = \frac{243 - 32}{243} = \frac{211}{243}$.

(D) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 5$ અને સફળતાની સંભાવના $p = 0.2$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$ છે.
આપણે બરાબર $x = 4$ દર્દીઓ બચી જાય તેની સંભાવના શોધવાની છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X = x) = {}^{n}C_{x} p^{x} q^{n-x}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $P(X = 4) = {}^{5}C_{4} (0.2)^{4} (0.8)^{5-4}$.
$P(X = 4) = 5 \times (0.0016) \times (0.8)$.
$P(X = 4) = 5 \times 0.00128 = 0.0064$.

(B) એક પ્રયોગ નિષ્ફળ જાય તેના કરતા બમણી વાર સફળ થાય છે.
ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $p = 2q$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$2q + q = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3q = 1$,તેથી $q = \frac{1}{3}$ અને $p = \frac{2}{3}$.
અહીં $n = 6$ પ્રયત્નો છે. ધારો કે $X$ એ સફળતાની સંખ્યા છે,જ્યાં $X \sim B(n, p)$.
જરૂરી સંભાવના $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = {^nC_k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = {^6C_4} (\frac{2}{3})^4 (\frac{1}{3})^2 = 15 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{9} = \frac{240}{729}$.
$P(X = 5) = {^6C_5} (\frac{2}{3})^5 (\frac{1}{3})^1 = 6 \times \frac{32}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{192}{729}$.
$P(X = 6) = {^6C_6} (\frac{2}{3})^6 (\frac{1}{3})^0 = 1 \times \frac{64}{729} \times 1 = \frac{64}{729}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \geq 4) = \frac{240 + 192 + 64}{729} = \frac{496}{729}$.

(C) પાસા પરના શક્ય પરિણામો ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ છે.
તેમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યાઓ ${1, 4}$ છે.
તેથી,એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ છે.
એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
$n = 4$ સ્વતંત્ર ફેંક માટે,ચારમાંથી એક પણ ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા ન મળવાની સંભાવના $q^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ છે.
ઓછામાં ઓછા એક ફેંકમાં પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{પૂર્ણ વર્ગ ન મળે}) = 1 - \frac{16}{81} = \frac{65}{81}$ છે.

(B) ધારો કે વ્યક્તિમાં રોગપ્રતિકારક શક્તિ વિકસવાની સંભાવના $p$ છે,તેથી $p = 0.8$ છે.
$8$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓમાં રોગપ્રતિકારક શક્તિ વિકસવાની ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બધા $8$ લોકોમાં રોગપ્રતિકારક શક્તિ વિકસે તેની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓના ગુણાકાર જેટલી થાય.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $p \times p \times p \times p \times p \times p \times p \times p = (0.8)^8$ છે.

(A) આ દ્વિપદી વિતરણનો પ્રશ્ન છે જ્યાં $n = 10$ અને સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{2}$ છે (કારણ કે તે "True"/"False" કસોટી છે). નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે $P(X \geq 7) = P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)$ શોધવાની જરૂર છે.
દ્વિપદી સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ છે.
$P(X=7) = {}^{10}C_{7} (\frac{1}{2})^{7} (\frac{1}{2})^{3} = \frac{120}{1024}$.
$P(X=8) = {}^{10}C_{8} (\frac{1}{2})^{8} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{45}{1024}$.
$P(X=9) = {}^{10}C_{9} (\frac{1}{2})^{9} (\frac{1}{2})^{1} = \frac{10}{1024}$.
$P(X=10) = {}^{10}C_{10} (\frac{1}{2})^{10} (\frac{1}{2})^{0} = \frac{1}{1024}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \geq 7) = \frac{120 + 45 + 10 + 1}{1024} = \frac{176}{1024} = \frac{11}{64}$.

(B) ધારો કે સિક્કાને $n$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. $n$ વખત ઉછાળતા $k$ વખત છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $P(X=k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
આપેલ છે કે $P(X=5) = P(X=7)$,તેથી $\binom{n}{5} (\frac{1}{2})^n = \binom{n}{7} (\frac{1}{2})^n$.
આનો અર્થ એ છે કે $\binom{n}{5} = \binom{n}{7}$.
ગુણધર્મ $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જો $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ હોય,તો કાં તો $a=b$ અથવા $a+b=n$ થાય.
અહીં $5 \neq 7$ હોવાથી,$n = 5+7 = 12$ મળે.
હવે,$3$ છાપ મળવાની સંભાવના શોધવા માટે,$P(X=3) = \binom{12}{3} (\frac{1}{2})^{12}$.
ગણતરી કરતા $\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
તેથી,$P(X=3) = 220 \times \frac{1}{2^{12}} = \frac{220}{4096} = \frac{55}{1024} = \frac{55}{2^{10}}$.

(D) દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(n, p)$ માટે,સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}$ શોધવો છે.
$P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$
$P(X=k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \cdot \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$
$= \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \cdot \frac{(k-1)!}{k!} \cdot \frac{p^k}{p^{k-1}} \cdot \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$
$= (n-k+1) \cdot \frac{1}{k} \cdot p \cdot \frac{1}{q}$
$= \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n=4$ અને $q=1-p$ છે.
આપેલ છે કે $P(X=3) = 3P(X=4)$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\binom{4}{3} p^3 q^1 = 3 \binom{4}{4} p^4 q^0$
$4 p^3 q = 3(1) p^4$
$p \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુને $p^3$ વડે ભાગતા:
$4q = 3p$
$q = 1-p$ મૂકતા:
$4(1-p) = 3p$
$4 - 4p = 3p$
$4 = 7p$
$p = \frac{4}{7}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 99$ અને $p = 0.5$ છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે,સંભાવના $P[X=r]$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે $r$ એ બહુલક (mode) હોય.
જો $(n+1)p$ પૂર્ણાંક હોય,તો $r = (n+1)p$ અને $r = (n+1)p - 1$ પર બે બહુલક મળે છે.
જો $(n+1)p$ પૂર્ણાંક ન હોય,તો $r = \lfloor (n+1)p \rfloor$ પર એક અનન્ય બહુલક મળે છે.
અહીં,$(n+1)p = (99+1) \times 0.5 = 100 \times 0.5 = 50$ છે.
$50$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,સંભાવના $P[X=r]$ એ $r = 50$ અને $r = 50 - 1 = 49$ પર મહત્તમ થાય છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,$49$ એ $r$ ની એવી કિંમત છે જ્યાં સંભાવના મહત્તમ છે.

(C) દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ માટે સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ છે.
અહીં $n=10$ આપેલ છે,તેથી $P(X=k) = \binom{10}{k} p^k (1-p)^{10-k}$.
આપેલ છે કે $5 P(X=0) = P(X=1)$:
$5 \binom{10}{0} p^0 (1-p)^{10} = \binom{10}{1} p^1 (1-p)^9$
$5(1-p) = 10p$
$5 - 5p = 10p \implies 15p = 5 \implies p = \frac{1}{3}$.
તેથી,$q = 1-p = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=5)}{P(X=6)}$ શોધીએ:
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{\binom{10}{5} p^5 q^5}{\binom{10}{6} p^6 q^4} = \frac{\binom{10}{5}}{\binom{10}{6}} \cdot \frac{q}{p}$
$\binom{10}{5} = 252$ અને $\binom{10}{6} = 210$.
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{252}{210} \cdot \frac{2/3}{1/3} = \frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{12}{5}$.

(C) $00$ થી $99$ સુધીની કુલ બે-અંકની સંખ્યાઓ $100$ છે.
ધારો કે $X$ એ $d_1 d_2$ અંકો દ્વારા બનતી સંખ્યા છે. ગુણાકાર $d_1 \times d_2 = 24$.
શક્ય જોડીઓ $(d_1, d_2)$ એ $(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3)$ છે.
આમ,આવી $4$ સંખ્યાઓ છે: $38, 46, 64, 83$.
એક પ્રયત્નમાં ઘટના $E$ બનવાની સંભાવના $p = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ છે.
ઘટના $E$ ન બનવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ છે.
આપણે $n = 4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરીએ છીએ. ધારો કે $X$ એ ઘટના $E$ બનવાની સંખ્યા છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(4, \frac{1}{25})$ ને અનુસરે છે.
આપણે $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 q^1 = 4 \times (\frac{1}{25})^3 \times (\frac{24}{25}) = \frac{96}{(25)^4}$.
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{25})^4 = \frac{1}{(25)^4}$.
$P(X \ge 3) = \frac{96}{(25)^4} + \frac{1}{(25)^4} = \frac{97}{(25)^4}$.

(C) ધારો કે $X$ એ કસોટીમાં ટકી રહેલા ઘટકોની સંખ્યા છે. અહીં,$n = 4$ અને $p = \frac{2}{3}$ છે.
તેથી $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ થાય.
$X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે,તેથી $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
આપણે વધુમાં વધુ $2$ ઘટકો ટકી રહે તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ છે.
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{81} = \frac{1}{81}$.
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^3 = 4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \le 2) = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} + \frac{24}{81} = \frac{33}{81} = \frac{33}{3^4}$.

(A) ધારો કે $n = 100$ એ ઉછાળવાની સંખ્યા છે અને $p = q = \frac{1}{2}$ એ એક ઉછાળમાં છાપ કે કાંટો મળવાની સંભાવના છે.
ચોક્કસ $r$ છાપ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી વિતરણ દ્વારા મળે છે: $P(X = r) = \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$.
આપણે છાપ બેકી સંખ્યામાં મળે તેની સંભાવના શોધવી છે,જે $S = \sum_{r \text{ is even}} \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $(p+q)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} p^r q^{n-r} = 1$ અને $(q-p)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-p)^r q^{n-r}$.
$p=q=\frac{1}{2}$ માટે,$n \ge 1$ હોવાથી $(q-p)^n = 0^n = 0$ થાય.
આમ,$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1$ અને $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-1)^r (\frac{1}{2})^n = 0$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \sum_{r \text{ is even}} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1 + 0 = 1$.
તેથી,બેકી સંખ્યામાં છાપ મળવાની સંભાવના $S = \frac{1}{2}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x \sim B\left(n=6, p=\frac{1}{2}\right)$.
સંભાવના ઘટત્વ વિધેય $P(x=k) = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{6-k} = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \binom{6}{k} \frac{1}{64}$ છે.
આપણે $P(|x-2| \leqslant 1)$ શોધવાનું છે.
$|x-2| \leqslant 1$ નો અર્થ છે $-1 \leqslant x-2 \leqslant 1$,જેનું સાદું રૂપ $1 \leqslant x \leqslant 3$ થાય છે.
તેથી,આપણે $P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(x=1) = \binom{6}{1} \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.
$P(x=2) = \binom{6}{2} \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.
$P(x=3) = \binom{6}{3} \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(1 \leqslant x \leqslant 3) = \frac{6+15+20}{64} = \frac{41}{64}$.

(A) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સફળતા એટલે બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા મળવી. સાનુકૂળ પરિણામો $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ છે,જે કુલ $6$ પરિણામો છે.
તેથી,સફળતાની સંભાવના $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપણે દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં $n = 4$ અને $k = 2$ છે.
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2}$.
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{36}\right) \times \left(\frac{25}{36}\right)$.
$P(X = 2) = 6 \times \frac{25}{1296} = \frac{25}{216}$.

(A) ધારો કે $p$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો હોય તેની સંભાવના છે અને $q$ એ વિદ્યાર્થી તરવૈયો ન હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{5}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
અહીં $n = 5$ વિદ્યાર્થીઓ છે અને આપણે $x = 4$ તરવૈયા હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = x) = ^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 4) = ^5C_4 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot (\frac{1}{5})^{5-4}$
$P(X = 4) = 5 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot \frac{1}{5}$

(B) ધારો કે $p$ એ વ્યક્તિ ખેલાડી હોય તેની સંભાવના છે અને $q$ એ વ્યક્તિ ખેલાડી ન હોય તેની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $q = \frac{1}{6}$,તેથી $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
પરિવારમાં $n = 6$ સભ્યો છે. આપણે $x = 5$ સભ્યો ખેલાડી હોય તેની સંભાવના શોધવી છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્ર $P(X = x) = ^nC_x \times p^x \times q^{n-x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X = 5) = ^6C_5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \left(\frac{1}{6}\right)^{6-5}$
$P(X = 5) = 6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$
આમ,સંભાવના $6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$ છે.

(A) ધારો કે $p$ એ એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ બનવાની સંભાવના છે,તેથી $p = 0.4$.
ધારો કે $q$ એ એક પ્રયત્નમાં ઘટના $A$ ન બનવાની સંભાવના છે,તેથી $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.
આપણે $n = 3$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો કરીએ છીએ.
ઘટના $A$ ઓછામાં ઓછી એક વાર બને તેની સંભાવના $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિપદી વિતરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P(X = 0) = ^nC_0 \times p^0 \times q^n$.
કિંમતો મૂકતા,$P(X = 0) = 1 \times (0.4)^0 \times (0.6)^3 = 1 \times 1 \times 0.216 = 0.216$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - 0.216 = 0.784$.

(C) ધારો કે $X$ એ $n = 10$ પ્રયત્નોમાં પસંદ કરેલા ખામીયુક્ત બલ્બની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$n = 10$ અને બલ્બ ખામીયુક્ત હોવાની સંભાવના $p = 10 \% = \frac{1}{10}$ છે.
બલ્બ ખામીયુક્ત ન હોવાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ છે.
આપણે ઓછામાં ઓછો એક બલ્બ ખામીયુક્ત હોય તેની સંભાવના $P(X \ge 1)$ શોધવી છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
$10$ પ્રયત્નોમાં $0$ ખામીયુક્ત બલ્બ મળવાની સંભાવના દ્વિપદી સૂત્ર $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.
તેથી,$P(X \ge 1) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.

(C) ધારો કે $p$ એ સફળતાની સંભાવના છે અને $q = 1 - p$ એ નિષ્ફળતાની સંભાવના છે.
અહીં $n = 5$ સ્વતંત્ર પ્રયત્નો આપેલા છે.
$X$ સફળતાની સંભાવનાનું સૂત્ર $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપણને $P(X=1) = 0.4096$ અને $P(X=2) = 0.2048$ આપેલ છે.
${}^5C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ (સમીકરણ $1$).
${}^5C_2 p^2 q^3 = 10p^2q^3 = 0.2048$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{10p^2q^3}{5pq^4} = \frac{0.2048}{0.4096} = \frac{1}{2}$.
$\frac{2p}{q} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4p = q$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$4p = 1 - p \Rightarrow 5p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{5}$.
તેથી $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
હવે,બરાબર $3$ સફળતાની સંભાવના:
$P(X=3) = {}^5C_3 p^3 q^2 = 10 \times (\frac{1}{5})^3 \times (\frac{4}{5})^2$.
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{125} \times \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(C) આપેલ છે કે $X \sim B(n, p)$ જ્યાં $n=6$ અને $p=1/2$. તેથી $q = 1-p = 1/2$.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = \binom{6}{k} (1/2)^6 = \frac{\binom{6}{k}}{64}$ છે.
આપણે $P(|X-4| \leq 2)$ શોધવાનું છે.
અસમતા $|X-4| \leq 2$ એટલે કે $-2 \leq X-4 \leq 2$,જેનું સાદું રૂપ $2 \leq X \leq 6$ થાય છે.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$.
$P(X=0) = \binom{6}{0} (1/2)^6 = 1/64$.
$P(X=1) = \binom{6}{1} (1/2)^6 = 6/64$.
આમ,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - (1/64 + 6/64) = 1 - 7/64 = 57/64$.

(C) ધારો કે $X$ એ $2$ પ્રયત્નોમાં મળતા રાજાઓની સંખ્યા દર્શાવે છે. પત્તા બદલી સાથે (with replacement) ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$.
એક પત્તું ખેંચતા રાજા મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન મળવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $E[X] = np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
મધ્યક $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) એક પત્તું ખેંચતી વખતે રાજા આવવાની સંભાવના $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ છે.
રાજા ન આવવાની સંભાવના $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ છે.
પત્તા બદલી સાથે ખેંચવામાં આવતા હોવાથી,આ દ્વિપદી વિતરણ (binomial distribution) ને અનુસરે છે જ્યાં $n = 2$ અને $p = \frac{1}{13}$ છે.
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
$X=1$ માટે: $P(X=1) = \binom{2}{1} \left(\frac{1}{13}\right)^1 \left(\frac{12}{13}\right)^1 = 2 \times \frac{12}{169} = \frac{24}{169}$.
$X=2$ માટે: $P(X=2) = \binom{2}{2} \left(\frac{1}{13}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{169} = \frac{1}{169}$.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(D) ધારો કે $X \sim B(n, p)$.
આપેલ છે કે મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$.
$q = 1 - p$ હોવાથી,$8q = 4$,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$ અને $p = \frac{1}{2}$.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 8$ માં મૂકતા,આપણને $n = 16$ મળે છે.
આપણે $P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{120}{2^{16}}$.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા: $P(X \leqslant 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.
આને $\frac{k}{2^{16}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 137$ મળે છે.

(D) ધારો કે $p$ એ એક પ્રશ્ન માટે સાચો જવાબ અનુમાનિત કરવાની સંભાવના છે. અહીં $3$ વિકલ્પો છે અને માત્ર $1$ સાચો છે,તેથી $p = \frac{1}{3}$.
પરિણામે,ખોટા જવાબની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ છે.
ધારો કે $X$ એ $n = 5$ પ્રશ્નોમાં સાચા જવાબોની સંખ્યા દર્શાવતો યાદચ્છિક ચલ છે. $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $X \sim B(5, \frac{1}{3})$ ને અનુસરે છે.
$k$ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $4$ કે તેથી વધુ સાચા જવાબો મેળવવાની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ છે.
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{3^5}$.
તેથી,$P(X \geq 4) = \frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(B) ધારો કે $X$ એ ઉમેદવાર ઉકેલી ન શકે તેવી સમસ્યાઓની સંખ્યા છે. સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવના $s = \frac{3}{7}$ છે,તેથી સમસ્યા ઉકેલી ન શકવાની સંભાવના $p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ છે.
અહીં,$n = 20$ સમસ્યાઓ આપવામાં આવી છે. યાદચ્છિક ચલ $X$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(20, \frac{4}{7})$ ને અનુસરે છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવાની છે કે તે વધુમાં વધુ $2$ સમસ્યાઓ ઉકેલી ન શકે,એટલે કે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$.
દ્વિપદી સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $q = \frac{3}{7}$:
$P(X \leq 2) = {}^{20}C_0 (\frac{4}{7})^0 (\frac{3}{7})^{20} + {}^{20}C_1 (\frac{4}{7})^1 (\frac{3}{7})^{19} + {}^{20}C_2 (\frac{4}{7})^2 (\frac{3}{7})^{18}$.
આ ગણતરી વિકલ્પ $B$ સાથે સુસંગત છે.

(D) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n(\frac{1}{2}) = 2$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4$.
આપણે સંભાવના $P(X \geq 1)$ શોધવાની છે.
પૂરક ઘટનાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$.
સંભાવના વિધેય $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ છે.
$k = 0$ માટે,$P(X = 0) = {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
તેથી,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

(B) આપેલ છે કે મધ્યક $np = 2$ અને વિચરણ $npq = 1$ છે.
વિચરણને મધ્યક વડે ભાગતા,આપણને $\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = \frac{1}{2}$.
$p + q = 1$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ મળે.
$p = \frac{1}{2}$ ને $np = 2$ માં મૂકતા,$n \left( \frac{1}{2} \right) = 2$,તેથી $n = 4$ મળે.
આપણે $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ શોધવાનું છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$.
$P(X = 0) = {}^4 C_0 \left( \frac{1}{2} \right)^0 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$.
$P(X = 1) = {}^4 C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{16}$.
તેથી,$P(X > 1) = 1 - \left( \frac{1}{16} + \frac{4}{16} \right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$.

(D) ધારો કે $P(X=1)$ એ એક સફળતાની સંભાવના છે અને $P(X=2)$ એ બે સફળતાની સંભાવના છે.
દ્વિપદી વિતરણ માટે સંભાવના દળ વિધેય $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ છે.
આપેલ છે $n=5$,તેથી:
$P(X=1) = { }^5 C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ ...$(i)$
$P(X=2) = { }^5 C_2 p^2 q^3 = 10p^2 q^3 = 0.2048$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{5pq^4}{10p^2q^3} = \frac{0.4096}{0.2048} = 2$
$\frac{q}{2p} = 2 \Rightarrow q = 4p$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p=\frac{1}{5}$ અને $q=\frac{4}{5}$.
હવે,બરાબર $4$ સફળતા મેળવવાની સંભાવના:
$P(X=4) = { }^5 C_4 p^4 q^1 = 5 \times (\frac{1}{5})^4 \times (\frac{4}{5}) = 5 \times \frac{1}{625} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{625}$.